高中数学(人教b版)必修1导学案2.1.4《函数的奇偶性》 缺答案
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修1 2.1.4 函数的奇偶性》
函数的奇偶性教案一、教学重点1.函数奇偶性的定义及性质2.函数奇偶性的判断与证明二、教学难点1.函数奇偶性的判断与证明2.奇函数偶函数性质的证明三、教学目标1.通过探究过程总结概括函数奇偶性的定义2.灵活运用奇偶函数的性质3.学会用定义判断证明函数的奇偶性四、教学方法传统板书教学与t教学相结合，几何画板演示法，创设情境导入法五、教学过程（一）情境创设师：上节课我们从函数图像上升及下降的变化趋势研究了函数的单调性，那么今天我们将从函数图像的另一个角度去继续探究函数的另一个性质——奇偶性师：通过学生熟悉的伸展运动及太极八卦图，让学生观察并回忆这两幅图有什么特点？在初中已有的知识里把这样的图像叫什么？生：从几何角度来看，第一幅图是轴对称图形，以一条直线为对称轴，第二幅图是中心对称图形，以一个点作180°旋转重合，以一个点为对称中心师：在坐标系中的函数图像是否也具有这样的对称性的？生：观察函数y=x2与y=x3的图像，总结特征结论：y=x2图像关于轴对称，y=x3的图像关于原点对称师：如何用函数中的数学语言来科学严谨的描述这样的性质呢？（二）探究总结，形成概念1.老师带领学生通过赋特殊值观察函数y=x2自变量与函数值之间的关系，再利用几何画板动态演示为学生呈现直观的函数值与自变量之间的关系变化，会发现当自变量在定义域内任取相反数时都有f(−x)=f(x)2.学生依照上述探究方法，对函数y=x3自主探讨，总结自变量与函数值的关系：对定义域内的任意自变量,都有f(−x)=−f(x)3.通过上述讨论探究，师生共同整理总结得出函数奇偶性的定义：奇函数：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(−x)=−f(x),则称f(x)为奇函数偶函数：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(−x)=f(x),则称f(x)为偶函数4.通过函数奇偶性的定义给出几点说明（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性2 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数, 则f(−x)=－f(x)成立若函数f(x)为偶函数, 则f(−x)= f(x)成立（4）函数的奇偶性与最值都是在整个定义域上的性质，是“整体性质”，而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质，是“局部”性质．5 通过定义及图像总结奇函数与偶函数的性质（三）函数的奇偶性应用1课堂练习: 说出下列函数的奇偶性:①f=4_______ ②f= -1__________③f= ________ ④f= -2__________⑤f=5________ ⑥f= -3_______________对于形如f(x)=x n n∈Z的函数，在定义域R内:若n为偶数，则它为偶函数,若n为奇数，则它为奇函数。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修1 2.1.4 函数的奇偶性》6
函数的奇偶性教学设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇偶函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．三维目标1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与书写过程格式．错误!导入新课思路1同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？学生发现：图象关于轴对称．数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与轴对称的函数展开研究．思路2结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数＝2和＝3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．推进新课错误!错误!①如下图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．（幻灯片）②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于轴对称呢？填写下面两表，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？幻灯片③请给出偶函数的定义？④偶函数的图象有什么特征？⑤函数f＝2，∈[－1,2]是偶函数吗？⑥偶函数的定义域有什么特征？⑦观察函数f＝和f＝错误!的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生：①观察图象的对称性．②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．③利用函数的解析式来描述．④偶函数的性质：图象关于轴对称．⑤函数f＝2，∈[－1,2]的图象关于轴不对称；对定义域[－1,2]内＝2，f－2不存在，即其函数的定义域中任意一个的相反数－不一定也在定义域内，即f－＝f不恒成立．⑥偶函数的定义域中任意一个的相反数－一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则－也一定是定义域内的一个自变量即定义域关于原点对称；3具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；4可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；5函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质．讨论结果：①这两个函数之间的图象都关于轴对称．②填表如下．这两个函数的解析式都满足：f－3＝f3； f－2＝f2； f－1＝f1．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个，都有f－＝f．③设函数＝g的定义域为D，如果对D内的任意一个，都有－∈D，且g－＝g，则这个函数叫做偶函数．④偶函数的图象关于轴对称．⑤不是偶函数．⑥偶函数的定义域关于原点轴对称．⑦设函数＝f的定义域为D，如果对D内的任意一个，都有－∈D，且f－＝－f，则这个函数叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称．错误!问题：利用图象讨论基本初等函数的奇偶性．探究：利用判断函数的奇偶性的方法：图象法，可得正比例函数＝≠0是奇函数；反比例函数＝错误!≠0是奇函数；一次函数＝＋b≠0，当b＝0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数＝a2＋b＋ca≠0，当b＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数．错误!本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．错误!课本本节练习B 1、2错误!单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求．错误!1奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称．2奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立．3f－＝f ⇔f是偶函数，f－＝－f ⇔f是奇函数．4f－＝f ⇔f－f－＝0，f－＝－f ⇔f＋f－＝05两个奇函数的和差仍是奇函数，两个偶函数的和差仍是偶函数．奇偶性相同的两个函数的积商、分母不为零为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积商、分母不为零为奇函数；如果函数＝f和＝g的奇偶性相同，那么复合函数＝f[g]是偶函数，如果函数＝f和＝g的奇偶性相反，那么复合函数＝f[g]是奇函数，简称为“同偶异奇”．6如果函数＝f是奇函数，那么f在区间a，b和－b，－a上具有相同的单调性；如果函数＝f是偶函数，那么f在区间a，b和－b，－a上具有相反的单调性．7定义域关于原点对称的任意函数f可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f＝错误!＋错误!8若f是－a，aa＞0上的奇函数，则f0＝0；若函数f是偶函数，则f＝f－＝f||＝f－||若函数＝f既是奇函数又是偶函数，则有f＝0。
高中数学 第二章《函数》学案 新人教B版必修1
必修1函数复习 学案知识点解读：1、函数的定义、表示法：2、单调性：会用定义判断或证明函数的单调性 3、奇偶性：（1）奇函数在x=0时有定义，则必有f （0）=0 （2）偶函数f （x ）必有f （-x ）=f （x ）= f （︱x ︱） （3）会用定义证明、判断函数的奇偶性4、反函数：基础达标：1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是 （A ）2（B ）3（C ）4（D ）52、函数xx x f -+=11)(的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则（A ）B B A = （B ）B A ⊆ （C ）B B A =（D ）B A =3、若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(-(B))4,1(--(C))1,4(--(D))4,1(-4、已知函数)(x f y =的反函数)(1x f-的定义域为]1,0[，那么函数))((R m m x f y ∈+=的值域是（A ）]1,[m m -- （B ）]0,1[- （C ）]1,0[ （D ）R5、已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是 （A ）3≤a （B ）33≤≤-a （C ）30≤<a （D ）03<≤-a6、已知二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，则实数b 取值范围是 (A) ]43,(--∞ (B) )0,43[-(C) ),0[+∞ (D) )1,(--∞参考答案1.C2.B3.B4.C5.D6.D能力提高：1．设()124+-=x x x f ，则()=-01f________2．函数),(1R x mx y ∈+=与)(2R n n x y ∈-=互为反函数的充要条件是___________3．若点)41,2(既在函数bax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =__________________，b =_________________。
