谱聚类
谱聚类方法
谱聚类方法一、谱聚类的基本原理谱聚类（Spectral Clustering）是一种基于图论的聚类方法，通过研究样本数据的图形结构来进行聚类。
谱聚类方法的基本原理是将高维数据转换为低维数据，然后在低维空间中进行聚类。
它利用样本之间的相似性或距离信息，构建一个图模型（通常是相似度图或距离图），然后对图模型进行谱分解，得到一系列特征向量，最后在特征向量空间中进行聚类。
谱聚类的核心步骤是构建图模型和进行谱分解。
在构建图模型时，通常采用相似度矩阵或距离矩阵来表示样本之间的联系。
在谱分解时，通过对图模型的拉普拉斯矩阵进行特征分解，得到一系列特征向量，这些特征向量表示了样本数据的低维空间结构。
通过对特征向量空间进行聚类，可以将高维数据分为若干个类别。
二、谱聚类的优缺点1.优点（1）适用于高维数据：谱聚类方法能够有效地处理高维数据，因为它的核心步骤是将高维数据转换为低维数据，然后在低维空间中进行聚类。
这有助于克服高维数据带来的挑战。
（2）对噪声和异常值具有较强的鲁棒性：谱聚类方法在构建图模型时，会考虑到样本之间的相似性和距离信息，从而在一定程度上抑制了噪声和异常值的影响。
（3）适用于任意形状的聚类：谱聚类方法可以适用于任意形状的聚类，因为它的聚类结果是基于特征向量空间的，而特征向量空间可以捕捉到样本数据的全局结构。
2.缺点（1）计算复杂度高：谱聚类的计算复杂度相对较高。
构建图模型和进行谱分解都需要大量的计算。
在大规模数据集上，谱聚类的计算效率可能会成为问题。
（2）对相似度矩阵或距离矩阵的敏感性：谱聚类的结果会受到相似度矩阵或距离矩阵的影响。
如果相似度矩阵或距离矩阵不合理或不准确，可能会导致聚类结果不理想。
（3）对参数的敏感性：谱聚类的结果会受到参数的影响，如相似度度量方式、距离度量方式、图模型的构建方式等。
如果参数选择不当，可能会导致聚类效果不佳。
三、谱聚类的应用场景1.图像分割：谱聚类方法可以应用于图像分割，将图像中的像素点分为若干个类别，从而实现对图像的分割。
谱聚类算法 python
谱聚类算法 python谱聚类是一种基于图论的聚类算法，它通过构建数据的相似度矩阵和拉普拉斯矩阵来实现数据的聚类。
下面是谱聚类算法的Python实现参考内容。
1. 导入所需库和数据模块：```pythonimport numpy as npfrom sklearn.cluster import KMeansfrom sklearn.metrics import pairwise_distancesfrom sklearn.datasets import make_blobs```2. 定义谱聚类函数：```pythondef spectral_clustering(data, n_clusters, sigma=1):# 构建相似度矩阵similarity_matrix = pairwise_distances(data, metric='rbf', gamma=1.0/(2*sigma**2))# 构建拉普拉斯矩阵row_sums = np.sum(similarity_matrix, axis=1)laplacian_matrix = np.diag(row_sums) - similarity_matrix# 计算拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(laplacian_matrix)# 根据特征值进行排序indices = np.argsort(eigvals)[:n_clusters]# 提取特征向量的前n_clusters个列向量eigvecs_selected = eigvecs[:, indices]# 使用K-means算法对特征向量进行聚类kmeans = KMeans(n_clusters=n_clusters)kmeans.fit(eigvecs_selected)labels = bels_return labels```3. 生成示例数据并调用谱聚类函数进行聚类：```pythondata, ground_truth = make_blobs(n_samples=100, centers=3, random_state=0)labels = spectral_clustering(data, n_clusters=3, sigma=1)print("聚类结果：", labels)```以上就是谱聚类算法的Python实现参考内容。
谱聚类算法
其中： assoc(A k , V )
i
Ak ,j V
w ij
Melia 指出Ncut 和MNcut 的差异之处仅在于所使用的 谱映射不同, 并且当k= 2 时, MNcut 与Ncut 等价。多路规 范割集准则在实际应用中合理有效, 但其优化问题通常难以 解决。
相似矩阵、度矩阵及Laplacian 矩阵
cut(A ,B )
i ,
w ij Aj B
通过最小化上述剪切值来划分图G, 这一划分准则被称 为最小割集准则。他们用这个准则对一些图像进行分割, 并 产生了较好的效果, 同时他们也注意到, 该准则容易出现歪 斜( 即偏向小区域) 分割。规范割集准则及比例割集准则均 可避免这种情况的发生。
谱聚类算法
根据不同的准则函数及谱映射方法, 谱聚类算法发展了很多
不同的具体实现方法, 但是都可以归纳为下面三个主要步骤 :
