一元一次方程培优讲义

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人教版七年级数学上册培优讲义《第4讲含参一元一次方程》

第4讲含参一元一次方程【知识目标】目标一理解方程中参数与未知数的区别，理解方程的解的含义；目标二掌握方程“解的关系”类题型解法，掌握绝对值方程的解法；目标三掌握含参方程讨论解的情况的方法，理解分类讨论的本质．模块一：一元一次方程的概念应用【知识导航】1．一元一次方程的定义只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程．这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．3．未知数与参数若等式x －2＝a 中，只有x 是未知数，a 当做已知数，我们把这样的方程叫做关于x 的方程，a 叫做参数．解这个方程时只需求出x 的值，x ＝a ＋2就是此方程的解．例如，关于x 的方程mx －2＝3中，只有x 是未知数，m 是参数，若已知此方程的解为x ＝1，则把x ＝1代入方程后能使等式两边值相等，由此得1×m －2＝3，可求得m ＝5．【例1】（1）(2015江岸区七上期中)若关于x 的方程(m －2)15m x-=是一元一次方程，则m 的值为＿＿＿＿（2） (2012洪山区七上期末)已知x ＝－3是关于x 的方程3x －5a ＝x －1的解，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－2（3）已知x ＝6时关于x 的方程m (x －3)－2＝m 的解，则关于y 的方程 13(1)42016m y --=的解为＿＿＿＿＿＿．（4）(2014江汉区七上期末)已知x ＝3是关于x 的一元一次方程(a －1)x 2＋(b ＋2)x ＝2的解．求a 、b 的值．【练1】（1）(2013硚口区七上期末)已知x ＝2是关于x 的方程3x －3＝k 的解，则k 的值是( )．A ．－1B ．1C ．－3D ．3（2）(2013年青山区期末)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5模块二：含参方程解的关系题型一：解相同【例2】（1）若关于x 的方程5x ＋4＝4x －3的解和方程2(x ＋1)－m ＝2(m －2)的解相同，求m 的值．（2）若关于x的方程12524ax ax x-=+和5342x x=-有相同的解，求a的值．【练2】（1）(2012洪山区七上期末)如果关于x的方程51763x-=与71622xm-=+的解相同，那么m的值是多少？（2）若关于x的方程()()3210354k x k xx+--=-与1252(1)3xx--+=的解相同．求k的值．【例3】（1）已知：关于x的方程4x－k＝2与3(2＋x)＝2k的解相同，求k的值及相同的解．（2）(2015江岸区七上期中)已知关于x的方程4x＋2m＝3x＋1与方程3x＋2m＝6x＋1的解相同，则方程的解为＿＿＿＿＿＿．【练3】已知关于x 的方程3x －2k ＝1和22x k k -+=有相同的解，求k 的值及方程的解．总结归纳两个一元一次方程的解有等量关系时：如果其中一个方程不含参，另一个方程含参，可以先解出不含参方程(即先解简单方程)，然后利用解的等量关系写出另一个含参方程的解，再代入含参方程即可求出参数的值；如果两个方程都含参，除了可以像上面一样先解简单方程，再代入复杂方程之外，也可以先分别求出这两个方程的解(即都用参数来表示x )，然后利用解的等量关系列出等式，从而求出参数的值．只要理解了“方程的解”以及“参数”的含义，理清解的关系，就能灵活运用上述两种方法．而且可以自己体会一下，哪些题用法一较快，哪些题用法二较快，原因是什么．两个解的数量关系可以有很多种，比如相等、互为相反数、几倍等，解题方法都一样．题型二：解互为相反数【例4】（1）若关于x 的方程ax －2a ＝9与方程2x －1＝5的解互为相反数，求a 的值．（2）如果关于x 的方程()112x m +=的解与方程13x x m -=-的解互为相反数，求m 的值．【练4】若关于x 的方程2x －3＝1和32x k k x -=-的解互为相反数，则k 的值为多少？【拓】已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．题型三：解的其他等量关系【例5】（1）．若关于x 的方程23136x x --=的解是372a x +=的2倍，求关于x 的方程1432ax -+=的解．（2）．如果关于x 的方程x －2＝3(m ＋3)的解和3(x ＋1)＝－4m ＋5的解的和等于5，求m 值．【练5】已知关于x 的方程23x m x π-=+与1322x x -=-的解互为倒数，求m 2－2m －3的值．模块三：含参方程解的情况【知识导航】当我们解一元一次方程时，最后一步就是“系数化为1”．例如：解得5x ＝6之后，需要等式两边同时除以5，得到x ＝65；解到－3x ＝2之后，需要等式两边同时除以－3，得到x ＝23-．但如果一个一元一次方程中，未知数的系数含有参数时，例如ax －4＝0，解到ax ＝4之后，需要等式两边同时除以a ．但是，我们知道，等式两边同时除以的数必须是“非零数”．这里a 作为一个参数，它是有可能为0的．一旦a ＝0，ax ＝4就变成了0x ＝4，显然不能再两边除以0来求解，此时关于x 的方程无解，即x 没有任何一个数值能使等式成立．不难看出，对于诸如ax ＝4未知数的系数含有参数的方程，当系数为0和系数非0时，方程的解的情况不同．既然结果不同，那意味着需要分类讨论．【例6】（1）．解下列关于x 的方程：①mx ＝2； ②kx ＝0； ③3x ＝n －2（2）．解下列关于x 的方程：①ax ＝b ； ②(a －1)x ＝b ＋2 ③ax －b ＝x ＋2．（3）．当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有唯一解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b无解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有无穷多个解；【总结归纳】解含参的一元一次方程时，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，一定能将方程化简为ax ＝b的一般形式，然后再以a、b的不同取值为分类依据，对对方程的解分类讨论．①当a≠0时，等式两边可以同时除以非零数a，解为x＝ba，即方程有唯一解；②当a＝0且b＝0时，方程变为0·x＝0，这里x可以是任意数，即方程有无数个解；③当a＝0且b≠0时，方程变为0·x＝非零数，x无论取何值等式均不成立，即此方程无解．【练6】（1）．关于x的方程mx＋4＝3x－n，分别求m，n满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②无解；③有无数多解．（2）．已知关于x的方程3a(x＋2)＝(2b－1)x＋5有无数个解，求a与b的值．（3）．已知：关于x 的方程ax ＋3＝2x －b 有无数多个解，试求：()20175ab a b x x a b a b+-=-++的解．模块四：绝对值方程【知识导航】形如ax b c +=的关于x 的绝对值方程(这里a ≠0)，其解如下三种情况： ①若c ＜0，则方程无解；②若c ＝0，则ax ＋b ＝0，x ＝b a-，方程有唯一解； ③若c ＞0，则ax ＋b ＝±c ，x ＝c b a ±-，方程有两个解．【例7】（1）．若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是( )．A ．m ＜n ＜kB ．m ≤n ≤kC ．m ＞n ＞kD ．m ≥n ≥k（2）．解下列绝对值方程：①15x -=； ②123x --=；③2131x x -=+；④234x x +=-；⑤4329x x +=+；⑥2971x x +=-．【总结归纳】1．形如ax b cx d +=+的绝对值方程的解法：ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，一般有两个解，解完不需要检验．2．形如：ax b cx d +=+的绝对值的解法：法一，从绝对值的代数意义出发分类讨论： ①当ax ＋b ≥0时，ax b ax b +=+，故得ax ＋b ＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ≥0，若不满足则应舍去；②当ax ＋b ＜0时，()ax b ax b +=-+，故得－(ax ＋b )＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ＜0，若不满足则应舍去；综上得方程的解．法二．从绝对值的非负性出发限定x 的范围：由ax b cx d +=+≥0，所以ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，然后将得出的解代入cx ＋d ≥0检验，若不满足该前提条件此解需要舍去．【练7】解下列绝对值方程①4812x +=；②3544x --=；③2316-+-=；④23x x=-；a a④4329-+=-.x xx x+=+；⑤525拓(1)解方程：125-++=；x x(2)回答下列方程解的情况：①方程124-++=的解是＿＿＿＿；x x②方程123-++=的解是＿＿＿＿；x x③方程122-++=＿＿＿＿．x x第4讲【课后作业】含参一元一次方程1．如果x ＝1是关于x 的方程－x ＋a ＝3x －2的解，则a 的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－22．七年级的两名爱好数学的学生，在学完第三章《一元一次方程》后，一位同学对另一位同学说：“方程112332x x x ---=+-与方程2224334kx x k +--=-的解相同．则k 的值是多少？”（） A ．0B ．2C ．1D ．－1 3．已知关于x 的元一次方程240n x m +-=的解是x ＝3，则m －n 的值是＿＿＿＿．4．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解相同，则m ＝＿＿＿＿．5．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解互为相反数，则m ＝＿＿＿＿．6．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解的和为2，则m ＝＿＿＿＿．7．关于y 的方程25617k ky +-=-与方程2y ＋6＝－8的解互为倒数，则k ＝＿＿＿＿．8．关于x 的方程mx ＋2＝3x －n 有无数多个解，则mn ＝＿＿＿＿．9．已知2x x =+，那么19327m x x ++的值为＿＿＿＿．10．关于x 的方程(a ＋1)x ＋4＝3x －2b ，分别求a 、b 满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②有无数多解；③无解．11．解下列关于x 的方程：①1232x +=； ②258x +-=．③2335x x -=-；④4551x x -=+；⑤3223x x +=+；⑥652x x +=-；⑦mx ＋3＝2x －3；⑧3x －5＝2a ＋8．12．已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解是3151128x a x +--=的解的3倍，求a 的值．。

