谱聚类算法(Spectral Clustering)原理分析
SpectralClustering（谱聚类
SpectralClustering（谱聚类Spectral ClusteringSpectral Clustering（谱聚类）是一种基于图论的聚类方法，它能够识别任意形状的样本空间且收敛于全局最有解，其基本思想是利用样本数据的相似矩阵进行特征分解后得到的特征向量进行聚类，可见，它与样本feature无关而只与样本个数有关。
一、图的划分图划分的目的是将有权无向图划分为两个或以上子图，使得子图规模差不多而割边权重之和最小。
图的划分可以看做是有约束的最优化问题，它的目的是看怎么把每个点划分到某个子图中，比较不幸的是当你选择各种目标函数后发现该优化问题往往是NP-hard的。
怎么解决这个问题呢？松弛方法往往是一种利器（比如SVM中的松弛变量），对于图的划分可以认为能够将某个点的一部分划分在子图1中，另一部分划分在子图2中，而不是非此即彼，使用松弛方法的目的是将组合优化问题转化为数值优化问题，从而可以在多项式时间内解决之，最后在还原划分时可以通过阈值来还原，或者使用类似K-Means这样的方法，之后会有相关说明。
二、相关定义1、用表示无向图，其中和分别为其顶点集和边集；2、说某条边属于某个子图是指该边的两个顶点都包含在子图中；3、假设边的两个不同端点为和，则该边的权重用表示，对于无向无环图有且，为方便以下的“图”都指无向无环图；4、对于图的某种划分方案的定义为：所有两端点不在同一子图中的边的权重之和，它可以被看成该划分方案的损失函数，希望这种损失越小越好，本文以二分无向图为例，假设原无向图被划分为和，那么有：三、Laplacian矩阵假设无向图被划分为和两个子图，该图的顶点数为：，用表示维指示向量，表明该划分方案，每个分量定义如下：于是有：又因为：其中，为对角矩阵，对角线元素为：为权重矩阵：且。
重新定义一个对称矩阵，它便是Laplacian矩阵：矩阵元素为：进一步观察：如果所有权重值都为非负，那么就有，这说明Laplacian矩阵是半正定矩阵；而当无向图为连通图时有特征值0且对应特征向量为，这反映了，如果将无向图划分成两个子图，一个为其本身，另一个为空时，为0(当然，这种划分是没有意义的)。
谱聚类算法评估
谱聚类算法评估
谱聚类（Spectral Clustering）算法是一种基于图论和矩阵计算的聚类算法，不仅可以用于聚类分析，还可以用于图像分割、模式识别等领域。
其基本思想是将数据样本间的相似性转化成图论问题，再将其转化为代数问题来实现聚类。
聚类算法评估指标主要包括准确率、召回率、F值等。
其中准确率是指分类正确的样本数占样本总数的比例，召回率是指分类正确的样本数占该类别总数的比例，F值是综合了准确率和召回率的度量标准，它是准确率和召回率的加权调和平均数。
在谱聚类算法中，由于数据通常是经过降维处理的，因此需要通过调整降维参数来获得最佳的聚类效果。
在调整参数时，需要同时考虑聚类效果和算法的计算复杂度等因素。
在实际应用中，除了考虑聚类算法的性能指标，还需要考虑算法的效率、可扩展性和稳定性等因素。
算法的效率指算法在数据量很大时能否保证较快的运行速度；可扩展性指算法能否处理大规模的数据样本；稳定性指算法在处理数据时是否稳定、可靠。
因此，算法的效率、可扩展性和稳定性等因素也是评估谱聚类算法的重要指标。
在实际应用中，如何选择适当的谱聚类算法和参数调节，需要结合数据的特点和实际应用需求综合考虑，选择最佳的算法和参数，以达到较好的聚类效果和算法时间复杂度的平衡。
总之，谱聚类算法的评估需要综合考虑聚类算法的性能、效率、可扩展性和稳定性等因素，通过调整参数、选择合适的算法来达到最佳的聚类效果和算法时间复杂度的平衡。
谱聚类方法
谱聚类方法一、谱聚类的基本原理谱聚类（Spectral Clustering）是一种基于图论的聚类方法，通过研究样本数据的图形结构来进行聚类。
谱聚类方法的基本原理是将高维数据转换为低维数据，然后在低维空间中进行聚类。
它利用样本之间的相似性或距离信息，构建一个图模型（通常是相似度图或距离图），然后对图模型进行谱分解，得到一系列特征向量，最后在特征向量空间中进行聚类。
谱聚类的核心步骤是构建图模型和进行谱分解。
在构建图模型时，通常采用相似度矩阵或距离矩阵来表示样本之间的联系。
在谱分解时，通过对图模型的拉普拉斯矩阵进行特征分解，得到一系列特征向量，这些特征向量表示了样本数据的低维空间结构。
通过对特征向量空间进行聚类，可以将高维数据分为若干个类别。
二、谱聚类的优缺点1.优点（1）适用于高维数据：谱聚类方法能够有效地处理高维数据，因为它的核心步骤是将高维数据转换为低维数据，然后在低维空间中进行聚类。
这有助于克服高维数据带来的挑战。
（2）对噪声和异常值具有较强的鲁棒性：谱聚类方法在构建图模型时，会考虑到样本之间的相似性和距离信息，从而在一定程度上抑制了噪声和异常值的影响。
（3）适用于任意形状的聚类：谱聚类方法可以适用于任意形状的聚类，因为它的聚类结果是基于特征向量空间的，而特征向量空间可以捕捉到样本数据的全局结构。
2.缺点（1）计算复杂度高：谱聚类的计算复杂度相对较高。
构建图模型和进行谱分解都需要大量的计算。
在大规模数据集上，谱聚类的计算效率可能会成为问题。
（2）对相似度矩阵或距离矩阵的敏感性：谱聚类的结果会受到相似度矩阵或距离矩阵的影响。
