三次函数求根公式
方程的求根公式
方程的求根公式一元二次方程的回顾和启示学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0,~a \neq 0 ，通过配方可以得到\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} ，根据判别式 \Delta=b^2-4ac 的符号，可以判断方程实根的个数，并且可以得到求根公式。
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\\要么是 2 个不同的实根 \Delta>0 ，要么是 1 个二重实根\Delta=0 ，要么是 1 对共轭虚根 \Delta<0 ；计算重数的情况下都是 2 个根。
记两根为x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ,~ x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\可以直接验证韦达定理：两根之和 x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} 以及两根之积x_1x_2=\dfrac{c}{a}，判别式 \Delta=a^2(x_1-x_2)^2 .求根公式看上去复杂，但如果把上述两式代入求根公式，就可以得到x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\left(-\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\frac{x_1-x_2}{2}\\。
注：如果 x_1,~x_2 是共轭虚根，x_1-x_2 就是纯虚数，对负数\left(\dfrac{x_1-x_2}{2}\right)^2 开方不能得到 \dfrac{|x_1-x_2|}{2} .几何意义：记 s=\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a} 是两根的平均值，乘积为 p=x_1x_2=\dfrac{c}{a} . 如果 x_1,~x_2 都是实根，则d=\dfrac{|x_1-x_2|}{2}=\sqrt{s^2-p} 是根到平均值的距离。
一元三次方程的求根公式及其推导
一元三次方程的求根公式及其推导有三个实数根。
有三个零点时，当有两个实数根。
有两个零点时，当有唯一实数根。
有唯一零点时，当。
，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。
点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：程即可。
因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(33:0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=⇔<+=•=⇔=+=•=⇔>+=•--==-===<=⇔===⇔=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F p x p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC AB A B x A BC A B x AD Cx Bx Ax βαβαβαβα33233232323323233231322321323232333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(811)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(811)27(402727,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(8110)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--⎪⎩⎪⎨⎧+--==++-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=++-=>+=--=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=∆=++=+=∆=++>+=∆+=∆>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。
三次函数的图象与性质
解：（1）由原式，得 = 3 − 2 − 4 + 4，
∴ ′ = 3 2 − 2 − 4.
1
1
（2）由′ −1 = 0，得 = 2.此时有 = ( 2 − 4)( − 2)，
′ = 3 2 − − 4.
4
令′ = 0，得 = 3或 = −1
= −
求导：’ = 3 2 − 3 = 3( + 1)( − 1)
令’ = 0，则 = ±1.
列表：
−∞, −
−
−,
, +∞
’
+
0
−
0
+
增
极大
减
极小
增
y
y
o
−1
x
1
′ 图象
x
o
−1
1
图象
探究二：三次函数 = 3 + 2 + + ( ≠ 0)在R上
2 + 12 ≤ + 6,
由题意可知，1 ≥ −2， 2 ≤ 2，即൝
2 + 12 ≤ 6 − .
解不等式组，得−2 ≤ ≤ 2.