一元一次方程培训讲义1

初一数学A 1培训（一元一次方程的解法）一、知识要点1．等式的性质2．一元一次方程的概念：b ax =，其中x 是未知数，a 、b 是常数，且0≠a .3．解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1.二、典型例题例1．解下列方程：（1）43(20)67(9)x x x x --=--；（2）12123x x x -+-=-；（3）12[123(42)]163x x x ---=-．（4）()()()243563221x x x --=--+（5）0.10.020.10.10.30.0020.05x x -+-= （6）1)21(212121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡---x x x（7）．2311()323242x x ⎡⎤---=⎢⎥⎣⎦；例2．已知1x =是关于x 的方程11()23m x x --=的解，解关于y 的方程：(3)2(25)m y m y --=-．例3．已知方程4231x m x +=+与方程3261x m x +=+的解相同．（1）求m 的值；（2）求代数式20112010)22()23(-⋅-m m 的值．三、强化练习1．在有理数集合里定义运算“※”，其规则为a ※b ＝2a －b ．试求(x ※3)※2＝1的解．2．当k 取何值时，关于x 的方程450.80.50.20.1x k x k x ----=的解为2x =-？3、y=1是方程12()23m y y --=的解，求关于x 的方程(4)2(3)m x mx +=+的解。

4、方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程3222k x k x +--=的解互为倒数，求k 的值。

初一-第05讲-一元一次方程(培优)-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第05讲 --- 一元一次方程授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解一元一次方程应用题的典型例题，以及其中的解题思路②熟练提炼应用题等量关系，根据等量关系，设立未知数，列方程求解。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）一元一次方程概念1、方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。

2、一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。

3、方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。

判断一个数是不是方程的解，只需将这个数代入方程，若方程的左边等于右边，则这个数是方程的解，否则不是。

4、等式基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式体系搭建等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。

（二）解一元一次方程1、移项：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。

（三）一元一次方程应用 1、形积问题2、打折销售问题1、与打折销售有关的公式：①利润=售价-成本（进价） ②利润率=利润÷成本价×100% ③售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率） ④售价=标价×打折数 3、行程问题1、相遇问题，它的特点是相向而行，这类问题一般画出示意图帮助分析题意。

这类问题的等量关系一般是：双方所走路程之和=全部路程，这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。

2、追及问题，它的特点是同向而行，等量关系一般是：双方路程之差=原来双方相距的路程。

这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。

3、航行问题：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度逆水速度=船在的静水中速度-水流速度4、解决实际问题一般步骤变形名称具体做法变形依据注意的问题去分母在方程两边同时乘各分母的最小公倍数等式基本性质2不要漏乘不含分母的项，分数线起到括号的作用去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律括号前是负号，去括号后，括号内各项均变号移项把含未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边等式基本性质1移项要变号合并同类项把方程化为(0)ax b a =≠的形式合并同类项法则系数相加，字母及其指数均不变未知数的系数化为1 在方程两边同除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a=等式的基本性质2 分子、分母不要颠倒5、其他应用：工程问题、分配问题等考点一：一元一次方程相关概念例1、例1、若（m-2）23mx-﹣2m=1，是关于x的一元一次方程，则m=（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．1 【解析】解：由题意得，2m﹣3=1，m-2≠0，解得，m= -2 故选：C例2、已知：1(2)23(2)50aa b y y++-+=是关于y的一元一次方程：（1）求a，b的值（2）若x=a是﹣+3=的解，求丨5a﹣2b丨﹣丨4b﹣2m|的值【解析】解：（1）∵1(2)23(2)50aa b y y++-+=是关于y的一元一次方程，∴a+2b=0，13a+2=1，∴a=﹣3，b= 3 2（2）把x=a=﹣3，代入﹣+3=，m=26，故原式=﹣28例3、2093x x x==+是一元一次方程m+m的解，则m=【解析】将x=0带入方程得29m=，3m=±，注意到是一元一次方程，30,3m m-≠=-故考点二：解一元一次方程典例分析例1、我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4的解为2，且2=4﹣2，则该方程2x=4是差解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）判断3x=4.5是否是差解方程；（2）若关于x的一元一次方程6x=m+2是差解方程，求m的值．【解析】（1）根据差解方程的意义得出ax=b的解为b﹣a，即b﹣a=b a解：（1）∵3x=4.5∴x=1.5∵4.5﹣3=1.5∴3x=4.5是差解方程（2）∵关于x的一元一次方程6x=m+2是差解方程，∴m+2﹣6=，解得：m=例2、已知关于x的方程ax+2=2（a+x）的解是方程|x﹣|﹣1=0的解，求a的值．【解析】解：方程|x﹣|﹣1=0的解为：x=或x=﹣，把x=代入方程ax+2=2（a+x）得：a+2=2（a+），解得：a=﹣2把x=﹣代入方程ax+2=2（a+x）得：a+2=2（a﹣），解得：a=，综上可得，a=﹣2或a=例3、解方程：（1）2﹣=x﹣（2）2[x﹣（x﹣）]=x （3）|4x﹣3|﹣2=3x+4 （4）|x﹣|2x+1||=3【解析】（1）x=1 （2）x=（3）x=﹣或x=9 （4））x=﹣或x=2考点三：一元一次方程的应用例1、如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．（1）请直接写出第5节套管的长度；（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值【解析】解：（1）第5节套管的长度为：50﹣4×（5﹣1）=34（cm）（2）第10节套管的长度为：50﹣4×（10﹣1）=14（cm），设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，根据题意得：（50+46+42+…+14）﹣9x=311解得：x=1答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm例2、如图，将一张正方形铁片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体容器，设这个正方形铁片的边长为a，做成的无盖长方体容器高为h（1）用含a和h的代数式表示出这个无盖长方体容器的容积V；（2）若a=12cm，h=2cm，则做成的无盖长方体容器的容积是多少？（3）在（2）中做成的无盖长方体容器中注满水，再把水全部倒入一个底面直径为8cm的圆柱形容器内，请问该圆柱形容器的高度至少是多少？（π取3.14，结果精确到0.1cm）【解析】（1）设这个正方形铁片的边长为a，做成的无盖长方体容器高为h，∴容器底面是一个正方形，其边长为a﹣2h，∴这个无盖长方体容器的容积V=（a﹣2h）2h；（2）若a=12cm，h=2cm，则V=（12﹣2×2）2×2=128cm3；（3）设该圆柱形容器的高度为xcm，根据题意得3.14×（）2×x=128解得x=2.5答：该圆柱形容器的高度至少是2.5cm例3、列方程解应用题某市为提倡节约用水，采取分段方式收费．若每户每月用水不超过22m3，则每立方米收费a元，若每户每月用水超过22m3，则超过部分每立方米加收1.1元．（1）小张家12月用水10m3，共交水费23元，求a的值；（2）老王家12月份共交水费71元，问老王家12月用水多少m3？【解析】解：（1）由题意得：10a=23，解得：a=2.3，（2）设老王家12月用水x m3，根据题意可得：22×2.3+（2.3+1.1）（x﹣22）=71解得：x=28，答：老王家12月用水28m3例4、甲、乙两地相距720km，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是120km/h，慢车的速度是80km/h，快车到达乙地后，停留了20min，由于有新的任务，于是立即按原速返回甲地．在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是多少？【解析】解：设从甲地驶往乙地时，快车行驶x小时追上慢车，由题意得120x=80（x+1）解得x=2则慢车行驶了3小时设在整个程中，慢车行驶了y小时，则快车行驶了（y﹣1﹣）小时，由题意得120（y﹣1﹣）+80y=720×2解得y=88﹣3=5（小时）答：在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是5小时例5、有一个水池，用两根水管注水，如果单开甲管，5小时注满水池，如果单开乙管，10小时注满水池．（1）如果甲先注水2小时，然后由甲、乙共同注水，还需要多少时间才能把水池注满？（2）假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管6小时可以把一满池水放完，如果三管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？【解析】解：（1）设这个水池的体积为单位“1”，设甲、乙共同注水，还需要x小时才能把水池注满根据题意得：+（+）x=1解得：x=2答：甲、乙共同注水，还需要2小时才能把水池注满；（2）设三管同时开放，a小时才能把一空池注满水，根据题意得：（+﹣）a=1解得：a=答：三管同时开放，小时才能把一空池注满水例6、某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏10元，而按标价的七五折出售将赚17元，问：（1）每件服装的标价是多少元？（2）每件服装的成本是多少元？（3）为保证不亏本，最多能打几折？(保留一位小数)【解析】根据同一件衣服进价是相等的，这一等量关系列方程解答。

