数学竞赛中的三角函数问题

条件中的角度变换为结论中所要的角度 .
) = 5sinβ, 得 证明 由已知 sin ( 2α+ β ) + α] = 5sin [ (α+ β ) - α] , 于是 sin [ (α+ β ) cos α+ cos (α+ β ) sinα sin (α+ β ) cos α- 5cos (α+ β ) sinα, = 5sin (α+ β ) sinα= 2sin (α+ β ) cos α. 整理得 3cos (α+ β
) ( cos2α + sec2α ) 思考题 8 证明 : ( sin2α + csc2α
思路分析 :容易发现 , 结论中的角度 α,α + β与
) - α, 条件中的角度β, 2α + β 有关系式β = (α + β ) + β, 因此对条件变形时应考虑先将 2α+ β= (α+ β
π ,α= arctan 2 时 , 原不等式等号 4
a - b , 即原式 = a- b
3 3
三角式的化简和求值是三角变换的基础 . 一般 说来 , 角变换是三角变换的主线 , 侧重于函数的有 “化杂为弦” “ , 化为互为倒数的函数” “ , 化异名为同 名” 等等 , 侧重于运算的有 “弦函数升降幂” “ , 和积互 化” 以及纯代数运算的各种变换 .

2004 年第 14 ,16 期 数学通讯
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= 5 + tan2α+ 4cot 2α
) 2 + 4tan・ = 5 + ( tanα- 2cotα cotα
α 2sinα cos sinα = α( 1 - cosα ) 1 - cos α 2cos α 1 + cos = = 右边 . sinα tanα sinα tanα+ sinα 思考题 6 证明 α = . tan - sinα tanα sinα ) = 5sinβ 例6 已知 sin ( 2α+ β .
). 例3 化简 sin2α+ sin2β+ 2sinα sinβ cos (α+ β
可 看 作 a2 + ab + b2 =
sin3 10° - cos3 40° 3 3 , 而 sin 10° , cos 10° 可利用公式: sin10° - cos40°
α 来降 sin3α= 3sinα - 4sin3α, cos3α = 4cos3α - 3cos 幂. 即 sin3α=
) . 于是 + cos3α
1 ( 1 ( ) , cos3α = α 3sinα - sin3α 3cos 4 4
分析 1 注意到式中有三种角 :α,β,α + β, 我 β, 后一项中的 们可考虑将前两项降幂并化积成 α± β, 以尽量造成同角 , sinα sinβ可由积化和差造出α± 于是便有下面的解法 1 :
=
). 求证 :3tanα= 2tan (α+ β
≥ 5+4=9 若 ( 1) 等号成立 , 则 sin2β= 1 , 即 β=
( 2)
π . 4 若 ( 2) 等号成立 , 则 tanα= 2cotα, 即 tan2α= 2 , 故 α= arctan 2 . 所以 , 当 β= 成立 . 由例 7 的证明可以看到 , 在三角不等式的证明 过程中 , 一般要对已知或求证的不等式作各种巧妙 的三角变换和代数变形 , 具有很大的灵活性和技巧 性.
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2 3 ( a - 1) ; 当 a >
数 学 通 讯 2004 年第 14 ,16 期 β+ cosα )2 = ( sinα cos sinβ
). = sin2 (α+ β
7 1 +3a 时 , y 有最小值 . 3 2 7 综上 , 当 1 < a ≤ 时 , f ( θ) 有 最 小 值 3 7 2 3 ( a - 1) + a + 2 ; 当 a > 时 , f (θ) 有 最 小 值 3 1 +3a 5 +5a + a+2= . 2 2
0<
y
2
≤ 2,
Δ = y2 - 12 ( a - 1) ≥ 0.
