材料力学第07章 受压杆件的稳定性设计

为了求解方便，令
则有
F k EI
2
w k 2 w 0
该微分方程的通解为 w C cos kx D sin kx 式中C、D为积分常数，可通过边界条件来确定。
x 0 时，w 0 压杆两端约束为球铰支座，其边界条件为 x l 时，w 0
将边界条件代入通解式，可解得 C 0 D 0 或 sin kl 0 则可得到
第七章
受压杆件的稳定性设计
中北大学理学院力学系
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
压杆稳定的概念 细长压杆的临界压力 临界应力总图 压杆的稳定性设计 提高压杆稳定性的措施
总结与讨论
第一节 压杆稳定的概念
在第三章讨论杆件轴向拉伸和压缩的强度计算中，对于受 压杆件，当最大压应力达到极限应力（屈服极限或强度极限） 时，会发生强度失效（出现塑性变形或破裂）。只要其最大压 应力小于或等于许用应力，即满足强度条件时，杆件就能安全 正常工作。然而，在实际工程中的一些细长杆件受压时，杆件 可能发生突然弯曲，进而产生很大的弯曲变形而导致最后折断， 而杆件的压应力却远低于屈服极限或强度极限。显然，此时杆 件的失效不是由于强度不够而引起的，而是与杆件在一定压力 作用下突然弯曲，不能保持其原有的平衡形态有关。我们把构 件在外力作用下保持其原有平衡形态的能力称为构件的稳定性 （stability）。受压直杆在压力作用下保持其直线平衡形态的 能力称为压杆的稳定性。可见，细长压杆的失效是由于杆件丧 失稳定性而引起的，属于稳定性失效（failure by lost stability）。
工程实际中，有许多受压杆件。如汽车起重机起重臂的 支承杆（图7.1），在起吊重物时，该支承杆就受到压力作 用。再如，建筑工地上所使用的脚手架（图7.2），可以简 化为桁架结构，其中大部分竖杆要承受压力作用。同样，机 床丝杠、起重螺旋（千斤顶）、各种受压杆件在压力作用下 都有可能存在丧失稳定而失效的问题。
w
A Fcr
x
l
B Fcr
x
Fcr
F M(x)
图7-8 两端铰支细长压杆
选取如图所示坐标系xAw。 A 设距原点为x距离的任意截面的 Fcr 挠度为w，弯矩M的绝对值为 Fw。若挠度w为负时，M为正。 Fcr 即M与w的符号相反，于是有
w
l
B Fcr
x
x
F M(x)
两端铰支细长压杆
M ( x) Fw 图7-6 将其代入挠曲线近似微分方程，得 EIw M ( x) Fw
Fcr
Fcr
F
丝杆
图7-8 千斤顶
EI
(2l ) 2
（7-2）
对于图7-7（c）所示两端固定的压杆，失稳后 的挠曲线形状关于杆件的中间截面对称，根据杆 件弯曲变形的特点，可知距离上下端点四分之一 杆长处的两点为挠曲线的拐点，其弯矩为零，相 当于铰链，故两端固定长为l的压杆的临界压力与 一长为0.5l 的铰支压杆的临界压力相等，则有
F k 2 EI
由上式可以看出，使压杆保持曲线形状平衡的压力值，在理 论上是多值的。但实际上，只有使杆件保持微小弯曲得最小 压力才是临界压力。显然只有取n =1才有实际意义，于是可 得临界压力为 2 EI Fcr 2 （7-1） l
l
2
(n 0,1, 2,3,)
Fcr
2 EI
如20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（Theodore Cooper）在加拿大 离魁北克城14.4公里，圣劳伦斯河上建造长548米的魁北克大桥(Quebec Bridge)， 不幸的是，1907年8月29日，该桥发生稳定性破坏（图7-4），灾变发生在当日收 工前15分钟，85位工人死亡，原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳 所致，成为上世纪十大工程惨剧之一。
解：（1）计算①情况下的临界压力 截面对y，z 轴的惯性矩分别为
hb3 160 903 Iy 9.72 106 mm4 12 12
bh3 90 1603 Iz 3.072 107 mm 4 12 12
b
y z
图7-11 例7-1图
