高考真题分类汇编——排列组合二项式定理.doc
专题14 排列组合、二项式定理--2020届全国卷高考数学真题分类汇编含答案
专题14排列组合、二项式定理
研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文的排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。
排列组合二项式定理——近3年排列组合二项式定理考了7道小题，（3道排列组合，4道二项式定理）二项式定理出现较多，这一点很合理，因为排列组合可以在概率统计和分布列中考查，排列组合出现的考题难度不大，无需投入过多时间（无底洞），而且排列组合难题无数，只要处理好两个理（分类加法原理、分步乘法原理）及分配问题，掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通向问题”出现较多。该项内容对文科考生不作要求。
1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理15））
从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）
【答案】见解析。
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合．
【分析】方法一：直接法，分类即可求出，
方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．
【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4
根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，
专题11 排列组合与二项式定理2023年高考真题和模拟题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)
专题11 排列组合与二项式定理
（新课标全国Ⅰ卷）1．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．
（新课标全国Ⅰ卷）2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A ．4515400200C C ⋅种
B ．2040
400200C C ⋅种 C ．3030400200C C ⋅种 D ．4020400200C C ⋅种 （全国乙卷数学(理)）3．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A ．30种
B ．60种
C ．120种
D ．240种
（全国甲卷数学（理））4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A ．120
B ．60
C ．40
D ．30 （新高考天津卷）5．在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．
1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）()5
2x x y -+的展开式中52x y 的系数为（ ） A ．10- B ．10 C ．30- D ．30
2．（2023·河南·校联考模拟预测）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（ ）
高考数学试题分类汇编--排列组合二项式定理
B）
A． 6 种
B． 12 种
C． 24 种
D． 48 种
3. （全国二 9） (1 x ) 4 (1 x ) 4 的展开式中 x 的系数是（ A ）
1 23 3 12 2 31
A． 4 B． 3
C ．3
D． 4
4. （安徽卷 7）设 (1 x )8 a0 a1x
a8 x 8 , 则 a0, a1, , a8 中奇数的个数为（ A
）
A． 2
B． 3
C． 4
D． 5
5. （安徽卷 12） 12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中
抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是
(C)
A．
26
C8 A6
22
B． C8 A3
22
C ． C8 A6
22
D． C8 A5
6. （福建卷 9) 某班级要从 4 名男士、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要
求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为
A
A.14
B.24
C.28
D.48
7. （湖北卷 9）从 5 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的比赛，其中至
少有一名女生入选的组队方案数为
A.100
B.110
2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题13排列组合与二项式定理含解析
•22+2
•23＝200．
的常数项为 25，则实数 a 的值为
13.(2021•安徽马鞍山三模•理 T6．)
（
•（2x）3y2+
）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
【答案】D．
【解析】（2x﹣1）6 的展开式的通项公式为 Tr+1＝（﹣1）r•26 r•
﹣
的常数项为（﹣1）5•2•
所以
•x6 r，
﹣
a+（﹣1）6•20
法种数为( )
A. 36
B. 48
C. 72
D. 96
【答案】C．
【解析】根据题意，分 2 步进行分析：
①对于区域 ABE，三个区域两两相邻，有�34 = 24 种涂色的方法，
②对于区域 CD，若 C 区域与 A 颜色相同，D 区域有 2 种选法，
若 C 区域与 A 颜色不同，则 C 区域有 1 种选法，D 区域也只有 1 种选法，
A．﹣32
B．﹣16
C．10
）
D．64
【答案】A．
【解析】在（x+2y﹣3z）7 的展开式中，通项公式为
．
若展开式中的项不含 y，则 r＝65 展开式中的所有项．
令 x＝z＝1，得这些项的系数之和为（﹣3）5＝﹣32．
5.(2021•江西上饶三模•理 T10．)现有语文、数学、英语、物理、化学、生物各 1 本书，把这
高考数学试题分类汇编—排列组合与二项式定理
高考数学试卷分类汇编——排列组合与二项式定理
一、选择题
1.<2009广东卷理）2018年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有b5E2RGbCAP
A. 36种
B. 12种
C. 18种
D. 48种p1EanqFDPw
【解读】分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A.