如果相似度矩阵或距离矩阵不合理或不准确，可能会导致聚类结果不理想。
（3）对参数的敏感性：谱聚类的结果会受到参数的影响，如相似度度量方式、距离度量方式、图模型的构建方式等。
如果参数选择不当，可能会导致聚类效果不佳。
三、谱聚类的应用场景1.图像分割：谱聚类方法可以应用于图像分割，将图像中的像素点分为若干个类别，从而实现对图像的分割。
谱聚类（Spectralclustering）（2）：NCut
谱聚类（Spectralclustering）（2）：NCut作者：桂。
时间：2017-04-13 21:19:41声明：欢迎被转载，不过记得注明出处哦~前⾔本⽂为谱聚类的第⼆篇，主要梳理NCut算法，关于谱聚类的更多细节信息，可以参考之前的博⽂： 1） 2）内容主要参考，更多细节可以参考该作者博⽂，本⽂最后给出代码实现，全⽂包括： 1）NCut原理 2）NCut算法实现⼀、NCut原理 Ncut切图和RatioCut切图很类似，但是把Ratiocut的分母|Ai|换成vol(A_i)，由于⼦图样本的个数多并不⼀定权重就⼤，我们切图时基于权重也更合我们的⽬标，因此⼀般来说Ncut切图优于RatioCut切图。
vol(A): = \sum\limits_{i \in A}d_i对应的，Ncut切图对指⽰向量h做了改进。
注意到RatioCut切图的指⽰向量使⽤的是\frac{1}{\sqrt{|A_j|}}标⽰样本归属，⽽Ncut切图使⽤了⼦图权重\frac{1}{\sqrt{vol(A_j)}}来标⽰指⽰向量h，定义如下:那么我们对于h_i^TLh_i有：推导⽅式和RatioCut完全⼀致。
也就是说，我们的优化⽬标仍然是但是此时我们的H^TH \neq I⽽是H^TDH = I，推导如下：也就是说，此时我们的优化⽬标最终为：这个就是泛化瑞利熵的求解问题，。
这⾥再次给出细节分析。
令H = D^{-1/2}F，则优化⽬标转化为：⾄此已经完成了NCut的理论。
画蛇添⾜⼀下吧，注意到：事实上，连拉普拉斯矩阵都懒得构造了。
⼆、NCut算法实现⾸先给出算法步骤：步骤⼀：求解邻接矩阵W和度矩阵D步骤⼆：对{D^{ - \frac{1}{2}}}W{D^{ - \frac{1}{2}}}进⾏特征值分解，并取K个最⼤特征值对应的特征向量（K为类别数⽬）步骤三：将求解的K个特征向量（并分别归⼀化），构成新的矩阵，对该矩阵进⾏Kmeans处理Kmeans得到的类别标签，就是原数据的类别标签，⾄此完成NCut聚类。
谱聚类算法——精选推荐
谱聚类算法转载⾃：1、问题描述 谱聚类(Spectral Clustering, SC)是⼀种基于图论的聚类⽅法——将带权⽆向图划分为两个或两个以上的最优⼦图(sub-Graph)，使⼦图内部尽量相似，⽽⼦图间距离尽量距离较远，以达到常见的聚类的⽬的。
对于图的相关定义如下：对于⽆向图G = (V,E)，V表⽰顶点集合，即样本集合，即⼀个顶点为⼀个样本；E表⽰边集合。
设样本数为n，即顶点数为n。
权重矩阵：W，为n*n的矩阵，其值w i,j为各边的权值，表⽰顶点 i，j（样本）之间的相似性。
对于任意w i,j = w j,i ，w i,i=0，即对⾓线上元素为0。
通常情况下，相似性⼩于某⼀阈值的两个顶点不相连，否则连接两顶点的边的权值为两个样本的相似性度量函数的值。
定义n*n的矩阵：D，其第 i ⾏，第 i 列的元素（对⾓线上）元素为W第 i ⾏所有元素的和，即 i 顶点与其他所有顶点的相似性之和。
将图G分割为⼦图G1,G2，所要断开的边的权重之和为损失函数：如下图给出⼀个六个样本所对应的图：此例中对应的损失函数为 w1,5 + w3,4 = 0.3。
谱聚类的⽬的就是找到⼀个较好的划分准则，将整个样本空间形成的图分成为各个⼦图(sub-Graph)，⼀个⼦图即为⼀个类别。
根据分割⼦图的准则，可以将其分为不同的谱聚类（Minimum Cut、Ratio Cut and Normalized Cut等）。
讲具体算法之前，回顾⼀些线性代数有关的结论，不清楚的可以查阅相关资料：Ax = λx ，则λ为A的特征值，x为对应λ的特征向量。
对于实对称矩阵A，其特征向量正交。
即当i ≠ j时， <x i T,x j> = 0（<,>表⽰内积）。
对于正定矩阵，其所有特征值都⼤于0；对于半正定矩阵，其所有特征值都⼤于等于02、问题转化 ⾸先看看这个损失函数，对其进⾏如下变换：1、定义q i如下：当顶点 i 属于⼦图G1中时，q i = c1。
谱聚类算法
谱聚类（Spectral Clustering）是一种常用的机器学习非监督学习算法，它可以将数据集进行非均匀划分，自动检测出数据集之间的联系，形成聚类，来支持分类和聚类任务。
谱聚类算法利用图分割技术进行数据集划分，其前提是，一个具有相似关系的数据集可以被抽象成一个图结构，它由节点（node）和边（edge）组成。
这种图将相似的节点连接起来，形成相关性的网络，这就是谱聚类的基本原理。
在谱聚类算法中，我们首先需要将数据集抽象为图结构，有了图后，会根据一些度量（局部密度、连接强度、等等）将其划分为一些小子集，再根据邻域性确定子集的内部结构和边界，从而将图分成若干聚类。
谱聚类的优势在于它可以实现非均匀的聚类，可以根据数据集的特征自动聚类，它不仅可以将数据集划分成几个大的聚类，还可以自动检测出数据集之间更复杂的联系，从而形成聚类。
