2018版高考数学专题复习专题11 算法、复数、推理与证明第79练 Word版含解析

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2018年高考数学总复习第十一章推理证明、算法、复数

第十一章推理证明、算法、复数49.推理与证明、数学归纳法1.(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多2.(2016·北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.秒跳绳决赛的有6人，则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛3.(2016·全国Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.4.(2016·山东)观察下列等式： ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin3π5－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin4π5－2＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin6π7－2＝43×3×4；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π9－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin8π9－2＝43×4×5；……照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sinπ2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.5.(2016·四川)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号).6.(2016·江苏)(1)求7C 36－4C 47的值；(2)设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋n C m n －1＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.考点1 合情推理与演泽推理1.(2014·北京)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 2.(2015·山东)观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41; C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1 ＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________.3.(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0). 已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎨⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________.4.(2014·安徽)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________. 5.(2014·福建)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________. 6.(2014·陕西)观察分析下表中的数据：考点2 间接证明7.(2015·江苏)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列. (1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列？并说明理由.考点3 数学归纳法8.(2015·江苏)已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数. (1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明.1.(2016·广东汕头模拟)用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左端需增乘的代数式为( ) A.2(2k ＋1) B.2k ＋1 C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋12.(2016·湖北黄冈八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( ) A.甲B.乙C.丙D.丁3.(2015·陕西师大附中模拟)观察下列等式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________(最后结果用m ，n 表示).4.(2016·江西临川模拟)定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( ) A.817B.919C.1021D.11235.(2016·广东佛山模拟)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题，“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子(每层三角形边菱草束数，等价于层数)几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层三束，再下一层6束，…，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数)，则本问题中三角垛底层菱草总束数为________.6.(2015·湖北黄冈模拟)对于集合N ＝{1，2，3，…，n }和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下：如集合{1，2，3，4，5}的交替和是5－4＋3－2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3，n ＝4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3, S 4，并根据计算结果猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝________ (不必给出证明).7.(2015·山东威海模拟)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂”数中有一个是2 015，则m 的值为________.8.(2015·湖北七市模拟)将长度为l (l ≥4，l ∈N *)的线段分成n (n ≥3)段，每段长度均为正整数，并要求这n 段中的任意三段都不能构成三角形.例如，当l ＝4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n 的最大值为3；当l ＝7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n 的最大值为4.则：(1)当l ＝12时，n 的最大值为________； (2)当l ＝100时，n 的最大值为________.9.(2015·广东模拟)已知n ，k ∈N * ，且k ≤n ，k C k n ＝n C k －1n －1，则可推出C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋k C k n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…C k －1n －1＋…C n －1n －1)＝n ·2n －1，由此，可推出C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝________.10.(2016·广东珠海模拟)定义max{a ，b }表示实数a ，b 中的较大的数.已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞0)，a 2＝1，若a n ＋2＝2max{a n ＋1，2}an(n ∈N *)，记数列的前项和为S n ，则S 2 016的值为________.11.(2016·甘肃张掖模拟)把数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12n －1的所有数按照从大到小的原则写成如下数表： 1 13 15 17 19 111 113 115 117 119 … 129 …第k 行有2k －1个数，第t 行的第s 个数(从左数起)记为A (t ，s )，则A (6，10)＝________. 12.(2015·山东日照模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab ，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________.13.(2016·山东济宁模拟)下面给出了四个类比推理：①a ，b 为实数，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；类比推出：z 1，z 2为复数，若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；②若数列{a n }是等差数列，b n ＝1n (a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }也是等差数列；类比推出：若数列{c n }是各项都为正数的等比数列，d n ＝nc 1c 1…c n ，则数列{d n }也是等比数列；③若a ，b ，c ∈R ，则(ab )c ＝a (bc )；类比推出：若a ，b ，c 为三个向量，则(a·b )·c ＝a·(b·c )；④若圆的半径为a ，则圆的面积为πa 2；类比推出：若椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，则椭圆的面积为πab . 上述四个推理中，结论正确的是( ) A.①② B.②③C.①④D.②④14.(2016·江西鹰潭模拟)如图，按英文字母表A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、…的顺序有规律排列而成的鱼状图案中，字母“O ”出现的个数为( )A.27B.29C.31D.3315.(2016·山东潍坊模拟)观察下列各式： 1＋122＜32 1＋122＋132＜53 1＋122＋132＋142＜74 ……照此规律，当n ∈N *时，1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2＜________.16. (2016·山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为()1＋3＋32＋()2＋2×3＋2×32＋()22＋22×3＋22×32＝()1＋2＋22()1＋3＋32＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________.17.(2016·高考押题卷)已知正整数m 的3次幂如下分解规律： 13＝1；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19； …，若m 3(m ∈N ＋)的分解中最小的数为91，则m 的值为________.18.(2016·福建漳州模拟) 已知集合X ＝{x 1，x 2，…，x n }(n ∈N *，n ≥3)，若数列{x n }是等差数列，记集合P (X )＝{}x |x ＝x i ＋x j ，x i ，x j ∈X ，1≤i ≤j ≤n ，i ，j ∈N 的元素个数为|P (X )|，则|P (X )|关于n 的表达式为________.19.(2015·安徽淮南模拟)已知函数f 1(x )＝2x ＋1，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2.(1)求证：{a n }为等比数列，并求其通项公式；(2)设b n ＝（－1）n －12a n ，g (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，求证：g (b n)≥n ＋22.50.算法初步1.(2016·全国Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足()A.y＝2xB.y＝3xC.y＝4xD.y＝5x第1题图第2题图2.(2016·四川)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为()A.35B.20C.18D.93.(2016·北京，3)执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为()A.1B.2C.3D.44.(2016·全国Ⅲ)执行如图的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝()A.3B.4C.5D.6第4题图第5题图5.(2016·山东)执行上边的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.6.(2016·江苏)如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是________.考点1算法的含义、程序框图1.(2015·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为()A.2B.1C.0D.－12.(2015·北京)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( ) A.(－2，2) B.(－4，0) C.(－4，－4) D.(0，－8)第2题图第3题图3.(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( ) A.s ≤34B.s ≤56C.s ≤1112D.s ≤25244.(2015·新课标全国Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( ) A.0B.2C.4D.14第4题图第5题图5.(2014·重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( ) A.s >12B.s >35C.s >710D.s >456.(2014·四川)执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( ) A.0B.1C.2D.3第6题图第7题图7.(2014·陕西)根据框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( ) A.a n ＝2n B.a n ＝2(n －1) C.a n ＝2nD.a n ＝2n －18.(2014·新课标全国Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( ) A.4B.5C.6D.79.(2014·江西)阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()A.7B.9C.10D.1110.(2014·湖南)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2，2]，则输出的S 属于()A.[－6，－2]B.[－5，－1]C.[－4，5]D.[－3，6]第10题图第11题图11.(2014·安徽)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A.34B.55C.78D.89考点2基本算法语句12.(2015·江苏)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.1.(2016·河南郑州模拟)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是()A.2 014B.2 015C.2 016D.2 0172.(2016·湖北黄冈八校联考)若如下框图所给的程序运行结果为S＝41，则图中的判断框①中应填入的是()A.i>6?B.i≤6?C.i>5?D.i<5?3.(2016·湖南衡阳联考)下图是计算500名学生毕业测试成绩(满分为100分)及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入()A.q ＝M iB.q ＝M NC.q ＝NM ＋ND.q ＝MM ＋N4.(2015·黑龙江绥化模拟)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为22，则输出的S 的值为( )A.232B.211C.210D.1915.(2016·湖北七校联考)定义运算a *b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π12*⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π12的值为( )A.2－34B.34C.14D.2＋34第5题图第6题图6.(2015·安徽合肥六校联考)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k 的值是6，则输入的整数S 0的可能值为( ) A.5B.6C.8D.157.(2016·广东广州五校联考)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是95，则( )A.a ＝4B.a ＝5C.a ＝6D.a ＝78.(2016·安徽合肥模拟)执行如下程序框图，则输出结果为( )A.2B.3C.4D.59.(2016·湖北武汉模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x＋1问题”.执行该程序框图，若输入的N＝3，则输出的i＝()A.6B.7C.8D.9第9题图第10题图10.(2016·湖南雅礼中学模拟)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是()A.n>10?B.n≤10?C.n<9?D.n≤9?11.(2015·乌鲁木齐模拟)执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打出的点在圆x2＋y2＝10内的个数是()A.2B.3C.4D.5第11题图第12题图12.(2015·遂宁模拟)在区间[－2，3]上随机选取一个数M，不断执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N－2的概率为()A.15B.25C.35D.4513.(2015·济宁一模)已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…A 14，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，则输出的n 的值是( )A.8B.9C.10D.1114.(2015·陕西一模)如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A.i ≤2 021B.i ≤2 019C.i ≤2 017D.i ≤2 01515.(2015·山东枣庄模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( )A.k ≤5?B.k ＞4?C.k ＞3?D.k ≤4?51.数系的扩充与复数的引入1.(2016·山东)若复数z ＝21－i，其中i 为虚数单位，则z －＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i2.(2016·全国Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z－|z |＝( ) A.1 B.－1 C.45＋35iD.45－35i3.(2016·全国Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A.－3B.－2C.2D.34.(2016·北京)复数1＋2i2－i ＝( ) A.i B.1＋i C.－iD.1－i 5.(2016·全国Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A.1 B. 2 C. 3D.26.(2016·全国Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( ) A.－1＋2iB.1－2iC.3＋2iD.3－2i7.(2016·全国Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4izz －－1＝( ) A.1B.－1C.iD.－i8.(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z －＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2iD.－1－2i9.(2016·全国Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A.(－3，1) B.(－1，3) C.(1，＋∞)D.(－∞，－3)10.(2016·四川)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A.0 B.2 C.2iD.2＋2i11.(2016·江苏)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________. 12.(2016·北京)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.13.(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b 的值为________.考点1 复数的概念1.(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限2.(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A.－1 B.0 C.1D.23.(2014·重庆)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(2014·浙江)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.(2014·陕西)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A.真，假，真 B.假，假，真 C.真，真，假D.假，假，假6.(2014·广东)对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω－2，其中ω－2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3，有如下四个命题： ①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)； ②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)； ③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)； ④z 1*z 2＝z 2*z 1.则真命题的个数是( ) A.1B.2C.3D.4考点2 复数的运算7.(2015·广东)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z －＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.2＋3iD.2－3i8.(2015·陕西)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12πB.14－12πC.12－1πD.12＋1π9.(2015·新课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A.1B. 2C. 3D.210.(2015·四川)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A.－iB.－3iC.iD.3i11.(2015·北京)复数i(2－i)＝( ) A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2iD.－1－2i12.(2015·福建)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A.{－1}B.{1}C.{1，－1}D.∅13.(2014·天津)i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝( ) A.1－i B.－1＋i C.1725＋3125iD.－177＋257i14.(2014·山东)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A.5－4i B.5＋4i C.3－4iD.3＋4i15.(2014·辽宁)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A.2＋3iB.2－3iC.3＋2iD.3－2i16.(2014·新课标全国Ⅱ)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A.－5B.5C.－4＋iD.－4－i17.(2014·新课标全国Ⅰ)（1＋i ）3（1－i ）2＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i18.(2015·山东)若复数z 满足z－1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i19.(2015·重庆)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.20.(2015·天津)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.1.(2016·江西临川模拟)若纯虚数z 满足(1－i)z ＝1＋a i ，则实数a 等于( ) A.0 B.－1或1 C.－1D.12.(2015·安徽江南十校模拟)若复数6＋a i3－i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝( ) A.3B.6C.9D.123.(2015·广东广州模拟)已知i 为虚数单位，复数z ＝(1＋2i)i 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限4.(2015·万州区模拟)设复数z ＝a ＋i 1－i (a ∈R ，i 为虚数单位)，若z 为纯虚数，则a＝( ) A.－1B.0C.1D.25.(2016·河南郑州模拟)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ， 1＋i －i ， 2i ＝0的复数z －对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限6.(2016·湖北黄冈八校模拟)若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( )A.－7B.－17 C.7D.－7或－177.(2016·湖北七校联考)复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，z －为z 的共轭复数，则下列结论正确的是( )A.z －的实部为－1B.z －的虚部为－2iC.z ·z －＝5D.z －z ＝i8.(2015·乌鲁木齐模拟)在复平面内，复数1＋2i1－i对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限9.(2015·遂宁模拟)已知复数z 满足：z i ＝2＋i(i 是虚数单位)，则z 的虚部为( ) A.2iB.－2iC.2D.－210.(2015·济宁一模)已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝1＋i ，则z －＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋iD.－1－i 11.(2015·青岛一模)设i 为虚数单位，复数2i1＋i等于( ) A.－1＋i B.－1－i C.1－iD.1＋i12.(2015·陕西一模)已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，若z ＝z 1z 2，则z －＝( ) A.45＋iB.45－i C.iD.－i13.(2015·德阳模拟)复数2i2－i＝( ) A.－25＋45i B.25－45i C.25＋45iD.－25－45i 14.(2015·山东枣庄模拟)i 是虚数单位，若z ＝1i －1，则|z －|＝( )A.12B.22C. 2D.215.(2015·四川成都模拟)已知i 是虚数单位，若⎝⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R )，则m 的值为( ) A.12B.－2C.2D.－1216.(2015·陕西西安模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件17.(2015·贵州模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限18.