立体几何求体积方法总结及习题演练精

立体几何求体积大题

立体几何中有关体积问题一、知识归纳一、知识归纳1、柱体体积公式：.V S h =2、椎体体积公式：1.3V S h =3、球体体积公式：343V R π=二、点到平面的距离问题二、点到平面的距离问题求解方法：求解方法：1、几何法：等体积法求h2、向量法：、向量法：点A 到面α的距离AB nd n•=u u u u r r r其中，n →是底面的法向量，点B 是面α内任意一点。

内任意一点。

题型分析：题型分析：1、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥,1AB BB ⊥12AC BC BB ===,D 为AB 中点，且1CD DA ⊥（1）求证：1BB ABC ⊥平面（2）求证：1BC ∥平面1CA D (3)(3)求三棱椎求三棱椎11-A B DC 的体积的体积2、如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE ∆是等边三角形，侧面ADE ABCD ⊥地面,AB ∥DC ，且，且2435BD DC AD AB ====，，.（1）若F 是EC 上任意一点，求证：面BDF ADE ⊥面(2)(2)求三棱锥求三棱锥C BDE -的体积。

的体积。

3、如图，在棱长为2的正方体中，,E F 分别为1DD DB 、的中点。

的中点。

（1）求证：EF ∥平面11ABC D (2) (2)求证求证1EF B C ⊥ （2）求三棱锥1B EFC -的体积。

1A 1B 1C A DCB1A 1B 1C AECBDF1D A ECBDF4、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。

的体积。

5、如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．的高．6、如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点。

立体几何中的体积问题

立体几何中体积问题的求解技巧体积计算是立体几何的教学重点，也是数学竞赛的常见考查内容之一．解决这类问题时，除了牢记公式以外，还需要巧恩妙想，结合具体条件灵活选择计算体积的合适方法．一、公式法例 1 (2012 年江苏赛区初赛 7) 在四面体ABCD 中， AB = AC =A D =DB=5 ，BC = 3，CD =4 ，则该四面体的体积为-________ 解析：根据题意，BC=3，CD =4 ，D B=5，则∠B C D =90°．如图1，取BD 的中点 E ，连结 AE 、CE ，由直角三角形性质可知 B E = CE =D E ，而 A B = A C =A D =5,所以△ABE ≌△ACE ≌△ADE ，从而有 AE ⊥BD ，AE ⊥EC ，故AE ⊥平面 BCD ，即 AE 为平面 BCD 上的高，计算可知V A-BCD =13·S △BCD ·AE=13·6·5√32=5√3 变式1：如图 1，在三棱锥 P-ABC 中，PA = 1，AB = AC = 2 ∠PAB =∠PA C =∠BAC = 60°，求三棱锥A-PBC 的体积解在△PAB 中，P B ²=PA ² + A B ²一2P A ·A B cos ∠P A B =1 ²+ 2²一2×1 ×2cos60 °= 3 解得 AB ²= PA ²+ PB ²，即 P A ⊥P B ．同理可得PA ⊥PC ，从而PA ⊥平面PB C ．又因为A B = A C = 2 ，∠ B A C = 60°，所以△ABC 为正三角形，B C = 2．取B C 的中点D ，连结P D ，则PD =√PB²−BD²=√3−1=√2． S △PBC = 12BC ·PD =√2因此V A-PBC =13S △PBC ·PA=13·√2·1=√23二、分割法例2(201年安徽预赛6)如图3设正四棱锥P-ABCD 的体积为1，E、F、G、H 分别是线段A B、CD、PB、PC的中点，则多面体BEG-CFH 的体积为_______解析此题要求多面体BEG -CF的体积，必须先将它切割成常见的几何体，取BC 、EF 的中点M 、N ，连结M N 、GM 、GN ，则多面体BEG-CFH分割为一个四棱锥G-EBMN和一个三棱HFC -GNM ，因为E 、F 、G 、H 分别是线段AB 、CD 、PB 、PC的中点，且正四棱锥P -A B CD 的体积为1，则四棱锥G -EB M N 的体积为V G-ECMN =18，从而三棱锥 E -GNM 的体积为V E –GNM=116又三棱柱H F C —GN M 的体积为三棱锥 E 一G N M 的体积的 3 倍。

立体几何体积表面积题型总结

立体几何体积表面积题型总结全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：立体几何体积和表面积是几何学中非常重要的概念，它们广泛应用于日常生活和各种工程领域。