人教版七年级上册数学《一元一次方程》教学说课培优课件

分
析
路程/km
速度/(km/h)
客车

70
卡车

60
卡车行驶时间 − 客车行驶时间 =

−
=1
60 70
时间/h

70
x
60
思
考
用算术方法和用方程解决这个问题，各有什么特点
？
算术方法
列方程
计算过程
根据相等关系列出的等式
只含有已知数
既含有已知数，
又含有用字母表示的未知数
小结
列方程解实际问题初始的两步：
解：设沿跑道跑x周，可以跑3000m.
400x=3000
根据下列问题，设未知数，列出方程：
2 甲种铅笔每支 0.3 元，乙种铅笔每支 0.6 元，用 9 元钱买了两种铅
笔共 20 支，两种铅笔各买了多少支？
解：设买甲种铅笔支，则买乙种铅笔 20 − 支.
0.3 + 0.6 20 − = 9.
巩固练习
练习
六
根据下列问题，设未知数，列出方程：
1 环形跑道一周长 400 m，沿跑道跑多少周，可以跑 3 000 m？
2 甲种铅笔每支 0.3 元，乙种铅笔每支 0.6 元，用 9 元钱买了两
种铅笔共 20 支，两种铅笔各买了多少支？
巩固练习
练习
六
1 环形跑道一周长 400 m，沿跑道跑多少周，可以跑 3 000 m？
解方程是一个具体的过程，
方程的解是解方程的结果.
练习五
x=-3和x=2中哪个是方程2x+3=3x+1的解？
解：当x=-3时，
左边=__________=_______.

第四讲一元一次方程培优

第四讲一元一次方程解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b ；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．例1 解方程例2 解方程 0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x +-+-=练习11110721()3(2)33623x x x x x +-⎡⎤⎡⎤--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 1112{[(4)6]8}19753x ++++= ()()()243563221x x x --=--+ 111133312222y ⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x x x ++-=- 0.10.020.10.10.30.0020.05x x -+-=122233x x x -+-=- 7110.2510.0240.0180.012x x x --+=- 0.10.40.2111.20.3x x -+-=3=--+--+--b a c x a c b x c b a x c b a x b a c x a c b x c b a x ++=+-++-++-3例3．若关于x 的一元一次方程2332x k x k --+=1的解是x=-1，则k 的值是（） A ．27 B ．1 C ．-1311D ．0 例4．若方程3x-5=4和方程0331=--x a 的解相同，则a 的值为多少？当x = ________时,代数式12x -与113x +-的值相等. 例5.（方程与代数式联系）a 、b 、c 、d 为实数，现规定一种新的运算 bc ad dc b a -=. （1）则2121-的值为；（2）当185)1(42=-x 时，x = .例6．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）A ．b a a +B ．b a b +C ．h a b+ D ．h a h +例7．解方程b ax =（分类讨论）例8．问当a 、b 满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx ：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。

七年级(上)培优讲义：第13讲一元一次方程

第13 讲一元一次方程一、新知建构1. 有关概念一元一次方程方程的解．2. 解一元一次方程基本步骤检验方法．3. 列方程解应用题思路：设元→列方程→解方程→检验→回答问题．二、经典例题例1.已知m my m y-=+2（1）m =2是方程m my m y-=+2的解，求y 的解；（2）当y =4时，求m 的解．例2．解方程： 1．x x x ++=-+3711235 2. 2102.005.004.01.01=--+x x例3．甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．(1) 两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？(2) 快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？(3) 若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？(4) 若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？例4．一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得的新数比原来大63，求原来两位数．例5．为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？三、基础演练1.下列四个式子中，是方程的是（）.A .7－4=3B .3x =-C .21m -D .|1|1x x ->- 2．已知当1a =，2b =-时，代数式10ab bc ca ++=，则c 的值为（）Ａ．12 Ｂ．6Ｃ．6-Ｄ．12-3.方程2－2x 4x 7312－－＝－去分母得( )．A .2－2(2x －4)＝－(x －7)B .2－4(2x －4)＝－x －7C .24－4(2x －4)＝－(x －7)D .24－4x ＋4＝－x ＋7 4．若a =1,则方程3x a+=x －a 的解是（） A .x =1 B .x =2 C .x =3 D .x =4. 5．规定c a bc ad d b -=，如x 26182-=- 237+x ，则x 的值是（）A ．－60B ．4.8C ．24D ．－126．飞机逆风时速度为x 千米/小时，风速为y 千米/小时，则飞机顺风时速度为（）千米/小时A ．(x +y )B ．(x －y )C ．(x +2y )D ．(2x +y )7．某件商品连续两次9折降价销售，降价后每件商品售价为a 元，则该商品每件原价为（）Ａ．0.92a 元Ｂ．1.12a 元Ｃ．1.12a元Ｄ．0.81a 元 8.内径为120mm 的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm ,内高为32mm 的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（）A . 150mmB . 200mmC . 250mmD . 300mm9.某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％（相对于进价），另一台空调调价后售出则亏本10％（相对于进价），而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（）． A .既不获利也不亏本 B .可获利1％ C .要亏本2％ D .要亏本1％10. 如图，为做一个试管架，在acm 长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2cm ，则x 等于（）（A ）cm a 58+ （B ）cm a 516-（C ）cm a 54-（D ）cm a 58-11.三个连续的偶数和是18，它们的积是 12.若423x =与()35x a a x +=-有相同的解，那么1a -=_______． 13.甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，应从乙队抽调人到甲队.14.某储户将25000元人民币存入银行一年，取出时扣除20%的利息税后，本息共得25600元，则该储户所存储蓄种类的年利率为___________.15.在高速公路上，一辆车长4m ，速度为110km /h 的轿车准备超越一辆长12m ，速度为100km /h 的卡车，则轿车从开始追及到超越卡车，需要花费的时间约是 . 16.某市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每第10题图立方米2元收费. 如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为立方米.17.解方程.（1）3x－7+4x=6x－2 （2）(x+1)－2(x－1)=1－3x(3)12223x xx-+-=-(4)1615312=--+xx(5)0.213223.60.9x xx-+-=(6)341.60.50.2x x-+-=列方程解应用题.18.甲、乙两人练跑步，从同一地点出发，甲每分钟跑250m，乙每分钟跑200m，甲比乙晚出发3分钟，结果两人同时到达终点，求两人所跑的路程．19.雅丽服装厂童装车间有40名工人，缝制一种儿童套装（一件上衣和两条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制童装上衣3件或裤子4件，问怎样分配工人才能使缝制出来的上衣和裤子恰好配套？20.在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分.⑴如果㈡班代表队最后得分142分，那么㈡班代表队回答对了多少道题？⑵㈠班代表队的最后得分能为145分吗？请简要说明理由.21．某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示.问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？22.某儿童公园的门票价格规定如下表：某校七年级甲、乙两班共104人去儿童公园游玩，其中甲班人数比乙班人数要多，经估算，如果两班都以班为单位分别购票，那么一共应付1136元，问：（1）两班各有学生多少人？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？四、直击中考1. （2013山东）某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为（）A．240元B．250元C．280元D．300元2. (2013山东)把方程12x=1变形为x=2，其依据是（）A．等式的性质1 B．等式的性质2 C.分式的基本性质D．不等式的性质13. （2013山东）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连结各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（）A.502B.503C.504D.5054. （2013湖南）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完.设敬老院有x位老人，依题意可列方程为．5. （2013广东）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价元．6.我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是鸡有23只，兔有12只．现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是鸡有_______只，兔有______只．7. （2013湖南）今年五月份，由于H7N9禽流感的影响，我市鸡肉的价格下降了10%，设鸡肉原来的价格为a元/千克，则五月份的价格为元/千克．8. （2013四川）购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是元．9.（2013江苏）某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.10.（2013福建）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本则还缺25本．这个班有多少学生？五、挑战竞赛1. 解关于x 的方程 a c b x --+b a c x --+cba x --=3 (ab +bc +cd ≠0) ．2.已知关于x 的方程3x －3=2a (x +1)无解．试求a 的值．3. 已知方程ax +3=2x －b 有两个不同的解．试求（a +b ）2007的值．六、每周一练1. 若x x x =-+-21的根的个数( )．A .0B .1C .3D .4 2.方程133=+-x x 的解是．3. 甲、乙两人在一环形场地上从A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2．5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．。

