复数高考考点解析(文科)

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2023年统考版《师说》高考数学复习(文科)课件第12章复数、推理与证明、算法

(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2
＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明3个常用结论
1+i
1−i
2
1．(1±i) ＝±2i；＝i；＝－i；
1−i
1+i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)；
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋
第一节数系的扩充与复数的引入
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示及其几何意义．
4．能进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
·考向预测·
考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的
4a = 4
所以，ቊ
，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.
6b = 6
)
(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(
3
3
A．－1－ i B．－1＋ i
2
3
C．－＋i
2
3
D．－－i
2
2
答案： (3)B
3+2i
解析： (3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝ −2i ＝
3+2i ·i −2+3i
3
＝
＝－1＋
i.
−2i·i
2
2
)
反思感悟复数代数形式运算问题的解题策略
复数的

精品解析：2023年全国高考甲卷数学(文)试题(解析版)

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1．答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己地姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上地准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定地位置贴好条形码.2．回答选择题时,选出每小题解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他解析标号.回答非选择题时,将解析写在答题卡上、写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 设集合5{2,1,0,1,2},02A B xx ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣,则A B = （）A. {}0,1,2 B. {2,1,0}-- C. {0,1}D. {1,2}【解析】A 【解析】【分析】根据集合地交集运算即可解出．【详解】因为{}2,1,0,1,2A =--,502B xx ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣,所以{}0,1,2A B = ．故选:A.2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民地垃圾分类知识．为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题地正确率如下图:则（）A. 讲座前问卷答题地正确率地中位数小于70%B. 讲座后问卷答题地正确率地平均数大于85%C. 讲座前问卷答题地正确率地标准差小于讲座后正确率地标准差D. 讲座后问卷答题地正确率地极差大于讲座前正确率地极差【解析】B 【解析】【分析】由图表信息,结合中位数、平均数、标准差、极差地概念,逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%75%70%2+>,所以A 错；讲座后问卷答题地正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题地正确率地平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题地正确率更加分散,所以讲座前问卷答题地正确率地标准差大于讲座后正确率地标准差,所以C 错；讲座后问卷答题地正确率地极差为100%80%20%-=,讲座前问卷答题正确率地极差为95%60%35%20%-=>,所以D 错.故选:B3. 若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A.B.C.D. 【解析】D的.【解析】【分析】根据复数代数形式地运算法则,共轭复数地概念以及复数模地计算公式即可求出．【详解】因为1i z =+,所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-,所以i 3z z +==故选:D.4. 如图,网格纸上绘制地是一个多面体地三视图,网格小正方形地边长为1,则该多面体地体积为（）A. 8B. 12C. 16D. 20【解析】B 【解析】【分析】由三视图还原几何体,再由棱柱地体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体,如图,则该直四棱柱地体积2422122V +=⨯⨯=.故选:B.5. 将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭地图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ,若C 关于y 轴对称,则ω地最小值是（）A.16B.14C.13D.12【解析】C 【解析】【分析】先由平移求出曲线C 地解析式,再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ,即可求出ω地最小值.【详解】由题意知:曲线C 为sin sin(2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,又C 关于y 轴对称,则,232k k ωππππ+=+∈Z ,解得12,3k k ω=+∈Z ,又0>ω,故当0k =时,ω地最小值为13.故选:C.6. 从分别写有1,2,3,4,5,6地6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到地2张卡片上地数字之积是4地倍数地概率为（）A.15B.13C.25D.23【解析】C 【解析】【分析】先列举出所有情况,再从中挑出数字之积是4地倍数地情况,由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张,共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况,其中数字之积为4地倍数地有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况,故概率为62155=.故选:C.7. 函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦地图象大致为（）A. B.C. D.【解析】A 【解析】【分析】由函数地奇偶性结合指数函数、三角函数地性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22xxf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦,则()()()()()33cos 33cos xx x x f x x x f x ---=--=--=-,所以()f x 为奇函数,排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,330,cos 0x xx -->>,所以()0f x >,排除C.故选:A.8. 当1x =时,函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-,则(2)f '=（）A. 1- B. 12-C.12D. 1【解析】B 【解析】【分析】根据题意可知()12f =-,()10f '=即可解得,a b ,再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+,所以依题可知,()12f =-,()10f '=,而()2a b f x x x '=-,所以2,0b a b =--=,即2,2a b =-=-,所以()222f x x x '=-+,因此函数()f x 在()0,1上递增,在()1,+∞上递减,1x =时取最大值,满足题意,即有()112122f '=-+=-．故选:B.9. 在长方体1111ABCD A B C D -中,已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成地角均为30°,则（）A. 2AB AD= B. AB 与平面11AB C D 所成地角为30°C. 1AC CB =D. 1B D 与平面11BB C C 所成地角为45︒【解析】D 【解析】【分析】根据线面角地定义以及长方体地结构特征即可求出．【详解】如下图所示:不妨设1,,AB a AD b AA c ===,依题以及长方体地结构特征可知,1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠,1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠,所以11sin 30c b B D B D==,即b c =,12B D c ==,解得a =．对于A ,AB a =,AD b =,AB =,A 错误；对于B ,过B 作1BE AB ⊥于E ,易知BE ⊥平面11AB C D ,所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠,因为tan c BAE a ∠==所以30BAE ∠≠ ,B 错误；对于C,AC ==,1CB ==,1AC CB ≠,C 错误；对于D ,1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠,11sin 2CD a DB C B D c ∠===,而1090DB C <∠<,所以145DB C ∠=．D 正确．故选:D ．10. 甲、乙两个圆锥地母线长相等,侧面展开图地圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙,则=VV 甲乙（）A.B.C.D.【解析】C 【解析】【分析】设母线长为l ,甲圆锥底面半径为1r ,乙圆锥底面圆半径为2r ,根据圆锥地侧面积公式可得122r r =,再结合圆心角之和可将12,r r 分别用l 表示,再利用勾股定理分别求出两圆锥地高,再根据圆锥地体积公式即可得解.【详解】解:设母线长为l ,甲圆锥底面半径为1r ,乙圆锥底面圆半径为2r ,则11222S rl r S r l r ππ===甲乙,所以122r r =,又12222r r l l πππ+=,则121r rl+=,所以1221,33r l r l ==,所以甲圆锥地高1h ==,乙圆锥地高2h ==,所以2112221313r h V V r h ππ===甲乙.故选:C.11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>地离心率为13,12,A A 分别为C 地左、右顶点,B 为C 地上顶点．若121BA BA ⋅=-,则C 地方程为（）A. 2211816x y += B. 22198x y += C. 22132x y += D. 2212x y +=【解析】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ,解得关于22,a b 地等量关系式,即可得解.【详解】解:因为离心率13c e a ===,解得2289b a =,2289=b a ,12,A A 分别为C 左右顶点,则()()12,0,,0A a A a -,B 为上顶点,所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=- BA a b BA a b ,因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ,将2289=b a 代入,解得229,8a b ==,故椭圆地方程为22198x y +=.故选:B.12. 已知910,1011,89m m m a b ==-=-,则（）A. 0a b >> B. 0a b >> C. 0b a >> D. 0b a>>【解析】A 【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数地单调性即可知9log 101m =>,再利用基本不等式,换底公式可得lg11m >,8log 9m >,然后由指数函数地单调性即可解出．【详解】由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>,而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以lg10lg11lg 9lg10>,即lg11m >,所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以lg 9lg10lg8lg 9>,即8log 9m >,所以8log 989890m b =-<-=．综上,0a b >>．故选:A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ,则m =______________．【解析】34-##0.75-的【分析】直接由向量垂直地坐标表示求解即可.【详解】由题意知:3(1)0a b m m ⋅=++=,解得34m =-.故解析为:34-.14. 设点M 在直线210x y +-=上,点(3,0)和(0,1)均在M 上,则M 地方程为______________．【解析】22(1)(1)5x y -++=【解析】【分析】设出点M 地坐标,利用(3,0)和(0,1)均在M 上,求得圆心及半径,即可得圆地方程.【详解】解:∵点M 在直线210x y +-=上,∴设点M 为(,12)-a a ,又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上,∴点M 到两点地距离相等且为半径R ,==R ,222694415-++-+=a a a a a ,解得1a =,∴(1,1)M -,R =M 地方程为22(1)(1)5x y -++=.故解析为:22(1)(1)5x y -++=15. 记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>地离心率为e ,写出满足条件"直线2y x =与C 无公共点"地e 地一个值______________．【解析】2（满足1e <≤皆可）【解析】【分析】根据题干信息,只需双曲线渐近线by x a =±中02b a<≤即可求得满足要求地e 值.【详解】解:2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,所以C 地渐近线方程为b y x a=±,结合渐近线地特点,只需02b a <≤,即224b a≤,可满足条件"直线2y x =与C 无公共点"所以==≤=c e a 又因为1e >,所以1e <≤,故解析为:2（满足1e <≤皆可）16. 已知ABC 中,点D 在边BC 上,120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时,BD =________．1-##-【解析】【分析】设220CD BD m ==>,利用余弦定理表示出22AC AB 后,结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>,则在ABD △中,22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++,在ACD △中,22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-,所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++44≥=-,当且仅当311mm +=+即1m =-时,等号成立,所以当ACAB取最小值时,1m =.故解析为1-.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17. 甲、乙两城之间地长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车地运行情况,随机调查了甲、乙两城之间地500个班次,得到下面列联表:准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间地长途客车准点地概率；（2）能否有90%地把握认为甲、乙两城之间地长途客车是否准点与客车所属公司有关？附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++, ()2P K k…0.1000.0500.010 k 2.706 3.841 6.635【解析】（1）A,B两家公司长途客车准点地概率分别为12 13,78（2）有【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型地概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算2K,再利用临界值表比较即可得结论.【小问1详解】根据表中数据,A共有班次260次,准点班次有240次,设A家公司长途客车准点事件为M,则24012 ()26013==P M；B共有班次240次,准点班次有210次,设B家公司长途客车准点事件为N,则210 ()27840==P N.A 家公司长途客车准点地概率为1213；B 家公司长途客车准点地概率为78.【小问2详解】列联表准点班次数未准点班次数合计A 24020260B 21030240合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯,根据临界值表可知,有90%地把握认为甲、乙两城之间地长途客车是否准点与客车所属公司有关.18. 记n S 为数列{}n a 地前n 项和．已知221nn S n a n+=+．（1）证明:{}n a 是等差数列；（2）若479,,a a a 成等比数列,求n S 地最小值．【解析】（1）证明见解析；（2）78-．【解析】【分析】（1）依题意可得222n nS n na n +=+,根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,作差即可得到11n n a a --=,从而得证；（2）由（1）及等比中项地性质求出1a ,即可得到{}n a 地通项公式与前n 项和,再根据二次函数地性质计算可得．【小问1详解】解:因为221nn S n a n+=+,即222n n S n na n +=+①,当2n ≥时,()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②,①-②得,()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----,即()12212211n n n a n na n a -+-=--+,即()()()1212121n n n a n a n ----=-,所以11n n a a --=,2n ≥且N*n ∈,所以{}n a 是以1为公差地等差数列．【小问2详解】解:由（1）可得413a a =+,716a a =+,918a a =+,又4a ,7a ,9a 成等比数列,所以2749a a a =⋅,即()()()2111638a a a +=+⋅+,解得112a =-,所以13n a n =-,所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭,所以,当12n =或13n =时()min 78n S =-．19. 小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭地包装盒,包装盒如下图所示:底面ABCD 是边长为8（单位:cm ）地正方形,,,,EAB FBC GCD HDA 均为正三角形,且它们所在地平面都与平面ABCD 垂直．（1）证明://EF 平面ABCD ；（2）求该包装盒地容积（不计包装盒材料地厚度）．【解析】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）分别取,AB BC 地中点,M N ,连接MN ,由平面知识可知,EM AB FN BC ⊥⊥,EM FN =,依题从而可证EM ⊥平面ABCD ,FN ⊥平面ABCD ,根据线面垂直地性质定理可知//EM FN ,即可知四边形EMNF 为平行四边形,于是//EF MN ,最后根据线面平行地判定定理即可证出；（2）再分别取,AD DC 中点,K L ,由（1）知,该几何体地体积等于长方体KMNL EFGH -地体积加上四棱锥B MNFE -体积地4倍,即可解出．【小问1详解】如下图所示:,分别取,AB BC 地中点,M N ,连接MN ,因为,EAB FBC 为全等地正三角形,所以,EM AB FN BC ⊥⊥,EM FN =,又平面EAB ⊥平面ABCD ,平面EAB ⋂平面ABCD AB =,EM ⊂平面EAB ,所以EM ⊥平面ABCD ,同理可得FN ⊥平面ABCD ,根据线面垂直地性质定理可知//EM FN ,而EM FN =,所以四边形EMNF 为平行四边形,所以//EF MN ,又EF ⊄平面ABCD ,MN ⊂平面ABCD ,所以//EF 平面ABCD ．【小问2详解】如下图所示:,分别取,AD DC 中点,K L ,由（1）知,//EF MN 且EF MN =,同理有,//,HE KM HE KM =,//,HG KL HG KL =,//,GF LN GF LN =,由平面知识可知,BD MN ⊥,MN MK ⊥,KM MN NL LK ===,所以该几何体地体积等于长方体KMNL EFGH -地体积加上四棱锥B MNFE-体积地4倍．因为MN NL LK KM ====,8sin 60EM == 点B 到平面MNFE 地距离即为点B 到直线MN 地距离d ,d =,所以该几何体地体积(2143V =⨯+⨯⨯=+=20. 已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+,曲线()y f x =在点()()11,x f x 处地切线也是曲线()y g x =地切线．（1）若11x =-,求a ；（2）求a 地取值范围．【解析】（1）3 （2）[)1,-+∞【解析】【分析】（1）先由()f x 上地切点求出切线方程,设出()g x 上地切点坐标,由斜率求出切点坐标,再由函数值求出a 即可；（2）设出()g x 上地切点坐标,分别由()f x 和()g x 及切点表示出切线方程,由切线重合表示出a ,构造函数,求导求出函数值域,即可求得a 地取值范围.【小问1详解】由题意知,(1)1(1)0f -=---=,2()31x f x '=-,(1)312f '-=-=,则()y f x =在点()1,0-处地切线方程为2(1)y x =+,即22y x =+,设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ,()2g x x '=,则22()22g x x '==,解得21x =,则(1)122g a =+=+,解得3a =；【小问2详解】2()31x f x '=-,则()y f x =在点()11(),x f x 处地切线方程为()()32111131()y x x x x x --=--,整理得()2311312y x x x =--,设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ,()2g x x '=,则22()2g x x '=,则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-,整理得2222y x x x a =-+,则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩,整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭,令432931()2424h x x x x =--+,则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-,令()0h x '>,解得103x -<<或1x >,令()0h x '<,解得13x <-或01x <<,则x 变化时,(),()h x h x '地变化情况如下表:x1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭13-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,11()1,+∞()h x '-0+0-+()h x527141-则()h x 地值域为[)1,-+∞,故a 地取值范围为[)1,-+∞.21. 设抛物线2:2(0)C y px p =>地焦点为F ,点(),0D p ,过F 地直线交C 于M ,N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时,3MF =．（1）求C 地方程；（2）设直线,MD ND 与C 地另一个交点分别为A ,B ,记直线,MN AB 地倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时,求直线AB 地方程．【解析】（1）24y x =；（2）:4AB x =+.【解析】【分析】（1）由抛物线地定义可得=2pMF p +,即可得解；（2）设点地坐标及直线:1MN x my =+,由韦达定理及斜率公式可得2MN AB k k =,再由差角地正切公式及基本不等式可得AB k =,设直线:AB x n =+,结合韦达定理可解.【小问1详解】抛物线地准线为2px =-,当MD 与x 轴垂直时,点M 地横坐标为p ,此时=32pMF p +=,所以2p =,所以抛物线C 地方程为24y x =；【小问2详解】设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,直线:1MN x my =+,由214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my --=,120,4y y ∆>=-,由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y -==+-,34223434444AB y y k y y y y -==+-,直线112:2x MD x y y -=⋅+,代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=,130,8y y ∆>=-,所以322y y =,同理可得412y y =,所以()34124422MNAB k k y y y y ===++又因为直线MN 、AB 地倾斜角分别为,αβ,所以tan tan 22MN AB k k αβ===,若要使αβ-最大,则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设220MN AB k k k ==>,则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ--===≤=+++,当且仅当12k k =即k =,等号成立,所以当αβ-最大时,AB k =,设直线:AB x n =+,代入抛物线方程可得240y n --=,34120,4416y y n y y ∆>=-==-,所以4n =,所以直线:4AB x =+.【点睛】关键点点睛:解决本题地关键是利用抛物线方程对斜率进行化简,利用韦达定理得出坐标间地关系.（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做地第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中,曲线1C地参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）,曲线2C地参数方程为26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．（1）写出1C 地普通方程；（2）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线3C 地极坐标方程为2cos sin 0θθ-=,求3C 与1C 交点地直角坐标,及3C 与2C 交点地直角坐标．【解析】（1）()2620y x y =-≥；（2）31,C C 地交点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭,()1,2,32,C C 地交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭,()1,2--．【解析】【分析】(1)消去t ,即可得到1C 地普通方程；(2)将曲线23,C C 地方程化成普通方程,联立求解即解出．【小问1详解】因为26t x +=,y =,所以226y x +=,即1C 普通方程为()2620y x y =-≥．【小问2详解】因为2,6sx y +=-=,所以262x y =--,即2C 地普通方程为()2620y x y =--≤,由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=,即3C 地普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩,解得:121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩,即交点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭,()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩,解得:121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩,即交点坐标1,12⎛⎫--⎪⎝⎭,()1,2--．[选修4-5:不等式选讲]23. 已知a ,b ,c 均为正数,且22243a b c ++=,证明:（1）23a b c ++≤；（2）若2b c =,则113a c+≥．【解析】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据()22222242a b c a b c ++=++,利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得043a c <+≤,即可得到1143a c ≥+,再根据权方和不等式即可得证.【小问1详解】证明:由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦,所以23a b c ++≤,当且仅当21a b c ===时,取等号,所以23a b c ++≤；【小问2详解】证明:因为2b c =,0a >,0b >,0c >,由（1）得243a b c a c ++=+≤,的为即043a c <+≤,所以1143a c ≥+,由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c++=+≥=≥++,当且仅当124a c =,即1a =,12c =时取等号,所以113a c+≥.。