在考试中，经常会出现与立体几何体积和表面积相关的题型，考查学生的综合能力和解题技巧。

本文将对关于立体几何体积表面积题型进行总结，希望能帮助读者更好地掌握相关知识。

在解立体几何体积表面积题型时，首先需要了解各种常见几何体的体积和表面积公式。

下面是一些常见几何体的体积和表面积公式：1. 立方体：- 体积公式：V = a³ （a为边长）- 表面积公式：S = 6a²了解以上公式是解立体几何体积表面积题目的基础，接下来需要根据具体题目的要求灵活运用这些公式。

在解题过程中，可以遵循以下一般步骤：1. 画图：根据题目绘制准确的图形，有助于理清思路和分析问题。

2. 确定参数：明确各个参数的含义，包括边长、半径、高等。

3. 应用公式：根据具体题目要求，选择合适的体积和表面积公式进行计算。

4. 计算验证：将得到的具体数值代入公式进行计算，并进行验证。

5. 总结解法：总结解题过程，确保计算结果正确且符合题目要求。

在解题过程中，有一些常见的考点和技巧也是需要注意的，下面列举一些常见的题型及解题技巧：1. 混合体积问题：有时题目会涉及到多种几何体的组合，需要将各个部分的体积分别计算，然后相加得到总体积。

2. 变换题型：有些题目需要根据给定条件进行变换，例如将一个正方体切割成若干小正方体，需要注意每个小正方体的边长与体积的关系。

3. 边长、半径的关系：根据题目给定的条件，需灵活利用边长、半径之间的关系来求解问题。

4. 知己知彼：要根据具体题目的特点选择合适的解题方法，不要死记硬背，要有灵活应对的能力。

5. 多维度思考：对于复杂的题目，可以通过多种角度进行思考，可以更快地找到解题思路。

第二篇示例：立体几何体积和表面积是几何学中非常重要的概念，它们广泛应用于工程、建筑、物理学和计算机图形学等领域。

立体几何中的体积与面积计算方法总结

立体几何中的体积与面积计算方法总结立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的物体的形状、大小以及相互关系。

在立体几何中，体积和面积是两个常见且重要的概念。

本文将总结一些常见的体积和面积计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、体积计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的几何体，如长方体、正方体、圆柱体等，可以直接通过公式计算其体积。

例如，长方体的体积公式为V = l × w × h，其中l、w、h分别表示长方体的长度、宽度和高度。

2. 分割求和法：对于一些复杂的几何体，可以通过将其分割成若干个简单的几何体，然后计算每个简单几何体的体积，最后将它们求和得到整个几何体的体积。

这种方法常用于计算不规则体的体积，如棱柱、棱锥等。

3. 旋转体积法：对于一些具有旋转对称性的几何体，可以通过旋转这个几何体得到一个旋转体，然后计算旋转体的体积，并乘以旋转角度的比例系数得到原几何体的体积。

这种方法常用于计算圆锥、圆台等几何体的体积。

二、面积计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的几何形状，如矩形、正方形、圆形等，可以直接通过公式计算其面积。

例如，矩形的面积公式为A = l × w，其中l和w分别表示矩形的长度和宽度。

2. 分割求和法：对于一些复杂的几何形状，可以通过将其分割成若干个简单的几何形状，然后计算每个简单形状的面积，最后将它们求和得到整个几何形状的面积。

这种方法常用于计算不规则图形的面积，如多边形、曲线图形等。

3. 面积积分法：对于一些无法通过简单的公式计算的几何形状，可以利用面积积分的方法进行计算。

面积积分是将几何形状分割成无穷小的面元，然后对每个面元的面积进行积分得到整个几何形状的面积。

这种方法常用于计算曲面的面积。

三、应用举例1. 体积计算应用：在建筑工程中，需要计算房间的体积，以确定所需的建材数量。

在制造业中，需要计算产品的体积，以确定运输和储存的空间需求。

数学复习立体形的体积

数学复习立体形的体积数学复习：立体形的体积在数学中，我们经常会遇到涉及立体形体积的计算问题。

立体形体积是指三维空间中一个物体所占据的空间大小。

掌握计算立体形体积的方法和公式对于解决实际问题非常重要。

本文将介绍一些常见的立体形体积计算方法，包括球体、圆柱体、锥体和立方体。

一、球体的体积计算球体是所有点到一个固定点距离都相等的集合，它具有旋转对称性。

计算球体的体积可以使用球体体积公式：V = (4/3) * π * r³其中，V表示球体的体积，π取近似值3.14159，r表示球体的半径。

二、圆柱体的体积计算圆柱体是由两个平行且相等的圆面和一条连接两圆面的曲面组成。

圆柱体的体积计算可以使用圆柱体体积公式：V = π * r² * h其中，V表示圆柱体的体积，π取近似值3.14159，r表示圆柱体的底面半径，h表示圆柱体的高。

