第五章S域分析,极点与零点
连续时间系统的s域分析讲解
1 1 s 1 1 s
1 1 2 s 1 s
1 s 1 s 2 5s 2 s s2 2 1 s 1 s 1 s 2 2s 1 V1 ( s ) 2 s s 2 1 s
1 1 V1 ( s ) s 2 1 1 s 0 0
2 s 2 2s 1 I 2 ( s) 2 V1 ( s) s 5s 2
解法二：先求系统的冲激响应（应用2.3节的方法）
h(t ) (et e2t )u(t )
则
1 1 1 H ( s) 2 s 1 s 2 s 3s 2
输入信号 S R1
例： 图示电路，开关S在t = 0时刻闭合，以v2(t)作为响应，
x(t ) Eet u (t ),
(1)
（1）
y ( k ) (0 ) 0, x( k ) (0 ) 0
对式（1）两边取拉氏变换得：
bm s m bm1s m1 b1s b0 Yzs (s) X ( s) n n 1 an s an1s a1s a0
Yzs ( s ) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n n 1 X ( s ) an s an 1s a1s a0
结论：
左半s平面→h(t)衰减
极点： 右半s平面→h(t)增长
一阶极点→h(t) 等幅振荡或阶跃 虚轴上 二阶极点→h(t) 呈增长形式 h(t)衰减 h(t)增长 稳定系统（极点在左半s平面） 非稳定系统（极点在右半s平面） 一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 如果在虚轴上→
二阶：以上不稳定系统
H(s)零点的位置对系统的特性有何影响呢？
1Ω
1F + V1(s) I1(s)
S域分析极点与零点
多了相移
20
§5.2-1 自由响应与强迫响应
u
m
(s zl ) (s z j )
R(s) E(s).H (s)
l 1 v
.
j 1 n
(s pk ) (s pi )
k 1
i 1
来自H(s) 的极点
n
R(s)
ki
v
kk
i1 s pi k 1 s pk
V0t
(s)
K1
s
K1
V0 (s)(s
)
s
1 1
e eT
固定常数
v0t (t)
1 1
e eT
.e t
衰减因子
(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换V01(t)
V01(s)
H
(s).E1(s)
(1 es s(s )
)
28
（7）求第一周期的稳态响应
h(t)00Fra bibliotektp2 j1
H (s) S
h(t) cos1t.u(t)
S 2 12
9
（2） 几种典型的极点分布——
(f)共轭极点在左半平面
j
p1
j1
h(t)
0
0
t
p2
j1
H
(s)
(S
1 )2
12
h(t) et sin1t.u(t)
10
（2） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面
j
h(t)
j1 p1
0
0
t
j1 p2
H (s)
(S
1 )2
12
h(t) sin1t.u(t)
期末考试《信号与系统课程要点(吴大正)》
信号与线性系统复习提纲第一章信号与系统1．信号、系统的基本概念2．信号的分类，表示方法（表达式或波形）连续与离散；周期与非周期；实与复信号；能量信号与功率信号3．信号的基本运算：加、乘、反转和平移、尺度变换.图解时应注意仅对变量t作变换，且结果可由值域的非零区间验证。
4．阶跃函数和冲激函数极限形式的定义；关系；冲激的Dirac定义阶跃函数和冲激函数的微积分关系冲激函数的取样性质（注意积分区间）；;5．系统的描述方法数学模型的建立:微分或差分方程系统的时域框图，基本单元：乘法器，加法器，积分器（连)，延时单元(离）由时域框图列方程的步骤。
6．系统的性质线性：齐次性和可加性；分解特性、零状态线性、零输入线性.时不变性：常参量LTI系统的数学模型:线性常系数微分(差分）方程（以后都针对LTI系统）LTI系统零状态响应的微积分特性因果性、稳定性（可结合第7章极点分布判定）第二章连续系统的时域分析1．微分方程的经典解法：齐次解+特解(代入初始条件求系数）自由响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应的概念0—～0+初值（由初始状态求初始条件）：目的，方法（冲激函数系数平衡法)全响应=零输入响应+零状态响应；注意应用LTI系统零状态响应的微积分特性特别说明：特解由激励在t>0时或t〉=0+的形式确定2．冲激响应定义，求解(经典法），注意应用LTI系统零状态响应的微积分特性阶跃响应与的关系3．卷积积分定义及物理意义激励、零状态响应、冲激响应之间关系卷积的图示解法(了解）函数与冲激函数的卷积（与乘积不同）；卷积的微分与积分复合系统冲激响应的求解（了解)第三章离散系统的时域分析1．离散系统的响应差分方程的迭代法求解差分方程的经典法求解：齐次解+特解（代入初始条件求系数）全响应=零输入响应+ 零状态响应初始状态(是），而初始条件（指的是）2．单位序列响应的定义，的定义,求解（经典法)；若方程右侧是激励及其移位序列时,注意应用线性时不变性质求解阶跃响应与的关系3．卷积和定义及物理意义激励、零状态响应、冲激响应之间关系卷积和的作图解与的卷积和；结合前面卷积积分和卷积和，知道零状态响应除经典解法外的另一方法。
信号与系统第五章连续系统的s域分析V4.