人教课标版(B版)高中数学必修1《函数的奇偶性》导学案
2.1.4 函数的奇偶性一．学习要点：函数的奇偶性的定义、性质及其简单应用二．学习过程：引例：已知函数()314f x x =，()2g x x =， 则有()f x -= ，()g x -=讨论()f x 与()f x -、()g x 与()g x -的关系。
1. 函数奇偶性的定义：奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数。
偶函数：设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，则这个函数叫做偶函数。
非奇非偶函数：既不是奇函数也不是偶函数的函数叫做非奇非偶函数。
奇偶性：如果一个函数()f x 在其定义域上是奇函数或是偶函数，则称函数()f x 具有奇偶性。
注意：（1） “对任意x D ，都有x D -∈”，说明函数的定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。
否则，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就不具有奇偶性；（2）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数也未必具有奇偶性，还需判断()f x -是否等于()f x ±，或判断()()f x f x ±-是否等于零，或判断()()f x f x -是否等于1±等等。
（3） 从函数奇偶性的角度，可将函数分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数以及既是奇函数又是偶函数；2. 函数奇偶性的性质：（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称的中心对称图形，则这个函数是奇函数。
（2）如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数。
注意：（1） 若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则()00f =；（2） 既是奇函数又是偶函数的函数图象在x 轴上。
新人教B版必修一2.1.4《函数的奇偶性》学案
ax b 1 x2 是定义在（－１，１）上的奇函数且
12 f ( ) ，求 f ( x)
25
1. 奇偶函数的概念
奇函数：设函数 y f ( x) 的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x ，都有
，
且
，则这个函数叫做奇函数。
偶函数：设函数 y g( x) 的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x ，都有
，
且
，则这个函数叫做偶函数。
2. 奇偶函数的图象性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标
（ 2） f ( x)
x x2 1
（3） f ( x) x2, x [ 1,3]
（ 4） f ( x) 1 x2 x2 1
小结：用定义判断函数奇偶性的步骤是：
班级：
姓名：
学号：
例 2. 已知 f ( x) 是 R 上的奇函数，且当 x (0, ) 时， f ( x) x2(1 x) ，求 f ( x)
为对称中心的中心对
称图形。反之，如果一个函数的图象是以
为对称中心的中心对称图形，则这个
函数是奇函数。
（2）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以
为对称轴的轴对称图形。
反之，如果一个函数的图象关于
对称，则这个函数是偶函数。
四、典例分析：
例 1. 判断下列函数是否具有奇偶性
（1） f ( x) x 1
2.1.4 函数的奇偶性
一、 学习目标：
1. 理解函数奇偶性的定义以及奇、偶函数的图象性质
;
2. 会利用定义判断并证明函数的奇偶性；
3. 应用函数的奇偶性研究函数的定义域、值域、单调性、作函数图象等。
二、重难点：
1. 函数奇偶性的判断是本节课的重点；
新人教版高中数学《函数的奇偶性》导学案
函数的奇偶性1.理解函数的奇偶性及其几何意义,掌握奇函数、偶函数的定义,并会利用定义判断函数的奇偶性.2.了解奇、偶函数图象的对称性,能够根据函数的奇偶性和一半函数的图象画出另一半函数的图象.3.能够运用函数的奇偶性解答函数解析式,进一步运用函数的性质解答问题.美丽的蝴蝶,盛开的花朵,富有创意的图标等都蕴含了对称的美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映.问题1:观察上面的两个图片,说明它们各具备怎样的对称性?第一个图片可看作一个轴对称图形,第二个图片可看作一个中心对称图形.问题2:(1)奇函数、偶函数是如何定义的?(2)具有奇偶性的函数的图象具有哪些特征?(1)偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么f(x)就叫作偶函数.奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么f(x)就叫作奇函数.(2)偶函数的图象关于对称,奇函数的图象关于对称.问题3:奇、偶函数的定义域有什么特点?奇函数若在x=0处有定义,能得出什么结论?函数的奇偶性是函数的整体性质.由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个必备条件是对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于对称).若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则必有f(0)= ,即函数图象必过.问题4:奇偶性与单调性有什么联系?(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有的单调性.(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有的单调性. 判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=(x-1);(2)f(x)=+-;(3)f(x)=--;(4)f(x)=-利用奇偶性求值或求范围若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是().A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)利用奇偶性求解析式已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求当x<0时,f(x)的解析式.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是().A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数考题变式(我来改编):函数的奇偶性知识体系梳理问题2:(1)f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)(2)y轴原点问题3:原点0原点问题4:(1)相同(2)相反重点难点探究探究一:【解析】(1)由≥0,得定义域为[-1,1),关于原点不对称,∴f(x)为非奇非偶函数.⇒x2=1⇒x=±1,∴f(x)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由-≥得定义域为[-1,0)∪(0,1],(3)由--≠=-,∴f(x)=---∵f(-x)=-=-=f(x),-∴f(x)为偶函数.(4)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x),当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x).综上所述,对任意的x∈(-∞,+∞),都有f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.【小结】准确地理解掌握函数的奇偶性的定义是解决问题的前提.判断函数奇偶性的步骤:(1)考虑定义域是否关于原点对称,如果不是,那么它一定不具有奇偶性.(2)考虑f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;若f(-x)既等于f(x),又等于-f(x),则函数既是奇函数又是偶函数;若f(-x)既不等于f(x),又不等于-f(x),则函数既不是奇函数,也不是偶函数.探究二:【解析】由题意知,函数f(x)的大致图象如图所示,易知f(x)<0的x 的取值范围为{x|-2<x<2},故选D.【答案】D【小结】在求解与奇偶性有关的抽象函数不等式时可画出函数的大致图象,利用数形结合思想求解.探究三:【解析】设x<0,则-x>0,∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|.故当x<0时,f(x)=x|x+2|.【小结】(1)在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间里.(2)转化为已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).全新视角拓展【解析】利用函数奇偶性的定义求解.A:令h(x)=f(x)·g(x),则h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),∴h(x)是奇函数,A错.B:令h(x)=|f(x)|g(x),则h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h(x),∴h(x)是偶函数,B错.C:令h(x)=f(x)|g(x)|,则h(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,∴h(x)是奇函数,C正确.D:令h(x)=|f(x)·g(x)|,则h(-x)=|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)·g(x)|=|f(x)·g(x)|=h(x),∴h(x)是偶函数,D 错.【答案】C思维导图构建f(-x)=-f(x)原点f(-x)=f(x)y轴。
