大学物理实验讲义-弦振动与驻波研究

弦振动与驻波研究
【实验目的】
1．观察在弦上形成的驻波；
2．确定弦线振动时驻波波长与张力的关系； 3．学习对数作图和最小二乘法进行数据处理。

【实验原理】
在一根拉紧的弦线上，其中张力为T ，线密度为μ，则沿弦线传播的横波应满足下述运动方程：
2
222x y
T t y ∂∂=∂∂μ (1)
式中x 为波在传播方向（与弦线平行）的位置坐标，y 为振动位移。

将(1)式与典型的波动
方程 22222x
y V t y ∂∂=∂∂ 相比较，即可得到波的传播速度: μ
T
V =
若波源的振动频率为f ，横波波长为λ，由于波速λf V =，故波长与张力及线密度之间的关系为：
μ
λT
f
1
=
(2)
为了用实验证明公式(2)成立，将该式两边取对数，得：
11
lg lg lg lg 22
T f λ
μ=-- (3) 固定频率f 及线密度μ，而改变张力T ，并测出各相应波长λ，作lg λ-lg T 图，若得一直线，计算其斜率值（如为
2
1），则证明了λ∝2
1
T 的关系成立。

弦线上的波长可利用驻波原理测量。

当两个振幅和频率相同的相干波在同一直线上相向传播时，其所叠加而成的波称为驻波，一维驻波是波干涉中的一种特殊情形。

在弦线上出现许多静止点，称为驻波的波节。

相邻两波节间的距离为半个波长。

【实验仪器】
1、可调频率数显机械振动源；
2、振动簧片；
3、弦线（铜丝）；
4、可动刀片支架；
5、可动刀口支架；
6、标尺；
7、固定滑轮；
8、砝码与砝码盘；
9、变压器;10、实验平台；11、实验桌
9
123456
7
8
10
11
图1 实验装置示意图
图2 可调频率数显机械振动源面板图
（1、电源开关 2、频率调节 3、复位键 4、幅度调节 5、频率指示）
实验装置如图1所示，金属弦线的一端系在能作水平方向振动的可调频率数显机械振动源的振簧片上，频率变化范围从0-200Hz 连续可调，频率最小变化量为0.01Hz ，弦线一
弦线上驻波实验仪
电 源
O
复位 幅度 调节
上海复旦天欣科教仪器有限公司
频率调节
H Z
1 2 3 4
5
FD-SWE-II
端通过定滑轮⑦悬挂一砝码盘⑧；在振动装置(振动簧片)的附近有可动刀片支架④，在实验装置上还有一个可沿弦线方向左右移动并撑住弦线的可动刀口⑤。

滑轮⑦固定在实验平台⑩上，其产生的摩擦力很小，可以忽略不计。

若弦线下端所悬挂的物体的质量为m （包含砝码和砝码盘及悬线的质量），张力mg T =。

当波源振动时，即在弦线上形成向右传播的横波；当波传播到可动刀口与弦线相交点时，由于弦线在该点受到刀口两壁阻挡而不能振动，波在切点被反射形成了向左传播的反射波。

这种传播方向相反的两列波叠加即形成驻波。

当振动端簧片与弦线固定点至可动刀口⑤与弦线交点的长度L 等于半波长的整数倍时，即可得到振幅较大而稳定的驻波，振动簧片与弦线固定点为近似波节，弦线与可动刀口相交点为波节。

它们的间距为L ，则
2
λ
n
L = (4)
其中n 为任意正整数。

利用式(4)，即可测量弦上横波波长。

由于簧片与弦线固定点在振动不易测准，实验也可将最靠近振动端的波节作为L 的起始点，并用可动刀口④指示读数，求出该点离弦线与可动刀口⑤相交点距离L 。

实验时，将变压器（黑色壳）输入插头与220V 交流电源接通，输出端(五芯航空线)与主机上的航空座相连接。

打开数显振动源面板上的电源开关①（振动源面板如图2所示）。

面板上数码管⑤显示振动源振动频率×××.××Hz 。

根据需要按频率调节②中（增加频率）或▼（减小频率）键，改变振动源的振动频率，调节面板上幅度调节旋钮④，使振动源有振动输出；当不需要振动源振动时，可按面板上复位键③复位，数码管显示全部清零。

