数列求和方法及巩固

数列求和的方法1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq ⎧=⎪=-⎨-=≠⎪--⎩常见的数列的前n 项和：123+++……+n=(1)2n n +， 1+3+5+……+(2n-1)=2n2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++，3333123+++……+n =2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦等. 2、倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。

如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

这一种求和的方法称为倒序相加法.例1、 已知函数()xf x =（1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求128910101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，1928551101010101010f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭128910101010S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令 982110101010S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 两式相加得：192991010S f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以92S =.小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.针对训练3、求值：222222222222123101102938101S =++++++++ 3、错位相减法：类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。

若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.若n n n a b c =•，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令 112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++则n qS = 122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式相减并整理即得例2、（2008年全国Ⅰ第19题第（2）小题，满分6分） 已知 12n n a n -=•，求数列｛a n ｝的前n 项和S n . 解：01211222(1)22n n nS n n --=+++-+ ①12121222(1)22n n n S n n -=+++-+ ②②—①得01121222221n n n n n S n n -=---=-+小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{}n c 的公比q ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和的公式求和. 针对训练4、求和：()23230,1n nS x x x nx x x =++++≠≠4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。

适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等。

用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++（21k=，特别地当1k ==例3、数列{}n a 的通项公式为1(1)n a n n =+，求它的前n 项和n S解：1231n n n S a a a a a -=+++++()()1111112233411n n n n =+++++⨯⨯⨯-+=11111111112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++ 小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同. 针对训练5,,1n n ++的前n 项和n S .5、分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例4、求和：()()()()123235435635235n n S n ----=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯解：()()()()123235435635235n n S n ----=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯ ()()123246235555n n ----=++++-++++()2111553113114515nn n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-⨯=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.针对训练6、求和：()()()()23123n n S a a a a n =-+-+-++-基本练习1.等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221na a a a ++++ ＝________________. 2.设1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--，则n S ＝_______________________.3.1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+ .4.1111...243546(1)(3)n n ++++•••++=__________ 5. 数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++的通项公式n a = ，前n 项和n S =6;,212,,25,23,2132 n n -的前n 项和为_________ 提高练习1．数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则=++++20083211111a a a a ( ) A ．20094016B ．20092008C ．10042007D ．200820072．数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，若其首项满足a 1＋b 1＝5，a 1＞b 1，且a 1，b 1∈N *，则数列{n b a }前10项的和等于 ( )A ．100B ．85C ．70D ．55 3．设m =1×2+2×3+3×4+…+(n -1)·n ，则m 等于 ( )A.3)1(2-n nB.21n (n +4)C.21n (n +5)D.21n (n +7)4．若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ，则S 17+S 33＋Ｓ50等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.25．设{a n }为等比数列,{b n }为等差数列，且b 1=0,c n =a n +b n ,若数列{c n }是1,1,2,…,则{c n }的前10项和为 ( ) A.978 B.557 C.467 D.9796．1002-992+982-972+…+22-12的值是 ( ) A.5000 B.5050 C.10100 D.202007．一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 . 8．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .9．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二、三、四项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对任意自然数n 均有1332211+=++++n nn a b c b c b c b c 成立． 求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2003的值．10．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n =2an +(-1)n ,n ≥1.(1)求证数列{a n +32(-1)n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对任意的整数m >4,有.8711154<+++m a a a基础练习答案1、413n -2、(1)nn -⋅ 3、31n n + 4、1111122323n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭5、121;22n n n +--- 62332n nn S +=-。

提高练习答案1．解：∵a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，∴a n ＋1＝a n ＋a 1＋n ＝a n ＋1＋n ，∴利用叠加法得到：2)1(+=n n a n ，∴)111(2)1(21+-=+=n n n n a n ， ∴)200911(2)20091200813121211(211112008321-=-++-+-=++++ a a a a 20094016=． 答案：A.2．解：∵a n ＝a 1＋n －1，b n ＝b 1＋n －1 ∴n b a ＝a 1＋b n －1＝a 1＋(b 1＋n ―1)―1＝a 1＋b 1＋n －2＝5＋n －2＝n ＋3则数列{n b a }也是等差数列，并且前10项和等于：85102134=⨯+ 答案：B.3．解：因为 a n =n 2-n .，则依据分组集合即得. 答案;A.4．解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即： S n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+)(2)(21为偶为奇n n n n答案：A5．解 由题意可得a 1=1,设公比为q ,公差为d ,则⎩⎨⎧=+=+2212d q d q∴q 2-2q =0,∵q ≠0,∴q =2,∴a n =2n -1,b n =(n -1)(-1)=1-n,∴c n =2n -1+1-n,∴S n =978. 答案：A6．解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050. 答案：B7． 解： 设此数列{a n },其中间项为a 1001,则S 奇=a 1+a 3+a 5+…+a 2001=1001·a 1001,S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a 2000=1000a 1001. 答案:100010018．解： 原式=.6326)12()1(23nn n n n n +-=-•-答案：61;21;31-9．解：(1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2(d ＞0)解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，可得b n ＝3n －1 (2)当n ＝1时，c 1＝3；当n ≥2时，由n n nna abc -=+1，得c n ＝2·3n －1， 故⎩⎨⎧≥⋅==-).2(32),1(31n n c n n故c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2003＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×32002＝32003． 10．(1)证明 由已知得a n =S n -S n -1=2a n +(-1)n -2a n -1-(-1)n -1(n ≥2),化简得 a n =2a n -1+2(-1)n -1(n ≥2),上式可化为 a n +32(-1)n =2［a n -1+32(-1)n -1］(n ≥2),∵a 1=1,∴a 1+32(-1)1=31. 故数列{a n +32(-1)n }是以31为首项，公比为2的等比数列.(2)解 由（1）可知a n +32(-1)n =321-n .∴a n =31×2n -1-32(-1)n =32［2n -2-(-1)n ］,故数列{a n }的通项公式为 a n =32［2n -2-(-1)n ］.(3)证明 由已知得ma a a 11154+++ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++---m m m m )1(21631331151913123)1(21121121232232=)20110151311(21)21111151311(21 +++++<+++++=.871201051201041513)21(511513)21525234(21211)211(513421555=<=<⨯-=⨯-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---m m m 故)4(8711154><+++m a a a m。