2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)

2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。

2021高考数学复数历年来高考习题荟萃（2020-2021）（含解析）(1)

zi，+2=2z设=2a+2bi在复平面内对应的．第四象限，故答案为D．对应的点的坐标是( ) ()(+为虚数单位1i iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】 B【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,因此对应点(-1,1).选B 选B9.【2021山东】（1）复数z 知足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( D )A. 2+i C. 5+i10.【2021上海理】设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，那么________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩11.【2021四川理】2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是（）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 12.【2021全国新课改II 】设复数z 知足(1i )z = 2 i ，那么z =（A ）1+ i（B ）1 i（C ）1+ i（D ）1 i答案：A【解法一】将原式化为z =2i 1- i ,再分母实数化即可.【解法二】将各选项一一查验即可.13.【2021课标1】假设复数z 知足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为()A 、－4（B ）－45（C ）4（D ）45【命题用意】此题要紧考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【点评】此题考查复数代数形式的四那么运算及复数的大体概念，考查大体运算能力.先把Z 化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数概念得出1z i =--. 10.【2021高考湖北文12】.若=a+bi （a ，b 为实数，i 为虚数单位），那么a+b=____________. 【答案】3【点评】此题考查复数的相等即相关运算.此题假设第一对左侧的分母进行复数有理化，也能够求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，大体概念（共轭复数），大体运算等的考查.11.【2021高考广东文1】设i 为虚数单位，那么复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i - 【答案】D12.【2102高考福建文1】复数（2+i ）2等于 +4i +4i +2i +2i 【答案】A.【解析】i i i 43)22()14()2(2+=++-=+，应选A.13.【2102高考北京文2】在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 【答案】A14.【2021高考天津文科1】i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+i （C ）1+i （D ）-1-i【答案】C或,复数a+为纯虚数0,0b00b,应选B.=+(i为虚数单位年高考（山东理））假设复数)117i-i D．3--B．35i【解析】1iz i-=2021年高考（大纲理）【考点定位】此题要紧考查复数的代数运算在复平面内所对应的图形的面积为__8__.3416．（2021年高考（上海春））假设复数z 知足1(iz i i =+为虚数单位),那么z =1i -_______.34（江苏））设a b ∈R ，,117ii 12ia b -+=-(i 为虚数单位),那么a b +的值为____. 7. 【考点】复数的运算和复数的概念.【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,因此=5=3a b ，,=8a b + .2020年高考复数1.【2020安徽理】设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，那么实数a 为（A ）2 (B) -2 (C) 1-2(D) 12A. 【命题用意】此题考查复数的大体运算，属简单题.【解析】设()aibi b R i1+∈2-=，那么1+(2)2ai bi i b bi =-=+，因此1,2b a ==.应选A. 2.【2020北京理】复数i 212i-=+ A. i B. i - C. 43i 55-- D. 43i 55-+【解析】：i 212ii -=+，选A 。

高考数学(2、复数的运算)

高考数学（文科）高频考点（2、复数的运算）一、历年考点：1、复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

2、复数的实部、虚部——a+bi=c+di ⇔ a=c,且 b=d 。

3、复数代数形式的四则运算复数的加法法则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i复数的减法法则(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i复数的乘法法则—(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i复数的除法法则—di ++c bi a =22d c bd ac +++22dc ad -bc +i注：虚数单位i 2=-1 i 4k =1 i 4k+1=I i 4k+2=-1 i 4k+3=-i(k ∈N) i 1=-i (1±i)2=±2i i -1i 1+=i i11+-i =-i 4、共轭复数（1）当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

（2）复数z 的共轭复数用 z 表示，即如果z=a+bi ，那么z =a-bi ．5、复平面的概念(1)复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面.复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.(2)复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ；复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ ；复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ . 注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量 OZ ，规定相等的向量表示同一复数.(3)复数的模向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知:||||0,)z a bi r r r R =+=≥∈ 练习题1、复数z 满足(1)2z i i +=，则复数z 的实部与虚部之差为（ A ）A.0B.1-C.3-D.32、已知复数1z i =+，则221z zz --＝（B ）A. 2B.2iC. -2D.-2i3、若将复数2i i +表示为a bi + (,,a b R i ∈是虚数单位)的形式，则ba 的值为 ( C )A ．2B ．12-C ．-2D ．124、复数512()12mi i m R i -=-∈+，则m 的值为（ A ）A ．0B ．-1C ．1D ．25、若复数(t ∈R)的实部与虚部之和为0，则t 为( C )A ．-1B ．0C ．1D ．2历年高考题1、已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（）（A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i2、若a 为实数，且231aii i +=++，则a =（）A ．-4B ．-3C ．3D ．43、设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（）（A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i -4、若43i z =+，则||zz =（）（A ）1 （B ）1- （C ）43+i 55 （D ）43i 55-5、设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（）A ．－3B ．－2C ．2D ．3。

精品解析：2023年高考全国甲卷数学(文)真题(解析版)