优解：因为′ = 3 2 − 2 − 4的图象是开口向上且过点(0,4)
的抛物线，
4 + 8 ≥ 0,
由条件，得′ −2 ≥ 0, ′ 2 ≥ 0,即ቊ
解：（1） ′ = 3 2 − 3 = 3( 2 − )
当 < 0时，对，有′ > 0，所以 的单调增区间为(−∞, +∞)；
当 > 0时，由′ > 0，解得 < − 或 > ；由′ < 0，解得− < <
一元三次方程的求根公式及其推导
一元三次方程的求根公式及其推导有三个实数根。
有三个零点时，当有两个实数根。
有两个零点时，当有唯一实数根。
有唯一零点时，当。
，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。
点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：程即可。
因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(33:0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=⇔<+=•=⇔=+=•=⇔>+=•--==-===<=⇔===⇔=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F px px x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC A B A Bx A B C A Bx A D Cx Bx Ax βαβαβαβα33233232323323233231322321323232333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(811)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(811)27(402727,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(8110)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B pq q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A qB A pB A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--⎪⎩⎪⎨⎧+--==++-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=++-=>+=--=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=∆=++=+=∆=++>+=∆+=∆>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。
如何用三角换元一元三次方程求根公式
如何用三角换元一元三次方程求根公式一、引言在数学中，解方程是一项基本且重要的技能。
在一元三次方程的求解过程中，我们可以采用三角换元的方法来简化计算步骤。
本文将介绍如何使用三角换元一元三次方程求根公式。
二、背景知识在开始讲解具体的求解步骤之前，我们先来了解一下三角换元的相关概念。
2.1三角函数的定义三角函数是描述角的函数，常见的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(co s)和正切函数(t an)等。
这些函数在数学和物理等领域有着广泛的应用。
2.2三角换元的原理三角换元是通过引入代换变量，将原方程转化为与三角函数有关的新方程，从而简化求解过程。
通过选取合适的代换变量和适当的变换方法，我们可以将高次方程化简为低次方程，进一步求解。
三、三角换元一元三次方程求根公式的步骤接下来我们将介绍如何使用三角换元一元三次方程求根公式的具体步骤。
3.1第一步：选取适当的代换变量对于给定的一元三次方程，我们需要选取一个合适的代换变量来进行变换。
一般情况下，我们可以选取某个三角函数作为代换变量，以简化原方程。
3.2第二步：进行换元操作在选取合适的代换变量后，我们将原方程中的变量用选择的三角函数代替，从而得到一个与三角函数相关的新方程。
3.3第三步：解得新方程的根针对新方程，我们可以利用已知的三角函数的性质和相关公式，求解出新方程的根。
3.4第四步：将换元后的解转化为原方程的解在求得新方程的根后，我们需要将其转化为原方程的解。
这一步可以通过回代的方法进行。
四、实例演练为了更好地理解三角换元一元三次方程求根公式的应用，我们来看一个具体的实例演练。
假设我们有一个一元三次方程：x^3-3x-1=0。
4.1第一步：选取适当的代换变量在这个实例中，我们选择代换变量为x=2s i nθ。
4.2第二步：进行换元操作根据代换变量x=2s inθ，我们将原方程中的x进行替换，得到方程：8s in^3θ-6s inθ-1=0。
4.3第三步：解得新方程的根根据换元后的方程，我们可以利用三角函数的性质和相关公式，求得s i nθ的值。
解三次方程的一般方法资料
解三次方程的一般方法资料解三次方程的一般方法一、引言三次方程是数学中常见的高次方程，它的解法相对于一次和二次方程来说要复杂得多。
在本篇文章中，我们将介绍解三次方程的一般方法，包括因式分解法、卡尔丹诺公式法和盛金公式法。
这些方法在数学、工程、物理等领域都有广泛的应用。
二、因式分解法因式分解法是通过将三次方程转化为几个一次或二次方程的乘积，从而求得方程的根。
这种方法适用于一些特殊形式的三次方程，如：x^3 - 3x^2 + 2x = 0该方程可以分解为：x(x-1)(x-2) = 0从而得到方程的根为 x=0, x=1, x=2。
然而，对于一般的三次方程，因式分解法往往难以应用，这时我们可以考虑使用卡尔丹诺公式法或盛金公式法。
三、卡尔丹诺公式法卡尔丹诺公式法是一种求解三次方程的通用方法，它适用于任何形式的三次方程。
