排列组合二项式知识点及例题

排列组合

分类计数原理：完成一件事，有n 种不同的方法，在1类办法中有m 1种不同的办法，在第2类办法中有m 2种不同的方法······在第n 种办法中有m n 种不同的方法。那么完成这件事共有N= m 1 +m 2+······ m n 种不同的方法 分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的打方法·····做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N= m 1 ×m 2×······×m n 种不同的方法

1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．

2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m

n A 表示 3．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L （,,m n N m n *∈≤）

4 阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．

5．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 6 组合概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合

7．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m

n C 表示． 8．组合数公式：(1)(2)(1)!m m

n n

m m A n n n n m C A m ---+==L 或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 9.组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；

10.组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C C n 0+C n 1+…+C n n =2n 排列组合问题的解题策略

一、相临问题——捆绑法

一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决

例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

二、不相临问题——选空插入法

若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解决

例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？

三、复杂问题——总体排除法

在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.

四、特殊元素——优先考虑法

对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4．1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法有多少种．

例5．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种.

五、多元问题——分类讨论法

对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

例6．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）

A．42 B．30 C．20 D．12

六、混合问题——先选后排法

对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．

例7．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）

例8．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）

A．24种B．18种C．12种D．6种

七．相同元素分配——档板分隔法

例9．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。

解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有种插法，即有15种分法。八．特殊元素（位置）的“优先安排法”：

对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。

例10、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。

A．24个B.30个 C.40个 D.60个

九．总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。如例10中，也可用此法解答:五个数字组成三位数的全排列有A53个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要排除，故有A53--3A42+ C21A31=30个偶数。

六．顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

例11、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？

分析：不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66 ÷A33 =120种。(或A63种)

例12、4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。

解：先在7个位置中任取4个给男生，有A74 种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有A74 种排法。(也可以是A77 ÷A33种)

练习题：