此外，谱聚类算法还可以处理高维数据，它能够捕捉数据集中所有数据之间的复杂关系，从而实现更好的聚类。
综上所述，谱聚类算法是一种有效的机器学习非监督学习算法，它可以自动检测出数据之间的关系，进行非均匀的聚类，为聚类和分类任务提供有力的支持，是机器学习算法领域的重要研究成果。
一种自动确定类个数的谱聚类算法
谱聚类（Spectral Clustering）是一种基于图论和矩阵特征的聚类方法。
谱聚类的主要思想是将数据集表示为一个图，通过图的拉普拉斯矩阵的特征向量进行降维，然后使用 K-means 等方法对降维后的数据进行聚类。
一般而言，用户需要提前设定聚类的个数（K值），但有一些自动确定类个数的谱聚类算法可以帮助在不知道真实聚类数的情况下进行聚类。
以下是一种常见的自动确定类个数的谱聚类算法：
1. 谱峰值检测算法（Spectral Peak Detection）：
步骤：
1.构建谱图：计算数据相似性矩阵，然后构建相应的谱图。
2.计算谱聚类：计算谱图的拉普拉斯矩阵，并找到其特征向量。
3.寻找谱峰值：对特征向量进行分析，通过找到特征值的峰值或拐点来确定
类的个数。
4.K-means聚类：使用确定的类个数对数据进行 K-means 聚类。
优点和注意事项：
▪优点：
▪不需要预先设定聚类个数，通过分析特征向量的峰值自动确定。
▪对于不规则形状的聚类较为有效。
▪注意事项：
▪依赖于特征向量的峰值，对数据的分布和结构有一定的要求。
▪可能对数据中的噪声敏感。
这种自动确定类个数的谱聚类算法通过对拉普拉斯矩阵的特征向量进行分析，找到谱峰值来自适应地确定聚类个数。
这样的方法在一些情况下能够更好地适应数据的复杂结构和变化。
在实践中，根据具体的数据分布和问题特点选择合适的谱聚类算法是很重要的。
基于谱聚类的三维网格分割算法（SpectralClustering）
基于谱聚类的三维⽹格分割算法（SpectralClustering） 谱聚类（Spectral Clustering）是⼀种⼴泛使⽤的数据聚类算法，[Liu et al. 2004]基于谱聚类算法⾸次提出了⼀种三维⽹格分割⽅法。
该⽅法⾸先构建⼀个相似矩阵⽤于记录⽹格上相邻⾯⽚之间的差异性，然后计算相似矩阵的前k个特征向量，这些特征向量将⽹格⾯⽚映射到k维谱空间的单位球上，最后使⽤K-means⽅法对谱空间中的数据点进⾏聚类。
具体算法过程如下：⼀．相似矩阵 ⽹格分割以⾯⽚为基本单元，为了能使算法沿着⼏何模型的凹形区域进⾏分割，⽹格相邻⾯⽚之间的距离采⽤[Katz et al. 2003]中提到的⽅法，具体形式在“”中有所解释，距离由测地距离Geod_Dist和⾓度距离Ang_Dist两部分组成，如下所⽰： 上式中有两个重要的参数δ和η，参数δ通常取值范围为[0.01, 0.05]，其⽤于控制测地距离和⾓度距离之间的权重⽐例，参数η通常取值范围为[0.1, 0.2]，其使得分割边界更倾向于凹形区域。
计算完相邻⾯⽚之间的距离后，相似矩阵中对应位置的值由距离的⾼斯函数得到：其中：⼆．⽹格谱聚类 谱聚类⽅法在本质上都是类似的，都是利⽤相似矩阵的特征向量将原始空间中的数据映射到谱空间，并在谱空间中进⾏聚类。
⽹格上的谱聚类⽅法如下： 1 由上述定义计算相似矩阵W； 2 计算归⼀化矩阵N：N = D-1/2WD-1/2； 3 计算矩阵N的前k个最⼤特征向量e1, e2, … , e k，以这k个特征向量为列组成矩阵U = [e1, e2, … , e k]； 4 将矩阵U的每⼀⾏单位化后得到矩阵Ȗ； 5 提取出k个初始聚类中⼼⽤于K-means聚类，该过程先计算矩阵Q = ȖȖT，然后查找矩阵Q中的最⼩元素Q rs，那么r和s点就是两个距离最远的点，然后继续查找后续点； 6 以Ȗ的⾏向量为数据样本进⾏K-means聚类。
谱聚类算法实现
谱聚类算法实现谱聚类（Spectral Clustering）是一种基于图论的聚类算法。
它的主要思想是将数据集转化为一个邻接矩阵，并基于该矩阵进行谱分析，从而将数据划分成不同的聚类。
谱聚类算法的实现步骤如下：1. 构建相似度矩阵：对于给定的数据集，计算任意两个样本之间的相似度，并构建相似度矩阵。
相似度可以采用不同的度量方式，如欧氏距离、高斯核函数等。
2. 构建拉普拉斯矩阵：将相似度矩阵转化为拉普拉斯矩阵，常用的有标准化拉普拉斯矩阵和非标准化拉普拉斯矩阵。
3. 特征值分解：对拉普拉斯矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4. 选择特征向量：根据特征值的大小选择前k个特征向量，其中k为聚类的个数。
5. 聚类：将选取的特征向量作为新的数据集，使用传统聚类算法（如k-means）对其进行聚类。