三、锥体的体积计算锥体是由一个底面和与底面不在同一平面上、以底面为公共边的一些射线组成的立体图形。

计算锥体的体积可以使用锥体体积公式：V = (1/3) * π * r² * h其中，V表示锥体的体积，π取近似值3.14159，r表示锥体底面的半径，h表示锥体的高。

四、立方体的体积计算立方体是一个六面全部相等的正方体，它具有对称性。

计算立方体的体积可以使用立方体体积公式：V = a³其中，V表示立方体的体积，a表示立方体的边长。

除了上述常见的立体形体积计算方法，还有其他一些复杂形状的立体体积计算方法。

总的来说，计算立体形体积的关键是确定正确的体积公式，并且准确地测量各个参数。

在实际问题中，可以利用尺子、卡尺等工具准确测量，并根据不同立体形的特点选择合适的公式进行计算。

在解决立体形体积计算问题时，需要将题目中提供的参数代入相应的公式，并进行计算。

同时，还要注意单位统一，确保计算结果的准确性。

例题1：计算一个半径为5cm的球体的体积，结果保留两位小数。

立体几何形的体积计算知识点总结

立体几何形的体积计算知识点总结体积是立体几何形的一个重要属性，它用来描述一个物体所占的空间大小。

在几何学中，我们经常需要计算不同形状的物体的体积。

为了更好地理解和掌握立体几何形的体积计算，我们需要掌握一些基本的知识点。

本文将根据不同的几何形状，总结一些常用的体积计算公式和方法。

一、正方体的体积计算正方体是最简单的立体几何形之一，它的六个面都是正方形。

计算正方体的体积非常简单，只需要将正方体的边长乘以自身再乘以自身即可。

即体积=边长×边长×边长。

例如，一个边长为5厘米的正方体的体积为5×5×5=125立方厘米。

二、长方体的体积计算长方体是更常见的一种立体几何形，它的六个面中，相对的两个面是相等的长方形。

计算长方体的体积也非常简单，只需要将长方体的长、宽和高相乘即可。

即体积=长×宽×高。

例如，一个长10厘米，宽6厘米，高8厘米的长方体的体积为10×6×8=480立方厘米。

三、圆柱体的体积计算圆柱体是一个底面为圆形的立体几何形。

要计算圆柱体的体积，需要知道底面的半径和高。

计算公式为体积=底面积×高=π×半径的平方×高。

例如，一个底面半径为3厘米，高为6厘米的圆柱体的体积为3.14×3×3×6=169.56立方厘米。

四、球体的体积计算球体是一个所有点到球心的距离都相等的立体几何形。

计算球体的体积需要知道球的半径。

计算公式为体积=4/3×π×半径的立方。

例如，一个半径为4厘米的球体的体积为4/3×3.14×4×4×4=268.08立方厘米。

五、锥体的体积计算锥体是一个底面为圆形，顶点与底面圆心相连的立体几何形。

计算锥体的体积需要知道底面的半径和高。

计算公式为体积=1/3×底面积×高=1/3×π×半径的平方×高。

求立体几何形的体积的方法总结

求立体几何形的体积的方法总结立体几何形的体积计算方法总结立体几何形体积的计算是数学中的重要内容。

很多地方需要用到立体几何体积的计算方法，例如建筑、机械、化学等各个领域。

下面将对常见的几何体体积计算方法进行总结和介绍。

1. 直体的体积计算方法直体是指由两个平行的底面和沿着这两个底面的侧面组成的几何物体，如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。