构建表示样本集的矩阵Z; 通过计算Z 的前k 个特征值与特征向量, 构建特征向量空间; 利用k-means 或其它经典聚类算法对特征向量空间中的特征向 量进行聚类。 上述步骤是谱聚类算法的一个框架, 在具体实现过程中,不同 的算法在数据集矩阵Z 的表示上存在着不同。例如根据2 way cut 的目标函数, Z= W; 根据随机游动关系, 则Z=D- 1W 等。划分准则一 般分为2 way 和k way, 本文根据所使用的划分准则, 将算法分为迭 代谱和多路谱两类, 并分别讨论了各类中典型的谱聚类算法。
可以看出Avcut 和Ncut 函数都表示无向图G 中边界损
失与分割区域相关性的比值之和, 因此最小化Avcut 与Ncut 目标函数都能产生较准确的划分。其共同缺点是倾向于欠 分割且易分割出只包含几个顶点的较小子图。文献通过实 验发现, 当把Normalized cut 和Average cut 准则分别用于同
谱聚类基本概念
谱聚类基本概念谱聚类（spectral clustering）是一种经典的无监督学习算法，用于将数据集分成若干个不相交的子集或簇。
它借助于数据集的相似性矩阵或图结构进行聚类。
谱聚类的基本概念包括以下几点：1. 相似性矩阵：相似性矩阵用于表示数据样本之间的相似程度。
它可以是一个对称的矩阵，矩阵的元素表示样本之间的相似度或距离。
2. 图拉普拉斯算子：图拉普拉斯算子是图结构中的一种特殊矩阵，用于表示图的拓扑结构。
它将相似性矩阵进行规范化，得到一个对称的拉普拉斯矩阵。
3. 特征值分解：通过对图拉普拉斯矩阵进行特征值分解，可以得到一组特征值和对应的特征向量。
这些特征向量可以用于表示样本在新的低维空间中的投影。
4. 谱聚类过程：谱聚类的过程主要包括以下几步：计算相似性矩阵，构造图拉普拉斯矩阵，对图拉普拉斯矩阵进行特征值分解，选择特征值对应的特征向量，对特征向量进行聚类。
总的来说，谱聚类通过图论的方法，将样本投影到低维空间，并利用聚类算法进行聚类，从而实现数据集的聚类分析。
它可以处理非线性、非凸以及具有复杂结构的数据。
当进行谱聚类时，可以根据需要采用不同的相似度度量方法，比如欧氏距离、余弦相似度等。
具体的相似性度量方式取决于数据的特征和聚类的目标。
另外，在特征值分解时，通常选择特征值较小的前k个特征向量作为投影空间的基，这样可以将数据映射到一个低维空间。
通过对这些特征向量进行聚类，可以得到最终的聚类结果。
需要注意的是，谱聚类算法在大数据集上的计算量较大，因为它涉及到计算相似性矩阵和特征值分解等操作。
为了提高算法的效率，可以通过一些近似计算方法来加速计算，比如使用局部近似算法（Local Approximation Algorithm）或随机近似算法（Randomized Approximation Algorithm）。
总的来说，谱聚类是一种基于图论和线性代数的聚类方法，通过将数据映射到低维空间并进行聚类分析，可以有效地处理复杂的数据结构。
谱聚类应用
谱聚类是一种非线性聚类方法，广泛应用于数据挖掘、图像分析、计算机视觉等领域。
其基本思想是将数据点映射到多维空间中，并在这个空间中找到相似性的图，通过图的信息设计聚类准则，最终实现聚类。
在具体应用中，谱聚类可以用于以下方面：
1. 文本聚类：将文本数据转化为图的形式，利用谱聚类方法对其进行聚类，可以实现文本的自动分类和聚类。
2. 图像分割：通过对图像进行谱聚类，可以将图像自动分割成多个区域，实现图像的分割和识别。
3. 流形学习：利用谱聚类方法可以将高维数据降维到低维空间中，从而实现流形的学习和可视化。
4. 生物信息学：谱聚类方法在生物信息学中有着广泛的应用，可以用于基因组学、蛋白质结构预测等方面。
5. 社交网络分析：通过对社交网络进行谱聚类，可以发现社交群体和社区，从而分析用户行为和兴趣。
谱聚类方法具有广泛的应用前景，可以在许多领域中发挥其优势。
谱聚类算法综述
谱聚类算法综述一、本文概述谱聚类算法是一种基于图理论的机器学习技术，它在数据分析和模式识别中发挥着重要作用。
本文旨在对谱聚类算法进行全面的综述，从理论基础、算法流程、应用领域以及最新进展等多个方面进行深入的探讨。
我们将简要介绍谱聚类算法的基本概念和原理，包括图论基础、拉普拉斯矩阵、特征值分解等关键知识点。
然后，我们将详细阐述谱聚类算法的基本流程和主要步骤，包括数据预处理、构建相似度矩阵、计算拉普拉斯矩阵、求解特征向量和聚类等。
接下来，我们将重点分析谱聚类算法在不同领域中的应用，如图像处理、社交网络分析、机器学习等，并探讨其在这些领域中取得的成果和优势。
我们还将对谱聚类算法的性能进行评估，包括其时间复杂度、空间复杂度以及聚类效果等方面。
我们将对谱聚类算法的最新研究进展进行综述，包括新的算法模型、优化方法以及应用领域的拓展等方面。
通过对这些最新进展的梳理和总结，我们可以更好地了解谱聚类算法的发展趋势和未来研究方向。
本文旨在对谱聚类算法进行全面的综述和分析，为读者提供一个清晰、系统的认识框架，同时也为该领域的研究者提供有价值的参考和启示。
二、谱聚类算法的基本原理谱聚类算法是一种基于图理论的聚类方法，它通过将数据点视为图中的节点，数据点之间的相似性视为节点之间的边的权重，从而构建出一个加权无向图。