一元一次方程培优讲义(精品)

思路点拨：因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从向去括号可以使计算简单。
举一反三：【变式】解方程：
（四）运用拆项法解方程
在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后
再合并，有时可以使运算简便。
例12、解方程：
思路点拨：注意到，这样逆用分数加减法法则，可使计算简便。
6、如果，那么下列等式中不一定成立的是（）
A. 11 —3—3 C. D.
7、运用等式性质进行的变形,正确的是( )。
A.如果,那么; B.如果 ,那么;
C.如果,那么 D.如果 ,那么3
知识点四：解一元一次方程的一般步骤：
例8、（用常规方法）解方程：
（非常规方法解方程）（一）巧凑整数解方程
例9、解方程：
（五）巧去分母解方程
当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现
比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基
本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
例13、解方程：＝1
（六）巧组合解方程
例14、解方程：
思路点拨：按常规解法将方程两边同乘化去分母，但运算较复杂，注意到左边
解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路。
一般步骤
注意点
（1）去分母
方程的每一项都要乘以最简公分母
（2）去括号
去掉括号，括号内的每项符号都要同时变或不变
（3）移项
移项要变号
（4）合并同类项
只要把系数合并，字母和它的指数不变。
（5）方程两边同除以未知数的系数
相除时系数不等于0。若为0，则方程可能无解或有无穷多解。

一元一次方程解法培优讲义

第2课时一元一次方程解法考点·方法·破译1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用．2．会用一元一次方程解决实际问题经典·考题·赏析【例1】解方程： 11－2(x ＋1)＝3x ＋4(2x －3)【解法指导】此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括号前是“＋”号不变号；括号前是“－”，各项均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为1，从而求出方程的解．解：去括号，得 11－2x －2＝3x ＋8x －12移项，得－2x －3x －8x ＝－12－11＋2 合并同类项，得－13x ＝－21系数化为1，得 1321=x 【变式题组】01．（广州）下列运算正确的是（）A ．－3（x －1）＝－3x －1B ．－3(x －1)＝－3x ＋1C ．－3(x －1)＝－3x －3D ．－3(x －1)＝－3x ＋302．(黄冈)解方程：－2(x －1)－4(x －2)＝1去括号结果，正确的是（）A ．－2x ＋2－4x －8＝1B ．－2x ＋1－4x ＋2＝1C ．－2x －2－4x －8＝1D ．－2x ＋2－4x ＋8＝103．（广州）方程2x ＋1＝3(x －1)的解是（）A ．x ＝3B ．x ＝4C ．x ＝－3D ．x ＝－404．解下列方程：⑴7(2x －1)－3(4x －1)＝5(3x ＋2)－1 (2)3(100－2x )＝400＋15x【例2】解方程：14126110312-+=+--x x x 【解法指导】方程中含有字母，去分母是首先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项解：去分母时，得 4(2x －1)－2(10x ＋1)＝3(2x ＋1)－12去括号，得 8x －4－20x ＝6x ＋3－12移项，得 8x －20x －6x ＝3－12＋4＋2合并，得－18x ＝－3 系数化为1，得 61=x 回顾小结：我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤：（1）去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并；⑸系数化为1．这五个步骤要注意灵活运用．【变式题组】01．解方程：2121364+=--x x02．（大连）若方程12151221-=--+x x x 与方程x a x a x 23262-=-+的解相同，求aa a 22-的值．【例3】解方程：35.0102.02.01.0=+--x x 【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按解方程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错．解：原方程变形为： 35.010)1(1002.0100)2.01.0(100=⨯--⨯-x x 即 50（0.1x －0.2）－2(x ＋1)＝3 去括号，得 5x －50－2x －2＝3移项，得 5x －2x ＝3＋10＋2 合并，得 3x ＝15系数化为1，得 x ＝5【变式题组】01．对方程7.02.01.023.01+=-+x x x 变形正确的是（） A ．72231+=-+x x x B ．722031+=-+x x x C ． 7223110+=-+x x x D ．72231010+=-+x x x 02．（郑州）解方程：2.15.023.01=+--x x【例4】解方程：14981522097211012-+-=-+-x x x x 【解法指导】对于解一元一次方程五步骤应灵活运用，有取有舍，灵活运用，此题如果直接去分母，计算量较大，观察分母的数字特征分类通分，可以减少计算量．解：移项得20971521498211012---=---x x x x 两边分别通分得： 602535427x -= 即 125761x -= 解得 x ＝1 【变式题组】01．(大连)解方程7)3045(54=-x ，较简便的是（） A ．先去分母 B ．先去括号 C ．先两边都除以54D ．先两边都乘以54 02．解方程：18]6)432(51[7191=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++++x03．解方程：6422012621=++++x x x x x【例5】有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的数之和为342．1.小明拿到了哪3张卡片？ 2.你能拿到相邻3张卡片，使得这些卡片上的数之为是86吗？【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解．⑵属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方式，掌握解题技巧及策略．解：设小明拿到的三张卡上的数字为x ,x ＋6,x ＋12（1）依题意得： x ＋x ＋6＋x ＋12＝342 合并，得 3x ＋18＝342移项，得 3x ＝324 系数化为1，得x ＝108答：这三个数为108，114，120（2）不能使这三张卡片上的数字和为86，理由是假设 x ＋x ＋6＋x ＋12＝86 合并，得 3x ＋18＝86移项，得 3x ＝324 系数化为1，得 368=x 因为这些卡片上的数字都是6的倍数，故不可能为368．【变式题组】01．下图是按一定规律排列的数构成的一个数表：…⑴用一方框按上图框的样子，任意框住9个数，若这9个数的和是549，求方框中最后一个数； ⑵若按如图所示的斜框任意框住9个数，且这9个数的和是360，则斜框中的第一个数是什么？× × ×演练巩固·反馈提高01．（苏州）某商品现在售价为34元，比原售价降低了15%，则原价是（）A ． 40元B ．35元C ． 28.9元D ． 5.1元02．（新疆）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒，汽车离山谷x 米，根据题意，列出方程为（）A ． 2x ＋4×20＝4×340B ．2x －4×20＝4×340C ． 2x ＋4×72＝4×340D ． 2x －4×20＝4×34003．(陕西)一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（）A ．600×0.8－x －20B .600×0.8＝x －20C ．600×8－x ＝20D ．600×8＝x －2004．(长沙)一轮船往返于A 、B 两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中速度是（）A ． 18千米/时B ． 15千米/时C ． 12千米/时D ． 20千米/时05．（武汉）已知关于x 的方程4x －3m ＝2的解是x ＝m ，则m 的值是（）A ．2B ．－2C ． 72D ．72- 06．（陕西）中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007提6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息税），设到期后银行向储户支付现金为x 元，则所列方程正确的是（）A ． x －5000＝5000×30.6%B ．x ＋5000×20%＝5000(1＋3.06%)C ． x ＋5000×3.06%×20%＝5000(1＋3.06%)D ．x ＋5000×3.06%×20%＝5000×30.6%08．若x ＝2不是方程2x ＋b ＝3x 的解，则b 不等于（）A ．21-B ．21 C ．2 D ．－2 09．（天津）若3223=+-k kx k是关于x 的一元一次方程，则这个方程的解为x ＝_______10．(广东)若2x －1＝3,3y ＋2＝8，则2x ＋3y ＝_________ 11．(南京)x 为何值时，式子32-x 与式子13+-x 满足下列条件 ⑴相等 ⑵互为相反数 ⑶式子32-x 比式子13+-x 的值小113．(北京)国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每人还增加六百亳升牛奶．一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多 2.01cm ，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的43少0.34cm ，求甲、乙两组同学平均身高的增长值．15．某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？（每个螺栓配两个螺帽）。