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为全集，集合，所以，又，所以，故选：A.2.（）A. B. 1C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】故选：C.3. 已知向量，则（）{}1,2,3,4,5U ={}{}1,4,2,5M N ==U N M = ð{}2,3,5{}1,3,4{}1,2,4,5{}2,3,4,5{1,2,3,4,5}U ={1,4}M ={}2,3,5U M =ð{2,5}N ={2,3,5}U N M = ð()()()351i 2i 2i +=+-1-1i-1i+()()351i 51i 1i(2i)(2i)5+-==-+-()()3,1,2,2a b ==cos ,a b a b +-=A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为，所以，则，所以.故选：B.4. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，所以这2名学生来自不同年级的概率为.故选：D.5. 记为等差数列的前项和．若，则（）A. 25 B. 22C. 20D. 15【答案】C 【解析】【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．117()(),,a b a b a b a b +-+⋅-(3,1),(2,2)a b ==()()5,3,1,1a b a b +=-=- a b b +==== ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ()()cos ,a b a b a b a b a b a b+⋅-+-===+- 1613122324C 6=1122C C 4=4263=n S {}n a n 264810,45a a a a +==5S ={}n a n {}n a n【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,又，解得：，所以．故选：C.方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C.6. 执行下边的程序框图，则输出的（）A. 21B. 34C. 55D. 89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行即可解出．【详解】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；{}n a d 1a 2611510a a a d a d +=+++=135a d +=()()48113745a a a d a d =++=11,2d a ==515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=264210a a a +==4845a a =45a =89a =84184a a d -==-34514a a d =-=-=53520S a ==B =1k =123A =+=325B =+=112k =+=2k =358A =+=8513B =+=213k =+=3k =81321A =+=211334B =+=314k =+=当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．故选：B.7. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；方法二：根据椭圆定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.8. 曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，的4k =34B =12,F F 22:15x C y +=P C 120PF PF ⋅= 12PF PF ⋅=12PF F △120PF PF ⋅= 1290FPF ∠=122121tan 4512FP F S b PF PF ===⨯⋅122PF PF ⋅=120PF PF ⋅= 1290FPF ∠= 25142c c =-=⇒=22221212416PF PF F F +===122PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=122PF PF ⋅=e 1=+x y x e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭e 4y x =e 2y x =e e 44y x =+e 3e24y x =+e 1xy x =+e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()e 12y k x -=-e 1xy x =+所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C9. 已知双曲线交于A ，B 两点，则（）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D10. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为（）A. 1 B.C. 2D. 3【答案】A()()()22e 1e e 11x xxx x y x x +-'==++1e|4x k y ='==()e e124y x -=-e 1xy x =+e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭e e 44y x =+22221(0,0)x y a b a b -=>>22(2)(3)1x y -+-=||AB =e =222222215c a b b a a a+==+=2ba=2y x =(2,3)d ==||AB ===-P ABC ABC 2,PA PB PC ===【解析】【分析】证明平面，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB 得解.【详解】取中点，连接，如图，是边长为2的等边三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故选：A11. 已知函数．记，则（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用作差法比较自变量大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令，则开口向下，对称轴为，，而，由二次函数性质知，的AB ⊥PEC AB E ,PE CE ABC 2PA PB ==,PE AB CE AB ∴⊥⊥,PE CE ⊂PEC PE CE E = AB ∴⊥PEC 2PE CE ===PC =222PC PE CE =+PE CE ⊥11121332B PEC A PEC PEC V V V S AB --=+=⋅=⨯=△()2(1)e x f x --=,,a f b f c f ===b c a >>b a c>>c b a>>c a b>>2()(1)g x x =--()g x 1x =4112⎛---=- ⎝22491670-=+-=>41102⎛--=-> ⎝11->g g <，而，，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.12. 函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，4112⎛--=- ⎝22481682)0-=+=-=-<11-<-g g >g g g <<e x y =a c b <<b c a >>()y f x =cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6π()y f x =1122y x =-()sin 2f x x =-()f x 1122y x =-()f x 1122y x =-πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π6πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 2f x x =-1122y x =-10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,0()f x 1122y x =-3π3π7π2,2,2222x x x =-==3π3π7π,,444x x x =-==()f x 1122y x =-当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．【答案】【解析】【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.【详解】若，则由得，则，不合题意.所以.当时，因为，所以，即，即，即，解得.故答案为：14. 若偶函数，则________．【答案】2【解析】【分析】根据常见函数的奇偶性直接求解即可.为3π4x =-3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭3π4x =3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭13π13π412428y -=⨯-=<7π4x =7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭17π17π412428y -=⨯-=>()f x 1122y x =-3n S {}n a n 6387S S ={}n a 12-1q ≠n q 1q =6387S S =118673a a ⋅=⋅10a =1q ≠1q ≠6387S S =()()6311118711a q a q qq--⋅=⋅--()()638171q q ⋅-=⋅-()()()33381171q q q ⋅+-=⋅-()3817q ⋅+=12q =-12-()2π(1)sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭=a【详解】，且函数为偶函数，，解得，故答案为：215. 若x ，y 满足约束条件，则的最大值为________．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数过点时，有最大值，由可得，即,所以.故答案为：1516. 在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【详解】设球的半径为.()()()222π1sin 1cos (2)1cos 2f x x ax x x ax x x a x x ⎛⎫=-+++=-++=+-++ ⎪⎝⎭20a ∴-=2a =323,2331,x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩32z x y =+322zy x =-+A z 233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩33x y =⎧⎨=⎩(3,3)A max 332315z =⨯+⨯=1111ABCD A B C D -4,AB O =1AC OO 4R当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，连接，则的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为综上，.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．【答案】（1）（2【解析】分析】（1）根据余弦定理即可解出；【2R '1AC ==2R R ''==max R =1111,,,AA BB CC DD ,,,M H G N MNGH 4O MNGH MG MG =MNGH R R ∈ABC ,,A B C ,,a b c 2222cos b c aA+-=bc cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+ABC 1（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【小问1详解】因为，所以，解得：．【小问2详解】由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为．18. 如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．【答案】（1）证明见解析. （2）【解析】【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面；(2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.sin A 2222cos a b c bc A =+-2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===1bc =cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A B aB b A c A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B B A B A B A B ---=-==+++()()sin sin sin A B A B B --+=2cos sin sin A B B -=0sin 1B <≤1cos 2A =-0πA <<sin A =ABC 11sin 122ABC S bc A ==⨯=△111ABC A B C -1A C ⊥,90ABC ACB ∠=︒11ACC A ⊥11BB C C 11,2AB A B AA ==111A BB C C -11A C ⊥ABC 1A C BC ⊥AC BC ⊥BC ⊥11ACC A 11ACC A ⊥11BCC B 1A 11A O CC ⊥1AO 1A C AC =O 1CC 1A C AC x ==x 1AO【小问1详解】证明：因为平面，平面,所以,又因为，即，平面，,所以平面，又因为平面,所以平面平面.【小问2详解】如图，过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱锥的高为.因为平面，平面,所以,,又因为，为公共边，所以与全等，所以.设，则，所以为中点，,1A C ⊥ABC BC ⊂ABC 1A C BC ⊥90ACB ∠= ACBC ⊥1,A C AC ⊂11ACC A 1AC AC C ⋂=BC⊥11ACC A BC ⊂11BCC B 11ACC A ⊥11BCC B 1A 11A O CC ⊥O 11ACC A ⊥11BCC B 11ACC A 111BCC B CC =1A O ⊂11ACC A 1A O ⊥11BCC B 111A BB C C -1AO 1A C ⊥ABC ,AC BC ⊂ABC 1A C BC ⊥1A C AC ⊥1A B AB =BC ABC 1A BC 1A C AC =1A C AC x ==11A C x =O 1CC 11112OC AA ==又因为,所以,即，解得，所以，所以四棱锥的高为．19. 一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】（1）1A C AC ⊥22211AC AC AA +=2222x x +=x=11A O ===111A BB C C -1m<m≥()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥k19.8（2）（i ）；列联表见解析，（ii ）能【解析】【分析】（1）直接根据均值定义求解；（2）（i ）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；（ii ）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】试验组样本平均数为：【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第11位数据为，后续依次为，故第20位为，第21位数据为，所以，故列联表为：合计对照组61420试验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，，所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.20. 已知函数．（1）当时，讨论的单调性；23.4m =23.4m =1(7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.220+++++++++++39621.622.823.623.925.128.232.336.5)19.820++++++++==18.819.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6, 23.223.623.223.623.42m +==m<m≥2240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯95%()2sin π,0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭1a =()f x（2）若，求的取值范围．【答案】（1）在上单调递减（2）【解析】【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.【小问1详解】因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，，，所以在上恒成立，所以在上单调递减.【小问2详解】法一：()sin 0f x x +<a ()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0a ≤1a =()f x ()f x '()()sin g x f x x =+()0g x <()00g =()00g '≤0a ≤0a =a<02sin sin 0cos xx x-<0a =a<00a >0a >1a =()2sin π,0,cos 2x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()()22432cos cos 2cos sin sin cos 2sin 11cos cos x x x x xx xf x xx--+'=-=-()3333222cos cos 21cos coscos 2cos cos x x xx x xx---+-==cos t x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()cos 0,1t x =∈()()()23233222cos cos 22221211x x t t t t t tt t t +-=+-=-+-=-++-()()2221t t t =++-()2222110t t t ++=++>10t -<33cos 0x t =>()233cos cos 20cos x x f x x +-'=<π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭构建，则，若，且，则，解得，当时，因为，又，所以，，则，所以，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；综上所述：若，等价于，所以的取值范围为.法二：因为，因为，所以，，故在上恒成立，所以当时，，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；()()2sin πsin sin 0cos 2x g x f x x ax x x x ⎛⎫=+=-+<< ⎪⎝⎭()231sin πcos 0cos 2x g x a x x x +⎛⎫'=-+<< ⎪⎝⎭()()sin 0g x f x x =+<()()00sin 00g f =+=()0110g a a '=-+=≤0a ≤0a =22sin 1sin sin 1cos cos x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0sin 1x <<0cos 1x <<211cos x>()2sin sin sin 0cos xf x x x x+=-<a<0π02x <<0ax <()22sin sin sin sin sin 0cos cos x xf x x ax x x x x+=-+<-<()sin 0f x x +<0a ≤a (],0-∞()2232222sin cos 1sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x---===-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0sin 1x <<0cos 1x <<2sin sin 0cos x x x-<π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0a =()2sin sin sin 0cos xf x x x x+=-<a<0π02x <<0ax <()22sin sin sin sin sin 0cos cos x xf x x ax x x x x+=-+<-<当时，因为，令，则，注意到，若，，则在上单调递增，注意到，所以，即，不满足题意；若，，则，所以在上最靠近处必存在零点，使得，此时在上有，所以在上单调递增，则在上有，即，不满足题意；综上：.【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解.21. 已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；（2）设直线：，利用，找到的关系，以及0a >()322sin sin sin sin cos cos x xf x x ax x ax x x+=-+=-()32sin π0cos 2x g x ax x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭()22433sin cos 2sin cos x x xg x a x+'=-()22433sin 0cos 02sin 000cos 0g a a +'=-=>π02x ∀<<()0g x '>()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()00g =()()00g x g >=()sin 0f x x +>0π02x ∃<<()00g x '<()()000g g x ''<π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0x =1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()10g x '=()g x '()10,x ()0g x '>()g x ()10,x ()10,x ()()00g x g >=()sin 0f x x +>0a ≤0a >()00g '>()g x 'π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0x =()0g x '>()()00g x g >=210x y -+=2:2(0)C y px p =>,A B AB =p F C ,M N C 0FM FN ⋅=MFN △2p =12-p MN x my n =+()()1122,,,,M x y N x y 0MF NF ⋅=,m n MNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设，由可得，，所以，所以即，因为，解得：．【小问2详解】因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，由可得，，所以，，，因为，所以，即，亦即，将代入得，，，所以，且，解得或．设点到直线的距离为，所以，所以的面积，而或，所以，()(),,,A A B B A x y B x y 22102x y y px-+=⎧⎨=⎩2420y py p -+=4,2A B A B y y p y y p +==B AB y ==-==2260p p --=0p >2p =()1,0F MN MN x my n =+()()1122,,,M x y N x y 24y x x my n⎧=⎨=+⎩2440y my n --=12124,4y y m y y n +==-22161600m n m n ∆=+>⇒+>0MF NF ⋅=()()1212110x x y y --+=()()1212110my n my n y y +-+-+=()()()()2212121110m y y m n y y n ++-++-=12124,4y y m y y n +==-22461m n n =-+()()22410m n n +=->1n ≠2610n n -+≥3n ≥+3n ≤-F MN d d 2MN y ==-=1==-MNF ()2111122S MN d n =⨯⨯=-=-3n ≥+3n ≤-当时，的面积【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22. 已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的几何意义即可解出；（2）求出直线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，令，，令，，所以，所以，即，解得，因为，所以．【小问2详解】由（1）可知，直线的斜率为，且过点，所以直线的普通方程为：，即，由可得直线的极坐标方程为．3n =-MNF (2min 212S =-=-,m n ()2,1P 2cos ,:1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩t αl l x y ,A B 4PA PB ⋅=αx l 3π4cos sin 30ραρα+-=t l l x y ,A B ππ2α<<0x =12cos t α=-0y =21sin t α=-21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====sin 21α=±π2π2k α=+π1π,42k k α=+∈Z ππ2α<<3π4α=l tan 1α=-()2,1l ()12y x -=--30x y +-=cos ,sin x y ραρα==l cos sin 30ραρα+-=[选修4-5：不等式选讲]（10分）23. 已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与坐标轴所围成的图形的面积为2，求．【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）分和讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若,则,即,解得,即,若,则,解得,即,综上,不等式的解集为.【小问2详解】.画出的草图,则与坐标轴围成与的高为,所以所以解得,()2,0f x x a a a =-->()f x x <()y f x =a ,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭x a ≤x a >x a ≤()22f x a x a x =--<3x a >3a x >3ax a <≤x a >()22f x x a a x =--<3x a <3a x a <<,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,()23,x a x af x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩()f x ()f x ADO △ABCABC 3,(0,),,0,,022a a a D a A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭||=AB a21132224OAD ABC S S OA a AB a a +=⋅+⋅== a =三人行教育资源。