由于Iy < Iz，所以压杆必然绕 y 轴弯曲失稳，应将代入计算 公式（7.2）计算临界压力，根据杆端约束取μ=2，即
F
q
图7-6 圆柱形薄壳
图7-7 窄梁
第二节
1
压杆的临界压力和临界应力
两端铰支细长压杆的临界压力 如图7-8所示，两端约束为球铰支座的细长压杆，压杆 轴线为直线，受到与轴线重合的压力作用。当压力达到临界 力时，压杆将由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态。显然， 使压杆保持在微小弯曲状态下平衡的最小压力即为临界压力。 假设杆件在压力作用下发生微小弯曲变形，设杆件的弯曲刚 度为EI。
该式是由瑞士科学家欧拉 （L. Euler）于1744年提出的， 故也称为两端铰支细长压杆的欧拉公式。欧拉早在18世纪， 就对理想压杆在弹性范围内的稳定性进行了研究，但是，同 其他科学问题一样，压杆稳定性的研究和发展与生产力发展 的水平密切相关。欧拉公式面世后，在相当长的时间里之所 以未被认识和重视，就是因为当时在工程与生活建造中使用 的木桩、石柱都不是细长的。到1788年熟铁轧制的型材开始 生产，然后出现了钢结构。有了金属结构，细长杆才逐渐成 为重要议题。特别是19世纪，随着铁路建设和发展而来的铁 路金属桥梁的大量建造，促使人们对压杆稳定问题进行深入 研究。
除压杆外，还有一些其他构件也存在稳定问题。例如圆 柱形薄壳外部受到均匀压力时，壁内应力为压应力，如果 外压达到临界值时，薄壳将会失去原有圆柱形平衡状态而 丧失稳定，如图7-6所示。同样，板条或窄梁在最大抗弯 刚度平面内弯曲时，载荷过大也会发生突然的侧弯现象， 如图7-7所示。薄壁圆筒在过大的扭矩作用下发生的局部 皱折，也是属于失稳问题。本章只讨论压杆的稳定问题， 有关其他的稳定问题可参考有关专著。
1
稳定平衡
随遇平衡 图7-3 平衡形态
不稳定平衡
当压杆处于不稳定平衡状态时，在任意微小的外界扰动下， 都会转变为其他形式的平衡状态，这种过程称为屈曲 (buckling)或失稳(lost stability)。很多情形下，屈曲将导 致构件失效，这种失效称为屈曲失效(failure by buckling)。 由于屈曲失效往往具有突发性，常常会产生灾难性后果，因此 工程设计中需要认真加以考虑。
D sin kl 0
如果D=0，则有w≡0，即压杆各截面的挠度均为零，杆仍然保 持直线状态，这与压杆处于微弯状态的假设前提相矛盾。因 此D≠0 ，则只有 sin kl 0 (n 0,1, 2,3,) 满足上式的kl值为 kl n n 所以 k ， 于是，杆件所受的压力为 l n 2 2 EI
图7-4 魁北克大桥
2
临界压力的概念
F
F
干扰力
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
现以图7.5（a） 所示一端固定一端自 由细长压杆来说明压 杆的稳定性。若压杆 为中心受压的理想直 杆，即假设：杆是绝 对直杆，无初曲率； 压力与杆的轴线重合， 无偏心；材料绝对均 匀。则在压力的作用 下，无论压力有多大， 也没有理由往旁边弯 曲。
表7-1 支承情况 一端固定 一端自由 2 压杆长度系数 两端铰支 一端固定 一端铰支 0.7 两端固定
1
0.5
例7-1 如图7-11所示细长压杆，一端固定， F 另一端自由。已知其弹性模量E =10GPa，长 度l =2m。试求①h=160mm，b=90mm和② h = b =120mm两种情况下压杆的临界压力。
Fcr
Fcr
2 EI
l ( )2 2
（7-3）
Fcr
而图7-7（d）所示一端固定，一端绞支的压 杆，根据杆件失稳后的挠曲线形状的特点，可 知距离下端点约0.3l 杆长处为挠曲线的拐点， 其弯矩为零，相当于铰链，故其临界压力为
Fcr
2 EI
(0.7l )2
（7-4）
根据以上讨论，可将不同杆端约束细长压杆的临界压力公 式统一写成 2 EI Fcr （7-5） (l )2 上式为欧拉公式的普遍形式。式中μ称为长度系数 （coefficient of length），它表示杆端约束对临界压力 的影响，不同的杆端约束形式有不同的长度系数，显然杆端 的约束越强，长度系数越小。几种支承情况的μ值列于下表。 μl 表示把压杆折算成相当于两端铰支压杆时的长度，称为 相当长度（effective length）。