初一上数学-一元一次方程-培优讲义

一元一次方程培优方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b ；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax b =的解由,a b 的取值来确定：（1）若0a ≠，则方程有唯一解b x a=；（2）若0a =，且0b =，方程变为00x ∙=，则方程有无数个解；（3）若0a =，且0b ≠，方程变为00x b ∙=≠，则方程组无解；【例1】解方程111233[()]264344x x x x ----=+【例2】已知下面两个方程3(2)5x x +=① 43()67()x a x x a x --=-- ② 有相同的解，试求a 的值．【例3】已知方程2(1)3(1)x x +=-的解为2a +，求方程2[2(3)3()]3x x a a +--=的解．【例4】解关于x 的方程()()0mx n m n -+=【例5】解方程2222()()()()a x b a b x a x b x a b +---=-+-．【例6】已知22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程，求代数式 199()(2)m x x m m +-+的值．【例7】已知关于x 的方程(21)32a x x -=-无解，试求a 的值．【例8】k 为何正数时，方程2225k x k kx k -=-的解是正数？【例9】若1abc =，解方程2221111ax bx cx ab a bc b ca c ++=++++++【例10 】若,,a b c 是正数，解方程3x a b x b c x c a c a b------++=【例11】设n 为自然数，[]x 表示不超过x 的最大整数，解方程：22(1)2[]3[]4[][]2n n x x x x n x ++++++=…【例12】已知关于x 的方程5814225x a x -=+，当a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a 的最小值．【例13】当a 取什么值时，方程(2)4(2)a a x a -=-：①有唯一解；②无解；③有无数多解；④是正数解；【例14】（1）当k 取什么整数值时，方程(1)2(2)k x k x +=--的解是整数？（2）当k 取什么整数值时，方程(1)6x k -=的解是负整数？【例15】已知方程(2)(1)2a x b x a -=+-无解，问,a b 应满足什么关系？【例16】,a b 取什么值时，方程(32)(23)87x a x b x -+-=-有无数多个解？【课后练习】1、根据方程解的定义，写出下列方程的解：（1）(1)0x +=；（2）29x =；（3）||9x =；（4）||3x =-；（5）3131x x +=-；（6）22x x +=+.2、关于x 的方程2ax x =+无解，那么a ；3、在方程(3)a a x a -=中，当a 取值为时，有唯一解；当a 时无解；当a 时，有无数多解；当a 时，解是负数。

七年级上册第三章一元一次方程培优辅导：深刻理解等式与方程课件

A．左盘上加2克砝码 B．右盘上加2克砝码 C．左盘上加5克砝码
D．右盘上加5克砝码
【答案】A.
【解析】第一次：2饼干=3糖果，即1饼干=1.5糖果；第二次：1饼干+1糖果=10克砝码，把1饼干
=1.5糖果代入，得1.5糖果+1糖果=10克砝码，即1糖果=4克砝码，1饼干=1.5糖果=6克砝码；
所以第三次：1饼干-1糖果=6克砝码-4克砝码=2克砝；
（2）根据题意得：3x+1−(−2)×(x−1)＝9，
整理得：5x＝10，解得：x＝2，
故答案为：2；
（3）∵等式（−3，2x−1）（k，x＋k）＝3＋2k的x是整数，
∴（2x−1）k−（−3）（x＋k）＝3＋2k，∴（2k＋3）x＝3，
3
∴ = 2+3，
∵k是整数，∴2k＋3＝±1或±3，
∴k＝0，−1，−2，−3．
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典例解析
例 15.关于x的方程 − 2 = −3 + 4与2 − = 的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
【解析】解：（1）由x﹣2m=﹣3x+4得：x= m+1，
依题意有： m+1+2﹣m=0，解得：m=6；
（2）由m=6，
方程x﹣2m=﹣3x+4的解为x=4，
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典例解析
例 9. （202X•内蒙古海勃湾•初一期末）已知关于x的方程 − 5 |−4| + 18 = 0是一元一次方程
，则 m=______
【答案】3.
由题意得： − 4 = 1, − 5 ≠ 0,

