第 三 章 控制系统的时间响应分析

图3.15 随动系统方块图
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4.1.2 典型二阶系统瞬态性能分析
(s)
C (s) R(s)

K s (Ts 1) K
（3.4.4）
其中，K 为系统的开环增益，T 为执行电动机的时间常数。 由（3.4.4）式可以求得系统的运动方程
T
d 2 c (t ) dt 2
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4.1 瞬态性能指标 瞬态响应指的是一个控制系统在过渡过程中的状态和 输出的行为。所谓过渡过程，是指系统在外力的作用下 从一个稳态转移到另一个稳态的过程。下面我们着重分 析零状态下，线性定常连续系统受到单位阶跃函数输入 作用时，输出响应的瞬态性能指标。在控制系统中，把 阶跃信号当作对系统性能考验最为严重的输入信号。若 系统对该类输入信号的响应良好，则该系统对其它信号 的响应一般也是良好的。为了定量地说明控制系统对单 位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用一些瞬态性 能指标。 一个稳定的线性定常连续系统对单位阶跃函数的响应 通常有衰减振荡和单调变化两种类型。具有衰减振荡的 瞬态过程如图3.11所示。
（3.3.4）
其中，A为阶跃函数的阶跃值（见图3.2）。A＝1的阶 跃函数为单位阶跃函数，记为1(t)，其一次微分为 (t )
图3.2 阶跃函数
3.3 典型输入信号
单位阶跃函数的拉氏变换为
Lr (t )
1 s
3．斜坡函数（或速度阶跃函数）
斜坡函数的定义为 0 r (t ) Bt
t T
e
(t 0 )
t T
1 e
t 0
t T
t T Te
t
2
t 0
t T
1 2
1 2
t Tt T (1 e
2 2
) t0
等价关系： 1) 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响 应的导； 2) 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4 控制系统瞬态性能分析
根据响应曲线，我们可以得到一阶系统可以实现的瞬态性能指标 以及定量描述。 首先分析快速性。 描述系统的快速性使用的是时间指标。因为一阶系统的运动是单 调的，只考虑调节时间 ts 即可。一阶系统只有一个系统参数T，即 系统时间常数。当以时间常数T为参变量来考查系统的运动时，由 图3.12(c)，可以得到下列结论：
1
1
显然，当 0时，实际脉冲
r(t)
1
。 (t ) 的极限即为理想脉冲 (t )

图3.1 实际单位脉冲函数
t
3.3 典型输入信号
单位脉冲函数的拉氏变换为1，即 L (t ) 1
2．阶跃函数
阶跃函数的定义为
0 t 0 r (t ) A t 0
常用的典型输入信号有下面几种：
3.3 典型输入信号
1．脉冲函数
脉冲函数的定义为 r (t ) A (t ) （3.3.1） 其中，A为脉冲函数的阶跃值，A=1的阶跃函数称为 单位阶跃函数，是狄拉克－函数，它的定义为
t0 0 (t ) t0 (t ) d t 1
（3.3.7）
其中，A为正弦函数的阶跃值；为频率（见图3.5）。 A＝1的正弦函数为单位正弦函数。
图3.5 正弦函数
3.3 典型输入信号
单位正弦函数的拉氏变换为
Lr (t )

