利率期权市场与调整

利率期权

【学习目标】通过本章的学习要掌握利率期权的差不多含义，利率期权市场的差不多情况，要紧的利率期权，包括利率期货期权，场外市场期权，以及内嵌在债务工具中期权。还要掌握为利率期权定价的解析工具。期权调整差额(Option Adjusted Spread, OAS)的含义。要理解利率期权定价的核心——布莱克模型。

第一节利率期权市场

我们能够将利率期权分成三类：交易所交易的，场外市场交易的和内嵌在金融工具里的利率期权。

一、交易所交易的利率期权

交易所交易的利率期权要紧是指利率期货期权，此外还有一些债券期权，在第13章，我们讨论了期货期权定价的一般情况，在这一章，我们将通过利率期货期权更加深入地讨论这一问题。

要紧利率期货期权是在CBT(Chicago Board of Trade),CMT(Chicago Mercantile Exchange)和LIFFE(London International Financial Futures Exchange)交易的。

二、场外市场交易的利率期权

场外市场上的利率期权不像内嵌在其他金融工具中的利率期

权，它是单独直接交易的，它也是利率期权进展和创新的根源。因为场外交易市场几乎完全是私下进行的，因此没有关于市场规模和交易活动的完整、精确的统计数据。只是，我们有可能确定其市场规模的下限，因为我们能够利用有两个数据来源，一个是国际互换和衍生工具协会（International Swaps and Derivatives Association，ISDA），ISDA会定期调查其成员的交易规模和营业资产；还有一个是美国货币审计办公室（Office of the Comptroller），它要求商业银行提交衍生产品交易的报告。

在场外交易市场上，名义本金的概念是专门关键的。名义本金能够通过与期货和期货期权市场的类比来理解。举个例子，一份欧元期货合约（或一份欧元期货期权合约）的本金是$1,000,000，只是这一百万美元并不是合约中实际的投资或风险暴露头寸，这一百万美元类似于OTC上的名义本金。名义本金是用来计算利息额的本金数量，它既不是实际的风险暴露，也不进行实际的支付，只是计算利息流的基础。

依照ISDA的报告，到1997年，场外市场上交易的利率期权的名义本金已超过5万亿美元，在过去10年每年以接近35％的速度增长。ISDA的数据在一定程度上低估了场外市场的进展，

因为它只包括101个会员的数据，只是仅此数据就表明场外市场的进展远远超过了交易所市场的进展。

而货币操纵办公室（OCC）的报告显示，475家商业银行和信托公司在交易所和场外市场上均有大量的衍生证券头寸，它们的报告没有将利率期权和其他衍生工具区分开来，但能够断言银行的期权头寸要紧是利率期权头寸。1997年，这些银行持有的交易所期权头寸为1.363万亿美元，场外市场期权头寸为4.598万亿美元，两者差不多上用名义本金来衡量的。货币操纵办公室（OCC）的报告还显示，场外市场交易的期权和交易所交易的期权的比例约为3比1。

这些数据和ISDA报告的数据不是独立的，每份期权合约都有买方和卖方，因此可能银行的一些期权头寸在ISDA的调查中差不多包括了，而且一些银行的衍生证券部也是ISDA的会员，这些银行的期权头寸就可能被计算两次，这讲明统计场外市场交易的利率期权是专门困难的。只是，至少有一点是清晰的，利率期权的市场规模巨大，名义本金的头寸以万亿计。

三、内嵌的利率期权

除了在交易所和场外市场直接交易的利率期权，有大量的利率期权是内嵌在其他证券之中的。这些利率期权一般是内嵌在可

赎回的公司息票债券和抵押债务中。

在美国，长期公司债券一般是息票债券，而且是可赎回的。赎回条款同意发行公司在特定的时刻以特定的价格从投资者手中买回债券，即发行公司拥有一个内嵌在债券合约中的期权。那个赎回条款在本质上是一个利率期权，因为赎回条款的价值依靠于债券的价值，而债券的价值依靠于利率。几年前发行的美国国库券也有赎回条款，但现在没有了。广泛存在的赎回条款讲明内嵌的利率期权大量存在，这些内嵌的利率期权对债券的市场价值有显著阻碍，我们将看到，债券的期权特征会阻碍债券价格对利率变动的反应方式。

