第一章_距离空间

xi
?
yi
思考： ? 4 ( x, y) 能否定义 Rn 上的距离？
特别的，当 n=1 时， ?(x, y)? x ? y ，
当 n=2 时， ?(x, y)? (x1 ? y1)2 ? (x2 ? y2 )2
如果在 R2 中，定义 d(x, y)? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ，
验证得知 R2 按 d 也是距离空间，但与欧氏空间是不同
2）举例 例 1 设 R1 是非空实数集合， ? x, y ? R1，
① 若定义 ?(x, y)? x ? y ，
验证知三条距离公理成立，则 R1 按定义 ? 为距
离空间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间。
②
若定义
?1(x,
y)?
x 1?
? x
y ?
y
，验证知三条距离公理
成立，所以， R1 按定义 ?1也是距离空间
中，点列{xn}
?
{1} n
，是
Cauchy
列，也是收敛
点列。
注：R1 中有结论：{x n}是收敛数列 ? {x n}是 Cauchy 数列。
但在一般的距离空间中，该结论不成立 。
定理 若{x n}是（X, ?）中的收敛点列，则{x n}一定是
Cauchy 点列；反之，Cauchy 点列不一定是收敛点列
为开集，则称 A 为 E 中的闭集。
极限点（聚点）、导集 ：设 E 是一个集合， A ? E , x0 ? E ， 若在 ? O ( x0,? ) 内都含有属于 A 而异于 x0 的点，则称 x0 为 A 的一个 极限点 （或聚点 ）。 A 的极限点的全体称 为 A 的 导集 。记作 A?。
闭包 ： A 的导集与 A 的并集称为 A 的闭包，
例 1 Rn 按欧氏距离是完备的距离空间。 证： 见参考书
例2 有理数空间 Q 按欧氏距离是不完备的距离空间。
例 3 距离空间 l2 和 L2[a,b]按通常意义下的距离是完备的。
例 4 C[a , b ] 按 ? (x, y) ? max x(t) ? y(t) 是完备的距离空间； t? [ a ,b ]
? (x, y) ? max x(t) ? y(t) t? [ a ,b]
收敛于 f (x) 。故 P[a ,b]在 C[a,b]中稠密。
证明 见参考书 2
? ? 例 3
若 L2[a,b]中定义距离 ? (x, y) ?
?b
x(t) ?
y(t) 2 dt
1/ 2
，则
a
P[a,b]，C[a,b]都在 L2[a,b]中稠。
记为
y ? Tx
定义 2(等距映射) 设(R, ? ), (R1, ?1) 都是距离空间，如
果存在一个由 R 到 R1 的映射 T，使得 ? x, y ? R，有
?1(Tx,Ty) ? ? (x, y)
则称 R 与 R1 是等距空间，（或称等距同构空间），T 称为
等距映射。
R
Ty R1
x
Tx
y
例 设 Rn 欧氏距离空间，P 是 n 阶正交矩阵，且 ? x? Rn ， Tx ? Px ，证明： T 是由 Rn 到 Rn 的等距映射。
C
[
a
,
b
]
按
?1(x,
y)
?
?b a
x(t)
?
y(t)
dt
是不完备的距离空间
C[a , b] 按
? (x,
y)
?
?? b
? ?a
x(t )
?
y(t )
2
dt
?1/ ? ?
2
是不完备
的距离空间
2) 稠密性
定义（稠密性）设 X 是距离空间， A, B ? X 。若
? x? A，总存在 B 中的点列 x n 收敛于 x
（即 n ? ? 时 , ? ( xn , x) ? 0 ） 则称点列 x n 在 X 中按距离 ? 收敛于 x，记作
lim
n??
xn
?
x 或 xn
?
x(n ?
?)
此时，称 x n 为收敛点列， x 为 x n 的极限点。
定理 1（极限唯一性） 在距离空间 X 中，收敛点列 x n 的极限是唯一的。
3 ）距离空间的完备化
距离空间的完备性在很多方面都起着重要的作用。
如何将一个不完备的距离空间扩充为完备的距离空间
?
