控制系统--第四章 时间响应

s
n
n 2
s
1
n
1 1 nt ent
（t≥0）
第四章 时间响应
（3） >1（过阻尼）
xo t
L1
1 s
L1
s
n
A1
n
L1
A2
2 1
s n n
2 1
式中
A1 2
1
2 1
2 1
A2 2
1
2 1
2 1
xo t
1 2
1
2 1
e 2 1 nt
t
L1
1 s
L1
s
s n
n 2
d2
L1
1 2
s
n 1 n
2
2 d2
或
1
e
nt
c
os
d
t
1 2
s
in
d
t
（t≥0） （4.4）
xo t 1
e nt
1 2
s in d t
arctan
1 2
（t≥0） （4.5）
（2） ＝1（临界阻尼）
xo t
L1
1 s
sin 5.24t
第四章 时间响应
4.3.3 二阶系统响应的性能指标
二阶系统的性能指标以系统在欠阻尼状态下的
单位阶跃响应形式给出
xo t
上升时间tr 峰值时间tp
Mp 1
Δ=5%或2%
最大超调量Mp
调整时间ts
0 tr
t
振荡次数N
tp
ts
图4.8二阶系统响应的性能指标
第四章 时间响应
（1）上升时间tr
微分方程
T
dxo t
dt
xo
t
xi
t
传递函数
Gs
X o s X i s
1 Ts 1
式中，T为一阶系统的时间常数，反映了系统的
固有特性，称为一阶系统的特征参数。
第四章 时间响应
4.2.1 一阶系统的单位脉冲响应
系统在单位脉冲信号作用下的输出称为单位脉
冲响应。
当一阶系统的输入信号xi t (t) 时，
1
2 1 n
2
n 2
1
e
2 1 nt
e
21nt （t≥0）
（4） ＝0（无阻尼）
xo
t
L1
n
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s
2
n n2
n
sin
nt
（t≥0）
第四章 时间响应
欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振
荡曲线， 愈小，衰减
愈慢，振荡 d
频率愈大。故
xo t
1.0 n
0.8
欠阻尼系统又 0.6
过程时间较长。
第四章 时间响应
【例4.1】 设单位反馈系统的开环传递函数为
GK
(s)
2s 1 s2
试求该系统单位阶跃响应和单位脉冲响应。
【解】系统闭环传递函数为
G(s)
X o s X i s
2s 1
s 12
1.当单位阶跃输入时，
xi
t
1t
，X
i
s
1 s
，则
X o s
GsXi s
2s 1
s 12
则
Xi s L t 1
对上式进行拉氏逆变换得
xo
t
L1 X
o
s
L1
1 Ts
1
则
xo
t
1 T
1t
eT
（t≥0） （4.1）
第四章 时间响应
由一阶系统的单位脉冲响应曲线可以得出:
xo t
1. 响应曲线是一条单调下降 1
的指数曲线，初值为 1
T
1
T
斜率
T2
当t趋于无穷时，其值趋
0.368 1
【解】系统闭环传递函数为
G(s)
Xo s Xi s
s2
42.3 7.69s 42.3
s2
6.52 2 0.592 6.5s
6.52
其中，n =6.5，＝0.592，则
d n 1 2 6.5 1 0.5922 5.24
第四章 时间响应
1 .当单位阶跃输入时，xi t 1t
X
i
s
1 s
由此可见，随着阻尼比 取值的不同，二阶系统 的特征根也不同。
（1）当0< <1时，为欠阻尼系统，特征根为一对
共轭复数，即系统具有一对共轭复数极点
s1,2 n jn 1 2 n jd
第四章 时间响应
式中，d n 1 2 ，称为二阶系统的有阻尼固有 频率。
（2）当 ＝1时，为临界阻尼系统，特征根为两个相
T
于零，故稳态分量为零；
xo
t
1 T
et
/T
0
T
2T
3T
t
2. 指数曲线衰减到初值的2％之前的过程定义为
过渡过程，相应的时间为4T，此时间称为过渡
过程时间或调整时间;
3. 时间常数T愈小，调整时间愈短。说明系统的 惯性愈小，对输入信号反应的快速性能愈好。
第四章 时间响应
4.2.2 一阶系统的单位阶跃响应 系统在单位阶跃信号作用下的输出称为单位
与一阶系统一样，二阶系统在单位脉冲信号作用
下的输出称为单位脉冲响应。当输入信号 xi t (t)
时，Xi s L t 1 ，则
Xo s
Gs X i
s
s2
n2 2ns
n2
1
