第七章 梁的变形

由以上两式，得

y' ' (1 y ' )
2 3 2
M ( x) EI z
§ 7—2 梁的挠曲线近似微分方程 推导公式
y' ' (1 y ' )
2 3 2
M ( x) EI z
o
M
M
x
在规定的坐标系中, x 轴水平向右 为正, y 轴竖直向下为正；而弯矩 是下侧受拉为正。 曲线向下凸 时 ： y'' < 0 , M > 0 曲线向上凸 时 ： y'' > 0 , M < 0 因此, M 与 y''的正负号相反
（
）
y max
Pl y | x l 3 EI
3
（
）
例题 ：图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在C点处受一 集中力P的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程， 并求A、B截面的转角和C截面的挠度以及最大转角、 最大挠度。
P C B
A
a
b
l
解：梁的两个支反力为
FRA b P l FRB a P l
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 y' 2 项。 适用于理想线弹性材料制成的细长梁的小变形问题
§ 7—3 用积分法求梁的变形
一、公式推导
梁的挠曲线近似微分方程 上式积分一次得转角方程
M ( x) y" EI z
EI Z θ EI Z y' M(x)dx C
Pb 2 (l b2) 6l
挠曲线方程
D1 D2 0
1
C1 C 2
(0 x a )
2
(a x l )
2 Pb l 1 2 2 2 Pb 1 2 2 2 ( [ (l b ) x ] 2 2lEI b ( x a) x 3 l b ) 1 y1' 2lEI 3 Pb l Pbx 2 3 3 2 2 2 2 ( ) x y ( x a ) l b x 2 6lEI y1 x l b b 6lEI
x
A
y
B
§ 7—1 概述 梁变形后的轴线为一条光滑的平面曲线—— 称为挠曲线
任一横截面处的变形可以归结为：形心沿轴线x
方向的位移、形心沿y方向的位移以及横截面的转动。
F A
B
x
挠曲线
y
B
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 1、挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于轴 线方向的线位移，称为该截面的挠度。 F A C B x y挠度 C' y
RA FRA
P 1 C
A
2 B
R FB RB
a
l
b
1
(0 x a )
2
(a x l )

