排列组合基本概念

排列组合基本概念

两个基本原理

1.加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N ＝m 1十m 2十…十m n 种不同的方法．

2.乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1m 2…m n 种不同的方法．

例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．

1）从中任取一本，有多少种不同的取法？

2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．

答：从书架任取一本书，有11种不同的取法．

（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N ＝6X5＝30． 答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法． 例2(1)由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？

(2)由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

(3)由数字0，l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，

这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是

N=5X5X5=125．

答：可以组成125个三位数．

排列

什么叫排列？

从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．

【排列数】

1. 定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m

n A 表示.

2. 排列数公式：m

n A =n(n-1)(n-2)…(n -m+1)

3．全排列、阶乘的意义；

n ！=n(n-1)(n-2)…1= n n A ，规定 0!=1 )!

(!m n n A m n -= （其中m ≤n m,n ∈Z ） 例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：7个元素的全排列——77A ＝5040 ⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040 ⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列66A =720

⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有2

2A 种；第

二步 余下的5名同学进行全排列有55A 种 则共有22A 55A =240种排列方法

⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有2

5A 种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法 所以一共

有25A 55A ＝2400种排列方法． 解法二：（排除法）若甲站在排头有6

6A 种方法；若乙站

在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A －662A ＋55A =2400种．

组合

1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．

注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同

判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：

⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）

⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）

2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m

n C 表示．

例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲

乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合． 又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：62

4=C 一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分布计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅ ⑶ 组合数的公式：

!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n +---== ),,(n m N m n ≤∈*且

例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？

略解：90222426=⋅⋅C C C

例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？

解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2

女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以一共有

34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．

解法二：（间接法）10036310=-C C

2．示例一：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．