首先，我们将三次方程转化为标准形式：x^3 + px + q = 0其中 p 和 q 是已知数。
接着，我们令：u = x + p/3u^3 + qu = 0通过一系列的变换和计算，我们可以得到卡尔丹诺公式：x = u - p/3其中 u 是以下方程的根：u^3 + qu - p^3/27 = 0卡尔丹诺公式法的计算过程相对复杂，需要应用复数、三角函数等知识。
此外，它也可能得到复数解，需要进一步处理。
四、盛金公式法盛金公式法是另一种求解三次方程的通用方法，它相较于卡尔丹诺公式法更为简洁和直观。
盛金公式法的核心思想是通过引入参数将三次方程转化为二次方程，从而可以利用二次方程的求根公式来求解。
具体步骤如下：1.将三次方程转化为标准形式：x^3 + px + q = 0。
2.令 x = y - p/3y，将原方程转化为：y^3 + (q - p^3/27)y - p^2q/27 =0。
3.引入参数 A 和 B，使得：A^3 + B^3 = q - p^3/27, AB = -p^2q/27。
4.通过解二次方程 A^2 + B^2 - yA - yB = 0，得到 y 的值。
人教A版高中数学选修3-1-7.1-三次、四次方程求根公式的发现-课件(共27张PPT)
当塔尔塔利亚获悉菲
奥尔确实身怀绝技的时候， 心里产生了极大的忧虑， 因为他深知自己的方法没 有普遍性，要想赢得比赛 的胜利，必须掌握更完善 的解法。为此，塔尔塔利 亚废寝忘食，夜以继日的 冥思苦想，终于在比赛前 夕得到了x3+px=q(p,q为正 数）这一类方程的解法， 从而在世界上最早的数学 竞赛中大获全胜。
2、数学上最早的数学竞赛
直到1500年左右，意大利波伦亚大学教授费 罗发现了x3+px=q(p,q为正数）类型的三次方程的 解法，但他没有发表自己的方法。因为十六七世纪 的人们，常把所获得的发现保密，然后向对手们提 出挑战，要他们解出同样的问题，费罗在1510年 左右将其传授给自己的学生菲奥尔等人。由于受当 时欧洲保密风气的影响，他们也未将其公布于世。
直到1828年在挪威军事科学院当上了代课教 师前，他一直没有固定的工作，只能以私人授课维 持生计，用他的话说“穷得就像教堂里的老鼠”。 然而，他并没有在逆境中倒下去，仍在坚持研究， 并取得了许多重大的成果。他写下了一系列关于椭 圆函数的文章，发现椭圆函数的加法定理，双周期 性，并引进了椭圆函数的反演，正是这些重大发现 才使欧洲数学家们认识到他的价值。1828年9月， 四名法国科学院院士上书给挪威国王，请他为这位 天才安排一个合适的职位。
宋元时期的秦九韶、李冶以及朱世杰等
人都三次、四次方程的求解方面作出过突出 贡献。但中国古代的努力方向主要是放在求 方程的数值解上，尽管能够求得三次、四次 甚至更高次的代数方程任意精度的数值解， 但始终未能获得求解三次、四次方程的一般 公式。总而言之，在16世纪之前，数学家们 对三次、四次方程的求根公式的研究都以失 败告终。
受拉格朗日的影响，鲁菲妮在1799年到1813 年之间做过好几种尝试，要证明四次以上方程不 能用代数方法解出，但他的努力也20多年，高次方程公式求解问题 仍然悬未决，困扰着众多的数学家。这时，一位来 自北欧挪威的小青年阿贝尔勇敢地站出来迎接挑战， 严格证明了如下事实：如果方程的次数n≥5，并且 系数a1,a2,...an看成字母，那么任何一个由这些字母 组成的公式都不可能是方程的根。
一元三次方程求根 知乎
一元三次方程求根知乎全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一元三次方程求根是数学中一个非常基础且重要的知识点。
对于一些初学者来说，可能对于如何解一元三次方程求根还感到困惑。
今天就让我们来探讨一下一元三次方程求根的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这个知识点。
一元三次方程通常可以写成如下形式：ax^3+bx^2+cx+d=0a、b、c、d为已知的系数，而x为未知数。
我们的目标就是要找到满足这个方程的根，也就是使得方程成立的x的值。
在解一元三次方程之前，我们首先需要了解一元三次方程的根的情况。
根据代数学的基本定理，一元三次方程至少有一个实数根。
也就是说，无论方程的系数取什么值，都至少存在一个实数根。
而对于复数根来说，一元三次方程可能有一个，两个或三个复数根。
接下来，我们来看一下一元三次方程求根的方法。
在解一元三次方程时，通常可以采用如下方法：1. 利用因式分解求根：如果一元三次方程可以通过因式分解为(x-a)(x-b)(x-c)=0的形式，那么方程的根就是a、b和c。
这种情况下，可以通过因式分解很容易地求得方程的根。
2. 利用求根公式求解：一元三次方程是无法像一元二次方程那样通过普通的求根公式直接求解的。
但我们可以借助一些其他的方法来求解。
其中一个比较常用的方法就是卡达诺公式。
卡达诺公式在一元三次方程的求解中起着非常重要的作用，能够帮助我们求解出方程的实数根或复数根。
3. 利用数值解法求解：如果无法通过因式分解或者求根公式求解出方程的根，我们还可以利用数值解法来逼近方程的根。
数值解法主要有二分法、牛顿法等，通过迭代求解来逼近方程的根。
除了上述方法外，对于一元三次方程的求解，还有一些其他的方法和技巧。
可以通过换元减次的方法将一元三次方程降低为一元二次方程再求解，也可以尝试利用韦达定理、拉格朗日插值等方法。
这些方法都可以帮助我们更快更准确地求得一元三次方程的根。
第二篇示例：一元三次方程在数学中是一个常见的问题，解决这个问题需要求出方程的根。
求根计算公式的原理
求根计算公式的原理求根计算公式是数学中非常重要的一种计算方法，它可以用来解决各种方程的根的问题。
在数学中，方程的根是指能够使方程成立的数值，例如对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，它的根就是能够使得该方程成立的x的数值。
而求根计算公式就是用来计算这些根的方法。
求根计算公式的原理主要是基于数学分析和代数学的理论。