结论：
1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(s)和收敛域 一起，可以唯一地确定f(t)。即：
2、不同的信号可以有相同的F(s)，但他们的收敛
域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则他们的
F(s) 必然不同！
三、单边拉普拉斯变换
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时
刻为0。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为:
s 1
f
(1) (0 )
f
(n) (t)
(
t )n
f
(x)dx
1 sn
F(s)
n m1
1 s nm1
f
(m) (0 )
例: t2(t) ←→?
t
0 (x) d x t (t)
t 0
2
(x) d x
t x (x) d x t 2 (t)
0
2
t 2 (t) 2
s3
教材第225页例5.2-8。
8 e 2 s 2s 2
(1 e2s 2s e2s )
2 e2s s2
(1 e2s
2s e2s )
三 时移性质（Time Shifting）:
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 ,
则f(t-t0)(t-t0) ←→ e-st0F(s) , Re[s]>0
与尺度变换相结合：则：
1 1
s2 s 1
,
ROC : 1
X 2 (s)
1 , s 1
ROC : 1
而 x1(t) x2(t) t 1 ROC为整个S平面
注：当 R与1 无R2交集时，表明 不X (存s)在。
二 尺度变换（Time Scaling）
第5章 系统函数与零、极点分析改
解 研究表明，该系统的微分方程为 即 从而得系统函数
由上式可得该系统的模拟框图，如图 (b)所示。
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k b
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§5.2 系统函数的零、极点
5.2.1零、极点的概念
零点： H(s)分子多项式N(s)=0的根，z1，z2， zm 极点： H(s)分母多项式D(s)=0的根，p1，p2， pn
H (s) I2 (s) 转移电流比 I1(s)
H (s) U2 (s) 转移阻抗 I1(s)
H (s) I2 (s) 转移导纳 U1(s)
双口传递函数 （转移函数）
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H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
锁相环是一个相位负反馈控制系统，应用很广。当 输入相位与输出相位的瞬时相位差恒定时，称为系 统锁定。
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例 锁相环及其阶跃响应：
三阶琐相环系统
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该系统函数
显然
a1a2 > a0a3
故系统稳定，且阶跃响应
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复习
一、系统函数的一般概念
即有如下关系：
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H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
H(s)是一个实系数有理分式，它决定了系统 的特征根（固有频率）；
H(s)为系统冲激响应的拉氏变换。
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第五章 S域分析
• 这样，频域的傅里叶变换就推广到了 复频域的拉普拉斯变换。
第4-5页
§5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、因果信号的单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
第4-6页
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
• 频谱函数
• 存在问题
F (j ) f (t ) e jt d t
令 s j ,则
Fb ( s)
d
ds j
,得
双边拉普拉斯变换对
f (t )e st d t
1 f (t ) 2