《函数的奇偶性》导学案
《函数的奇偶性》导学案一、学习目标1、理解函数奇偶性的概念，能够根据函数的解析式和图象判断函数的奇偶性。
2、掌握函数奇偶性的判定方法，会利用奇偶性的定义证明函数的奇偶性。
3、了解函数奇偶性的性质，能运用函数的奇偶性解决一些简单的问题。
二、学习重点1、函数奇偶性的概念和判定方法。
2、利用函数奇偶性的性质解决问题。
三、学习难点1、对函数奇偶性概念的理解。
2、函数奇偶性的判定和性质的综合应用。
四、知识回顾1、函数的定义：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
2、函数的图象：对于一个函数 y ＝ f(x)，如果把定义域内每一个自变量 x 的值和对应的函数值 y 组成的有序数对(x, y)，都作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，就得到函数 y ＝ f(x) 的图象。
五、新课导入观察以下函数的图象：1、函数 f(x) ＝ x²的图象关于 y 轴对称。
2、函数 f(x) ＝ x³的图象关于原点对称。
思考：函数的图象具有这样的对称性，那么函数的解析式又有怎样的特点呢？六、概念讲解1、偶函数一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有f(−x) ＝f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。
例如，函数 f(x) ＝ x²，对于定义域内任意一个 x，都有f(−x) ＝（−（−x)²＝ x²＝ f(x)，所以 f(x) ＝ x²是偶函数。
2、奇函数一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有f(−x) ＝−f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。
例如，函数 f(x) ＝ x³，对于定义域内任意一个 x，都有f(−x) ＝（−x)³ ＝−x³ ＝−f(x)，所以 f(x) ＝ x³是奇函数。
人教新课标高中数学B版必修1《2.1.4 函数的奇偶性》教学设计
2.1.4《函数的奇偶性》教学设计一．教材分析：“函数的奇偶性”是普通高中课程标准试验教科书（必修）数学1的第二章第2.1.4节的内容。
函数的奇偶性是函数的一个重要性质，常伴随着函数的其他性质出现。
函数奇偶性揭示的是函数自变量与函数值之间的一种特殊的数量规律，直观反映的是函数图象的轴对称性和点对称性。
利用数形结合的数学思想来研究此类函数的问题常为我们展示一个新的思考视角。
函数的奇偶性也是学生今后研究三角函数、二次曲线等知识的重要铺垫，而且灵活地应用函数的奇偶性常使复杂的不等问题、方程问题、作图问题等变得简单明了。
二．学情分析：这节课是函数奇偶性质学习的第一课时，因此通过学生先对实物图的观察、分析、理解来获得函数的奇偶性再结合理论推导来理解函数的奇偶性就显得比较流畅。
这样一方面与学生的认知结构相吻合，另一方面也可以增强学生的阅读理解能力。
另外根据我班学生的情况，本教案在例题的选择及处理方式方面也可作适当调整。
三．教学目标1、知识与技能目标：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会用定义判断函数的奇偶性。
2、过程与方法目标：在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.3、情感、态度、价值观目标：在学生感受数学美的同时激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神。
四．教学重点、难点教学重点：函数奇偶性概念。
教学难点：对函数奇偶性的概念的理解及判断。
五．教学方法本节课采用观察、探索、启发、讨论、归纳等多种教学手段和方法，采用媒体辅助教学，通过数形结合，增强直观性，通过函数奇偶性的图象对称性演示，使学生享受到数学的美感。
六．教学用具：多媒体。
七．教学过程：（一）导入新课设计：提出问题“我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家观察下列事物给你的感觉体现了什么样的美感呢？”在屏幕上给出一组图片设计理由：联系生活实际，激发学生的学习兴趣，使学生对函数的奇偶性反应在图像上的特点有一个初步的认识。
人教B版高中数学必修一教案2.1.4《函数的奇偶性》
教课方案（一）设疑导入、观图激趣出示一组轴对称和中心对称的图片。
设计企图：经过图片惹起学生的兴趣，培育学生的审雅观，激发学习兴趣。
（二）指导察看、形成观点察看教材第 47 页图 2-20从图象得出结论，函数图象对于对称达成下表x3210123f ( x) x 2结论：从函数值对应表能够看出，当自变量 x 随意取一对相反数时，相应的两个函数值f ( x)，这时我们称这一类函数为偶函数。
定义：模仿这个过程，说明 f (x)x 与f ( x)x 2 2 也是偶函数察看教材第 47 页图 2-19从图象得出结论，函数图象对于对称达成下表x3210123f (x)x3结论：从函数值对应表能够看出，当自变量 x 随意取一对相反数时，相应的两个函数值f ( x)，这时我们称这一类函数为奇函数定义：模仿这个过程，说明 f (x) x 与 f (x) x32x 也是奇函数（三）学生研究、领悟定义【预习检测】练习 1：说出以下区间能否对于坐标原点对称1.R2.( 1,1)3.( 1,1]4.( ,0) U (0,)5.( ,1) U (1,)6.{ 2, 1,0,1,2}7.[a,b](a b)练习 2：判断以下图象是不是偶函数的图象？函数定义域：Ry-4 -3 -2-1 o12 3 4●x○（四）知识应用、稳固提升学生活动：试试独立解答部分习题。
教师活动：翻开 PPT，出示问题，重申停题格式，板演部分解题过程，率领学生归纳解题步骤：第一，确立函数的定义域，并判断其定义域能否对于原点对称；其次，确立与的关系；最后，得出相应的结论。
【精讲点拨】例 1、判断以下函数的奇偶性1. f ( x) x 12. f ( x)x23. f ( x) ( x ) 2 x[思想一点通 ]：4. f ( x)x2 1 1 x2研究：什么样的函数既是奇函数，又是偶函数？它的图象有什么特色？设计企图：实时稳固所学的新知，经过例题，使学生在学习新知识的同时能加以应用，使学生体验到学习数学过程中的成就感。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修1 2.1.4 函数的奇偶性》9
课 题：函数的奇偶性使用说明： 1、用2021自学总结，独立完成问题导学，总结题型和方法；2、书写认真，步骤规范，布局合理，上课积极讨论、展示 一、问题导学1、设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且 ，则这个函数叫做奇函数。
2、设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且 ，则这个函数叫做奇函数。
3、函数()y f x =是奇函数⇔这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；函数()y f x =是偶函数⇔这个函数的图象是以Y 轴为对称轴的轴对称图形；4、用定义判断函数奇偶性的步骤：（1）考查定义域是否关于原点对称；（2）判断()()f x f x -=±之一是否成立；（3）下结论。
5、结论：奇函数在对称区间上具有 单调性；偶函数在对称区间上具 有 的单调性。
二、讨论、交流、展示、点评 1、判断下列函数是否具有奇偶性：35(1)();f x x x x =++ 2(2)()1;f x x =+(3)()1;f x x =+ （4）2(),[1,3]f x x x =∈-2、判断下列论断是否正确，并说明理由： （1）如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；（2）如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；（3）如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；（4）如果一个函数的图象关于Y 轴对称，则这个函数为偶函数。
3、如果奇函数()y f x =在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10,最小值为4,那么()y f x =在[－6,－1]上是增函数还是减函数？求()y f x =在 [－6,－1]上的最大值和最小值。
4、判断下列函数的奇偶性：（1）()53;f x x =+ （2）()5f x x =； （3）2()21f x x =+； （4）2()69;f x x x =++三、拓展提升 1、判断奇偶性：（1）()f x = （2）2211,02()11,02x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩（3）()f x = （4）()(f x x =-2、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，()(1f x x =求()f x 在R 上的解析式。
高中数学 2.1 函数 2.1.4 函数的奇偶性导学案(无答案)新人教B版必修1
2.1.4函数的奇偶性【学习目标】1. 理解函数奇偶性的定义及其图象特征。
2. 能根据定义判断函数的奇偶性。
3. 结合函数的奇偶性研究函数的其他性质。
【自主学习】1.作出函数f(x)=2x 和g(x)=3x 的图象，观察图象的对称性。
1s ：列表2s ：描点作图由图象可知，()y f x =的图象关于 对称，用式子可表达为 。
()y g x =的图象关于 对称，用式子可表达为 。
2. 设函数()y f x =的定义域为D ， 则这个函数叫偶函数。
偶函数的图象是 。
设函数()y g x =的定义域为D ， 则这个函数叫奇函数。
奇函数的图象是 。
3. 函数根据奇偶性可分成四类： 。
