中考总复习专题二次函数与相似的结合

二次函数与相似的结合

题型一：动点在线段上

如图，平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)B -，一次函数5y x =-+的图像与x 轴、y 轴

分别交于点A 、C 两点，二次函数2

y x bx c =-++的图像经过点A 、点B ； （1）求这个二次函数的解析式；

（2）点P 是该二次函数图像的顶点，求△APC 的面积；

（3）如果点Q 在线段AC 上，且△ABC 与△AOQ 相似，求点Q 的坐标；

如图，抛物线2

2y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点（A 在B 的左侧），

与y 轴交于点

(0,3)C -，抛物线的顶点为M ；

（1）求a 、c 的值； （2）求tan MAC ∠的值；

（3）若点P 是线段AC 上一个动点，联结OP ；问是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为

顶点的三角形与△ABC 相似若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；

如图，已知抛物线2

y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点为A （-1，0），顶点为B . 点C （5，m ）在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E . （1） 求抛物线的表达式及点E 的坐标； （2） 联结AB ，求∠B 的正切值；

（3） 点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧），

当△CGM 与△ABE 相似时，求点M 的坐标.

x

【参考答案】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）

解：（1）∵抛物线2

y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，∴1

2

a =

. ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴3

2

c =-

. ∴抛物线的表达式为213

22

y x x =

--.………………………………………………（2分）

∴顶点B （1，-2）.…………………………………………………………………（1分）

∵点C （5，m ）在抛物线上，∴6m =. ∴C 点坐标为（5，6）. 设直线BC 的表达式为y =kx +b （k ≠0）， 则652k b k b

=+⎧⎨

-=+⎩，∴2,

4.k b =⎧⎨=-⎩即BC 的表达式为y =2x -4.

∴E （2,0）.……………………………………………………………………………（1分）

（2）作CH ⊥x 轴，垂足为H ，作BP ⊥x 轴，垂足为P ， ∵C （5，6），A （-1，0），∴CH =6=AH . ∴∠CAH=45°. ∵B （1，-2），A （-1，0），∴BP =2=AP.∴∠BAP=45°.

∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………（1分）

∵CH =6=AH ，CH ⊥x 轴，∴AC =

∵BP =2=AP ，BP ⊥x 轴，∴AB =

∴tan 3.AC

B AB

∠=

=…………………………………………………………………（2分） （3）∵∠CAB=90°，∴∠B +∠ACB =90°.

∵GM ⊥BC ，∴∠CGM +∠ACB =90°.∴∠CGM =∠B . ………………………………（1分） ∵△CGM 与△ABE 相似，∴∠BAE =∠CMG 或∠BAE =∠MCG . 情况1：当∠BAE =∠CMG 时，

∵∠BAE =45°，∴∠CMG =45°. ∵GM ⊥BC ，∴∠MCE =45°.∴∠MCE =∠EAB .

∵∠AEB =∠CEM ，∴△ABE ∽△CME . ……………………………………………（1分）

∴

BE AE

EM CE =.即EM =.∴EM =5. ∴M （7，0）. ……………………………（1分）

情况2：当∠BAE =∠MCG 时，

∵∠BAE =∠CAM ，∴∠MCG =∠CAM .∴MC =MA . ………………………………（1分）

设M （x ，0），∵C （5，6），A （-1，0），∴2

2

2

(1)(5)6.x x +=-+∴x=5.

∴M （5，0）. …………………………………………………………………………（1分）

题型二：动点在线段的延长线上

如图7，已知抛物线32

++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OC OB =,点D 是抛物线的顶点，直线AC 和BD 交于点E 。 （1）求点D 的坐标；

（2）联结BC CD 、，求DBC ∠的余切值；

（3）设点M 在线段CA 延长线上，如果EBM △和ABC △相似，求点M 的坐标。

【答案】（1）D 1,4（）（2）3（3）

6

3,)55

-（- 【解析】（1）∵抛物线2

y 3x bx =-++与轴的交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧） ， 与y 轴交于点C ，)3,0(C ,且OC OB =,)0,3(B ∴9330,b=b -++=解得2

∴2

23;D 1,4y x x =-++∴（）

（2）OB OC =∵45OCB OBC ∴∠=∠=︒y=45DC 。

∴∠； 180245=90DCB =︒-⨯︒︒∴∠；

cot 3

BC DBC DC ∠=

== (3)由2

23y x x =-++，可得,在AOC 和BCD 中，

3CO BC

AO CD

==, 90AOC DCB ∠=∠=︒AOC BCD ∴∆∆∽，