第四章 时间响应
上式取拉氏逆变换后得到响应
xo
t
L1 X
o
s
L1
s
2 n
n 2
d
2
（1）0< <1（欠阻尼）
0 t0
xi
(t)
At
t0
A
o
t
第四章 时间响应
式中，A为常数，当A=1时，称为单位斜坡信号，
用 r(t) 表示。
单位斜坡信号的拉氏变换为
4. 抛物线信号
Lrt
1 s2
抛物线信号表示输入变量是等加 Xi(t)
速度变化的，也称加速度信号，
xi
(t)
1 2
0 At2
t0 t0
A/2
o
t
第四章 时间响应
d为频率的衰减正 1.0
弦振荡过程，且随
0.8 0.6
1.0
着阻尼 的减小， 0.4
2.0
其振荡特性愈加强 0.2
烈，衰减快慢取决
0
ωnt
2
4
6
8 10 12
于衰减指数 d ；无阻尼时，响应呈等幅振荡；临
界阻尼时，响应为单调上升的指数曲线，过阻尼
时，响应也是一条单调上升的指数曲线，但其响
应速度比临界阻尼时缓慢，系统没有超调，过渡
阶跃输入信号表示参考输 Xi(t)
入量的一个瞬间突变过程，
A
0 t 0
xi
(t
)
A
t0
o
t
第四章 时间响应
式中，A为常数，当A=1时，称为单位阶跃信号， 用 u(t) 表示。
单位阶跃信号的拉氏变换为
3. 斜坡信号
Lut 1
s
斜坡信号表示由零值开始随时 Xi(t) 间t作线性增长，也称恒速信号，
第四章 时间响应
第四章 时间响应的时域分析
本章主要内容：
4.1 概述 4.2 一阶系统的时间响应 4.3 二阶系统的时间响应
4.4 系统稳态误差分析
第四章 时间响应
4.1 概述
时域分析法 时域分析法就是根据系统的微分方程，对
一个特定的输入信号，通过拉氏变换，直接解 出系统的时间响应，再根据响应的表达式及对 应曲线来分析系统的性能，如稳定性、准确性、 快速性等。
1 s
1 s
s
1
12
s
1 1
单位阶跃响应
xo t 1 tet et
2.当单位脉冲输入时
xot
d dt
1
tet
et
2et tet
第四章 时间响应
【例4.2】图所示的位置伺服系统为一单位反馈系 统，其开环传递函数为
GK
(s)
5.5 s(0.13s
1)
，
求该系统单位阶跃响应和单位脉冲响应。
第四章 时间响应
4.1.1 时间响应及其组成
时间响应 在输入信号作用下，系统输出随时间的变
化过程称为系统的时间响应。
时间响应
xo t
稳态响应 瞬态响应 xit
o
瞬态响应
t 稳态响应
图4.1 系统的时间响应
第四章 时间响应
4.1.2 典型试验信号
典型的试验信号一般应具备两个条件： ①信号的数学表达式简单，便于数学上的
xo t L1
n 1 2
s
n 1
n 2
2
d
2
n 1 2
e nt
sin d t
（t≥0）
（4.3）
（2） ＝1（临界阻尼）
xo
t
L1
s
2 n
n
2
n2te nt
（t≥0）
第四章 时间响应
（3） >1（过阻尼）
xot 2
n
L1
2 1 s
1
L1
2 1 n s
X
i
s
Lut
1 s
则
Xo s
GsXi s
s2
2 n
2ns
n2
1 s
X o s
1 s
s n
s 2 n
jd s n
jd
1 s
s
s 2 n
n 2
2 d
拉氏逆变换后得到响应
xo
t
L1 X
o
s
L1
1
s
s
s 2n
n 2
d2
第四章 时间响应
（1）0< <1（欠阻尼）
xo
式中，A为常数，当A=1时，称为单位抛物线信号。 单位抛物线信号的拉氏变换为
L
1 2
t
2
1 s3
5. 正弦信号
用正弦函数作为输入信号，
xi
t
A
0 sin
t
t0 t0
正弦信号主要用于求取系统的频率响应，以此分
析和设计控制系统。
第四章 时间响应
4.2 一阶系统的时间响应
能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统，它 的典型形式是一阶惯性环节，
1
2 1
2 2 1
e 2 1 nt
2 1
（4） ＝0（无阻尼）
（t≥0）
xo
t
L1
1
s
s2
s
n2
1
cosnt
（t≥0）
第四章 时间响应
欠阻尼系统的单位
xo t
2.0
=0
阶跃响应由两部分组 1.8
成：稳态分量为1；
1.6 1.4
瞬态分量是一个以 1.2
0.1 0.3 0.5 0.7
=0.1 0.3
0.4
称为二阶振荡 0.2
0.5 0.7 0.9