4. 3 ( a - 1) ≤y ≤
y
2
>2,
g ( 2) = - 2 y + 3 a + 1 ≤ 0, y >4且 y ≥
1 +3a . 2 7 . 而当 a > 3
3 ( a - 1) ≤4 得 1 < a ≤
7 1 +3a 7 时, > 4 , 故当 1 < a ≤ 时 , y 有最小值 3 2 3
思考题 4 化简
3 - 4cos2α+ cos4α . 3 + 4cos2α+ cos4α
例4 求 sin2 10° + cos2 40° + sin10° cos40° 的值 . 分析 1 我们侧重于角来考虑 , 设法化成同角或 者特殊角 . 由于 40° = 30° + 10° , 故可化为 30° 和 10° 的三角函数 . 解法 1 sin2 10° + cos2 40° + sin10° cos40°
1 1 ( 1 - cos2α ) + ( 1 - cos2β ) 2 2 ) - cos (α- β ) ]cos (α+ β ) - [ cos (α+ β
解法 2
1 (3sin10° ) - sin30° - 3cos40° - cos120° 4 sin10° - cos40° 3 = . 4 思考题 5 ( 1991 年全国高中数学联赛试题 ) 求
2
三角等式的证明分恒等式与条件等式的证明两 大类型 . 证明过程一般是将等式较繁的一边通过化 简后等于另一边 . 如果等式左右两边都很繁杂时 , 则 将左右两边分别化简为同一式子 .
sin2α 例 5 证 明 : ( α α- 1) ( sinα- cosα+ 1) sin + cos α 1 + cos = . sinα sin2α 证明 左边 = 2 α- 1 sin α- cos2α+ 2cos α 2sinα cos = α- 1 1 - 2cos2α+ 2cos
(B) cos (α+ β ) < cos α+ cos β . ( C) cos (α+ β ) > sinα+ sinβ .
( )
g ( 2) = - 2 y + 3 a + 1 ≤ 0 时 , 方程 ( 1) 在 ( 0 , 2 ]内至少有一实根 .
由 解得 2 由 解得 再由 2
原式 =
解法 1 原式 =
) cos (α - β ) - cos2 (α + β ) + cos (α + = 1 - cos (α+ β
cos2 10° + cos2 50° - sin40° sin80° 的值 . 3 三角等式和不等式的证明
β )・ ) cos (α- β
). = sin (α+ β
= sin2α ( 1 - sin2β) + sin2β ( 1 sin2α) +
α β 2sinα cos sinβ cos α β+ sin2α = sin2α cos2β+ 2sinα cos sinβ cos cos2α
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) + sin10° ) = sin2 10° + cos2 ( 30° + 10° cos ( 30° + 10°
这里 , 我们利用正弦函数的有界性将求最小值 的问题化归为讨论二次函数的有关问题来解决 . 利用三角函数的有界性 , 可以用来解决某些三 角函数的最值和证明某些三角不等式的问题 . 思考题 2 已知函数 y = cos2 x + 2 p sin x + q 的 值域为 [ 7 , 10 ] , 试求 p , q 之值 . 思考题 3 对所有的实数 x , y , 有不等式
1 三角函数的性质及其应用
( D) cos (α+ β ) < sinα+ sinβ .
例 2 设 a > 1 , a ,θ 均为实数 , 试求当 θ 变化 时 , 函数
) = f (θ ( a + sinθ ) ( 4 + sin θ )
1 + sinθ
2
的最小值 .
π 内 , 且满足 cosα 2 β ) = β, cos ( sinγ ) = γ, 试比较 α,β,γ 的 = α, sin ( cos 例1 设 α,β,γ在区间 0 , 大小 . α, 由余弦函数在 0 , 解 若 β≥ 可知 π β≤ α= α< 0 < cos cos , 2 β= sin ( cos β ) < cos β≤ α= α. cos 这与假设矛盾 , 故有 β< α. α, 再由余弦函数在 0 , 若 γ≤ 不等式 α< 0 < sinγ < γ ≤ π , 2 π 的单调性及 2 π 的单调性 2
θ+ ( 4 + a) sinθ+ 4 a 1 + sinθ 3 ( a - 1) ) + = ( 1 + sinθ + a + 2. 1 + sinθ 令 1 + sinθ= x , 由于 - 1 ≤ sinθ≤ 1 , 1 + sinθ≠ 0,