谱聚类的基本原理在于利用图的拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）的特征向量来进行聚类。
构建相似度矩阵：需要计算数据点之间的相似度，这通常通过核函数（如高斯核函数）来实现，从而构建出一个相似度矩阵。
构建图的拉普拉斯矩阵：根据相似度矩阵，可以构建出图的度矩阵和邻接矩阵，进而得到图的拉普拉斯矩阵。
拉普拉斯矩阵是相似度矩阵和度矩阵之差，它反映了数据点之间的局部结构信息。
求解拉普拉斯矩阵的特征向量：对拉普拉斯矩阵进行特征分解，得到其特征向量。
这些特征向量构成了一个新的低维空间，在这个空间中，相似的数据点更接近，不相似的数据点更远。
谱聚类算法实现
谱聚类算法实现谱聚类（Spectral Clustering）是一种基于图论的聚类算法。
它的主要思想是将数据集转化为一个邻接矩阵，并基于该矩阵进行谱分析，从而将数据划分成不同的聚类。
谱聚类算法的实现步骤如下：1. 构建相似度矩阵：对于给定的数据集，计算任意两个样本之间的相似度，并构建相似度矩阵。
相似度可以采用不同的度量方式，如欧氏距离、高斯核函数等。
2. 构建拉普拉斯矩阵：将相似度矩阵转化为拉普拉斯矩阵，常用的有标准化拉普拉斯矩阵和非标准化拉普拉斯矩阵。
3. 特征值分解：对拉普拉斯矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4. 选择特征向量：根据特征值的大小选择前k个特征向量，其中k为聚类的个数。
5. 聚类：将选取的特征向量作为新的数据集，使用传统聚类算法（如k-means）对其进行聚类。
下面是一个简单的Python实现示例：```pythonimport numpy as npfrom sklearn.cluster import KMeansdef spectral_clustering(data, k):# 构建相似度矩阵similarity_matrix = compute_similarity_matrix(data)# 构建拉普拉斯矩阵laplacian_matrix = compute_laplacian_matrix(similarity_matrix)# 特征值分解eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(laplacian_matrix)# 选择特征向量indices = np.argsort(eigenvalues)[:k]selected_eigenvectors = eigenvectors[:, indices]# 聚类kmeans = KMeans(n_clusters=k)kmeans.fit(selected_eigenvectors)labels = bels_return labels# 计算相似度矩阵def compute_similarity_matrix(data):# 这里假设使用欧氏距离作为相似度度量方式similarity_matrix = np.zeros((len(data), len(data)))for i in range(len(data)):for j in range(i+1, len(data)):distance = np.sqrt(np.sum((data[i] - data[j]) ** 2))similarity = np.exp(-distance / 2)similarity_matrix[i, j] = similarity_matrix[j, i] = similarity return similarity_matrix# 构建拉普拉斯矩阵def compute_laplacian_matrix(similarity_matrix):degree_matrix = np.diag(np.sum(similarity_matrix, axis=1))laplacian_matrix = degree_matrix - similarity_matrixreturn laplacian_matrix```以上是谱聚类算法的一种简单实现方法，实际应用中还可以根据具体情况进行适当调整和改进。
谱聚类和kmeans关系
谱聚类和kmeans关系
谱聚类和kmeans是聚类问题中两个常用的算法。
虽然它们都可以用于聚类分析，但它们之间还是有一些差异的，具体如下：
1. 聚类方法
K-means是一种硬聚类方法，即每个样本只能属于一个聚类中心。
而谱聚类是一种软聚类方法，它可以实现集群属性的模糊化，即每个数据点都可能属于多个组。
2. 聚类效果
通常情况下，谱聚类的聚类效果会更好，而 K-means 往往会偏向于形状简单的聚类结果。
在复杂数据集中，谱聚类往往优于K-means。
3. 对异常值的影响
K-means对异常值比较敏感。
如果有噪音数据存在于聚类样本中，很容易导致聚类结果偏离真实数据结构。
而谱聚类通过度量样本之间的相似度来聚类，对于异常值比较容忍。
4. 计算复杂度
K-means时间复杂度一般比谱聚类低。
对于大规模数据集合，K-means 具有更为优秀的算法复杂度。
总之，K-means和谱聚类是两种不同的聚类方法，各有特点。
在选择合适的方法时，需根据现实应用情况综合评估，选择最适合的算法。
谱聚类算法的matlab代码
谱聚类算法的matlab代码谱聚类是一种用于无监督分类和聚类的算法，它可以根据数据之间的相似性将数据分为不同的类别。
