平面直角坐标系中的基本公式

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2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式课件

3 5 2 x 2 2 , 0 2 2 y 2 2
x 0, 所以即 D(0,4). y 4,
(2)若 BC 为其一条对角线,由 AD 与 BC 的中点重合,则有:
2 5 3 x , x 10, 2 2 所以即 D(10,0). 2 2 0 y y 0, , 2 2
方法技巧
平行四边形等一些平面图形中与中点有关的图形,可通
过分析图形的特点,利用中点公式求解,即一条线段两个端点及中点,已知
两点坐标,可确定第三个点坐标.
变式训练2-1:一个平行四边形的三个顶点分别为A(-3,0), B(2,-2),
C(5,2),求第四个顶点D的坐标.
解:设 D 点为(x,y),分以下三种情况: (1)若 AC 为平行四边形的一条对角线,由于 AC 与 BD 的中点重合,则有
(3)若 AB 为其一条对角线,由 AB 与 CD 的中点重合,则有:
3 2 5 x , 2 2 所以 x 6, 即 D(-6,-4). 0 2 2 y y 4, , 2 2
综上,D 点坐标为(0,4)或(10,0)或(-6,-4).
2 2 2
类型二中点公式
【例2】已知▱ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线交点为
E(-3,4),求另外两个顶点C,D的坐标.
4 x1 3 , x 10, 2 解:设 C 点坐标为(x1,y1),则由 E 为 AC 的中点得得 1 y1 6, 4 2 y1 , 2 5 x2 3 , x 11, 2 设 D 点坐标为(x2,y2),则由 E 为 BD 的中点得得 2 y2 1, 4 7 y2 , 2 故 C 点坐标为(-10,6),D 点坐标为(-11,1).

平面直角坐标系中的基本公式

平面直角坐标系中的基本公式在平面直角坐标系中，我们可以使用基本公式来描述二维空间中点的位置、距离、长度、角度等各种属性。

下面是一些常用的基本公式：1.点的坐标：平面直角坐标系中的点可以表示为一个有序对(x,y)，其中x表示横坐标（沿x轴的水平距离），y表示纵坐标（沿y轴的垂直距离）。

2.线段长度：设平面直角坐标系中有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的长度可以通过以下公式计算：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)3.点到坐标轴的距离：设平面直角坐标系中有一个点P(x,y)，则点P 到x轴的距离为，y，到y轴的距离为，x。

4.斜率：设平面直角坐标系中有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的斜率可以通过以下公式计算：斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)5.中点：设平面直角坐标系中有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为：中点M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)6.坐标轴正向与象限：在平面直角坐标系中，x轴正向向右，y轴正向向上。

同时，将坐标轴所形成的四个象限按照逆时针方向分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

7.角的度量：在平面直角坐标系中，角的度量可以使用弧度或者角度来表示。

常用的角度制中，一个完整的圆的度数为360°。

而弧度制中，一个完整的圆的弧度数为2π弧度。

8.同位角与同旁角：在平面直角坐标系中，如果两条射线的起点、终点分别与两条相互垂直的射线的起点、终点重合，则这两条射线分别被称为同位角。

如果两条射线的起点分别位于两条相互垂直的射线的起点的同侧或者终点位于两条相互垂直的射线的终点的同侧，则这两条射线分别被称为同旁角。

9. 三角函数：在平面直角坐标系中，根据点的位置与坐标轴的关系，可以定义一些重要的三角函数，如正弦函数sin(θ)、余弦函数cos(θ)、正切函数tan(θ)等，其中θ 表示角的度数或弧度数。