七年级上册数学培优讲义(一元一次方程的概念及解法)第六讲

一元一次方程的概念及解法板块一等式与方程的概念☞等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子.叫做等式．在等式中.等号左、右两边的式子.分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式.可以是公式、方程.也可以是用式子表示的运算律、运算法则．☞等式有如下几种类型(仅做了解)．恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母.等式总能成立．如：数字算式123+=．条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母.等式才能成立．方程56x=才成立．x+=需要1矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母.等式都不能成立．如125+=-．+=.11x x等式由代数式构成.但不是代数式．代数式没有等号．【例1】下列各式中.哪些是等式⑴31x-⑵523x+=⑸()x+<⑷53-=⑶212x y+=-=-⑹1x y z xz yz【解题思路】等式的概念【题目答案】⑵⑷⑸⑹☞方程和它的解方程：含有未知数的等式叫方程.如21x+=.它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解.也叫方程的根.☞关于方程中的未知数和已知数：未知数：是指要求的数.未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．如：关于x 、y 的方程2ax by c -=中.a 、2b -、c 是已知数.x 、y 是未知数．【例2】下列各式中哪些是方程⑴7887⨯=⨯ ⑵2345x x ++ ⑶312y y -= ⑷60x =⑸31x > ⑹111x =+ ⑺26x y -= ⑻2430y y -+=【解题思路】方程的概念【题目答案】⑶⑷⑹⑺⑻【巩固练习】判断下列各式是不是方程.如果是.指出已知数和未知数；如果不是.说明理由⑴373x x -=-+ ⑵223y -= ⑶2351x x -+⑷112--=- ⑸42x x -=- ⑹152x y -= 【解题思路】判断一个式子是不是方程.一要看是否为等式.二要看是否含未知数．【题目答案】⑴是方程；⑵是方程；⑶不是方程；⑷不是方程；⑸是方程；⑹是方程【例3】检验下列各数是不是方程315x x -=+的解⑴3x =； ⑵1x =-【解题思路】方程的解（注意严格要求学生的书写格式.不能直接将数值代入方程.如3(1)15(1)⨯--=+-.这样写不对的原因在于未检验之前.并不知道1x =-是否是方程的解）【题目答案】⑴把3x =分别代入原方程的左边和右边.得左边3318=⨯-=.右边538=+= ∴左边=右边∴3x =是方程315x x -=+的解 ⑵把1x =-分别代入原方程的左边和右边.得左边3(1)14=⨯--=-.右边514=-= ∵左边≠右边∴1x =-不是方程315x x -=+的解【巩固练习】检验下列各数是不是方程213x y x y ++=--的解⑴23x y =⎧⎨=-⎩ ⑵10x y =⎧⎨=⎩⑶02x y =⎧⎨=-⎩【解题思路】方程的解【题目答案】⑴把23x y =⎧⎨=-⎩分别代入原方程的左边和右边.得左边22(3)12=⨯+-+=.右边2(3)32=---= ∴左边=右边∴23x y =⎧⎨=-⎩是方程213x y x y ++=--的解⑵把1x =⎧⎨分别代入原方程的左边和右边.得左边21013=⨯++=.右边1032=--=- ∵左边≠右边∴10x y =⎧⎨=⎩不是方程213x y x y ++=--的解⑶把02x y =⎧⎨=-⎩分别代入原方程的左边和右边.得左边20(2)11=⨯+-+=-.右边0(2)31=---=- ∴左边=右边∴02x y =⎧⎨=-⎩是方程213x y x y ++=--的解【例4】若2-为关于x 的一元一次方程.713mx +=的解.则m 的值是【解题思路】将2x =-代入原方程中.即可求解【题目答案】3m =-【巩固练习】关于x 的方程320x a +=的根是2.则a 等于【解题思路】略【题目答案】3-板块二等式的性质☞等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式.所得结果仍是等式．若a b =.则a m b m ±=±；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式.所得结果仍是等式．若a b =.则am bm =.a bm m=(0)m ≠☞注意：⑴在对等式变形过程中.等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减.同时乘以或同时除以.不能漏掉某一边⑵等式变形过程中.两边同加或同减.同乘或同除以的数或整式必须相同． ⑶在等式变形中.以下两个性质也经常用到：对称性.即：如果a b =.那么b a =．传递性.即：如果a b =.b c =.那么a c =．又称为等量代换考点难点：等号左右互换的时候忘记变符号【例5】根据等式的性质填空：(1)4a b =-.则______a b =+； (2)359x -=.则39x =+ ；(3)683x y =+.则x =_________； (4)122x y =+.则x =__________．【解题思路】(1)4a b =+.在等式两端同时加上b ；(2)395x =+.在等式两端同时加上5；(3)836y +.在等式的两端同时乘以16；(4)24y +.在等式的两端同时乘以2．【题目答案】(1)4a b =+ (2)395x =+ (3)836y + ；(4)24y +【巩固练习】下列变形中.不正确的是( )A ．若25x x =.则5x =B ．若77,x -=则1x =-C ．若10.2x x -=.则1012x x -=D ．若x ya a=.则ax ay =【解题思路】根据等式的性质二.除数不能为0【题目答案】A【巩固练习】用适当数或等式填空.使所得结果仍是等式.并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．⑴如果23x =+.那么x =____________；根据 ⑵如果6x y -=.那么6x =+_________；根据⑶如果324x y -=.那么34x y -=______；根据⑷如果34x =.那么x =_____________；根据【解题思路】略【题目答案】⑴1-.等式的性质1；⑵y .等式的性质1；⑶8.等式的性质2；⑷43.等式的性质2板块三一元一次方程的概念☞一元一次方程的概念：只含有一个未知数.并且未知数的最高次数是1.系数不等于0的方程叫做一元一次方程.这里的“元”是指未知数.“次”是指含未知数的项的最高次数．☞一元一次方程的形式：最简形式：方程ax b =(0a ≠.a .b 为已知数)叫一元一次方程的最简形式．标准形式：方程0ax b +=(其中0a ≠.a .b 是已知数)叫一元一次方程的标准形式．☞注意：⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式.所以判断一个方程是不是一元一次方程.可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．如果不变形.直接判断就出会现错误．⑵方程ax b =与方程()0ax b a =≠是不同的.方程ax b =的解需要分类讨论完成【例6】下列各式中：⑴3x +；⑵2534+=+；⑶44x x +=+；⑷12x=；⑸213x x ++=；⑹44x x -=-；⑺23x =；⑻2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程？【解题思路】方程、等式的概念【题目答案】(6)、(8)是一元一次方程．其他均不是A ．2237x x x +=+ B ．3435322x x -+=+C ． 22(2)3y y y y +=--D ．3813x y -= 【解题思路】略【题目答案】B【巩固练习】在初中数学中.我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程.请你把属于一元方程的序号填入圆圈⑴中.属于一次方程的序号填入圆圈⑵中.既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．①359x +=：②2440x x ++=；③235x y +=：④20x y +=；⑤8x y z -+=：⑥1xy =-．（2）（1）⑤③①②（2）（1）【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】如图【例7】若131m x -=是一元一次方程.那么m = 【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】2m =【巩固练习】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程.则k = 【解题思路】1120k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩【题目答案】2k =-【巩固练习】若关于x 的方程2223x x ax a x a -=-+是一元一次方程.则a = .方程的解是【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】原方程化为一般形式得222(1)(3)0a x a x a a ---++=.则10a -=.