下面是一个简单的Python实现示例：```pythonimport numpy as npfrom sklearn.cluster import KMeansdef spectral_clustering(data, k):# 构建相似度矩阵similarity_matrix = compute_similarity_matrix(data)# 构建拉普拉斯矩阵laplacian_matrix = compute_laplacian_matrix(similarity_matrix)# 特征值分解eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(laplacian_matrix)# 选择特征向量indices = np.argsort(eigenvalues)[:k]selected_eigenvectors = eigenvectors[:, indices]# 聚类kmeans = KMeans(n_clusters=k)kmeans.fit(selected_eigenvectors)labels = bels_return labels# 计算相似度矩阵def compute_similarity_matrix(data):# 这里假设使用欧氏距离作为相似度度量方式similarity_matrix = np.zeros((len(data), len(data)))for i in range(len(data)):for j in range(i+1, len(data)):distance = np.sqrt(np.sum((data[i] - data[j]) ** 2))similarity = np.exp(-distance / 2)similarity_matrix[i, j] = similarity_matrix[j, i] = similarity return similarity_matrix# 构建拉普拉斯矩阵def compute_laplacian_matrix(similarity_matrix):degree_matrix = np.diag(np.sum(similarity_matrix, axis=1))laplacian_matrix = degree_matrix - similarity_matrixreturn laplacian_matrix```以上是谱聚类算法的一种简单实现方法，实际应用中还可以根据具体情况进行适当调整和改进。
谱聚类算法讲解ppt课件
sij xi KNN ( x j ) and x j KNN ( xi )
10
Spectral Clustering 谱聚类
谱聚类基础一：图-邻接矩阵
（3）全连接法：
通过核函数定义边权重，常用的有多项式核函数，
高斯核函数和Sigmoid核函数。使用高斯核函数构建邻接
1 1
Rcut(G1 , G2 ) Cut (G1 , G2 )
n1 n2
n1、n 2划分到子图1和子图2的顶点个数
Rcut (G1 , G2 )
1 1
w
ij
n2
iG1 , jG2 n1
(n1 n2 ) 2
wij
量的相似矩阵S
邻接矩阵W。
6
Spectral Clustering 谱聚类
谱聚类基础一：图-邻接矩阵
构建邻接矩阵 W 主要有三种方法 ：
•
-近邻法
•
K近邻法
• 全连接法
7
Spectral Clustering 谱聚类
谱聚类基础一：图-邻接矩阵
（1） -近邻法：
设置一个距离阈值
，然后用欧式距离
2
27
Spectral Clustering 谱聚类
(2) Ratio Cut
令
qi
二分类：
n1
n2 n
n2
n1n
i G1
= 1
i G2
Rcut (G1 , G2 )
w q q
2
iG1 , jG2
sklearn中的谱聚类算法
Sklearn（Scikit-learn）是一个基于Python的机器学习库，提供了许多常用的机器学习算法和工具。
谱聚类（Spectral Clustering）算法作为Sklearn库中的一个重要组成部分，是一种基于图论和谱理论的聚类算法，能够有效地处理非凸形状的数据集并对高维数据进行聚类分析。
本文将对Sklearn中的谱聚类算法进行深入探讨，并对其理论、实现细节和应用展开详细介绍。
一、谱聚类算法的理论基础谱聚类算法是一种基于图论和谱理论的聚类算法，其主要思想是将数据集表示为图的形式，利用图的谱分解来实现聚类分析。
在进行谱聚类之前，首先需要构建数据样本的相似度矩阵或者距离矩阵，并基于这个矩阵构建相应的图模型，常用的图模型包括ε-邻近图、全连接图等。
接下来，利用图的拉普拉斯矩阵进行特征分解，得到其特征向量，并通过对特征向量进行聚类操作，最终得到数据的聚类结构。
谱聚类算法的理论基础主要包括图论、谱图理论以及聚类理论等多个方面的知识，需要深入理解这些理论知识才能正确地运用谱聚类算法进行数据分析。
在Sklearn库中，谱聚类算法提供了丰富的参数设置和优化方法，能够灵活地适应不同数据情况和需求，是实现谱聚类算法的一个重要工具。
二、谱聚类算法的实现细节Sklearn中的谱聚类算法主要基于Python语言实现，其具体的实现细节涵盖了图模型构建、谱分解、特征向量聚类等多个方面。
在进行实际的数据分析时，需要关注谱聚类算法的几个关键参数，包括图模型的构建方法、相似度矩阵的计算方式、谱分解的方法、特征向量聚类的算法等。
图模型的构建方法是谱聚类算法中的一个关键步骤，常用的方法包括ε-邻近图、全连接图等，不同的方法会对聚类结果产生不同的影响，需要根据具体的数据情况选取合适的方法。
另外，相似度矩阵的计算方式也会影响到谱聚类的结果，可以选择基于距离的相似度计算方法或者基于核函数的相似度计算方法。
谱分解的方法通常包括最大化拉普拉斯特征值、最小化拉普拉斯特征值等多种方法，需要根据具体应用需求选择合适的方法。
SpectralClustering聚类原理Java实现