另外一类要紧的内嵌的利率期权存在于抵押的不动产之中。几乎所有的不动产抵押都含有提早偿还条款，它同意借款人在抵押到期前提早偿还负债，那个提早偿还条款是贷款人提供给借款人的。不动产抵押贷款的余额以万亿美元计，多数抵押贷款会在到期前提早偿还，这意味着提早偿还期权一般会被执行。

在美国，住房抵押贷款一般是抵押银行用来形成抵押担保证券的基础。在本质上，抵押担保证券（Mortgage-Backed Security, MBS）是一个组合或不动产抵押池。MBS的投资者投资于由抵押贷款构成的组合，并按事先确定的比例参与组合现金流的分配。

一旦抵押贷款被纳入资产池，政府抵押协会(Government National Mortgage Association, GNMA)或联邦抵押协会( Federal National Mortgage Association, FNMA )会提供违约风险的担保。因此MBS的收益率在考虑提早偿还的期权后略高于国库券的收益率。

在组成MBS的抵押贷款中，每期都有一些被提早偿还。提早偿还住房抵押贷款的缘故要紧有两个：首先是一些人卖掉了住房，其次是为了利用更有利的再融资利率。从MBS的投资者角度看，第二个缘故更重要。

再融资一般会在现在的市场利率大大低于抵押贷款的合同利率的时候发生。当MBS中的抵押贷款出现提早偿还的时候，MBS 的投资者收到提早偿还款项的一部分。从MBS投资者角度看，本金的偿依旧不受欢迎的，因为这要紧出现在利率专门低的时候，MBS的投资者将面临以一个更低的利率投资。

提早偿还的定价是复杂的，因为提早偿还不但依靠于利率的变动，还依靠于人口统计学。一些抵押贷款的提早偿还率更高，是因为借款人更倾向于卖掉房子，这些人的流淌性和跳槽比例都比较高。因此住房抵押贷款中内嵌的提早偿还期权专门复杂，而且对理解MBS的定价特不重要。MBS专家要花费大量的时刻和精

力，考虑提早偿还。

除了住房抵押贷款，另外一类MBS是证券化的抵押支持证券(Collateralized Mortgage Obligation, CMO)。CMO是通过将抵押贷款的现金流分解后从新打包以满足不同投资者的需求。那个打包称为部分( Tranche )，不同部分的息票率和到期日不同，它们被出售给不同的投资者。此外，抵押贷款也能够剥离成利息和本金量部分，在一个典型的抵押贷款中，每个月的偿还额中的一部分是偿还当月的利息，剩下的部分是偿还本金。一个利率( Interest only ) MBS仅由抵押贷款的利息偿还部分组成，类似的，本金( Principal only )MBS仅由本金偿还组成。

关于可赎回的债券和抵押贷款而言，理解它的价值和投资特征依靠于理解其中内嵌的期权带来的阻碍。一般将含有内嵌期权的金融工具价格分解成两部分，主体价值和期权价值，主体价值是不含期权的同类工具的价值。

含内嵌期权的金融工具的价值＝主体价值±期权价值

内嵌期权既可能增加主体的价值，也有可能降低主体的价值。举个例子，可赎回债券中的赎回条款是发行者拥有的一个看涨期权，从投资的角度看，它降低了债券的价值。可在抵押贷款中，借款人拥有一个提早偿还的期权。在这两种要紧的内嵌期权中，

借款人拥有期权，因此期权降低了资产的价值，提高了资产的收益率。

第二节利率期权的定价

一、通过期权调整的价差

现在我们开始讨论利率期权的定价，利率期权定价的关键是利率期限结构。在讨论定价模型之前，我们还需要了解通过期权调整的价差（Option-Adjusted Spread，OAS），OAS度量的是考虑了期权以后，以上内嵌了期权的金融工具和国债收益率的差值。

为了计算某个金融工具的OAS，首先利用政府长期零息票收益率曲线进行估值，并将该值输入到新的定价模型中去。将模型给出的该金融工具的价格与它在市场中的价格进行比较。运用一系列迭代过程以确定平行漂移到所输入的国债收益率曲线的平行漂移量，该量将使得模型的价格等于市场的价格。那个平行漂移量确实是OAS。

举个例子，假设市场价格是＄102.00，利用国债收益曲线计算出的价格为＄103.27。作为第一步试算，我们能够选择平等漂移到国债零息票曲线的平行漂移量为60个点。假设那个漂移量

