导数的相关概念及其几何意义教师版
高考复习-导数的概念及几何意义
导数的概念及几何意义知识集结知识元导数及其几何意义知识讲解1．导数及其几何意义【知识点的知识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f （x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．【典型例题分析】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．例题精讲导数及其几何意义例1.'已知函数，其中a>0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：-3<f（x1）+f（x2）<-2．'例2.'求下列函数的导数（1）y=2x3-3x2-4；（2）y=xlnx；（3）．'例3.'已知函数f（x）=ax3-x2（a>0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．'导数的计算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲导数的计算例1.已知函数f（x）=2lnx+x，则f'（1）的值为___．例2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x f′（1）+3lnx，则f′（1）=___．例3.函数f（x）=sin x+e x（e为自然对数的底数），则f′（π）的值为______。
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义一、导数的定义和基本概念1. 导数的定义导数是微积分学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。
在数学上，对于给定的函数f(x)，它在某一点x0处的导数可以用极限的概念来定义，即：\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}{\Delta x} \]其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
2. 导数的基本概念根据导数的定义可以知道，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。
导数的概念是微积分的基础，它在物理、经济、生物等领域有着广泛的应用。
二、导数的几何意义1. 切线和切线斜率在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率。
对于函数f(x)，在点x0处的切线斜率即为该点处的导数值f'(x0)。
通过求导可以获得函数曲线在任意点的切线斜率，从而更好地理解函数图像在各个点的变化趋势。
2. 导数与函数图像的关系导数还可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性、极值点以及拐点等性质。
对于函数f(x)，如果在某一点的导数值为0，那么这个点可能是函数的极值点或者拐点。
通过导数，我们可以更直观地理解函数的整体形态和特性。
三、深入理解导数的意义1. 导数的局部性导数反映了函数在某一点附近的变化情况，是一种局部性的量。
通过导数，我们可以得知函数在某一点处的瞬时变化率，从而对函数的局部特性有更深入的理解。
2. 导数与积分的关系在微积分中，导数和积分是密切相关的。
导数描述了函数的瞬时变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。
导数和积分是微积分学中最重要的两个概念，它们相互补充，共同构成了微积分学的核心内容。
结语：导数作为微积分学中的重要概念，在数学和应用领域都有着广泛的意义。
通过深入理解导数的概念及其几何意义，我们可以更好地理解函数图像的变化规律，为后续的微积分学习打下扎实的基础。
导数的概念及运算【题集】-讲义(教师版)
导数的概念及运算【题集】1. 函数的平均变化率A. B. C. D.1.如图，函数在，两点间的平均变化率是（ ）．【答案】B 【解析】由图可知，，所以，所以函数在，两点间的平均变化率是．故选B ．【标注】【知识点】求平均变化率（1）（2）2.求下列函数在区间和上的平均变化率．．．【答案】（1）（2）在区间和上的平均变化率均为．在区间上的平均变化率，在区间上的平均变化率．【解析】（1）（2）在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．【标注】【知识点】函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率【素养】数学运算A.B.C.D.3.在函数的图象上取一点及邻近一点，则等于（）．【答案】C【解析】，．【标注】【知识点】求平均变化率A. B. C. D.4.函数的图象如图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是（）．【答案】C【解析】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，，即函数在区间上的平均变化率小于；在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大，所以函数在区间上的平均变化率最大．故选：．【标注】【知识点】求平均变化率2. 瞬时变化率与导数（1）（2）5.利用导数的定义求下列函数的导数．．．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）．从而，当时，，∴．∵∴，∴当时，，∴．【标注】【知识点】导数的定义A.B.C.D.6.若，则（ ）．【答案】D 【解析】．故选：．【标注】【知识点】导数的定义A. B. C. D.7.设是可导函数，且，则（）．【答案】C【解析】，故选 C．【标注】【知识点】导数的定义；导数的几何意义的实际应用；函数的极限A. B.C. D.8.若函数在区间内可导，且，则的值为（）．【答案】C【解析】因为在可导，所以，．【标注】【知识点】导数的定义；函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率3. 基本初等函数的导数A.B.C.D.9.下列求导数运算正确的是（）．【答案】C【解析】根据导数的四则运算以及基本初等函数运算法则，故有选项，故错误．选项，故错误．选项，故正确．选项，故错误．故选．【标注】【素养】数学运算【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.10.下列导数运算错误的是（ ）．【答案】C 【解析】选项：．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导11.如果函数，那么 ．【答案】【解析】由题意可知，∴，，∴．故答案为：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；计算任意角的三角函数值A. B.C.D.12.已知，则的值为（ ）．【答案】A 【解析】，【标注】【知识点】复合函数的求导法则4.导数的四则运算13.函数的导数是 ．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.14.函数在处的导数等于（ ）．【答案】A 【解析】∵，∴．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导15.的导数 ．【答案】【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导（1）16.求下列函数的导数：．（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．先使用三角公式进行化简．∴．【标注】【素养】数学运算A. B. C. D.17.已知函数的导数为，且满足，则（）．【答案】C【解析】由函数，∴，∴当时，则有，解得．故选：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.18.已知，则（）．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B.C. D.19.已知函数的导函数为且满足，则（）．【答案】B【解析】，．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.20.已知函数的导函数为，且满足，则（）．【答案】B 【解析】，令，即，解得．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导5. 复合函数求导法则（1）（2）（3）（4）（5）（6）21.求下列函数的导数．．