2020年(文科数学)(新课标Ⅰ)试卷真题+参考答案+详细解析

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合2{|340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则(A B = )A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}2．（5分）若312z i i =++，则||(z = ) A ．0B ．1C ．2D ．23．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A 51-B 51-C 51+D 51+4．（5分）设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为() A ．15B ．25C ．12D ．455．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C)︒的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()(1,i i x y i =，2，⋯，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( ) A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．y a blnx =+6．（5分）已知圆2260x y x +-=，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）设函数()cos()6f x x πω=+在[,]ππ-的图象大致如图，则()f x 的最小正周期为( )A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 8．（5分）设3log 42a =，则4(a -= ) A ．116B ．19C ．18D ．169．（5分）执行如图的程序框图，则输出的(n = )A ．17B ．19C ．21D ．2310．（5分）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，2342a a a ++=，则678(a a a ++= ) A ．12B ．24C ．30D ．3211．（5分）设1F ，2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则△12PF F 的面积为( ) A ．72B ．3C ．52D ．212．（5分）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC ∆的外接圆．若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考文科数学复数 (答案详解)

1.（2012浙江卷）已知i 是虚数单位，则31i i+-= A ．1-2i B.2-i C.2+i D.1+2i2.（2012湖北）若3i i 1ib a b +=+-（a ，b 为实数，为虚数单位），则a b +=. 3.（2012山东）若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为（）A.3+5iB.3－5iC.－3+5iD.－3－5i4.（2012江苏）设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________5.（2012福建）复数2)2(i +等于（）A ．i 43+B ．i 45+C ．i 23+D ．i 25+6.（2012安徽）复数z 满足：()2z i i i -=+；则z =（）A.1i --B.1i -C.i -1+3D.i 1-27.（2012北京）在复平面内，复数103i i +对应的点坐标为（） A ．（1,3）B ．（3,1） C ．(1,3-） D ．31-（，）8.（2012广东）设i 为虚数单位，则复数34i i+=( ) A.43i -- B.43i -+ C.i 4+3 D.i 4-3 9.（2012湖南）复数(1)z i i =+（i 为虚数单位）的共轭复数是（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +10.（2012江西）若复数z=1+i (i 为虚数单位) z -是z 的共轭复数，则2z +z -²的虚部为A.0B.-1C.1D.-211.（2012辽宁）复数11i =+ A.1122i - B.1122i + C.1i - D.1i + 12.（2012陕西）设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i +为纯虚数”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 13.（2012上海）计算：ii +-13=（i 为虚数单位）. 14.（2012天津）i 是虚数单位，复数534ii +-=A.1-iB.-1+iC.1+iD.-1-i15.（2012新课标）复数z ＝32i i-++的共轭复数是 A.2i + B.2i - C.1i -+ D.1i --答案1.【答案】D【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。

数学高考文科复数知识点

数学高考文科复数知识点作为数学高考文科的一部分，复数在解析几何和代数中起着重要的作用。

它作为一个数域的扩张，拓宽了数字的概念。

本文将重点介绍高考文科复数的相关知识点，帮助学生更好地准备高考。

一、复数的定义和表示复数是由实数部分和虚数部分构成的数，通常表示为a + bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i² = -1。

虚部b取值为0时，复数就变成了实数。

二、复数的加减乘除运算1. 复数的加减运算：将实部和虚部分别相加或相减，得到结果的实部和虚部。

2. 复数的乘法运算：将实部和虚部进行分配律的展开，然后利用i² = -1化简。

3. 复数的除法运算：将除数的共轭复数作为分子和分母的乘法因子，然后进行分子分母的乘法运算和化简。

三、复数的共轭与模1. 复数的共轭：将复数的虚部取相反数，实部不变，所得的新复数称为原复数的共轭复数。

如果复数为a + bi，其共轭复数为a - bi。

2. 复数的模：复数的模是指复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。

对于复数a + bi，它的模是√(a² + b²)。

四、复数的三角形式复数可以通过极坐标表示，即用模长和辐角表示。

对于复数a + bi，可以表示为|r|·e^(iθ)，其中|r|为模长，θ为辐角。

使用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ，可以将复数的三角形式转化为指数形式。

五、复数的指数和对数指数函数和对数函数可以扩展到复数域。

对于复数z = a + bi，指数函数e^z的定义是e^z = e^a * e^(ib) = e^a * [cos(b) + isin(b)]。

复数z = a + bi的对数函数定义为ln(z) = ln|z| + i arg(z)，其中ln|z|是复数的模的自然对数，arg(z)是复数的辐角。

六、复数的方程和不等式1. 复数方程：类似于实数方程的解法，复数方程也可以通过代数运算和方程的性质进行求解。

2023年河南省商丘市部分学校高考数学段考试卷(文科)(六)+答案解析(附后)

2023年河南省商丘市部分学校高考数学段考试卷（文科）（六）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数，则( )A. B. C. D.3. 在某次演讲比赛中，由两个评委小组分别为专业人士记为小组和观众代表记为小组给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成如图所示的折线图，则下列结论错误的是( )A. 小组A打分的分值的平均数为48B. 小组B打分的分值的中位数为66C. 小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差D. 小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差4. 已知，则( )A. B. C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A.B.C.D.6. 执行如图所示的程序框图，输出的( )A. B. C. D. 07. 已知电磁波在空间中自由传播时的损耗公式为，其中D为传输距离单位：，F为载波频率单位：，L为传输损耗单位：若载波频率变为原来的200倍，传输损耗增加90dB，则传输距离约为原来的参考数据：( )A.倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍8. 已知是定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，则不等式的解集为( )A. B.C. D.9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的值域为( )A. B. C. D.10. 已知抛物线C：的焦点为F，，M为C上位于第一象限的一点，且点M 的横坐标小于2，则的面积的最大值为( )A. 2B.C. 1D.11. 已知四棱锥的底面ABCD是矩形，高为，则四棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D.12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M，N是C的一条渐近线上的两点，且为坐标原点，若P为C的左顶点，且，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. D.13. 已知在平行四边形ABCD中，点E满足，，则实数______ .14. 已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为______ .15. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则的面积为______ .16. 若过点有n条直线与函数的图象相切，则当n取最大值时，a的取值范围为______ .17. 已知数列是首项为2，公差为4的等差数列，等比数列满足，求的通项公式；记，求数列的前n项和18. 某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间单位：时的频率分布表：日均收看世界杯时间时频率如果把日均收看世界杯的时间高于小时的观众称为“足球迷”.根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关；非足球迷足球迷合计女70男40合计从样本中为“足球迷”的观众中，先按性别比例用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取3人进行交流，求3人都是男性观众的概率.参考公式：，其中参考数据：19.如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，平面平面ABC，E，F分别为棱，BC的中点.证明：平面；若三棱柱的体积为，求点C到平面的距离.20. 已知椭圆的上顶点为A，右顶点为B，坐标原点O到直线AB的距离为，的面积为求椭圆C的方程；若过点且不过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线MQ与直线交于点E，证明：21. 已知函数当时，求的极小值；若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为设曲线与曲线交于A，B两点，求；若M，N是曲线上的两个动点，且，求的取值范围.23. 已知函数求不等式的解集；若的最小值为t，a，b，c为正实数，且，证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为集合，，则故选：利用交集的定义可求．本题主要考查交集的运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】因为，所以，故选：根据复数的除法运算求得z，根据共轭复数的概念可得答案．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由图可知，小组A打分的平均数为，故A正确；将小组B打分从小到大排列为36、55、58、62、66、68、68、70、75，所以中位数为66，故B正确；小组A打分的分值的极差为，小组B打分的分值的极差为，故C错误；小组A打分的分值相对更集中，所以小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差，故D正确；故选：根据平均数公式判断A，将小组B打分从小到大排列，即可求出中位数，从而判断B，求出极差判断C，根据数据的分布情况判断本题主要考查了平均数、中位数和极差的计算，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：因为，所以故选：利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得．本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系在三角函数值求解中的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图得该几何体为如图所示的多面体，且，，所以，则其表面积为故选：根据三视图得到几何体的直观图，从而求出几何体的表面积．本题主要考查三视图，几何体的表面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由程序框图知，第一次循环，判断不成立，，；第二次循环，判断不成立，，；第三次循环，判断不成立，，；第四次循环，判断成立，，；第五次循环，判断成立，，；第六次循环，判断成立，，，跳出循环，输出故选：根据给定的程序框图，依次计算直到条件被满足即可作答．本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：设原来的传输损耗、载波频率、传输距离分别为L，F，D，变化后的传输损耗、载波频率、传输距离分别为，，，则，，因此，于是，解得，所以传输距离约为原来的倍．故选：设出变化前后的相关量，再结合已知列式，借助对数运算求解作答．本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：因为是定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，所以，在上单调递增，由，得，当时，由，得，当时，由，得，所以原不等式的解集为故选：由题意不等式等价于，再根据函数的单调性分和两种情况讨论即可得解．本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到，所以，所以，，所以，，当，时，，时，则，即；当，时，，时，则，即；综上可得的值域为故选：根据三角函数的变换规则得到的解析式，即可得到的解析式，再将函数写成分段函数，利用辅助角公式化简，最后结合正、余弦函数的性质计算可得．本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意，可得，则，直线FN的方程为，设与直线FN平行且与抛物线C相切的直线的方程为，联立抛物线C的方程可得，由，可得，所以当M点为直线与抛物线C相切的切点时，M点到直线FN的距离最大，当时，由式可得，则M点的坐标为，此时点M到直线FN的距离为，所以的面积的最大值为故选：求出与直线FN平行且与抛物线C相切的直线的方程，切点为M时，三角形面积最大，即可得解．本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，化归转化思想，属中档题．11.【答案】B【解析】解：如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，记，则点F为矩形ABCD的外接圆圆心，取AD的中点E，连接PE，EF，记的外接圆圆心为G，易知，，且P，E，G共线．因为，，，AD，平面PAD，所以平面PAD，所以平面PAD，平面PAD，，，EF，平面ABCD，所以平面ABCD，所以，所以，易得，所以由正弦定理得的外接圆半径为，即过G作平面PAD，且，连接FO，由平面PAD，可知，则四边形EFOG为矩形，所以，则平面根据球的性质，可得点O为四棱锥的外接球的球心．因为，所以四棱锥的外接球的体积为故选：作出辅助线，求出平面PAD外接圆半径，再利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出球的体积．本题主要考查多面体外接球问题，球的体积问题，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：设双曲线的焦距为，因为，所以，所以M，N关于原点对称，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，因为以为直径的圆的方程为，不妨设M，N所在的渐近线方程为，则，由解得或，不妨设，，因为P为双曲线的左顶点，所以，所以，又，，由余弦定理得，即，整理得，所以离心率故选：根据，可得M，N关于原点对称，从而可得四边形为平行四边形，再根据，可得四边形为矩形，再求出M，N的坐标，求出，，再利用余弦定理构造齐次式即可得解．本题主要考查了双曲线的性质，考查了双曲线离心率的求解，属于中档题．13.【答案】【解析】解：如图所示：则，，解得：故答案为：利用向量的四则运算化简求值．本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．14.【答案】【解析】解：如图所示：过点和的直线方程为，以点和点为端点的线段的垂直平分线为，由得，则圆的半径，所以圆的方程为故答案为：由两圆外切，两圆心所在直线与圆中弦的垂直平分线交点即为，再求出半径，即可得圆的方程．本题主要考查了圆与圆的位置关系，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为，由正弦定理得，即，得，又，所以因为，所以由余弦定理可得，即，所以，故的面积为故答案为：根据正弦定理以及同角关系可得，进而根据余弦定理即可得ab的值，由面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设过点的直线l与的图象的切点为，因为，所以切线l的斜率为，所以切线l的方程为，将代入得，即，设，则，由，得或，当或时，，所以在，上单调递减；当时，，所以在上单调递增，所以，，又，所以恒成立，所以的图象大致如图所示，由图可知，方程最多3个解，即过点的切线最多有3条，即n的最大值为3，此时故答案为：设过点的直线l与的图象的切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点，可得，则方程解的个数即为切线的条数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．17.【答案】解：由数列是首项为2，公差为4的等差数列，可得；等比数列的公比设为q，由，，即，解得，则：，则数列的前n项和，，上面两式相减可得，化为【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，计算可得所求通项公式；求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为所以在抽取的200人中，“足球迷”有人．故列联表如下：非足球迷足球迷合计女701080男8040120合计15050200所以因为，所以有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关．样本中为“足球迷”的观众有50人，男、女人数之比为4：故用分层抽样方法从中抽出5人，男性有4人，记为，，，，女性有1人，记为B，从这5人中再随机抽取3人，有，，，，，，，，，共10个结果，其中3人都是男性观众的结果有4个，所以3人都是男性观众的概率为【解析】由频率分布表填写列联表，计算，与临界值比较确定结论；由分层抽样确定男性和女性人数，5人中随机抽取3人，列举所有可能的结果，由古典概型公式计算概率．本题考查独立性检验以及古典概型相关知识，属于中档题．19.【答案】解：证明：如图，取AB的中点G，连接，GF，则，所以，，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面取AC的中点D，连接BD，因为是等边三角形，所以又平面平面ABC，且平面平面，所以平面因为平面，所以因为，，BD，平面ABC，所以平面所以，得因为平面ABC，所以在和中，由勾股定理可得，所以设点C到平面的距离为d，由，得，解得所以点C到平面的距离为【解析】利用中位线得线线平行，进而可证平行四边形，由线面平行的判断定理即可求证．根据面面垂直可得线面垂直，利用体积公式可求解，进而根据等体积法即可求解．本题考查线面平行以及点到平面的距离相关知识，属于较难题．20.【答案】解：依题意，，，有，因为的面积为2，则，又点O到直线AB的距离为，则有，于是，而，解得，所以椭圆C的方程为；证明：直线PQ的斜率，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，代入椭圆方程得，不妨设此时，，则，直线NE的斜率，因此；当直线l的斜率存在时，设其方程为，设，，则直线MQ的方程为，令，得，由消去y得：，由于点P在椭圆C内，必有，则，，，因此，即，所以【解析】根据给定条件，结合点到直线的距离、三角形面积列出关于a，b的方程组，求解作答；直线l的斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立，求出直线MQ的方程，求出点E的坐标，利用韦达定理结合斜率坐标公式求出直线NE的斜率即可判断，再验证直线l的斜率不存在的情况作答．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.【答案】解：当时，，则，令，得或，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以由，可得，故在上恒成立，令，若，则恒成立，不合题意．若，则令则在上恒成立，所以在上单调递减．当时，，即，所以在上单调递减，故，即在上恒成立，满足题意．当时，，所以存在，使得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以存在，使得，不合题意．综上，实数m的取值范围是【解析】求出函数的导函数，利用研究函数单调性，从而求出极小值；构造函数，即只需寻找函数恒小于零时实数m的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的最值与极值，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：因为曲线的参数方程为为参数，所以，又，所以曲线的普通方程为，又曲线的极坐标方程为，由，所以曲线的直角坐标方程为，由，解得或，所以又，所以，所以，即曲线的极坐标方程为，因为，所以设，，所以，所以当时取得最小值，当时取得最大值8，所以的取值范围为【解析】首先将曲线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再联立两曲线方程，求出交点坐标，再由距离公式计算可得；首先求出曲线的坐标方程，设，，即可表示出，再利用二倍角公式公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：当时，可化为，解得，所以；当时，可化为，解得，此时无解；当时，可化为，解得，所以；综上，不等式的解集为；证明：因为，当时等号成立，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，又，当且仅当，即时，等号成立，所以【解析】分和两种情况，分别求出不等式的解集，最后取并集即可；先求出的最小值为，所以，再结合基本不等式证明即可．本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题．。