由于其底面和侧面的性质很稳定，直体的体积计算方法比较简单，一般采用公式计算即可。

如：（1）长方体的体积计算公式为V= lwh，其中l、w、h分别为长方体的长、宽和高。

（2）正方体的体积计算公式为V= a^3，其中a为正方体的边长。

（3）圆柱体的体积计算公式为V= πr^2h，其中r为圆柱体的底面半径，h为圆柱体的高。

（4）圆锥体的体积计算公式为V= 1/3 πr^2h，其中r为圆锥体的底面半径，h为圆锥的高。

以上公式计算的是标准形状的直体，如果是不规则形状的直体，可以将其划分为一些标准形状，然后分别计算，再将它们的体积相加。

2. 曲体的体积计算方法与直体不同，曲体是由曲面和两个端面（底面和顶面）组成的，如球体、棱锥、棱台、棒球棒等。

由于曲面的性质比较复杂，因此曲体的体积计算方法也相对较为复杂。

（1）球体的体积计算公式为V= 4/3 πr^3，其中r为球体的半径。

（2）棱锥的体积计算公式为V= 1/3 Sbh，其中S为底面的面积，b为底边长，h为高。

（3）棱台的体积计算公式为V= 1/3 h（S1+S2+√S1S2），其中S1、S2分别为上下底面的面积。

（4）棒球棒的体积计算需要将其分解为许多简单的几何图形，如圆台、圆柱、球等，然后分别计算它们的体积，再将其相加。

3. 复合体的体积计算方法复合体是由多个几何图形组成的，如汽车、火车等复杂的机械产品，通过将其分解成为多个简单的几何图形，每个几何图形计算体积，最后加和，来求出总体积。

总之，立体几何形的体积计算方法根据几何形状的不同而有所不同，有些体积计算公式比较简单，有些比较复杂。

习题范例解决立体几何中的体积问题

习题范例解决立体几何中的体积问题在立体几何的学习中，计算体积是一个重要的问题。

体积表示了一个立体物体所占据的空间大小，它在数学和实际应用中都有着广泛的应用。

为了更好地理解和解决立体几何中的体积问题，本文将通过一些习题范例来进行详细的解析。

1. 三棱柱的体积计算题目：一个三棱柱的底面是一个边长为5cm的等边三角形，高度为8cm。

求这个三棱柱的体积。

解析：首先计算底面的面积。

由于等边三角形的面积公式为 (边长)^2 * √3 / 4，代入数值计算得到底面面积为(5^2 * √3) / 4 = 10.83cm^2。

然后将底面面积乘以高度，即可得到体积。

计算结果为 10.83cm^2* 8cm = 86.64cm^3。

因此，这个三棱柱的体积为 86.64cm^3。

2. 圆柱的体积计算题目：一个圆柱的底面半径为4cm，高度为10cm。

求这个圆柱的体积。

解析：圆柱的面积公式为π * (半径)^2 * 高度。

代入数值进行计算，即可得到体积。

计算结果为π * 4cm^2 * 10cm = 125.66cm^3。

因此，这个圆柱的体积为 125.66cm^3。

3. 球的体积计算题目：一个球的半径为6cm。

求这个球的体积。

解析：球的体积公式为4/3 * π * (半径)^3。

代入数值进行计算，即可得到体积。

计算结果为4/3 * π * 6cm^3 = 904.78cm^3。

因此，这个球的体积为 904.78cm^3。

4. 锥体的体积计算题目：一个锥体的底面半径为3cm，高度为5cm。

求这个锥体的体积。

解析：锥体的体积公式为1/3 * π * (半径)^2 * 高度。

代入数值进行计算，即可得到体积。

计算结果为1/3 * π * 3cm^2 * 5cm = 15.71cm^3。

因此，这个锥体的体积为 15.71cm^3。

通过以上习题范例的解析，我们可以看到，计算立体几何中的体积问题需要根据不同的几何体选择相应的公式进行计算。

高考数学中的立体几何体积

高考数学中的立体几何体积在高考数学中，立体几何是我们必须要掌握的一项知识。

其中，计算各种立体几何的体积也是一项非常重要的技能。

那么，在立体几何中，我们应该如何计算体积呢？本文将详细探讨这个问题，帮助大家更好地掌握立体几何的体积计算知识。

1. 三棱锥体积的计算我们先来看一下三棱锥体积的计算。

三棱锥是指顶点为三角形顶点，底面为三角形的锥体。

计算三棱锥体积的公式为：$V =\frac{1}{3}S_hh$，其中$S_h$为底面积，$h$为高。

我们可以通过以下例题来更好地理解三棱锥体积的计算方法：如图所示，底面为边长为$3$的等边三角形，高为$4$，求此三棱锥的体积。

解：首先，我们需要求出三角形的面积$S$。

由于此三角形是等边三角形，因此可以使用海伦公式计算其面积：$$S=\sqrt{3}\times\frac{(3+3+3)}{2}\times\frac{(3+3-3)}{2}=3\sqrt{3}$$由此，我们可以得到该三棱锥的体积$V$：$$V=\frac{1}{3}S_hh=\frac{1}{3}\times3\sqrt{3}\times4=4\sqrt{3} $$因此，该三棱锥的体积为$4\sqrt{3}$。

2. 圆锥体积的计算我们接下来来看圆锥体积的计算。

圆锥是指顶点在圆锥轴上，底面为圆的锥体。

计算圆锥体积的公式为：$V = \frac{1}{3}\pir^2h$，其中$r$为底面半径，$h$为高。

以下是一个例题：如图所示，底面半径为$4$，高为$5$，求此圆锥的体积。

解：根据圆锥的体积公式，可以轻松计算出此圆锥的体积$V$：$$V=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi\times4^2\times5=\frac{80}{3}\pi$$因此，该圆锥的体积为$\frac{80}{3}\pi$。