2.1.1-2平面直角坐标系中的基本公式

思考：
在一条高速公路上距离出发点的一个以
千米为单位的数就可以确定车的位置，请问在一个电影院里如何确定你的位置？飞行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如何报告他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
空间直角坐标系
第二章用数字或其符号来
平确定一个点或一个
面解析
物体位置的方法叫坐标方法。相关的
知识点二位移向量
议一议:如何用数表示数轴上的位移?
如数轴上的一点A沿着轴的正向或负向移到另一点B, 则说点在数轴上作了一次位移,点不动,则说作了零位移. 位移是一个既有大小又有方向的量,通常称为向量.
从点A到点B的向量,记为 AB ,读作“向量AB”，A 为向量的起点，B为向量的终点，线段AB的长度叫做向量 AB 的长度，也叫做向量的模，记作 AB ，数轴上同向且等长的向量叫做相等向量，起点和终点重合的向量叫零向量，零向量没有确定的方向.
几符号和数称为点的
何坐标。
初
步
2.1平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
知识点1 数轴上的向量知识点2 数轴上的向量的运算
知识点一数轴上点的坐标
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则
是什么呢？
P
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同。
设D点的坐标为(x，y)，

2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2

数轴上的中点坐标公式
已知数轴上两点A(x1)，B(x2),如何计算线段AB的中点M的坐标？
O
AM MB
ＡM
ｘ１ X
ＢＸ２
AM=MB x-x1=x2-x
合作探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，
那么点P1和P2的距离为多少？
y
|P1P2|=|x1-x2|
C
x
A1 O (x1，0)
B1 (x2，0)
由特殊得到一般的结论
1、公式：A（x1,y1）、B(x2,y2)两点间的距离，用d（A，B）表示为
d ( A, B) AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2
当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2－x1|；当AB平行于y轴时，d(A，B)=|y2－y1|；当B为原点时，d(A，B)=
合作探究（二）：中点公式
2、中点公式:已知A（x1，y1）, B（x2，y2），M(x,y)是线段AB 的中点，计算公式如下
x x1 x2 2
y y1 y2 2
y
B(x 2,y 2)
A(x 1,y 1) M(x,y)
x O
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
所以，三角形ABC为等腰三角形。
〖课堂检测2〗已知：A（1，1）B（5，3）
C（0，3）求证：三角形ABC是直角三角形
【例3】证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和的两倍.
y D (b-a, c) C (b, c)
A(0,0) B(a,0) x
该题用的方法----坐标法。可以将几何问题转化为代数问题。记住结论。

