用三垂线法求二面角的方法(新)

用三垂线法求二面角的方法

三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB

证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α

∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ⋂PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ⊂平面PAB ∴a ⊥PB

总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直.

三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。

运用三垂线法求二面角的一般步骠：

①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。. ②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。 ③求： 二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。 1、如右图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且1BC CD ==

，AD =①求二面角

C AB

D --的大小；②求二面角B CD A --的大小；

1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥

∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4

π ∴二面角C AB D --的大小为

4

π ②∵AB ⊥面BCD BC CD ⊥ ∴由三垂线定理得CD AC ⊥

∴ACB ∠为二面角B CD A --的平面角 ∵BC CD ⊥

∴BD =

=∵AB ⊥平面BCD ∴AB BC ⊥ AB BD ⊥

∴1AB =

=在Rt ABC ∆中，tan 1AB

ACB BC

∠=

=， ∴二面角B CD A --的大小为

4

π 方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线

AB 、斜线AC 及

其射影BC,。从而得到二面角的平面角为ACB ∠。

A

B

D

C

2．如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E

为VB 的中点．

求二面角A —VB —D 的余弦值．

2 解:取AB 的中点P,连结VP 、DE ，则由题意可知VP ⊥平面ABCD ，∴DA ⊥VP

又 ∵AD ⊥AB ∴AD ⊥平面VAB ∵VAB ∆是正三角形，E 为VB 的中点，∴AE ⊥VB ， ∴由三垂线定理得VB ⊥DE. 所以AED ∠就是所求二面角的平面角. 由已知得3∴7∴21

7

AE COS AED ED ∠=

= 故二面角A —VB —D 21

． 方法点拨：本题的关键是过二面角的一个平面VBD 上一点D 到二面角的另一个平面AVB 的垂线D

则斜线为DE,其射影为AE 从而得到二面角的平面角为AED ∠。,。.

3．一个三棱锥S ABC -的三视图、直观图如图．求二面角S AB C --的正切值．

3 解：由正视图、俯视图知4AC =；

由正视图、侧视图知，点B 在平面SAC 上的正投影为AC 的中点D ，则3BD =， BD ⊥平面SAC ，BD AC ⊥；

由俯视图、侧视图知，点S 在平面ABC 上的正投影为DC 的中点O ， 则2SO =，SO ⊥平面ABC ，SO AC ⊥．如图．

作CH AB ⊥于H ，作//OE CH 交AB 于E ，则OE AB ⊥，

连接SE ，因OE 是SE 在底面ABC 内的射影，而OE AB ⊥，故由 三垂线定理得SE AB ⊥，∴SEO ∠为二面角S AB C --的平面角．

V E A

D B C 2 2 侧视图 2

俯视图

△ABC 中，易求得13BA BC ==， 由△ABO 的面积相等关系：11

22

AO BD AB OE ⨯⨯=⨯⨯， 得9

13

AO BD OE AB ⨯=

=，

Rt SEO ∆中，213tan 9SO SEO OE ∠=

=，故二面角S AB C --的正切值为213

9

. 方法点拨：本题的难点是过二面角的一个平面SAB 上一点S 作二面角的另一个平面ABC 的垂线SO,

再过垂足O 作二面角的棱AB 的垂线,从而得到斜线SE 及其射影OE,从而得到二面角的平面角为SEO ∠。

4．如图，ABC ∆是以ABC ∠为直角的三角形，SA ⊥平面ABC ， SA=BC=2，AB= 4. N 、D 分别是AB 、BC 的中点。

求二面角S —N D —A 的正切值．

4. 解： 过A 作AF ⊥ DN 且与DN 的延长线相交于点F ，连接SF ∵SA ⊥平面ABC ∴由三垂线定理得DF SF ⊥ ∴SFA ∠就是二面角S —ND —A 的平面角， 在Rt BDN ∆中,225DN BD BN =

+=

在Rt AFN ∆中，1

5

AF BD Sin ANF Sin BND AN ND ∠=

=∠== ∴ 1255

AF AN =

= ∴ tan 5SA

SFA AF ∠==

故二面角S —ND —A 的正切值为5．

方法点拨：本题的关键是找到从二面角的一个平面SND 上一点S 到二面角的另一个平面AND 的垂线

AF,过垂足A 作二面角的棱DN 的垂线AF,从而得到斜线AF 及其射影AF, 从而得到二面角的平面角为

SFA ∠。

5.如图所示，圆柱底面的直径AB 长度为22，O 为底面圆心， 正三角形ABP 的一个顶点P 在上底面的圆周上，PC 为圆柱的母线， CO 的延长线交O 于点E ，BP 的中点为F . 求二面角F CE B --的正切值.

S

C

D

B

N

F

A

S C

D

B

N

A