跟踪1：判断下列函数的奇偶性① 53()f x x x x =++ ②2()1f x x =+③()1f x x =+ ④2(),[1,3]f x x x =∈-跟踪2：研究函数21y x=的性质（定义域，值域，单调性，奇偶性）并作出图象跟踪3：课本49页练习A 1. 2. 3. 4. 5.【典例示范】例1.判断函数的奇偶性①()f x②()f x =③()22f x x x =+-- ④2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪-+->⎩总结提高：判断函数奇偶性的步骤是：例2.已知函数()f x 对任意实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断函数的奇偶性例3：已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-，求0x <时函数的解析式【巩固拓展】1、已知()f x 为R 上的奇函数，且当x (0,)∈+∞时，f(x)=(1x +,求f(x)。
【归纳总结】1. 判断函数奇偶性首先要看什么？2. 判断函数奇偶性的步骤：3、奇偶性对函数的其他性质有什么影响？【快乐体验】1、下列说法中，不正确的是（ ）A. 图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B. 奇函数的图象一定经过原点C. 偶函数的图象若不经过原点，则它与x 轴交点的个数一定是偶数D.图象关于y 轴成轴对称的函数一定是偶函数2、若函数()y f x =的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能是偶函数的一个为（ ）。
人教b版高一数学必修一：2.1.4《函数的奇偶性(1)》学案(含答案)
2.1.4函数的奇偶性(一)自主学习学习目标1．掌握函数的奇偶性的定义和判断方法．2．理解奇函数和偶函数的图象的特点．自学导引1．阅读课本内容填写下表：(2)有没有既是奇函数又是偶函数的函数？举例说明．对点讲练知识点一函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝2x2＋2x x＋1；(3)f(x)＝1－x2＋x2－1；(4)f(x)＝4－x2 |x＋2|－2.规律方法(1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤为：①先求定义域，考查定义域是否关于原点对称；②有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(－x)与f(x)的关系；判断函数奇偶性可用的变形形式：若f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数．(2)奇(偶)函数的性质①f(x)为奇函数，定义域为D，若0∈D，则必有f(0)＝0；②在同一个关于原点对称的定义域上，奇函数＋奇函数＝奇函数；偶函数＋偶函数＝偶函数；奇函数×奇函数＝偶函数；偶函数×偶函数＝偶函数．变式迁移1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2－|x|；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝x－1＋1－x.知识点二 分段函数奇偶性的证明例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3 (x <0)－x 2＋2x －3 (x >0)，判断f (x )的奇偶性．规律方法 (1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x 与－x 所满足的对应关系，如x >0时，f (x )满足f (x )＝－x 2＋2x －3，－x <0满足的不再是f (x )＝－x 2＋2x －3，而是f (x )＝x 2＋2x ＋3；(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f (－x )＝－f (x )，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的．(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断． 变式迁移2 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1(x >0)，0(x ＝0)，x ＋1(x <0)的奇偶性．知识点三 抽象函数奇偶性的判断例3 已知函数f (x )，x ∈R ，若对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．求证：f (x )为奇函数．规律方法 抽象函数奇偶性的判定是根据定义，即寻求f (x )与f (－x )的关系，需根据这样的目标，认真分析函数所满足的条件式的结构特征，灵活赋值．变式迁移3 函数f (x )，x ∈R ，且f (x )不恒为0.若对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)．求证：f (x )为偶函数．1．在奇函数与偶函数的定义域中，都要求x ∈D ，－x ∈D ，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件．2．解题中可以灵活运用f (x )±f (－x )＝0对奇偶性作出判断．3．奇函数f (x )若在x ＝0处有意义，则必有f (0)＝0.课时作业一、选择题1．已知函数f (x )＝1x 2(x ≠0)，则这个函数( ) A ．是奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数2．奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )的图象必过点( )A ．(a ，f (－a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a )) D.⎝⎛⎭⎫a ，f ⎝⎛⎭⎫1a 3．函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．如图是一个由集合A 到集合B 的映射，这个映射表示的是( )A ．奇函数而非偶函数B ．偶函数而非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数5．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数二、填空题6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.7．下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0 (x ∈R )；④偶函数的图象关于y 轴对称，其中正确的命题有______个．8．已知f (x )＝ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)＝__________.三、解答题9．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2x －1＋1－2x ； (2)f (x )＝x 4＋x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2 (x >0)0 (x ＝0)－x 2－2 (x <0)； (4)f (x )＝x 3－x 2x －1.10．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x ，y ，f (x )都满足f (x ·y )＝y ·f (x )＋x ·f (y )．(1)求f (1)，f (－1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由．2．1.4 函数的奇偶性(一)答案自学导引1．原点 原点 原点 y 轴 f (－x )＝－f (x )f (－x )＝f (x )2．(1)0 (2)有，例如f (x )＝0，x ∈[－1,1]．对点讲练例1 解 (1)函数定义域为R .f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．(2)函数的定义域为{x |x ≠－1}．不关于原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2≥0x 2－1≥0，得x ＝±1， 此时f (x )＝0，x ∈{－1,1}．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)∵⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．此时f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2＝4－x 2x .又f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2为奇函数．变式迁移1 解 (1)既是奇函数，又是偶函数．∵f (x )＝0，f (－x )＝0.∴f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )．(2)函数的定义域为R ，∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )，∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，1－x ≥0，知x ＝1，∴函数f (x )的定义域为{1}，不关于原点对称．故f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．例2 解 ①当x <0时，－x >0.f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3＝－x 2－2x －3＝－f (x )．②当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f (x )，综上可知f (x )为奇函数．变式迁移2 解 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x －1＝－(x ＋1)＝－f (x )，当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x ＋1＝－(x －1)＝－f (x )，而f (0)＝0，∴f (x )是奇函数．例3 证明 设a ＝0，则f (b )＝f (0)＋f (b )，∴f (0)＝0. 又设a ＝－x ，b ＝x ，则f (0)＝f (－x )＋f (x )．∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．变式迁移3 证明 令x 1＝0，x 2＝x ，则得f (x )＋f (－x )＝2f (0)f (x )①又令x 1＝x ，x 2＝0，得f (x )＋f (x )＝2f (x )f (0)②由①、②得f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．课时作业1．C [∵x ≠0，∴f (－x )＝1(－x )2＝1x 2＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．]2．C [∵y ＝f (x )是奇函数，过(－a ，f (－a ))点，而f (－a )＝－f (a )∴y ＝f (x )过点(－a ，－f (a ))．]3．C [结合选项，当a ＝1时，y ＝x 2－1，显然为偶函数．]4．C [因为f (x )＝0，x ∈{－2,2}，满足f (－x )＝±f (x )． 所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数．]5．A [∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ax 2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c ，∴b ＝0，此时g (x )＝ax 3＋cx (a ≠0)，由于g (－x )＝a (－x )3＋c (－x )＝－(ax 3＋cx )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．]6.130 解析 ∵f (x )是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，∴a －1＝－2a ，∴a ＝13. 又f (－x )＝f (x )，即13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b .∴b ＝0. 7．1解析 ①错误，如偶函数f (x )＝1x2的图象与纵坐标轴不相交．②错误，如奇函数f (x )＝1x不过原点． ③错误，如f (x )＝0，x ∈[－1,1]，既是奇函数又是偶函数． ④正确．8．－26解析 ∵f (－x )＋f (x )＝－16，∴f (2)＋f (－2)＝－16， ∴f (2)＝－26.9．解 (1)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，不关于原点对称． 该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)定义域为R ，关于原点对称，f (1)＝2，f (－1)＝0， ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，故其既不是奇函数也不是偶函数．(3)定义域为R ，关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )；当x ＝0时，f (0)＝0.故该函数为奇函数．(4)函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，不关于原点对称．所以函数f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数． 10．解 (1)∵f (x )对任意x ，y 都有f (x ·y )＝y ·f (x )＋x ·f (y )，令x ＝y ＝1时，有f (1·1)＝1·f (1)＋1·f (1)，∴f (1)＝0.令x ＝y ＝－1时，有f [(－1)·(－1)]＝(－1)·f (－1)＋(－1)·f (－1)，∴f (－1)＝0.(2)∵f (x )对任意x ，y 都有f (x ·y )＝y ·f (x )＋x ·f (y )，∴令x ＝t ，y ＝－1，有f (－t )＝－f (t )＋t ·f (－1)．将f (－1)＝0代入得f (－t )＝－f (t )，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上为奇函数．。
2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修1 2.1.4 函数的奇偶性》
课题：函数的奇偶性使用说明：1、用2021自学总结，独立完成问题导学，总结题型和方法；2、书写认真，步骤标准，布局合理，上课积极讨论、展示一、问题导学1、设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个，都有，且，那么这个函数叫做奇函数。
2、设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个，都有，且，那么这个函数叫做奇函数。
3、函数是奇函数这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；函数是偶函数这个函数的图象是以Y轴为对称轴的轴对称图形；4、用定义判断函数奇偶性的步骤：〔1〕考查定义域是否关于原点对称；〔2〕判断之一是否成立；〔3〕下结论。
5、结论：奇函数在对称区间上具有单调性；偶函数在对称区间上具有的单调性。
二、讨论、交流、展示、点评1、判断以下函数是否具有奇偶性：〔4〕2、判断以下论断是否正确，并说明理由：〔1〕如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为奇函数；〔2〕如果一个函数为偶函数，那么它的定义域关于坐标原点对称；〔3〕如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数；〔4〕如果一个函数的图象关于Y轴对称，那么这个函数为偶函数。
3、如果奇函数在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10,最小值为4,那么在[－6,－1]上是增函数还是减函数？求在[－6,－1]上的最大值和最小值。
4、判断以下函数的奇偶性：〔1〕〔2〕；〔3〕；〔4〕三、拓展提升1、判断奇偶性：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕2、设是R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式。
3、为奇函数，当时，的表达式。
四、当堂检测1、函数为〔〕A、奇函数B、偶函数C、既是奇函数又是偶函数D、非奇非偶函数2、奇函数〔〕的图象必经过点〔〕3、设是R上的偶函数且在上是减函数，假设，那么〔〕D不确定4、假设函数是偶函数，当，那么当的解析式为〔〕5、假设函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数且，那么使得的取值范围是〔〕6、函数；五、本节小结知识方面：数学思想方面：营养餐1、函数，假设为奇函数，那么a＝；2、设是R上的任意函数，那么以下表达正确的选项是〔〕A、是奇函数B、是奇函数C、是偶函数D、是偶函数。
数学新学案同步必修一人教B版全国通用版讲义：第2章 函数2.1.4 Word版含答案
2.1.4函数的奇偶性学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．知识点一函数奇偶性的定义奇、偶函数的概念知识点二奇(偶)函数的定义域特征在奇函数和偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于原点对称，因而判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．知识点三函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案①②关于y轴对称，③④关于原点对称．梳理奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． (2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．1．关于y 轴对称的图形都是偶函数的图象．( × )2．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．( √ ) 3．有些函数既非奇函数，又非偶函数．( √ )4．奇函数f (x )＝1x ，当x >0时的解析式与x <0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．( × )类型一 判断函数的奇偶性命题角度1 已知函数解析式，证明奇偶性例1 (1)证明f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数；(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；(3)证明f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数．证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，因为函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因为f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为偶函数．又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定属于定义域．其次，依据定义域，对函数f (x )的解析式能化简的先化简，再判断f (－x )与f (x )解析式的关系，从而确定出函数f (x )的奇偶性． 跟踪训练1 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x2－x既不是奇函数也不是偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数．证明 (1)由2＋x 2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，因为f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数． 命题角度2 证明分段函数的奇偶性例2 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋5)2－4，x ∈(－6，－1]，(x －5)2－4，x ∈[1，6)的奇偶性． 