九年级下册数学解直角三角形同步练习3
人教版九年级数学下册28.2 解直角三角形 同步练习附答案【新】
28.2 解直角三角形第3课时坡角、方向角与解直角三角形1. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1:3，堤坝高BC=50 m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100 m B．1003 mC．150 m D．503 m2. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．(6+3)米 B. 12米 C. (4－23)米 D. 10米3. 如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路l的距离为米．4. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1:5，则AC的长度是cm．5. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003 m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500 m到达目的地C点．（1）求A、C两点之间的距离；（2）确定目的地C在营地A的什么方向？参考答案1．A2．A3．4．2105．解：（1）过B 点作BE ∥AD ，如图，∴∠DAB =∠ABE =60°.∵30°+∠CBA +∠ABE =180°，∴∠CBA =90°， 即△ABC 为直角三角形.由已知可得：BC =500 m ，AB ，由勾股定理可得：AC 2=BC 2+AB 2，∴1000(m)=AC .（2）在Rt △ABC 中，∵BC =500 m ，AC =1000 m ， ∴∠CAB =30°.∵∠DAB =60°，∴∠DAC =30°. 即点C 在点A 的北偏东30°的方向.。
九年级数学下册解直角三角形及其应用同步练习3(新版)新人教版
九年级数学下册解直角三角形及其应用同步练习3〖新版〗新人教版一﹨双基整合:1．轮船航行到C 处时，观测到小岛B 的方向是北偏西35°，那么同时从B•观测到轮船的方向是_________．2．如图1所示，在离地面高度为5m 的C 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成α角，•则拉线AC 的长为_____m 〖用α的三角函数表示〗．(1) (2) (3)3．如图2所示，点B 在点A 北偏西60°方向，且AB=5km ，点C 在点B 北偏东30°方向，且BC=12km ，则A 到C 的距离为________．4．如图3，为了测量河对岸旗杆AB 的高度，在点C 处测得旗杆顶端A 的仰角为30°，•沿CB 方向前进20m 到达D 处，在点D 处测得旗杆顶端A 的仰角为45°，则旗杆AB 的高度为_______〖精确到0.1m ，参考数据：2=1.414，3=1.732〗5．如图4所示，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距〖相邻两树间的水平距离〗•是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是〖 〗A ．6米B ．35米C ．3米D ．12米(4) (5) (6)6．如图5所示，一架飞机在空中A 点处测得飞行高度为h 米，从飞机上看到地面指挥站B 的俯角为α，则飞机与地面指挥站间的水平距离为〖 〗A ．h ·sin α米B ．h ·cos α米C ．h ·tan α米D ．tan h米 7．如图6，在高为h 的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h 表示这个建筑物的高度为〖 〗A ．23hB ．32h C 3h D 38．如图7，上午9时，一条船从A 处出发以20里/时的速度向正北航行，11时到达B 处，从A ﹨B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是〖 〗A ．20里B ．36里C ．72里D ．40里(7) (8)9．如图8所示，拦水坝的横断面为梯形ABCD，已知上底长CB=5米，迎水面坡度为1：3，背水面坡度为1：1，坝高为4米，求：〖1〗坡底宽AD的长；〖2〗迎水坡CD的长；〖3〗坡角α﹨β．二﹨探究创新10．如图，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，•高为AB，•当太阳光与水平线成50°角时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为7m，求树高．〖精确到0.1m〗三﹨智能升级11．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A﹨B﹨C，•景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量，景点D位于景点A的北偏东30′方向8km处，•位于景点B 的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB=5km．〖1〗景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考试其他因素，求出这条公路的长．〖结果精确到0.1km〗．〖2〗求景点C与景点D之间的距离．〖结果精确到1km〗〖参考数据：3，5，sin53°=0.80，sin37°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=0.62，sin52°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73〗．2．如图，海平面上灯塔O方圆100千米范围内有暗礁，•一艘轮船自西向东方向航行，在点A处测量得灯塔O在北偏东60°方向，继续航行100米后，在点B•处测量得灯塔O在北偏东37°方向．请你作出判断，为了避免触礁，这艘轮船是否要改变航向？〖参考数据：sin37°≈0.6018，cos37°≈0.7986，tan37°≈0.7536，cot37°≈1.327，3≈1.732〗答案:1．南偏东55° 2．5sin3．13km 4．