∴1a =.1x =-【巩固练习】已知关于x 的方程(21)50nm x --=是一元一次方程.则m 、n 需要满足的条件为【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】210m -≠且1n =.即12m ≠且1n =±板块四一元一次方程的解法☞解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．温馨提示：不要漏乘不含分母的项.分子是个整体.含有多项式时应加上括号．2．去括号：一般地.先去小括号.再去中括号.最后去大括号．温馨提示：不要漏乘括号里的项.不要弄错符号．3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边. 不含未知数的项移到方程的另一边．温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项． 4．合并同类项：把方程化成ax b =的形式．温馨提示：字母和其指数不变．5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a (0a ≠ ).得到方程的解 b x a=．温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒．【例10】下列等式中变形正确的是（）A.若31422x x -+=.则3144x x -=-B. 若31422x x -+=.则3182x x -+=C. 若31422x x -+=.则3180x -+=D. 若31422x x -+=.则3184x x -+=【解题思路】考查去分母解方程第一步骤.学生很容易出现漏乘等问题造成失分【题目答案】D【例11】 122233x x x -+-=-【解题思路】按照去分母.去括号.移项.合并同类项.系数化1的步骤解答【题目答案】35x =-．【巩固练习】解方程：⑴6(1)5(2)2(23)x x x ---=+ ⑵12225y y y -+-=-【解题思路】略【题目答案】⑴23x =；⑵117y =【巩固练习】解方程：(1)3(3)52(25)x x -=--；(2)()()()243563221x x x --=--+；(3)135(3)3(2)36524x x ---= 【解题思路】略【题目答案】(1)107x =-；(2)38x =；(3)12x =．☞先变形、再解方程本类型题：需要先利用等式的基本性质.将小数化为整数.然后再进行解方程计算【例12】解方程：7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-．解：原方程可化为7110.251432x x x --+=-去分母.得．根据等式的性质( )移项.得．根据等式的性质( ) 合并同类项.得．系数化为1.得．根据等式的性质( )【解题思路】注意解方程的基本步骤与等式的性质【题目答案】去分母.得3(71)4(10.2)6(51)x x x -=--+．根据等式的性质1去括号.得21340.8306x x x -=---．移项.得210.830346x x x ++=+-．根据等式的性质1合并同类项.得51.81x =．系数化为1.得5259x =．根据等式的性质2【例13】 0.130.41200.20.5x x +--=【解题思路】略【题目答案】原方程可变形为304102025x x +--=去分母得5(30)2(410)200x x +--=去括号得5150820200x x +-+= 移项、合并得330x -= ∴10x =-【巩固练习】解下列方程：⑴2 1.210.70.3x x --=； ⑵0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x +-+-=； ⑶1(0.170.2)10.70.03x x --= ⑷0.10.020.10.10.30.0020.05x x -+-=⑸42230%50%x x -+-= ⑹1(4)335190.50.125x x x +++=+⑺0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x x x ++-=-⑻0.10.90.210.030.7x x --= 【解题思路】解这类方程通常先应用分数的基本性质.将系数化为整数⑴原方程可化为201210173x x --=.而后解得2126x =； ⑵原方程可化为49532523x x x+-+-=去分母6(49)15(5)10(32)x x x +--=+解得9x =； ⑶原方程可化为1017201x x --=.解得14x =．⑷原方程可化为1002010100.325x x -+-=.则4812.3x =.解得41160x =． ⑸原方程可化为10401020235x x -+-=.解得13110x =． ⑹解得7x =-． ⑺解得9x =．⑻解得48127619x ==．【题目答案】略☞逐层去括号含有多重括号时.去括号的顺序可以从内向外.也可以从外向内. 【例14】解方程：111[16]20343x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭【解题思路】原方程可变形为11(1)66043x --+= 整理得1103x -=解得3x =【题目答案】3x =【巩固练习】解方程：()11111[1]3261224x ------=-．【解题思路】11111[(1)]3261224x ------=-. 11111[(1)]3261224x -+-=-. 111(1)268x +=-.1112x =-．【题目答案】1112x =-【例15】解方程：11110721()3(2)33623x x x x x +-⎡⎤⎡⎤--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解题思路】注意一定去括号的顺序.解得12x =．【题目答案】12x =【巩固练习】解方程：1112(1)(1)223x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦【解题思路】略【题目答案】117x =-【巩固练习】解下列方程：(1)[]{}234(51)82071x ----=(2)11111071233223x x x x x +-⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题思路】(1)略；(2)原方程可化为：11110713926x x x x x +--+=-+. 186229183021x x x x x -++=-+-.513x =．【题目答案】（1）1x = （2）513x =☞整体思想注意观察方程中.完全一样的整式【例16】解方程：1123(23)(32)11191313x x x -+-+=【解题思路】原方程可变为：111(23)(23)(23)0111913x x x ---+-=.即111()(23)0111319x +--=.又1110111319+-≠.所以230x -=.即32x =．【题目答案】32x =【巩固练习】方程113(1)(1)2(1)(1)32x x x x +--=--+【解题思路】按常规去括号整理后再解.显然较繁.应用整体思想求解()()()()1131121123x x x x +++=-+-.()()771123x x +=-.括号.移项.可解得5x =-．【题目答案】5x =-【巩固练习】解方程：11311377325235x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题思路】这一方程在变换过程中.宜将375x ⎛⎫- ⎪⎝⎭作为一个整体．方程两边同乘以6.得3323(7)32(7)55x x --=--.333(7)2(7)3255x x --+-=-.333(7)2(7)155x x ----=.3345(7)1,53x x --==．【题目答案】343x =343x =课堂检测1.下列各式不是方程的是：( )A ． 24y y -=B ． 2m n =C ． 222p pq q -+D ． 0x = 【解题思路】略【题目答案】C ．2.解方程⑴ 11(4)(3)34y y -=+ ⑵ 3126x x x +-=-⑶253164x x ---=⑷42132[()]3324x x x --= 【解题思路】略【题目答案】⑴ 1y =．⑵ 4x =．⑶13x =．⑷127x =-．3.解方程：10.50.210.30.30.30.02x x x---=【解题思路】原方程可化为10521030332x x x ---=.解得513x =．【题目答案】513x =1. 解方程：⑴12225y y y -+-=-⑵122233x x x -+-=-【解题思路】⑴105(1)202(2)y y y --=-+.10552024y y y -+=--.117y =． ⑵按照去分母.去括号.移项.合并同类项.系数化1的步骤解答可得：35x =-．【题目答案】⑴117y =．⑵35x =-2. 解方程：111233{[]}234324x x x x ⎛⎫----=+ ⎪⎝⎭【解题思路】略【题目答案】解得229x =-3. 解方程：0.10.40.2111.20.3x x -+-=课后练习【解题思路】原方程可化为42101123x x -+-=.解得8x =-．【题目答案】8x =-．4. 求方程31333(()()447167x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦的解．【解题思路】原方程可化为：33333()()4167167x x x x -+-=-.注意在运算过程中把37x ⎛⎫- ⎪⎝⎭视为一个整体.解得0x =．【题目答案】0x =.。