SpectralClustering聚类原理 Java 实现谱聚类（Spectral Clustering,SC ）是一种基于图论的聚类方法 - 将带权无向图划分为两个或两个以上的最优子图，使子图内部尽量相似，而子图间距离尽量距离较远，以达到常见的聚类的目的。
其中的最优 是指最优目标函数不同，可以是Min Cut 、Nomarlized Cut 、Ratio Cut 等。
谱聚类能够识别任意形状的样本空间且收敛于全局最优解，其基本思想是利用样本数据的相似矩阵 （拉普拉斯矩阵）进行特征分解后得到的特征向量进行聚类。
Spectral Clustering 算法步骤：1） 根据数据构造一个 Graph ，Graph 的每一个节点对应一个数据点，将相似的点连接起来，并且边的权重 用于表示数据之间的相似度。
把这个Graph 用邻接矩阵的形式表示出来，记为W2） 把W 的每一列元素活者行元素加起来得到 N 个数，把它们放在对角线上（其他地方都是零），组成一个N*N 的度矩阵，记为D 。
3） 根据度矩阵与邻接矩阵得岀拉普拉斯矩阵L = D - W 。
4） 求岀拉普拉斯矩阵L 的前k 个特征值（除非特殊说明，否则“前 k 个”指按照特征值的大小从小到大的 顺序）以及对应的特征向量。
5） 把这k 个特征（列）向量排列在一起组成一个N*k 的矩阵，将其中每一行看作 k 维空间中的一个向量，并使用 K-Means 算法进行聚类。
聚类的结果中每一行所属的类别就是原来 Graph 中的节点亦即最初的 N个数据点分别所属的类别。
示例Spectral Clustering 和传统的聚类方法（如 K-Means 等）对比：1） 和 K-Medoids 类似，Spectral Clustering 只需要数据之间的相似度矩阵就可以了，而不必像K-means 那样要求数据必须是N 维欧氏空间中的向量。
Spectral Clustering 所需要的所有信息都包含在 W 中。
谱聚类llr算法
谱聚类llr算法谱聚类（Spectral Clustering）是一种广泛应用于数据挖掘和模式识别领域的聚类算法，它基于谱图理论和图论的相关概念，通过将数据样本投影到低维度空间中进行聚类，能够有效地处理非线性和复杂的数据分布。
其中一种常用的谱聚类算法是局部线性嵌入谱聚类（Local Linear Embedding Spectral Clustering，简称LLR谱聚类）算法。
本文将详细介绍LLR谱聚类算法的原理和具体实现过程。
一、算法原理1. 构建相似度矩阵首先，根据给定的样本数据，我们需要计算每个样本之间的相似度。
常用的相似度度量方法有欧式距离、余弦相似度、高斯相似度等。
将相似度矩阵表示为W，其中W(i,j)代表第i个样本与第j个样本之间的相似度。
2. 构建拉普拉斯矩阵接下来，我们根据相似度矩阵W构建拉普拉斯矩阵L。
拉普拉斯矩阵有多种定义方式，比较常用的是归一化拉普拉斯矩阵。
归一化拉普拉斯矩阵L定义为L = D^(-1/2) * (D - W) * D^(-1/2)，其中D为度矩阵，定义为D(i,i) = ∑W(i,j)。
3. 特征值分解对拉普拉斯矩阵L进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
将特征值按照从小到大的顺序排列，并选择其中的前K个特征值及对应的特征向量。
4. 归一化特征向量将选取的特征向量按列进行归一化，得到归一化特征向量。
5. K-means聚类将归一化特征向量作为输入数据，使用K-means聚类算法对样本数据进行聚类。
二、算法步骤LLR谱聚类算法的具体步骤如下：Step 1: 读取样本数据，计算相似度矩阵W。
Step 2: 构建拉普拉斯矩阵L。
Step 3: 对拉普拉斯矩阵L进行特征值分解，选择前K个特征值及对应的特征向量。
Step 4: 对选取的特征向量进行归一化。
Step 5: 将归一化特征向量作为输入数据，使用K-means聚类算法进行聚类。
三、算法优缺点LLR谱聚类算法具有以下的优点和缺点：优点：1. 能够有效地处理非线性和复杂的数据分布，具有较好的聚类效果。
谱聚类算法(Spectral Clustering)原理分析
谱聚类算法(Spectral Clustering)谱聚类(Spectral Clustering, SC)是一种基于图论的聚类方法——将带权无向图划分为两个或两个以上的最优子图，使子图内部尽量相似，而子图间距离尽量距离较远，以达到常见的聚类的目的。
其中的最优是指最优目标函数不同，可以是割边最小分割——如图1的Smallest cut(如后文的Min cut)，也可以是分割规模差不多且割边最小的分割——如图1的Best cut(如后文的Normalized cut)。
图1 谱聚类无向图划分——Smallest cut和Best cut 这样，谱聚类能够识别任意形状的样本空间且收敛于全局最优解，其基本思想是利用样本数据的相似矩阵(拉普拉斯矩阵)进行特征分解后得到的特征向量进行聚类。
1 理论基础对于如下空间向量item-user matrix：如果要将item做聚类，常常想到k-means聚类方法，复杂度为o(tknm)，t为迭代次数，k为类的个数、n为item个数、m为空间向量特征数：1 如果M足够大呢？2 K的选取？3 类的假设是凸球形的？4 如果item是不同的实体呢？5 Kmeans无可避免的局部最优收敛？……这些都使常见的聚类问题变得相当复杂。