Fb ( j ) e ( j )t d
Fb ( s) 称为 f (t )
的双边拉普拉斯变换（或象函数） f (t ) 称为 Fb ( s) 的双边拉普拉斯逆变换（或原函数）
第五章 连续系统的S域分析
电子与信息工程学院
连续系统的S域分析 目 录
5.1 5.2 5.4 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质 复频域分析
5.3 拉普拉斯逆变换
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第4-2页
目 录
5.1
拉普拉斯变换
电子与信息工程学院
第4-3页
引言
上一章的频域分析是以虚指数信号ejωt为基本信号。
时域卷积定理 复频域（s域）卷积定理
f1 (t ) f 2 (t ) 2 j 1
c j c j
则 f1(t)*f2(t) ←→ F1(s)F2(s)
F1 ( ) F2 ( s ) d
(t ) f (t ) d F (s) ds
d n F ( s) d sn
jω
可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=<时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。
838 –信号与系统 考试大纲
海南大学硕士研究生入学考试《838 –信号与系统》考试大纲一、考试性质海南大学硕士研究生入学考试初试科目。
二、考试时间180分钟。
三、考试方式与分值闭卷、笔试。
满分150分。
四、考试内容第一章概论第一节信号的定义及其分类；第二节信号的运算；第三节系统的定义与分类；第四节线性时不变系统的定义及特征。
第二章连续时间系统的时域分析第一节微分方程的建立与求解；第二节零输入响应与零状态响应的定义和求解；第三节冲激响应与阶跃响应；第四节卷积的定义，性质，计算等。
第三章傅里叶变换第一节周期信号的傅里叶级数和典型周期信号频谱；第二节傅里叶变换及典型非周期信号的频谱密度函数；第三节傅里叶变换的性质与运算；第四节周期信号的傅里叶变换；第五节抽样定理；抽样信号的傅里叶变换；第六节能量信号，功率信号，相关等基本概念；以及能量谱，功率谱，维纳－欣钦公式。
第四章拉普拉斯变换第一节拉普拉斯变换及逆变换；第二节拉普拉斯变换的性质与运算；第三节线性系统拉普拉斯变换求解；第四节系统函数与冲激响应；第五节周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换；第五章 S域分析、极点与零点第一节系统零、极点分布与其时域特征的关系；第二节自由响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应和零、极点的关系；第三节系统零、极点分布与系统的频率响应；第四节系统稳定性的定义与判断。
第六章连续时间系统的傅里叶分析第一节周期、非周期信号激励下的系统响应；第二节无失真传输；第三节理想低通滤波器；第四节佩利－维纳准则；第五节希尔伯特变换；第六节调制与解调。
第七章离散时间系统的时域分析第一节离散时间信号的分类与运算；第二节离散时间系统的数学模型及求解；第三节单位样值响应；第四节离散卷积和的定义，性质与运算等。
第八章离散时间信号与系统的Z变换分析第一节 Z变换的定义与收敛域；第二节典型序列的Z变换；逆Z变换；第三节 Z变换的性质；第四节 Z变换与拉普拉斯变换的关系；第五节差分方程的Z变换求解；第六节离散系统的系统函数；第七节离散系统的频率响应；第八节数字滤波器的基本原理与构成。
零极点分析ppt课件
5.1.1 系统函数的定义
设系统的 n 阶微分方程为：
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(1) (t) a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) b1x(1) (t) b0 x(t) 若 y(k) (0 ) 0, x(k ) (0 ) 0
i1 k 1
29
自由响应
强迫响应
例5-4：电路如图所示，输入信号x(t)=5cos2t u(t),求输出电压
y(t),并指出y(t)中的自由响应和强迫响应分量。
R=1Ω +
x(t)
C=1F
1
+ H (s) Y (s) sC 1
y(t)
X (s) R 1 s 1 sC
-
-
X
(s)
5s s2
1
s 1 s 2 s2 3s 2
例： 图示电路，开关S在t = 0时刻闭合，以v2(t)作为响应，
输入信号 x(t) Eetu(t),
S
x(t )
R1
C R2 v2 (t)
（1）求冲激响应h(t)；
(2）求输出电压v2(t)；
1
解:
（1） H (s) V2 (s) 1/ R2 sC K