解 由题意可知f (x )的定义域为(－6，－1]∪[1,6)， 关于原点对称，当x ∈(－6，－1]时，－x ∈[1,6)，所以f (－x )＝(－x －5)2－4＝(x ＋5)2－4＝f (x )； 当x ∈[1,6)时，－x ∈(－6，－1]，所以f (－x )＝(－x ＋5)2－4＝(x －5)2－4＝f (x )． 综上可知对于任意的x ∈(－6，－1]∪[1,6)， 都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋5)2－4，x ∈(－6，－1]，(x －5)2－4，x ∈[1，6)是偶函数．反思与感悟 分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称；(2)对于定义域内的任意x ，是否都有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))，只不过对于不同的x ，f (x )有不同的表达式，要逐段验证是否都有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))．跟踪训练2 证明f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x <0，x 2，x >0是奇函数．证明 定义域为{x |x ≠0}． 若x <0，则－x >0，∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，∴f(－x)＝－f(x)；若x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，∴f(－x)＝－f(x)；即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．命题角度3证明抽象函数的奇偶性例3f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性．解∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数．f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数．f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数．反思与感悟利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x看结果．跟踪训练3设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数答案 C解析A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．类型二奇偶性的应用命题角度1奇(偶)函数图象的对称性的应用例4定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．引申探究把例4中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思与感悟鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．跟踪训练4已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．命题角度2利用函数的奇偶性求解析式例5函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．解设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴f(x)＝－x－1.∴当x<0时，f(x)＝－x－1.反思与感悟求某个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练5已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2.求y＝f(x)的解析式．解设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.因为y ＝f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，2x －x 2，x >0.1．下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x答案 D解析 D 中，∵f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．2．函数f (x )＝x (－1<x ≤1)的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 答案 C3．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－5 D ．5答案 D解析 ∵函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，∴x ＝±2时函数值相等． ∴f (－2)－2＝f (2)＋2， ∴f (－2)＝5，故选D.4．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B5．已知函数f(x)为偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x＋1，则x＞0时，f(x)＝________.答案－x＋1解析设x＞0，则－x＜0，∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x＋1.1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．3．证明一个函数是奇(偶)函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(x))．而证明一个函数不是奇(偶)函数，只要能举出一个反例就可以了.一、选择题1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于()A．－1 B．1 C．0 D．2答案 A解析因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，故选A.2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于()A．－3 B．－1 C．1 D．3答案 A解析∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.3．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．4．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12 D ．－12答案 B解析 依题意得b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13.5．函数f (x )＝|x ＋1|－|x －1|为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 答案 A解析 f (x )的定义域为R ，对于任意x ∈R ，f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．又f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (－1)≠f (1)， ∴f (x )不是偶函数．6．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (3)＝0，则不等式f (x )－f (－x )2>0的解集为( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)答案 A解析 ∵f (x )为奇函数，f (3)＝0， ∴f (－3)＝0.又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0)上也为增函数， 又∵f (x )－f (－x )2＝f (x )>0，①当x >0时，则f (x )>f (3)＝0，∴x >3； ②当x <0时，则f (x )>f (－3)＝0，∴－3<x <0， 综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)． 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 答案 0解析 由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.8．若函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为________． 答案 a >1 解析 ∵函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且非奇函数，∴f (－x )＝f (x )且f (－x )≠－f (x )．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，a －x 2≥0，∴a ≥1.当a ＝1时，函数f (x )＝x 2－1＋1－x 2为偶函数且为奇函数，不符合题意．故a >1.9．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.答案 43解析 根据题意，得f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43. 10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x <0，x (1＋x )，x >0为________．(填“奇函数”或“偶函数”) 答案 奇函数解析 定义域关于原点对称，且f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x (1＋x )，－x <0，－x (1－x )，－x >0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，x >0，－x (1－x )，x <0 ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．三、解答题11．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1. 