(2015·甘肃河西五地模拟)下面是关于复数z ＝21－i 的四个命题：p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为－1＋i, p 4：z 的虚部为1. 其中真命题为( ) A.p 2，p 3 B.p 1，p 2 C.p 2，p 4D.p 3，p 419.(2015·安徽马鞍山模拟)若复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0151＋2i 的值为( ) A.1B.－1C.iD.－i20.(2015·河南信阳模拟)已知复数z ＝1＋2i ，则|z |等于( ) A. 3B. 5C.2D.321.(2015·山东滨州模拟)设i 为虚数单位，则复数3－4ii ＝( )A.－4－3iB.－4＋3iC.4＋3iD.4－3i22.(2015·山东德州模拟)设复数z 的共轭复数为z －，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z －的值为( )A.1B.2C. 2D.423.(2015·山东菏泽模拟)已知复数z 1＝1－i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2i 等于( ) A.2i B.－2i C.2＋iD.－2＋i24.(2015·山东济南模拟)已知i 是虚数单位，m 是实数，若m ＋i2－i是纯虚数，则m ＝( ) A.－2 B.－12 C.2D.1225.(2016·广西柳州模拟)已知i 为虚数单位，复数z 满足z i ＝3－i1＋i ，则复数z 的模|z |＝( ) A. 3 B.4 C. 5D.226.(2016·河北三市联考)若复数z ＝a ＋3ii ＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是( ) A.－4 B.－3 C.1D.227.(2016·广东汕尾模拟)已知复数z 的共轭复数为z －，且z －＝21＋i，则|z |等于( ) A.2 B. 2 C.2 2D.2228.(2016·云南昆明七校联考)已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a i1－i是实数，则a 的值为( ) A.－4 B.2 C.－2D.429.(2016·哈尔滨六中模拟)已知复数z＝5＋3i1－i，则下列说法正确的是()A.z的虚部为4iB.z的共轭复数为1－4iC.|z|＝5D.z在复平面内对应的点在第二象限30.(2015·广东广州模拟)已知i是虚数单位，C是全体复数构成的集合，若映射f：C→R满足：对任意z1，z2∈C，以及任意λ∈R , 都有f(λz1＋(1－λ)z2)＝λf(z1)＋(1－λ)f(z2), 则称映射f具有性质P. 给出如下映射：①f1：C→R，f1(z)＝x－y，z＝x＋y i(x，y∈R)；②f2：C→R，f2(z)＝x2－y，z＝x＋y i(x，y∈R)；③f3：C→R，f3(z)＝2x＋y，z＝x＋y i(x，y∈R).其中，具有性质P的映射的序号为()A.①②B.①③C.②③D.①②③31.(2016·山西临汾模拟)已知虚数z＝53－4i－4＋3i5，则z的虚部是()A.－15 B.－15i C.15 D.15i32.(2016·湖北孝感六校联考)在复平面中，满足等式|z＋i|＝|4－3i|的复数z所对应点的轨迹是()A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆第十一章推理证明、算法、复数 49.推理与证明、数学归纳法【三年高考真题演练】 [2016年高考真题]1.B [取两个球往盒子中放有4种情况： ①红＋红，则乙盒中红球数加1个； ②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机，③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响，①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.]2.B [由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为：1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人需要从1～8号产生，数据排序后可知第3，6，7号必须进跳绳决赛，另外3人需从63，a ，63，60，a －1四个得分中抽取，若63分的人未进决赛，则60分的人就会进入决赛，与事实矛盾，所以63分必进决赛.故选B.]3.1和3 [由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.]4.43×n ×(n ＋1) [观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.]5.②③ [①设A 的坐标(x ，y )，伴随点A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′的伴随点横坐标为－x x 2＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x x 2＋y 22＝－x ，同理可得纵坐标为－y ，故A ″(－x ，－y )，错误；②设单位圆上的点P 的坐标为(cos θ，sin θ)，则P 的伴随点的坐标为P ′(sin θ，－cos θ)，则有sin 2θ＋(－cos θ)2＝1，所以P ′也在单位圆上，即单位圆的“伴随曲线”是它自身，②正确；③设曲线C 上点A 的坐标(x ，y )，其关于x 轴对称点A 1(x ，－y )也在曲线C 上，所以点A 的伴随点A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，点A 1的伴随点A 1′⎝ ⎛⎭⎪⎫－yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′与A 1′关于y 轴对称.③正确；④反例：例如y ＝1这条直线，则A (0，1)，B (1，1)，C (2，1)，而这三个点的伴随点分别是A ′(1，0)，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－25，而这三个点不在同一直线上，下面给出严格证明：设点P (x ，y )在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上，P 点的伴随点为P ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y x 2＋y 2，y 0＝－x x 2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 0x 20＋y 20，y ＝x 0x 20＋y 20.代入直线方程可知：A －y 0x 20＋y 20＋B x 0x 20＋y 20＋C ＝0，化简得：－Ay 0＋Bx 0＋C (x 20＋y 20)＝0，当C ＝0时，C (x 20＋y 20)是一个常数，P ′的轨迹是一条直线；当C ≠0时，C (x 20＋y 20)不是一个常数，P ′的轨迹不是一条直线.所以，直线“伴随曲线”不一定是一条直线.④错误.]6.(1)解 7C 36－4C 47＝7×20－4×35＝0.(2)证明对任意的m ，n ∈N *，n ≥m ， ①当n ＝m 时，左边＝(m ＋1)C m m ＝m ＋1，右边＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＝m ＋1，原等式成立.②假设n ＝k (k ≥m )时命题成立.即(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋k C m k －1＋(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)C m ＋2k ＋2，当n ＝k ＋1时，左边＝(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋k C m k －1＋(k ＋1)C m k ＋(k ＋2)C m k ＋1＝(m ＋1)C m ＋2k ＋2＋(k ＋2)C m k ＋1，右边＝(m ＋1)C m ＋2k ＋3.而(m ＋1)C m ＋2k ＋3－(m ＋1)C m ＋2k ＋2＝(m ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤（k ＋3）！（m ＋2）！（k －m ＋1）！－（k ＋2）！（m ＋2）！（k －m ）！＝(m ＋1)×（k ＋2）！（m ＋2）！（k －m ＋1）！[(k ＋3)－(k －m ＋1)]＝(k ＋2)（k ＋1）！m ！（k －m ＋1）！＝(k ＋2)C mk ＋1， ∴(m ＋1)C m ＋2k ＋2＋(k ＋2)C m k ＋1＝(m ＋1)C m ＋2k ＋3，∴左边＝右边.即m ＝k ＋1时命题也成立.综合①②可得原命题对任意m ，n ∈N *，n ≥m 均成立. [两年经典高考真题]1.D [等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎨⎧a 1＞0，q ＞1或⎩⎨⎧a 1＜0，0＜q ＜1故“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.] 2.4n －1 [观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1，第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.]3.5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.]4.14 [由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.]5.6 [根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a ＝1，b ＝1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组有0个； (2)若②正确，则a ≠1，b ≠1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a ≠1，b ＝1，c ＝2，d ＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)；(4)若④正确，则a ≠1，b ＝1，c ≠2，d ≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2).所以共有6个.故答案为6.]6.F ＋V －E ＝2 [因为5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F ＋V －E ＝2.]7.(1)证明因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列，(2)解不存在，理由如下：令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0).假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝d a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0，化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14.显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立.因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列.(3)解不存在，理由如下：假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列，则a n 1(a 1＋2d )n ＋2k ＝(a 1＋d )2(n ＋k )，且(a 1＋d )n ＋k (a 1＋3d )n ＋3k ＝(a 1＋2d )2(n ＋2k ). 分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）1及a 2（n ＋2k ）1，并令t ＝d a 1⎝⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0，则(1＋2t )n ＋2k ＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n ＋3k ＝(1＋2t )2(n ＋2k ).将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )，且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t ).化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]，且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )].再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**).令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )，则g ′(t )＝2[（1＋3t ）2ln （1＋3t ）－3（1＋2t ）2ln （1＋2t ）＋3（1＋t ）2ln （1＋t ）]（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）. 令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )，则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )].令φ1(t )＝φ′(t )，则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )].令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0. 由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调. 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立.所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列. 8.解 (1)Y 6＝{1，2，3，4，5，6}，S 6中的元素(a ，b )满足：若a ＝1，则b ＝1，2，3，4，5，6；若a ＝2，则b ＝1，2，4，6；若a ＝3，则b ＝1，3，6.所以f (6)＝13.(2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *). 下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：1)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；2)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－13，结论成立； 3)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－23，结论成立； 4)若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋k ＋13，结论成立； 5)若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k 3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－13，结论成立； 6)若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－23，结论成立. 综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.【两年模拟试题精练】1.A [当n ＝k 时，左侧＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左侧＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，故新增项为（k ＋1＋k ）（k ＋1＋k ＋1）k ＋1＝2(2k ＋1)，故选A.] 2.D [因为只有一人猜对，若甲猜对，则乙错，即3号选手也得第一名，与题设矛盾；若乙猜对，则甲、丙、丁都错，由甲、丁错可知，6号选手得第一名；与丙错矛盾；若丙猜对，则乙错，与题设矛盾，所以猜对者一定是丁，故选D.]3. m 2－n 2 [当n ＝0，m ＝1时，为第一个式子13＋23＝1此时1＝12－0＝m 2－n 2，当n ＝2，m ＝4时，为第二个式子73＋83＋103＋113＝12；此时12＝42－22＝m 2－n 2，当n ＝5，m ＝8时，为第三个式子163＋173＋193＋203＋223＋233＝39此时39＝82－52＝m 2－n 2，由归纳推理可知等式：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2.故答案为：m 2－n 2.]4.C [由题意，得n a 1＋a 2＋…＋a n＝15n ，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则a 1＝5，a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＝5n 2－5(n －1)2＝5(2n －1)(n ≥2)，而a 1＝5也适合上式，∴a n ＝5(2n －1)(n ∈N *)，b n ＝2n －1，1b n b n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫119－121＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝1021，故选C.]5.120 [由题意，第n 层菱草数为1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2， ∴1＋3＋6＋…＋n （n ＋1）2＝680，即为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n （n ＋1）（2n ＋1）＋12n （n ＋1）＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680，即有n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15，∴n （n ＋1）2＝120.故答案为：120.] 6.n ·2n －1 [S 1＝1，S 2＝4，当n ＝3时，S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12，S 4＝1＋2＋3＋4＋(2－1)＋(3－1)＋(4－1)＋(3－2)＋(4－2)＋(4－3)＋(3－2＋1)＋(4－2＋1)＋(4－3＋1)＋(4－3＋2)＋(4－3＋2－1)＝32，∴根据前4项猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝n ·2n －1，故答案为：n ·2n －1.]7.45 [由题意，从23到m 3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m ＝（m ＋2）（m －1）2个，2 015是从3开始的第1 007个奇数，当m ＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共46×432＝989个. 当m ＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共47×442＝1 034个.]8.(1)5 (2)9 [当l ＝12时，为使n 最大，先考虑截下的线段最短，第1段和第2段长度为1、1，由于任意三段都不能构成三角形，∴第3段的长度为1＋1＝2，第4段和第5段长度为3、5，恰好分成了5段；(2)当l ＝100时，依次截下的长度为1、1、2、3、5、8、13、21、34的线段，长度和为88，还余下长为12的线段，因此最后一条线段长度取为34＋12＝46，故n 的最大值是9.]9.n (n ＋1)·2n －2 [C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝n (C 0n －1＋2C 1n －1＋…＋k C k －1n －1＋…＋n C n －1n －1)＝n [(C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C k －1n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 1n －1＋2C 2n －1＋…＋(k －1)C k －1n －1＋…＋(n －1)C n －1n －1)].]10.7 255 [由题意a 3＝4a ，当a ≥2时，a 4＝4，a 5＝2a ，a 6＝a ，a 7＝1，因此{a n }是周期数列，周期为5，所以a 2 015＝a 5＝2a ≠4a ，不合题意；当a ＜2时，a 4＝8a ，a 5＝4，a 6＝a ，a 7＝1，同理{a n }是周期数列，周期为5，所以a 2 015＝a 5＝4＝4a ，a ＝1，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝18，S 2 016＝403×18＋1＝7 255.]11.181 [前5行共有20＋21＋22＋23＋24＝31个数，A (6，10)为数列的第41项，令a n ＝12n －1，则a 41＝181.] 12.55 [观察下列等式 2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，照此规律，第7个等式中：a ＝7，b ＝72－1＝48，∴a ＋b ＝55，故答案为：55.]13.D [①中类比得到|z 1|＝|z 2|＝0，故错误，③中向量的数量积不满足结合律，故错误.]14.B [由图可知a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，O 是英文字母的第15个字母，所以a 15＝29，应选B.]15.2n ＋1n ＋1[有各式的规律可知，右边的分子以3为首项，以2为公差的等差数列，分母以2为首项，以1为公差的等差数列，依此类推可以得到当n ∈N *时，1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2＜2n ＋1n ＋1.] 16.465 [类比36的所有正约数之和的方法有：200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.]17.10 [m 3的分解规律恰好为数列1，3，5，7，9，…中若干连续项之和，23为连续两项和，33为接下来三项和，故m 3的首个数为m 2－m ＋1.∵m 3(m ∈N ＋)的分解中最小的数为91，∴m 2－m ＋1＝91，解得m ＝10.]18.2n －3 [当n ＝3时，集合X 中有3个元素成等差数列，|P (X )|＝C 23＝3，当n ＝4时，集合X 中含有4个元素成等差数列，由于X 1＋X 4＝X 2＋X 3，|P (X )|＝C 24－1＝5，当n ＝5时，集合X 中有4个元素成等差数列，由于X 1＋X 4＝X 2＋X 3， X 1＋X 5＝X 2＋X 4，X 2＋X 5＝X 3＋X 4，|P (X )|＝C 25－3＝7，可见形成一个等差数列，根据等差数列通项公式，按照归纳推理可知：当X 有n 个元素时，|P (X )|＝3＋(n －3)×2＝2n －3.]19.证明 (1)由题设知a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14，∴a n ＋1a n＝f n ＋1（0）－1f n ＋1（0）＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝2f n （0）＋1－12f n （0）＋1＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝1－f n （0）2f n （0）＋4f n （0）－1f n （0）＋2＝－12，∴数列{a n }为等比数列，通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1. (2)解由(1)知b n ＝2n ，g (b n )＝1＋12＋13＋…＋12n ，只要证：1＋12＋13＋…＋12n ≥n ＋22，下面用数学归纳证明：n ＝1时，1＋12＝1＋22，结论成立；假设n ＝k 时成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋22，那么：n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋12k ＝k ＋32，即n ＝k ＋1时，结论也成立，所以n ∈N ，结论成立.50.算法初步【三年高考真题演练】[2016年高考真题]1.C [执行题中的程序框图，知第一次进入循环体：x ＝0＋1－12＝0，y ＝1×1＝1，x 2＋y 2<36；第二次执行循环体：n ＝1＋1＝2，x ＝0＋2－12＝12，y ＝2×1＝2，x 2＋y 2<36；第三次执行循环体：n ＝2＋1＝3，x ＝12＋3－12＝32，y ＝3×2＝6，x 2＋y 2>36，满足x 2＋y 2≥36，故退出循环，输出x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x ，故选C.]2.C [按照图中的程序计算，当i ＝2时，得v ＝4；当i ＝1时，得v ＝2×4＋1＝9；当i ＝0时，得v ＝2×9＋0＝18；当i ＝－1时，直接输出v ＝18，即输出的v 值为18.]3.B [k ＝0，b ＝a ＝1，第一次循环：a ＝－11＋1＝－12≠1，k ＝0＋1＝1；第二次循环：a ＝－11－12＝－2≠1，k ＝1＋1＝2；第三次循环：a ＝－11－2＝1，满足a ＝b ，输出k ＝2.] 4.B [第一次循环a ＝6－4＝2，b ＝6－2＝4，a ＝4＋2＝6，i ＝6，n ＝1；第二次循环a ＝－6＋4＝－2，b ＝4－(－2)＝6，a ＝6－2＝4，i ＝10，n ＝2；第三次循环a ＝6－4＝2，b ＝6－2＝4，a ＝4＋2＝6，i ＝16，n ＝3；第四次循环a ＝4－6＝－2，b ＝4－(－2)＝6，a ＝6－2＝4，i ＝20，n ＝4，满足题意，结束循环.]5.3 [第1次循环：i ＝1，a ＝1，b ＝8，a <b ；第2次循环：i ＝2，a ＝3，b ＝6，a <b ；第3次循环：i ＝3，a ＝6，b ＝3，a >b ，输出i 的值为3.]6.9 [a ＝1，b ＝9，不满足a ＞b ，进入循环体，则a ＝5，b ＝7，仍不满足a ＞b ，进入循环体，则a ＝9，b ＝5，满足a ＞b ，输出a ＝9.][两年经典高考真题]1.C [当i ＝1，S ＝0进入循环体运算时，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋(－1)＝－1，i ＝3；S ＝－1＋0＝－1，i ＝4；∴S ＝－1＋1＝0，i ＝5；S ＝0＋0＝0，i ＝6＞5，故选C.]2.B [第一次循环：S ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2；x ＝0，y ＝2，k ＝1；第二次循环：S ＝0－2＝－2，t ＝0＋2＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2；第三次循环：S ＝－2－2＝－4，t ＝－2＋2＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3.输出(－4，0).]3.C [由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此S ＝12＋14＋16＝1112(此时k＝6)还必须计算一次，因此可填S ≤1112，选C.]4.B [由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4；第二次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4；第三次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4；第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4；第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2；第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束，故选B.]5.C [程序框图的执行过程如下：s ＝1，k ＝9，s ＝910，k ＝8；s ＝910×89＝810，k＝7；s ＝810×78＝710，k ＝6，循环结束.故可填入的条件为s >710.故选C.]6.C [先画出x ，y 满足的约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，对应的可行域如图中的阴影部分：移动直线l 0：y ＝－2x .当直线经过点A (1，0)时，y ＝－2x ＋S 中截距S 最大，此时S max＝2×1＋0＝2.再与x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时S ＝1进行比较，可得S max ＝2.]7.C [由初始值的特征可知，输出的数列首项为2，又a i ＝2×S ，S ＝a i ，i ＝i ＋1，∴a i ＋1a i＝2，则输出的数列是首项为2，公比为2的等比数列，则通项公式a n ＝2n .] 8.D [k ＝1，M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5；。

