傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式

周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号
系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析
以正弦函数或复指数函数作为基本信号
系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间
(,)-∞∞ ，每隔一定时间 T ，按相同
规律重复变化的信号，如图所示 。

它可表示为 f (t )=f ( t +m T )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。

t
()t f 1
1
-T
2
/T 0
周期信号的特点：
（1） 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时
间范围为(,)-∞∞
（2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成
，则周期信
号
()f t 可以写成
0()()
n f t f t nT ∞
=-∞
=
-∑
（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有
()()()a T
b T
T
a
b
f t dt f t dt f t dt
++=
=⎰
⎰
⎰
1. 三角形式的傅立叶级数
周期信号
f t () ，周期为1T ，角频率
11122T f π
πω=
=
该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。

[]∑∞
=++
=++++++++=1
1
1
011121211110)sin()cos(...)sin()cos(...
)2sin()2cos()sin()cos()(n
n n n n t n b t n a a t n b t n a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω
式中各正、余弦函数的系数
n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它可以完全表示。

傅立叶系数公式如下
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧=====⎰⎰⎰+++Λ
Λ,2,1d sin )(2,2,1d cos )(2d )(100
00
110n t t n t f T b n t t n t f T a t t f T a T
t t n T
t t n T
t t ωω
式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取
) ,0(T 或
)
2 ,2(T
T
-
三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式
∑∞
=++
=1
1
0)
cos()(n
n n t n c c t f ϕω或
∑∞
=++
=1
1
0)
sin()(n
n n t n d d t f θω
两种形式之间系数有如下关系:
n
n n n n n n n n n b a
arctg a b arctg
b a d
c
d a c =-=+=
===θϕ,2
2000⎭⎬
⎫
=-====n n n n n n d c b n d c a θϕθϕcos sin ,2 ,1 sin cos n n n n Λ
2．指数函数形式的傅里叶级数
)sin()cos()sin()cos(2
)sin(2)cos(:
利用欧拉公式111111111111t n j t n e t n t n e e e j
t n e e t n t jn t jn t
jn t jn t jn t jn ωωωωωωωωωωωω-=+=-=+=---
[]∑∞
=++
=1
1
1
0)sin()cos()(n
n n t n b t n a a t f ωω
∑∞
=---+++
=1
0]
2
2
[1
1
1
1
n
t
jn t jn n
t
jn t jn n e e jb e e a a ωωωω
∑∞
=-++-+=10]
)(21)(21[11n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω
令：()
n n b a n F j 21
)(1-=ω
()()⎰
⎰
-=
T
T
t
t n t f T
t t n t f T
10
1d sin )(1
j
d cos )(1
ωω
由欧拉公式
⎰
-=T
t
n t
t f T
j d e )(1
1
ω
()
n n b a n F j 2
1
)(1+=-ω
()()⎰
⎰
+=T
T
t
t n t f T
t t n t f T
10
1d sin )(1
j
d cos )(1
ωω⎰
=
T
t
n t
t f T
j d e
)(1
1ω
令：
0)0(a F = 前面的级数可展成指数形式系数
e )()(1
j 1
t
n n n F t f ωω∑∞
-∞
==
d e )(1
)(1
1
j 1⎰
-=
=T t
n n t t f T
n F F ωω
与三角形式不同。

),,(的区间为这里:注意∞-∞n ()惟一确定。

则，)(出给如合。

组性线的e 号信数可分解成号周期信1j 1t f n F t
n ωω
有模和辐角,是一个复数)(注意：1ωn F
n
n
n n a b
arctg b a jb a n F μμ辐角等于2
其模等于
),(21)(由于221+=±ω
n
n
n n n n a b arctg
b a
c -=+=
ϕ;:在傅立叶三角表示式中2
2
()n
n
n c n F F ϕω±=
相角辐角等于三角表示的初;2
的模可知系数1)
(一地表示了他唯
,变化而变化的复数)(是一个随着频率)(11t f n n F ωω在傅立叶级数中，无论三角函数表示还是指数函数表示，都是通过三个量完整地表示一个函数：
n
n n c n F n n ϕωωωω下基底的相位值在)3(或)(下基底的幅度值在)2(频率)1(1111
)cos(三角表示的基底为指数表示的基底为11t n e
t
jn ωω。