【实验步骤】
1. 组装好实验装置。

将变压器（黑色壳）输入插头与220V 交流电源接通。

打开数显振动源面板上的电源开关①，并能频率调节键，设定一个波源振动的频率（一般取为100Hz ，若振动振幅太小，可将频率取小些，比如90Hz ）。

2. 在砝码盘上添加不同质量的砝码，以改变同一弦上的张力T （见数据记录表）。

每改变一次张力(即增加一次砝码)，均要左右移动可动刀口⑤的位置，使弦线出现振幅较大而稳定的驻波，并把可动刀片支架④移至第二个节点。

用实验平台⑩上的标尺⑥测量每种情况下支架④和⑤之间的距离L 值，数出L 范围内的半波数，根据式(4)算出波长λ，并记录对应砝码质量。

【数据记录与处理】
1. 列表记录实验数据
波源振动频率f ＝（ ）Hz ，0m 为砝码盘和悬线的质量，L 为产生驻波的弦线长度，n 为在L 长度内半波的波数（n 不能太小），实验结果如表1所示。

附：重力加速度
2
9.794m /s g ≈；0m =（ +h
μ
）k ｇ, 其中h 为悬线长度、
0.001604kg /m μ≈是铜线的线密度。

表1 给定频率的实验数据表
下面取如下数据作为例子，给出理论值。

波源振动频率f ＝（ 100 ）Hz ，0m 为砝码盘和悬线的质量，L 为产生驻波的弦线长度，n 为在L 长度内半波的波数（n 不能太小），实验结果如表1所示。

附：重力加速度29.794m /s g
≈；0m =（38.50*10
-3
+h μ）k
ｇ=0.03880kg, 其中h=21.00*10-2m 为悬线长度、0.001604kg /m μ≈是铜线的线密
度。

表2 给定频率f =100Hz, 0m =0.03880kg 的理论数据表（此表不要写进实验报告册）
理论上，不同条件下的波长差应该满足如下规律：
1
i i
λλ
+
-=-=-
=≈
克
大家可以根据上述理论结果来粗略地判断实验结果的准确性。

2. 数据处理
（1）利用最小二乘法拟合出logλ—log T的线性回归方程（最小二乘法见附录部分），要求用计算机打印出拟合曲线图并在图上给出拟合公式和相关系数（令log
x T
=，log
yλ
=）。

（2）写出实验总结（包括自己对实验的看法或者体会，数据的准确性以及是否达到实验目的）。

【注意事项】
1、须在弦线上出现振幅较大而稳定的驻波时，再测量驻波波长。

2、张力包括砝码与砝码盘的质量，砝码盘的质量用天平称量。

3、当实验时，发现波源发生机械共振时，应减小振幅或改变波源频率，便于调节出振幅大且稳定的驻波。

【思考题】
1. 求λ时为何要测几个半波长的总长？
2．为了使logλ-log T直线图上的数据点分布比较均匀，砝码盘中的砝码质量应如何改变？
附录：最小二乘法线性拟合
设两个物理量x、y满足线性关系y = a+bx，等精度地测得一组互相独立的实验数据（来推算a和b）
{x i，y i} i = 1,…..,n
当所测各y i值与拟合直线上的a +bx i之间偏差的平方和最小，即残差
21
[()]n
i i i Q y a bx ==-+∑ (A-1)
取小。

所得系数a ,b 最好,拟合公式即为最佳经验公式。

由
1
1
2[()](1)02[()]()0n
i i i n
i i i i Q y a bx a Q
y a bx x b ==∂=-+-=∂∂=-+-=∂∑∑ (A-2)
得出a ,b 最佳值为
1112222
11n n n i i i i i i i n n
i i
i i y x n x y x y xy b x x x n x =====⎛⎫⎛⎫⎛⎫
- ⎪⎪ ⎪⋅-⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭
∑∑∑∑∑， (A-3)
2211112222
11n n n n i i i i i i i i i n n i i i i x y x y x xy x x y
a y bx x x x n x ======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
- ⎪⎪ ⎪⎪⋅-⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫-- ⎪
⎝⎭
∑∑∑∑∑∑. (A-4) 将a 和b 值带入线性方程y a bx =+，即得到线性回归方程。

我们根据(A-3)和(A-4)，就可以拟合实验数据得到线性回归方程。

但是，不论测量数
据(),i i x y 是不是线性关系，由上面公式都能求出a 和b ，所以必须有一个判断测量数据是否为线性的标准，这就是相关系数r ，
r =
(A-5)
|r |的值在(0,1]区间中。

r 越接近于1，,x y 之间线性越好；r 为正，直线斜率为正，称为正相关；r 为负，直线斜率为负，称为负相关。

r 接近于0，则测量数据点分散或之间为
,x y 为非线性。