专题1-9 算法、推理与证明、复数讲-2018年高考数学理

考向一复数【高考改编☆回顾基础】1．【复数的除法运算】【2017课标II 改编】31ii+=+ . 【答案】2i -【解析】由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+ . 2. 【复数的概念、复数的运算】【2017山东，改编】已知a R ∈,i 是虚数单位，若3,4z a i z z =+⋅=，则a= . 【答案】1或-1【解析】由3,4z a i z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±.3.【复数的几何意义】【【2016高考新课标2改编】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 .【答案】(31)-，【解析】要使复数z 对应的点在第四象限应满足：m 30m 10+>⎧⎨-<⎩，解得3m 1-<<，故填(31)-，. 4.【复数的运算、复数的模】【2016新课标改编】设(1)=1+,x i yi +其中x ,y 实数,则i =x y +( ) 【答案】2【解析】因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=.【命题预测☆看准方向】近五年对复数考查的重点内容有:复数的基本概念、复数的几何意义、共轭复数、复数的四则运算,考查的热点是复数的乘除运算.【典例分析☆提升能力】【例1】若复数z 满足)1(21i z i +-=⋅，则z 的共轭复数的虚部是（） .A i 21- .B i 21 .C 21- .D 21【答案】C【趁热打铁】知复数z 满足(3)10i z i +=(其中i 是虚数单位,满足21i =-),则复数z 的共轭复数是（）A.13i -+B.13i -C.13i +D.13i -- 【答案】B 【解析】因为1010(3)1030=13,133(3)(3)10i i i iz i z i i i i -+===+∴=-++-，选B . 【例2】【2018届河北省武邑中学高三上学期第五次调研】已知i 为虚数单位， z 为复数z 的共轭复数，若29z z i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】设i,,R z a b a b =+∈，由29i z z +=-，得()()i 29i a b a bi ++-=-，即3i 9i a b -=-，则3,1a b ==，即3i z =+在复平面内对应的点()3,1位于第一象限.故选A.【趁热打铁】设a 是实数，若复数112a ii -+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则a 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】B 【解析】()()i a a i a i i i a i i a 2221)1)(1(1211+=+=-++=-+-，对应的点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2a a ，因此022=+a a ，得 0=a ，故答案为B.【方法总结☆全面提升】1.利用复数的四则运算求复数的一般思路:(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则,利用此法则运算后将实部与虚部分别写出即可. (2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简. (3)利用复数的相关概念解题时,通常是设出复数或利用已知联立方程求解.2. 判断复数对应的点在复平面内的位置的方法:首先将复数化成a+bi(a,b ∈R)的形式,其次根据实部a 和虚部b 的符号来确定点所在的象限.3.(1)与共轭复数有关的问题一般都要先设出复数的代数形式，再用待定系数法解决．（2）与复数的概念有关的问题，一般是先化简，把复数的非代数形式化为代数形式．（3）熟记复数的四则运算法则及一些运算结果，有助于提高运算速度,如：2(1i)2i ±=±，11,11i ii i i i+-==--+. 【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知z C ∈，映射:||izf z z →的实部，则34i +的像为（） A ．35B ．35-C ．45D ．45-【规范解答】由题意得：(34)43:3455i i i f i -++→=的实部45，因此34i +的像为45，选C. 【反思提高】1．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化． 2．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i 、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ；(3)ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－12±32i.(4)i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n∈N)．3．注意利用共轭复数的性质，将zz 转化为||z 2，即复数的模的运算，常能使解题简捷．【误区警示】在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C 时，不是总成立的：(1)(z m )n＝z mn(m ，n 为分数)；(2)若z m＝z n，则m ＝n(z≠1)；(3)若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.考向二算法【高考改编☆回顾基础】1．【循环结构，输出、输入问题】【2017课标3，改编】执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）【答案】2【解析】2.【循环结构，条件补全】【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A>1 000和n=n+1B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1D．A≤1 000和n=n+2【答案】D 【解析】【命题预测☆看准方向】程序框图是高考命题的高频考点,高考对程序框图的考查经常与函数求值、方程求解、不等式求解、数列求和、统计量的计算等交汇在一起命题.以循环结构为主的计算、输出、程序框图的补全是高考的热点,题目多以选择题、填空题的形式出现,中等难度. 预测2018年考查的主要题目类型重点是:程序框图的执行问题；程序框图的补全问题.【典例分析☆提升能力】【例1】按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M 处条件可以是（） A ．32k > B ．16k ≥ C ．32k ≥ D ．16k <【答案】C【趁热打铁】若下图，给出的是计算11112462016++++ 值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（）A. 2015?i >B. 2017?i >C. 2017?i ≤D. 2015?i ≤ 【答案】C【解析】程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一次循环：i=2，S=0+12，第二循环：i=4，S=1124+，第三次循环：i=6，S=12+14+16，…依此类推，第1008次循环：i=2016，S=11112462016++++ ， i=2018，不满足条件，退出循环，输出s 的值，所以i ≤2017或i ＜2017．故答案为：C.【例2】【2018届辽宁省沈阳市高三教学质量监测（一）】已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x的值为（）A. -3B. -3或9C. 3或-9D. -9或-3【答案】B【趁热打铁】执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A. 4B. 5C. 6D.7【答案】B【方法总结☆全面提升】1.执行循环结构:首先,要分清是先执行循环体,再判断条件,还是先判断条件,再执行循环体;其次,注意控制循环的变量是什么,何时退出循环;最后,要清楚循环体内的程序是什么,是如何变化的.2.解答补全问题时,首先,根据输出的结果,计算出需要循环的次数;然后,计算出最后一次循环变量对应的数值;最后,通过比较得出结论.特别要注意对问题的转化,问题与框图的表示的相互转化.【规范示例☆避免陷阱】【典例】某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于 37，则输入的整数i 的最大值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【规范解答】这是一个循环结构，循环的结果依次为：01021,1;123,2;S n S n =+===+==234327,3;7215,4;15231,5S n S n S n =+===+===+==.所以i 的最大值为5.【反思提高】1.解答有关程序框图的问题,要读懂程序框图,熟练掌握程序框图的三种基本结构.注意逐步执行,并且将每一次执行的结果都写出来,要注意在哪一步结束循环以防止运行程序不彻底.循环结构常常用在一些有规律的科学计算中,如累加求和、累乘求积、多次输入等.2.程序框图中只要有了循环结构,就一定会涉及条件结构和顺序结构.对于循环结构,要注意当型与直到型的区别,搞清进入或终止的循环条件、循环次数是做题的关键. 【误区警示】算法初步问题，往往比较简单，正答率较高，出现的问题往往有执行程序不完整、计算错误等，本题中不能正确的依次计算n2S S =+，而出现误选.考向三推理与证明【高考改编☆回顾基础】1．【合情推理】【2017课标II ，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。