在谱聚类中，数据点被表示为一个图的节点，相似性被表示为边的权重，然后将这个图转换为拉普拉斯矩阵，通过对拉普拉斯矩阵进行谱分解得到数据的特征向量，最终将数据点根据特征向量进行划分。
以下是谱聚类算法的matlab代码：1. 载入数据首先，需要从文件中读取数据，并将其转换为矩阵形式。
```matlabdata = dlmread('data.txt'); % 读取数据```2. 构建相似度矩阵在谱聚类中，需要根据数据点之间的相似度构建一个相似度矩阵。
可以使用高斯核函数计算数据点之间的相似度，并将相似度作为矩阵的元素。
```matlabsigma = 1; % 高斯核函数的参数n = size(data, 1); % 数据点的数量W = zeros(n, n); % 相似度矩阵for i=1:nfor j=1:nd = norm(data(i,:) - data(j,:))^2;W(i,j) = exp(-d/(2*sigma^2));endend```3. 构建拉普拉斯矩阵根据相似度矩阵，可以构建拉普拉斯矩阵。
拉普拉斯矩阵可以分为未归一化拉普拉斯矩阵、对称归一化拉普拉斯矩阵和随机游走归一化拉普拉斯矩阵三种形式，具体使用哪种形式可以根据实际情况进行选择。
```matlabD = diag(sum(W, 2)); % 度矩阵L = D - W; % 拉普拉斯矩阵```4. 求解特征值和特征向量通过对拉普拉斯矩阵进行谱分解，可以得到特征值和特征向量。
```matlab[V, ~] = eig(L); % 求解拉普拉斯矩阵的特征向量和特征值```5. 对特征向量进行归一化和降维通常情况下，只需要保留前k个特征向量，并对这些特征向量进行归一化和降维。
```matlabk = 2; % 保留的特征向量数量U = V(:, 1:k); % 选择前k个特征向量U = normc(U); % 对特征向量进行归一化```6. 对数据进行聚类最后，可以使用K-means算法对数据进行聚类。
谱聚类算法讲解ppt课件
sij xi KNN ( x j ) and x j KNN ( xi )
10
Spectral Clustering 谱聚类
谱聚类基础一：图-邻接矩阵
（3）全连接法：
通过核函数定义边权重，常用的有多项式核函数，
高斯核函数和Sigmoid核函数。使用高斯核函数构建邻接
1 1
Rcut(G1 , G2 ) Cut (G1 , G2 )
n1 n2
n1、n 2划分到子图1和子图2的顶点个数
Rcut (G1 , G2 )
1 1
w
ij
n2
iG1 , jG2 n1
(n1 n2 ) 2
wij
量的相似矩阵S
邻接矩阵W。
6
Spectral Clustering 谱聚类
谱聚类基础一：图-邻接矩阵
构建邻接矩阵 W 主要有三种方法 ：
•
-近邻法
•
K近邻法
• 全连接法
7
Spectral Clustering 谱聚类
谱聚类基础一：图-邻接矩阵
（1） -近邻法：
设置一个距离阈值
，然后用欧式距离
2
27
Spectral Clustering 谱聚类
(2) Ratio Cut
令
qi
二分类：
n1
n2 n
n2
n1n
i G1
= 1
i G2
Rcut (G1 , G2 )
w q q
2
iG1 , jG2
谱聚类 簇的选择
谱聚类是一种基于图论的聚类方法，它通过构建和操作数据点之间的相似性图来发现数据的聚类结构。
在谱聚类中，簇的选择通常取决于图中的连通性和节点的权重。
首先，谱聚类通过构建相似性图来表达数据点之间的相似性关系。
图中的每个节点表示一个数据点，每条边表示两个数据点之间的相似性。
边的权重通常由相似性度量决定，例如高斯核函数或余弦相似性等。
接下来，谱聚类通过迭代过程来选择簇的数量。
在每次迭代中，算法将图中的边按照权重进行排序，并选择前k个边进行聚类。
这个k值通常由用户预先设定，也可以通过交叉验证来确定。
在选择簇的数量时，需要考虑图中的连通性和节点的权重。
一般来说，如果一个数据点与多个其他数据点相似，那么它应该属于一个独立的簇。
此外，如果一个数据点与其他数据点的相似性非常高，那么它们也应该被分到同一个簇中。
因此，簇的数量应该根据图的连通性和节点的权重来合理选择。
总之，谱聚类中的簇选择是一个迭代过程，它通过构建和操作相似性图来发现数据的聚类结构。
在选择簇的数量时，需要考虑图的连通性和节点的权重，以便得到更准确和可靠的聚类结果。
谱聚类算法 分型
谱聚类算法分型
谱聚类算法是一种有效的数据挖掘算法，用于从大规模的数据集中形成聚类。
它的工作原理是对用户提供的数据集进行聚类，形成不同的簇，其中一个簇表示相似的点，从而找出呈现规律性的存在。
谱聚类算法最初是由斯坦福大学的朱利安•贝德里姆和其他同事开发的，其优势是比经典聚类算法具有更好的效率和更低的计算量，因此被广泛用于大规模数据聚类和分析，尤其是解决大数据问题。
分型算法是一种常用的数据挖掘算法，用于分类和分析数据。
主要作用是发现隐含在数据集中的模式和规律，可以将相关联的数据点分组入不同类别。
分型算法是一种基于统计学的分类技术，它可以将训练数据归类为一组典型类，以对未知实例进行分类和预测。
它能够从大量的实例中自动构建决策规则，尤其是在分析复杂的实例时，其应用是比较有效的。
谱聚类和pca的关系
