实验三 用FFT对信号进行频谱分析及MATLAB程序

实验三 用FFT 对信号进行频谱分析

一 实验目的

1 能够熟练掌握快速离散傅立叶变换的原理及应用FFT 进行频谱分析的基本方法； 2了解用FFT 进行频谱分析可能出现的分析误差及其原因；

二 实验原理

1.用DFT 对非周期序列进行谱分析

单位圆上的Z 变换就是序列的傅里叶变换，即

()()j j z e X e X z ωω== （3-1）

()j X e ω是ω的连续周期函数。对序列()x n 进行N 点DFT 得到()X k ，则()X k 是在区间[]0,2π上对()j X e ω的N 点等间隔采样，频谱分辨率就是采样间隔

2N

π。因此序列的傅里叶变换可利用DFT （即FFT ）来计算。 用FFT 对序列进行谱分析的误差主要来自于用FFT 作频谱分析时，得到的是离散谱，而非周期序列的频谱是连续谱，只有当N 较大时，离散谱的包络才能逼近连续谱，因此N 要适当选择大一些。

2.用DFT 对周期序列进行谱分析

已知周期为N 的离散序列)(n x ，它的离散傅里叶级数DFS 分别由式（3-2）和（3-3） 给出：

DFS ： ∑-=-=1

2)(1N n kn N j k e n x N a π ， n =0,1,2,…,N -1 （3-2） IDFS ： ∑-==1

02)(N k kn N j k

e a n x π ， n =0,1,2,…,N -1 （3-3） 对于长度为N 的有限长序列x (n )的DFT 对表达式分别由式（3-4）和（3-5）给出： DFT ： ∑-=-=1

02)()(N n kn N j e n x k X π ， n =0,1,2,…,N -1 （3-4）

IDFT ： ∑-==1

02)(1)(N k kn N j e k X N n x π

， n =0,1,2,…,N -1 （3-5） FFT 为离散傅里叶变换DFT 的快速算法，对于周期为N 的离散序列x (n )的频谱分析便可由式（3-6）和（3-7）给出：

DTFS ： 1*(())k a fft x n N

= （3-6） IDTFS ： ()*()k x n N ifft a = （3-7） 周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT ，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。

3. 用DFT 对模拟周期信号进行谱分析

对模拟信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。对于模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。如果不知道信号的周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。

三 实验内容

1. 对以下序列进行谱分析：

14()()x n R n =

2103()84700n n x n n

n thers +≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩

3403()3

4700n n x n n n thers

-≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩ 选择FFT 的变换区间N 为8和16两种情况进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线，并进行对比、分析和讨论。

2. 对以下周期序列进行谱分析：

4()cos()4

x n n π= 5()cos()cos()48

x n n n ππ

=+ 选择FFT 的变换区间N 为8和16两种情况进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线，并进行对比、分析和讨论。

3. 对模拟周期信号进行谱分析： 6()cos(8)cos(16)cos(20)x t t t t πππ=++

选择采样频率64s F Hz ，对变换区间N 分别取16、32、64三种情况进行谱分析。分别打印其幅频特性曲线，并进行对比、分析和讨论。

四 思考题

1. 对于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT 进行谱分析？

2. 如何选择FFT 的变换区间？（包括非周期信号和周期信号）

3. 当N=8时，2()x n 和3()x n 的幅频特性会相同吗？为什么？N=16呢？

五 实验报告及要求

1. 完成各个实验任务和要求，附上程序清单和有关曲线。

2. 简要回答思考题。

程序代码：

%用FFT对信号作频谱分析

clear all;

close all;

%实验（1）

x1n=[ones(1,4)]; %产生序列向量R4(n)

M=8;xa=1:(M/2);xb=(M/2):-1:1;

x2n=[xa,xb]; %产生长度为8的三角波序列x2(n)、x3(n)

x3n=[xb,xa];

X1k8=fft(x1n,8); %计算x1n的8点DFT

X1k16=fft(x1n,16); %计算x1n的16点DFT

X2k8=fft(x2n,8); %计算x2n的8点DFT

X2k16=fft(x2n,16); %计算x2n的16点DFT

X3k8=fft(x3n,8); %计算x3n的8点DFT

X3k16=fft(x3n,16); %计算x3n的16点DFT

%幅频特性曲线

N=8;wk=2/N*(0:N-1);

subplot(3,2,1);stem(wk,abs(X1k8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图title('(1a) 8点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

subplot(3,2,3);stem(wk,abs(X2k8),'.');

title('(2a) 8点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

subplot(3,2,5);stem(wk,abs(X3k8),'.');

title('(3a) 8点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

N=16;wk=2/N*(0:N-1);

subplot(3,2,2);stem(wk,abs(X1k16),'.'); %绘制16点DFT的幅频特性图title('(1b) 16点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

subplot(3,2,4);stem(wk,abs(X2k16),'.');

title('(2b) 16点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

subplot(3,2,6);stem(wk,abs(X3k16),'.');

title('(3b) 16点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

%实验2对周期序列作频谱分析

clear all;

close all;

N=8;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=8

x4n=cos(pi*n/4);

x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);

X4k8=fft(x4n); %计算x4n的8点DFT

X5k8=fft(x5n); %计算x5n的8点DFT

N=16;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=16

x4n=cos(pi*n/4);

x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);

X4k16=fft(x4n); %计算x4n的16点DFT