精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题11算法复数推理与证明第79练复数练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题11 算法、复数、推理与证明第79练复数练习理1．(2016·镇江一模)i 为虚数单位，则2－i＝____________. 2．(2016·南京、盐城一模)已知复数z ＝2＋i 1－i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 3．(2016·泰州一模)如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.4．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝________.5．(2016·全国甲卷改编)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是____________．6．已知复数z ＝3＋i－32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝__________. 7．若复数z ＝2－i ，则z ＋10z＝________. 8．(2016·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，＋2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是________．9．满足z ＋i z＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝______________. 10．(2015·江苏)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．11．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．12．(2016·山东实验中学诊断)在复平面内，复数21－i对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是________．13．(2016·江苏一模)设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i)n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________．14．(2016·苏州一模)对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________．(填序号)①|z －z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2；③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |. 答案精析1.35－15i2.1023.－2－i4.－1＋i 5．(－3,1) 6.147．6＋3i解析 ∵z ＝2－i ，∴z ＋10z ＝(2＋i)＋102－i ＝(2＋i)＋＋－＋＝6＋3i. 8．2解析由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素． 9.12－12i 解析 ∵z ＋i z＝i ，∴z ＋i ＝z i ，∴i＝z (i －1)． ∴z ＝ii －1＝－1－－1＋－1－＝1－i 2 ＝12－12i. 10. 5解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1，从而|z |＝a 2＋b 2＝ 5.11．2解析因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a,1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b ＝2. 12.22解析 21－i ＝＋－＋＝1＋i ，所以复数21－i 对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x ＋1的距离为1－1＋112＋－2 ＝22. 13．3 解析因为f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i)n ＝i n ＋(－i)n ，所以f (1)＝0，f (2)＝－2， f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0＝f (1)，…，故集合{f (n )}中共有3个元素．14．④解析对于①，∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴①不正确；对于②，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；对于③∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴③不正确；对于④，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故④正确．。

2018高考数学(理)一轮复习课件第十一章复数、算法、推理与证明第1讲课件

复数、算法、推理与证明
知识点直接证明与间接证明
考纲下载 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． 2．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．
数学归了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些纳法简单的数学命题．
第十一章
复数、算法、推理与证明
知识点
考纲下载 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．
复数
2．了解复数的代数表示法及其几何意义． 3．会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
第十一章
复数、算法、推理与证明
知识点算法与程序框图
考纲下载 1.了解算法的含义，了解算法的思想． 2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环；理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．
2 复数集中来．例如，若 z1，z2∈C，z2 ＋ z 1 2＝0，就不能推出 z1
＝z2＝0；z2<0 在复数范围内成立．
2．复数的运算技巧 (1)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法． (2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．
3．复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． 1＋i 1－i (1)(1± i) ＝± 2i；＝ i；＝－i； 1－i 1＋i
2
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n 1＝i，i4n 2＝－1，i4n 3＝－i，i4n＋i4n 1＋i4n

2018高考数学(理)一轮复习课件第十一章复数、算法、推理与证明第3讲课件

点由__________到_________的推理
个别
一般
__________的推理
特殊
3.演绎推理
一般性的原理 (1)定义：从______________ 出发，推出某个特殊情况下的结
论，我们把这种推理称为演绎推理．
一般特殊 (2)特点：演绎推理是由_________ 到________ 的推理．
一般结论 ______________ 的推理部分整体特由____________ 到____________ 、
类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的
某些已知特征 __________________ ，推出
特征，推出该类事物的
另一类对象也具有这些特征的推理
特殊由____________ 到
(2)(2017· 青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为 120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长 1 度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为 3 120°，…，依此规律得到 n 级分形图．
n * 3 × 2 － 3( n ∈ N ) 条线段． n 级分形图中共有_________________
1．数列 2，5，11，20，x，47，…中的 x 等于( A．28 C．33 B．32 D．27
B
)
[解析] 由 5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，则 x－20＝12，因此 x＝32.
2．推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形， ③三角形不是矩形”中的小前提是( A．① C．③
第十一章
复数、算法、推理与证明
第 3讲
合情推理与演绎推理

2018版高考数学文人教A版大一轮复习配套讲义：第十一

第1讲合情推理与演绎推理最新考纲 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知识梳理1.合情推理2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( ) 解析 (1)类比推理的结论不一定正确.(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于( ) A.28B.32C.33D.27解析 5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x －20＝12，所以x ＝32. 答案 B3.正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( ) A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确D.全不正确解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. 答案 C4.(2015·陕西卷)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……据此规律，第n 个等式可为________.解析第n 个等式左边共有2n 项且等式左边分母分别为1，2，…，2n ，分子为1，正负交替出现，即为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边共有n 项且分母分别为n ＋1，n ＋2，…，2n ，分子为1，即为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .所以第n个等式可为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n5.(选修1－2P35A6改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3…b n ＝________. 答案 b 1b 2b 3…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)考点一归纳推理【例1】 (1)(2016·山东卷)观察下列等式： ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2 ＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； ……照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.(2)(2017·潍坊模拟)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，根据上述规律，第n 个不等式应该为________.解析 (1)观察前4个等式，由归纳推理可知⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n （n ＋1）3.(2)根据规律，知不等式的左边是n ＋1个自然数的平方的倒数的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应该为1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1.答案 (1)4n （n ＋1）3 (2)1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1规律方法归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.(3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可.(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.【训练1】 (1)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2，五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝____________.解析 (1)由题意知：图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6，∴第n 条小鱼需要(2＋6n )根. (2)三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ＝n 2＋n 2，正方形数 N (n ，4)＝n 2＝2n 2－0·n 2，五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ＝3n 2－n 2，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ＝4n 2－2n 2，k 边形数 N (n ，k )＝（k －2）n 2－（k －4）n2，所以N (10，24)＝22×102－20×102＝2 200－2002＝1 000.答案 (1)2＋6n (2)1 000 考点二类比推理【例2】 (1)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD.d n ＝n c 1·c 2·…·c n(2)(2016·南昌二中月考)如图(1)所示，点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四面体V －BCD 内的任意一点，如图(2)所示，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长分别交面BCD ，VCD ，VBD ，VBC 于点V 1，B 1，C 1，D 1，则有________________.解析 (1)法一从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为d n ＝nc 1·c 2·…·c n .法二若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ，∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n （n －1）2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D.(2)利用类比推理，猜想应有OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1.用“体积法”证明如下：OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O －BCD V V －BCD ＋V O －VCD V B －VCD ＋V O －VBD V C －VBD ＋V O －VBC V D －VBC ＝V V －BCDV V －BCD ＝1. 答案 (1)D (2)OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1规律方法 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.【训练2】 (2017·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12B.5－12 C.1＋52D.1－52 解析 1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.答案 C考点三演绎推理【例3】数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *).证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)规律方法演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.【训练3】 (2016·全国Ⅱ卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.答案1和3[思想方法]1.合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.[易错防范]1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.(2016·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A.22项B.23项C.24项D.25项解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C.答案 C2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”，但推理形式错误D.使用了“三段论”，但小前提错误解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误.答案 C3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A.f(x)B.－f(x)C.g(x)D.－g(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x).答案 D4.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案 C5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”.以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A.1B.2C.3D.4解析 ①②正确；③④⑤⑥错误. 答案 B6.(2017·宜昌一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是( ) A.甲，丙B.乙，丁C.丙，丁D.乙，丙解析甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确.故答案为D. 答案 D7.平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A.n ＋1 B.2n C.n 2＋n ＋22D.n 2＋n ＋1解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n （n ＋1）2＝n 2＋n ＋22个区域，选C. 答案 C8.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A.6B.7C.8D.9解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1).设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6＋6（n －1）2×(n －1)＝3n 2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层. 答案 C 二、填空题9.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________. 解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n （n ＋3）2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14. 答案 1410.观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第n 个等式为________.解析观察所给等式左右两边的构成易得第n 个等式为13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22＝n 2（n ＋1）24.答案 13＋23＋…＋n 3＝n 2（n ＋1）2411.(2017·重庆模拟)在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：________.解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .” 答案在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n12.已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a ＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立.运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有________成立. 解析对于函数y ＝a x (a ＞1)的图象上任意不同两点A ，B ，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立；对于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，类比可知应有sin x 1＋sin x 22＜sinx 1＋x 22成立. 答案 sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(2017·湖北八校二联)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( ) A.甲B.乙C.丙D.丁解析根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：由表知，只有丁猜对了比赛结果，故选D. 答案 D14.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A.289B.1 024C.1 225D.1 378解析观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3， …a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225. 答案 C15.若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________. 解析设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2yb 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 答案 x 0x a 2－y 0y b 2＝116.(2016·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …则第30行从左到右第3个数是________.解析先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数.观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×（2＋60）2－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051. 答案 1 051第2讲直接证明与间接证明最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.知识梳理1.直接证明2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (2)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”.( ) (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( )(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.( )解析 (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件. (2)应假设“a ≤b ”. (3)反证法只否定结论.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A.2ab －1－a 2b 2≤0B.a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D.(a 2－1)(b 2－1)≥0解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0. 答案 D3.若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A.ac 2<bc 2 B.a 2>ab >b 2 C.1a <1bD.b a >a b解析 a 2－ab ＝a (a －b )，∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0，∴a 2>ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，② 由①②得a 2>ab >b 2. 答案 B4.用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A.方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D.方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”. 答案 A5.(选修1－2P37例3改编)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________. 解析由题意2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，又b 2＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3，∴△ABC 为等边三角形.答案等边三角形考点一综合法的应用【例1】 (2017·东北三省三校模拟)已知a ，b ，c >0，a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≤3； (2)13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝(a ＋b ＋c )＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤(a ＋b ＋c )＋(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )＝3， ∴a ＋b ＋c ≤3. (2)∵a ＞0，∴3a ＋1＞0， ∴43a ＋1＋(3a ＋1)≥243a ＋1（3a ＋1）＝4， ∴43a ＋1≥3－3a ，同理得43b ＋1≥3－3b ，43c ＋1≥3－3c ，以上三式相加得4⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9－3(a ＋b ＋c )＝6， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 规律方法用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围： (1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱. 【训练1】设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设知(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1. 考点二分析法的应用【例2】已知a ＞0，证明：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.证明要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2).因为a ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)＞0，所以只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 22≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －（2－2）2，即2(2－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥8－42，只需证a ＋1a ≥2.因为a ＞0，a ＋1a ≥2显然成立⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝1a ＝1时等号成立，所以要证的不等式成立.规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.【训练2】 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.证明要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3也就是c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2a cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立. 于是原等式成立. 考点三反证法的应用【例3】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列. (1)解由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2).(2)证明由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2).∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾. ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.规律方法 (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等. (2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的.【训练3】 (2017·郑州一中月考)已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100，求证：a 1，a 2，a 3，a4中至少有一个数大于25.证明假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，这与已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假设错误.所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.[思想方法]分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.[易错防范]1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论.2.在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是()A.lg(1＋a2)>0B.a2＋b2≥2(a－b－1)C.a2＋3ab>2b2D.ab<a＋1 b＋1解析在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.答案 B2.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°答案 B3.已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是()A.a>bB.a<bC.a＝bD.a，b大小不定解析∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋m>m＋m－1＞0(m＞1)，∴1m＋1＋m<1m＋m－1，即a<b.答案 B4.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac＜3a”索的因应是()A.a－b＞0B.a－c＞0C.(a－b)(a－c)＞0D.(a－b)(a－c)＜0解析由题意知b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇐－2a2＋ac＋c2＜0⇐2a2－ac－c2＞0⇐(a－c)(2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.答案 C5.①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下正确的是( )A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确解析反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q ＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确. 答案 D 二、填空题6.6＋7与22＋5的大小关系为________. 解析要比较6＋7与22＋5的大小，只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小，只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小，只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小， ∵42>40，∴6＋7>22＋ 5. 答案6＋7>22＋ 57.用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________. 答案都不能被5整除8.下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件的序号是________.解析要使b a ＋a b ≥2，只需ba >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋ab ≥2成立.答案 ①③④ 三、解答题9.若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c . 证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c2≥ac ＞0. 又上述三个不等式中等号不能同时成立. ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc 成立. 上式两边同时取常用对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg abc ，∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .10.设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和. (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以数列{S n }不是等比数列.(2)解当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)，得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾.综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( ) A.A ≤B ≤C B.A ≤C ≤B C.B ≤C ≤AD.C ≤B ≤A解析 ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . 答案 A12.设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( ) A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2. 答案 D13.如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是________. 解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a ) ＝a (a －b )＋b (b －a ) ＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b ).∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0. ∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b14.设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.证明由于x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1).因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立.第3讲算法与程序框图最新考纲 1.了解算法的含义，了解算法的思想；2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环；3.了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义；4.了解流程图、结构图及其在实际中的应用.知识梳理1.算法(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.2.程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.3.三种基本逻辑结构4.基本算法语句(1)输入、输出、赋值语句的格式与功能(2)条件语句的格式①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式(3)循环语句的格式①WHILE语句②UNTIL语句5.流程图与结构图(1)由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图.(2)描述系统结构的图示称为结构图，一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)程序框图中的图形符号可以由个人来确定.()(2)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构.()(3)“当型”循环与“直到型”循环退出循环的条件不同.()(4)在算法语句中，X＝X＋1是错误的.()答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A.－32B.32C.－12D.12解析按照程序框图依次循环运算，当k ＝5时，停止循环，当k ＝5时，S ＝sin 5π6＝12. 答案 D3.(2016·全国Ⅱ卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝( )A.7B.12C.17D.34解析由框图可知，输入x ＝2，n ＝2，a ＝2，s ＝2，k ＝1，不满足条件；a ＝2，s ＝4＋2＝6，k ＝2，不满足条件；a ＝5，s ＝12＋5＝17，k ＝3，满足条件输出s ＝17，故选C.答案 C4.(必修3P20A1改编)根据给出的程序框图，计算f(－1)＋f(2)＝________.解析由程序框图，f(－1)＝－4，f(2)＝22＝4.∴f(－1)＋f(2)＝－4＋4＝0.答案05.(2016·北京卷改编)执行如图所示的程序框图，输出的s值为________.解析k＝0，s＝0，满足k≤2；s＝0，k＝1，满足k≤2；s＝1，k＝2，满足k≤2；s＝1＋23＝9，k＝3，不满足k≤2，输出s＝9.答案9考点一算法的基本结构【例1】(1)(2017·厦门质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入x的值为1，则输出y的值为()A.2B.7C.8D.128(2)(2017·北京海淀区模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )A.1B.2C.3D.4解析 (1)由程序框图知，y ＝⎩⎨⎧2x，x ≥2，9－x ，x <2.∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8. (2)初始值k ＝0，a ＝1，b ＝1. 第一次循环，a ＝－12，k ＝1；第二次循环，a ＝－2，k ＝2；第三次循环，a ＝1，此时a ＝b ＝1，输出k ＝2. 答案 (1)C (2)B规律方法 (1)高考对算法初步的考查主要是对程序框图含义的理解与运用，重点应放在读懂框图上，尤其是条件结构、循环结构.特别要注意条件结构的条件，。