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式

张喜林制2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式教材知识检索考点知识清单1．两点间的距离公式：设),(),(2211y x B y x A 、是平面上的两点，则=||AB2．中点公式：已知),,(),(2211y x B y x A 、设M(x ，y)是线段AB 的中点，则=x =y ,3．平行四边形的两条对角线的平方和等于它的四边的要点核心解读1．两点间的距离公式(1)平面上的点),(y x P 到原点)0,0(O 的距离=),(P O d .22y x +(2)平面上任意两点间的距离公式：设,(),211x B y x A 、（),2y 则.)()(),(212212y y x x B A d -+-=(3)求两点间距离的步骤：①给两点坐标赋值：?,,,,2121====y y x x ？？？②计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③计算;)()(22y x d ∆+∆=④给出两点的距离．2．中点公式已知),,(),(2211y x B y x A 、设点),(y x M 是线段AB 的中点(如图2-1 -2 -1)，过点A 、B 、M 分别向x 轴、y 轴作垂线、、21AA AA ,2121MM MM BB BB 、、、垂足分别为、、、)0,((B )(0,)0,(211211x y A x A )0,(),,0(122x M y B ).,0(2y M 因为M 是线段AB 的中点，所以点1M 和点2M 分别是11B A 和22B A 的中点，即⋅==22221111,B M M A B M M A所以⋅-=--=-y y y y x x x x 2121,即 2,22121y y y x x x +=+= 这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．3．解析法的应用解析法是解决解析几何、立体几何等的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简捷．原则是：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下规律：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴；②若为对称图形则取对称轴为x 轴或y 轴；③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示图形中的等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题转化为代数问题来求解．典例分类剖析考点1 平面上两点闻距离的求法及应用命题规律主要强调两点间距离公式的应用，两点间的距离公式作为解析几何的重点之一，常会考查．[例1] (1)已知),3,1()3,6()1,2(C B A 、、求证：△ABC 为直角三角形．(2)已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离为10，求点P 的坐标．[解析] (1)要判断三角形是否为直角三角形，其中一种方法是考虑各边长之间是否满足勾股定理，即需求出三条边长．[答案] 由两点间的距离公式得;20)13()26(),(=-+-=B A d;5)13()21(),(=-+-=C A d;25)33()61(),(22=-+-=C B d,||||||222BC AC AB =+∴∴ △ABC 为直角三角形．(2)设点P 的坐标为（x ，O ），由,10),(=P A d 得,10)60()3(22=-+-x解得11=x 或,5-=x∴ 点P 的坐标为(-5，0)或(11，0)．母题迁移 1．已知等边△ABC 的两个顶点、的坐标为),0,2()0,4(B A 、-试求：(1) C 点的坐标；(2)△ABC 的面积．考点2 中点坐标公式及其应用命题规律考查中点坐标公式及其应用．[例2] △ABC 三个顶点的坐标分别为,2)4,4(（、B A --),2,4()2-C 、求三边中线的长．[答案] 设AB 的中点D 的坐标为D （x,y ）,由中点公式得,1224,1224-=+-=-=+-=y x 即 ⋅--)1,1(D同理，BC 的中点E(3，0)，AC 的中点F(O ，-3)．),(||D C d CD =∴22)]2(1[)41(---+--=;26=),(||E A d AE =)40()43(+++=;65=),(||F B d BF =)23()20(-⋅-+-=.29=母题迁移 2．△ABC 三个顶点的坐标为),1,0(-A ),2,2(),3,1(-C B 求中线AD 的长．考点3 两点问距离公式的几何意义命题规律利用两点间距离公式的几何意义求某些函数的最值．[例3] 求函数++-=3712)(2x x x f 134+-x x 的最小值．[答案] ,1)6(3722+-=+-x x r x ∴+-=+-,9)2(1342x x x 可设,6（A 、、)3,2()1B )0,P(x 则.