arctan L
sin(t
)
R
+
H (s) VR (s) R X (s) R sL
x(t)
vR(t)
R 1
L sR
-
L
--------- 转移电压比（电压传输函数6 ）
5.1.2 系统函数H(s)与冲激响应h(t)的关系
Yzs (s) H (s) X (s)
当 x(t) (t) 时， yzs (t) h(t) 而 X (s) [ (t)] 1
第五章 连续系统的S域分析
Re[s ] = σ > σ 0 = 0
t e t ε (t ) 、 t ε (t )
增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。
另外，要注意还有一类信号：时限信号
∫
∞
0
f (t ) e −σt dt
T1 T2
f (t )
f (t )
=∫
f (t ) e −σt dt < ∞
0
T1
(a )
T2
t
0
2
t
满足绝对可积的条件。
3
假设 f (t )e −σt 满足绝对可积条件，则
ℱ
[ f (t )e ] = ∫ f (t )e
−σ t ∞ −∞ ∞
−σ t
e − jω t dt
收敛
上述积分结果是 (σ + jω )的函数，令其为 Fb (σ + jω ) 即：
=∫
−∞
f (t )e − (σ + jω ) t dt
σ 的值使
∫
∞ −∞
f (t ) e − σ
e −σ t ,适当
t
当
t → ±∞ 时,
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：
f (t )e −σ t dt < ∞
例如
f (t ) = e 2 t ε (t )
2t ∞
∫
∞
−∞
e ε (t )dt = ∫ e 2 t dt
0
不满足绝对可积的条件。 只要
......
......
(1)
(2)
Fb (s ) 称为 f (t )的双边拉氏变换（或象函数）；
f (t ) 称为Fb (s )的双边拉氏逆变换（或原函数）。
中科院 研究生考试 859《信号与系统》大纲
中科院研究生院硕士研究生入学考试《信号与系统》考试大纲本《信号与系统》考试大纲适用于中国科学院研究生院信号与信息处理等专业的硕士研究生入学考试。
信号与系统是电子通信类等许多学科专业的基础理论课程，它主要研究信号与系统理论的基本概念和基本分析方法。
认识如何建立信号与系统的数学模型，通过时间域与变换域的数学分析对系统本身和系统输出信号进行求解与分析。
要求考生掌握基本概念与基本运算，并能加以灵活应用。
一、考试内容（一）概论1.信号的定义及其分类；2.信号的运算；3.系统的定义与分类；4.线性时不变系统的定义及特征。
（二）连续时间系统的时域分析1.微分方程的建立与求解；2.零输入响应与零状态响应的定义和求解；3.冲激响应与阶跃响应；4.卷积的定义，性质，计算等。
（三）傅里叶变换1.周期信号的傅里叶级数和典型周期信号频谱；2.傅里叶变换及典型非周期信号的频谱密度函数；3.傅里叶变换的性质与运算；4.周期信号的傅里叶变换；5.抽样定理；抽样信号的傅里叶变换；6.能量信号，功率信号，相关等基本概念；以及能量谱，功率谱，维纳－欣钦公式。
（四）拉普拉斯变换1.拉普拉斯变换及逆变换；2.拉普拉斯变换的性质与运算；3.线性系统拉普拉斯变换求解；4.系统函数与冲激响应；5.周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换；（五）S域分析、极点与零点1.系统零、极点分布与其时域特征的关系；2.自由响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应和零、极点的关系；3.系统零、极点分布与系统的频率响应；4.系统稳定性的定义与判断。
（六）连续时间系统的傅里叶分析1.周期、非周期信号激励下的系统响应；2.无失真传输；3.理想低通滤波器；4.佩利－维纳准则；5.希尔伯特变换；6.调制与解调。
（七）离散时间系统的时域分析1.离散时间信号的分类与运算；2.离散时间系统的数学模型及求解；3.单位样值响应；4.离散卷积和的定义，性质与运算等。
（八）离散时间信号与系统的Z变换分析1.Z变换的定义与收敛域；2.典型序列的Z变换；逆Z变换；3.Z变换的性质；4.Z变换与拉普拉斯变换的关系；5.差分方程的Z变换求解；6.离散系统的系统函数；7.离散系统的频率响应；8.数字滤波器的基本原理与构成。
信号与系统课件第五章-连续系统的S域分析
拉氏变换的基本性质
⑻ 复频域微分与积分特性
若 f t Fs
则
t f t d Fs
ds
,
tn
f
t
dn dsn
Fs
f
t
t
s
F
d
上一页
2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