在数学分析中，我们知道对于一个连续函数，如果它在某个区间内取得了正负值，那么在这个区间内一定存在一个根。
而求根计算公式就是利用这个性质来计算方程的根的。
具体来说，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以利用求根公式来计算它的根。
求根公式可以表示为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中±表示两个根，分别对应着加号和减号。
这个公式的推导过程比较复杂，主要是基于一些代数学的理论，但是它的原理可以用简单的语言来解释。
首先，我们知道对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，它的根可以表示为x=p+qi，其中p和q分别是实数部分和虚数部分。
然后我们可以通过一些代数运算，将方程化简为一个关于p和q的方程，然后利用一些数学分析的方法，可以得到p和q的表达式，最终得到了求根公式。
除了一元二次方程，求根计算公式还可以应用于其他类型的方程，例如一元一次方程、一元三次方程等。
对于一元一次方程ax+b=0，它的根可以直接通过求根公式x=-b/a来计算。
而对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，它的根可以通过一些复杂的代数运算和数学分析来得到求根公式。
求根计算公式的原理不仅仅适用于代数方程，它还可以应用于微积分中的方程。
例如对于微积分中的方程f(x)=0，我们可以通过一些数值计算的方法，利用求根公式来计算出方程的根。
这在工程、物理学等应用中非常常见，因为很多实际问题都可以用方程来描述，而求根计算公式可以帮助我们解决这些问题。
除了数值计算，求根计算公式还可以应用于符号计算。
三次方程解法
1.盛金公式一元三次方程a x^3＋b x^2＋c x＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9a d；C=c^2－3b d，总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：x1=x2=x3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：x1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；x2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，2=A b＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：x1=－b/a＋K；x2=x3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：x1= (－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；x2，3= (－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2A b－3a B)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。
2.盛金判别法①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
3.盛金定理当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
一元三次方程的求根公式及其推导[精品]
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一元三次方程的求根公式及其推导有三个实数根。
有三个零点时，当有两个实数根。
有两个零点时，当有唯一实数根。
有唯一零点时，当。
，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。
点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：程即可。
因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(33:0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=⇔<+=∙=⇔=+=∙=⇔>+=∙--==-===<=⇔===⇔=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F p x p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC AB A B x A BC A B x AD Cx Bx Ax βαβαβαβα33233232323323233231322321323232333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(811)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(811)27(402727,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(8110)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--⎪⎩⎪⎨⎧+--==++-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=++-=>+=--=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=∆=++=+=∆=++>+=∆+=∆>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。
三次因式分解