3. 球体积的计算最后，我们来看一下球体积的计算。

球体积是指球体内部所填充的物质的容积。

高中数学立体几何体积计算方法及应用技巧

高中数学立体几何体积计算方法及应用技巧立体几何是高中数学中的一个重要部分，其中计算体积是一个常见的考点。

在解题过程中，我们需要掌握一些方法和技巧，以便更加高效地解决问题。

本文将介绍几种常见的计算体积的方法，并结合具体题目进行分析和说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这些技巧。

一、立方体和长方体的体积计算方法立方体和长方体是最基本的几何体，其体积的计算方法非常简单。

立方体的体积等于边长的立方，即V = a^3；长方体的体积等于长、宽、高的乘积，即V = lwh。

例如，如果一个立方体的边长为3cm，则其体积为27cm^3；如果一个长方体的长、宽、高分别为4cm、5cm、6cm，则其体积为120cm^3。

二、棱柱和棱锥的体积计算方法棱柱和棱锥是常见的几何体，其体积计算方法与长方体类似，只需将长方体的宽替换为棱柱或棱锥的底面积即可。

对于棱柱，其体积等于底面积乘以高，即V = Bh；对于棱锥，其体积等于底面积乘以高再除以3，即V = (Bh)/3。

其中，B为底面积，h为高。

例如，如果一个棱柱的底面积为10cm^2，高为6cm，则其体积为60cm^3；如果一个棱锥的底面积为8cm^2，高为12cm，则其体积为32cm^3。

三、球体和圆柱的体积计算方法球体和圆柱是另外两种常见的几何体，其体积计算方法有一些独特之处。

对于球体，其体积等于4/3乘以π乘以半径的立方，即V = (4/3)πr^3。

例如，如果一个球体的半径为5cm，则其体积为(4/3)π(5^3) ≈ 523.6cm^3。

对于圆柱，其体积等于底面积乘以高，即V = πr^2h。

例如，如果一个圆柱的底面积为16cm^2，高为8cm，则其体积为16π ≈ 50.3cm^3。

通过以上的介绍，我们可以看到不同几何体的体积计算方法有所不同，但都可以归纳为底面积乘以高或者半径的立方。

在解题过程中，我们需要根据具体情况选择合适的计算方法，并注意单位的转换。

高中数学立体几何中求体积技巧分享

高中数学立体几何中求体积技巧分享在高中数学中，立体几何是一个重要的章节，其中求解体积是一个常见的问题。

本文将分享一些求解体积的技巧，帮助高中学生更好地应对这类题型。

一、立体几何中的体积公式在求解体积问题时，我们首先需要掌握各种几何体的体积公式。

下面是一些常见几何体的体积公式：1. 直角三棱锥的体积公式：V = 1/3 * 底面积 * 高2. 直角四棱锥的体积公式：V = 1/3 * 底面积 * 高3. 圆柱的体积公式：V = 底面积 * 高4. 圆锥的体积公式：V = 1/3 * 底面积 * 高5. 球的体积公式：V = 4/3 * π * 半径³6. 圆环的体积公式：V = π * (外圆半径² - 内圆半径²) * 高二、应用体积公式解题在实际解题中，我们需要根据题目的要求，选择合适的体积公式进行计算。

下面通过一些具体的例题，来说明如何应用体积公式解题。

例题1：一个圆锥的底面半径为3cm，高为5cm，求其体积。

解析：根据圆锥的体积公式，我们可以直接代入底面半径和高进行计算。

V = 1/3 * π * 3² * 5≈ 47.1 cm³例题2：一个直角三棱锥的底面边长为4cm，高为6cm，求其体积。

解析：根据直角三棱锥的体积公式，我们可以直接代入底面积和高进行计算。

V = 1/3 * 4² * 6= 32 cm³例题3：一个圆柱的底面半径为2cm，高为8cm，求其体积。

解析：根据圆柱的体积公式，我们可以直接代入底面积和高进行计算。

V = π * 2² * 8≈ 100.5 cm³通过以上例题，我们可以看到，在解题过程中，首先要明确所给几何体的类型，然后选择合适的体积公式进行计算。

同时，注意单位的转换，确保最终的答案是符合题目要求的。

三、举一反三，应用解题技巧除了直接应用体积公式进行计算外，我们还可以通过一些解题技巧，更加灵活地解决立体几何中的体积问题。

求几何体体积的常用方法总结分解

A B
A B
C
A' B'
C'
M
C
PA BC ED 例3：已知三棱锥P—ABC中， , BC
ED PA , PA=BC=a且ED=b求三棱锥的体积 ED BC 解法分析： BC 平面PAD P PA BC VP ABC VB PAD VC PAD a