24
拉氏变换的基本性质
⑼ 初值定理：若 f 及t 其各阶导数存在，不包含 及 t其 各
阶导数，且有
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信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
3
引言
傅里叶变换是将一个连续时间信号从 时域特性的描述变换为频域特性的描述， 而拉普拉斯变换是将时域特性描述变换为 复频域特性的描述。
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2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
4
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
1
复频域分析
通过变换将时间变量转变为复频率 变量，在复频域内分析信号特性、系统 特性及其系统响应的方法。
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信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
2
本章主要内容
拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯反变换 系统响应的分析
13
拉氏变换的收敛域
拉氏变换有收敛域：要注意的是并不是 f te一t概可积， 而要取决于 的性f t质 及σ 的大小，在一个区域可积，在另一 个区域不一定可积。
收敛域：满足绝对可积时， f te中tσ 的取值范围。对大部 分信号而言，收敛域是存在的，故后面将不再讨论（研究）收 敛域而直接变换。
零点极点分析
p1
z1
p0
z0
p2
z2
§5.1 由系统函数的极零点分布决定
时域特性 （1）时域特性——h(t) Ki与零点分布有关
m
k(s zj)
H(s)
j 1 n
(s pi)
i 1
反变换
h(t)
L1
n
i1
ki s pi
n
n
kie pit
hi (t)
s
R1C1 (s p1 )(s p2 )
H ( j )
k R1C1
N1e j1 M1e j1 M 2e j 2
k
N1
e V e j (1 1 2 )
1 j ( )
R1C1 M1M 2
V2
高通
M1
M2
N1
p1
1 R1C1
p2
1 R2C2
1 1
R1C1
自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零 点有关，即零点影响 K i , K k 系数
E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率， 与H(s) 无关
用H(s)只能研究零状态响应， H(s)中零 极点相消将使某固有频率丢失。
激励E(s)的极点影响
激励E(s)的极点也可能是复数
增幅，在稳定系统的作 用下稳下来，或与系统
暂态
稳态
（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。
V0t
(s)
K1
s
K1
V0 (s)(s
)
s
1 1
e eT
固定常数
【实验】连续时间系统S域零极点分析
【关键字】实验实验七连续时间系统S域零极点分析一、目的（1）掌握连续系统零极点分布与系统稳定性关系（2）掌握零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系（3）掌握利用MATLAB进行S域分析的方法二、零极点分布与系统稳定性根据系统函数的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应用之一。
稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数包含了系统的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。
对任意有界信号，若系统产生的零状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统，否则，则称为不稳定系统。
上述稳定性的定义可以等效为下列条件：●时域条件：连续系统稳定充要条件为，即冲激响应绝对可积；●复频域条件：连续系统稳定的充要条件为系统函数的所有极点位于S平面的左半平面。
系统稳定的时域条件和频域条件是等价的。
因此，只要考察系统函数的极点分布，就可判断系统的稳定性。
对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式方便地求出极点位置，从而判断系统稳定性，但对于告阶系统，手工求解极点位置则显得非常困难。