s2 2
通常，我们用单位阶跃函数作为典型输入信号，则可 以在一个统一的基础上对各种系统的特性进行比较和研 究。
3.4 控制系统瞬态性能分析
对于任何一个控制系统，如果其数学模型及初始条件 、外界输入给定，我们总可以通过求出其时域响应表达 式来对其瞬态响应特性和稳态响应特性进行分析。粗略 地说，在控制系统的全部响应过程里，系统的瞬态性能 表现在过渡过程完结之前的响应中。系统性能的分析， 又以准确的定量方式来描述而被称为系统的性能指标。 在系统分析中，无论是本章介绍的时域分析法，还是后 面各章的其它系统分析方法，都是紧密地围绕系统的性 能指标来分析控制系统的。 需要指出的是，只有稳定系统，对于其瞬态特性和稳 态特性的研究才是有意义的。 本节将讨论控制系统的瞬能性能分析，下一节介绍稳 态性能分析。
3.4 控制系统瞬态性能分析
图3.11 具有衰减振荡的单位阶跃响应
根据图中所显示的响应特性，我们来定义常用的瞬态性能指标，
3.4 控制系统瞬态性能分析
h(t)
σ
1
超调量
允 许 误 差± Δ
0.9
td
0.5
0.02或 0.05
0.1 0
tr tp ts
t
3.4 控制系统瞬态性能分析
延迟时间t d （Delay Time） ： 响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 上升时间t r （Rising Time ）: 响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间 (对于无振荡系统)。上升时间越短，响应速度越快 。 对于震荡系统，也可定义为由零开始，首次达到稳态 值所需的时间。
3.2 时间响应及其组成
（从外作用力与系统本身固有特性对微分方程的解的 影响分析）。（讲解）
3.3 典型输入信号
在分析和设计控制系统时，我们需要有一个对各种控制 系统性能进行分析的基础。这种基础可以这样来实现：预 先规定一些特殊的试验输入信号（我们称之为典型输入信 号），然后比较各种系统对这些输入信号的响应。(输入 分为确定性信号和非确定性信号)。
峰值时间t p （Peak Time）： 响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。
3.4 控制系统瞬态性能分析
调节时间 t s（Settling Time） ： 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需 的最短时间。用稳态值的百分数（通常取 5%或 2%） 作为误差范围;
超调量 Mp或σ% （Maximum Overshoot） % ： 超出稳态值（为1）的最大偏离量Mp
（3.3.2）
工程中常常用实际脉冲近似地表示理想脉冲。如图3.1 所示，实际的单位脉冲 (t ) 的数学关系为
0, t 0与 t 时 (t ) 1 （3.3.3） ， t 时 0
3.3 典型输入信号
其中,


(t ) d t
许多控制系统的设计准则是建立在这些信号的基础上。因
为系统对典型输入信号的响应特性与系统对实际输入信号 的响应特性之间存在一定的关系，所以采用典型输入信号 来评价系统性能是合理的。选择典型输入信号的原则是：
1) 反 映 最 恶 劣 的 工 作 情 况 ； 2) 反 映 实 际 的 工 作 情 况 ； 3) 在数学上和实验中比较容易得到。
3.1 时域分析的提法
系统产生瞬态响应的原因是，由于系统包含一些储 能元件，所以当输入信号作用于系统时，输出量不能立 即跟随输入信号而变化。而是在系统达到稳态响应之前 逐渐趋近于稳态响应的变化过程。 值得指出的是，通常人们只讨论稳定系统的时域响 应，而且往往通过在典型输入信号作用下系统输出的运 动状况对系统的运动性能进行分析。
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4.1. 1 一阶系统瞬态性能分析 典型一阶系统的结构如图3.12（a）所示。在物理上，这个系统可 以表示一个R－C电路，也可以表示一个热系统。其闭环传递函数为
(s)
T 1
C (s) R(s)

1 Ts 1
（3.4.1）
其中，称 K 为系统的时间常数，－K为系统的极点 值。凡是具有（3.4.1）式形式传递函数的系统为一阶惯性 系统，它在S平面上的极点分布为 s K 1 , 如图3.12（b T ）所示。 一阶系统的单位阶跃响应可由下式求出