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）．．．．．．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）22.求下列函数的导数．．．．．．．．．（9）（10）．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）．．．．．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）略．略．略．略．略．略．略．略．略．略．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导23.已知函数，且，则的值为．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】复合函数的求导法则A.B.C. D.24.已知函数，是函数的导函数，则函数的部分图象是（ ）．【答案】D 【解析】因为，所以，可知为奇函数，故排除，；又因为，，排除选，故选．【标注】【知识点】函数图象的识别问题；根据奇偶性确定图象；利用公式和四则运算法则求导6. 导数的几何意义A. B.C.D.25.曲线在点处的切线的斜率为（ ）．【答案】B【解析】∵，∴，∴．故选．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B.C.D.26.设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为（ ）．【答案】B【标注】【知识点】导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用（1）（2）（3）27.导数等于切线斜率．如图，直线是曲线在处的切线，则．如图，曲线在点处的切线方程是， ．设是偶函数．若曲线在点处的切线的斜率为，则该曲线在点处的切线的斜率为 ．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）（3）直线的斜率为，所以．时，，∵的斜率为，故，∴．由偶函数的图象关于轴对称知，在对称点处的切线也关于轴对称，故所求切线的斜率为．也可由特殊函数得到此题答案．【标注】【知识点】导数的几何意义的实际应用；已知切线方程求参数；导数的几何意义；斜率计算28.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是．【答案】【解析】函数的定义域为，函数的导数为，直线的斜率，∵曲线上点处的切线平行与直线，∴，即，解得，此时，故点的坐标是，故答案为：．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义29.曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】因为，所以，所以该切线方程为，即．故答案为：．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B. C. D.30.曲线在点处的切线方程是（）．【答案】A【解析】，故，所以曲线在处的切线斜率为，切线方程为，化简整理得，故选．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程31.已知函数，求过点的切线方程．【答案】和．【解析】，因为点在曲线上．①若点为切点，则此时切线斜率为，则切线方程为，即；②若点不是切点，则设切点为，有，切线方程满足，（*）整理得，因为点满足方程（*），则是方程的一个根，即，即，所以或（舍，因为切点不为），即，，则此时切线的方程为，即，综上所述，过点的切线方程为和．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；求在某点处的切线方程；导数的几何意义A. B.C.或D.或32.过点的切线方程是( )．【答案】C【解析】设切点坐标为，，切线斜率，则，解得或，∴所求切线方程为或．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义（1）（2）33.已知曲线．求曲线在点处的切线方程．求曲线过点的切线方程．【答案】（1）（2）或【解析】方法一：方法二：（1）（2）∵，∴在点处的切线的斜率，∴曲线在点处的切线方程为，即．∵点在曲线上，且，∴在点处的切线的斜率为，∴曲线在点处的切线方程为，即．设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率为，∴切线方程为，即，∵点在切线上，∴，即，∴，即，∴，解得或，故所求的切线方程为或．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义；求过某点的切线方程34.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】方法一：方法二：设直线与曲线和曲线的切点分别为和．由导数的几何意义可得，即，由切点也在各自的曲线上，可得，解得，从而，则．由，得，由，得．设直线与曲线相切于点，则①，②，设直线与曲线相切于点，则③，④，由①得，代入②得，即⑤，由③得，代入④得，即⑥，⑤⑥得，，代入⑤得，故答案为．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义的实际应用；导数的几何意义35.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】设与曲线的切线，曲线的切点分别为，，∵，曲线，∴，，∴，①切线方程分别为，即为，或，即为，解得，②由①②解得，，可得：，则有，．故答案为：．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义。
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个基本概念，它不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文将通过深入的理论探讨和几何意义的解释，帮助读者全面理解导数的概念及其应用。
一、导数的概念导数是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。
具体地说，设函数y=f(x)，在某一点x=a处有定义，若存在极限lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h ，那么这个极限就称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。
从定义中可以看出，导数表示了函数在某一点上的瞬时变化率，也即函数的斜率。
导数的绝对值越大，表示函数在该点上的变化越剧烈；导数为零表示函数在该点上没有变化；导数为正表示函数在该点上单调递增；导数为负表示函数在该点上单调递减。
二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过理解切线的概念来解释。
对于一个函数，取其中一点P(x,y)，在这一点上作一条切线，使得切线与曲线只有一个公共点P。
那么这条切线的斜率就是函数在点P处的导数。
通过这种解释，我们可以把导数理解为函数曲线在某一点上的局部近似线性化描述。
切线的近似线性特征使得我们可以使用直线的性质来研究函数曲线的性质。
我们可以通过判断切线的斜率的正负来确定函数的单调性；通过判断切线与x轴的交点来确定函数的根的存在性等等。
三、导数的应用导数在实际应用中具有广泛的用途。
下面列举几个典型的应用场景：1. 曲线的拟合与插值：通过函数的导数可以获得曲线的斜率信息，进而进行曲线的拟合和插值，从而更好地描述和预测曲线的变化。
2. 最优化问题：很多最优化问题可以通过导数的求解来解决。
求函数在某一范围内的最大值或最小值，我们可以通过求解导数为零的位置来得到答案。
3. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体的运动的重要概念。
通过对位移和时间的关系进行导数运算，我们可以得到速度和加速度的函数表达式，从而更好地分析物体的运动规律。
北师大版导数的概念与导数的几何意义-PPT
1
一、教学目标：理解导数的概念，会 利用导数的几何意义求曲线上某点处的 切线方程。
二、教学重点：曲线上一点处的切线 斜率的求法
教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
2
1.导数是函数的瞬时变化率,它是从众多实际问题
到直线的最短距离
d
|
3 2
9 4
4
|
19
2
2
8
13
课外作业: 1.若曲线 y x3 x 2 上一点 P 处的切线恰好平
行于直线 y=11x－1，则 P 点坐标为____. (2,8)或(－2,－4)
2.若曲线 y x3 2ax2 2ax 上任意一点处的切线 的倾斜角都是锐角，那么 a 的取值范围为______.