谱聚类和pca的关系
谱聚类和PCA都是常用的数据降维方法，但是它们的思路和实现方式
有很大的区别。
下面将详细介绍谱聚类和PCA的关系。
一、谱聚类的基本思想
谱聚类是一种基于谱分析的聚类算法，它的基本思想是将数据集看作
一个图，根据节点之间的相似性构建出一个邻接矩阵，然后通过对邻
接矩阵进行特征分解，得到特征向量，最后将特征向量作为新的数据集，采用其他聚类算法进行聚类。
二、PCA的基本思想
PCA是一种基于矩阵分解的降维算法，它的基本思想是将高维数据通
过线性变换映射到低维空间中，使得映射后的数据能够最大程度地保
留原始数据的信息。
PCA的核心是通过对数据协方差矩阵的特征分解，得到数据集的主成分，将数据集在主成分方向上进行投影，实现降维。
三、谱聚类和PCA的关系
1. 原理基础不同
谱聚类依赖于图论的基础，而PCA则是一种基于矩阵分解的算法，两者的原理基础不同。
2. 应用场景不同
谱聚类通常应用在图像分割、社交网络等领域，而PCA适合处理具有强相关性的高维数据，例如图像处理、金融分析等领域。
3. 实现方法不同
谱聚类采用的是特征分解实现降维，而PCA则是通过矩阵分解实现降维，两者的实现方式不同。
4. 目的不同
谱聚类的目的是将数据划分成不同的簇，而PCA的目的是降低数据维度并且保留尽可能多的信息。
综上所述，谱聚类和PCA虽然都是数据降维方法，但是它们的原理基础、应用场景、实现方法和目的都存在较大的区别。
在实际应用中，应根据具体的场景和需要选择合适的降维算法。
谱聚类算法(Spectral Clustering)原理分析
谱聚类算法(Spectral Clustering)谱聚类(Spectral Clustering, SC)是一种基于图论的聚类方法——将带权无向图划分为两个或两个以上的最优子图，使子图内部尽量相似，而子图间距离尽量距离较远，以达到常见的聚类的目的。
其中的最优是指最优目标函数不同，可以是割边最小分割——如图1的Smallest cut(如后文的Min cut)，也可以是分割规模差不多且割边最小的分割——如图1的Best cut(如后文的Normalized cut)。
图1 谱聚类无向图划分——Smallest cut和Best cut 这样，谱聚类能够识别任意形状的样本空间且收敛于全局最优解，其基本思想是利用样本数据的相似矩阵(拉普拉斯矩阵)进行特征分解后得到的特征向量进行聚类。
1 理论基础对于如下空间向量item-user matrix：如果要将item做聚类，常常想到k-means聚类方法，复杂度为o(tknm)，t为迭代次数，k为类的个数、n为item个数、m为空间向量特征数：1 如果M足够大呢？2 K的选取？3 类的假设是凸球形的？4 如果item是不同的实体呢？5 Kmeans无可避免的局部最优收敛？……这些都使常见的聚类问题变得相当复杂。
1.1 图的表示如果我们计算出item与item之间的相似度，便可以得到一个只有item的相似矩阵，进一步，将item看成了Graph(G)中Vertex(V)，歌曲之间的相似度看成G中的Edge(E)，这样便得到我们常见的图的概念。
对于图的表示(如图2)，常用的有：邻接矩阵：E，e ij表示v i和v i的边的权值，E为对称矩阵，对角线上元素为0，如图2-2。
Laplacian矩阵：L = D – E，其中d i (行或列元素的和)，如图2-3。
图2 图的表示1.2 特征值与L矩阵先考虑一种最优化图像分割方法，以二分为例，将图cut为S和T两部分，等价于如下损失函数cut(S, T)，如公式1所示，即最小(砍掉的边的加权和)。
谱聚类详细入门级介绍
6
0.0 0.0 0.0 0.7 0.8 0.0
拉普拉斯矩阵L=D-W
1
2
3
4
5
6
1
1.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0. 0
2
0.0 1.6 0.0 0.0 0.0 0.0
3
0.0 0.0 1.6 0.0 0.0 0.0
4
0.0 0.0 0.0 1.7 0.0 0.0
5
0.0 0.0 0.0 0.0 1.7 0.0
123456 1 1.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0. 0 2 0.0 1.6 0.0 0.0 0.0 0.0 3 0.0 0.0 1.6 0.0 0.0 0.0 4 0.0 0.0 0.0 1.7 0.0 0.0 5 0.0 0.0 0.0 0.0 1.7 0.0 6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.5
Ratio cut
Cu(G t 1,G2)n11
1 n2
Ncut
Cu(G t 1,G2)d11
1 d2
顶点数
权重和
1、同子图内所有点相似度高 2、不同子图的点相似度低
Minimum Cut、Ratio cut只考虑了1个要求
Ncut考虑了上面2个要求
Spectral Clustering 谱聚类 Unnormalized Spectral Clustering步骤
Spectral Clustering 谱聚类 Minimum Cut方法
0.7
2
7
0.6
0.6
1
0.3
3
0.2 0.2
ห้องสมุดไป่ตู้
5
0.