27．3m 5．B 6．D 7．A 8．D9．〖1〗〖9+43〗m；〖2〗8m；〖3〗α=30°，β=45°10．解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，∴∠BCD=15°，∠ACD=50°，在Rt△CDB中，CD=7×cos15°，BD=7×sin15°，在Rt△CDA•中，•AD=•CD•×tan50°=7×cos15°×tan50°，∴AB=AD-BD=〖7×cos15°×tan50°-7×sin15°〗=7〖cos15°×tan50°-sin15°〗≈6.2〖m〗11．〖1〗约3.1km；〖2〗约4km12．解：如图过点O作OC垂直于AB的延长线于点C，在Rt△COB中，∠BOC=37°，BC=OC．tan37°，在Rt△AOC中，∠AOC=60°，AC=OCtan60°=3OC，又∵AC=AB+BC，AB=100千米，即3OC=100+•OC·tan37°，≈102.2〖千米〗，∴OC=-︒3tan37故OC>100千米，这艘轮船可以不改变航向，不会触礁．。
人教版九年级数学下册《解直角三角形》同步作业(含答案)
图28-3练习9 解直角三角形一、自主学习1.如图28-3所示，Rt △ABC 中 (1)它三边之间的关系是_________. (2)它两锐角之间的关系是________. (3)它的边角之间的关系是：___________________,____________________； ___________________，__________________； ___________________，____________________； 二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________.3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________.4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________.5.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.6.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.7.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________8.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________.9.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=____.10.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.11.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________.三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21C.1D.)32(21+13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.23514.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的图28-4影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5 图28-6 图28-7A.3m B.3 m C.2 m D.1.5 m15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( ) A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-) D.(23,21-)16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32m C.3 m ，1 mD.1 m,3m17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33m C.3+32 m D.32 m18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552C.553D.3219.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m图28-8 图28-920.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66cm B.68 cm C.38 cm D.154cm21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53B.55C.51 D.52四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-1023.小华所在的学校A位于某工地O的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O出发，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m，问小华所在的学校A是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-1124.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12图28-13参考答案一、自主学习1.如图28-3所示，Rt△ABC中(1)它三边之间的关系是_________.(2)它两锐角之间的关系是________.(3)它的边角之间的关系是：__________________________,_______________________ ______；____________________________，__________________________；___________________________，_________________________；图28-3答案：(1)a 2+b 2=c 2 (2)∠A+∠B=90° (3)sinA=ca ，cosA=cb ，tanA=bacotA=ab ，sinB=cb ，cosB=ca ，tanB=ab ，cotB=ba二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________. 