这就是距离空间完备化的问题。
定义 1(映射) 已知 (R, ? ), ( R1, ?1) ，如果
? x ? R ???一规定律 ?? y ? R1 ，
则称这个对应关系 T 是一个由 R 到 R1 的映射（或算子），
特别的，当 p=2，l2 称为平方可和距离空间。
Remarks: 对不同的对象（集合），应根据对象的性质定义适当 的、有意义的距离。 对同一个集合定义不同的距离，构成不同的距离空 间。
§1.2 收敛概念
1) 定义（收敛点列） 设 X 是一个距离空间， {x n}是 X
中点列， x ? X 。若
? ? ? 0, ? N , 当 n ? N时 , ? ( xn , x) ? ?
（即? x?
A, ?{xn} ?
B
，使
lim
n??
xn
?
x ），
则称 B 在 A 中稠密。
例 1 有理数集与无理数集都在 R1 中稠密。
定理（稠密等价）设 A, B ? X ，以下三个命题等价 （1）B 在 A 中稠密； （2） B ? A，即 A 的任何点都是 B 的点，或者是 B 的 聚点； （3）? x ? A，x 的任何邻域 O( x,? ) 中都含有 B 中的点；
③ 若定义? 2(x, y)? ?x ? y?2 ， 验证不满足第三条公理，所以R1 按定义 ? 2 不是
距离空间
可见，同一空间可以定义不同的距离，从而形成不 同的距离空间。
例 2 设 Rn 是 n 维向量全体构成的空间，
? x ? (x1, x2,L , xn ), y ? ( y1, y2,L , yn ) ? Rn
? 全体，即
Lp
[a
,
b]
?
? ??
x(t
)
b a
x(t)
p
dt
?
??
?
??。
? ? ? ? x(t), y(t) ? Lp , 定义 ? (x, y) ? b x(t) ? y(t) p dt 1/ p a
则 Lp[a,b]是距离空间，常称为 p 方可积的空间。
特别的，当 p=2 时， L2[a,b]称为平方可积的空间。
2） 柯西点列（Cauchy） 定义 设{x n}是距离空间 X 中的一个点列，若
? ? ? 0, ? N , 当 n, m ? N时 , ? ( xn , xm ) ? ? （即 n, m ? ? 时，? (xn , xm ) ? 0 ）
则称 x n 为基本点列或 Cauchy 点列。
例如在
R1
n
? 定义 ?(x, y)? (xi ? yi )2 i?1
证明：Rn 在 ? 下为距离空间，即通常意义下的欧氏空间。
Rn , ? x ? (x1, x2,L , xn ) , y ? ( y1, y2,L , yn ) ? Rn
?
3(x,
y)
@max 1? i? n
xi
?
yi
，
?
4(x,
y)
@min 1? i? n
证：由已知 ? ? , ? ? R n （列向量），有
n
? ?(? , ? )? (xi ? yi )2 ? (? ? ? )T (? ? ? ) i?1
故 ? (T? ,T? ) ? ? (P? , P ? ) ? ? (? , ? )
定理（完备化定理）对于每一个距离空间 R，必存在 一个完备化的距离空间 R0，使得 R 等距于 R0 中的一个 稠密子空间 R1，并称 R0 为 R 的完备化空间，且在等距 同构的意义下，R0 是唯一的。
记作 A ? A?U A 。
结论 ：闭包一定是闭集。 A 是闭集 ? A?? A ? A ? A
§1.3 距离空间的稠密性与完备性
1）完备性 定义（完备性）在距离空间 X 中，若 X 中的任一
Cauchy 点列都在 X 中有极限，则称 X 是完备的距离 空间。
结论：在完备的距离空间中，收敛点列与 Cauchy 是 等价的。
? (x, y) ? ? (x, z) ? ? (z, y)
则称实数 ?(x, y)为元素 x 与 y 之间的距离，称 X 为距
离空间或度量空间，记作(X, ? )或 X 。距离空间中的元 素也称为“点”，用“·”表示。
距离 ?(?,?)是集合 X×X（称为乘积空间或笛卡尔
积空间）到实数集合 R1 上的二元泛函（或称函数）。
3）距离空间中的开集与闭集 （将实数集中概念推广）
邻域：设 A 是一个距离空间， x? A, ? ? 0 ，则子集
O(x,? ) ? {y ? (x, y) ? ? , y ? A}称为x的? 邻域
内点、开集：设 x? A，若存在 O(x,? ) ? A，称 x 是 A 的
内点。若 A 中所有的点都是内点，则称 A 是开集。 闭集：设 E Fra Baidu bibliotek一个集合， A? E ，若 A 的补集 AEC ? E ? A
是 Q 中的 Cauchy 点列，但不是收敛点列；
2? Q
同理，点列
{xn} ?