___ .
2
11
1.过点 (1,0) 作抛物线 y x2 x 1的切线，则其中一条切线为（ ）
(A) 2x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0
解析：设 (x1, y1) 为作抛物线 y x2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2x1 1 ,于是过点 (x1, y1) 的抛物线的切线的方程为 y y1 (2x1 1)( x x1 )，又 y1 x12 x1 1， y （x12 x1 1） (2x1 1)( x x1 ) 又点（1，0）在切线上， （x12 x1 1）（2x1 1）(1 x1 ) 解之得 x1 0, x1 2 ，于是 y1 1或y1 3 则：过（0，1）的切线方程为 y 1 x ，即 x y 1 0 过（-2，-3）的切线方程为 y 3 3(x 2) ，即 3x y 12 0 讲评：本题考查利用导数的几何意义求抛物线的切线方程，注意 点（-1，0）不在抛物线上.
导数的概念及运算、几何意义
导数的概念及运算、几何意义1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝＝.y′|x＝x(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．2．导数公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式(2)导数的运算法则①[f (x )±g (x )]′＝)(x f '±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝)(x f 'g (x )＋f (x )g ′(x )； ③])()(['x g x f ＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2(g (x )≠0)． 特殊情况[c ·f (x )]′＝c ·)(x f '．(3)复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1))(0x f '与[f (x 0)]′表示的意义相同．(×)(2))(0x f '是导函数)(x f '在x ＝x 0处的函数值．(√)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (4))3sin('π＝cos π3.(×)(5)若(ln x )′＝1x ，则)1('x ＝ln x ．(×)(6)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．(×)(7)函数f (x )＝，由于f ′(0)无意义，则说明f (x )＝在x ＝0处无切线．(×)(8)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(9)若f (a )＝－x 2＋2ax ＋a 3，则f ′(a )＝2x ＋3a 2.(√)(10)过点P 作y ＝f (x )的切线，且P 在y ＝f (x )上，则P 一定为切点．(×)考点一 导数的运算[例1] (1)函数y ＝(1－x ))1(x +，则y ′＝________.解析：∵y ＝(1－x ))11(x +＝1x －x ＝2121x x --，='y 21232121----x x答案：21232121----x x (2)函数y ＝ln x x ，则y ′＝________.解析：y ′＝)ln ('xx ＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 答案：1－ln x x 2(3)y ＝ln(2x ＋5)，则y ′＝________.解析：设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 答案：22x ＋5 (4)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋1x令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－1.答案：－1 [方法引航] (1)总原则：先化简解析式，再求导.(2)具体方法：①连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导.②根式形式：先化为分数指数幂，再求导.③复杂分式：化为简单分式的和、差，再求导.(3)区分f ′(x )与f ′(x 0)f ′(x )表示导函数，f ′(x 0)是导函数值.1．若函数y ＝tan x ，则y ′＝________.解析：y ′＝)cos sin ('xx ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . 答案：1cos 2x2．设f (x )＝x ln x ，若)(0x f '＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 2 解析：选B.由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.考点二 导数的几何意义[例2] (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[方法引航] 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f(x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.1．在本例中，若f (x )在P 点处的切线平行x 轴，求P 点坐标．解：∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，令3x 2－8x ＋5＝0得x ＝1或x ＝53，∴f (1)＝1－4＋5－4＝－2，f (53)＝－5827，∴P (1，－2)或P )2758,35(-. 2．在本例中，若f (x )不变，求f (x )过点(1，－2)的切线方程．解：设过点P (1，－2)的直线与y ＝f (x )切于点M (x 0，y 0)，∴其切线斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，y 0＝x 30－4x 20＋5x 0－4，其切线方程为y －(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －x 0)过点(1，－2)，即－2－(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0－3)＝0∴x 0＝1或x 0＝32.∴切点为(1，－2)或)817,23(-，∴k 1＝0或k 2＝－14. ∴所求切线方程分别为y ＝－2.或y ＋178＝－14)23(-x ，即y ＝－14x －74.[易错警示]借问“切点”何处有——求曲线的切线方程时切点易错[典例] (2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[正解] 设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x－9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A[易误] (1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系．[警示] ①“曲线y ＝f (x )在P 点处的切线”与“曲线过P 点的切线”不同，前者P 为切点，后者P 不一定为切点．②此类题首先确定点是否为曲线的切点．当不是切点时．应先设出切点．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，x e x f x -=--1)(，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．解析：当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x ，而f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝e x －1＋x (x ＞0)，点(1,2)在曲线y ＝f (x )上，易知f ′(1)＝2， 故曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是y －2＝f ′(1)·(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x2．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.答案：13．(2012·高考课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析：y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，k ＝y ′|x ＝1＝4，切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.答案：y ＝4x －34．(2016·高考天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则)0(f '的值为________．解析：∵f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)·e x ，∴f ′(0)＝3.答案：35．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，)(x f '为f (x )的导函数．若)1(f '＝3，则a 的值为________．解析：∵f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a ln 1＋a ＝3，解得a ＝3.答案：36．(2016·高考山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：选A.对于A ，y ′＝cos x ，存在x 1，x 2，若cos x 1cos x 2＝－1，如x 1＝π，x 2＝2π，可满足，对于B ，其导数为f ′(x )＝1x ，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2＞0，故B 不满足；y ＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2＞0，故C 不满足；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故D 不满足．故选A.课时规范训练A 组 基础演练1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足2)1(='f ，则)1(-'f 等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B.f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且2)1(='f ，∴)1(-'f ＝－2.2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0.3．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( ) A ．2 B ．ln 2＋1 C ．ln 2－1 D ．ln 2解析：选C.∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，∴1x ＝12，解得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.4．曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)解析：选C.y ′＝3x＋1，令y ′＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)．5．直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析：选C.由点P (1,4)在曲线上可得a ×12＋2＋ln 1＝4，解得a ＝2，故y ＝2x 2＋2＋ln x ，所以y ′＝4x ＋1x ，所以曲线在点P 处切线的斜率1|='=x y k ＝4×1＋11＝5.所以直线的方程为y ＝5x ＋b .由点P 在直线上得4＝5×1＋b ，解得b ＝－1，故选C.6．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析：选C.y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为2|1='==x y k7．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0，m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.8．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A.依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y '＜1得3≤x 2＜103，显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.9．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C.依题意，记g (x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f (x )＝xg (x )，)(x f '＝g (x )＋xg ′(x )，f ′(0)＝g (0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝212，故选C.10．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝)(1x f '，f 3(x )＝)(2x f '，…，f n ＋1(x )＝)(x f n '，n ∈N *，则f 2 019(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A.∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A.B 组 能力突破1．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3解析：选C.法一：令x ＝1得f (1)＝1，令2－x ＝t ，可得x ＝2－t ，代入f (2－x )＝2x 2－7x ＋6得f (t )＝2(2－t )2－7(2－t )＋6，化简整理得f (t )＝2t 2－t ，即f (x )＝2x 2－x ，∴f ′(x )＝4x －1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.法二：令x ＝1得f (1)＝1, 由f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，两边求导可得f ′(2－x )·(2－x )′＝4x －7，令x ＝1可得－f ′(1)＝－3，即f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.2．已知函数f(x)＝a sin x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，)(xf'为f(x)的导函数，则f(2 017)＋f(－2 017)＋)2018(f'－)2018(-'f＝()A．0 B．2 017 C．2 018 D．8解析：选D.设g(x)＝a sin x＋bx3，∴f(x)＝g(x)＋4，且g(－x)＝－g(x)，所以f(2 017)＋f(－2 017)＝g(2 017)＋4＋g(－2 017)＋4＝8，又因为f′(x)＝a cos x＋3bx2，所以f′(x)为R上的偶函数，则f′(2 018)－f′(－2 018)＝0，所以f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 018)－f′(－2 018)＝8，故选D.3．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝)(xf'的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.答案：x－y－2＝04．已知函数f(x)的导函数为)(xf'，且满足f(x)＝3x2＋2x·)2(f'，则)5(f'＝________.解析：对f(x)＝3x2＋2x)2(f'求导，得f′(x)＝6x＋2)2(f'．令x＝2，得)2(f'＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2)2(f'＝6.答案：65．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.解析：设e x＝t，则x＝ln t(t＞0)，∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝1t＋1，∴f′(1)＝2.答案：26．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x.∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，x＋1x－a＝0，∴a＝x＋1x≥2.答案：[2，＋∞)。
高中数学一对一教案 导数的概念及几何意义
教学内容导数的概念及几何意义教学目标1、了解导数的概念2、理解导数的几何意义，并由此求切线的方程3、掌握基本初等函数的导数公式和导数的运算法则教学重、难点 重点：函数导数的计算和导数的几何意义的应用。
难点：导数几何意义的应用扫清障碍1、若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率．2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021limlimx x f x f x fx x x∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为：()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =． 特别的，若质点运动的位移S 是时间t 的函数，则(),()S t v v t a ''==。
4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆5、基本初等函数的导数公式②求出函数在点0x 处的导数0()f x '得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率k,即0()k f x '=； ③利用点斜式写出切线方程并化简.变式练习：1.（2009江西卷理）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-2.已知函数3()f x x =的切线的斜率等于1，则切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定3.(11年全国理)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．14．曲线2y x =在点P 处的切线斜率为1，则点P 的坐标为_________。
2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆例1：1．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C2．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B . 【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．举一反三：1．设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=-∆，则0()f x '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义可得()()0000lim ()x f x f x f x x x∆→+-'=∆∆，即可得答案．【详解】 根据题意，()()0000lim()2x f x f x f x x x∆→∆+-'==-∆，故0()2f x '=-. 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题． 2．若()02f x '=，则()()000lim2h f x h f x h→+-=______．【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何定义即可计算.()()()()()000000011limlim 1222h h f x h f x f x h f x f x h h →→+-+-'===．故答案为：1.二．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。
第五章5.1.2第2课时 导数的几何意义课件(人教版)
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
则
y
|x＝x0
＝ lim Δx→0
x0＋Δx3－2x0＋Δx－x30－2x0 Δx
＝3x20－2＝tan π4＝1，
所以x0＝±1， 当x0＝1时，y0＝－1. 当x0＝－1时，y0＝1.
当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0，这时，在t ＝t1附近曲线降落，即函数在t＝t1附近单调递减. 当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0，这时，在t ＝t2附近曲线降落，即函数在t＝t2附近单调递减. 通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这 说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近降落的缓慢.
内容索引
一、导数的几何意义 二、函数的单调性与导数的关系 三、导函数(导数)
随堂演练
课时对点练
一、导数的几何意义
问题1 导数f′(x0)的几何意义是什么？ 提示 我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率， 反应了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图.
容易发现，平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0表示的是割线 P0P 的斜率，当
跟踪训练 3 已知函数 f(x)＝x2－12x.求 f′(x).
解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(Δx)2＋2x·Δx－12Δx，
∴ΔΔyx＝2x＋Δx－12.
∴f′(x)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝2x－12.