系统，其幅值 0 -0.2
衰减的快慢取 -0.4
-0.6
决于衰减系数 -0.8
n 。
-1.0
2
4
6
ωnt 8 10 12
图4.6 二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应
第四章 时间响应
4.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的输入信号 xi t u(t) 时，
等的负实数，即系统具有两个相等的负实数极点
s1,2 n
（3）当 >1时，为过阻尼系统，特征根为两个不相
等的实数，即系统具有不两个相等的负实数极点
s1,2 n n 2 1
第四章 时间响应
（4）当 ＝0时，为无阻尼系统，特征根为一对共轭
纯虚数，即系统具有一对共轭虚数极点
s1,2 jn
4.3.1二阶系统的单位脉冲响应
xo(t) 0
0.6 32
0.8 65
0.9 5
0.9 82
0.9 93
…
1
一阶系统的单位阶跃响应曲线，
xo t
1 0.632
斜率 1
T
xo t 1 et /T
0
T
t
第四章 时间响应
由此可以得出: 1.单位阶跃响应曲线是一条单调上升的指数曲线，
稳态值为1。瞬态响应过程平稳，无振荡； 2.当t＝T时，响应为稳态值的63.2%，因此用实验 方法测出响应曲线到达稳态值的63.2%时所用的时 间即为惯性环节的时间常数T； 3.当t＝0时，响应曲线的切线斜率等于1/T，这是确 定时间常数T的另一种方法； 4.当t≥4T时，响应曲线已达到稳态值的98％以上, 工程上认为瞬态响应过程结束，系统的过渡过程
，则
X o s
GsXi s
s2
42.3 7.69s
42.3
1 s
由式（4.4）得
xo
t
1
e
nt
cosd
t
1 2
sin
d
t
1 e3.85t cos5.24t 0.73 sin 5.24t
2 .当单位脉冲输入时，由式（4.3）得出
xo t
n 1 2
e nt
sin dt
8e3.85t
Gs
Xo s Xi s
s2
n2 2n s
n2
n 为无阻尼固有频率； 为阻尼比。
n和 是二阶系统的特征参数，它们表明了二 阶系统本身与外界无关的特性。
第四章 时间响应
令系统传递函数的分母等于0，得到二阶系统的特 征方程：
s2 2 n s n2 0
此方程的两个特征根是 s1,2 n n 2 1
单位阶跃信号 存在积分和微分关系
单位斜坡信号
单位阶跃响应 存在积分和微分关系
单位斜坡响应
xo
t
L1 X
o
s
1
1
eT
t
xo
t
t
T
1
1
eT
t
第四章 时间响应
4.3 二阶系统的时间响应
能够用二阶微分方程描述的系统为二阶系统。
微分方程
d 2 xo t
dt 2
2
n
dxo t
dt
2 n
xo
t
2 n
xi
t
传递函数
阶跃响应。
当一阶系统的输入信号 xi t u(t) 时，
X
i
s
Lut
1 s
则
X
o
s
Gs
X
i
s
1 Ts
1
1 s
上式取拉氏逆变换后得
xo t
L1 X
o
s
1
1
eT
t
（t≥0）
（4.2）
第四章 时间响应
根据上式可得出表4.1的数据，
表4.1 一阶系统的单位阶跃响应
t 0 T 2T 3T 4T 5T … ∞
响应曲线从原始工作状态出发，第一次达到稳
态值所需要的时间定义为上升时间。对于过阻尼
系统，上升时间定义为响应曲线从稳态值的10％
上升到90％所需的时间。
由式（4.5）知
xo t 1
e nt
1 2
sin
d
t
arctan
第四章 时间响应
时间＝4T。这与单位脉冲响应的过渡过程时间相 同，说明时间常数T反映了一阶系统的固有特性， T愈小，系统的惯性愈小，响应过程愈快。
4.2.3 单位脉冲响应和单位阶跃响应的关系
单位脉冲响应 存在积分和微分关系
单位阶跃响应
单位脉冲信号 存在积分和微分关系
单位阶跃信号
第四章 时间响应
如果系统的输入信号存在积分和微分关系，则系 统的时间响应也存在对应的积分和微分关系.
分析和处理； ②信号易于在实验室中获得。
1. 脉冲信号
Xi(t)
脉冲信号可视为一个持续 A/ε
时间极短的信号，
0 t 0,t
xi
(t
)
A
/
0t
0ε
t
第四章 时间响应
式中，A为常数，当A=1，ε→0时，称为单位脉
冲信号，用 (t) 表示。
单位脉冲信号的拉氏变换为
L t 1
2. 阶跃信号