华工数学实验七 特征值和特征向量

实验七特征值与特征向量
地点：计算中心202房实验台号：30 实验日期与时间：2018年6月6日评分：
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批改意见：
1．实验目的
-掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论;
-掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;
-理解由差分方程x k+1=Ax k所描述的动态系统的长期行为或演化;
-提高对离散动态系统的理解与分析能力。

2．问题1
1.当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，试确定该动态系统的
的计算公式).猫头鹰和森林鼠的数量随着时间如何变化?该系统趋向演化(给出x
k
一种被称为不稳定平衡的状态。

如果该系统的某个方面(例如出生率或捕食率)有轻微的变动，系统会如何变化?
2.1实验原理
1.特征值与特征向量
2.特征值与特征向量的求法
3.矩阵的对角化
4.离散线性动态系统
5.eig命令
函数: d=eig(A)
功能:求矩阵A的特征值。

说明:返回一列向量d，包含方阵A的所有特征值。

函数: [V,D]=eig(A)或[V,D]=eig(X,'nobalance') 功能:求矩阵A的特征值和特征向量。

说明:生成特征值矩阵D和特征向量构成的矩阵V,使得使得A*V=V*D。

矩阵D由A的特征值在主对角线构成的对角矩阵。

V是由A的特征向量按列构成的矩阵。

[V,D]=eig(A)中，先对A作相似变换再求A的特征值和特征向量;而
[V,D]=eig(A,'nobalance)中，直接求矩阵A的特征值和特征向量。

2.2算法与编程
% ex1.m求特征值与特征向量
clc
A = [0.5 0.4;-0.125 1.1];
[pc,lambda] = eig(A); %求A的特征值和对应的特征向量
[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');%对特征值的绝对值降序排列temp = diag(lambda);
lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值
pc = pc(:,I) %与特征值对应的特
%P8_1.m捕食者-被捕食者解的图像表示
% P8_1.m
%捕食者-被捕食者解的图像表示
clear, clc
a = 0;
b = 2000;
c = a;
d = b; p = 0.1; %确定画图范围
n = 100; %序列迭代次数
xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')
axis([a b c d]),grid on,hold on
x = linspace(a,b,30);
A = [0.5 0.4;-0.125 1.1]; %特征值绝对值<1
[pc,lambda] = eig(A); %求A的特征值和对应的特征向量
[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend'); %对特征值的绝对值降序排列temp = diag(lambda);
lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值
pc = pc(:,I)
pc = -pc;
z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x; %特征向量v1
z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x; %特征向量v2
h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2), text(x(7),z1(7)-100,'v1')
h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2), text(x(20),z2(20)-100,'v2') button = 1;
while button == 1
[xi yi button] = ginput(1); %用鼠标选初始点
plot(xi,yi,'go'),hold on
X0 = [xi;yi];
X = X0;
for i=1:n
X = [A*X, X0]; %用这种方式迭代，并画图
h = plot(X(1,1),X(2,1),'R.',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold on text(X0(1,1),X0(2,1),'x0')
quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]', p)
set(h,'MarkerSize',6),grid,
end
end
2.3实验结果
>>P8_1
A = [0.5 0.4;-0.125 1.1];平衡
A = [0.5 0.41;-0.125 1.1];增加出生率
A = [0.5 0.39;-0.125 1.1];降低出生率
A = [0.5 0.4;-0.135 1.1]; 增加捕食参数
A = [0.5 0.4;-0.135 1.1]; 降低捕食参数
2.4结果分析
答：该动态系统演化
猫头鹰和森林鼠随时间数量趋于稳定，比值4：5。

当增加出生率或降低捕食率时,猫头鹰和森林鼠的数量逐年降低
当降低出生率或增加捕食率时，猫头鹰和森林鼠的数量逐年增加
3．问题2
杂交育种的目的是培养优良品种，以提高农作物的产量和质量，如果农作物的三种基因型分别为AA,Aa,aa,其中AA为优良品种。

农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，已知双亲基因型与其后代基因型的概率(见表8-1).问:经过若干年后三种基因型分布如何?要求:
(1)建立代数模型，从理论上说明最终的基因型分布。

(2)用MATLAB求解初始分布为0.8,0.2,0时，20年后的基因分布，是否已经趋于稳定？
表8-1 基因的转移
3.1实验原理
1.特征值与特征向量的求法
eig命令
函数: d=eig(A)
功能:求矩阵A的特征值。

说明:返回一列向量d，包含方阵A的所有特征值。

函数: [V,D]=eig(A)或[V,D]=eig(X,'nobalance')
功能:求矩阵A的特征值和特征向量。

说明:生成特征值矩阵D和特征向量构成的矩阵V,使得使得A*V=V*D。

矩阵D由A的特征值在主对角线构成的对角矩阵。

V是由A的特征向量按列构成的矩阵。

[V,D]=eig(A)中，先对A作相似变换再求A的特征值和特征向量;而
[V,D]=eig(A,'nobalance)中，直接求矩阵A的特征值和特征向量。

2.sort排序命令
sort(A)若A是向量不管是列还是行向量，默认都是对A进行升序排列。

sort(A)是默认的升序，而sort(A,'descend')是降序排序。

sort(A)若A是矩阵，默认对A的各列进行升序排列。

sort(A,dim) ：dim=1时等效sort(A)；dim=2时表示对A中的各行元素升序排列
3.norm()命令
norm(A,'fro') 返回矩阵的Frobenius范数
3.2算法与编程
% P8_3.m
% 问题3
A = [0 0 0.33;0.3 0 0;0 0.71 0.94];
[pc,lambda] = eig(A); %求A的特征值和对应的特征向量
[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');%对特征值的绝对值降序排列temp = diag(lambda);
lambda = temp(I) % 输出按特征值的绝对值降序排列的特征值
lambda_norm = [norm(lambda(1));norm(lambda(2));norm(lambda(3))] % 三个特征值的绝对值
pc = pc(:,I) % 与特征值对应的特征向量
clear
A=[1 0.5 0;0 0.5 1;0 0 0];
X=[0.8;0.2;0];
for i=1:20
X=A*X;
end
X20=X
X=[0.8;0.2;0]; C=[1 1 1]';
n=0;
while norm(X-C,'fro')>1.0e-16
C=X;
n=n+1;X=A*X;
end
format long;
X,n
3.3实验结果
3.4结果分析
答：
（1）由结果得：
故最终基因型全为AA
（2）由运行结果得：20年后基因分布为
AA：Aa：aa≈0.999999809265137： 0.000000190734863：0，还未趋于稳定。

趋于稳定需要52年。

4. 实验总结和实验感悟
本次实验复习了特征值，特征向量，特征方程，矩阵对角化等概念，了解的迭代相关的差分方程算法，并学以致用，感觉功能强大。