2018年高考数学二轮复习考前回扣11 推理与证明、算法、复数讲学案理

回扣11 推理与证明、算法、复数1．复数的相关概念及运算法则 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 ①z 是实数⇔b ＝0； ②z 是虚数⇔b ≠0； ③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )． (5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. ()其中a ，b ，c ，d ∈R .2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i. (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i. (3)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈Z )．(4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.3．程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示． (2)条件结构：如图(2)和图(3)所示． (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．4．推理推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论．合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程实验、观察―→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程实验、观察―→联想、类推→猜测新的结论5．证明方法(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．推理模式：框图表示Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．推理模式框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．(3)反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋b i，a，b∈R)．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项．3．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“＞”的区别．4．解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应．5．类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比．用数学归纳法证明时，易盲目以为n 0的起始值n 0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n ＝k 成立的归纳假设．6．在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果．1．复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－1－3iB ．－1＋3iC ．1＋3iD ．1－3i 答案 A解析 ∵z (2－i)＝1＋7i ，∴z ＝1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋15i 5＝－1＋3i ，共轭复数为－1－3i.2．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 1·z 2等于( ) A ．13iB ．－13iC ．13＋12iD ．12＋13i答案 A解析 z 1＝2＋3i ，z 1·z 2＝(2＋3i)(3＋2i)＝13i.3．用反证法证明命题：三角形的内角至少有一个钝角．假设正确的是( ) A ．假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角 C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案 C解析原命题的结论为至少有一个钝角．则反证法需假设结论的反面．“至少有一个”的反面为“没有一个”，即假设没有一个钝角． 4．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B ．所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电C ．高一参加军训有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式答案 B解析 A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质为类比推理．B ．所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电．由一般到特殊，为演绎推理．C ．高一参加军训有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人为归纳推理．D ．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式为归纳推理．5．z ＝m ＋i 1－i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 z ＝(m ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝m －1＋(m ＋1)i2，由于m －1＜m ＋1，故不可能在第四象限．6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( ) A ．n ＝6 B ．n ＜6 C ．n ≤6 D ．n ≤8 答案 C解析 S ＝0，n ＝2，判断是，S ＝12，n ＝4，判断是，S ＝12＋14＝34，n ＝6，判断是，S ＝12＋14＋16＝1112，n ＝8，判断否，输出S ，故n ≤6.7．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①，②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—分析法 B ．①—分析法，②—综合法 C ．①—综合法，②—反证法D．①—分析法，②—反证法答案 A解析根据已知可得该结构图为证明方法的结构图．由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线代表“推理与证明”中的思维方法是①—综合法，②—分析法．8．执行如图所示的程序框图，若输出的是n＝6，则输入整数p的最小值为( )A．15 B．16 C．31 D．32答案 B解析列表分析如下：是否继续循环S n循环前 0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是 7 4第四圈是 15 5第五圈是 31 6第六圈否故当S值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p的最小正整数值为16.9．小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)，小明依次共答了10道题，设正确率依次为a1，a2，a3，…，a10.现有三种说法：①若a1＜a2＜a3＜…＜a10，则必是第一道题答错，其余题均答对；②若a1＞a2＞a3＞…＞a10，则必是第一道题答对，其余题均答错；③有可能a5＝2a10，其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析①②显然成立，③前5个全答对，后5个全答错，符合题意，故选D.10．下列类比推理的结论不正确的是( )①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”； ②类比“设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列”，得到猜想“设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列”； ③类比“平面内，垂直于同一条直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，垂直于同一条直线的两直线相互平行”；④类比“设AB 为圆的直径，P 为圆上任意一点，直线PA ，PB 的斜率存在，则k PA ·k PB 为常数”，得到猜想“设AB 为椭圆的长轴，P 为椭圆上任意一点，直线PA ，PB 的斜率存在，则k PA ·k PB 为常数”.A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④ 答案 B解析 ②等差数列中结论成立，而等比数列中T 4＝a 41·q 6，T 8T 4＝a 41·q 22，T 12T 8＝a 41·q 38也成立； ④由圆中k PA ·k PB 为－1，而类比到椭圆：k PA ·k PB ＝－a 2b 2或－b 2a2，也成立；①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”不成立，即a ·b ·c ≠a ·(b ·c )，这由向量数量积的定义决定的．③类比“平面内，垂直于同一条直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，垂直于同一条直线的两直线相互平行”不成立，空间中可能出现相交，异面的情况．故选B.11．图中的实心点个数1,5,12,22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，…，若按此规律继续下去，则a n ＝__________.答案 3n 2－n2解析由题观察所给的图形，对应的点分别为1,1＋4,1＋4＋7,1＋4＋7＋10，…，可得点的个数为首项为1，公差为3的等差数列的和，则a n ＝S n ＝n ＋3n (n －1)2＝3n 2－n2.12．在△ABC 中，AD 平分∠A 的内角且与对边BC 交于D 点，则BD CD ＝ABAC，将命题类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面ADE 平分二面角B －AD －C 且与对棱BC 交于E 点，则可得到的正确命题结论为________．答案BE CE ＝S △ABDS △ACD解析在△ABC 中，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE ＝DF ，所以AB AC ＝S △ABD S △ACD ＝BDCD，根据面积类比体积，长度类比面积可得V B －ADE V C －ADE ＝S △ABD S △ACD ，即BE CE ＝S △ABDS △ACD. 13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．答案 32解析由题意得log 2n ＋1n ＋2＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)，由程序框图的计算公式，可得 S ＝(log 22－log 23)＋(log 23－log 24)＋…＋[log 2n －log 2(n ＋1)]＝1－log 2(n ＋1)，由S ＜－4，可得1－log 2(n ＋1)＜－4⇒log 2(n ＋1)＞5，解得n ＞31，所以输出的n 为32.14．在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.猜想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．答案 S 21＋S 22＋S 23＝S 24解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S21＋S22＋S23＝S24.15．复数z ＝(m 2＋3m －4)＋(m 2－10m ＋9)i(m ∈R )， (1)当m ＝0时，求复数z 的模；(2)当实数m 为何值时，复数z 为纯虚数；(3)当实数m 为何值时，复数z 在复平面内对应的点在第二象限？解 (1)当m ＝0时，z ＝－4＋9i ， ∴||z ＝(－4)2＋92＝97.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋3m －4＝0，m 2－10m ＋9≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4或m ＝1，m ≠9且m ≠1，即当m ＝－4时，复数z 为纯虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －4＜0，m 2－10m ＋9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4＜m ＜1，m ＜1或m ＞9，即当－4＜m ＜1时，复数z 在复平面内对应的点在第二象限．16．(1)tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1； (2)tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1. 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．解若α，β，γ都不是90°，且α＋β＋γ＝90°，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan αtan γ＝1.。

推理论证及复数运算

推理论证及复数运算1．已知i 为虚数单位，a R ∈，若2(1)(1)1(1)a a i a a i -++=-+-是纯虚数，则a 的值为（）A.-1或1B.1C.3D.-1 【答案】D 【解析】试题分析：因为(1)(1)a a i -++=21(1)a a i -+-是纯虚数，则210a -=且10a -≠，所以a =-1，故选D.考点：复数的运算；复数的概念 2．若iiz 21+=，则复数z =（） A.2 B ．3 C ．5 D ． 5 【答案】C 【解析】试题分析：因为iiz 21+==2i -，所以||z C. 考点：复数的运算；复数的模3．已知z 为纯虚数，12z i+-是实数，那么z =（） A.2i B.2i - C.12i D.12i -【答案】D【解析】试题分析：设z=yi （y R ∈）,则12z i +-=12yi i+-=(1)(2)2(21)(2)(2)5yi i y y ii i ++-++=-+，由题知，210y +=，所以12y =-，故12i -，故选D. 考点：复数的概念；复数的运算4．设复数21,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，i z +=21，则=⋅21z z （） A.5- B.5 C.i +-4 D.i --4【答案】A. 【解析】试题分析：∵21,z z 在复平面内关于虚轴对称，i z +=21，∴i z +-=22，∴5)2)(2(21-=+-+=⋅i i z z .考点：复平面与复数的运算.5．化简=-+23)1()1(i i （）A.i +1B.i -1C.i +-1D.i --1 【答案】D.【解析】试题分析：i i i i i i --=-+=-+12)1(2)1()1(23.考点：复数的运算.6．图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n 个图包含______个互不重叠的单位正方形。