课堂小结
1.知识清单： (1)导数的几何意义. (2)函数的单调性与导数的关系. (3)导函数的概念. 2.方法归纳：方程思想、数形结合. 3.常见误区：切线过某点，这点不一定是切点.
(完整版)导数的概念及导数的几何意义.docx
§57 导数的概念及导数的几何意义⑴【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。
【基础知识】1．一般地，函数 f ( x) 在区间 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度；2 ．不妨设P( x1, f ( x1)), Q ( x0, f ( x0))，则割线PQ的斜率为，设 x1－ x0=△x，则x 1 =△x＋x0，∴k PQ，当点 P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线 PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△ x 无限趋近于0 时，k PQ f (x0x)f (x)无x 限趋近点 Q 处切线。
3．曲线上任一点 (x 0， f(x 0))切线斜率的求法：k f (x0x)f (x)，当x △ x 无限趋近于 0 时， k 值即为 (x0， f(x 0))处切线的，记为．4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率：s(t 0t ) s(t)，称为；当无限趋近于 0 时，ts(t0t )s(t)无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的；速度的平均变化率：tv(t 0t )v(t)，当无限趋近于0时，v(t0t )v(t)无限趋近于一个常数，这个常数t t称为 t=t 0时的．【基础练习】1．已知函数 f ( x)ax2在区间 [1,2] 上的平均变化率为,则f ( x)在区间 [-2,-1]上的平均变化率为．2． A、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北 ,B 船向东 , 若 A 船的速度为 30km/h,B船的速度为40km/h, 设时间为 t,则在区间 [t 1,t2]上,A,B两船间距离变化的平均速度为____ ___【典型例题讲练】例1．已知函数 f(x)=2x+1,⑴分别计算在区间[-3 ，-1] ， [0， 5]上函数 f(x) 的平均变化率；⑵ .探求一次函数y=kx+b 在区间 [m， n]上的平均变化率的特点；练习：已知函数f(x)=x 2+2x ，分别计算 f(x) 在下列区间上的平均变化率 ;⑴[1 ，2]；⑵ [3， 4] ；⑶ [－ 1， 1]；⑷ [2， 3]【课堂检测】1．求函数y f ( x)1x在区间 [1,1+ △x] 内的平均变化率2．试比较正弦函数 y=sinx 在区间 0,和, 上的平均变化率，并比较大小。
3.1.3导数的概念和几何意义_课件-湘教版数学选修1-1
即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)． 所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)． 化简得y＝4x－4，y＝6x－9， 此即是所求的切线方程． 点评 在求曲线过某点的切线方程时，第一要判断该点是否在曲线上，再根 据不同情况求解．
课堂总结 1．函数在某一点处的瞬时变化率即为函数在该点处的导 数． 2．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切 线的斜率，即当d→0时，k＝fx0＋dd－fx0＝f′(x0)． 3．求曲线的切线方程应充分利用导数的几何意义，抓住两 点： (1)切点在曲线上，则在切点处的导数值即为切线的斜率； (2)若已知点不在曲线上时，要设出切点再利用导数几何意义和已 知条件去求.
C．f′(x0)＝2x0
D．f′(x0)＝d＋2x0
答案 C
3．已知函数y＝f(x)图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系 是( )．
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
答案 A
4．在曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2)，则在区间[1,1＋d]上的 平均变化率为________，在点P(1,2)处的导数f′(1)＝________.
当 d→0 时 1－xx＋1 d→1－x12， ∴f′(x)＝1－x12， ∴f′(1)＝1－112＝0.
题型四 利用导数求切线方程 【例4】 已知曲线C：y＝x2. (1)求曲线C在点(1,1)处的切线方程； (2)求过点(1,0)且与曲线C相切的直线的方程；
解 (1)fx＋dd－fx＝x＋dd2－x2＝2x＋d. 当d→0时，2x＋d→2x， ∴f′(x)＝2x，f′(1)＝2 ∴曲线y＝x2在(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
导数的概念及导数的几何意义
<<高等数学>>教案课型：讲授章节第二章导数与微分第一节导数及其运算 1·导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程：1、简介微积分的组成，微分与积分的区别2、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业§1 导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s f (t ),求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令tt 0®0, 取比值00)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即0)()(limt t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令x x x 0, 则y f (x 0x )f (x 0) f (x )f (x 0), x ®x 0相当于x ®0, 于是00)()(lim0x x x f x f x x --→ 成为 x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000.导数的定义 设函数y f (x )在点x 0及其近旁有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量x时, 相应地函数y 取得增量y f (x 0x )f (x 0)， 如果当x ®0时，xy∆∆的极限存在, 则称这个极限为函数y f (x )在点x 0处的导数, 记作,0()f x , 即xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000,也可记作0|x x y =',0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处有导数（即极限xyx ∆∆→∆0lim 存在），有时也说成f (x )在点x 0可导.如果极限x yx ∆∆→∆0lim不存在, 就说函数yf (x )在点x 0处不可导.如果不可导的原因是由于x ®0时,xy∆∆®∞也往往说函数y f (x )在点x 0处的导数为无穷大. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→.在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果函数y f (x )在开区间（a ，b ）内的每一点都可导, 就称函数y=f (x )在开区间（a ，b ）内可导, 这时, 对于开区间（a ，b ）内的任一点x , 都对应着一个确定的导数,()f x . 这样就构成了一个以（a ，b ）为定义域的新函数, 这个新函数叫做原来函数f (x )的导函数, 简称导数，记作)(x f ',y ',dx dy , 或dxx df )(. 即 )(x f '=x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000f ¢(x 0)与f ¢(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f ¢(x )就是导函数f ¢(x )在点x x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='.导函数f ¢(x )简称导数, 而f ¢(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f ¢(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义 f (x )在0x 的左导数:0,()fx -=lim 0x -∆→00()()f x x f x x +∆-∆; f (x )在0x 的右导数:0,()fx +=lim 0x +∆→00()()f x x f x x+∆-∆. 左导数和右导数统称为单侧导数.导数与左右导数的关系函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f ¢(x 0) 和右导数f ¢(x 0)都存在且相等. 如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f ¢(a ) 和左导数f ¢(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导. .3、求导数举例例1．求函数f (x )C （C 为常数）的导数.解: hx f h x f x f h )()(lim )(0-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即(C ) ¢0.