{(1?
1 n
)
n
}
是
Q
中的
Cauchy
点列，但
不是收敛点列。
例 2，设空间
X=(0,
1)，则点列{xn}
?
{ n
1 ?
} 1
?
X 按定义
?(x, y)? x ? y 是 X 中的 Cauchy 列，但在 X 中不收
敛（极限值 0 ? (0,1) ）。
第1章 距离空间与拓扑空间
§1.1 定义和举例 §1.2 收敛概念 §1.3 稠密性与完备性 §1.4 可分性与列紧性 §1.5 连续映射
在数学分析中 研究对象——函数 基本工具——极限，是分析理论的基础 定义极限的基础——距离
在泛函分析中将上述内容推广 研究对象——算子、泛函 （空间到空间的映射） 首先引入度量工具——距离 然后在度量空间中——定义极限，建立相应的理
证明：设 n ? ? 时, ? (xn , x) ? 0 ，
Q ? (xn , xm ) ? ? (xn , x) ? ? (xm, x)
则 n,m ? ? 时, ? (xn , xm ) ? 0 。
例 1 在有理数空间 Q 中，点列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … ?
（4） ? ? ? 0, 必有 U o(x,? ) ? A。 x? B 性质：设 A, B,C ? X ，若 A 在 B 中稠，B 在 C 中稠，
则 A 在 C 中稠。
例 2 设 P[a,b]为实系数多项式全体构成的集合，则 ? f (x) ? C[a ,b]，必存在 P[a , b]中的多项式列 Pn ( x) 按距离
论，进一步对每一个具体空间引入相应的结论。
§1.1 定义和举例
1）定义（距离空间） 设 X 是非空集合，若
? x, y? X ??按?规一则定?? ?(x, y)? 0，且满足（距离公理 ）
（1）非负性 ?(x, y)? 0,当且仅当 x ? y时, ?(x, y)? 0
（2）对称性 ?(x, y)? ?(y, x) （3）三角不等式 ? x, y, z ? X, 有
定理 2（极限存在的有界性）在距离空间 X 中的收敛 点列 x n 必有界。
即 ?x0 ? X, 及实数 r ? 0, 使得? xn , 都有? (xn , x0 ) ? r
定理 3（距离的连续性）在距离空间 X 中，距离 ?(x, y)
是两个变元 x, y 的连续泛函。即当 xn ? x0 , yn ? y0 时 ? ( xn , yn ) ? ? (x0 , y0 )(n ? ? )
R
R1
R0
Q
Q
R1
例 1 有理数空间 Q 与完备实数空间 R1 中的稠密子空 间 Q 是等距同构的，所以实数空间 R1 是有理数空间 Q
的完备化空间。
例2
C[a,b]按距离
?
(x,
y)
?
?b a
x(t)
?
y(t)
dt
是不完备的，
但C[a,b] ? L1[a,b]，且 C[a,b]在L1[a,b]中稠密，故 L1[a,b]是
C[a,b]的完备化距离空间。
同理，C[a , b] 按距离
的度量空间。
例3 设C[a,b]表示定义在[a,b]上的所有连续函数的
全体。? x(t), y(t) ? C[a,b]，定义
? (x, y) ? max x(t) ? y(t) t? [a ,b ]
则 C[ a , b]是距离空间。
例4 设 Lp[a,b]( p ? 1)表示 [a ,b]上 p 方可积的所有函数的
例 5 设l p (P ? 1)是所有 p 方可和的数列所成的集合，
?
? 即? x ? { x i } 满足 x i p ? ?? ， i?1
??
p ?1/ p
? 对于 ? x ? {xi}, y ? {yi}? l p ,定义 ? (x, y) ? ??? i?1 xi ? yi ??? ，
则l p 是距离空间，常称为 p 方可和的空间。