2.<2009浙江卷理）在二项式的展开式中，含的项的系数是( >
A． B．
C． D．
答案：B
【解读】对于，对于，
则的项的系数是
3.<2009北京卷文）若为有理数），则
< ）DXDiTa9E3d
A．33 B．29 C．23
D．19
【答案】B
运算的考查.
∵
，
由已知，得，∴.故选B.
4.<2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位
偶数的个数为 < ）RTCrpUDGiT
A．8 B．24 C．48
D．120
【答案】C
【解读】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识.属于基础知识、基本运算的考查.
2和4排在末位时，共有种排法，
其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排
法，
于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有
选C.
5.<2009北京卷理）若为有理数），则
< ）
A．45 B．55 C．70 D．805PCzVD7HxA
【答案】C
运算的考查.
∵
，
由已知，得，∴.故选C.
6．<2009北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字
高考数学试题分类详解排列组合二项式定理
高考数学试题分类详解 排列组合二项式定理
1、（全国1理10）2
1
()n
x x
-的展开式中，常数项为15，则n =
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解．2
1()n x x -的展开式中，常数项为15，则22
3331()()15n n n
n C x x
-=，所以n 可以被3整除，
当n=3时，1
3315C =≠，当n=6时，26
15C =，选D 。 2、（全国1文5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有
A ．36种
B ．48种
C ．96种
D ．192种 解．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不
同的选修方案共有233
44496C C C ⋅⋅=种，选C 。
3、（全国2理10）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种
解．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求
星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有22
5360C A =种，
选B 。 4、（全国2文10）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种
解．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D 。 5、（北京文5）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） Ａ．()
高考数学理试题分类汇编排列组合与二项式定理
高考数学理试题分类汇编排列组合与二项式定
理
Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
2017年高考数学理试题分类汇编：排列组合与二项式定理
1. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人
完成，则不同的安排方式共有（ ）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种 【答案】D
【解析】222
34
236C C A = ,故选D 。 2. (2017年天津卷理) （14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一
个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 【答案】 1080
【解析】4134
54
541080A C C A += 3. ( 2017年新课标Ⅱ文) 11.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽
取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 (D)
A.110
B.15
C.3
10
D.25
4. (2017年新课标Ⅰ) 6．6
2
1(1)(1)x x
+
+展开式中2x 的系数为 A ．15
B ．20
C ．30
D ．35
【答案】C 【解析】621(1)(1)x x +
+展开式中含2x 的项为22442
662
1130C x C x x x
⋅+⋅=，故2x 前系数为30，选C.. 5. (2017年江苏卷)23
已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的
(4年真题推荐)全国高考数学 试题分类汇编 排列、组合及二项式定理
2010排列、组合、二项式定理
1．（2010·陕西高考理科·Ｔ4）5()a
x x
+（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ） （A ）-1 （B ）
1
2
(C) 1 (D) 2 【命题立意】本题考查二项式定理的通项公式的应用及运算能力，属保分题。
【思路点拨】5()a
x x
+⇒5215r r r
r T a C x
-+=⇒523r -=⇒11510 2.a C a =⇒= 【规范解答】选D 552155,(0,1,2,3,4,5)r
r r r r r r a T C x a C x r x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，令523r -=，所以1r =，所以
11510 2.