B
转角
y挠度
y
§ 7—2 梁的挠曲线近似微分方程 推导公式
M 纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 EI z
剪力弯曲时, M 和 都是x的函数 。略去剪力对 梁的变形的影响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI z
1 y' ' 由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作 3 2 ( x) (1 y ' ) 2
C2=0
梁的转角方程和挠度方程分别为
Plx Px 2 y' EI 2 EI
Plx 2 Px 3 y 2 EI 6 EI
l
y
P
A B x
f max y max
l
θ max
y
max 及 ymax 都发生在自由端截面处
max
Pl 2 Pl 2 Pl 2 | x l EI 2 EI 2 EI
M>0 y
y" 0
x M M
o
y' ' (1 y ' )
2 3 2
M ( x) EI z
y
M<0
y" 0
§ 7—2 梁的挠曲线近似微分方程 推导公式
y' ' (1 y ' )
2 3 2
M ( x) EI z
y ' 与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为
2
M ( x) y" EI z
EIy ' ' M ( x) Pl Px (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
Px 2 EIy' Plx C1 2
2 3
l
y
(3)
EIy Plx Px C1 x C 2 (4) 2 6
Px 2 EIy' Plx C1 (3) 2 Plx 2 Px 3 EIy C1 x C2 (4) 2 6
b x3 P( x a)3 C 2 x D2 EIy 2 P l 6 6
挠曲线方程
代入方程可解得：
Pb 2 2 (l b ) C1 C 2 6l
1
微分方程 转角方程
( 0 x a)
2
(ax l)
b EIy1" M 1 P x l
b " P x P( x a) EIy 2 M2 l
b x2 EIy '1 P C1 l 2
b x3 EIy1 P C1 x D1 l 6
b x 2 P ( x a )2 C2 EIy 2' P l 2 2
b x3 P ( x a )3 C 2 x D2 EIy 2 P l 6 6
2
(ax
l)
b EIy1" M 1 P x l
b EIy 2" M 2 P x P( x a) l
转角方程
b x2 EIy '1 P C1 l 2
b x EIy1 P C1 x D1 l 6
D1 D2 0
3
b x 2 P ( x a )2 C2 EIy 2' P l 2 2
1 微分方程 转角方程
( 0 x a)
(a x l )
2
(ax
l)
b EIy1" M 1 P x l
b EIy 2" M 2 P x P( x a) l
b x2 EIy '1 P C1 l 2
b x EIy1 P C1 x D1 l 6
P
A B x
边界条件为 ：
x 0, x 0,
y 0 y' 0
y x
l
将边界条件代入(3) (4)两式中,可得 C1=0 C2=0
Px 2 EIy' Plx C1 (3) 2 Plx 2 Px 3 EIy C1 x C2 (4) 2 6
P
A x B x
C1=0
第 七 章
梁的变形
内容提要
§ 7-1 § 7-2 § 7-3 § 7-4 § 7-5 § 7-6 概述 梁的挠曲线近似微分方程 用积分法求梁的变形 用叠加法求梁的变形 梁的刚度计算 用力法解简单超静定梁
§ 7—1 概述
取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ，横截面的形心主轴为 y 轴 ， x y 平面为形心 主惯性平面
F
A
1
C
2B 3m
q 3
D
x
3m
2m
应该列6个补充方程
位移边界条件： A截面：x1=0时，yA ＝0 B截面：x2=x3=6m时，yB ＝0 yC1 ＝ yC2 ， C1 ＝ C2 变形连续条件：C截面：x1=x2=3m时， yB2 ＝ yB3 ， B2 ＝ B3 B截面：x2=x3=6m时，
3
b x 2 P ( x a )2 C2 EIy 2' P l 2 2
b x3 P( x a)3 C 2 x D2 EIy 2 P l 6 6
挠曲线方程
可见，梁分两段，就有4个积分常数
3、边界条件和变形连续光滑条件 边界条件
在 X = 0 处， y1 0 在 x l 处， y 2 0
3、挠度和转角的符号约定
挠度：向下为正，向上为负。 转角：以横截面顺时针方向转动时为正，逆时针方向转动时为负
A
C
B
x
挠曲线
C'
y挠度
y
B
转角
4、挠度和转角的关系
即
dy tg y' dx y
该式表明，某截面的转角等于挠曲线在该截面处的 一阶导数
A C B
x
挠曲线
C'
B
一般各横截面的挠度是不相同的，是位置x的函数，称 为挠曲线方程，记做y=y（x）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 2、转角（） ：梁中任一横截面绕其中性轴转过的角度， 称为该截面的转角。 A C C' B x
y挠度
y
B
转角
一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的函数，称 为转角方程，记做= （x）
将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程，左右两支座处截面的转角
Pab(l b) A 1 | x 0 6 lEI
Pab(l a) B 2 | x l 6 lEI
当 a > b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大
max
Pab (l a) B 6lEI
θA0
§ 7—3 用积分法求梁的变形 注 意 当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁 的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程 需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线 方程也随之而异。
F
D B
A
a
b
l
§ 7—3 用积分法求梁的变形 步 骤
1、正确分段，分别列弯矩方程； 2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积 分得挠度方程； 3、由位移边界条件和变形连续光滑条件求得积分常数。 注意：
再积分一次, 得挠度方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
EI z y M(x)dx Cx D
2
式中C 、D称为积分常数，可通过梁挠曲线的位移边界条件 和变形连续光滑条件来确定。
§ 7—3 用积分法求梁的变形 二、位移边界条件和变形连续条件
在简支梁中， 左右两铰支座处的挠度 yA 和 yB 都应等于零（边界）；C左、C右 截面的饶度、转角相等（变形连续）。
位移边界条件： yA ＝0 ，yB ＝0 变形连续条件： yC1 ＝ yC2 ， C1 ＝ C2
A
C
yA 0
B
y
C1

y
C2

C1
yB 0
C2
在悬臂梁 中，固定端处的挠度 yA 和转角 A 都应等于零。
A
yA 0
B
位移边界条件：yA ＝0 ， A ＝0 注意：位移边界条件在支座处 变形连续光滑条件中间在分段点
x P
RA FRA
A
1 x
C
2
R FB RB
B
a
b
1、分两段分别列弯矩方程
b M 1 FRA x P x l b M 2 P x P( x a) l (0 x a) (a x l )
l
b b M 1 FRA x P x (0 x a) M 2 P x P( x a) l l 2、两段梁的挠曲线方程分别为
P
RA FRA
A
1
C
2
R FB RB
B
a
b
C点的连续条件：
y1 ' y 2 '
l
在 x1＝x2 = a 处
y1 y 2
在 X = 0 处， y1 0 在 x l 处， y 2 0 1 微分方程
( 0 x a)
y1 ' y 2 '
在 x1＝x2 = a 处
y1 y 2
1
(0 x a )
2
(a x l )
2 Pb l 1 2 2 2 Pb 1 2 2 2 ( [ (l b ) x ] 2 2lEI b ( x a) x 3 l b ) 1 y1' 2lEI 3 Pb l Pbx 2 3 3 2 2 2 2 ( ) x y ( x a ) l b x 2 6lEI y1 x l b b 6lEI
例题 ：图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一 集中力 P 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并 确定其最大挠度 ymax 和最大转角 max 。
P
A B x
l
y
解：
EIy M ( x)
(1)
A x
弯矩方程为
M ( x) P(l x)
P
B x
挠曲线的近似微分方程为
1、位移边界条件在支座处，变形连续光滑条件在中间 分段点处；
2、分n段，就要列n个弯矩方程，就有n个转角方程和 n个挠度方程，因此就有2n个积分常数，就必须列出2n 个补充方程（边界条件和变形连续光滑条件）
例题 ：用积分法求位移时， 图示梁应分几段来列挠曲线 的近似微分方程？试分别列 出确定积分常数时需用的边 界条件和变形连续条件。 解：分AC、CB、BD三段