例2 求xx f 1)(=的导数解 h xh x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→2001)(1lim )(limx x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→例3 求x x f =)(的导数 解 hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )()(lim)( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim00=++=++=→→例2．求函数f (x )x n(n 为正整数)在x a 处的导数. 解: f ¢(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n 1ax n2× × ×a n 1)nan 1.把以上结果中的a 换成x 得 f ¢(x )nx n 1, 即 (x n )¢nx n 1. (C )¢=0, 21)1(x x -=', xx 21)(=', 1)(-⋅='μμμx x .更一般地, 有(x )¢x 1, 其中为常数.例3．求函数f (x )sin x 的导数. 解: f ¢(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim0hh x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )¢cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )¢sin x . 例4．求函数f (x ) a x (a >0, a ¹1) 的导数. 解: f ¢(x )h x f h x f h )()(lim 0-+=→ha a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim0t t a a t x +→ a a ea x a xln log 1==. 特别地有(e x)e x.例5．求函数f (x )log a x (a >0, a ¹1) 的导数.解: hx h x h x f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim)(00-+=-+='→→ h xa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ a x e x a ln 1log 1==.解:h xh x x f a a h log )(log lim)(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→h xa h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 a x x a ln 1)(log ='. :特殊地 xx 1)(ln ='. a x x a ln 1)(log ='xx 1)(ln ='.例6．求函数f (x )x |在x 0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h hf h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h ,因为f ¢(0)¹ f ¢(0), 所以函数f (x )|x |在x 0处不可导.二、导数的几何意义设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.设曲线C 就是函数y f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为0000)()(tan x x x f x f x x y y --=--=ϕ, 其中为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x ®x 0. 如果当x ® 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即00)()(lim 0x x x f x f k x x --=→存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k tan ,其中是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.函数y f (x )在点x 0处的导数f ¢(x 0)在几何上表示曲线y f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即f ¢(x 0)tan , 其中是切线的倾角.如果y f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x x 0为极限位置, 即曲线y f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x x 0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为 y y 0f ¢(x 0)(x x 0).过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y f (x )在点M 处的法线如果f ¢(x 0)¹0, 法线的斜率为)(10x f '-, 从而法线方程为 )()(1000x x x f y y -'-=-.例8. 求等边双曲线xy 1=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解: 21x y -=', 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121-=-==x x k , 41112=-=k k .所求切线方程为)21(42--=-x y , 即4x y 40.所求法线方程为)21(412-=-x y , 即2x 8y 150.例9 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程. 解 设切点的横坐标为x 0 则切线的斜率为0212302323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为 )(230000x x x x x y -=-. 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(2340000x x x x -=--, 解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为 )4(42344-=-x y 即3x y 40三、函数的可导性与连续性的关系定理1 如果函数y f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续.设函数y f (x )在点x 0 处可导, 即)(lim 00x f xyx '=∆∆→∆存在. 则00)(lim lim limlim 00000=⋅'=∆⋅∆∆=∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x y x x y y x x x x .这就是说, 函数y f(x)在点x0处是连续的.另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例7．函数3)(xxf=在区间(, )内连续, 但在点x0处不可导. 这是因为函数在点x0处导数为无穷大h fhfh )0()0(lim0-+→+∞=-=→hhhlim3.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
林老师网络编辑整理
12
又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
林老师网络编辑整理
9
栏目索引
栏目索引
方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
林老师网络编辑整理
10
栏目索引
例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
导数的概念及其几何意义教案2北师大版选修11
导数的概念和几何意义一、教学目标(一)知识目标1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2．通过函数图象直观了解导数的几何意义.（二）能力目标掌握用定义法求函数的导数的一般步骤，并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题.（三）情感目标通过“极限法”的学习，提高学生的数学素质，加强学生分析问题和解决问题的能力，认识事物之间的相互联系，会用联系的观点看问题.二、教学重点导数的定义与求导的方法.三、教学难点对导数概念的理解.四、教学过程：（一）复习引入师：前面我们研究了两类问题，一类来自物理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率.你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来？生：这两类问题都涉及到以下几件事：（1）一个函数f （x ）；（2）f （x+d ）－f （x ）；（3）dx f d x f )()(-+； （4）当d 趋于0时，dx f d x f )()(-+趋于一个确定的常数. 师：很好，我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域，但有着相同的数学模型，今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义.（二）探求新知1.增量、变化率的概念 对于函数),(),(000y x P x f y =是函数图象上的一点，),(11y x Q 是另一点，自变量从x 0变化为x 1时，相应的函数值有y 0变为y 1，其中x 1－x 2叫做自变量x 的增量，记为△x ， y 1－y 0叫做函数的增量（也叫函数的差分），记为△y ，则).