0.
8
8
谱聚类（spectralclustering）原理总结
谱聚类（spectralclustering）原理总结 谱聚类（spectral clustering）是⼴泛使⽤的聚类算法，⽐起传统的K-Means算法，谱聚类对数据分布的适应性更强，聚类效果也很优秀，同时聚类的计算量也⼩很多，更加难能可贵的是实现起来也不复杂。
在处理实际的聚类问题时，个⼈认为谱聚类是应该⾸先考虑的⼏种算法之⼀。
下⾯我们就对谱聚类的算法原理做⼀个总结。
1. 谱聚类概述 谱聚类是从图论中演化出来的算法，后来在聚类中得到了⼴泛的应⽤。
它的主要思想是把所有的数据看做空间中的点，这些点之间可以⽤边连接起来。
距离较远的两个点之间的边权重值较低，⽽距离较近的两个点之间的边权重值较⾼，通过对所有数据点组成的图进⾏切图，让切图后不同的⼦图间边权重和尽可能的低，⽽⼦图内的边权重和尽可能的⾼，从⽽达到聚类的⽬的。
乍⼀看，这个算法原理的确简单，但是要完全理解这个算法的话，需要对图论中的⽆向图，线性代数和矩阵分析都有⼀定的了解。
下⾯我们就从这些需要的基础知识开始，⼀步步学习谱聚类。
2. 谱聚类基础之⼀：⽆向权重图 由于谱聚类是基于图论的，因此我们⾸先温习下图的概念。
对于⼀个图G，我们⼀般⽤点的集合V和边的集合E来描述。
即为G(V,E)。
其中V即为我们数据集⾥⾯所有的点(v_1, v_2,...v_n)。
对于V中的任意两个点，可以有边连接，也可以没有边连接。
我们定义权重w_{ij}为点v_i和点v_j之间的权重。
由于我们是⽆向图，所以w_{ij} = w_{ji}。
对于有边连接的两个点v_i和v_j，w_{ij} > 0,对于没有边连接的两个点v_i和v_j，w_{ij} = 0。
对于图中的任意⼀个点v_i，它的度d_i定义为和它相连的所有边的权重之和，即d_i = \sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij} 利⽤每个点度的定义，我们可以得到⼀个nxn的度矩阵D,它是⼀个对⾓矩阵，只有主对⾓线有值，对应第i⾏的第i个点的度数，定义如下：\mathbf{D} = \left( \begin{array}{ccc} d_1 & \ldots & \ldots \\ \ldots & d_2 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \ldots & \ldots & d_n\end{array} \right) 利⽤所有点之间的权重值，我们可以得到图的邻接矩阵W，它也是⼀个nxn的矩阵，第i⾏的第j个值对应我们的权重w_{ij}。
谱聚类的解读
谱聚类的解读
谱聚类是一种基于图论的聚类方法，通过对样本数据的拉普拉斯矩阵的特征向量进行聚类，从而达到对样本数据聚类的目的。
谱聚类可以将高维空间的数据映射
到低维，然后在低维空间用其它聚类算法（如KMeans，c-均值聚类）进行聚类。
谱聚类的思想是将样本看作顶点，样本间的相似度看作带权的边，从而将聚类问题转为图分割问题：找到一种图分割的方法使得连接不同组的边的权重尽可能低（这意味着组间相似度要尽可能低），组内的边的权重尽可能高（这意味着组内相似度要尽可能高）。
谱聚类的优势在于它可以处理复杂的形状和数据结构，而且可以很好地处理噪声和异常值。
此外，谱聚类还可以发现非凸形状的数据群集，并且对于非线性数据的聚类效果也较好。
然而，谱聚类也有一些局限性，例如它对参数的选择很敏感，可能会受到数据规模和数据分布的影响。
总之，谱聚类是一种基于图论的聚类方法，通过对样本数据的拉普拉斯矩阵的特征向量进行聚类，从而达到对样本数据聚类的目的。
它可以处理复杂的形状和数据结构，而且可以很好地处理噪声和异常值。
谱聚类的原理
谱聚类的原理
“哇，这道数学题好难啊！”我正和小伙伴们一起做作业，突然发出了这样的感叹。
大家都凑过来，看着我面前的题目发愁。
这时候，老师走了过来，笑着说：“别着急，遇到难题要慢慢思考。
就像科学家们研究那些复杂的原理一样，只要用心，总能找到解决办法。
”
嘿，你们知道谱聚类吗？这可是个超厉害的东西呢！谱聚类就像是一个神奇的魔法师，能把一堆乱七八糟的东西整理得井井有条。
