线性代数笔记

线性代数笔记

第一章行列式 (1)

第二章矩阵 (2)

第三章向量空间 (8)

第四章线性方程组 (11)

第五章特征值与特征向量...................................... 错误!未定义书签。第一章行列式

1.3。1 行列式的性质

给定行列式，将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。

性质1 转置的行列式与原行列式相等。即

(这个性质表明：行列式对行成立的性质,对列也成立，反之亦然）

性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。

推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。

推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零,则行列式的值为0。

可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。

性质3行列式的两行(列)互换，行列式的值改变符号。

以二阶为例

推论3 若行列式某两行(列)，完全相同，则行列式的值为零.

性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。

性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和,则行列式可分解为两个行列式的和，

注意性质中是指某一行（列）而不是每一行。

性质 6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列)，所得的行列式的值不变。

范德蒙德行列式

例10 范德蒙行列式……

.

=(x2-x1)（x3—x1)(x3—x2）

1。4 克莱姆法则

定理1.4.1 对于n阶行列式

定理1.4。2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组有惟一的解:

定理1.4。3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解.

推论如果齐次方程组有非零解,则必有系数行列式D=0.

第二章矩阵

一、矩阵的运算

1、矩阵的加法

设A=(a ij)m×n，B=(b ij)m×n，则

A+B=（a ij+b ij）m×n

矩阵的加法适合下列运算规则：

（1）交换律：A+B=B+A

（2）结合律：(A+B）+C=A+（B+C)

（3）A+0=0+A=A

此处0表示与A同型的零矩阵,即A=（a ij）m×n，0=0m×n

(4）矩阵A=（a ij）m×n，规定—A=（-a ij)m×n，（称之为A的负矩阵），则有A+(—A）=(-A）+A=0

2、矩阵的数乘

设A=（a ij)m×n，K为数,则

KA=(Ka ij）m×n

矩阵的数乘适合下列运算规则：

（1）K（A+B）=KA+KB

（2）（K+L)A=KA+LA

（3）（KL）A=K（LA）

（4)1*A=A

（5）0*A=0(左端的零是指数0，而右端的“0”表示一个与A行数列数相同的零矩阵。)

3、矩阵的乘法

设A=（a ij)m×n,B=(b jk）n×l,则

A*B=C=（c ik)m×l

其中C=Σa ij b jk（j=1，n)

注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换律,即AB不一定等于BA；矩阵乘法有零因子,即A≠0(零矩阵),B≠0（零矩阵），但有可能A＊B=0（零矩阵)

矩阵的乘法适合以下法则：

（1）结合律:（AB)C=A（BC）

（2）分配律（A+B）C=AC+BC

C（A+B)=CA+CB

（3）k（AB）=（kA）B=A（kB），此处k是一个数。

由于矩阵乘法的结合律，故对于方阵A来说，A的方幂是有意义的,即A k=A*A…A共k个A 相乘,从而有

（1）A k A l=A k+l

(2)（A k)l=A kl

(3）I n A=AI n=A

4、矩阵的转置

将矩阵A的行变成列,列变成行得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作A T或A/

注意A是m×n矩阵,则A T为n×m矩阵

矩阵的转置适合下列运算法则：

(1)（A T）T=A

（2)（A+B）T=A T+B T

(3)(kA)T=kA T

（4)（AB）T=B T A T

5、方阵的逆矩阵

设A，B为同阶可逆矩阵。常数k≠0。则

1.可逆，且。 AA-1=A-1A=E

2。AB可逆,。

3.也可逆，且. （A—1）k=(A k）—1

4。kA也可逆,且。(注：K不能为0）

5.消去律设P是与A,B同阶的可逆矩阵，若PA=PB,则A=B。

若a≠0，ab=ac则b=c。

6。设A是n阶可逆方阵。定义,并定义。则有，其中k，l是任意整数.

7。设A 是 n阶可逆方阵，则.

2.3.1 逆矩阵的定义

定义2.3。1 设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B使得。

则称A是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称。

若这样的B不存在，则称A不可逆。

定理2。3.1可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。

定理2。3。2n阶方阵A可逆的充分必要条件是，且当时，。

推论设A,B均为n阶方阵，并且满足AB=E，则A,B都可逆，且.

2.4.1 分块矩阵的概念

对于行数列数较高的矩阵A，为运算方便，经常采用分块法处理。即可以用若干条横线和竖线将其分成若干个小矩阵.每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

2.4.3 几个特殊的分快矩阵的运算

（1）准对角矩阵

方阵的特殊分块矩阵