||||)(PB PA x f +=要求)(x f 的最小值，只需在x 轴上找一点P ，使||||PB PA +最小即可．设B 关于x 轴的对称点为,/B 则)3,2(/-B （如图2 -1 -2-2所示）． |,|||||||||//AB PB PA PB PA ≥+=+,24)13()62(||22/=--+-=AB∴ 当A P B 、、/三点共线时取等号，即||||PB PA +的最小值为,24也就是)(x f 的最小值为.24[点拨] (1)涉及无理式，尤其是含平方的算式，我们可联想到两点间的距离，故构造两点间的距离来解题．(2)本题切忌将两个无理函数最小值的和当作f(x)的最小值．母题迁移 3．求函数1342222+-++-=x x x x y 的最小值．优化分层测讯学业水平测试1．已知),15,2().5,3(B A -则=),(B A d （）25.A 135.B 175.C 55.D2．已知两点),,(),(d c B b a A 、且,02222=+-+d c b a 则( )．A ．原点一定是线段AB 的中点 B.A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确3．点P(2，-1)关于点(3，4)的对称点是( )．)5,1.(A )9,4.(B )3,5(⋅C )4,9.(D4．已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，则点P 的坐标为5．在△ABC 中，设),5,2()7,3(-B A 、若AC 、BC 的中点都在坐标轴上，则点C 的坐标为6．已知，平面内平行四边形的三个顶点).3,1()1,2(--B A 、),4,3(C 求第四个顶点D 的坐标．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．以A(5，5)、B(1，4)、C(4，1)为顶点的三角形是( )．A.直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形2．已知△ABC 的三个顶点是)0,()0,(a B a A 、-和),23,2(a aC 则△ABC 的形状是( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．斜三角形3．已知点),2,4()0,2(B A 、若|,|2||BC AC =则C 点的坐标为( )．)1,1(-⋅A ），或（15)1,1(--⋅B )3,1()1,1(或-⋅C D ．无数个 4．已知点A （x ，5）关于点C(l ，y)的对称点是),3,2(--B 则点),(y x P 到原点的距离是( )．4.A 13.B 15.C 17.D5．已知菱形的三个顶点为),0,0(),(),(、、a b b a -则它的第四个顶点是( )．),2(b a A ⋅ ),(b a b a B +-⋅ ),.(a b b a C -+ ),(a b b a D --⋅6．光线从点A （-3，5）射到x 轴上，经过反射后经过点B(2，10)，则光线从A 到B 的距离为( )．25.A 52.B 105.C 510.D7．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图2 -1-2 -3所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若,30,60km CD AE km AB ===为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中4321P P P P 、、、是AC 的五等分点，则转播台应建在( )．1.P A 处2.P B 处3.P C 处4.P D 处8．（2006年福建）对于直角坐标平面内的任意两点).,(11y x A ),,(22y x B 定义它们之间的一种“距离”：+-=||||12x x AB .||12y y -给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则|;|||||AB CB AC =+②在△ABC 中，若,90 =∠C 则;||||||222AB CB AC =+③在△ABC 中，.||||||AB CB AC >+其中真命题的个数为( )．0.A 1.B 2.C 3.D二、填空题（5分x4 =20分）9．已知),,2()6,(b B a A -、点P(2，3)平分线段AB ，则=+b a10．已知),3,0()3,5()1,1(C B A 、、则△ABC 的形状为11．已知),3().2,1(b B A -两点间的距离为,24则=b12.已知两点),2,3()4,1(A P 、-则点A 关于点P 的对称点的坐标为三、解答题（10分x4 =40分）13.求函数84122+-++=x x x y 的最小值．14.已知△ABC 三顶点的坐标为,8)3,11()8,3(--（、、C B A ),2-求BC 边上的高AD 的长度．15.若a 、b 、c 、d 都是实数，试证明≥+++2222db c a .)()(22d c b a +++16.在△ABC 所在平面上求一点P ，使222||||||PC PB PA ++取得最小值.。