答案：30°3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________. 答案：3310m4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________. 答案：255.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.答案：10106.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.答案：627.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________ 答案：8548.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________. 答案：2329.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=__________.图28-4答案：3310.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.答案：611.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________. 答案：530° 60°三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21 C.1D.)32(21+答案：B13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.235答案：C14.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5A.3m B.3 m C.2 mD.1.5 m 答案：C15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( )A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-)D.(23,21-)答案：A16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32 m C.3 m ，1 mD.1 m,3m图28-6答案：A17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33 m C.3+32mD.32m图28-7答案：C18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552 C.553D.32 答案：D19.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )图28-8A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m 答案：A20.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66 cm B.68 cm C.38cmD.154cm答案：D21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53 B.55C.51 D.52图28-9答案：B 四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-10答案：112 m23.小华所在的学校A 位于某工地O 的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O 出发，以5m/s 的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m ，问小华所在的学校A 是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-11答案：受影响的时间为20 s24.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12 图28-13答案：(1)略(2)约为21.3海里(提示：用题目中的结论)。
人教版九年级数学下册解直角三角形同步练习
人教版九年级数学下册解直角三角形同步练习基础训练知识点1 已知两边解三角形1‘在Rt△ABC中,∠C=90°‘(1)若c=6,a=6,则b=_________,∠B=_______,∠A=_______;(2)若a=4,b=4,则∠A=_______,∠B=_______,c=_______‘2‘如图,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cos A=( )A‘B‘ C‘D‘3‘如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,则tan B=( )A‘2B‘2C‘D‘知识点2 已知一边及一锐角解三角形4‘在Rt△ABC中,∠C=90°‘(1)若∠B=60°,BC=,则∠A=__________,AC=_________,AB=_________;(2)若∠A=45°,AB=2,则∠B=_________,AC=_________,BC=_________‘5‘在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC 等于( )A‘3sin 40°B‘3sin 50°C‘3tan 40°D‘3tan 50°6‘如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,P是BC边上的动点,则AP长不可能是( )A‘3‘5 B‘4‘2 C‘5‘8 D‘77‘如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, D为BC上一点,∠DAC=30°,BD=2,AB=2,则AC的长是( )A‘ B‘2 C‘3 D‘知识点3 已知一边及一锐角的三角函数值解三角形8‘如图,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC=,则对角线AC的长为‘9‘如图,△ABC中,AC=5,cos B=,sin C=,则△ABC的面积是( )A‘B‘12 C‘14 D‘2110‘如图,已知菱形ABCD中,AE⊥BC于点E‘若sin B=,AD=6,则菱形ABCD的面积为( )A‘12 B‘12C‘24 D‘5411‘如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=CD,cos ∠DCA=,BC=10,则AB的值是( )A‘3 B‘6 C‘8 D‘912‘在△ABC中,AB=2,AC=,∠B=30°‘求∠BAC的度数‘提升训练考查角度1 利用三角函数解直角三角形13‘如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=3,解这个直角三角形‘14‘在Rt△ABC中,∠C=90°,已知b=10,∠B=60°,解这个直角三角形‘15‘如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1‘(1)求BC的长;(2)求tan ∠DAE的值‘考查角度2 利用三角函数解斜三角形问题(化斜为直法)16‘如图,在△ABC中,sin B=,∠A=105°,AB=2,求△ABC的面积‘考查角度3 利用三角函数解与相似有关的综合问题17‘如图,在△A BC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD,过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H‘(1)求BD·cos∠HBD的值;(2)若∠CBD=∠A,求AB的长‘18‘如图,两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起,固定△ABC,将△DEF进行如下变换:(1)如图①,△DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动),连接AF,AD,BD,请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系‘(2)如图②,当点F平移到线段BC的中点时,若四边形AFBD为正方形,那么△ABC应满足什么条件?请给出证明‘(3)在(2)的条件下,将△DEF沿DF折叠,点E落在FA的延长线上的点G处,连接CG,请你画出图形,并求出sin∠CGF的值‘①②19‘如图,PB为☉O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交☉O于点A,连接PA,AO‘并延长AO交☉O于点E,与PB 的延长线交于点D‘(1)求证:PA是☉O的切线‘(2)若=,且OC=4,求PA的长和tan D的值‘参考答案1‘【答案】(1)6;45°;45°(2)60°;30°;82‘【答案】D 3‘【答案】B4‘【答案】(1)30°;;2(2)45°;;5‘【答案】D 6‘【答案】D 7‘【答案】A8‘【答案】249‘【答案】A解：如图,过点A作AD⊥BC‘因为cos B=,所以∠B=45°,所以AD=BD‘因为sin C==,所以=,所以AD=BD=3,所以DC===4,所以BC=BD+DC=7,所以S△BC·AD=×7×3=‘ABC=10‘【答案】C解：∵四边形ABCD是菱形,AD=6,∴AB=BC=6‘在Rt△ABE中,sin B=,∵sin B=,∴=,解得AE=4‘∴菱形ABCD的面积是6×4=24‘故选C‘11‘【答案】B解：∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB‘∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA‘∴∠ACB=∠DCA‘∴cos∠ACB=cos∠DCA=,即==,∴AC=8,∴AB==6‘12‘解:(1)如图①,当∠BAC是钝角时,过点A作AD⊥BC,垂足为点D‘在Rt△ABD中,∵∠B=30°,∴∠BAD=60°,AD=AB·sin 30°=1‘在Rt△ACD中,CD===1,∴△ACD是等腰直角三角形,则∠CAD=45°,∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°‘(2)如图②,当∠BAC是锐角时,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D‘∵∠B=30°,∴AD=AB·sin 30°=1,∠BAD=60°‘∴CD===1,∴∠DAC=45°,∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=60°-45°=15°‘综上可知,∠BAC的度数为105°或15°‘常见错解:解题时只考虑了一种情况(∠BAC为钝角或∠BAC为锐角),而忽略了另一种情况(∠BAC为锐角或∠BAC为钝角),从而造成漏解‘13‘解:在Rt△ABC中,AB===6‘∵tan A===1,∴∠A=45°‘∴∠B=90°-∠A=90°-45°=45°‘14‘解:∵∠B=60°,∴∠A=90°-∠B=30°‘∵tan B=,∴a====‘∵sin B=,∴c====‘方法解：已知一个锐角时,可以先根据直角三角形的两锐角互余来计算另一个锐角的度数‘已知一个锐角及对边,常通过正切和正弦来解直角三角形‘15‘解:(1)在△ABC中,∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°‘在△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,∴DC=AD=1‘在△ADB中,∵∠ADB=90°,sin B=,AD=1,∴AB==3,∴BD==2,∴BC=BD+DC=2+1‘(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=BC=+,∴DE=CE-CD=-,∴tan ∠DAE==-‘16‘解:过A作AD⊥BC于D‘在Rt△ABD中,易得∠B=45°,又AB=2,∴∠DAB=∠B=45°,AD=BD=2×=,∴∠CAD=105°-45°=60°‘在Rt△CAD中,tan∠CAD=,∴CD=AD·tan∠CAD=×tan 60°=‘∴BC=CD+BD=+‘∴S△ABC=·BC·AD=(+)×=+1‘17‘解:(1)∵DH∥AB,∴∠BHD=∠ABC=90°, ∴△ABC∽△DHC,∴=‘∵AC=3CD,BC=3,∴CH=1‘∴BH=BC+CH=4‘在Rt△BHD中,cos ∠HBD=‘∴BD·cos∠HBD=BH=4‘(2)方法一:∵∠A=∠CBD,∠ABC=∠BHD,∴△ABC∽△BHD,∴=‘∵△ABC∽△DHC,∴==,∴AB=3DH,∴=,DH=2,∴AB=6‘方法二:∵∠CBD=∠A,∠BDC=∠ADB,∴△CDB∽△BDA,∴=,BD2=CD·AD‘∴BD2=CD·4CD=4CD2‘∴BD=2CD‘∵△CDB∽△BDA,∴=‘∴=‘∴AB=6‘18‘解:(1)S△ABC=S四边形AFBD‘(2)△ABC为等腰直角三角形,即:AB=AC,∠BAC=90°‘理由如下:∵F为BC的中点,∴CF=BF‘∵CF=AD,∴AD=BF‘又∵AD∥BF,∴四边形AFBD为平行四边形‘∵AB=AC,F为BC的中点,∴AF⊥BC‘∴平行四边形AFBD为矩形‘∵∠BAC=90°,F为BC的中点,∴AF=BC=BF‘∴四边形AFBD为正方形‘(3)正确画出图形如图‘由(2)知,△ABC为等腰直角三角形,AF⊥BC,设CF=k,则GF=EF=CB=2k‘由勾股定理,得:CG=k‘sin ∠CGF===‘19‘(1)证明:如图,连接BO,∵PB为☉O的切线,B为切点,∴OB⊥PD,∠PBO=90°‘又∵OA=OB,OC⊥AB,∴∠AOC=∠BOC‘又∵OP=OP,∴△PAO≌△PBO,∴∠PAO=∠PBO=90°,PA=PB,∴PA是☉O的切线‘(2)解:∵∠ACO=∠PAO=90°,∠AOC=∠POA,∴△AOC∽△POA,∴==‘又∵OC=4,∴AC=6‘在Rt△AOC中,OA===2,∴PA=OA=3,∴PB=3‘在Rt△PAO中,PO===13‘如图,连接BE‘∵AE为直径,∴∠ABE=90°‘又∵OC⊥AB, ∴BE∥OP,∴△DBE∽△DPO,BE=2OC=8‘∴=‘即=‘解得BD=‘∴在Rt△DBO中,tan D===‘。
人教版九年级下册数学 28.2.1解直角三角形 同步练习
28.2.1解直角三角形同步练习一．选择题1．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为a，若cos a＝，则这条射线是（）A．OA B．OB C．OC D．OD3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则BC：AC：AB等于（）A．1：2：5B．1：：C．1：：2D．1：2：4．如图：∠C＝90°，∠DBC＝30°，AB＝BD，利用此图可求得tan75°的值是（）A．2﹣B．2+C．﹣2D．+15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠B的余切值为（）A．B．C．D．6．如图，在▱ABCD中，AB：AD＝3：2，∠ADB＝60°，那么cos∠A的值等于（）A．B．C．D．7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，cos C＝，则△BCD与△ABD 的面积比是（）A．1：3B．2：7C．2：9D．2：118．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sin A＝，那么点C的位置可以在（）A．点C1处B．点C2处C．点C3处D．点C4处9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm10．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若＝，则tan∠A＝．12．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，连接AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．13．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，已知AB∥FC，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝8，则CD的长为．14．如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，则tan A＝．15．如图，平面上七个点A、B、C、D、E、F、G，图中所有的连线长均相等，则cos∠BAF ＝．三．解答题16．如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．17．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AB上一点，且tan∠DCB＝．（1）试求cos B的值；（2）试求△BCD的面积．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，CF⊥BD，垂足为点F，延长CF与边AB交于点E．求：（1）∠ACE的正切值；（2）线段AE的长．参考答案一．选择题1．解：过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，∴AB＝＝＝5，AH＝3，∴cos∠BAC＝＝，故选：C．2．解：∵点A的坐标为（3，4），∴OA＝5，∴cos a＝，则这条射线是OA．故选：A．3．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝＝，∴∠A＝30°，cos A＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：2．故选：C．4．解：∵AB＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠DBC＝∠A+∠ADB＝30°，∴∠A＝15°，∴∠ADC＝75°，设CD＝a，在Rt△BCD中，∵∠DBC＝30°，∴BD＝2a，BC＝a，∴AC＝AB+BC＝BD+BC＝2a+a＝（2+）a，在Rt△ACD中，tan∠ADC＝tan75°＝＝＝2+．