解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域是R .∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．12．设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求实数a 的取值范围．解 由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，可知f (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵2a 2＋a ＋1＝2⎝⎛⎭⎫a ＋142＋78>0， 2a 2－2a ＋3＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋52>0， 且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，即3a －2>0，解得a >23. ∴实数a 的取值范围是a ＞23.四、探究与拓展13．设奇函数f (x )的定义域为[－6,6]，当x ∈[0,6]时，f (x )的图象如图所示，不等式f (x )<0的解集用区间表示为________．答案 [－6，－3)∪(0,3)解析 由f (x )在[0,6]上的图象知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0,3)．又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．14．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25，求函数f (x )的解析式． 解 ∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f (0)＝0，即b 1＋02＝0，∴b ＝0. 又∵f ⎝⎛⎭⎫12＝12a 1＋14＝25， ∴a ＝1，∴f (x )＝x 1＋x 2.。
人教B版数学必修一第二章2.1.4《函数的奇偶性》教学设计
人教B版必修一第二章2.1.4函数的奇偶性教学设计1.教学内容解析：“函数的奇偶性”是函数的一个重要性质，常伴随着函数的其他性质出现。
函数奇偶性揭示的是函数自变量与函数值之间的一种特殊的数量规律，直观反映的是函数图象的对称性。
利用数形结合的数学思想来研究此类函数的问题常为我们展示一个新的思考视角。
函数的奇偶性也是今后研究三角函数、二次曲线等知识的重要铺垫，而且灵活地应用函数的奇偶性常使复杂的不等式问题、方程问题、作图问题等变得简单明了。
2.教学目标设置：知识目标：了解奇函数与偶函数的概念能力目标:(1)能从数和形两个角度认识函数奇偶性（2）能运用定义判断函数奇偶性情感目标：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结合、从特殊到一般的数学思想教学重点：对函数奇偶性概念本质的认识教学难点:(1)对函数奇偶性概念本质的认识本节课利用函数奇偶性定义来判断函数奇偶性数学教学，不仅仅是知识的教学、技能的训练，更应使学生的能力得到提高。
本节课应使学生掌握函数奇偶性的定义，会用定义判断简单函数的奇偶性。
在学生经历函数奇偶性的探究和应用过程中，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。
注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。
在教学中，重点应为理解函数奇偶性概念的本质特征；掌握函数奇偶性的判别方法。
3.学生学情分析：对高一学生来说，由于初中代数主要是具体运算，因而代数推理能力较弱，许多学生甚至弄不清代数形式证明的意义和必要性。
因此教学难点是运用函数符号特征，运用定义法进行有关奇偶函数问题的证明，提升驾驭知识、解决问题的能力。
突出重点、突破难点的关键是设计有一定思维含量的问题与实例，引导学生思考、分析讨论，加深学生对函数奇偶性的认识与应用。
结合直观的图形，充分发挥数形结合思想的功能，使学生的感性认识提高到理性认识。
(人教B版)必修一名师精品：2.1.4《函数的奇偶性》教案设计(含答案)
示范教案整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．三维目标1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与书写过程格式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称．)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．推进新课新知探究提出问题①如下图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写下面两表，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？|③请给出偶函数的定义？④偶函数的图象有什么特征？⑤函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数吗？⑥偶函数的定义域有什么特征？⑦观察函数f(x)＝x和f(x)＝1x的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生：①观察图象的对称性．②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．③利用函数的解析式来描述．④偶函数的性质：图象关于y轴对称．⑤函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]的图象关于y轴不对称；对定义域[－1,2]内x＝2，f(－2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数－x不一定也在定义域内，即f(－x)＝f(x)不恒成立．⑥偶函数的定义域中任意一个x的相反数－x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；(2)由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；(4)可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质．讨论结果：①这两个函数之间的图象都关于y轴对称．②填表如下．这两个函数的解析式都满足：f(－3)＝f(3)；f(－2)＝f(2)；f(－1)＝f(1)．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)．③设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．④偶函数的图象关于y轴对称．⑤不是偶函数．⑥偶函数的定义域关于原点轴对称．⑦设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称．应用示例思路1例1判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．解：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R，当x∈R时，－x∈R.因为f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋x3＋x5是奇函数．(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R时，－x∈R.因为f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，所以f(x)＝x2＋1是偶函数．(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，当x∈R时，－x∈R.因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)．因此，f(x)＝x＋1既不是奇函数也不是偶函数．(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在3∈[－1,3]，而－－1,3]，所以f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是奇函数也不是偶函数．点评：在奇函数与偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数－x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系．③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数.域内任意一个例2研究函数y＝1x2的性质并作出它的图象．解：已知函数的定义域是x≠0的实数集，即{x∈R|x≠0}．由函数的解析式可以推知：对任意的x值，对应的函数值y＞0，函数的图象在x轴的上方；函数的图象在x＝0处断开，函数的图象被分为两部分，且f(－x)＝f(x)，这个函数为偶函数；当x的绝对值变小时，函数值增大得非常快，当x的绝对值变大时，函数的图象向x轴的两个方向上靠近x轴．由以上分析，以x＝0为中心，在x轴的两个方向上对称地选取若干个自变量的值，计算出对应的y值，列出x，y的对应值表：在直角坐标系中，描点、连成光滑曲线，就得到这个函数的图象，如下图所示．由图象可以看出，这个函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．点评：当函数y＝f(x)不是基本初等函数时，通常利用其性质来画其图象，即根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性来估计其图象的特点.思路2例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x 2，x∈[－1,2]； (2)f(x)＝x 3－x2x －1；(3)f(x)＝x 2－4＋4－x 2.活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法．先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．在(4)中注意定义域的求法，对任意x∈R，有1＋x 2＞x 2＝|x|≥－x ，则1＋x 2＋x ＞0.