2024高考数学全国甲卷解析(文科)(1)

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合{}{}1,2,3,4,5,9,1A B x x A ==+∈∣,则()A B ⋂=A {}1,2,3,4B {}1,2,3,4C {}1,2,3,4D {}1,2,3,4【答案】A【解析】因为{}{}{}1,2,3,4,5,9,10,1,2,3,4,8A B x x A ==+∈=∣,所以A {}1,2,3,4B ⋂=,故选(A ). 【难度】基础题【关联题点】集合运算、交集 2.设z =则()z z ⋅=A .iB .1C .-1D .2【答案】D【解析】因为z =,所以2z z ⋅=,故选D .【难度】基础题【关联题点】复数运算、共轭复数3.若,x y 满足约束条件4330,220,2690,x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则5z x y =-的最小值为A .12B .0C .52-D .72-【答案】D【解析】将约束条件两两联立可得3个交点:()30,1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭、和13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,经检验都符合约束条件.代入目标函数可得:min 72z =-,故选D . 【难度】基础题【关联题点】线性规划、约束条件4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()9371,S a a =+=A -2 B73 C 1D29【答案】D【解析】令0d =,则9371291,,99n n S a a a a ===+=,故选D . 【难度】基础题【关联题点】等差数列、通项公式5.甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是() A14B13C12D23【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头,且甲或乙在排尾的共有8种可能,81243P ==,故选B . 【难度】基础题【关联题点】计数原理、特殊位置法6.已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-,点()6,4-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 A .4 B .3C .2D .2【答案】C 【解析】12212F F c e a PF PF ===-,故选C . 【难度】中档题【关联题点】双曲线、离心率、圆锥曲线定义7.曲线()63f x x x =+在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为()A16B32C12【答案】A【解析】因为563y x '=+,所以1113,31,1236k y x S ==-=⨯⨯=,故选(A ). 【难度】基础题【关联题点】导数应用、切线8.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-的大致图像为()ABCD【答案】B【解析】()()()()22-ee sin()e e sin xx x x f x x x x x f x --=-+--=-+-=，所以()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，又因为2()0()22n n f n Z ππ⎛⎫=-<∈ ⎪⎝⎭，观察图像知选B 【难度】中档题【关联题点】函数的奇偶性、函数图像9.已知cos cos sin ααα=-则()tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A .1B 1C D 1【答案】B【解析】因为cos cos sin ααα=-所以tan 1tan 1tan 141tan παααα+⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭,故选B .【难度】基础题【关联题点】三角恒等变化、两角和与差的正切公式10.找不到题目11.已知已知m n 、是两条不同的直线,αβ、是两个不同的平面:①若,m n αα⊥⊥,则//m n ;②若,//m m n αβ⋂=,则//n β;③若//,//,m n m αα与n 可能异面,也可能相交,也可能平行;④若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,则m n ⊥,以上命题是真命题的是()(A )①③B 23C ①②③D ①③④ 【答案】A【解析】//m n 一定有//n α或//n β，(1)对αβ⊥时m n ⊥也有可能，n α⊂或n β⊂，(2)错.//n α且//n β一定有//m n ,(3)对n 与,αβ所成角相等，有可能，//m n ，(4)错，选A .【难度】中档题【关联题点】立体几何线面关系、线面关系的判定12.在ABC 中,内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若3B π=,294b ac =,则()sin sin A C += A32C2D2【答案】C 【解析】因为29,34B b ac π==,所以241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:222b a c =+94ac ac -=,即:2222131313,sin sin sin sin 4412a c ac A C A C +=+==,所以()222sin sin sin sin A C A C +=+72sin sin ,sin sin 4A C A C +=+=故选C .【难度】中档题【关联题点】余弦定理、解三角形二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.二项式1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数的最大值是___.【答案】5【解析】1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式第1r +项系数1013rr C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令第1r +项系数最大则11101011101011331133rr r r r r r r C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,711,244r r ≤≤∴=,系数最大为2210153C ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【难度】中档题【关联题点】二项式系数、组合数14.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是___. 【答案】2【解析】()sin 2sin 23f x x x x π⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭,当且仅当56x π=时取等号. 【难度】中档题【关联题点】三角函数图像与性质、辅助角公式15.已知81151,log log 42a a a >-=-,则a =___. 【答案】64 【解析】因为284211315log log log log 22a a a a -=-=-, 所以()()22log 1log 60a a +-=,而1a >,故2log 6,64a a ==. 【难度】中档题【关联题点】一元二次方程、对数运算16.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点,则a 的取值范围为___.【答案】()2,1-【解析】令()2331x x x a -=--+,则()2331a x x x =-+-,设()()()2331,x x x x x ϕϕ=--'+()()()351,x x x ϕ=+-在()1,∞+上递增,在()0,1上递减.因为曲线33y x x =-与(y x =-21)a -+在()0,∞+上有两个不同的交点,()()01,12ϕϕ==-,所以a 的取值范围为(2-,1). 【难度】较难题【关联题点】三次函数、导数、函数零点三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.(12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1233n n S a +=-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n S 的通项公式. 【答案】见解析. 【解析】(1)因为1233n n S a +=-,所以12233n n S a ++=-, 两式相减可得:1223n n a a ++=-13n a +,即:2135n n a a ++=,所以等比数列{}n a 的公比53q =,又因为12123353S a a =-=-,所以1151,3n n a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭;(2)因为1233n n S a +=-,所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【难度】中档题【关联题点】数列通项公式、前n 项和与通项公式的关系18.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:(1)填写如下列联表:能否有95%99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =.设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?)12.247≈附:()()()()()()2220.0500.0100.010, 3.8416.63510.828P K k n ad bc K a b c d a c b d k ≥-=++++【答案】见解析.【解析】()()22150702426301 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯,没有99%的把握;(2)96160.6415025p === ()11112221.650.5 1.650.5 1.650.56715012.247p p p n ⨯-+=+⋅≈+⨯≈()11.65,p p p p n->+∴可以认为升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.【难度】中档题【关联题点】独立性检验、概率19.(12分)如图,已知//,//,2AB CD CD EF AB DE EF CF ====,4,10,23,CD AD BC AE M ====为CD 的中点.(1)证明://EM 平面BCF ; (2)求点M 到ADE 的距离. 【答案】见解析【解析】(1)由题意://,EF CM EF CM =,而CF 写平面,ADO EM 平面ADO ,所以EM //平面BCF ;(2)取DM 的中点O ,连结,OA OE ,则,,3,3OA DM OE DM OA OE ⊥⊥==,而23AE =,故23,3AOEOA OE S⊥=. 因为2,10DE AD ==,所以,10.AOEAD DE S DM ⊥=设点M 到平面ADE 的距离为h , 所以**1143230,33510M ADE ADEAOEV S h SDM h -====, 故点M 到ADE 的距离为2305. 【难度】中档题【关联题点】立体几何、空间向量、点到面的距离20.(12分)已知函数()()1ln 1f x a x x =--+. (1)求()f x 的单调区间;(2)若2a ≤时,证明:当1x >时,()1e x f x -<恒成立. 【答案】见解析【解析】()()()()111ln 1,,0ax f x a x x f x x x-=--+'=>. 若()()0,0,a f x f x ≤<的减区间为()0,∞+,无增区间; 若0a >时,当10x a<<时,()0f x '<, 当1x a >时,()0f x '>,所以()f x 的减区10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间为1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭; (2)因为2a ≤,所以当1x >时,()()111e e 1ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令()g x 1e2ln 1x x x -=-++,则()11e 2x g x x-=-+'.令()()h x g x =',则()121e x h x x-=-'在()1,∞+上递增,()()10h x h '>=',所以()()h x g x ='在()1,∞+上递增,()()10g x g '>=',故()g x 在()1,∞+上递增,()()10g x g >=,即:当1x >时,()1e x f x -<恒成立.【难度】较难题【关联题点】函数极值、导数、导数解不等式21.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点(1M ,32⎫⎪⎭在椭圆C 上,且MF x ⊥轴.(I )求椭圆C 的方程;(2)()4,0P ,过P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点,N 为FP 的中点,直线NB 与MF 交于Q ,证明:AQ y ⊥轴. 【答案】见解析【解析】(1)设椭圆C 的左焦点为1F ,则132,2F F MF ==.因为MF x ⊥轴,所以 1MF 15,242a MF MF ==+=,解得:2224,13a b a ==-=,故椭圆C 的方程为:22143x y +=;(2)解法1:设()()1122,,,,A x y B x y AP PB λ=,则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪+=⎨⎪+⎪⎩,即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 可得:1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅⋅=+-+-,结合上式可得:5λ-2230.x λ+=,则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--,故AQ y ⊥轴.解法2:设()()1122,,,A x y B x y ,则12124444x x y y ---=-,即:()1221214x y x y y y -=-,所以(12x y -)()()()222222221221122112212121214444433y y x y x y x y x y x y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫+=-=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2112214,y y x y x y =-+即:1221212112,253.x y x y y y x y y y +=+=-, 则2122112335252Q y y y y x y y x ==--1y =,AQ y ⊥轴.【难度】较难题【关联题点】解析几何、圆锥曲线、韦达定理(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=cos 1ρθ+.(1)写出C 的直角坐标方程; (2)直线(x tt y t a =⎧⎨=+⎩为参数)与曲线C 交于A B 、两点,若2AB =,求a 的值.【答案】见解析.【解析】(1)因为cos 1ρρθ=+,所以()22cos 1ρρθ=+,故C 的直角坐标方程为:22(x y x +=21)+,即:221y x =+;(2)将x t y t a=⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得:()222110,2t a t a AB +-+-====,解得:34a =. 【难度】基础题【关联题点】极坐标、参数方程23.[选修4-5:不等式选讲](10分)实数,a b 满足3a b +≥. (1)证明:2222a b a b +>+; (2)证明:22226a b b a -+-≥. 【答案】见解析.【解析】(1)因为3a b +≥,所以()22222a b a b a b +≥+>+;(2)()222222222222a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+()()()()()2222216a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥【难度】较难题【关联题点】基本不等式、绝对值不等式。