原创1：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式

答案：(1)8;
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)3;
(2)C(0,-4)，D(0,-1);
(4)M(2,-1)，N(5,-1).
(3)2 ;
(4) .

ሺ , ሻ
2.在x轴上到A(－4，3)和B(2，6)两点的距离相等的点P的坐标为________．

3.光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A
+ .
+ +

∵M是BC的中点，∴点M的坐标为ሺ
,
ሻ，即Mሺ , ሻ.

由两点间的距离公式得
AM＝

ሺ

−

ሻ +ሺ

− ሻ ＝

+

，所以AM＝ BC.

达标检测
两点间距离公式的应用
1.求下列两点间的距离：
(1)A(6,0)，B(-2,0);
(3)P(6,0)，Q(0,-2);
跟踪训练
两点间距离公式的应用
练习1 已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，7)，
求BC边上的中线AM的长．
解：如图，设点M(x，y)，∵点M是线段BC的中点，
−+
−+
∴x＝
＝1，y＝
＝3，即M的坐标为(1，3)．

由两点间的距离公式得
AM＝ [ − − ] +ሺ − ሻ ＝2 .
A(0,0)
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
B(a,0) x
跟踪训练
练习2

人教B版高中数学必修二《 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式》_1

年级
学科
主题
直角坐标系基本公式
主备教师
课型
新授课
课时
1
时间
导学教师
教学目标
1.理解掌握面直角坐标系中的基本公式：两点间距离公式和中点坐标公式
2.公式的灵活应用。
教学重、
难点
两点间距离公式和中点坐标公式的应用
导学方法
问题引导法
导学步骤
导学行为（师生活动）
设计意图
导学教师复备
回顾旧知，引出新课
由前面的基础知识得到新内容。
2.公式的灵活应用。
板书设计
平面直角坐标系中的基本公式
一、回顾旧知：
二、新知探索：
三、例题精讲：
例1
例2
四、课堂检测
本课作业
1．若点与点的距离为5，则．
2．若，点是的垂直平分线上一点，则 ___________．
3．若，则 _____．
4．直线上的两点的横坐标分别为，则两点间的距离为____________；直线上的两点的纵坐标分别为，则两点间的距离为．
5．已知点，在轴上找一点使得，并求出的值．
6．已知点与间的距离为，求的值．
本课教育评注（实际教学效果及改进设想）
在实际教学中，因为这几个公式特征很明显，利于学生记忆和应用，所以教学效果还是不错的。但是如果变换了问题情境，部分学生就显得无所适从，放着现成的公式不知如何下手，所以要注意培养学生的分析问题的能力。
[思路探索]利用两点间距离公式，求参数a
解：∵d(A，B)＝7 ，
∴(a－3)2＋(3＋4)2＝(7 )2，
∴a＝10或a＝－4.
引出平面直角坐标系中的距离公式和中点公式等。

2-1-2平面直角坐标系中的基本公式

典例剖析
题型 1 考察两点间的坐标公式例 1 求下列两点间的距离． (1)A(－2,3)，B(－1,7)； (2)A(1,5)，B(4，－1)．剖析可根据两点间的距离公式求解，注意计算步骤．
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
4．已知 A(8,10)，B(－6，y)，AB 中点坐标为(x,7)，则 x， y 的值分别是( A．1,4 C．－1,4 ) B．1，－4 7 D．1，2
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名师讲解
1.两点间的距离公式在平面直角坐标系内有两点：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A， B 两点的距离是 d(A，B)＝ x2－x12＋y2－y12.
2 (1)若 B 点为原点，则 d(A，B)＝d(O，A)＝ x2＋y1； 1
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
由(1，－1)是 BD 中点可得： 2＋x2 ＝1， 2 4＋y2 2 ＝－1，
x ＝0， 2 ∴ y2＝－6.
∴C 点坐标为(3，－5)，D 点坐标为(0，－6)．
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
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§2 .1

坐标计算的基本公式

坐标计算的基本公式坐标计算是数学中一个重要的分支，它涉及到平面上的点的位置关系、距离、方向等问题。

在坐标计算中，常用的基本公式包括平面直角坐标系的表示、两点间的距离、中点坐标、线段的分点坐标、直线的斜率等，下面将详细介绍这些公式。

1.平面直角坐标系的表示：平面直角坐标系是以两个相互垂直的轴为基准，建立平面上点的坐标位置。

一般选择x轴和y轴作为坐标轴，它们的交点O称为原点。

平面上的任意一点P可以用(x,y)表示，其中x表示点P在x轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。

2.两点间的距离：两点间的距离可以通过勾股定理计算。

设点（x1,y1）和点（x2,y2）是平面上的两个点，它们之间的距离d可以表示为：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]3.中点坐标：若已知线段的两个端点的坐标（x1,y1）和（x2,y2），可以通过求平均值的方法求出线段的中点的坐标。

中点的x坐标可以通过下述公式计算：x=(x1+x2)/2，中点的y坐标可以通过下述公式计算：y=(y1+y2)/24.线段的分点坐标：线段的分点坐标指线段上除了端点外的任意一点的坐标。

已知线段的两个端点的坐标（x1,y1）和（x2,y2），若要求线段上的一个点，该点到一个端点的距离是线段长度的m/n（其中m,n为整数，且m+n≠0），则该点的坐标可以用以下公式计算：x = (mx2 + nx1)/(m + n)，y = (my2 + ny1)/(m + n)。

5.直线的斜率：直线的斜率是刻画直线的一个重要属性，可以通过两点的坐标计算得到。

设直线上的两个点分别为（x1,y1）和（x2,y2），直线的斜率可表示为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