E b C
4
三棱锥A 1—M N P 的体积．
分析
1 若用公式V = Sh直接计算三棱锥A 1—M N P 的 3
体积，则需要求出△M N P 的面积和该三棱锥的高，两者显然都不易求出，但若将三棱锥A 1—M N P 的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P —A 1M N 的体积，显然就容易解答了．解析
求几何体体积的常用方法
一、分割法对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常需要运用分割法，按照结论的要求，将原几何体分割成若干个可求体积的几何体，然后再求和．【例 1】如右图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 △ ADE、△BCF 均为正三角形， EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 .
A
a D B
1 1 S PAD BD S PAD CD 3 3 1 1 1 S PAD CB a b a 3 2 3
1 2 a b 6
垂面法
例4已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F 分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积？解法分析：易证四边形EBFD1为菱形，
体A B C D E F 分割成正四面体A D E P 、P B C F 和正四棱锥 P —A B C D ，也易于计算．

习题范例解决实际问题的立体几何运算

习题范例解决实际问题的立体几何运算立体几何是数学中的一个重要分支，通过运用几何图形的性质和公式，解决实际问题。

在本文中，我们将通过一系列习题范例来展示在立体几何中进行运算的方法和应用。

题目一：求解立体体积现有一个正方体，边长为5厘米。

请问它的体积是多少？解法：正方体的体积可以通过边长的立方来计算，即 V = a^3，其中 V 为体积，a 为正方体的边长。

根据给定条件可得，a = 5厘米。

将该数值代入公式中，可得：V = 5^3 = 125立方厘米。

因此，该正方体的体积为125立方厘米。

题目二：求解圆柱体积现有一个圆柱体，底面半径为3厘米，高度为8厘米。

请问它的体积是多少？解法：圆柱体的体积可以通过底面积乘以高度来计算，即V = πr^2h，其中 V 为体积，r 为底面半径，h 为高度。

根据给定条件可得，r = 3厘米，h = 8厘米。

将这两个数值代入公式中，可得：V = π3^2×8 = 72π立方厘米。

因此，该圆柱体的体积为72π立方厘米。

题目三：求解球体积现有一个球体，半径为4厘米。

请问它的体积是多少？解法：球体的体积可以通过4/3乘以π乘以半径的立方来计算，即 V = (4/3)πr^3，其中 V 为体积，r 为半径。

根据给定条件可得，r = 4厘米。

将该数值代入公式中，可得：V = (4/3)π4^3 = 256/3π立方厘米。

因此，该球体的体积为256/3π立方厘米。

题目四：求解立方体表面积现有一个立方体，边长为6厘米。

请问它的表面积是多少？解法：立方体的表面积可以通过6乘以边长的平方来计算，即 S = 6a^2，其中 S 为表面积，a 为边长。

根据给定条件可得，a = 6厘米。

将该数值代入公式中，可得：S = 6×6^2 = 216平方厘米。

因此，该立方体的表面积为216平方厘米。

通过以上习题范例，我们深入了解了如何运用立体几何知识解决实际问题。

在立体体积求解中，我们通过边长的立方、底面积乘以高度等公式来计算不同几何图形的体积。

立体几何5----体积问题

VBACE BE VD ACE ED
x 2
2
2
22
22
2
22
22
8、如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD是边长为 2 的菱形， BAD=60 ，已知 PB PD 2 ， PA= 6 （1）求证： PC BD （2）若 E 为 PA 中点，求三棱锥 P BCE 的体积．
VPBCE VABCE
VS ABCD
3 2
VS
ABD
=
3 2
VD
SAB
VGEFB VH EFB VEHFB
E
G
H F
1 VGEFB 2 VG EBM
G
H F
E
1
题型四、不规则或高难求的几何体的体积求法——割（补）法
10、如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，
EF ∥平面 ABCD， EF 1， FB FC, BFC 90 ， AE 3 ， H 是 BC 的中点.
3.
C1
选择合适的底面
A1
找过顶点与底面垂直的平面
在平面内作高
A
B1
C G
D
B
面积比
lC D
C
C
D
A
BA B D
l //AB
B为AD中点
SABC : SABD = __
SABC : SBCD = __
A
B
AD：DC 1: 2
SABD : SBCD = ___
SABD : SABC = ___
体积比:
（1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC ；（2） Q 为线段 AD 上一点， P 为线段 BC 上一点，且 BP DQ 2 DA，求三棱锥 Q ABP 的体积．