谱聚类的结构呢，有一些关键的部件。
比如说，有个像指南针一样的东西，能帮我们找到方向，这个在谱聚类里呢，就像是一个重要的公式，它能告诉我们怎么把不同的东西分类。
还有呢，就像我们玩拼图有不同的小块，谱聚类也有一些小块，这些小块可以理解为数据点。
它们组合在一起，通过那个神奇的公式，就能把相似的东西放在一起啦。
谱聚类的主要技术和工作原理是啥呢？哎呀，这就好比我们分水果。
有苹果、香蕉、橘子啥的，我们一看就知道苹果是苹果，香蕉是香蕉。
谱聚类也是这样，它会看这些数据点的特点，然后把相似的放在一起。
它会计算这些数据点之间的距离，近的就放在一起，远的就分开。
就像我们和好朋友走得近，和不认识的人离得远一样。
那谱聚类在生活中有啥用呢？有一次，我和妈妈去超市买东西。
超市里的商品可多啦，有吃的、用的、玩的。
这时候，超市的工作人员就像会谱聚类魔法一样，把同类的商品放在一起。
这样我们找东西就方便多啦！如果没有谱聚类这种方法，那超市不就乱成一锅粥了吗？我们找东西得找半天，多麻烦呀！
谱聚类真的好厉害呀！它能让我们的生活变得更方便。
我觉得谱聚类就像一个超级英雄，默默地为我们的生活带来便利。
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谱聚类
七月算法邹博
2015年11月15日
9月机器学习班2/21
谱和谱聚类
☐方阵作为线性算子，它的所有特征值的全体统称方阵的谱。
⏹方阵的谱半径为最大的特征值
⏹矩阵A 的谱半径：(A T A)的最大特征值
☐谱聚类是一种基于图论的聚类方法，通过对样本数据的拉普拉斯矩阵的特征向量进行聚类，从而达到对样本数据聚类的目的。
9月机器学习班3/21
谱分析的整体过程
☐给定一组数据x 1,x 2,...x n ，记任意两个点之间的相似度(“距离”的减函数)为s ij =<xi,xj>，形成相似度图(similarity graph)：G=(V,E) 。
如果x i 和x j 之间的相似度s ij 大于一定的阈值，那么，两个点是连接的，权值记做s ij 。
☐接下来，可以用相似度图来解决样本数据的聚类问题：找到图的一个划分，形成若干个组(Group)，使得不同组之间有较低的权值，组内有较高的权值。
9月机器学习班4/21
若干概念
☐无向图G=(V,E)
☐邻接矩阵
☐顶点的度di →度矩阵D (对角阵)
9月机器学习班5/21
若干概念
☐子图A 的指示向量
☐A 和B 是图G 的不相交子图，则定义子图的连接权：
9月机器学习班6/21
相似度图G 的建立方法
☐全连接图
⏹高斯相似度函数：距离越大，相似度越小
☐ε近邻图
⏹给定参数ε
⏹思考：如何选择ε？
☐图G 的权值的均值
☐图G 的最小生成树的最大边
☐k 近邻图(k-nearest neighbor graph)
⏹若vi 的k 最近邻包含vj ，vj 的k 最近邻不一定包含vi ：有向图⏹忽略方向的图，往往简称“k 近邻图”
⏹两者都满足才连接的图，称作“互k 近邻图(mutual)”
9月机器学习班
7/21
相似度图G 的举例
9月机器学习班8/21
权值比较
☐ε近邻图：ε=0.3，“月牙部分”非常紧的连接了，但“高斯部
分”很多都没连接。
当数据有不同的“密度”时，往往发生这种问题。
☐k 近邻图：可以解决数据存在不同密度时有些无法连接的问题，
甚至低密度的“高斯部分”与高密度的“月牙部分”也能够连接。
同时，虽然两个“月牙部分”的距离比较近，但k 近邻还可以把它们区分开。
☐互k 近邻图：它趋向于连接相同密度的部分，而不连接不同密度
的部分。
这种性质介于ε近邻图和k 近邻图之间。
如果需要聚类不同的密度，这个性质非常有用。
☐全连接图：使用高斯相似度函数可以很好的建立权值矩阵。
但缺点是建立的矩阵不是稀疏的。
☐总结：首先尝试使用k 近邻图。
9月机器学习班9/21
拉普拉斯矩阵及其性质
☐拉普拉斯矩阵：L = D –W
☐L 是对称半正定矩阵；
☐L 的最小特征值是0，相应的特征向量是☐L 有n 个非负实特征值
9月机器学习班10/21拉普拉斯矩阵的定义