十年(2012-2021)高考数学真题分项汇编(全国通用)-专题02 复数(教师版)

专题02 复数【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设i 43i z =+，则z =（） A ．–34i - B ．34i -+C ．34i -D ．34i +【答案】C【分析】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C.2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（） A ．12i - B ．12i +C ．1i +D ．1i -【答案】C【分析】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+ D ．32i -- 【答案】B 2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知2i z =-，则()i z z +=（） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +【答案】C【分析】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若312i i z =++，则||=z （） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C【分析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以 z ==故选：C ．2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【分析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=. 故选：D.3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））（1–i ）4=（） A ．–4 B ．4 C ．–4i D ．4i【答案】A【分析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选：A.4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若()11+=-z i i ，则z =（） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【分析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））复数113i-的虚部是（） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【分析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D .6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设3i12iz -=+，则z =A ．2B CD ．1【答案】C【分析】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==，故选C ． 7．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C【分析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1y x +-=．故选C ． 8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D【分析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ．9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 10．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【分析】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. ：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=，则1z =，故选c. 12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））()i 23i += A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+【答案】D 【详解】分析：根据公式21i =-，可直接计算得(23)32i i i +=-+：2i(23i)2i 3i 32i +=+=-+ ，故选D. 13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+【答案】D【详解】详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.14．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）(1)(2)i i +-= A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D【分析】解： ()()21i 2i 2i 2i 3i i +-=-+-=+故选D.15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．i(1+i)2 D ．i(1+i)【答案】A【分析】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确；对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确；对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z R ∈.其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p【答案】B 【详解】令i(,)z a b a b R =+∈，则由2211i i a b z a b a b-==∈++R 得0b =，所以z R ∈，故1p 正确；当i z =时，因为22i 1z ==-∈R ，而i z =∉R 知，故2p 不正确；当12i z z ==时，满足121z z ⋅=-∈R ，但12z z ≠，故3p 不正确；对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.17．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））(1i)(2i)++= A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【答案】B 【详解】由题意2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+，故选B.18．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）31ii++＝（） A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i【答案】D 【分析】由题意()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++-，故选：D. 19．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【详解】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限. 所以选C. 20．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设复数z 满足(1+i)z =2i ，则Ⅰz Ⅰ= A ．12B．2CD ．2【答案】C【解析】由题意可得2i1i z =+，由复数求模的法则可得1121z z z z =，则2i 1i z ===+故选C. 21．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a = A ．−3 B ．−2C ．2D ．3【答案】A【详解】：(12)()2(12)i a i a a i ++=-++，由已知，得，解得，选A.22．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设，其中x ，y 是实数，则i =x y +A ．1BCD ．2【答案】B 【详解】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i =|1+i x x y x y x x y +==+=所以故故选B.23．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ．12i -+ B ．12i -C ．32i +D ．32i -【答案】C 【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.24．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．(31)-， B ．(13)-， C ．(1,)+∞ D ．(3)-∞-，【答案】A【详解】要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.25．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若43z i =+，则zz=A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D【详解】由题意可得：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-.本题选择D 选项.26．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））若12z i =+，则41izz =- A ．1 B ．-1C ．iD ．-i【答案】C 【详解】试题分析：441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ．27．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z = A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +【答案】C 【详解】试题分析：Ⅰ(1)1z i i -=+，Ⅰz=212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选C.28．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=A ．1BCD ．2【答案】A【详解】：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A.29．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数,且 2i3i 1ia +=++,则a = A ．4- B ．3-C ．3D ．4【答案】D【详解】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.30．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B 【详解】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．31．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设，则A ．B ．C ．D ．2【答案】B【详解】：根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222i i z i i i i i i i --=+=+=+=+++-，由模的运算可得：2z ==. 32．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】试题分析：由已知得22(1)(1)2(1)1(1)2i i i i i i i+++==----．33．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）计算131ii+=- A ．12i + B ．12i -+C ．12i -D ．12i --【答案】B【详解】：()()()()1311324121112i i i ii i i i +++-+===-+--+34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A ．- 5 B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i【答案】A【详解】：由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ．35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））212(1)ii +=-A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -【答案】B【详解】2121221(1)222i i i ii i ++-===---.36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知复数z 满足(3443i z i -=+），则z 的虚部为 A ．-4 B ．45- C ．4 D ．45【答案】D【详解】：设z a bi =+(34)(34)()34(34)i z i a bi a b b a i -=-+=++-435i +==Ⅰ345{340a b b a +=-= ，解得45b =37．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））21i+=A ．B ．2CD ．1 【答案】C【详解】因为211i i=-+,所以21i =+故选C. 38．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））设复数z 满足()12i z i -=，则z= （） A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i 【答案】A【分析】由()12i z i -=得21i z i=-=(1)1i i i +=-+，故选A. 39．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））复数32i z i -+=+的共轭复数是 A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 【答案】D 【详解()()()()3235512225i i i i z i i i i -+--+-+====-+++-,1z i =--,故选D . 40．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p 【答案】C【详解】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.。

高考复习文科数学之复数与程序

各地解析分类汇编:复数与程序一、复数部分1【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】复数12ii+ (i 是虚数单位)的虚部是（）A ．15B ．25C ．5iD ．5i -【答案】A 【解析】(12)22112(12)(12)555i i i i i i i i -+===+++-，所以虚部是15，选A. 2.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试文科】复数512ii-=( ) A.2i - B.12i - C.2i -+ D.12i -+ 【答案】C 【解析】55(12)510212(12)(12)5i i i i i i i i +-===-+--+，选C. 3.【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试】是虚数单位i ，复数ii+1= ( )A.i -1B.i +1C.i +-1D.i【答案】A 【解析】因为11ii i+=-+，可知选A 4.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】复数12()1iz i i-=-为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】12(12)(1)331=1(1)(1)222i i i i z i i i i --+-===---+，对应的点为31(,)22-，所以为第四象限，选D.5.【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测文】复数122ii+=-( )A.i -B.iC.5iD.45i + 【答案】B 【解析】12(12)(2)52(2)(2)5i i i ii i i i +++===--+，选B. 6.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考文】i 是虚数单位,复数2i1iz -==-( ) A ．31i 22+ B ．13i 22+ C ．13i + D ． 3i - 【答案】A 【解析】2i (2i)(1+i)3311i (1i)(1+i)222i z i --+====+--，选A. 7.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】复数ii 43)21(2-+的值是A. 1-B. 1C. i -D. i 【答案】A【解析】22(12)144341343434i i i ii i i+++-+===----，选A.8.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】在复平面内，复数311i i+-对应的点位于A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】A 【解析】1i 22z =-11, 22⎛⎫- ⎪⎝⎭对应的点是，故选A. 9.【天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科】i 是虚数单位，复数3+22-3ii等于 A 、i B 、-i C 、12-13i D 、12+13i 【答案】A【解析】3+223i i -(3+2)(23)13=23(23)13i i i ii i +==-+（），选A.10.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】．i 是虚数单位，31ii++= 。

近三年高考文理科数学试卷考点及其分值分析

近三年高考文科数学试卷考点及其分值分析一．选择题1.复数代数形式的混合运算分值：52.交、并、补集的混合运算分值：53.命题的否定分值：54.函数奇偶性的判断分值：55.等比数列的通项公式及其性质分值：56.古典概型及其概率计算公式分值：57.分段函数的应用分值：58.余弦定理；正弦定理分值：59.命题的真假判断与应用分值：510.三角函数中的恒等变换应用分值：511.独立性检验的应用，概率与统计，程序框图分值：512.程序框图，计算题；算法和程序框图分值：513.双曲线的简单性质，计算题，圆锥曲线的定义、性质与方程分值：514.函数的图象及其变换，函数的性质及应用分值：515.由三视图求面积，体积分值：5二．填空题1.利用导数研究曲线上某点切线方程分值：52.向量的模分值：53.线性回归方程分值：54.平面向量数量积的运算分值：55.简单线性规划，有理数指数幂的化简求值分值：56.等差数列的性质，点列、递归数列与数学归纳法分值：57.椭圆的简单性质，圆锥曲线的定义、性质与方程分值：58.绝对值不等式分值：5三．解答题1.三角函数中的恒等变换应用，正弦函数图像，函数奇偶性的性质分值：122.类比推理，双曲线的简单性质分值：123.等比关系的确定，数列递推式，等差数列与等比数列分值：124.空间几何综合问题分值：125.二次不等式与实际问题分值：126.利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性分值：127.空间中直线与直线之间的位置关系，棱柱、棱锥、棱台的体积分值：128.直线与圆锥曲线的综合问题分值：139.排列、组合的实际应用分值：14近三年江西省理科高考数学试卷考点及其分值分析一．选择题1.集合运算、解一元二次不等式分值：52.复数模的概念、四则运算分值：53.诱导公式与和差角分值：54.抽象函数奇偶性分值：55.全称与特称命题分值：56.相互独立事件的概率分值：57.三视图与直观图分值：58.含参数不等式与零点分值：59.古典概型分值：510.双曲线几何性质与数量积分值：511.三角函数图像性质分值：512.圆锥体积分值：513.程序框图分值：514.平面向量基本定理分值：515.二倍角公式和同角三角函数基本关系式分值：516.线性约束条件、全称与特称命题分值：517.直线与抛物线、向量运算分值：518.二项式通项分值：519.导数、函数零点与参数范围分值：520.组合体三视图与表面积分值：5二．填空题1.函数奇偶性分值：52.椭圆与圆的方程分值：53.推理与证明分值：54.线性规划与斜率分值：55.向量的和与数量积分值：56.正弦定理、和差角公式、三角形面积分值：5三．解答题1.正弦定理、和差角公式、三角形面积分值：122.递推公式与等差数列、裂项相消法求和分值：123.等差数列通项与求和分值：124.频率分布直方图中的平均数与方差、正态分布分值：125.线面垂直与线线垂直分值：126.三棱柱中的线线关系、二面角分值：127.散点图、函数模拟与线性回归分值：128.求轨迹方程、直线与椭圆相交弦长与面积最值分值：129.导数几何意义、直线与抛物线，导数与单调性与最值，参数与零点问题分值：10.平面几何直线与圆分值：1211.解含绝对值不等式与三角形面积分值：1212.均值不等式、解不定方程分值：1213.方程互化与函数（三角形面积，线段长）最值分值：12。