这时可利用MATLAB来实现这一过程。
例7-1：已知某连续系统的系统函数为：试用MATLAB求出该系统的零极点，画出零极点图，并判断系统是否稳定。
解：调用实验六介绍的绘制连续系统零极点图函数sjdt即可解决此问题，对应的MATLAB命令为：a=[8 2 3 1 5];b=[1 3 2];[p,q]=sjdt(a,b)运行结果为：p =-0.6155 - 0.6674i -0.6155 + 0.6674i 0.4905 - 0.7196i 0.4905 + 0.7196iq =-2 -1绘制的零极点图如图7-1所示。
由程序运行结果可以看出，该系统在S平面的右半平面有一对共轭极点，故该系统是一个不稳定系统。
三、零极点分布与系统冲激响应时域特性设连续系统的系统函数为，冲激响应为，则显然，必然包含了的本质特性。
对于集中参数的LTI连续系统，其系统函数可表示为关于s的两个多项式之比，即（7-1）其中为的M个零点，为的N个极点。
《信号与系统》教学课件 §5.9 s域零极点分布与时域特性的关系
l 1 v
• j1 n
(s Pk ) (s pi )
k 1
i 1
R(s)
v Ak k1 s pk
n Ai i1 s pi
r(t ) L1 R(s) n Ai e pi t u(t) v Ak e pk t u(t )
i 1
k 1
自由响应分量 ＋强制响应分量
X
四、结论
a 0, 在右实轴上 , h(t) e at u(t),a 0, 指数增加
H(s) s2 2 ,
p1 j , 在虚轴上
h(t) sintu(t)，等幅振荡
H(s)
(s
)2
2
,
p1 j , p2 j , 共轭根
当 0，极点在左半平面，衰减振荡
当 0，极点在右半平面，增幅振荡
1. 信号
k ke pt u t
s p
F(s)
f(t)
n1
i0
ki s p
i
n1 ki t ie pt u i0 i !
t
F(s)极点直接决定了f(t)时间系统的系统函数H(s)是 s的有理多
项式分式，即
H(s)
N(s) D(s)
bm sm bm1sm1 ansn an1sn1
59s域零极点分布与时域特性域零极点分布与时域特性的关系的关系北京航空航天大学电子信息学院201241信号与系统系统线性时不变连续时间系统的系统函数hs是s的有理多项式分式即1
信号与系统
§5.9 s域零极点分布与时域特性 的关系
北京航空航天大学电子信息学院 2021/8/4
一、极点分布决定时域特性
X
三.由H(s)的零极点确定系统响应
激励：
简述零点与极点的关系
简述零点与极点的关系
零点和极点都是线性系统的特征值，二者有着密切的关系。
在控制系统中，零点（或者称为零极）是指使系统的传递函数的分子为零的复数根，即令传递函数的分子为零时，系统的输出为零。
零点可以影响系统的稳定性、阻尼性能和频率响应等特性。
而极点是指使系统的传递函数的分母为零的复数根，即令传递函数的分母为零时，系统的输出无穷大。
极点可以决定系统的稳定性、阻尼性能和频率响应等特性。
零点和极点的位置和数量都会影响系统的特性。
一般来说，系统的零点和极点的分布越远离虚轴（实部为0），系统越稳定。
当零点和极点重合时，会导致系统出现共振或不稳定的情况。
因此，零点和极点之间的关系可以归结为对系统的特性产生影响。
通过合理设计系统的零点和极点，可以实现对系统的稳定性和性能进行控制和优化。
清华大学信号与系统课件第五章S域分析、极点与零点
2019/11/15
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22
本节作业
• 5-1，5-3，5-8，5-10， • 5-6*，5-9*，5-11* ， • 5-13，
2019/11/15
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§5.2- 暂态响应与稳态响应
• 系统H(s)的极点一般是复数，讨论它们 实部和虚部对研究系统的稳定性很重要
• 不稳定系统 Repi0增幅
j
0
p1
h(t)
0
et t
H(s) 1
S
h(t) et
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7
（2） 几种典型的极点分布——
(d)一阶共轭极点在虚轴上
j
p1 j1
h(t)
0
0
t
p 2 j1
H(s) 1
h(t)sin 1t.u(t)
2019/11/15
S 2
2
0 p1 t
H (s) 1 S
2019/11/15
h(t)u(t)
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5
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