给出该金融工具价格为＄101.20。这低于＄102.00的价格，意味着在0和60点之间的某个平行漂移量将使得模型所计算的价格等于市场价格。自然我们利用线性插值计算得： 103.27102.006036.81103.27101.20

?－＝－ 即36.81点，将它作为下一次试算的漂移量。假设那个漂移量给出的价格为＄101.95。这讲明OAS 比36.81点要略微小一些。线性插值给出的下一次试算的漂移量为： 103.27102.0036.8135.41103.27101.95

?－＝－ 即35.41点；如此等等。

二、布莱克（Black ）模型与利率期权的定价

自从1973年布莱克－舒尔斯（Black-Scholes ）期权公式首次公布以来，该公式已成为特不流行的工具。正如在第十三章所述，该模型通过扩展之后，可为货币期权、指数期权以及期货期权估值。交易员差不多特不适应于支撑该模型的对数正态分布假设和用来描述不确定性的波动率测度。为了将该模型运用于利率衍生证券的定价，人们做了各种扩展。

在利率衍生证券领域应用最广泛的布莱克－舒尔斯扩展模型是发表于1976年的Black 模型，起初开发该模型是为了给商品期货期权进行估值。该模型扩展后为范围广泛的欧式期权估值提

供了一个灵活的框架。我们还将给出一些例子讲明Black 模型如何应用于利率期权的定价。

（一）运用Black 模型为欧式期权定价

考虑一个基于变量V 的欧式看涨期权，假设利率是非随机变量并定义：

T ：期权到期日

F ：在期限为T 的合约中的V 的以后价格

X ：期权的执行价格

r ：期限为T 的零息票收益

σ：F 的波动率

T V ：在时刻T 时V 的价值

T F ：在时刻T 时F 的价值

在时刻T ，期权的盈利状态是max(,0)T V X -，由于T T F V =，因此

我们可认为在T 时刻的期权盈利状态为max(,0)T F X -，Black 模型给出0时刻欧式看涨期权的价值c 为：

12[()()]rT c e FN d XN d -=- （14.1） 其中 2

1d =

2

21d d σ==-

相应的欧式看跌期权的价值p 为：

21[()()]rT p e XN d FN d -=--- （14.2）

（二）Black 模型的扩展

Black 模型假设F 的波动率为常数，我们能够略微放松那个假设。由于我们是为欧式期权进行估值，我们并不关怀时刻T 之前的V 值或F 值。我们仅只是要求在T 时刻V 服从对数正态分布。由于F 是T V 在风险中性世界中的期望值，我们能够利用风险中性

估值方法推导出方程式（14.1）和（14.2）的充分条件如下：

1．T V 的概率分布是对数正态分布；

2．ln

T V 的标准偏差是σ

3．利率是非随机变量。

当利率是非随机变量时，期货价格和远期价格是相同的。因此，对T 时刻到期的某个合约而言，变量F 可定义为V 的远期价格。

总之，只要假设利率是非随机变量，期权到期时标的变量服从对数正态分布，任何时候我们都能够利用方程式（14.1）和（14.2）为欧式期权估值。在方程式中的变量F 可定义为T 时刻

到期的某个合约中的标的变量的远期价格。

由于我们并没有假设V 和F 的变化遵循几何布朗运动，那么定义变量σ为波动率并不严格。现实中，它只是是一个具有如下特性的变量，即

σln T V 的标准偏差。为了强调这一点，我们

定义σ为T 时刻V 的波动率测度（Volatility Measure ）。

进一步扩展Black 模型，我们可同意给出盈利的时刻不是T 时刻，例如假设从T 时刻的变量V 的值计算出期权的盈利，然而该盈利延迟到*T 时刻，其中*T T ≥。在这种情况下，有必要从时刻*T 而不是从时刻T 贴现该盈利。我们定义*r 为到期日为*T 的零息票收益率，因此方程式（14.1）和（14.2）变为：