☐计算点之间的邻接相似度矩阵W ⏹若两个点的相似度值越大，表示这两个点越相似；⏹同时，定义w ij =0表示v i ,v j 两个点没有任何相似性(无穷远)☐W 的第i 行元素的和为v i 的度。
形成顶点度对角阵D
⏹d ii 表示第i 个点的度
⏹除主对角线元素，D 其他位置为0☐未正则的拉普拉斯矩阵：L=D-W ☐正则拉普拉斯矩阵⏹对称拉普拉斯矩阵
⏹随机游走拉普拉斯矩阵
☐Random walk
9月机器学习班11/21
谱聚类算法：未正则拉普拉斯矩阵☐输入：n 个点{p i }，簇的数目k
⏹
计算n ×n 的相似度矩阵W 和度矩阵D ；⏹
计算拉普拉斯矩阵L=D-W ；⏹
计算L 的前k 个特征向量u 1,u 2,...,u k ；⏹
将k 个列向量u 1,u 2,...,u k 组成矩阵U ，U ∈R n ×k ；⏹
对于i=1,2,...,n,令y i ∈R k 是U 的第i 行的向量；⏹使用k-means 算法将点(y i )i=1,2,...,n 聚类成簇
C 1,C 2,...C k ；
⏹输出簇A 1,A 2,...A k ，其中，Ai={j|y j ∈Ci}
9月机器学习班12/21
谱聚类算法：随机游走拉普拉斯矩阵☐输入：n 个点{p i }，簇的数目k
⏹
计算n ×n 的相似度矩阵W 和度矩阵D ；⏹
计算正则拉普拉斯矩阵L rw =D -1(D-W)；⏹
计算L rw 的前k 个特征向量u 1,u 2,...,u k ；⏹
将k 个列向量u 1,u 2,...,u k 组成矩阵U ，U ∈R n ×k ；⏹
对于i=1,2,...,n,令y i ∈R k 是U 的第i 行的向量；⏹使用k-means 算法将点(y i )i=1,2,...,n 聚类成簇
C 1,C 2,...C k ；
⏹输出簇A 1,A 2,...A k ，其中，Ai={j|y j ∈Ci}
9月机器学习班13/21
谱聚类算法：对称拉普拉斯矩阵☐输入：n 个点{p i }，簇的数目k
⏹
计算n ×n 的相似度矩阵W 和度矩阵D ；⏹
计算正则拉普拉斯矩阵L sym =D -1/2(D-W) D -1/2；⏹
计算L sym 的前k 个特征向量u 1,u 2,...,u k ；⏹
将k 个列向量u 1,u 2,...,u k 组成矩阵U ，U ∈R n ×k ；⏹
对于i=1,2,...,n,令y i ∈R k 是U 的第i 行的向量；⏹
对于i=1,2,...,n,将y i ∈R k 依次单位化，使得|y i |=1；⏹
使用k-means 算法将点(y i )i=1,2,...,n 聚类成簇C 1,C 2,...C k ；
⏹输出簇A 1,A 2,...A k ，其中，Ai={j|y j ∈Ci}
9月机器学习班14/21
一个实例
9月机器学习班15/21
Code
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聚类效果
9月机器学习班17/21
聚类失败的情况
9月机器学习班18/21
进一步思考
☐谱聚类中的K ，如何确定？
⏹考察计算得到的各个特征值λ：选择k ，使得λ1, λ2,…,λk 很小，而λk+1相对比较大。
☐最后一步的K-Means ，作用是什么？
⏹事实上，目标函数是关于子图划分指示向量的函数，该向量的值根据子图划分确定，是离散的若干值。
但由于问题是NP 的，转换成求连续实数域上的解，最后再用K-Means 的办法离散化。
⏹可以用其他方法代替。
如使用超平面，或者使用k 个特征向量张成的子空间达到同样的目的。
☐未正则拉普拉斯矩阵、对称拉普拉斯矩阵、随机游走拉普拉斯矩阵，首选哪一个？
⏹随机游走拉普拉斯矩阵
☐拉普拉斯矩阵除了通过切割图的方法，可以通过随机游走、扰动论等理论来解释。
9月机器学习班19/21
随机游走和拉普拉斯矩阵的关系
☐图论中的随机游走是一个随机过程，它从一个顶点跳转到另外一个顶点。
谱聚类即找到图的一个划分，使得随机游走在相同的簇中停留而几乎不会游走到其他簇。
☐
转移矩阵：从顶点vi 跳转到顶点vj 的概率正比于边的权值wij
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