若直线的斜率为k，则直线倾斜角的正切为tanθ = k，其中θ表示直线与正x轴之间的夹角。

以上是坐标计算中的一些基本公式，通过这些公式可以解决平面上的点的位置关系、距离、方向等问题。

课件3：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式

∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， ∴△ABC 是以顶点 A 为直角顶点的直角三角形． (2)由于角 A 为直角，故 S△ABC＝12|AB|·|AC|＝12×2 5× 5＝5.
题型二构造距离公式求函数的最值(或值域) 例 2 求函数 y＝ x2＋x＋1－ x2－x＋1的值域．
解 ∵y＝
x＋122＋ 232－ x－122＋ 232.
设 P(x,0)，A12， 23，B－12， 23，
则|PA|＝ x－122＋ 232＝ x2－x＋1，
|PB|＝
x＋122＋ 232＝ x2＋x＋1.
y＝|PB|－|PA|.
由三角形三边的关系：任二边之差小于第三边．
知||PB|－|PA||<|AB|，且|AB|＝1，
∴|y|<1，即 y∈(－1,1)，
(2)解由(1)知△ABC 是等边三角形，所以它的三条中线长相等． ∵AB 边的中点坐标是 x＝－a2＋a＝0，y＝0， ∴AB 的中点为坐标原点 O，又点 C 的坐标为(0， 3a)， ∴OC 是△ABC 的一条中线，它的长为|OC|＝ 3|a|，故这个三角形的三条中线长均为 3|a|.
故函数的值域为(－1,1)
变式 2 求函数 y＝ x2＋9＋ x2－8x＋41的最小值．解联想到两点距离公式，由 x2＋9＝ (x－0)2＋(0＋3)2，
x2－8x＋41＝ (x－4)2＋(0－5)2，知它们分别是 P(x,0)到 A(0，－3)、B(4,5)的距离． ∴y＝|PA|＋|PB|≥|AB|＝ 42＋(5＋3)2＝4 5，当且仅当 A、P、B 三点共线时取“＝”， ∴ymin＝4 5.
变式 1 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1，－1)，B(－1,3)， C(3,0)． (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解求出每两点之间的距离，再进行判断，或利用三角形面积计算公式． (1)由已知，d(A，B)＝ (－1－1)2＋(3＋1)2＝ 20＝2 5； d(A，C)＝ (3－1)2＋(0＋1)2＝ 5， d(B，C)＝ (3＋1)3＋(0－3)2＝ 25＝5.

2[1].1.2平面直角坐标系中的基本公式

解：若点C在x轴上，设C(x，0)，由
∠ACB=90°，得|AB|2=|AC|2+|BC|2，
∴ (－1－3)2+(3－1)2=(x+1)2+32+(x－3)2+12，
解得x=0或x=2,
若点C在y轴上，设C(0，y)，由∠ACB=90°
得|AB|2=|AC|2+|BC|2，
可得y=0 或y=4，
A(0，1)关于x轴的对称点为A’(0，－1)， ∵
(| P A | | P B |) m in | A ' B |
x 1
2
13
即函数y= 的最小值为
x 4x 8
2
13
练习题：
1．如果一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2，1)，另一个端点B的横坐标是－1，则端点B的纵坐标是（ C ）（A）－3 （B）5
例1. 已知A(2，－4)，B(－2，3)，求 d(A，B)。解：x1=2，x2=－2，y1=－4，y2=3， △x=x2－x1=－4，△y=y2－y1=7，
∴ d(A，B)=
x y
2
2

65
例2．已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0), 求证：△ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A，B)= d(A，C)= d(B，C)=
（C）－3或5 （D）－1或3
2．若点M在y轴上，且和点(－4，－1)，
(2，3)等距离，则M点的坐标是
(0, 1 2 )
.
3．若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)
的距离相等，则x+y的值等于
7
.
4．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点