精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题11算法复数推理与证明第81练几何证明选讲练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题11 算法、复数、推理与证明第81练几何证明选讲练习理1.如图所示，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BF FC的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值．2.(2016·南京六校联考)如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE 、CFD 、CGE 都是⊙O 的割线，已知AC ＝AB .求证：FG ∥AC .3.(2016·南京、盐城一模)如图，已知点P 为Rt△ABC 的斜边AB 的延长线上一点，且PC 与Rt△ABC 的外接圆相切，过点C 作AB 的垂线，垂足为D .若PA ＝18，PC ＝6，求线段CD 的长． 4.(2016·南通三模)如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB于H.求证：PA·AH＝PC·HB.5.(2016·南京、盐城一模)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连结AD，BD.若AC＝4，DE＝3，求BD的长．6．(2016·苏北四市一模)如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA.答案精析1．解(1)过D点作DG∥BC，交AF于G点．∵E是BD的中点，∴BE＝DE.又∵∠EBF＝∠EDG，∠BEF＝∠DEG，∴△BEF ≌△DEG ，∴BF ＝DG ，∴BF ∶FC ＝DG ∶FC .∵D 是AC 的中点，∴DG ∶FC ＝1∶2，∴BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12. (2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底，则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2，其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高，则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16，则S 1∶S 2＝1∶5.2．证明 ∵AB 为切线，AE 为割线，∴AB 2＝AD ·AE ，又∵AC ＝AB ，∴AD ·AE ＝AC 2.∴AD AC ＝AC AE ，又∵∠EAC ＝∠CAD ，∴△ADC ∽△ACE ，∴∠ADC ＝∠ACE ，又∵∠ADC ＝∠EGF ，∴∠EGF ＝∠ACE ，∴GF ∥AC .3．解由切割线定理，得PC 2＝PA ·PB ，解得PB ＝2，所以AB ＝16，所以Rt△ABC 的外接圆半径r ＝8，记Rt△ABC 外接圆的圆心为O ，连结OC ，则OC ⊥PC ，在Rt△POC 中，由面积法得OC ·PC ＝PO ·CD ，解得CD ＝245.4．证明连结AC ，AB ，因为BC 为圆O 的直径，故AC ⊥AB .又AH ⊥PB ，故AH 2＝CH ·HB ，即AH CH ＝HB AH .因为PA 为圆O 的切线，故∠PAC ＝∠B .在Rt△ABC 中，∠B ＋∠ACB ＝90°，在Rt△ACH 中，∠CAH ＋∠ACB ＝90°，所以∠CAH ＝∠B ，所以∠PAC ＝∠CAH ，所以PC CH ＝PA AH ，即AH CH ＝PA PC .所以PA PC ＝HB AH ，即PA ·AH ＝PC ·HB .5．解因为CD 与⊙O 相切于点D ，所以∠CDA ＝∠DBA ，因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ADB ＝90°.又DE ⊥AB ，所以△EDA ∽△DBA ，所以∠EDA ＝∠DBA ，所以∠EDA ＝∠CDA ，DE BD ＝AE AD .又∠ACD ＝∠AED ＝90°，AD ＝AD ，所以△ACD ≌△AED .所以AE ＝AC ＝4，所以AD ＝AE 2＋DE 2＝5，又DE BD ＝AE AD ，所以BD ＝DE AE ·AD ＝154.6．证明连结OT .因为AT 是切线，所以OT ⊥AP . 又因为∠PAQ 是直角，即AQ ⊥AP ，所以AB ∥OT ，所以∠TBA ＝∠BTO .又OT ＝OB ，所以∠OTB ＝∠OBT ，所以∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.。

2018版高考数学(江苏专用,理科)专题复习：专题11 算法、复数、推理与证明第80练含解析

1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， …照此规律，第五个不等式为__________________________________________________．2．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m .类比上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝____________.3．(2016·合肥二模)正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，如此继续下去，则所有这些正六边形的面积和是________．4．已知等差数列{a n}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{b n}中，会有类似的结论：______________________.5．下面是一个类似杨辉三角的数阵，则第n(n≥2)行的第2个数为________．13 356 571111791822189…6．(2016·苏北联考)若直角三角形的两直角边为a，b，斜边c上的高为h，则1h2＝1a2＋1b2.类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P－ABC，PO为该棱锥的高，记M＝1PO2，N＝1P A2＋1PB2＋1PC2，那么M，N的大小关系是M________N．(填＞，＜或＝)7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若存在正整数m，n(m＜n)，使得S m＝S n，则S m＋n＝0.类比上述结论，设正项等比数列{b n}的前n项积为T n，若存在正整数m，n(m＜n)，使得T m＝T n，则T m＋n＝________.8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB ＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为________．①S2＝S21＋S22＋S23；②S2＝1S21＋1S22＋1S23；③S＝S1＋S2＋S3; ④S＝1S1＋1S2＋1S3.9．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足1817＜S 2n S n ＜87的所有n 的和为________．10．(2016·湖南师大附中月考三)将正整数按如图方式排列，其中处在从左到右第m 列，从下到上第n 行的数记为A (m ，n )，如A (3,1)＝4，A (4,2)＝12，则A (1，n )＝____________，A (10,10)＝________.… … … … … … … … … … … … 28…………………………… 2127………………………… 152026……………………… 10141925…………………… 69131824………………… 358121723……………… 1247111622……………11．(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎨⎧x 4x 5x 6x 7＝0，x 2x 3x 6x 7＝0，x 1x 3x 5x 7＝0，其中运算定义为：00＝0,01＝1,10＝1,11＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k ＝________.12．(2016·武昌调研)如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．则(1)在圆内画5条线段，将圆最多分割成________部分； (2)在圆内画n 条线段，将圆最多分割成________部分．13．(2016·江西联考)“求方程(35)x ＋(45)x ＝1的解”有如下解题思路：设f (x )＝(35)x ＋(45)x ，则f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，所以原方程有唯一解x ＝2.类比上述解题思路，方程x 6＋x 2＝(x ＋2)3＋x ＋2的解集为________．14．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第1件首饰是1颗珠宝，第2件首饰是由6颗珠宝构成的如图1所示的正六边形，第3件首饰是由15颗珠宝构成的如图2所示的正六边形，第4件首饰是由28颗珠宝构成的如图3所示的正六边形，第5件首饰是由45颗珠宝构成的如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断：(1)第6件首饰上应有________颗珠宝；(2)前n (n ∈N *)件首饰所用珠宝的总颗数为________．(结果用n 表示)答案精析1．1＋122＋132＋142＋152＋162<116 2.n －m d n c m 3.934解析在Rt △A 1B 1A 2中，∠A 1B 1A 2＝30°，A 1B 1＝1，∴A 1A 2＝13＝A 2B 2，又易知这些正六边形的边长成等比数列，公比为13，∴这些正六边形的面积成等比数列，公比为q ＝13，又∵正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的面积S 1＝6×1×32×12＝332，故所有这些正六边形的面积和为S ＝li m n →＋∞S 1(1－13n )1－13＝S 11－q＝3321－13＝934. 4.10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 305．n 2－2n ＋3解析设第n (n ≥2)行的第2个数为a n ，则a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，…，所以a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，由累加法得a n －a 2＝[(2n －3)＋3](n －2)2＝n 2－2n ，所以a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)． 6．＝解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2△ABC ＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC ，S △ABC·PO ＝12·P A ·PB ·PC ，所以M ＝1PO 2＝S 2△ABC S 2△ABC PO 2＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC 14P A 2·PB 2·PC 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2＝N .即M ＝N .7．1解析因为T m ＝T n ，所以b m ＋1b m ＋2…b n ＝1，从而b m ＋1b n ＝1，T m ＋n ＝b 1b 2…b m b m ＋1…b n b n ＋1… b n ＋m －1b n ＋m＝(b 1b n ＋m )·(b 2b n ＋m －1)…(b m b n ＋1)·(b m ＋1b n )…＝1. 8．①解析如图，作OD ⊥BC 于点D ，连结AD ，由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2＝(12BC ·AD )2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝(12OB ·OA )2＋(12OC ·OA )2＋(12BC ·OD )2＝S 21＋S 22＋S 23.9.7解析由2a n ＋1＋S n ＝3，得2a n ＋S n －1＝3(n ≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n ≥2)，即a n ＋1a n ＝12(n ≥2)，由已知求出a 2＝34，易得a 2a 1＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝32[1－(12)n ]1－12＝31－(12)n]， S 2n ＝31－(12)2n ]，代入1817＜S 2n S n＜87，可得117＜(12)n ＜17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 10.n (n ＋1)2 181解析由题图得A (1，n )＝n (n ＋1)2，∴A (1,10)＝10×112＝55， ∴A (10,10)＝55＋10＋11＋…＋18 ＝181. 11．5 解析 ①x 4x 5x 6x 7＝1101＝1，②x 2x 3x 6x 7＝11＝0；③x 1x 3x 5x 7＝1011＝1.由①③知x 5，x 7有一个错误，②中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.12．(1)16(2)1＋n(n＋1)2解析(1)设在圆内画n条线段将圆最多可分成a n部分，则a1＝2，a2＝4，a3＝7，a4＝11，所以a5＝a4＋5＝11＋5＝16，即在圆内画5条线段，将圆最多分割成16部分．(2)因为a n－a n－1＝n，a n－1－a n－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2，所以将上述式子累加得a n－a1＝2＋3＋…＋n，则a n＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋n(n＋1)2，n≥2，显然当n＝1时上式也成立，故在圆内画n条线段将圆最多可分割成1＋n(n＋1)2部分．13．{－1,2}解析令f(x)＝x3＋x，则f(x)是奇函数，且为增函数，由方程x6＋x2＝(x＋2)3＋x＋2，得f(x2)＝f(x＋2)，故x2＝x＋2，解得x＝－1或2，所以方程的解集为{－1,2}．14．(1)66(2)n(n＋1)(4n－1)6，n∈N*解析(1)设第n件首饰上的珠宝颗数为a n，则a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，a5＝45，∵a2－a1＝4×1＋1，a3－a2＝4×2＋1，a4－a3＝4×3＋1，a5－a4＝4×4＋1，∴猜想a n－a n－1＝4(n－1)＋1＝4n－3，∴推断a6＝a5＋4×5＋1＝66.(2)由(1)知a n－a n－1＝4n－3，则a n－1－a n－2＝4(n－1)－3，…，a2－a1＝4×2－3，以上各式相加得a n－a1＝4(n＋n－1＋…＋2)－3(n－1)＝4(n＋2)(n－1)2－3(n－1)＝2n2－n－1，∴a n＝2n2－n，则a1＋a2＋…＋a n＝2(12＋22＋…＋n2)－(1＋…＋n)＝2×n(n＋1)(2n＋1)6－(1＋n)n2＝n(n＋1)(4n－1)6，∴前n 件首饰所用珠宝的总颗数为n (n ＋1)(4n －1)6，n ∈N *.。

2018年高考数学(理)复习：第3部分专题1 8.推理证明、复数、算法含答案

8.推理证明、复数、算法■要点重温…………………………………………………………………………·1．归纳推理和类比推理共同点：两种推理的结论都有待于证明．不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．[应用1] (1)某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛．该校高一年级有1,2,3,4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖．比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是( )A．乙，丁B．甲，丙C．甲，丁D．乙，丙(2)图32(1)有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′·PB′PA·PB，则图32(2)有体积关系：________.【07804197】图32(1) 图32(2)[解析] (1)根据题意，由于甲乙丙丁四人中有且只有两人的说法是正确的，假设乙的说法是正确的，则丁也是正确的，那么甲丙的说法都是错误的，如果丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”是错误的，那么1班、4班都获奖或1班、4班都没有获奖，与乙的说法矛盾，故乙的说法是错误，则丁同学说：“乙说得对”也是错误的；故说法正确的是甲、丙，故选B.(2)∵在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由面积的性质类比推理到体积性质．故由S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB(面积的性质) 结合图(2)可类比推理出：体积关系：V P A ′B ′C ′V P ABC ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC. [答案] (1)B(2)V P A ′B ′C ′V P ABC ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC2．证明方法：综合法由因导果，分析法执果索因．反证法是常用的间接证明方法，利用反证法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设．[应用2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________．[答案] 三角形三个内角都大于60°3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[应用3] 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N 且n>1)第一步要证的不等式是________．[解析] 当n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边＝2，故填1＋12＋13<2. [答案] 1＋12＋13<2 4．复数的概念对于复数a ＋bi(a ，b ∈R)，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋bi(a ，b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋bi 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋bi 叫做纯虚数．[应用4] 当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i.(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限？[答案] (1) m ＝－2；(2)m ≠－2且m ≠－3；(3)m ＝3；(4)m ＜－3或－2＜m ＜35．复数的运算复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ；(3)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋。