必修二—立体几何体积计算的五种方法

体积计算的五种方法方法1.公式法例1．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A ．20+B ．C ．563D 例2．（2020全国1卷）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积.解析：（1）连接,,OA OB OC ，D Q 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC △≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥ 平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为,rl rl π=2222OD l r =-=，解得1,r l ==2sin 60AC r =，在等腰直角三角形APC 中，22AP AC ==Rt PAO 中，2PO ===，∴三棱锥P ABC -的体积为11333P ABC ABC V PO S -=⋅==△.方法2.等积转化1.等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。

2.尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。

转化的目的是为了找到易于计算的：“好底”与“好高”.例3．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是侧面11BB C C 内的一个动点，则三棱锥1D AED -的体积为_________.例4.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 中点.若正方体棱长为2，求三棱锥1D AEC -的体积.23三、多面体割，补法求体积1.分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，再将其分割没转化成比较好求体积的几何体；大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥，从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算；常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体；（2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体；（3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；（4）将台体补成锥体等等。

专题01 巧求体积-2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法全指导(解析版)

巧求体积对于空间几何体的体积的计算，只记住公式是远远不够的，还应把握图形的内在因素，灵活选择合理的方法加以求解。

现结合实例说明如下：1.公式法公式法的思想是：根据题意直接套用体积计算公式，求出体积。

例1.圆锥的母线长为1,侧面展开图的圆心角为 240,该圆锥的体积是多少? 解:设圆锥的底面半径为r,圆锥母线长为1，又圆锥侧面展开图的圆心角为 240，32,21801240==⨯r r ππ。

所以圆锥的高353212=⎪⎭⎫⎝⎛-=h ,81543532313122πππ=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯==∴h r V 圆锥. 变式.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积．解：如右图所示，在三棱台ABC -A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中心，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)．又∵O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)，∴棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×(3253＋34×20×30)＝1 900(cm 3)． 2.作差法作差法的思想是：将原几何体的体积转化为两个几何体体积的差，通过求体积差来计算原几何体的体积。

立体几何求体积方法总结及习题演练(精)

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一、分割法
如右图，多面体ABCDEF 中，已知ABCD
是边长为1的正方形，且三角形ADE ，BCF 均
为等边三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面
体的体积为：
二、补形法
四面体S —ABC 的三组对棱分别相等，且依次为25、13、5，求该四面体的体积．
练习：已知：长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB=4 ，BC=2， BB 1=3，求三棱锥 B 1- AD 1C 的体积
三、等积转换法
在边长为a 的正方体ABCD —
A 1
B 1
C 1
D 1中，M 、N 、P 分别是棱A 1B 1、
A 1D 1、A 1A 上的点，且满足A 1M= A 1
B 1，
A 1N=2ND 1，A 1P= A 1A ，如图，试求
三棱锥A 1—MNP 的体积．
强化练习
1、如图，在边长为a 的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，点E 为AB 上的任意一点，求三棱锥 A 1-DEB 1 的体积。

2、已知三棱锥P —ABC 中，PA ⊥ BC 、 ED ⊥BC 、ED ⊥PA , , PA=BC=a 且ED=b 求三棱锥的体积
3、已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a 的正方体，E 、F 分别
是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积？
B B 1 C
D A C 1 D
1
A 1 E F。

第14讲立体几何求体积(原卷版)

第14讲立体几何求体积一、必备秘籍1．等积变换法等积变换法的思想是：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，来求原几何体的体积。

2.割补法割补法的思想是：通过分割或补形，将原几何体分割或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积。

3.向量法如图，平面α的斜线PA 交平面α于点A ，向量v 是平面α的法向量，设点P 到平面α的距离为d 设111(,,)PA x y z =，则222(,,)v x y z =，||||cos PA v PA v θ⋅=，则|||||cos |||PA v d PA v θ⋅==。