j
0
p1
h(t)
e t
t
H(s) 1
S
h(t) et
2019/11/15
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6
（2） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴
幅度该变
相位偏移
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34
H(j0)H0ej0
H(j)H(j)ej(j)
若 0 换成 变量
系统频率
特性
幅频特性 相位特性
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p1
j ω1
0
h(t)
σ
0
−α
p2
− jω1
−αt
t
ω1 H (s) = 2 2 ( S + α ) + ω1
h(t ) = e sinω1t.u(t )
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面 共轭极点在右半平面 共轭极点在 jω h(t) jω1 p1
（1）一阶系统 ）
s − z1 H ( s) = K s − p1 s H ( s) = K s − p1
♦ 一零点，一在实轴的 一零点，
极点
♦ 一在原点的零点，一 一在原点的零点，
在实轴的极点
♦ 只有无穷远处的零点
k H (s) = s − p1
一在实轴的极点
例：求一高阶系统的频率特性
+ U1 — C R + U2 —
e(t )
τ
e(t)
t
R
C
v0 (t )
T
（1）求e(t)的拉氏变换 ） 的拉氏变换
1 1 (1 − e ) −sτ −snT E (s) = (1 − e )∑ e = −sT s s (1 − e ) n=0
∞
− sτ
（2）求系统函数 ）求系统函数H(s)
H (s) = 1 Cs R+ 1 Cs
激励E(s)的极点影响
♦ 激励 激励E(s)的极点也可能是复数 的极点也可能是复数 ♦ 增幅，在稳定系统的作 增幅，
用下稳下来，或与系统 用下稳下来， 某零点相抵消 ♦ 等幅，稳态 等幅，
♦ 衰减趋势，暂态 衰减趋势，
Re[ pk ] > 0 Re[ pk ] = 0 Re[ pk ] < 0
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳 周期矩形脉冲输入下图电路， 态响应。 态响应
U2 (s) R s H(s) = = = U1(s) R + 1 s + 1 sc RC
M
N
-1/RC
N j (ψ −θ ) H( jω) = e M
U2 U1
ω =0, N =0, M = 1RC NM =0
ω= , N=
1 RC
1 RC
,θ = 45 ,
0
ω=
900
1 RC
M=
ω
2
RC ,
N =1 M 2
E m H 0e = 2j
jϕ 0
Em H 0 j (ω 0t +ϕ 0 ) − j (ω 0t +ϕ 0 ) Rw ( s ) = e +e 2j
[
]
e(t) = Em sin 0t ω
幅度该变
r(t) = EmH0 sin( 0t +ϕ0 ) ω
相位偏移
H( jω0) = H0e
jϕ0
若 ω 0 换成 变量
jω
h(t)
σ
0
t
1 H ( s) = 2 (S + α )
h ( t ) = te
−αt
（3） 有二重极点分布 ） 有二重极点分布—— 上有二重极点 (c)在虚轴上有二重极点 在虚轴上有二
jω
h(t)
σ
0
t
2ω S H (s) = 2 2 2 (S + ω1 )
h (t ) = t sin ω 1t
450
ω = ∞,
N ≈ 1, ϕ − θ = 0 M
例： 求一阶低通滤波器的频率特性
+ R
+ U2
C
1 U2 Cs H (s) = = U1 R+
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点 共轭极点在虚轴上 共轭极点在虚轴上，原点有一零点
jω
p1
0
jω1
σ
h(t)
0
p2
− jω 1
t
S H (s) = 2 2 S + ω1
h(t ) = cos ω1t.u (t )
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (f)共轭极点在左半平面 共轭极点在左半平面 共轭极点在
阻抗、转移导纳、 阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳
系统函数的极零点分布
jω
H ( s) =
k ∏ (s − z j )
m
p1
p0
p2
z1
z0
∏ (s − p )
i =1 i
j =1 n
σ
z2