()(01x f x f y -=∆xy ∆∆叫做函数的变化率（或函数)(x f 在步长为△x 的差商）.★ 光滑曲线上某点切线的斜率的本质——函数平均变化率的极限.★ 物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限.2．导数定义设函数)(x f 在包含x 0的某个区间上有定义，如果比值dx f d x f )()(00-+在d 趋于0时，（d ≠0）趋于确定的极限值，则称此极限值为函数)(x f 在x=x 0处的导数或微商，记做)('x f . 上述定义的符号表示为：)0)(()()(0'00→→-+d x f dx f d x f . 这个表达式读作“d 趋于0时，dx f d x f )()(00-+趋于)(0'x f . 简单地说：函数的瞬时变化率，在数学上叫做函数的导数或微商.★)('x f 也是关于x 的函数，叫做函数)(x f 的导函数.3．求导数的步骤（1）求函数的增量).()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00； （3）令△x →0，差商→)(0'x f .4．导数的几何意义函数)(x f y =在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点P （x 0，)(0x f ）处的切线的斜率)(0'x f .5．导数的物理意义函数)(t s s =在点t 0处的导数)(0't s 的物理意义是运动物体在时刻t 0处的瞬时速度.（三）讲解例题例1 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（图中W 1（t ），W 2（t ）分别表示甲、乙企业在时刻t 的排污量）.试问哪个企业的治污效果较好？分析：本题主要体现差商（即差分和对应步长的比）定义在现实生活中的运用，要.解：在时刻t 1处，虽然W 1（t ）=W 2（t ），即排污量相同，但是考虑到一开始 有W 1（t 0）＞W 2（t 0），所以有 010*********)()()()(t t t W t W t t t W t W -->-- 说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大.即企业甲的治污效果要好一些.例2 投石入水，水面产生圆形波纹区.圆的面积随着波纹的传播半径r 的增大而增大（如图），计算：（1）半径r 从a 增加到a+h 时，圆面积相对于r 的平均变化率；（2）半径r=a 时，圆面积相对于r 的瞬时变化率.分析：本例中的题（1）是求变化中的几何图形（圆）面积的平均变化率。
第4讲 导数的四则运算及导数的几何意义(教师版)
导数的四则运算及导数的几何意义一．基础知识回顾1.两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．2.一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f′x g x －f x g′x g 2x .特别地，当g(x)＝k 时，有[kf(x)]′＝kf ′(x)1．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx2．曲线的切线如图，曲线y ＝f (x )的一条割线AB ，其中A (x 0，f (x 0))，B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))．当Δx 趋于零时，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l ，称直线l 为曲线y ＝f (x )在点A 处的切线． 3．函数的平均变化率的几何意义是曲线y ＝f (x )割线的斜率；函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)表示曲线f (x )在点A 处的切线的斜率 二．问题探究探究点一：导数的加法与减法法则例1：求下列函数的导数．(1)y ＝x 3＋x 2＋x ；(2)y ＝2x＋x.解：(1)y ′＝(x 3＋x 2＋x)′＝(x 3)′＋(x 2)′＋(x)′＝3x 2＋2x ＋1. (2)y ′＝(2x＋x)′＝(2x )′＋(x)′＝2xln 2＋12x.跟踪训练1：已知f(x)＝tan x ＋sin x ，求f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 解：f ′(x)＝(tan x)′＋(sin x)′＝1cos 2x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4＋12＝92.探究点二：导数加减法的应用例2：已知函数f(x)＝x 3＋x ，求函数在点(2,10)处的切线方程．解：f ′(x)＝(x 3＋x)′＝(x 3)′＋(x)′＝3x 2＋1. ∴f ′(2)＝3×22＋1＝13. ∴所求切线的斜率是13. ∴切线方程为y －10＝13(x －2)，即13x －y －16＝0. ∴所求切线的方程是13x －y －16＝0.跟踪训练2：已知函数f(x)＝sin x ＋cos x ，求曲线y ＝f(x)在x ＝π4处的切线方程．解：∵f ′(x)＝(sin x ＋cos x)′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4－sin π4＝0. ∴曲线y ＝f(x)在x ＝π4处的切线斜率为0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，∴所求切线方程为y ＝ 2.探究点三：导数乘除法的运算法则 例3：求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2； (2)y ＝ln x ＋2x x 2；(3)y ＝1－12sin 2x 2.解：(1)∵y ＝x 3＋32x-＋sin x x2＝x 3＋32x-＋sin x ·x－2，∴y ′＝(x 3＋32x-＋sin x ·x－2)′＝3x 2－3252x-＋cos x ·x －2＋(－2x －3)sin x ＝3x 2－32x5＋cos x x 2－2sin xx3.∴y ′＝3x 2＋cos x x 2－32x 2x －2sin x x 3. (2)y ′＝(ln x x 2＋2xx 2)′＝(ln x x 2)′＋(2xx 2)′＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ·ln 2·x 2－2x ·2x x4＝1－2ln x x ＋ln 2·x 2－2x ·2xx4＝1－2ln x ＋ln 2·x －22xx 3.(3)∵y ＝1－12sin 2x 2＝14(3＋1－2sin 2x2)＝14(3＋cos x)＝34＋14cos x ，∴y ′＝(34＋14cos x)′＝－14sin x.跟踪训练3：求下列函数的导数：(1)y ＝x·tan x；(2)y ＝x ＋3x 2＋3；(3)y ＝xsin x －2cos x .解：(1)y ′＝(x ·tan x)′＝(xsin x cos x)′＝xsin x ′cos x －xsin x cos x ′cos 2x ＝sin x ＋xcos x cos x ＋xsin 2xcos 2x ＝sin xcos x ＋xcos 2x(2)y ′＝x ＋3′x 2＋3－x ＋3x 2＋3′x 2＋32＝－x 2－6x ＋3x 2＋32.(3)y ′＝(xsin x)′－(2cos x )′＝sin x ＋xcos x －2sin x cos 2x . 探究点四：导数的应用例4：曲线f(x)＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为 (B) A ．－12B ．12C ．－22D ．22（1）解析：f ′(x)＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin x sin x ＋cos x 2＝1sin x ＋cos x 2，故f ′(π4)＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.跟踪训练4：设函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a>0，曲线y ＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．解：由题意得，f(0)＝c ，f ′(x)＝x 2－ax ＋b ，由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝13x 3－a 2x2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝0f 0＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧02－a ·0＋b ＝0c ＝1，故b ＝0，c ＝1.探究点五：求切线的方程例5：已知曲线f (x )＝x 2，(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P (3,5)的切线方程．解：(1)设切点为(x 0，y 0)，lim Δx →0x 0＋Δx 2－x 2Δx＝lim Δx →0x 20＋2x 0·Δx ＋Δx 2－x 2Δx＝2x 0，∴f ′(1)＝2. ∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)点P (3,5)不在曲线f (x )＝x 2上，设切点为(x 0，y 0) 由(1)知，f ′(x 0)＝2x 0，∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x－x 0)，由P (3,5)在所求直线上得5－y 0＝2x 0(3－x 0)①，再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20②，联立①，②得，x 0＝1或x 0＝5. 