人教版最全一元一次方程培优资料

人教版最全一元一次方程培优资料1.一元一次方程的定义例1.已知方程（k﹣2）x|k﹣1|﹣2017＝2021是关于x的一元一次方程，则k＝．变式1.若关于x的方程（m﹣4）x|m|﹣3﹣2＝0是一元一次方程，则m＝．变式2.已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+7＝0是关于x的一元一次方程，则m＝．变式3.关于x的方程（|m|﹣3）x2+（m﹣3）x+1＝0是一元一次方程，则m＝．变式4.若（m+1）x m+3＝0是关于x的一元一次方程，则m＝．变式5.若方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2＝0是关于x的一元一次方程，试确定式子|m﹣1|的值．例2.下列方程：①3x﹣y＝2：②x++2＝0；③＝1；④x＝0；⑤3x﹣1≥5：⑥x2﹣2x﹣3＝0；⑦x．其中一元一次方程有（）A．5个B．4个C．3个D．2个2.一元一次方程的解例3.已知x＝2是方程10﹣2x＝ax的解，则a＝．变式1.已知x＝1是方程﹣＝k的解，则k的值是（）A．4B．﹣C．D．﹣4变式2.已知2x﹣3y+1＝0且m﹣6x+9y＝4，则m的值为．例4.已知关于x的一元一次方程2020x+3a＝4x+2019的解为x＝4，那么关于y的一元一次方程2020（y﹣1）+3a＝4（y﹣1）+2019的解为y＝．变式3.已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（）A．y＝1B．y＝﹣1C．y＝﹣3D．y＝﹣4变式4.若关于x一元一次方程x+2018＝2x+m的解为x＝2018，则关于y的一元一次方程y+2018+＝2y+m+2的解为．3.解一元一次方程例5.解方程：（1）3（2x+5）＝2（4x+3）+1；（2）＝1．（3）[（x+1）+1]+1＝0；（4）﹣＝1．变式1.若3（x﹣2）和﹣2（3+x）互为相反数，则x的值为．变式2.若关于x的方程3x﹣7＝5x+2的解与关于y的方程4y+3a＝7a﹣8的解互为倒数，则a的值为．变式3.将方程＝1+中分母化为整数，正确的是（）A．＝10+B．＝10+C．＝1+D．＝1+变式4.解一元一次方程（x+1）＝1﹣x时，去分母正确的是（）A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3xC．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x变式5.下列等式变形：①如果x＝y，那么ax＝ay；②如果x＝y，那么＝；③如果ax＝ay，那么x＝y；④如果＝，那么x＝y．其中正确的是（）A．①④B．③④C．①②D．②③变式6.小明解方程+1＝时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1，试求a的值，并正确地求出原方程的解．4.一元一次方程同解问题例6.已知关于x的方程3[x﹣2（x﹣）]＝4x和﹣＝1有相同的解，求这个解．变式1.关于x的方程3﹣＝0与方程2x﹣5＝1的解相同，则常数a是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3变式2.如果方程4（x﹣1）﹣3（x+1）＝﹣4和的解相同，求出a的值．变式3..已知关于x的一元一次方程4x+2m＝3x﹣1，（1）求这个方程的解；（2）若这个方程的解与关于x的方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解相同，求m的值．变式4.我们把解相同的两个方程称为同解方程．例如：方程：2x＝6与方程4x＝12的解都为x＝3，所以它们为同解方程．（1）若方程2x﹣3＝11与关于x的方程4x+5＝3k是同解方程，求k的值；（2）若关于x的方程3[x﹣2（x﹣）]＝4x和﹣＝1是同解方程，求k的值；（3）若关于x的方程2x﹣3a＝b2和4x+a+b2＝3是同解方程，求14a2+6ab2+8a+6b2的值．已知方程2（x+1）＝3（x﹣1）的解为a+2，求方程2[2（x+3）﹣3（x﹣a）]＝3a的解．5.解含绝对值的方程例7.阅读下面的解题过程：解方程：|5x|＝2．解：（1）当5x≥0时，原方程可化为一元一次方程5x＝2，解得；（2）当5x＜0时，原方程可化为一元一次方程﹣5x＝2，解得．请同学们仿照上面例题的解法，解方程（1）|x﹣2|＝1；（2）3|x﹣1|﹣2＝10．变式1.方程|2x+1|＝5的解是（）A．2B．﹣3C．±2D．2或﹣3变式2.解绝对值方程：|2x+4|﹣|x﹣3|＝9．解方程：|x﹣2|+|x+1|＝5．6.一元一次方程新定义例8.【定义】若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“友好方程”．【运用】（1）①﹣2x＝4，②3x＝﹣4.5，③x＝﹣1三个方程中，为“友好方程”的是（填写序号）；（2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值；（3）若关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n（n≠0）是“友好方程”，且它的解为x＝n，求m与n的值．变式1.我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.转化为分数时，可设x＝0.，则10x＝6.，10x＝6+0.，10x＝6+x，解得x＝，即0.．仿此方法，将0.化成分数是，将0.化成分数是．变式2.我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：方程3x＝的解为x＝，而＝﹣3，则方程3x＝为“差解方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，求m的值；（2）已知关于x的一元一次方程﹣3x＝mn+n是“差解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．例9.观察下列两个等式：1﹣＝2×1×﹣1，2﹣＝2×2×﹣1给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，），（2，），都是“同心有理数对”．（1）数对（﹣2，1），（3，）是“同心有理数对”的是．（2）若（a，3）是“同心有理数对”，求a的值；（3）若（m，n）是“同心有理数对”，则（﹣n，﹣m）“同心有理数对”（填“是”或“不是”），说明理由．变式3.一般情况下不成立，但也有这么一对数可以使得它成立，例如：p ＝t ＝0．我们把能使得成立的一对数p ，t 称为“相伴数对”，记作（p ，t ）．若（a ，4）是“相伴数对“，则的值为．7.含参数的一元一次方程当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为b ax =的形式，继续求解时，一般要对字母系数a 、b 进行讨论：1．当0≠a 时，方程有惟一解ab x =；2．当0,0≠=b a 时，方程无解；3．当0,0==b a 时，方程有无数个解．例10.解关于x 的方程：（1）ax ﹣1＝bx（2）4x +b ＝ax ﹣8变式1.解关于x 的方程：k （kx ﹣1）＝3（kx ﹣1）例11．a 为何值时，方程有无数个解？无解？变式2．已知关于x 的方程a （2x ﹣1）＝3x ﹣2无解，试求a 的值．变式3.已知关于x 的方程a （x ﹣3）+b （3x +1）＝5（x +1）有无穷多个解，则a +b ＝．变式4.已知a ，b 为实数，且关于x 的方程（a ﹣2）x ＝1﹣b 有无穷多个解，则a +b ＝．变式5.已知关于x 的方程（5a +14b ）x +6＝0无解，则ab 是（）A ．正数B ．非负数C ．负数D ．非正数例12.如果不论k 为何值，x ＝﹣1总是关于x 的方程﹣＝﹣1的解，则a ＝，b ＝．变式6.设x 、y 都是有理数，且满足方程（+）x +（+）y ﹣4﹣π＝0，则x ﹣y 的值为（）A ．18B ．19C ．20D ．218.数轴中一元一次方程例13.如图，已如数轴上点A 表示数是6，且AB ＝10．动点P 从点O 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒．（1）写出数轴上点B 表示的数；当t ＝1时，点P 所表示的数是；（2）动点R 从点B 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P ，R 同时出发，问点R 运动多少秒时追上点P ？（3）动点R 从点B 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P ，R 同时出发，问点R 运动多少秒时PR 相距2个单位长度？变式1.已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为﹣3、5，点P 为数轴上一动点，且点P 对应的数为x ．（1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，则点P 对应的数为．（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为10？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A 、点B 分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P 以3个单位长度/秒的速度同时从O 点向左运动，当点A 与点B 之间的距离为2个单位长度时，求点P 所对应的数是多少？变式2.如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，运动时间为t秒（t＞0），M为AP的中点．（1）当点P在线段AB上运动时，①当t为多少时，PB＝2AM？②求2BM﹣BP的值．（2）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，证明线段MN的长度不变，并求出其值．（3）在P点的运动过程中，是否存在这样的t的值，使M、N、B三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点，若有，请求出t的值；若没有，请说明理由．9.巧解一元一次方程例14.解关于x的一元一次方程变式1.一元一次方程的解是．变式2.若a，b，c是正数，则关于x方程的解为x等于．例15．方程的解为；变式3.a、b、c、m都是有理数，且a+2b+3c＝m，a+b+2c＝m，那么b与c的关系是（）A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．无法确定例16.方程的解．变式3.方程+…+＝2008的解是x ＝．10.关于方程解的讨论和应用例17.是否存在整数k ，使关于x 的方程x x k 516)5(-=+-；在整数范围内有解?并求出各个解．变式1.若关于x 的方程mx ﹣＝（x ﹣）有负整数解，求整数m 的值．变式2.若关于x 的方程2ax ＝（a +1）x +6的解为正整数，求整数a 的值．变式3.关于x 的方程有负整数解，则所有符合条件的整数m 的和为（）A ．5B ．4C ．1D ．﹣1变式4.若关于x 的方程（k ﹣2019）x ﹣2017＝7﹣2019（x +1）的解是整数，则整数k 的取值个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．6变式5.已知：关于x 的方程()183-=-b x b a 仅有正整数解，并且和关于x 的方程()183-=-a x a b 是同解方程，若0,022≠+≥b a a ，求这个方程的解。

七年级下培优讲义1 解一元一次方程

七年级下培优讲义（1）解一元一次方程（一）求方程的解例1、121x=512222(12)x a x ax a x ++=+=-已知是方程的解，试求关于x 的方程的解。

【对应练习】1， 42=322m x x m x m --=若关于的方程和有相同的解，求的值，并求这个解。

2，20133kx x 1x +x=k x 21-2k x+2013=0k -=-⎛⎫ ⎪⎝⎭若是关于的方程的解，求关于的方程的解。

（二）灵活安排求解步骤巧解一元一次方程例2、()()112x-x 1=x-1323⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解方程：【对应练习】1，0.01+0.03x x-3+0.5=0.022解方程：2，()()()()1111345644567x x x x -+-+-+-=-解方程：（三）解绝对值的一元一次方程例3、5665x x +=-解方程：【对应练习】：1，21975x -+=解方程：2，2100102x x -=--解方程： 19-（四）解含字母系数的一元一次方程例4、21x ax b x +=+解关于的方程【对应练习】：1，x mx+n=m+x 解关于的方程2，()11(2)34x m x n x m -=+解关于的方程（五）一元一次方程的实际应用例5、有含盐20%的盐水60千克，（1）要使盐水中含盐25%，需蒸发多少水？（2）要使盐水中含盐25%，需加盐多少？（3）要使盐水含盐15%，需加水多少？【对应练习】1，如图所示的长方形被分成6个正方形，现知中间的一个正方形的边长为1．（1）求该长方形的面积；（2）图中阴影部分正方形的面积是多少？。

第一讲(学生版)：一元一次方程培优教案

第一讲（学生版）：一元一次方程培优教案每一个学生都是独特的，他的成功需要有个性化的教育培养方式第一讲：一元一次方程知识梳理知识点1：等式及其性质等式及其性质⑴ 等式：用等号“=”来表示关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果a?b，那么a?c? ；② 如果a?b，那么ac? ；如果a?b?c?0?，那么a? . c例：已知等式3a?2b?5，则下列等式中不一定成立的是（）．．．（A）3a?5?2b; （B）3a?1?2b?6; （C）3ac?2bc?5; （D）a?知识点2：一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的叫做方程；使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ?a?0?. 例１、下列各式：①3x+2y=1②m-3=6③x/2+2/3=0.5④x+1=2⑤z/3-6=5z⑥(3x-3)/3=4⑦5/x+2=1⑧x+5中，一元一次方程的个数是（）Ａ、1 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、4例2、如果(m-1)x +5=0是一元一次方程，那么m＝＿＿＿．知识点3：解一元一次方程例1、要解方程4.5(x+0.7)=9x ,最简便的方法应该首先（）Ａ、去括号Ｂ、移项Ｃ、方程两边同时乘以１０Ｄ、方程两边同时除以4.5 例2、解方程8x?12(|m|225b?. 335x12(6x?9)?)?8? 3231每一个学生都是独特的，他的成功需要有个性化的教育培养方式难点：熟练解方程[来源步骤名称方法在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）去括号法则（可先分配再去括号）把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）依据注意事项 1 去分母等式性质2 1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来。