2018高考数学(文)第十一篇复数算法推理与证明第2

第2节算法初步与框图【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.下列结构图中要素之间表示从属关系的是( C )解析:推理包括合情推理与演绎推理,故选项C中表示的是从属关系.2.(2016·全国Ⅲ卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n等于( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:a=4,b=6,n=0,s=0,a=2,b=4,a=6,s=6,n=1;a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2;a=2,b=4,a=6,s=16,n=3;a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4.输出n=4.故选B.3.(2016·四川卷)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( C )(A)35 (B)20(C)18 (D)9解析:输入n=3,x=2,v=1,i=2>0,第一次v=4,i=1>0,第二次v=9,i=0,第三次v=18,i=-1<0,输出v=18,故选C.4.(2016·四川广元三模)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为-5,则输出的y值是( A )(A)-1 (B)1 (C)2 (D)解析:输入x的值为-5,判断|-5|>3成立,执行x=|-5-3|=8;判断|8|>3成立,执行x=|8-3|=5;判断|5|>3成立,执行x=|5-3|=2;判断|2|>3不成立,执行y=lo2=-1.所以输出的y值是-1.故选A.{a n}中,a1=1,a n+1=a n+n,若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项,则判断框内的条件是( B )(A)n≤8 (B)n≤9(C)n≤10 (D)n≤11解析:n=1,满足条件,执行循环体,S=1+1=2;n=2,满足条件,执行循环体,S=1+1+2=4;n=3,满足条件,执行循环体,S=1+1+2+3=7;n=10,不满足条件,退出循环体,循环满足的条件为n≤9.故选B.6.要使下面程序能运算出“1+2+…+100”的结果,需将语句“i=i+1”加在处.( C )(A)① (B)② (C)③ (D)④解析:这是当型循环语句,当满足i≤100时,执行S=S+i,同时对应的计数变量要有i=i+1出现.故选C.7.运行下面的程序,输出的结果是.解析:当a=1,b=2时,a=a+b=1+2=3,故输出的a的值为3.答案:38.(2016·广东揭阳一模)如图所示的流程图,输入正实数x后,若输出i=4,那么输入的x的取值范围是.解析:设输入的x=a,当i=0时,应满足进行循环的条件,i=1,j=10+a;当i=1时,应满足进行循环的条件,i=2,j=10+2a;当i=2时,应满足进行循环的条件,i=3,j=10+3a;当i=3时,应满足进行循环的条件,i=4,j=10+4a;当i=4时,应不满足进行循环的条件,因此10+3a<19,且10+4a≥19,解得≤a<3.答案:,3)9.(2016·山东济宁一模)执行如图所示的程序框图,输出的结果是.解析:由题意,模拟执行程序,可得S=0,n=1,不满足条件n>3,S=2,n=2;不满足条件n>3,S=8,n=3;不满足条件n>3,S=20,n=4,满足条件n>3,退出循环,输出S的值为20.答案:20能力提升练(时间:15分钟)10.(2016·甘肃张掖三模)某程序的框图如图所示,执行该程序,则输出i等于( A )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析:模拟执行程序,可得n=5,i=1,执行循环体,满足条件n是奇数,n=16,i=2;不满足条件n=1,执行循环体,不满足条件n是奇数,n=8,i=3;不满足条件n=1,执行循环体,不满足条件n是奇数,n=4,i=4;不满足条件n=1,执行循环体,不满足条件n是奇数,n=2,i=5;不满足条件n=1,执行循环体,不满足条件n是奇数,n=1,i=6,满足条件n=1,退出循环,输出i的值为6.故选A.11.(2016·宁夏吴忠模拟)执行如图所示的程序框图,若输出的结果为21,则判断框中应填( C )(A)i<5 (B)i<6 (C)i<7 (D)i<8解析:模拟程序框图执行过程,如下;开始,i=1,S=0,不输出,进入循环,1是奇数?是,S=0-12=-1,i=1+1=2;不输出,进入循环,2是奇数?否,S=-1+22=3,i=2+1=3,不输出;进入循环,3是奇数?是,S=3-32=-6,i=3+1=4,不输出;进入循环,4是奇数?否S=-6+42=10,i=4+1=5,不输出;进入循环,5是奇数?是,S=10-52=-15,i=5+1=6,不输出;进入循环,6是奇数?否,S=-15+62=21,i=6+1=7,退出循环,输出21,所以判断框中的条件是:i<7.故选C.,若输出结果为273,则判断框内应补充的条件为( B )(A)i>7? (B)i≥7?(C)i>9? (D)i≥9?解析:经过第一次循环得到S=3,i=3;经过第二次循环得到S=3+33=30,i=5;经过第三次循环得到S=30+35=273,i=7,此时,需要输出结果,此时的i满足判断框中的条件.故选B.13.(2016·海南模拟)阅读程序框图,如果输出的函数值在区间,]内,则输入的实数x的取值范围是.解析:由程序框图可得分段函数:f(x)=所以令2x∈,],则x∈-2,-1],满足题意.答案:-2,-1]14.(2016·上饶三模)已知函数f(x)=x2-ax的图象在点A(1,f(1))处的切线与直线x+3y+2=0垂直.执行如图所示的程序框图,输出的k值是.解析:因为f(x)=x2-ax,所以f′(x)=2x-a,所以根据导数的几何意义,y=f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线斜率k=f′(1)=2-a.因为函数f(x)=x2-ax的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y+ 2=0垂直,所以(2-a)×(-)=-1,所以a=-1,所以f(x)=x2+x,所以==-,从而模拟程序运行,可得程序框图的功能是求S=+++…+=(1-)+(-)+…+(-)=1-=>时k的值,可解得k>14.答案:15好题天天练,若输出的n=7,则输入的整数K的最大值是( C )(A)18 (B)50(C)78 (D)306解题关键:直到型循环结构,直到条件满足时退出循环.解析:模拟执行程序,可得n=1,S=0,S=2,n=2,S=6,n=3;S=2,n=4;S=18,n=5;S=14,n=6;S=78,n=7,此时满足条件78≥K,退出循环,输出n的值为7.则输入的整数K的最大值是78.故选C.2.(2016·江西上饶一模)如图所示的程序框图输出的结果为S=35,则判断框中应填入的关于k 的条件是( C)(A)k>7 (B)k ≤6(C)k>6 (D)k<6解题关键:弄清循环次数.解析:框图首先给累加变量S 赋值1,给循环变量k 赋值10.第一次循环S=1+10=11,k=10-1=9;第二次循环S=11+9=20,k=9-1=8;第三次循环S=20+8=28,k=8-1=7;第四次循环S=28+7=35,k=6;输出S 的值为35,算法结束,k=6不符合条件.所以判断框中的条件是k>6.故选C.。

2018届高三数学一轮复习第十一章复数算法推理与证明第二节算法与程序框图课件文

24
T= 1 ,i=6.
120
1
此时i=6>5,输出T,所以输出的值为 1 2 0 .
考点一程序框图的应用
考点突破
典例1 (1)(2016福建福州五校联考)定义[x]为不超过x的最大整数,例如
[1.3]=1.执行如图所示的程序框图,当输入的x为4.7时,输出的y值为( )
A.7 B.8.6 C.10.2 D.11.8
1-1 (2016课标全国Ⅱ,9,5分)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法, 下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s= ( )
A.7 B.12 C.17 D.34 答案 C 执行程序框图,输入a为2时,s=0×2+2=2,k=1,此时k>2不成立; 再输入a为2时,s=2×2+2=6,k=2,此时k>2不成立;再输入a为5时,s=6×2+5= 17,k=3,此时k>2成立,结束循环,输出s为17,故选C.
名称顺序结构
条件结构
循环结构
内
顺序结构是由若干个算法的流程根据条件是在一些算法中,会出现从某处
容
按先后顺序执行的步否成立有不同的流向, 开始,按照一定的条件
骤组成的,这是任何一条件结构就是处理这种 ① 反复执行某些步骤的
个算法都离不开的基过程的结构
情况,这就是循环结构,反复执
本结构
行的步骤称为② 循环体
(1)
(1)
(2)
(2)
4.基本算法语句
(1)输入、输出、赋值语句的一般格式与功能
语句
一般格式
输入语句 ③ INPUT “提示内容”;变

2018年高考数学专题10 推理与证明、算法、复数分项试题(含解析)理

专题推理与证明、算法、复数一、选择题1．【2018河南洛阳尖子生联考】已知复数满足（为虚数单位），则为（）A. B. C. D.【答案】B点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．（3）利用复数相等求参数．．2．【2018天津市滨海新区八校联考】复数21ii=+（） A. 1i - B. 1i -- C. 1i + D. 1i -+ 【答案】C 【解析】21ii=+()2i 1i 1i 2-=+ ,选C.3．【2018广西三校九月联考】其中i 为虚数单位，则a b -=（）A. -1B. 1C. 2D. -3 【答案】D所以213b a a b ==--=-，，故选D4．【2018河南中原名校质检二】若，，其中为虚数单位，则复数（）A.B.C.D.【答案】B5．【2018吉林百校联盟九月联考】已知实数m 、n 满足()()4235m ni i i +-=+（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z m ni =+对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】由题意可得： ()()()()424242m ni i m n n m i +-=++-，结合题意有： 423{ 425m n n m +=-=，解得：则z 对应的点位于第一象限. 本题选择A 选项.6．【2018湖南省两市九月调研】已知命题p ：若复数z 满足()()5z i i --=，则6z i =；命题q ：复数） A.()()p q ⌝⌝∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()p q ⌝∧ D. p q ∧【答案】C【解析】复数z 满足()()5z i i --=，所以，所以命题p 为真；，所以命题q 为假. A.()()p q ⌝⌝∧为假；B. ()p q ⌝∧为假；C. ()p q ⌝∧为真；D. p q ∧为假.故选C.7．【2018江西省红色七校一模】（i 为虚数单位），则z 的虚部（）A. 1B. -1C. iD. -i 【答案】A8．【2018（i 为虚数单位），则复数z =（） A. 1i + B. 1i -- C. 1i -+ D. 1i - 【答案】B【解析】试题分析：，故选B.考点：复数9．【2018衡水金卷高三大联考】执行如图的程序框图，若输出的的值为-10，则①中应填( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】由图，可知.故①中应填.故选C.10．【2018吉林百校联盟九月联考】运行如图所示的程序框图，若输入的i a （1,2,i =…，10）分别为1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，则输出的值为（）【答案】C点睛：(1)解决程序框图问题要注意的三个常用变量①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.②累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i；③累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.(2)使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．11．【2018湖南两市九月调研】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入,n x的值分别为3,3.则输出v的值为（）A. 15B. 16C. 47D. 48【答案】D12．【2018广东省海珠区一模】执行如图所示的程序框图，则输入的n=（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B13．【2018江西省红色七校一模】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】模拟执行程序可得，a=1,A=1,S=0,n=1≥,执行循环体，S=2 不满足条件S10≥，执行循环体，不满足条件S10≥，执行循环体不满足条件S10≥，退出循环，输出n=4满足条件S10故选B14．【2018广西柳州市一模】执行如图所示的程序框图，若输出K的值为8，则判断框图可填入的条件是（）【答案】C考点：程序框图及循环结构.x=-，则输出的y= 15．【2018海南省八校联考】执行如图所示的程序框图，若输入的5( )A. 2B. 4C. 10D. 28【答案】Bx=-，【解析】5，不符合题意，y=+=，∴1314故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.16．【2018湖南永州市一模】执行如图所示程序框图，若输入的[]0,1x ∈，则输出的x 的取值范围为（）A. []0,1B. []1,1-C. []3,1-D. []7,1- 【答案】C【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 17．【2018广东珠海六校联考】执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：s= ==<==<==<==<不成立，输出8 0,1,03,1,1,13,2,2,23,8,3,33k s s k s k s k考点：程序框图18．【2018陕西西工大附中一模】执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）【答案】D点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.19．【2018陕西西工大附中一模】执行下面的程序框图，如果输入1x =， 0y =， 1n =，则输出的坐标对应的点在以下幂函数图象上的是（）B. y x =C. 2y x =D. 3y x =【答案】D【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.20．【2018山东德州晏婴中学二模】执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】B，输出n=8，选B。