*12[()()]r T c e FN d XN d -=- （14.3）

*21[()()]r T p e XN d FN d -=--- （14.4） 其中

2

1d = 2

21d d σ==-（三）适用的利率

人们广泛使用（14.1）到（14.4）为利率期权估值。变量V 能够是利率、债券价格、或两个利率之间的价差。变量F 等于V

的远期价格。用于贴现的变量r和*r是从计算出来的零息票收益率。

当Black模型按这种方式运用时，出现了两种近似情况：

1．假设V的远期价格等于它的期货价格，因此等于

V在风险

T

中性世界中的期望值，然而，当利率是随机变量时，远期价格和期货价格并不相等。

2．即使计算期权盈利时刻这些利率假设为随机变量，也假设用来贴现的这些利率为常数。

假如这些情况发生了的话，这两个近似具有相互抵消的效应。因此，在为欧式利率期权估值时，Black模型比所期望的具有更强的理论基础。

（四）欧式债券期权的定价

欧式债券期权是在以后一个确定日期按一个确定价格购买或出售某个债券的选择权。假如假设在期权到期日标的债券的价格服从对数正态分布，令F等于远期债券价格，则可用方程程式（14.1）和（14.2）为该期权估值。变量

σ是如此定义的，σ

是期权到期时债券价格对数值的标准偏差。

从即期债券价格B能够计算出F，公式如下：

=-（14.5）

F B I e

()rT

其中I是在期权有效期内所支付的息票的现值。在那个公式中，即期债券价格和远期债券价格差不多上现金价格（Cash Prices）而不是报价（Quoted Prices）。

在方程式（14.1）和（14.2）中的执行价格应该是现金执行价格。期权条款中对X的设定专门重要，假如执行价格定义为期权履约时交换该债券的现金量，X应该设定等于那个执行价格。假如执行价格定义为期权履约时适用该债券的报价，X应该设定等于执行价格加上截止到期权到期日的累计利息（交易员将债券的报价看作为“洁净价格”，而将现金价格看作为不纯价格（Dirty Price））。

例14.1

考虑一个10个月期欧式看涨期权，标的证券是有效期9.75年的债券，面值为＄1,000（当期权到期时，该债券的有效期为8年11个月）。假设当前债券现金价格为＄960，执行价格为＄1,000，10个月期无风险年利率为10％，在10个月内该债券价格的波动率测度为年率9％。债券息票率为10％，每半年支付一次，可能在三个月后和九个月后各支付＄50息票（这意味着累计利息为＄25，报价为＄935。）。我们假设3个月期和9个月期的无风险年利率分不为9.0％和9.5％，因此，所付息票的现

值为：

0.250.090.750.095505095.45e e -?-?+=

即＄95.45。从方程式（14.5）得到债券远期价格如下： 0.100.8333(96095.45)939.68F e ?=-=

（a ）假如执行价格是执行时支付该债券的现金价格，方程

式（14.1）中的参数是F ＝939.68，X ＝1,000，r ＝0.1，

σ＝0.09，T ＝0.8333。看涨期权的价格为＄9.49。

（b ）假如执行价格是执行时支付该债券的报价，由于期权的到期日是息票支付日之后的一个月，一个月的累计利息必须加到X 中去。得到X 的值为：

1,000+50×0.16667＝1,008.33

在方程式（14.1）中的其它参数不变（即，F ＝939.68，r ＝0.1，σ＝0.09，T ＝0.8333）。看涨期权的价格为7.97。

债券价格对数的标准偏差会随时刻变化。今天的标准偏差为零，因为今天债券的价格没有不确定性。在债券的到期日标准偏差也是零，因为我们明白到期时债券价格将等于它的面值。在今天和债券到期日之间，标准偏差开始是增加的，然后减少。在为债券的欧式期权进行估值时，所使用的波动率测试σ为：

一般来讲，随着期权有效期限的增加，σ减少。当期权有效期限保持固定时，它是债券有效期限的一个函数。

（五）收益率的波动率

债券期权报价所对应的波动率常常是收益率波动率度量而不是价格波动率度量。市场运用久期概念将报价的收益率波动率转换为价格波动率。假设D 是期权的标的远期债券的经调整的久期。在期权到期时，债券价格B 与其收益y 之间的关系是：

B D y B

?≈-? 即 B y Dy B y ??≈- 这讲明在Black 模型中使用的波动率测度σ与的收益率波动率测度y σ之间有近似的相关关系，公式如下：

y Dy σσ= （14.6）

当债券期权报价给出收益率波动率时，隐含的假设常常是，能够使用方程式（14.6）将该波动率转换为价格波动率，然后将它与方程式（14.1）或（14.2）联立起来，得到一个价格。