二、例题讲解1．（2021·陕西宝鸡·高三月考（文））如图（1）所示，已知正方形AMCD 的边长为2，延长AM ，使得M 为AB 中点，连结AC ．现将ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图（2）所示．（1）求证：BC ⊥平面ACD ；（2）求几何体D ABC -的体积．2．（2021·四川攀枝花·高三三模（文））如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，△ABC 为正三角形，点1A 在棱PA 上，且14PA PA =，1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，直线11A B 与直线AB 交于点D ，直线11A C 与直线AC 交于点E ，6AB =，8PA =．（1）求证：//DE BC ；（2）求几何体111ABC A B C -的体积．3．（2022·全国高三专题练习）在五面体ABCDEF 中，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面CDFE ，//CD EF ，DF EF ，22EF CD ==.（1）若平面ACF ⊥平面BCE ，求DF 的长；（2）在第（1）问的情况下，过D 点做平行于平面BCE 的平面α交EF 于点G ，交AB 于点H ，求三棱柱DGH BCE -的体积.三、实战练习1．（2021·浙江高三月考）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，在梯形ABEF 中，//AF BE ，AF AB ⊥，22AB BE AF ===，平面ABEF ⊥平面ABCD ．（1）证明：BD ⊥平面AFC ；（2）若多面体ABCDEF ADC ∠为锐角，求ADC ∠的大小．2．（2021·江西南昌·高三开学考试（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PBD △为等边三角形，E 为PC 中点，平面EBD ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若2AB =，求三棱锥P BED -的体积．3．（2021·安徽安庆·高三月考（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=，PB PD ==3PA =.（1）证明：PA BD ⊥；（2）若2PE EA =，求三棱锥E PBC -的体积.4．（2021·江西高三月考（文））如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 是AB 的中点，3AC BC ==，AB =，16AA =．（1）求证：1AC //平面1CDB ；（2）求点1C 到平面1CDB 的距离．5．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，P 是上底面内的一点，经过点P 在上底面内的一条直线l 满足l PC ⊥．（1）作出直线l ，说明作法（不必说明理由）；（2）当P 是11A C 中点时，求三棱锥1P B CD -的体积．6．（2021·浙江高三专题练习）如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中ABCD 为矩形，ADEF 为直角梯形，//AF DE ，AF EF ⊥，DH AF ⊥，222AF EF DE ===.（1）求证：FD ⊥平面ABCD ；（2）若三棱锥B ADF -的体积为13，求点A 到平面BDF 的距离.7．（2021·四川成都·高三其他模拟（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，//DC AB ，BC AB ⊥，E 为棱AP 的中点，4AB =，2PA PD DC BC ====．DE平面PBC；（1）求证：//（2）若平面PAD⊥平面ABCD，试求三棱锥P BDE-的体积．8．（2021·全国高三模拟预测（文））如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为正方形，1==，DE BDCE G为AD中点，点H为DE中点.（1）求证：平面ADEF⊥平面ABCD且FH BE⊥；-的体积.（2）求三棱锥B CEG-中，平面ABE⊥平面BCDE，四边形BCDE是边长为4 9．（2021·陕西（文））如图，在四棱锥A BCDE的正方形，M，N分别为AE，AC的中点.（1）求证：//MN 平面BCDE ；（2）若ABE △为等边三角形，求三棱锥D AMN -的体积.10．（2021·新疆高三模拟预测（文））如图所示，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥菱形ABCD 所在的平面，60ABC ∠=︒，点E ､F 分别是BC ､PD 的中点.（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；（2）当22AB AP ==时，求多面体PABEF 的体积.11．（2021·千阳县中学高三模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒PAB △为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上．（1）求证：PE AC ⊥；（2）当点M 满足2PM MD =时，求多面体PAECM 的体积．12．（2021·全国高三专题练习（文））在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD △与ACB △均是等边三角形，4AC BE ==，BE 和平面ABC 所成的角为60︒，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上．（1）求证：DE ⊥平面ADC ；（2）求多面体DE ABC -的体积．13．（2021·全国高三月考（文））如图，已知直三棱柱222 ABC A B C -的底面为正三角形，侧棱长都为4，1A 、1B 、1C 分别在棱2AA 、2BB 、2CC 上，且121=A A ，122B B =，123C C =，过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面．（1）证明：中截面DEFG 是梯形；（2）若直线11A C 与平面222A B C 所成的角为45°，求多面体111222A B C A B C -的体积．14．（2021·山西阳泉·高三期末（文））如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱11A D ，11C D ，BC 的中点.（1）求证：AC NP ⊥；（2）求四面体DMNP 的体积.15．（2021·华东师范大学第三附属中学）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与平面ABCD 所成的角依次是45°和12arctan ，2AP =，E 、F 依次是PB 、PC 的中点；（1）求直线EC 与平面PAD 所成的角的正弦值；（2）求三棱锥P AFD -的体积；16．（2016·上海嘉定·（理））已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 是11A C 和11B D 的交点.(1)若正四棱柱的高与底面边长相等，求二面角111A B D A --的大小正切值；（2）若点C 到平面11AB D 的距离为43，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的高.。

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