几何证明中的几种技巧
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几何证明中的几种技巧
一.角平分线--轴对称
1.已知在ΔABC 中,E为BC的中点,AD平分BAC ∠,BD AD ⊥于D.AB=9,AC=13.求DE的长.
分析:延长BD交AC于F.可得ΔABD ≌ΔAFD .则BD=DF.又BE=EC,即DE为ΔBCF 的中位
线.∴11
()222DE FC AC AB =
=-=.
2.已知在ΔABC 中,108A ∠=o
,AB=AC,BD平分ABC ∠.求证:BC=AB+CD.
B
B
分析:在BC上截取BE=BA,连接DE.可得ΔBAD ≌ΔBED .由已知可得:18ABD DBE ∠=∠=o
,
108A BED ∠=∠=o ,36C ABC ∠=∠=o .
∴72DEC EDC ∠=∠=o
,∴CD=CE,∴BC=AB+CD.
3.已知在ΔABC 中,100A ∠=o
,AB=AC,BD平分ABC ∠.求证:BC=BD+AD.
B
B
分析:在BC上分别截取BE=BA,BF=BD.易证ΔABD ≌ΔEBD .∴AD=ED,
100A BED ∠=∠=o .由已知可得:40C ∠=o ,20DBF ∠=o .由∵BF=BD,
∴80BFD ∠=o
.由三角形外角性质可得:40CDF C ∠==∠o
.∴CF=DF.
∵100BED ∠=o
,∴80BFD DEF ∠=∠=o ,∴ED=FD=CF,∴AD=CF,
∴BC=BD+AD.
4.已知在ΔABC 中,AC BC ⊥,CE AB ⊥,AF平分CAB ∠,过F作FD∥BC ,交AB于D.求 证:AC=AD.
C
B
C B
分析:延长DF交AC于G.∵FD∥BC,BC⊥AC,∴FG⊥AC. 易证ΔAGF ≌ΔAEF .∴EF=FG.则易证ΔGFC ≌ΔEFD .∴GC=ED. ∴AC=AD.
5.如图(1)所示,BD和CE分别是ABC V 的外角平分线,过点A作AF⊥BD于F,AG⊥CE于G,延长AF及AG与BC相交,连接FG.
(1)求证:
1
()2FG AB BC CA =
++
(2)若(a)BD与CE分别是ABC V 的内角平分线(如图(2));
(b)BD是ΔABC 的内角平分线,CE是ΔABC 的外角平分线(如图(3)).
则在图(2)与图(3)两种情况下,线段FG与ΔABC 的三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况给予证明.
图(1) 图(2) 图(3)
分析:图(1)中易证ΔABF ≌ΔIBF 及ΔACG ≌ΔHCG .∴有AB=BI,AC=CH及AD=ID,AG
=GH.∴GF为ΔAIH 的中位线.∴
1
()2FG AB BC CA =
++.
同理可得图(2)中
1()2FG AB CA BC =
+-;图(3)中1
()2FG BC CA AB =+-
6.如图,ΔABC 中,E是BC边上的中点,DE⊥BC于E,交BAC ∠的平分线AD于D,过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N.求证:BM=CN.
B
分析:连接DB与DC.∵DE垂直平分BC,∴DB=DC.易证ΔAMD ≌ΔAND . ∴有DM=DN.∴ΔBMD ≌ΔCND (HL).∴BM=CN.
7.如图,在ΔABC 中,2B C ∠=∠,AD平分BAC ∠.求证:AC=AB+BD.
分析:在AC上截取AE=AB,连接DE.则有ΔABD ≌ΔAED .∴BD=DE. ∴B AED C EDC ∠=∠=∠+∠.又∵2B C ∠=∠,∴C EDC ∠=∠. ∴DE=CE.∴AC=AB+BD.
8.在四边形ABCD中,AC平分BAD ∠,过C作CE⊥AB于E,且
1
()2AE AB AD =
+.求
ABC ADC ∠+∠的度数.
分析:延长AB到F,使得BF=AD.则有CE垂直平分AF,∴AC=FC. ∴F CAE DAC ∠=∠=∠.∴有ΔCBF ≌ΔCDA (SAS).∴CBF D ∠=∠. ∴180ABC ADC ∠+∠=o
.
二.旋转
1.如图,已知在正方形ABCD中,E在BC上,F在DC上,BE+DF=EF.
求证:45EAF ∠=o
.
B
B
分析:将ΔADF 绕A顺时针旋转90o
得ABG V .∴GAB FAD ∠=∠.易证ΔAGE ≌ΔAFE .
∴ 1
452FAE GAE FAG ∠=∠=∠=o
2如图,在ABC V 中,90ACB ∠=o
,AB=BC,D为AC中点.AB的延长线上任意一点E.FD⊥
ED交BC延长线于F.求证:DE=DF.
分析:连接BD.则BDE V 可视为CDF V 绕D顺时针旋转90o
所得.易证BD⊥DC与
BD=CD.则BDE CDF ∠=∠.又易证135DBE DCF ∠=∠=o
.∴ΔBDE ≌ΔCDF .∴DE=DF.
3.如图,点E在ΔABC 外部,D在边BC上,DE交AC于F.若123∠=∠=∠, AC=AE.求证:ΔABC ≌ΔADE .
C
分析:若ΔABC ≌ΔADE ,则ΔADE 可视为ΔABC 绕A逆时针旋转1∠所得.则有B ADE ∠=∠. ∵12B ADE ∠+∠=∠+∠,且12∠=∠.∴B ADE ∠=∠.又∵13∠=∠. ∴BAC DAE ∠=∠.再∵AC=AE.∴ΔABC ≌ΔADE .