从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25) 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2，此时切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10，此时切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25. 综上所述，过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝2x －1或y ＝10x －25.跟踪训练5：已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)曲线过点P (3,9)的切线方程． 解：y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0[2x ＋Δx 2－7]－2x 2－7Δx＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x . (1)设切点为(x 0，y 0)，则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P (3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)．将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0和16x －y －39＝0.三．课后联系作业 一．选择题1． 下列结论不正确的是 (D)A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x2． 函数y ＝x －(2x －1)2的导数是 (D)A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x3． 曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为 (C)A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)4． 曲线f (x )＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是 (C)A.24B.22C.322D. 2 5． 已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能是 (A)A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －16． 函数y ＝2x 2－x x ＋3x －2x的导数为 (D)A.x ⎝⎛⎭⎪⎫3＋1x 2＋1 B .x ⎝⎛⎭⎪⎫3－1x 2－1 C.x ⎝⎛⎭⎪⎫3－1x2＋1D.x ⎝⎛⎭⎪⎫3＋1x2－17．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为 (A)A ．4B ．－14C ．2D ．－128． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于 (B)A ．－1B ．－2C ．2D ．09． 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(D)A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 10． 设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是(D)A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2] 二．填空题11． 过点P (－1,2)且与曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是2x －y ＋4＝012． 某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是s ，s 的单位是m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为71316m/s13．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝114． 设f (x )＝a e x＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e，则a ＋b ＝115．若函数f (x )＝e x x 在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值为12．三．解答题16．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．解：因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a ＋b ＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.17．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋bx 2，∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值此定值为6.18．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.求直线l 2的方程．解：∵y ′＝2x ＋1，∴直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2的切点为B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.∵l 1⊥l 2，∴2b ＋1＝－13，b ＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.19．已知偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图像过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．解：∵f (x )的图像过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴ax 4＋bx3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0，∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，可知切点为(1，－1)，∴a ＋c ＋1＝－1.①∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.②由①②解得a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1. 20．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程．解：设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x－2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x＋x 22－4.②因为两切线重合，所以由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝－2x 2－2，－x 21＝x 22－4解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝0.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.。
导数的概念及几何意义教学设计
导数的概念及几何意义教学设计导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点的瞬时变化率。
导数的几何意义是切线的斜率，可以帮助我们更好地理解函数的变化规律和性质。
本教学设计旨在通过直观的几何图像和实际问题的分析，帮助学生深刻理解导数的概念及几何意义。
设计主要针对高中数学任课老师使用。
一、教学目标：1.理解导数的概念及几何意义；2.能够通过几何图像和实际问题分析导数的性质和应用。
二、教学准备：1.教学实例：选择一个具有实际意义的函数作为示例，比如一个运动物体的位移函数；2. 数学软件：准备一台计算机并安装数学软件，如Geogebra，用于绘制函数图像和求解导数。
三、教学过程：1.引入导数的概念：b.教师出示一个运动物体的位移函数图像，提问“你们觉得这个函数图像代表了什么？”引导学生讨论函数图像表达的是运动物体的位置随时间的变化规律。
c.教师解释导数的概念：导数就是函数在其中一点的变化率，可以看作是瞬时变化率。
2.几何意义的引入：a.教师给出一个具体的实例，比如一个运动物体的位移函数y(t)=t^2，在计算机上绘制该函数图像并标出一个点A(2,4)。
b.教师引导学生思考，如何找到函数在点A处的变化率或斜率？c.教师通过计算机软件，绘制出点A处的切线，并解释切线斜率与导数的关系，即导数就是切线的斜率。
3.导数的计算：a.教师解释导数的计算方法，即通过函数的极限定义求解。
b.教师通过计算机软件演示导数的计算步骤，例如求解函数y(x)=2x^3-3x^2+4x-1的导数。
c.教师引导学生思考，导数是否对函数的每一个点都有定义？如何解释导数不存在的情况？4.导数的性质和应用：a.教师解释导数的性质，如导数为正表示函数在该点增加，导数为负表示函数在该点减少。
b.教师给出一些实际问题，如抛物线的导数在哪些点为零？求解这些问题并解释其实际意义。
c.教师引导学生思考，导数与极值和拐点的关系，并解释其几何意义。
5.总结与拓展：a.教师与学生一起总结导数的概念及几何意义，并强调函数图像和实际问题分析的重要性。