1.1 图的表示如果我们计算出item与item之间的相似度，便可以得到一个只有item的相似矩阵，进一步，将item看成了Graph(G)中Vertex(V)，歌曲之间的相似度看成G中的Edge(E)，这样便得到我们常见的图的概念。
对于图的表示(如图2)，常用的有：邻接矩阵：E，e ij表示v i和v i的边的权值，E为对称矩阵，对角线上元素为0，如图2-2。
Laplacian矩阵：L = D – E，其中d i (行或列元素的和)，如图2-3。
图2 图的表示1.2 特征值与L矩阵先考虑一种最优化图像分割方法，以二分为例，将图cut为S和T两部分，等价于如下损失函数cut(S, T)，如公式1所示，即最小(砍掉的边的加权和)。
谱聚类算法spectralclustering
4.2.1 基本k-means聚类算法
k-means聚类算法：
(1)从数据集D中任意选择k个对象作为初始簇中心； (2) repeat (3) for 数据集D中每个对象P do (4) 计算对象P到k个簇中心的距离 (5) 将对象P指派到与其最近(距离最短)的簇； (6) end for (7) 计算每个簇中对象的均值，做为新的簇的中心； (8) until k个簇的簇中心不再发生变化
K-means算法采用<k,mean>来表示一个簇
k-means聚类算法示例-1
例 4.1 对表4-1中二维数据，使用k-means算法将其划分为2个簇，
假设初始簇中心选为P7(4，5)，P10(5，5)。 表4-1 k-means聚类过程示例数据集1 P1 x y 3 4 P2 3 6 P3 7 3 P4 4 7 P5 3 8 P6 8 5 P7 4 5 P8 4 1 P9 7 4 P10 5 5
(a) 大小不同的簇
(b) 形状不同的簇
图4.3 基于质心的划分方法不能识别的数据
4.2.2 二分k-means算法
二分K-means算法是基本k-means算法的直接扩充，基于 如下想法：为了得到k个簇，将所有点的集合分裂成两个 簇，从中选择一个继续分裂，如此重复直到产生k个簇。 算法详细描述如下： 初始化簇表，使之包含由所有的点组成的簇。 Repeat 从簇表中选取一个簇。 { 对选定的簇进行多次二分“试验” } For i=1 to 试验次数 do 使用基于基本k-means，二分选定的簇 End for 从二分试验中选择具有最小总SSE的两个簇。 将这两个簇添加到簇表中 Until 簇表中包含k个簇
图4-2 k-means算法聚类过程示例
谱聚类（spectralclustering）原理总结
谱聚类（spectralclustering）原理总结 谱聚类（spectral clustering）是⼴泛使⽤的聚类算法，⽐起传统的K-Means算法，谱聚类对数据分布的适应性更强，聚类效果也很优秀，同时聚类的计算量也⼩很多，更加难能可贵的是实现起来也不复杂。
在处理实际的聚类问题时，个⼈认为谱聚类是应该⾸先考虑的⼏种算法之⼀。
下⾯我们就对谱聚类的算法原理做⼀个总结。
1. 谱聚类概述 谱聚类是从图论中演化出来的算法，后来在聚类中得到了⼴泛的应⽤。
它的主要思想是把所有的数据看做空间中的点，这些点之间可以⽤边连接起来。
距离较远的两个点之间的边权重值较低，⽽距离较近的两个点之间的边权重值较⾼，通过对所有数据点组成的图进⾏切图，让切图后不同的⼦图间边权重和尽可能的低，⽽⼦图内的边权重和尽可能的⾼，从⽽达到聚类的⽬的。
乍⼀看，这个算法原理的确简单，但是要完全理解这个算法的话，需要对图论中的⽆向图，线性代数和矩阵分析都有⼀定的了解。
下⾯我们就从这些需要的基础知识开始，⼀步步学习谱聚类。
2. 谱聚类基础之⼀：⽆向权重图 由于谱聚类是基于图论的，因此我们⾸先温习下图的概念。
对于⼀个图G，我们⼀般⽤点的集合V和边的集合E来描述。
即为G(V,E)。
其中V即为我们数据集⾥⾯所有的点(v_1, v_2,...v_n)。
对于V中的任意两个点，可以有边连接，也可以没有边连接。
我们定义权重w_{ij}为点v_i和点v_j之间的权重。
由于我们是⽆向图，所以w_{ij} = w_{ji}。
对于有边连接的两个点v_i和v_j，w_{ij} > 0,对于没有边连接的两个点v_i和v_j，w_{ij} = 0。
对于图中的任意⼀个点v_i，它的度d_i定义为和它相连的所有边的权重之和，即d_i = \sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij} 利⽤每个点度的定义，我们可以得到⼀个nxn的度矩阵D,它是⼀个对⾓矩阵，只有主对⾓线有值，对应第i⾏的第i个点的度数，定义如下：\mathbf{D} = \left( \begin{array}{ccc} d_1 & \ldots & \ldots \\ \ldots & d_2 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \ldots & \ldots & d_n\end{array} \right) 利⽤所有点之间的权重值，我们可以得到图的邻接矩阵W，它也是⼀个nxn的矩阵，第i⾏的第j个值对应我们的权重w_{ij}。
基于谱聚类算法的数据挖掘技术研究
基于谱聚类算法的数据挖掘技术研究一、引言数据挖掘（Data Mining）是指在大规模数据中，通过应用计算机科学、统计学、模式识别等相关领域的方法和技术，从中发现隐含的、未知的、有用的知识和信息的一种过程。