三次函数因式分解有以下情况：1、当三次函数的解析式的常数项为0时，如y=x^3-2x^2-3x,提出一个x，括号里面是二次函数，可以配方、分解因式。
2、另外，由多项式方程的根是常数项的因数这一定理，如果当常数项的因数是三次方程的根时，那么相应三次函数解析式可以分解因式。
3、例如，y=x^3-2x^2-x+2,常数项因数±1，±2,其中x=±1，x=2是三次方程的根，所以y=(x-1)(x+1)(x-2)。
三次函数(cubic function)指的是最高次数项为3的函数，形如y=ax³+bx²+cx+d（a≠0,b,c,d为常数）的函数。
三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物，不同于普通抛物线。
三次函数性态的五个要点：1、三次函数y=f(x）在（-∞，+∞）上的极值点的个数。
⒉、三次函数y=f （x）的图象与x 轴交点个数。
⒊、单调性问题。
⒋、三次函数f（x）图象的切线条数。
⒌、融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围。
卡尔丹公式法：此外，一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax3+bx2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x3+px+q=0的特殊型。
上世纪80年代，中国的一名中学数学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索，发明了比卡尔丹公式更实用的新求根公式——盛金公式，并建立了简明的、直观的、实用的新判别法——盛金判别法，同时提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑问题，且很有趣味。
盛金公式的特点是由最简重根判别式A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd和总根的判别式Δ=B2－4AC来构成，体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美，简明易记、解题直观、准确高效，特别是当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)，其表达式非常漂亮，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方），手算解题效率高。
一元三次方程的根的探究
关于一元三次方程的根的探究1.因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．例如：解方程x^3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1.2.另一种换元法对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z,代入并化简，得：z-p/27z+q=0.再令z=w,代入，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x.3.盛金公式解题法三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．盛金公式一元三次方程aX^3＋bX^2＋c X＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。
求根公式
2a
22
=25
b b24ac 5 25
x
2a
25
2 2 4
55 10
x1 x2
2 2
55 x1 10
5 -5 x2 10
小结
由配方法解一般的一元
二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方程的 一般步骤：
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用配方法解一元二次方程的步骤： 1.将原方程化成 ax2+bx+c=0的一般形式,
2.把二次项系数化为1, 3.配方:在方程的左边同加上一次项系数的一半的平方,再减去这 个数, 4. 用直接开平方法或因式分解法求解方程
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
∴x= b b2 4ac 2 2 2 2
X=
2a
2
x1 2 x2 2
(a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解：
x1=?, x2=?
2x2 2 2x 1
解：移项得
2x2 2 2x 1 0
新授
例1. 用公式法解方程x2_x-2=0
解: ∵ a=1 b=-1 c= -2
∴ b2 4ac2 4
∴x=
= －(-1) (1)2 4
= 1 9 13
2
2
即 x1= - 1 x2=2
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。
一般实系数三次方程的谢国芳求根公式和判别法
一般实系数三次方程的谢国芳求根公式和判别法作者：谢国芳（Roy Xie ） Email: roixie@【摘要】本文给出了远比卡丹公式和盛金公式简明快捷的求解一般实系数三次方程320ax bx cx d +++= 的新求根公式及相应的根的判别法则。