a C a =⇒=
2．（2010·北京高考理科·Ｔ4）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ） （A ）8289A A （B ）8289A C （C ）8287A A （D ）82
87A C
【命题立意】本题考查排列组合的相关知识。所用技巧：有序排列无序组合、不相邻问题插空法。 【思路点拨】先排8名学生，再把老师插入到9个空中去。
【规范解答】选A 。8名学生共有88A 种排法，把2位老师插入到9个空中有2
9A 种排法，故共有828
9A A 种排法。
【方法技巧】解决排列组合问题常用的方法与技巧：（1）有序排列无序组合；（2）不相邻问题插空法：可以把要求不相邻的元素插入到前面元素间的空中；（3）相邻问题捆绑法。
3．（2010·山东高考理科·Ｔ8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） （A ）36种
排列组合与二项式定理常考小题(20大题型)(练习)(原卷版)-2024年高考数学二轮复习(新高考)
专题19排列组合与二项式定理常考小题
目录
01二项式定理之特定项、三项式问题 (2)
02二项式定理之系数和问题 (2)
03二项式定理之系数最值问题 (3)
04特殊优先与正难则反策略 (4)
05相邻问题与不相邻问题 (4)
06列举法 (4)
07定序问题（先选后排） (5)
08多面手问题 (6)
09错位排列问题 (6)
10涂色问题 (6)
11分组与分配问题 (7)
12隔板法 (8)
13查字典问题 (8)
14分解法模型与最短路径问题 (8)
15构造法模型和递推模型 (10)
16环排与多排问题 (11)
17配对型模型 (11)
18电路图模型 (12)
19机器人跳动模型 (13)
20波浪数模型 (13)
01二项式定理之特定项、三项式问题
1．（2024·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）()4
23a b c --的展开式中2abc 的系数为（）
A ．208
B ．216-
C ．217
D ．218
-2．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）若()()5
42x m x --的展开式中的3x 的系数为600-，则实数m =（）
A ．8
B ．7
C ．9
D ．10
3．（2024·山东青岛·高三青岛二中校考）若8
1
41x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的展开式中共有m 个有理项，则m 的值是（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．（2023·广东江门·统考一模）已知多项式()()()()10
2
10
012101111x a a x a x a x -=+++++++ ，则7a =（）
A ．－960
B ．960
C ．－480
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(排列组合与二项式定理)汇编(附答案)
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(排列组合与二项式定理)汇编
考点01 排列组合综合
1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．
1
4 B ．13
C ．1
2
D ．23
2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A ．120
B ．60
C ．30
D ．20
3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A ．16
B ．13
C ．1
2
D ．23
4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A ．30种
B ．60种
C ．120种
D ．240种
5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A ．4515
400200C C ⋅种 B ．2040
400200C C ⋅种
C ．30
30
400200C C ⋅种
D ．4020
400200C C ⋅种
6．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种
十年高考真题分类汇编(二项式定理)
十年高考真题分类汇编---二项式定理
1．（2020年全国新课标Ⅰ）2
5()()x x y x
y ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ） A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
2．（2019年全国新课标Ⅰ）（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16
C ．20
D ．24 3．（2018年全国卷Ⅰ）522x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 4．（2017年全国新课标1卷）621(1)(1)x x +
+展开式中2x 的系数为 A ．15
B ．20
C ．30
D ．35
5．（2015年全国新课标Ⅰ）()5
2x x y ++的展开式中，52x y 的系数为 A ．10
B ．20
C ．30
D ．60 6．（2013年全国新课标1卷）设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m ＝ A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 7．（2013年全国新课标2）已知(1＋ax )·(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝ A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
8．（2020年全国新课标Ⅰ）262()x x
+的展开式中常数项是_____240_____（用数字作答）．
9．（2017年全国）5(2x +的展开式中，x 3的系数是____10_____.（用数字填写答案） 10．（2015年全国新课标Ⅰ）4()(1)a x x ++的展开式中，若x 的奇数次幂的项的系数之和为32，则a =___3_____．
排列组合与二项式定理江苏真题汇编
排列组合与二项式定理江苏真题汇编
知识定位
排列组合与二项式定理在历年江苏高考的数学试卷中考查的比例不是很大，而且一般考查的难度也不大，基本都是基础题型，而且在近年的考试中，比例还在逐渐减小.