谱聚类（Spectral Clustering）算法是基于谱分析的一种聚类方法，是目前聚类算法中性能较优秀的一种。
本篇文章将结合相关研究成果，探讨基于谱聚类算法的数据挖掘技术研究。
二、谱聚类算法的基本原理谱聚类算法是一种无监督学习算法，它是从拉普拉斯矩阵的特征向量和特征值来考虑聚类问题的。
具体实现如下：1. 图的构建谱聚类算法中，首先需要构建一个代表数据样本相似度的图，常用的构建方法主要有全连接图、ε-邻域图和k近邻图等。
其中，ε-邻域图和k近邻图是常用的方法。
2. 拉普拉斯矩阵的计算在构造好的图中，需要计算拉普拉斯矩阵，它是由图的邻接矩阵和度矩阵得到的。
3. 特征值分解计算得到拉普拉斯矩阵后，需要对其进行特征值分解，得到的特征向量即为样本点在谱空间下的坐标。
4. K-Means聚类将样本点的坐标作为输入，在谱空间下，采用K-Means聚类算法进行聚类，最终得到聚类结果。
三、基于谱聚类算法的数据挖掘技术应用研究在实际应用中，谱聚类算法可以用于解决各种数据挖掘任务，下面将以文本聚类、图像分割和社区发现为例，分别进行介绍。
1. 文本聚类文本聚类是将文本数据划分到不同的类别中，使得同一类别的文本数据具有相似性。
谱聚类算法可以用于文本聚类，主要步骤如下：（1）构建文档相似度矩阵（2）计算拉普拉斯矩阵（3）通过特征值分解得到特征向量（4）K-Means算法聚类在实际应用中，文本聚类可用于新闻聚类、文本分类等领域。
例如：对于新闻聚类，可以将相似的新闻聚在一起，使用户更方便地查看相关新闻。
2. 图像分割图像分割是将图像划分为若干个具有语义的区域，不同区域之间的分割线要具有明显的区分度。
谱聚类算法也可以用于图像分割，主要步骤如下：（1）构建图像相似度矩阵（2）计算拉普拉斯矩阵（3）通过特征值分解得到特征向量（4）K-Means算法聚类在实际应用中，图像分割主要用于计算机视觉领域中的医学影像分割、物体识别等任务。
sklearn中的谱聚类算法
sklearn中的谱聚类算法谱聚类（Spectral Clustering）是一种无监督学习算法，用于将数据集分成不同的组（或聚类）。
这种算法基于谱图理论，在数据的低维空间中寻找聚类结构。
在sklearn库中，SpectralClustering类提供了谱聚类的实现。
谱聚类的原理基于图论和线性代数。
该算法将数据集视为一个无向图，其中数据点表示图的节点，而数据点之间的相似性（或距离）则表示图的边。
谱聚类通过以下几个步骤实现：1.构建相似度矩阵：根据数据点之间的距离或相似性，构建数据集的相似度矩阵。
2.构建拉普拉斯矩阵：根据相似度矩阵，构建拉普拉斯矩阵。
拉普拉斯矩阵有多种类型，如无向图的未标准化拉普拉斯矩阵、对称归一化拉普拉斯矩阵等。
3.特征选择：通过计算拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量，选择最小的k个特征值（k为聚类数）及其对应的特征向量。
4.特征降维：通过将特征向量投影到低维空间，将数据点转换为新的表示。
5. K-means聚类：将转换后的数据点应用于K-means算法，将数据点聚类成k个簇。
在sklearn中使用SpectralClustering类实现谱聚类的步骤如下：1.导入相关库和数据集。
```pythonimport numpy as npfrom sklearn.cluster import SpectralClustering```2.创建谱聚类对象，并设置相关参数。
```pythonn_clusters = 3 # 设置聚类数affinity = 'nearest_neighbors' # 设置相似度计算方法n_neighbors = 10 # 设置最近邻数目clustering = SpectralClustering(n_clusters=n_clusters,affinity=affinity, n_neighbors=n_neighbors)```3. 调用fit_predict方法进行聚类。
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谱聚类算法(Spectral Clustering)
谱聚类(Spectral Clustering, SC)是一种基于图论的聚类方法——将带权无向图划分为两个或两个以上的最优子图，使子图内部尽量相似，而子图间距离尽量距离较远，以达到常见的聚类的目的。
其中的最优是指最优目标函数不同，可以是割边最小分割——如图1的Smallest cut(如后文的Min cut)，也可以是分割规模差不多且割边最小的分割——如图1的Best cut(如后文的Normalized cut)。
图1 谱聚类无向图划分——Smallest cut和Best cut 这样，谱聚类能够识别任意形状的样本空间且收敛于全局最优解，其基本思想是利用样本数据的相似矩阵(拉普拉斯矩阵)进行特征分解后得到的特征向量进行聚类。
1 理论基础
对于如下空间向量item-user matrix：
如果要将item做聚类，常常想到k-means聚类方法，复杂度为o(tknm)，t为迭代次数，k为类的个数、n为item个数、m为空间向量特征数：
1 如果M足够大呢？
2 K的选取？