知识讲解_平面直角坐标系中的基本公式

平面直角坐标系中的基本公式【知识梳理】要点一：直线坐标系(1)定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．要点诠释：一般地，我们约定数轴水平放置，正方向为从左到右．(2)数轴上的点与实数的对应法则：P ←−−−−→一一对应实数x ． (3)记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )．当x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离|OP |＝x ；当x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点的距离|OP |＝-x要点二：向量及数轴上两点间的距离公式(1)定义：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB ．点A 、B 分别叫做向量AB 的起点、终点．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量．要点诠释：要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标（数量）这几个概念，它们分别用AB 、||AB 、AB 来表示；两个向量相等，必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量，它的长度为0，方向不确定．(2)位移向量的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+．要点诠释：作和向量的规律特点：前一个向量的终点是下一个向量的起点(尾首相接)，而和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(首尾相连)．(3)数量和：数轴上任意三点A 、B ，C ，都具有关系AC ＝AB+BC ．要点诠释：①这个公式反映了数轴上向量加法的坐标运算法则，是解析几何的基本公式．②数轴上任意三点．A 、B 、C 都有关系AC ＝AB+BC ，但不一定有|AC |＝|AB |+|BC |，它与A 、B 、C 三个点的相对位置有关．(4)数轴上两点间的距离公式：向量的坐标计算公式：设AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则21AB x x =-．一般地，数轴上的任意一个向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标．用d (A ，B )表示A ，B 两点的距离，可得数轴上两点A ，B 的距离公式是21()||||d A B AB x x ==-，．要点三：平面直角坐标系中两点间的距离公式平面上有两点A (1x ，1y )，B (2x ，2y ) ，则两点间的距离为d (A ，B )＝|AB |＝222121()()x x y y -+-．要点诠释：两点间的距离公式是一个很重要的公式，要熟练地掌握，记住公式的形式，对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可以直接利用距离公式的特殊情况求解．要点四：中点坐标公式若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )，则线段AB 的中点M (x ，y )的坐标计算公式为122x x x +=，122y y y +=．要点诠释：此公式的推导过程中注意把问题向数轴上转化，体现了数学上的转化思想．要点五：坐标法1．通过建立平面直角坐标系，用代数方法来解决几何问题的方法叫做坐标法，其体现的基本思想是数形结合思想．2．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系．坐标系的选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简洁．原则：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下约定：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴．②对称图形，则取对称轴为x 轴或y 轴．③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴．④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题等价转化为代数式来计算．【典型例题】类型一：向量及数轴上点的距离公式例1．已知A 、B 、C 是数轴上任意三点．(1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ；(2)证明：AC+CB ＝AB ；(3)若|AB |＝5，|CB |＝3，求|AC |．【答案】（1）2（2）略（3）2或8【解析】 (1)AC ＝AB+BC ＝AB -CB ＝5-3＝2．(2)证明：设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为A x 、B x 、C x ，则AC+CB ＝(C A x x -)+(B C x x -)＝B A x x AB -=，故AC+CB ＝AB ．(3)当点C 在A 、B 两点之间时，由下图①可知|AC |＝|AB |-|BC |＝5-3＝2；当点C 在A 、B 两点之外时，由上图②可知|AC |＝|AB |+|BC |＝5+3＝8．综上所述，|AC |＝2或8．【总结升华】向量及向量长度的计算应熟练地运用公式AB ＝B A x x -，及|AB |＝||||B A A B x x x x -=-进行求解．对于(3)要注意点B (或点C )的位置，若不确定应分类讨论．举一反三：【变式1】已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为1x a b =+，2x a b =-．求AB 、BA 、d (A ，B )、d (B ，A )．【答案】2b - 2b 2||b 2||b【解析】 21AB x x =-=()()2a b a b b --+=-，12()()2BA x x a b a b b =-=+--=，d (A ，B )＝21||2||x x b -=，d (B ，A )＝12||2||x x b -=．【变式2】关于位移向量，下列说法正确的是 ( )A ．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B ．两个相等的向量的起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D ．AB 的大小是数轴上A 、B 两点到原点距离之差的绝对值【答案】 B【解析】一个点的坐标没有大小，每个实数对应着无数个位移向量。