(完整版)高考真题：复数

高考真题：复数一、单选题1i （A ）1+i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i2．若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z=（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --3．设i 为虚数单位，则复数（1+i ）2=（A ）0 （B ）2 （C ）2i （D ）2+2i4．设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 45 （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i -6．若43i z =+，则（A ）1 （B ）1- （C （D 7．若z=1+2i ，则41i zz =- A ． 1 B ． −1 C ． i D ． −i8．设复数z 满足3z i i +=-，则z =A ． 12i -+B ． 12i -C ． 32i +D ． 32i -9．已知()()31z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ． ()31-，B ． ()13-， C ． ()1,+∞ D ． ()3-∞-， 10．设(1+2i)(a +i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（）A ． −3B ． −2C ． 2D ． 311．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y（A ）1 （B （C （D ）212．(2017高考新课标III，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ． 12B ． √22C ． √2D ． 213．若复数(1−i )(a +i )在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ． (−∞,1)B ． (−∞,−1)C ． (1,+∞)D ． (−1,+∞)14．已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =A ． -2iB ． 2iC ． -2D ． 215．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ．（–∞，1）B ．（–∞，–1）C ．（1，+∞）D ．（–1，+∞）16．已知R a ∈， i 是虚数单位，若z a =， 4z z ⋅=，则a =（）A ． 1或1-B ．或C ．D ． 17．3+i 1+i =( )A ． 1+2iB ． 1−2iC ． 2+iD ． 2−i18．，2017新课标全国卷II 文科）(1+i )(2+i )=A ． 1−iB ． 1+3iC ． 3+iD ． 3+3i19．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ，p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ，p 3：若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2，p 4：若复数z ∈R ，则z̅∈R .其中的真命题为A ． p 1,p 3B ． p 1,p 4C ． p 2,p 3D ． p 2,p 421．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ． i(1+i)2B ． i 2(1−i)C ． (1+i)2D ． i(1+i)二、填空题22，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______________________.23．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若（1+i ）（1-bi ）=a _______. 24．设a ∈R ，若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.25．已知a R ∈，i 为虚数单位，若2a ii -+为实数，则a 的值为__________．参考答案1．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【解析】B. 2．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故2,1-==b a ，则12i z =-，选B.3．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）试题分析：22(1i)12i i 2i +=++=，故选C.【答案】A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版）【解析】试题分析：二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r r r T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.5．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.6．D【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】D ．【考点】复数的运算、共轭复数、复数的模【名师点睛】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．7．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】试题分析： ()()44112121i i i zz i i ==-+--，故选C ．【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．视频 8．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.【考点】复数的运算，共轭复数【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可.视频9．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.【考点】复数的几何意义【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．复数z ＝a ＋bi 复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b∈R ）．复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）平面向量OZ uuu r . 视频 10．A 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：(1+2i)(a +i)=a −2+(1+2a)i ，由已知，得，解得，选A.【考点】复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i 2=−1中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.11．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以故选B.【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.12．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】由题意可得z =2i 1+i ，由复数求模的法则可得|z 1z 2|=|z 1||z 1|，则|z |=|2i ||1+i |=√2=√2.故选C.【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：(1)z 1±z 2=z 1±z 2，(2)z 1×z 2=z 1×z 2；(3)z ⋅z̅=|z |2=|z̅|2，(4)||z 1|−|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|，(5)|z 1z 2|=|z 1|×|z 2|，(6)|z 1z 2|=|z 1||z 1|. 13．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：设z =(1−i )(a +i )=(a +1)+(1−a )i ，因为复数对应的点在第二象限，所以{a +1<01−a >0，解得：a <−1，故选B. 14．A【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【解析】由i 1i z =+得()()22i 1i z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A. 【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2∈±2i∈(2)∈i,∈∈i.15．B 【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以10{ 10a a +<->，解得： 1a <-，故选B.【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量OZ uuu v .16．A【来源】【全国百强校】河北省曲周县第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此结合已知条件，求得a 的方程即可.17．D【来源】江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试数学（理）试题【解析】3+i 1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−3i+i+11+1=4−2i 2=2−i故选D18．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】由题意(1+i )(2+i )=2+3i +i 2=1+3i ，故选B. 点睛:首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a +b i )(c +d i )=(ac −bd)+ (ad +bc)i (a,b,c,d ∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a +b i (a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b 、模为√a 2+b 2、对应点为(a,b)、共轭复数为a −b i .19．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】()i 2i 12i z =-+=--，则表示复数()i 2i z =-+的点位于第三象限. 所以选C.【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()()i i i ,,,a b c d ac bd ad bc a b c d R ++=-++∈.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数()i ,a b a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应的点为(),a b 、共轭复数为i.a b -20．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】令z =a +b i (a,b ∈R)，则由1z =1a+b i =a−b ia 2+b 2∈R 得b =0，所以z ∈R ，故p 1正确；当z =i 时，因为z 2=i 2=−1∈R ，而z =i ∉R 知，故p 2不正确；当z 1=z 2=i 时，满足z 1⋅z 2=−1∈R ，但z 1≠z 2，故p 3不正确；对于p 4，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确，故选B. 点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成z =a +b i (a,b ∈R)的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.21．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】2i 1+i)i 2i=-2,=⋅（ ()2i 1i 1i -=-+ , 2(1i)2i += , ()i 1i 1i +=-+ ,所以选C.22．-3【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷精编版）【解析】z 的虚部等于−3. 【考点】复数的运算、复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目来看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.23．2【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）【解析】试题分析：由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩故答案为2．【考点】复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如答案第7页，总7页 i i i()(a+b )(c+d )=(ac bd)+(ad +bc)a,b,c,d -∈R ，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、模为、共轭复数为i a b -.24．1-【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：由题意得(1i)(i)1(1)i 1a a a a ++=-++∈⇒=-R .【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.25．-2【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）【解析】()()()()()()2212212222555a i i a a i a i a a i i i i ----+--+===-++-为实数，则20,25a a +==-. 【考点】复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数(),z a bi a b R =+∈，当0b ≠时， z 为虚数，当0b =时， z 为实数，当0,0a b =≠时， z 为纯虚数.。

高考文科复数复习知识点+例题+练习

复数的概念及运算一．知识回顾1. 复数的有关概念形如______________的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足_________,a 叫做_________，b 叫做________，复数集记作_______________________。

2. 复数的分类复数),(R b a bi a ∈+是实数的充要条件是_________；是纯虚数的充要条件是__________.3. 复数相等两个复数)(2,1R d c b a di c z bi a z ∈+=+=、、、，若21z z =，则____________。

4. 共轭复数如果两个复数实部________，而虚部___________，则这两个复数互为_____________，即复数bi a z +=的共轭复数为z =_________。

5. 复数的几何意义(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x 轴叫做，y 轴叫做，x 轴的单位是1，y 轴的单位是i.显然，实轴上的点都表示；除原点以外，虚轴上的点都表示。

(2)复数z ＝a ＋b i 、有序实数对(a ，b )、点Z (a ，b )是一一对应的．(3)设OZ →＝a ＋b i ，则向量OZ →的长度叫做复数a ＋b i 的 (或 )，记作|a ＋b i|，且|a ＋b i|＝ .(4)复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义．6. 复数的代数运算对于i 有i 4n ＝______，i 4n ＋1＝_____，i 4n ＋2＝_____，i 4n ＋3＝_____(n∈Z)．已知两个复数z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di(a 、b 、c 、d∈R)，则z1±z2＝______________，z1·z2＝_______________ ，z1z2＝a ＋bic ＋di ＝________________．特别地，若z ＝a ＋bi ，则z·z ＝a 2＋b 2.二．例题讲解已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)．求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解答】 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1或a ＝6，a ≠±1.故当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，∴a ≠±1且a≠6.∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6且a ≠±1. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1计算：(1)2－i 31－2i ； (2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－i 2011. 【解答】 (1)2－i 31－2i ＝2＋i 1－2i ＝(2＋i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝2i ＋i1＋2＝i.(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－i 2011＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－i 21005·21－i＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－2i 1005·21－i ＝i ＋i 1005·21－i＝i ＋i·21－i ＝－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋1i.i 是虚数单位，若1＋7i2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则乘积ab 的值是()A ．－15B ．－3C ．3D ．15复数综合练习题一.选择题1.湖南复数21i=- ( ) A1+i B 1-i C-1+i D-1-i2.全国23()1i i-=+ （） A -3-4i B-3+4i C3-4i D3+4i3.陕西复数Z= 1i i+在复平面内对应的点在（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限4.辽宁设a,b,c R ∈若121i i a bi+=++则（） A a= 32 b= 12 B a=3 b=1 C a=12 b=32 D a=1 b=3 5.江西已知)()(1,x i i y x y +-=则分别为（）A x=-1 y=1B x=-1 y=2C x=1 y=1D x=1 y=26.安徽 ()21i i =-=已知则（）A i =B i =C i =D i =7.浙江已知i 为虚数单位则51i i-=+ （） 23A i -- B 23i -+ C 23i - D 23i +8.山东已知2a i b i i+=+ ，a,b R ∈ 则a+b= ( ) A-1 B1 C2 D39.北京在复平面内，复数6+5i 与 -2+3i 对应的点分别为A , B.若C 为AB 的中点，则点C 对应的复数为（）A 4+8iB 8+2iC 2+4iD 4+i10.四川，设i 是虚数单位，计算23i i i ++= （）A-1 B1 C-i Di11.天津，复数31i i+=- （） A1+2i B2+4i C-1-4i D2-i12.复数a+bi 与c+di 的积是实数的充要条件是（）A ad+bc=0B ac+bd=0C ac=bdD ad=bc13.当213m ﹤﹤时，复数m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限二．计算题1.一直复数Z 与)(228Z i +-都是纯虚数，求Z2.已知i 是虚数单位21mim R i -∈+且是纯虚数,求20112()2mi mi -+3. 设为共轭复数，且，求的值。