3 类的假设是凸球形的？
4 如果item是不同的实体呢？
5 Kmeans无可避免的局部最优收敛？
……
这些都使常见的聚类问题变得相当复杂。
1.1 图的表示
如果我们计算出item与item之间的相似度，便可以得到一个只有item的相似矩阵，进一步，将item看成了Graph(G)中Vertex(V)，歌曲之间的相似度看成G中的Edge(E)，这样便得到我们常见的图的概念。
对于图的表示(如图2)，常用的有：
邻接矩阵：E，e ij表示v i和v i的边的权值，E为对称矩阵，对角线上元素为0，如图2-2。
Laplacian矩阵：L = D – E，其中d i (行或列元素的和)，如图2-3。
图2 图的表示
1.2 特征值与L矩阵
先考虑一种最优化图像分割方法，以二分为例，将图cut为S和T两部分，等价于如下损失函数cut(S, T)，如公式1所示，即最小(砍掉的边的加权和)。
假设二分成两类，S和T，用q(如公式2所示)表示分类情况，且q满足公式3的关系，用于类标识。
那么：
其中D为对角矩阵，行或列元素的和，L为拉普拉斯矩阵。
由：
有:
1、L为对称半正定矩阵，保证所有特征值都大于等于0；
2、L矩阵有唯一的0特征值，其对应的特征向量为1。
离散求解q很困难，如果将问题松弛化为连续实数值，由瑞利熵的性质知其二将你型的最小值就是L的特征值们(最小值，第二小值，......，最大值分别对应矩阵L的最小特征值，第二小特征值，......，最大特征值，且极值q相应的特征向量处取得，请参见瑞利熵(Rayleigh quotient))。
写到此，不得不对数学家们致敬，将cut(S,T)，巧妙地转换成拉普拉斯矩阵特征值(向量)的问题，将离散的聚类问题，松弛为连续的特征向量，最小的系列特征向量对应着图最优的系列划分方法。
剩下的仅是将松弛化的问题再离散化，即将特征向量再划分开，便可以得到相应的类别，如将图3中的最小特征向量，按正负划分，便得类{A,B,C}和类{D,E,F,G}。
在K分类时，常将前K个特征向量，采用kmeans分类。
PS：
1、此处虽再次提到kmeans，但意义已经远非引入概念时的讨论的kmeans了，此处的kmeans，更多的是与ensemble learning相关，在此不述；
2、k与聚类个数并非要求相同，可从第4节的相关物理意义中意会；
3、在前k个特征向量中，第一列值完全相同(迭代算法计算特征向量时，值极其相近)，kmeans时可以删除，同时也可以通过这一列来简易判断求解特征值(向量)方法是否正确，常常问题在于邻接矩阵不对称。
图3 图的L矩阵的特征值与特征向量
2 最优化方法
在kmeans等其它聚类方法中，很难刻划类的大小关系，局部最优解也是无法回避的漏病。
当然这与kmeans的广泛使用相斥——原理简单。
2.1 Min cut方法
如2.2节的计算方法，最优目标函数如下的图cut方法：
计算方法，可直接由计算L的最小特征值(特征向量)，求解。
2.2 Nomarlized cut方法
Normarlized cut，目标是同时考虑最小化cut边和划分平衡，以免像图1中的cut出一个单独的H。
衡量子图大小的标准是：子图各个端点的Degree之和。
2.3 Ratio Cut 方法
Ratio cut的目标是同时考虑最小化cut边和划分平衡，以免像图1中的cut出一个单独的H。
最优目标函数为：
2.4 Normalized相似变换
归一化的L矩阵有：
因而L’的最小特征值与D-(1/2)E D-(1/2)的最大特征值对应。
而计算的L’相比计算L要稍具优势，在具体实用中，常以L’替代L，但是min cut和ratio cut不可以。
PS：这也是常常在人们的博客中，A说谱聚类为求最大K特征值(向量)，B说谱聚类为求最小K个特征值(向量的原因)。
3 谱聚类步骤
第一步：数据准备，生成图的邻接矩阵；
第二步：归一化普拉斯矩阵；
第三步：生成最小的k个特征值和对应的特征向量；
第四步：将特征向量kmeans聚类(少量的特征向量)；
4 谱聚类的物理意义
谱聚类中的矩阵：
可见不管是L、L’都与E联系特别大。
如果将E看成一个高维向量空间，也能在一定程度上反映item之间的关系。
将E直接kmeans聚类，得到的结果也能反映V的聚类特性，而谱聚类的引入L和L’是使得G的分割具有物理意义。
而且，如果E的item(即n)足够大，将难计算出它的kmeans，我们完全可以用PCA降维(仍为top的特征值与向量)。
上述对将E当成向量空间矩阵，直观地看符合我们的认知，但缺乏理论基础；而L(L’等)的引入，如第2节所述，使得计算具有理论基础，其前k个特征向量，也等价于对L(L’等)的降维。
因而聚类就是为图的划分找了理论基础，能达到降维的目的。
其中不少图出源于Mining of Massive Datasets，对于同仁们的布道授业，一并感谢。
推荐相关相关文档：Wen-Yen Chen, Yangqiu Song, Hongjie Bai, Chih-Jen Lin, Edward Y. Chang. Parallel Spectral Clustering in Distributed Systems.
推荐相关源码：https:///p/pspectralclustering/ (真心很赞)
更多扩展内容请见后续博文：谱聚类算法(Spectral Clustering)优化与扩展。