则函数的定义域是R.解：(1)因为它的定义域[－1,2]不关于原点对称，函数f(x)＝x 2，x∈[－1,2]既不是奇函数又不是偶函数．(2)因为它的定义域为{x|x∈R 且x≠1}，并不关于原点对称，函数f(x)＝x 3－x 2x －1既不是奇函数又不是偶函数．(3)∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x＝±2，即f(x)的定义域是{－2,2}． ∵f(2)＝0，f(－2)＝0，∴f(2)＝f(－2)，f(2)＝－f(2)．∴f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)． ∴f(x)既是奇函数也是偶函数． 点评：本题主要考查函数的奇偶性．定义法判断函数奇偶性的步骤是(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，且当x ＞1时f(x)＞0，f(2)＝1，(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)试比较f(－52)与f(74)的大小．分析：(1)转化为证明f(－x)＝f(x)，利用赋值法证明f(－x)＝f(x)；(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f(－52)和f(74)转化为同一个单调区间上的函数值．(1)证明：令x 1＝x 2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f(1)＝f[－1×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0. ∴f(－1)＝0.∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．(2)证明：设x 2＞x 1＞0，则f(x 2)－f(x 1)＝f(x 1·x 2x 1)－f(x 1)＝f(x 1)＋f(x 2x 1)－f(x 1)＝f(x 2x 1)．∵x 2＞x 1＞0，∴x 2x 1＞1.∴f(x 2x 1)＞0，即f(x 2)－f(x 1)＞0.∴f(x 2)＞f(x 1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)解：由(1)知f(x)是偶函数，则有f(－52)＝f(52)．由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(52)＞f(74)．∴f(－52)＞f(74)．点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系式进f(知能训练1．设函数y ＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝__________. 解析：∵函数y ＝f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.∴2[f(1)＋f(2)]＝－6.∴f(1)＋f(2)＝－3. 答案：－32．f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a]，则a ＝__________，b ＝__________. 解析：∵偶函数定义域关于原点对称，∴a－1＋2a ＝0.∴a＝13.∴f(x)＝13x 2＋bx ＋1＋b.又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.答案：133．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析：f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(2＋0)＝－f(0)． 又f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0.∴f(6)＝0. 答案：B 拓展提升问题：利用图象讨论基本初等函数的奇偶性．探究：利用判断函数的奇偶性的方法：图象法，可得 正比例函数y ＝kx(k≠0)是奇函数；反比例函数y ＝kx(k≠0)是奇函数；一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)，当b ＝0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，当b ＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数． 课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．作业课本本节练习B 1、2.设计感想 单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求．备课资料 奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立．(3)f(－x)＝f(x) ⇔f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x) ⇔f(x)是奇函数．(4)f(－x)＝f(x) ⇔f(x)－f(－x)＝0，f(－x)＝－f(x) ⇔f(x)＋f(－x)＝0. (5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数．奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y ＝f(x)和y ＝g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y ＝f[g(x)]是偶函数，如果函数y ＝f(x)和y ＝g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y ＝f[g(x)]是奇函数，简称为“同偶异奇”．(6)如果函数y ＝f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a ，b)和(－b ，－a)上具有相同的单调性；如果函数y ＝f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a ，b)和(－b ，－a)上具有相反的单调性．(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)＝f(x)－f(－x)2＋f(x)＋f(－x)2.(8)若f(x)是(－a ，a)(a ＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)＝f(－|x|)； 若函数y ＝f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)＝0. (设计者：韩双影)。
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2.1.4函数的奇偶性
【学习目标】
1.理解函数奇偶性的定义及其图象特征。
2.能根据定义判断函数的奇偶性。
3.结合函数的奇偶性研究函数的其他性质。
【自主学习】
1.作出函数f(x)=2x和g(x)=3x的图象，观察图象的对称性。
1s：列表
2s：描点作图
由图象可知，()
=的图象关于对称，用式子可表达
y f x
为。
=的图象关于对称，用式子可表达为。
()
y g x
2. 设函数()
=的定义域为D，
y f x
则这个函数叫偶函数。
偶函数的图象
是。
设函数()
=的定义域为D，
y g x
则这个函数叫奇函数。
奇函数的图象
是。
3. 函数根据奇偶性可分成四
类：。
跟踪1：判断下列函数的奇偶性
①53
f x x
=+
()1
f x x x x
()
=++②2
③()1f x x =+ ④2(),[1,3]f x x x =∈-
跟踪2：研究函数21
y x
=的性质（定义域，值域，单调性，奇偶性）并作出图象
跟踪3：课本49页练习A 1. 2. 3. 4. 5.
【典例示范】
例1.判断函数的奇偶性
①
()f x
②()f x =
③()22f x x x =+-- ④2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪
==⎨⎪-+->⎩
总结提高：
判断函数奇偶性的步骤是：
例2.已知函数()f x 对任意实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断函数的奇偶性
例3：已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-，求0x <时函数的解析式
【巩固拓展】
1、已知()f x 为R 上的奇函数，且当x (0,)∈+∞时，f(x)=(1x ,求f(x)。
【归纳总结】
1. 判断函数奇偶性首先要看什么？
2. 判断函数奇偶性的步骤：
3、奇偶性对函数的其他性质有什么影响？
【快乐体验】
1、下列说法中，不正确的是（ ）
A. 图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B. 奇函数的图象一定经过原点
C. 偶函数的图象若不经过原点，则它与x 轴交点的个数一定是偶数
D.图象关于y 轴成轴对称的函数一定是偶函数
2、若函数()y f x =的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能是偶函数的一个为（ ）。
A.2[()]y f x = B.(2)y f x = C.()y f x = D.()y f x =-
3、已知函数①()44f x x x =+--；②3()35f x x x =-+；③
()f x = ）
A. 都是偶函数
B. 都是奇函数
C. 仅②是偶函数
D.仅①是奇函数 4、已知()f x 为偶函数，当0x >时，()(1),f x x x =-则0x <时，()f x =（ ） A.(1)x x -+ B.(1)x x + C.(1)x x -- D.(1)x x - 5、若2(1)23y m x mx =-++是偶函数，则m =
6、已知53()8f x x ax bx =++-，若(2)f -=10，则(2)f =
7、定义在R 上的两个函数中，()f x 是偶函数，()g x =奇函数，并且
2()()(1),f x g x x +=+
则()f x = ，()g x = 。
8、已知函数)(x f 在R 上是奇函数，并且在()+∞,0上是减函数，试说明函数)(x f 在
()0,∞-上是增函数还是减函数？。