2021年高考(乙卷)文科数学解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（乙卷）试题详解一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2M =，{}3,4N =，则()U C M N =（）A 、{}5B 、{}1,2C 、{}3,4D 、{}1,2,3,4 【答案】A ；【解析】由题{}1,2,3,4MN =，则(){}5U C M N =，故选A.【考点解析】本题考查集合的并集、补集运算，考查运算求解能力. 2、设43iz i =+，则z =（）A 、34i --B 、34i -+C 、34i -D 、34i + 【答案】C ；【解析】设(),z a bi a b R =+∈，则()43i a bi ai b i +=-=+，3,4a b ∴==-，34z i ∴=-，故选C.【考点解析】本题考查复数的四则运算、复数相等，考查运算求解能力.3、已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<；命题:,1xq x R e ∀∈≥，则下列命题中为真命题的是（）A 、p q ∧B 、p q ⌝∧C 、p q ∧⌝D 、()p q ⌝∧ 【答案】A ；【解析】显然p 为真命题，q 为真命题，则p q ∧为真命题，故选A.【考点解析】本题考查特称命题、全称命题及复合命题的真假判断，考查推理论证能力. 4、函数()sincos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别为（） A 、3π和2 B 、3π和2 C 、6π和2 D 、6π和2 【答案】C ；【解析】由题()sincos 2sin 3334x xx f x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∴周期2613T ππ==，最大值为2，故选C.【考点解析】本题考查三角函数图像的辅助角公式()22sin cos sin a b a b αααϕ+=++，()sin y A x ωϕ=+的周期和最值，考查运算求解能力、化归与转化思想.5、若,x y 满足约束条件423x y x y y ⎧+≥⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（） A 、18 B 、10 C 、6 D 、4 【答案】C ；【解析】由题作可行域如图阴影部分所示，目标函数3z x y =+转化为3y x z =-+，当3y x z =-+过点A 时，z 取得最小值，由43x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得()1,3A ，min 3136z ∴=⨯+=，故选C. 【考点解析】本题考查线性规划，考查运算求解能力、数形结合数学及化归与转化思想. 6、225coscos1212ππ-=（） A 、12BD【答案】D ；【解析】由题可得22225coscoscos sin cos 2cos 12121212126ππππππ-=-=⨯==. 【考点解析】本题考查三角恒等变换中的倍角公式，考查运算求解能力及化归与转化思想. 7、在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭随机取一个数，则取得的数小于13的概率为（）A 、34B 、23C 、13D 、16【答案】B ；【解析】记“取得的数小于13”为事件A ，则()10231302P A -==-，故选B. 【考点解析】本题考查概率问题中的几何概型，考查运算求解能力及统计与概率思想. 8、下列函数最小值为4的是（）A 、224y x x =++ B 、4sin sin y x x=+ C 、222x xy -=+ D 、4ln ln y x x =+【答案】C ；【解析】对于A ，()2133y x =++≥，最小值为3；对于B，4sin 4sin y x x =+≥=，等号不成立；对于C，2422242xxxy x -=+≥+≥=，当且仅当422xx =即1x =时等号成立，故C 正确；对于D ，4ln ln y x x=+无最小值；综上，选C.【考点解析】本题考查函数的最值，均值不等式，考查运算求解能力. 9、设函数()11xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（） A 、()11f x -- B 、()11f x -+ C 、()11f x +- D 、()11f x ++ 【答案】B ；【解析】由题()211f x x=-++关于点()1,1--中心对称，则需向右平移1个单位，向上平移1个单位后关于()0,0中心对称，故()11y f x =-+为奇函数，故选B.【考点解析】本题考查函数的基本性质----对称性，函数图象的平移变换，考查推理论证能力及化归与转化思想.10、在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A 、2π B 、3π C 、4π D 、6π 【答案】D ；【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1PBC ∠（或其补角）为直线PB 与1AD 所成的角，易知11A BC ∆为等边三角形，又P 为11B D 的中点，16PBC π∴∠=，∴直线PB 与1AD 所成的角为6π，故选D. 【考点解析】本题考查异面直线所成的角，考查运算求解能力、空间想象能力及化归与转化思想.11、设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（） A 、52B 、6C 、5D 、2 【答案】A ；【解析】由题可得()0,1B ，设()00,P x y ，则220015x y +=， []2200055,1,1x y y ∴=-∈-()()()[]22222200000025115114,1,144PB x y y y y y ⎛⎫∴=+-=-+-=-++∈- ⎪⎝⎭，由题当014y =-时，max 52PB =，故选A. 【考点解析】本题考查椭圆，利用函数思想解决最值问题，考查运算求解能力及推理论证能力.12、设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A 、a b <B 、a b >C 、2ab a <D 、2ab a > 【答案】D ；【解析】方法1（利用导数处理）：由题()()()()()()2232f x a x a x b a x a a x a x a b '=--+-=---，令()0f x '=，则x a =或23a bx += ①当0a >时，23a ba +>，0b a ∴>>； ②当0a <时，23a ba +<，0b a ∴<<； ()20ab a a b a ∴-=->，2ab a ∴>，故选D.方法2（利用高次函数的图像）：若0a >，()f x 图像如图⑴所示，此时0a b <<；若0a <，()f x 图像如图⑵所示，此时0b a <<；()20ab a a b a ∴-=->，2ab a ∴>，故选D.【考点解析】本题考查函数的综合问题，方法1利用导数研究函数的极值，进而确定,a b 的大小关系；方法2利用高次函数的图象确定,a b 的大小关系，考查运算求解能力、数形结合思想及化归与转化思想.二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13、已知向量()2,5a =，(),4b λ=，若//a b ，则λ= . 【答案】85；【解析】//a b ，245λ∴⨯=，85λ∴=. 【考点解析】本题考查平面向量平行及向量共线的坐标运算，考查运算求解能力及化归与转化思想.14、双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为 . 【答案】5；【解析】由题双曲线的右焦点为()3,0，它到直线280x y +-=的距离223208512d +⨯-==+.【考点解析】本题考查双曲线的基本概念，点到直线距离公式，考查运算求解能力.15、记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为3，60B =︒，223a c ac +=，则b = . 【答案】22；【解析】由题13sin 324ABC S ac B ac ∆===，则4ac =，由余弦定理得2222cos 328b a c ac B ac ac ac =+-=-==，22b ∴=.【考点解析】本题考查解三角形中，余弦定理，三角形面积公式，考查运算求解能力、数形结合思想及化归与转化思想.16、以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.【答案】②⑤或③④；【解析】若侧视图为③，俯视图为④，会形成如图⑴所示的三棱锥P ABC -且PC ⊥平面ABC .若侧视图为②，俯视图为⑤，会形成如图⑵所示的三棱锥P A B C ''''-.【考点解析】本题考查三视图的判定，属于开放性题目，考查空间想象能力、推理论证能力及数形结合思想.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17、（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s .⑴求x ，y ，21s ，22s ；⑵判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210s s y x +-≥），则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 【解析】⑴由题()19.810.310.010.29.99.810.010.110.29.710.010x =+++++++++=， ()110.110.410.110.010.110.310.610.510.410.510.310y =+++++++++=， ()()()()()22222211[9.710.09.810.029.91010.010.0210.110.010s =-+-⨯+-+-⨯+- ()()2210.210.0210.310.0]0.036+-⨯+-=，()()()()()22222221[10.010.310.110.3310.310.310.410.3210.510.3210s =-+-⨯+-+-⨯+-⨯ 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5()210.210.3]0.04+-=⑵由⑴可得0.3y x -=，2212=0.007610s s +，()2210.3100.022542y x -⎛⎫-∴== ⎪⎝⎭22y x ⎛⎫-∴>⎪⎝⎭221210s s +，2212210y x s s -+∴≥， 2212210s s y x +∴-≥∴认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【考点解析】本题考查数据中平均数、方差的计算，考查运算求解能力、数据处理能力，统计与概率思想，体现了数学运算、数据分析的核心素养.18、（12分）如图，四棱锥P ABCD -底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.⑴证明：平面PAM ⊥平面PBD ；⑵若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.【解析】⑴证明：PD ⊥底面ABCD ，且AM ⊂平面ABCDAM PD ∴⊥，又,,AM PB PB PD P ⊥= PB ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ， AM ∴⊥平面PBD ，又AM ⊂平面PAM，∴平面PAM ⊥平面PBD .⑵AM ⊥平面PBD ，且BD ⊂平面PBD ，AM BD ∴⊥，90,90BMA BAM ABD BAM ∠=︒-∠∠=︒-∠， BMA ABD ∴∠=∠，Rt ABM ∴∆∽Rt DAB ∆，AB BMAD AB∴=， M为BC 的中点，222112AD AB DC ∴===，22AD ∴=，2AD ∴=，2ABCD S AD DC ∴=⨯=矩形， 11221333P ABCD ABCD V S PD -∴=⨯⨯=⨯⨯=矩形. 【考点解析】本题考查立体几何中面面垂直的判定，四棱锥体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，体现了直观想象的核心素养.19、（12分）设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =，已知123,3,9a a a 成等差数列.⑴求{}n a 和{}n b 的通项公式；⑵设,n n S T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和，求证：2nn S T <. 【解析】⑴设{}n a 的公比为q ，则1n n a q -=，123,3,9a a a 成等差数列，132923a a a ∴+=⨯，2196q q ∴+=即29610q q -+=， ()2310q ∴-=，13q ∴=，111133n n n a --⎛⎫∴==⎪⎝⎭，33n n n na nb ∴==.⑵由⑴得11313112313n n n S -⎛⎫==- ⎪⎝⎭-，3n nn b =121121+3333n n nn n T --∴=+++， ①2311121+33333n n n n n T +-∴=+++②①-②得23121111333333n nn n T +=++++-111111131311233313n n n n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-=--- ⎪⎝⎭-3114233n n n n T ⎛⎫∴=--- ⎪⨯⎝⎭， 313111102422232333n n n n n n S n nT ⎛⎫⎛⎫∴-=---⨯-=-< ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭， 2n n S T ∴<. 【考点解析】本题考查等比数列的通项公式及前n 项和公式，错位相减法求数列的和，作差比较大小，考查运算求解能力、推理论证能力，体现了数学运算的核心素养.20、（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F 到准线的距离为2. ⑴求C 的方程；⑵已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 【解析】⑴由题抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2px =,则222p p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2p ∴=，∴C 的方程为24y x =. ⑵方法1、由⑴得()1,0F ，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2121,PQ x x y y =--，()221,QF x y =--，9PQ QF =，()2121,x x y y ∴--()2291,x y =--， ()212212919x x x y y y ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩，121210910x x y y ⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩，点P 在C 上，2114y x ∴=，()()222104109y x ∴=-，即22225910y x +=，∴直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k x y y ===++， ①当00y =时，0OQ k =；②当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，0092530y y +≥=，当且仅当00925y y =即035y =时等号成立，此时，103OQ k <<；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 斜率的最大值为13.方法2、由⑴得()1,0F ，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2121,PQ x x y y =--，()221,QF x y =--，9PQ QF =，()2121,x x y y ∴--()2291,x y =--， ()212212919x x x y y y ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩，121210910x x y y ⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩，点P 在C 上，2114y x ∴=，()()222104109y x ∴=-，即22229525y x =-， ∴点Q 的轨迹方程为229525y x =-，设直线OQ 的方程为y kx =，由229525y kxy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 整理得22290525k x x -+=，由题229240255k ⎛⎫∆=--⨯⨯≥ ⎪⎝⎭，解得1133k -≤≤，∴直线OQ 斜率的最大值为13.【考点解析】本题考查抛物线的定义、平面向量相等的坐标的运算、抛物线与直线位置关系的处理方法，考查运算求解能力及数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养.21、（12分）已知函数()321f x x x ax =-++.⑴讨论()f x 的单调性；⑵求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标. 【解析】⑴由题()232f x x x a '=-+，①当()22430a ∆=--⨯≤即13a ≥时，()f x 在R 上单调递增； ②当0∆>即13a <时，令()0f x '>，则x >或x <令()0f x '<x << 综上，当13a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当13a <时，()f x在⎝⎭上单调递减，在⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增.⑵设曲线()y f x =过坐标原点的切线为l ，切点()320000,1P x x x ax -++，()232f x x x a '=-+，()200032f x x x a '∴=-+，∴切线l 的方程为()()()322000000132y x x ax x x a x x --++=-+-，又切线l 过圆的，()()()322000000132x x ax x x a x ∴--++=-+-，整理得3200210x x --=，即()()20001220x x x -++=，解得01x =，∴切线l 的方程为()()()111y a a x -+=+-，即()1y a x =+，由()3211y a xy x x ax ⎧=+⎪⎨=-++⎪⎩消去y 得()3211x x ax a x -++=+，即3210x x x --+=，()()2110x x ∴-+=，解得1x =或1x =-∴当1x =时，1y a =+；当1x =-时，1y a =--；∴曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标为()1,1a +，或()1,1a ---.【考点解析】本题考查导数的应用----判定函数的单调性，导数的几何意义，考查运算求解能力、推理论证能力及化归与转化思想，体现了数学运算的核心素养.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22、【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为()2,1C ，半径为1.⑴写出⊙C 的一个参数方程；⑵过点()4,1F 作⊙C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.【解析】⑴⊙C 的圆心为()2,1，半径为1，故出⊙C 的参数方程为()2cos 1sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数；⑵由题⊙C 的切线斜率存在，设其方程为()14y k x -=-即410kx y k --+=，1=，231k ∴=，解得k =∴两条切线的直角坐标方程为)41y x =-+或)41y x =-+∴两条切线的极坐标方程为)sin cos 41ρθρθ=-+或)sin cos 41ρθρθ=-+，即sin cos 1ρθθ=+或sin cos 1ρθθ=++. 【考点解析】本题考查圆的参数方程、直线的极坐标方程，考查运算求解能力及化归与转化思想，体现了数学运算的核心素养.23、【选修4-5：不等式选讲】已知函数()3f x x a x =-++.⑴当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集； ⑵若()f x a >-，求a 的取值范围.【解析】⑴当1a =时，()13f x x x =-++，故不等式()6f x ≥等价于136x x -++≥，则3136x x x ⎧<-⎪⎨---≥⎪⎩或31136x x x ⎧-≤≤⎪⎨-++≥⎪⎩或1136x x x ⎧>⎪⎨-++≥⎪⎩解得4x ≤-或2x ≥∴所求不等式的解集为{}42|x x x ≤-≥或.⑵由题()f x a >-即3x a x a -++>-恒成立，()()333x a x x a x a -++≥--+=+，3a a ∴+>-33a a a ⎧≥-⎪∴⎨+>-⎪⎩或33a a a ⎧<-⎪⎨-->-⎪⎩，解得32a >-， ∴a 的取值范围为3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【考点解析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，分类与整合思想、化归与转化思想，体现了数学运算的核心素养.。