【资料来源】 同作者已发表的学术论文《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》（2012年第21期《数学学习与研究》）和网页专题研究论文集《三次方程研究》一般实系数三次方程的谢国芳求根公式（形式1）和根的判别法则对于实系数三次方程320ax bx cx d +++=，定义第一判别式（first discriminant ） 23D b ac =-,关键比（key ratio ）32 =r ,则有如下根的判别法则和求根公式：（一）当230D b ac =-<时，方程有一个实根和两个共轭虚根：12,31)3111(2233b K K x a b K K K K x i a a ⎧-+-⎪=⎪⎪⎨⎪--+⎪=±⎪⎩))（1.1）其中K =（二）当230D b ac=->，1r>时，方程也有一个实根和两个共轭虚根：12,31)3111(2233bxabx ia aκκκκκκ⎧-++⎪=⎪⎪⎨⎪-+-⎪=±⎪⎩))（1.2）其中κ=（三）当230D b ac=->，1r=时，方程有两个相等的实根（即一个两重实根）和另一个与之不等的实根，此时仍可用求根公式（1.2）求解.当1r=时，1κ==，代入式（1.2）即得1x=,23x x==.当1r=-时，1κ==-，代入式（1.2）即得13bxa--=,233bx xa-==.（四）当230D b ac=->，1r<时，方程有三个互异的实根：1232cos 3322cos()33322cos()333b x ab x ab x aθθπθπ⎧-+⎪=⎪⎪⎪-++⎪=⎨⎪⎪-+-⎪=⎪⎪⎩（1.3）其中1cos r q -=.以上求根公式的推导参见2012年第21期《数学学习与研究》上同作者的论文《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》。
三次函数求根公式高中.docx
三次函数求根公式高中标题：三次函数求根公式在高中数学中的实际应用引言：在高中数学中，我们学习了各种函数和方程，并且通过解方程的方法来解决实际问题。
其中，三次函数是一个非常重要的概念，它在数学和科学领域有着广泛的应用。
本文将阐述三次函数求根公式在高中数学中的实际应用。
一、三次函数与其求根公式的概念1.1 三次函数的定义三次函数是指次数为3的多项式函数，通常表示为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。
其中，a、b、c、d是实数，而x是自变量。
三次函数的图像通常是一个弯曲的曲线，具有很多特性和性质。
1.2 求根公式的定义求根公式是指用数学方法解三次函数方程的公式。
对于一般的三次函数方程f(x) = 0，可以通过求根公式来求解方程的根。
二、高中数学中的实际应用2.1 物理学中的牛顿运动定律牛顿运动定律是物理学中的基本定律之一，它描述了物体在外力作用下的运动规律。
在求解牛顿运动方程中，经常会出现三次函数方程，通过求根公式可以得到方程的实根，从而求解出物体的位置和速度等信息。
2.2 经济学中的需求与供给在经济学中，需求与供给是两个基本概念，它们关系到社会的经济发展和资源的分配。
通过建立数学模型，可以用三次函数来描述需求与供给的关系，通过求根公式可以确定平衡点，从而得到市场均衡时的价格和数量。
2.3 生态学中的物种数量动态生态学研究物种的数量动态与生态系统的平衡。
生态学家通过观测和实验，建立了各种模型来描述物种数量与环境因素的关系。
很多模型中都存在三次函数方程，通过求根公式可以确定物种数量的平衡点，从而分析生态系统的稳定性和变化趋势。
三、解决实际问题的思考对于高中生来说，学习三次函数求根公式不仅仅是为了应对考试，更重要的是培养批判性思维和解决实际问题的能力。
通过应用数学知识，我们可以在生活和学习中更好地理解和分析现象，解决实际问题。
结论：三次函数求根公式在高中数学中具有重要的实际应用，尤其在物理学、经济学和生态学等领域中。
初中数学公式大全
初中数学公式大全中学数学涵盖了非常广泛的内容，涉及到多个不同的学科，包括代数、几何、概率与统计等。
以下是一些常用的数学公式，供中学生参考。
一、代数公式：1. 一元二次方程的求根公式：对于方程ax² + bx + c = 0，其求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)2. 二次函数的顶点坐标公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，其顶点坐标为：x=-b/(2a)y = -Δ / (4a)，其中Δ为b² - 4ac，表示判别式。
3.平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²4. 二次完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²5. 一次函数的斜率公式：对于一次函数y = kx + b，其斜率为k。
6. 一次函数的截距公式：对于一次函数y = kx + b，其截距为b。
二、几何公式：1.三角形的面积公式：对于已知边长a、b和夹角C的三角形，其面积S为S = 1/2 * a * b * sin(C)2.直角三角形的勾股定理：对于直角三角形，其直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则有a²+b²=c²3.圆的面积公式：对于半径为r的圆，其面积为A=π*r²4.圆的周长公式：对于半径为r的圆，其周长为C=2π*r5.平行四边形的面积公式：对于平行四边形，其底边长为a，高为h，其面积为S=a*h6.矩形的面积公式：对于矩形，其长为a，宽为b，其面积为S=a*b7.三角函数的定义公式：sin A = 对边 / 斜边cos A = 临边 / 斜边tan A = 对边 / 临边三、概率与统计公式：1.随机事件发生的概率：对于任意一个随机事件AP(A)=（A的有利结果数）/（A的总结果数）2.互斥事件的概率公式：对于两个互斥事件A和B，它们同时发生的概率为0，因此有P(A∪B)=P(A)+P(B)3.A与B独立事件的概率公式：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率为两个事件发生的概率的乘积，因此有P(A∩B)=P(A)*P(B)4.期望公式：对于一组随机试验的结果X1、X2、..、Xn，其期望值E （X）定义为E(X)=X1*P(X1)+X2*P(X2)+...+Xn*P(Xn)，其中P(Xi)为结果Xi发生的概率。