知识梳理
一、高考考点、
这块知识在高考要求里要求达到解释性理解水平。
二、命题思路及命题趋势
高考基本考查基础题型，难度不大。
三、复习的安排
（1）夯实基础，回归课本，注重三基.
（2）做题的时候要有严谨的思考，认真运算。
例题精讲
【试题来源】2015江苏高考数学试题
【题目】袋中有大小形状都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，这2只球颜色不同的概率为______。
【答案】5 6
【解析】这个题目考查“这2只球颜色不同的概率”要分类讨论，比较麻烦，利用正难则
反思想，考虑任取2只球颜色相同的概率为
2
2
2
4
1
=
6
C
P
C
同
，则
5
=
6
P
异
。
【知识点】排列组合与二项式定理江苏真题汇编
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】2014年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
【题目】从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是
【答案】
13
【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有2
4
6C =种取法，其中乘积为6的有1,6和
2,3两种取法，因此所求概率为21
63
P =
=．考查的是古典概型． 【知识点】排列组合与二项式定理江苏真题汇编 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2
【试题来源】2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
【题目】现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 【答案】
排列组合二项式定理含答案
排列组合二项式定理
1． 的展开式中常数项是 （ ） A 、42 B 、—14 C 、 14 D 、—42 C
【解析】解：
37371772173(7)
72
2
7
7
6
77(2(2)(2
(1)()
2
(1)7
2106
2214
r r r
r r
r
r r
r
r r r
r
x T C x C x
x C x
r r T C -+-
-----==-=-∴-=∴=∴=⨯= 的通项公式
2．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有 （） A ．81 B ．12 C ．14 D ．64 2．D 【解析】
试题分析：将3个不同的小球放入4个盒子中有3464=，故选B 考点：本题考查了分步原理的运用
点评：熟练掌握分步原理的概念及运算是解决此类问题的关键，属基础题 3．已知n x x
)1
(
-的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于（） A ．15 B ．—15 C ．20 D ．—20 3．A 【解析】 由已知，n x x
)1
(
-的展开式中只有第四项的二项式系数最大，可得6=n ，又展开式通项为62362
16161)1()()(---+-=-=r r
r r r r r x
C x x C T ，令
062
3=-r
，则4=r ，所以展开式中的常数项为4
64)1(C -，即15.
4．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻，不同的排法共有（ ）
A ．1440种
B ．960种
C ．720种
D ．480种 ．A
【解析】
试题分析：根据题意，由于要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，，2
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1、 [2017. 全国 1] 展开式中的系数为
A ． 15
B ． 20
C ． 30
D ．35
2、[2017. 全国 2] 安排 3 名志愿者完成 4 项工作， 每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，
则不同的安排方式共有（ ）
A ．12 种
B ．18 种
C ．24种
D ．36 种
3、 [2017. 全国 2] 一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地
抽取 100次， 表示抽到的二等品件数，则 D
． 4、 [2017. 全国 3] ( x y)(2 x y) 5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为（）
A ．
B ．
C ． 40
D ．80
5、 [2017. 江苏 ] （ 5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分
别为 200， 400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上
所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．
6、 [2017. 天津 ] 用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字
是偶数的四位数，这样的四位数一共有 ___________个 . （用数字作答）
7、[2017. 山东 ] 为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，
从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出
y 与 x 之间有线性相关关系，
10 10 ? 设其回归直线方程为 ? x i 225, y i y? bx a?，已知 1600, b 4 ，该班某学生的脚长 i 1 i 1
为 24，据此估计其身高为
（A ） 160 （ B ） 163 （ C ） 166 （ D ） 70
8、 [2017. 山东 ] 已知 (1
3x )n 的展开式中含有 X 的系数是 54，则 n =____
9、 [2017. 浙江 ]