2018版高考数学大一轮复习第十三章推理与证明、算法、复数13.5复数试题理北师大版

第十三章推理与证明、算法、复数13.5复数试题理北师大版基础知识自主学习EI知识梳理-------------------------------i .复数的有关概念(1) 定义：形如a+ b i( a, b€ R)的数叫作复数，其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的虚部.(i 为虚数单位)⑵分类：满足条件(a, b为实数)复数的分类a+ b i为实数？b= 0a+ b i为虚数？b^0a+ b i为纯虚数？a= 0且bK⑶复数相等：a+ b i = c+ d i ? a= c 且b= d(a, b, c, d€ R).⑷共轭复数：a+ b i 与c+ d i 共轭? a= c, b=—d(a, b, c, d€ R).⑸模：向量6Z勺模叫作复数z= a+ b i的模，记作| a+ b i|或LzL，即| z| = | a+ b i| = _ a2+ b2(a, b€ R).2 •复数的几何意义复数z= a+ b i与复平面内的点Z(a, b)及平面向量0Z= (a, b)( a, b€ R)是一一对应关系.3 •复数的运算(1) 运算法则：设乙=a + b i , Z2= c+d i , a, b, c, d€ R彳「昱\± 比人W+M) 土(r+曲扫也土土旳L _二 2 茲R、他+圧)(心+衍)=(口£7占办H址+皿烦.2 几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZZ乙可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即0Z= Oz+ Oz,Z1Z2 = OZ—OZ.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“ X”）（1）方程X2+ x +1 = 0没有解.（X ）⑵复数z = a + b i（a, b€ R）中，虚部为b i.（X）（3）复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小. （X ）（4）原点是实轴与虚轴的交点.（V ）（5）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.（V ）考点自测1. （2016 •全国乙卷）设（1 + 2i）（a+ i）的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a等于（）A.—3 B . - 2 C . 2 D . 3答案A解析•/ (1 + 2i)( a+ i) = a— 2 + (2 a+ 1)i，••• a —2= 2a+ 1,解得a=—3,故选A.2. (2015 •课标全国I )已知复数z满足(z—1)i = 1 + i，则z等于()A. —2—i B . —2+ i C . 2 —i D . 2+ i答案C解析由（z —1）i = 1 + i，两边冋乘以一i，则有z — 1 = 1 —i，所以z= 2—i.3 . （2016 •黄山一模）设i是虚数单位，若z= cos 0 + isin 0，且其对应的点位于复平面内的第二象限，贝U 0位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析■/ z= cos 0 + isin 0 对应的点的坐标为(cos 0，sin 0 )，且点(cos 0，sin 0)cos 0 <0，位于第二象限，•|sin 0 >0，• 0为第二象限角，故选 B.4 .（教材改编）在复平面内，向量AB寸应的复数是2+ i，向量6B寸应的复数是一1 —3i，则向量CA寸应的复数是（）B. —1 + 2iA. 1 —2iC. 3+ 4iD.—3 —4i答案D解析CA= CB^ BA=— 1 —3i + ( — 2 —i) =— 3 —4i.2 011 2 012 2 013 2 014 2 015 2 016 2 0175. i + i + i + i + i + i + i = _答案1解析原式=i 3+ i 4+ i 1+ i 2+ i 3+ i4+ i = 1.题型分类深度剖析题型一复数的概念例 1 (1)(2015 •福建)若(1 + i) + (2 —3i) = a+ b i( a, b€ R i 是虚数单位)，贝U a, b 的值分别等于()A. 3,—2B. 3,2C. 3, —3D. —1,4⑵若乙=(m2+ n+ 1) +(m+ m- 4)i( R), Z2= 3 —2i，则"m= 1” 是"Z1= Z2” 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件⑶(2016 •天津)i是虚数单位，复数z满足(1 + i) z= 2，则z的实部为 ______________ .答案(1)A (2)A (3)1解析(1) ••• (1 + i) + (2 —3i) = 3—2i = a+ b i ,••• a= 3, b=—2,故选A.■ ■ 2m+ m+1 = 3,⑵由2解得m=—2或m= 1,m+ m- 4 =—2,所以"m= 1”是"乙=乙2”的充分不必要条件.2(3) T (1 + i) z = 2 ,• z =市=1—i，•其实部为 1.引申探究1.将本例(1)中方程左边改为(1 + i)(2 —3i)，求a, b的值.解(1 + i)(2 —3i) = 2 + 3—i = 5—i = a+ b i ,所以a= 5, b=— 1.z= + 3= —2+ 2i 1 1 一一i2 .将本例(3)中的条件“ (1 + i) z= 2”改为“ (1 + i) 3z= 2”，求z的实部.1••• z的实部为一2思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1) 复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2) 解题时一定要先看复数是否为a+ b i( a, b€ R)的形式，以确定实部和虚部.r Z l Z lH'l黒(1)已知a€ R复数z i= 2 + a i , Z2= 1 —2i，若一为纯虚数，则复数一的虚部为Z2 Z2( )2A. 1 B . i C. - D . 05⑵已知复数z满足z2= —4，若z的虚部大于0，则z = _____________ .答案(1)A (2)2iz1 2 + a i + a + 2—2a 4+ a Z1解析(1)由一= = = + i是纯虚数，得a= 1，此时一= Z2 1 —2i 5 5 5 乙i，其虚部为1.⑵设z = a+ b i( a, b€ R, b>0),则z2= a2—b2+ 2ab i =—4,因此a= 0,—b2=—4, b=±2,又b>0,「. b= 2,「. z = 2i.题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2 (1)(2016 •四川)设i为虚数单位，则复数(1 + i) 2等于()A. 0 B . 2 C . 2i D . 2+ 2i(2) (2016 •全国乙卷)设(1 + i) x= 1 + y i，其中x, y是实数，则| x+ y i|等于()A. 1B. 2C. .3 D . 2⑶(2015 •课标全国n )若a为实数，且(2 + a i)( a—2i) =—4i，贝U a等于()A. —1 B . 0 C . 1 D . 2答案(1)C (2)B (3)B解析(1)(1 + i) 2= 12+ i 2+ 2i = 1 —1+ 2i = 2i.(2)由(1 + i) x = 1 + y i，得x+ x i = 1 + y i所以| x+ y i| = ■, x2+ y2=f 2,故选B.2 2⑶因为a 为实数，且(2 + a i)( a—2i) = 4a+ (a —4)i =—4i，得4a = 0且a — 4 = —4，解得a= 0,故选B.A . 1 + 2i B. 1 — 2i C. —1+ 2iD.— 1 — 2iz ⑵（2016 •全国丙卷）若z = 4+ 3i ，则可等于（）A . 1B.— 14 3 C.5+5i4 3 —5i(3)若复数 z 满足(3 — 4i) z =|4 + 3i| ，则z 的虚部为（）A . — 4B . — 5C . 4 D. 4答案 (1)B(2)D(3)D解析 (1)设 z = a + b i( a , b € R)，贝U z = a — b i ，二 2( a + b i) + (a — b i) = 3 — 2i ，整理得 3a+ b i = 3 — 2i ，…3a = 3,b =— 2,命题点2复数的除法运算例3 （1）（2016 •全国丙卷）若z = 1 + 2i ，则」等于（）z z — 1 A . 1 B 1 C . i D i1+ 2i⑵（2016 •北京）复数等于（2— iA . iB . 1 + iC . — iD . 1 — i(3)(h +沁答案 (1)C(2)A (3) — 1 + i解析(1) z = 1+ 2i , z z = 5,⑶原式=[^+^]6+'-2+⑶、3+ 2丄=i 6—1+i.命题点3复数的综合运算4 （1）（2016 •山东）若复数z 满足2z + z = 3— 2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于（）4i —= --- =i. z z — 1 ⑵ 1+2i1 + ?丄 2+i 二 +T5i丁 = L.'3 2+ ,22解得a = 1， ••• z = 1 - 2i ，故选 B.b =- 2, (2) z = 4 + 3i , |z | = 5, pZ- = 5-|i.⑶设 z = a + b i ,故(3 — 4i)( a + b i) = 3a + 3b i — 4a i + 4b = |4 + 3i| ,思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1) 复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2) 复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幕写成最简形式•(3) 复数的运算与复数概念的综合题. 先利用复数的运算法则化简，一般化为a + b i( a, b € R )的形式，再结合相关定义解答.(4) 复数的运算与复数几何意义的综合题•先利用复数的运算法则化简，一般化为 a + b i( a ,b € R)的形式，再结合复数的几何意义解答.所以* 3b — 4a = 0, 3a + 4b = 5, 4 解得b= |.(5) 复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.z跟踪训练2(1)(2015 •山东)若复数z 满足一=i ，其中i 为虚数单位，则z 等于()1 — i解析 (1) z = i(1 — i) = 1 + i ，••• z = 1 — i ，故选 A.(2)(1 + i )2 017 1 — i)1+1 1—丄 1+1-2 017. 2 017 .] =i = i.—1 + i答案(1)A (2)i (3) -2 + (-^ + 1)i_ 1 ]+ 2?i I (吃)[(.'2)2] 1 008—1 + 2?i +(1 - i)[(口门=i +r 008•》+ i) =#+(孑 + i)i.题型三复数的几何意义例5 (1) △ ABC的三个顶点对应的复数分别为z i, Z2, z s,若复数z满足| z-z i| =|z—z?| = | z-Z s|，贝U z对应的点为△ ABC的( )A.内心B.垂心C.重心D.外心答案D解析由几何意义知，复数z对应的点到△ ABCE个顶点距离都相等，z对应的点是△ ABC的外心.⑵ 如图所示，平行四边形OABC顶点Q代C分别表示0, 3+ 2i , - 2+ 4i，试求：①A O BC所表示的复数;②对角线CA所表示的复数；③B点对应的复数.解①AO=- O A二AO所表示的复数为一3-2i.•/ E3C= AO •••'BC所表示的复数为一3 - 2i.②C A= O A- 'C•- CA所表示的复数为(3 + 2i) - ( - 2+ 4i) = 5- 2i.③O B= O A+ XB= OA+ O C••• 6B所表示的复数为(3 + 2i) + ( - 2 + 4i) = 1+ 6i ,即B点对应的复数为1 + 6i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是--- 对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.瞧LW I濟心已知z是复数，z+ 2i , J均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ a i) 2在复平2—i面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.解设 z = x + y i( x , y € R),z + 2i = x + ( y + 2)i ，由题意得 y = — 2. z x — 2i 1-右=T —T =5(x — 2i)(2 +D=1(2x + 2) +— 4)i , 由题意得x = 4.二z = 4 — 2i.2 2•••(z + a i) = (12 + 4a — a ) + 8( a — 2)i , f 212+ 4a — a >0,根据条件，可知；门.门8 a — )0,解得2<a <6,•••实数a 的取值范围是(2,6).思想与方法系列27.解决复数问题的实数化思想典例（12分）已知x , y 为共轭复数，且（x + y ）2— 3xy i = 4— 6i ，求x , y . 思想方法指导（1）复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法. （2）本题求解的关键是先把 x 、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法. （3）本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.规范解答解设 x = a + b i ( a , b € R),22则 y = a — b i , x + y = 2a , xy = a + b , [3 分]代入原式，得(2a )2— 3(a 2 + b 2)i = 4 — 6i , [5 分]故所求复数为根据复数相等得[7分]a = 1, a = 1, a =— 1,解得* 或。

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．(·南京、盐城一模)已知复数＝(是虚数单位)，则＝.
．(·泰州一模)如图，在复平面内，点对应的复数为，若＝(为虚数单位)，则＝.
．设复数满足(－)＝，则＝.．(·全国甲卷改编)已知＝(＋)＋(－)在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是．
．已知复数＝，是的共轭复数，则·＝.
．若复数＝－，则＋＝.
．(·长沙模拟)已知集合＝，是虚数单位，为整数集，则集合∩中的元素个数是．
．满足＝(为虚数单位)的复数＝.
．(·江苏)设复数满足＝＋(是虚数单位)，则的模为．
．(·天津)已知，∈，是虚数单位，若(＋)(－)＝，则的值为．．(·山东实验中学诊断)在复平面内，复数对应的点到直线＝＋的距离是．
．(·江苏一模)设()＝()＋()(∈*)，则集合{()}中元素的个数为．．(·苏州一模)对任意复数＝＋(，∈)，为虚数单位，则下列结论正确的是．(填序号)
①－＝；②＝＋；
③－≥；④≤＋.答案精析
－.－－.－＋
．(－)
．＋
解析∵＝－，∴＋＝(＋)＋＝(＋)＋＝＋.
．
解析由已知得＝{，－，－}，为整数集，
∴∩＝{－}，即集合∩中有个元素．
－
解析∵＝，∴＋＝，∴＝(－)．
∴＝＝＝
＝－.
解析设＝＋(，∈)，
则＝－＋，
由复数相等的定义得(\\(－＝，＝，))
解得(\\(＝，＝))或(\\(＝－，＝－，))
从而＝＝.
．
解析因为(＋)(－)＝＋＋(－)＝，
又，∈，所以＋＝－＝，
得＝，＝，所以＝.
解析＝＝＋，所以复数对应的点为()，点()到直线＝＋的距离为
＝.
．
解析因为()＝()＋()＝＋(－)，所以()＝，()＝－，
()＝，()＝，()＝＝()，…，故集合{()}中共有个元素．
．④
解析对于①，∵＝－(，∈)，－＝＋－＋＝＝，∴①不正确；对于②，＝－＋，故不正确；对于③∵－＝≥不一定成立，∴③不正确；对于④，＝≤＋，故④正确．。

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