课件2：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式

典型例题题型二两点间距离公式
例 2 已知 A(3，－4)与 B(a,3)两点间距离为 7 2，求 a 的值．解：∵d(A，B)＝7 2， ∴(a－3)2＋(3＋4)2＝(7 2)2， ∴a＝10 或 a＝－4.
变式 2 求下列两点间的距离： (1)A(2,5)、B(3，－4)； (2)A( 2－1， 3＋ 2)、B( 2＋1， 3－ 2)； (3)A(a＋1，b)、B(a－2，b)； (4)A(a,2b)、B(a,3b－1)．
自学导引
平面直角坐标系中的基本公式 1．平面上任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)之间的距离d(P1，P2)＝|P1P2|＝__x_2_－__x_1_2＋___y_2_－__y1__2 .
2．平面上任意两点 P1(x1，y1x)1、＋Px(2x2，y2)的中
x＝
2
点 P(x，y)，则
易错疑难辨析
已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,1)、(2，－1)、 (－1，－3)，则第四个顶点的坐标为________．【错解】 (－2，－1) 【辨析】由于在解题时只考虑了以(1,1)和(－1，－3)为一条对角线的两端点时的情况，故导致错误．
【正解】 (4,3)或(－2，－1)或(0，－5) ①当(1,1)与(2，－1)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(4,3)； ②当(1,1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(－2，－1)；③当(2，－1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(0，－5)．【答案】 (0，－5)
思想方法技巧 1.转化思想求函数 y＝ x2＋9＋ x2－10x＋29的最小值．
解：y＝ (x－0)2＋(0－3)2＋ (x－5)2＋(0＋2)2可以看成是 x 轴上的动点 P(x,0)到两定点 A(0,3)、B(5，－2)的距离之和，如图所示．

平面直角坐标系中的基本公式

c 3c a 3a D ( , )， ) ，E ( , 2 2 2 2
于是|AE|=
|CD|=
c2 3c2 2 2 2 a ac a ac c 4 4
a 3 2 ( c) ( a 0)2 a 2 ac c2 2 2
所以|AE|=|CD|.
例7.求函数y= x2 1 x2 4x 8 的最小值.
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
一. 两点间的距离公式
当AB不平行于坐标轴时，也不在坐标轴上时，从点A和点B 分别向x轴，y轴作垂线 AA1，AA2，BB1，BB2，垂足分别为 A1(x1，0)，A2(y1，0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，其中直线 BB1 和 AA2 相交于点 C。在直角△ACB中，
4．若点M在y轴上，且和点(－4，－1)，
1 (2，3)等距离，则M点的坐标是 (0, ) . 2
5．若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)
的距离相等，则x+y的值等于
7
.
6．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点
是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距
离是
19
。
7．已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2， 5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C
x B1
两点间的距离公式
已知：A ( x1，y1 )，B ( x2 , y2 )
则AB两点间距离的公式：
d(A，B) （x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
B2 A(x1,y1)
y
B(x2,y2)
A2 A1 O
C
x B1
特别地：
当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2－x1|；（y2=y1）源自 x y22

平面直角坐标系中的基本公式

3．如果把相等的所有向量看成一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的。
三. 基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A作一次
位移到点B，接着由点B再作一次位移到点 C，则位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和，记作 AC AB BC 2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C 都有关系AC=AB+BC；
x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是(0，4).
小结 2、两点间的距离公式d(A，B)=|AB| 2 2 （x2 x1 ) ( y2 y1 )
1、数轴上两点的距离公式d(A，B)=|x2－x1|.
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
其中直线BB1和AA2相交于点C。
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|， |BC|=|A2B2|=|y2－y1|，由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2，由此得到计算两点间距离的公式： d(A，B)=|AB|
3．如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作P(x)；
二. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向量，简称向量。从点A到点B的向量，记作 AB ，读作“向量AB”。点A叫做向量的起点，点B叫做向量的终点；
2．向量 AB 的长度：线段AB的长叫做向量的长度，记作| AB |；
3．数量的坐标表示：使 AB 是数轴上的任意一个向量，点 A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2 －x1； 4．数轴上两点间的距离公式：用d(A，B)表示A、B两点间的距离，