dc (t ) dt
Kc (t ) Kr (t )
（3.4.5）
控制系统的输出信号与输入信号之间的关系，凡可用如（3.4.5）式 的二阶微分方程描述的，均称为二阶系统。上述随动系统就是一个二 阶系统。
4T ts 3T
(取 ＝2 ) (取 ＝5)
（3.4.3）
另外，我们还可以根据时间常数T去度量系统输出的数 值。例如,t=T时，c(t ) 0.632 ，而当t分别等于2T、3T、4T 时，c (t ) 数值将分别达到稳态值的86.5％，95％和98％。 根据这一特点，可以用实验方法测定一阶系统的时间常 数，或者判定所测系统是否属于一阶系统。
第三章 控制系统的时间响应分析
线性系统的时域分析法 引言 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析
3.1 时域分析的提法
3.1.1 时域分析的基本思想
时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，是通过系统在典型信号作用 下的时域响应，来建立系统的结构、参数与系统的性能的定量关系。
3.1.2 系统的时域响应
（3.3.6）
其中，C为加速度阶跃值（见图3.4），C＝1的抛物线 函数为单位抛物线函数，其一次微分为单位斜坡函数。
图3.4 抛物线函数
3.3 典型输入信号
单位抛物线函数的拉氏变换为
Lr (t )
5．正弦函数 正弦函数的定义为
1 s3
0 r (t ) A sin t
t0 t0
通常人们关心的和便于直观分析的往往是系统对于外加作用的反 应情况，也就是当系统受外加作用所引起的输出（即x(t)）随时间 的变化规律，我们称其为系统的“时域响应”。系统的时域响应由 两部分组成：瞬态响应和稳态响应。（这是从稳定性角度分析）。 瞬态响应是指在输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到 达到一个新的稳定状态的响应过程（亦称为动态响应），又称过渡 过程。它还可以细分为状态响应和输出响应，通常用瞬态性能指标 描述，它反映了系统的品质。 稳态响应是指当时间t趋于无穷大时系统的输出响应，它反映了 系统的精度。
t0 t0
（3.3.5）
其中，B为速度阶跃值（见图3.3）。B＝1的斜坡函数 为单位斜坡函数，其一次微分为单位阶跃函数。
图3.3 斜坡函数
3.3 典型输入信号
单位斜坡函数的拉氏变换为
Lr (t ) 1 s2
4．抛物线函数（或加速度阶跃函数） 抛物线函数的定义为 t0 0 r (t ) 1 2 Ct t0 2
C (s) 1 Ts 1 R(s) 1
t T
Ts 1 s


1
c (t ) L1 C ( s ) 1 e
,t 0
（3.4.2）
3.4 控制系统瞬态性能分析
图3.12（c）为一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线。
(a)
(b)
(c)
图3.12 一阶系统及其单位阶级阶跃响应曲线
3.4 控制系统瞬态性能分析
一阶系统的单位脉冲响应
3.4 控制系统瞬态性能分析
一阶系统的单位斜坡（速度）响应
3.4 控制系统瞬态性能分析
一阶系统的单位加速度响应
3.4 控制系统瞬态性能分析
闭环传递
函数
输入信号
时域
输出响应
ess
0 0 T 无穷大
(t )
1 TS 1
t 1(t)
1 T

%
h (t p ) h ( ) h ( ) 100 %
⑥ 稳态误差e ss ： 期望值与实际值之差。
3.4 控制系统瞬态性能分析
tr
ts
பைடு நூலகம்
或
tp
评价系统的响应速度；
同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标，从整体 上反映系统的快速性。 直接反映了系统的相对稳定性。
%
ess 稳定性能指标和抗干扰能力。越小，系统精度越。
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4.1.2 典型二阶系统瞬态性能分析 二阶系统的研究具有重要意义，它不仅在工程实际中比较常见，而 且许多高阶系统在一定的条件下也可以近似为二阶系统。二阶系统的 单位阶跃响应有振荡和非振荡两种情况，可以满足不同系统的要求。 此外，工程上还采用所谓二阶系统的最佳工程参数作为设计系统的依 据。 一、典型二阶系统的传递函数 设有一随动系统如图3.15所示，其闭环传递函数为
3.4 控制系统瞬态性能分析
其次分析平稳性。 平稳性的指标为超调量δ％。因为一阶系统是没有超调量的，因 此认为其平稳性是好的。 最后来看准确性。 由于时间趋于无穷大时，输出响应可以趋于稳态值。虽然在理论 是永远达不到的，但是在给定了允许误差范围后，即认为过了调节 时间 ts 之后，系统就进入了稳态，所以一阶系统的准确性也是可以 满足的。