图7.1 起重机
图7.2 脚手架
稳定平衡的概念 深入研究构件的平衡状态，不难发现其平衡状态可能是 稳定的，也可能是不稳定的。当载荷小于一定的数值时，处 于平衡的构件，受到一微小的干扰力后，构件会偏离原平衡 位臵，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态，这种平 衡称为稳定平衡。当载荷大于一定的数值时，处于平衡状态 的构件受到干扰后，偏离原平衡位臵，干扰力去除后，不能 回到原平衡状态时，这种平衡称为不稳定平衡。而介于稳定 平衡和不稳定平衡之间的临界状态称为随遇平衡。如图7-3 所示。
2
其他支承形式下的临界压力
Fcr Fcr Fcr Fcr
从上面的推导过程可以 看出，杆件压弯后的挠曲 线形式与杆件两端的支承 形式密切相关，积分常数 是通过边界条件来确定的， 不同的边界条件得到不同 （b） （c） (d) 的结果。压杆两端的支座 （a） 除铰支外，还有其他情况， 图7-7 不同支承形式的细长压杆 工Hale Waihona Puke Baidu上较常见的杆 端支承形式主要有四种，如图7-7所示。各种支承情况下 压杆的临界压力公式，可以按照两端铰支形式的方式进行 推导，但也可以把各种支承形式的弹性曲线与两端铰支形 式下的弹性曲线进行类比来获得临界力公式。
l
2
（7-1）
上式即为两端铰支细长压杆的临界压力表达式。式中：E为弹 性模量，EI为弯曲刚度，l 为压杆长度。EI 应取最小值，在材 料给定的情况下，惯性矩I 应取最小值，这是因为杆件总是在 抗弯能力最小的纵向平面内失稳。
当n =1时，相应的挠曲线方程为
w D sin
x
l
可见，压杆由直线状态的平衡过渡到曲线状态的平衡以后， 轴线变成了半个正弦曲线。D为杆件中点处的挠度。
例如千斤顶的丝杆如图7-8所示，下 端可简化为固定端，上端可简化为自由 端。这样就可以简化为下端固定上端自 由的细长压杆如图7-7（b）。假设在临 界压力作用下以微小弯曲的形状保持平 衡，由于固定端截面不发生转动，可以 看出，其弯曲曲线与一长2l 为的两端铰 支压杆的挠曲线的上半段是相符合的， 也就是说，如果把挠曲线对称向下延伸 一倍，就相当于如图7-7（a）所示的两 端绞支细长压杆的挠曲线，所以，一端 固定另一端自由，长度为的细长压杆的 临界压力，等于两端铰支长为2l 的细 长压杆的临界力，即 2
2 EI 2 10 109 9.72 106 1012 Fcr 60kN 2 2 ( l ) (2 2)
（2）计算②情况下的临界压力，截面对y，z 轴的惯性矩相 等，均为
hb3 120 1203 I y Iz 1.728 107 mm4 12 12
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
图7-5 不同载荷作用下压杆的平衡形态
当压力很小时，压杆能够保持 平衡状态，此时加一微小侧向干扰 力，杆发生轻微弯曲，在新的位臵 重新处于平衡状态，如图7-5（b）。 若解除干扰力，则压杆重新回到原 直线平衡状态，如图7-5（c），因 此，压杆原直线平衡状态是稳定的 平衡状态。
当压力逐渐增加到某一极限值，压杆仍保持其直线平衡 状态，在受到一侧向干扰力后，杆发生微小弯曲，但去掉干 扰力后，杆不能回到原直线平衡状态，而是在微小弯曲曲线 状态下保持平衡，如图7-5（d），则压杆原平衡状态是随遇 平衡状态。当压力逐渐增加超出某一极限值，压杆仍保持其 直线平衡状态，在受到一侧向干扰力后，杆件离开直线平衡 状态后，就会一直弯曲直至杆件破坏为止，如图7-5（e）， 则压杆原平衡状态是不稳定平衡状态。 上述由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力的临界值称为 临界压力（或临界载荷）（critical load），用Fcr表示。 显然，研究压杆稳定问题的关键是确定压杆的临界压力值。 杆件失去了保持其原有直线平衡状态的能力，称为丧失稳定， 简称失稳，或屈曲。