§5.1 由系统函数的极零点分布决定
时域特性 （1）时域特性 ）时域特性——h(t) Ki与零点分布有关
H (s) = k ∏ (s − z j )
与激励无关 ♦ 自由响应的幅度和相位与 自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零 和 的零 点有关， 点有关，即零点影响 K i , K k 系数 ♦ E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率， 的极点决定了强迫响应的振荡频率， 的极点决定了强迫响应的振荡频率 与H(s) 无关 ♦ 用H(s)只能研究零状态响应， H(s)中零 只能研究零状态响应， 中零 只能研究零状态响应 极点相消将使某固有频率丢失。 极点相消将使某固有频率丢失
域分析、 第五章 S域分析、极 点与零点
决定系统的时域响应 决定系统频率响应 决定系统稳定性
系统函数的定义
♦ 系统零状态下，响应的拉氏变换与激励 系统零状态下，
拉氏变换之比叫作系统函数，记作 拉氏变换之比叫作系统函数，记作H(s). 系统函数
R (s) H (s) = E (s)
♦ 可以是电压传输比、电流传输比、转移 可以是电压传输比、电流传输比、
jω
0
h(t )
σ
p1
t
1 H (s) = S
h (t ) = u (t )
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴 一阶极点在负实轴 一阶极点在
−α
p1
jω
0
h(t )
e −αt
σ
t
1 H (s) = S +α
h (t ) = e
−αt
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴 一阶极点在正实轴 一阶极点在
−at
2
ω
（4） 零点的影响 ）
♦ 零点的分布只影响时域函数的幅度
和相移， 和相移，不影响振荡频率
幅度多了 一个因子
h(t ) = e
−at
− at
cosωt
2
a ω h(t) = e 1+ cos( t −ϕ) ω a −1 ϕ = tg (− )
多了相移
ω
结论
♦ H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率， 的极点决定了自由响应的振荡频率， 的极点决定了自由响应的振荡频率
0
− jω 1
α
p2
σ
0
t
ω1 H (s) = ( S − α ) 2 + ω 12
h(t) = sinω1t.u(t)
（3） 有二重极点分布 ） 有二重极点分布—— 在原点有二 (a)在原点有二重极点 在原点有二重极点
jω
h(t)
σ
0
t
1 H (s) = 2 S
h(t ) = t
（3） 有二重极点分布 ） 有二重极点分布—— 在负实轴上有 (b)在负实轴上有二重极点 在负实轴上有二重极点
m
反变换
∏(s − p )
i i =1
j =1 n
h (t ) = L =
−1
n ki ∑ i =1 s − p i =
∑
n
i =1
k ie
pit
∑
n
i =1
hi (t )
总特性
第 i个极点决定
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (a)一阶极点在原点 一阶极点在原点 一阶极点在
θ = 450
M2
j1
1 1 H ( j1) = = M1M 2 M 3 2
θ 2 M 2 = 0.517 θ2 = 150
M3
θ3
j1
Байду номын сангаас
θ ( j1) = −(450 + 150 + 750 ) = 1350
M 3 = 1.932 θ 3 = 750
§5.3 一阶系统和二阶非谐振系统的 S平面分析 平面分析 已知该系统的H(s)的极零点在 平面 的极零点在S平面 ♦ 已知该系统的 的极零点在 的分布， 的分布，确定该系统的幅频特性和 相频特性的渐近线
α=
jω
1 RC
=
α
s +α
−α
σ
（3）求系统完全响应的拉氏变换 V0 ( s ) ）
α (1 − e ) V 0 ( s ) = E ( s ). H ( s ) = − sT s ( s + α )(1 − e )
− sτ
暂态
稳态
（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。
K1 V0t ( s) = s +α
jϕ ( jω )
e(t) = Em sinω0t
Emω 0 E (s) = 2 2 s + ω0
R (s) = E (s)H (s) k − jω 0 k jω 0 = + + s + jω 0 s − jω 0
∑
n
i =1
ki s − pi
由正弦激励的极点 决定的稳态响应
如系统是稳定的， 该项最后衰减为零