故选：B．5．解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴cot B＝＝＝，故选：A．6．解：作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E．设DF＝x，则AD＝2x，∵∠ADB＝60°，∴AF＝x，又∵AB：AD＝3：2，∴AB＝3x，于是BF＝x，∴3x•DE＝（+1）x•x，DE＝x，sin∠A＝，cos∠A＝＝．故选：A．7．解：作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，∴BE＝EC＝BC，∵在Rt△AEC中，cos C＝＝，∴AC＝3EC，∴AC＝BC，在Rt△BCD中，cos C＝＝，∴BC＝3CD，∴AC＝CD，∴＝，∴＝＝＝，故选：B．8．解：过点C作CD⊥直线AB于点D，如图所示．∵AB＝5，△ABC的面积为10，∴CD＝4．∵sin A＝，∴AC＝4，∴AD＝＝8，∴点C在点C4处．故选：D．9．解：∵∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，∴BD＝AD，∴CD+BD＝8，∵cos∠BDC＝＝，∴＝，解得：CD＝3，BD＝5，∴BC＝4．故选：A．10．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝＝，∴＝，∴OE＝，∴AE＝＝，作EH⊥AB于H．∵S△ABE＝•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH＝，∴AH＝＝，∴tan∠BAD＝＝＝，故选：B．二．填空题11．解：连接EB，∵D是AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵＝＝，设EC＝3k，则AE＝BE＝4k，AC＝5k+3k＝8k，在Rt△BCE中，BC＝＝4k，在Rt△ABC中，tan∠A＝＝＝，故答案为：．12．解：如图，过点E作EH⊥BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，∴∠EDH＝60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∴EH＝DE•sin60°＝，∴E到直线BD的距离为，故答案为．13．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝8，∴∠ABC＝30°，BC＝AC×tan60°＝8，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝8×＝4，CM＝BC×cos30°＝12，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝4，∴CD＝CM﹣MD＝12﹣4．14．解：分三种情况：①如图1，高AC＝BC，此时tan A＝＝＝2；②如图2，高BC＝AC，此时tan A＝＝＝；③如图3，高CD＝AB，设AC＝x，BC＝y，CD＝a，则AB＝2a，由三角形面积公式和勾股定理得：，解得：x＝y＝a（负数舍去），tan A＝＝1；故答案为：或2或1．15．解：连接AC、AD，过点D作DM⊥AC，垂直为M．设AE的长为x，则AB＝AG＝BG＝CG＝CB＝AF＝AE＝EF＝x，∴△ABG、△AEF、△CBG和△DEF都是等边三角形，四边形ABCG、四边形AEDF是菱形，∴∠BAC＝∠EAD＝30°∴AC＝AD＝2×cos∠BAC×AB＝2×x＝x∵∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠EAD＝∠BAE﹣60°，∠BAF＝∠BAE﹣∠EAF＝∠BAE﹣60°，∴∠BAF＝∠CAD在Rt△AMD中，因为DM＝sin∠CAD×x，AM＝coa∠CAD×x，CM＝x﹣cos∠CAD×x，在Rt△CMD中，CD2＝CM2+MD2，即x2＝（x﹣cos∠CAD×x）2+（sin∠CAD×x）2整理，得5x2＝6x2cos∠CAD∴cos∠CAD＝∴cos∠BAF＝．故答案为：三．解答题16．解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△F AC，∴＝，即＝，解得CF＝；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH＝＝，∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tan D＝tan∠ECH＝＝．17．解：（1）作AE⊥BC于E，如图，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝×8＝4，在Rt△ABC中，cos B＝＝；（2）作DF⊥BC于F，如图，在Rt△CDF中，tan∠DCF＝＝，设DF＝3x，则CF＝5x，在Rt△ABE中，AE＝＝3，∴tan B＝＝，在Rt△BDF中，tan B＝＝，而DF＝3x，∴BF＝4x，∴BC＝BF+CF＝4x+5x＝9x，即9x＝8，解得x＝，∴DF＝3x＝，∴S△BCD＝×DF×BC＝××8＝．18．解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°，又∵CF⊥BD，∴∠CFB＝90°，∴∠BCE+∠CBD＝90°，∴∠ACE＝∠CBD，∵AC＝4且D是AC的中点，∴CD＝2，又∵BC＝3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°．∴tan∠CBD＝＝，∴tan∠ACE＝tan∠CBD＝；（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，在Rt△EHA中，∠EHA＝90°，∴tan A＝，∵BC＝3，AC＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴tan A＝＝，∴＝，设EH＝3k，AH＝4k，∵AE2＝EH2+AH2，∴AE＝5k，在Rt△CEH中，∠CHE＝90°，∴tan∠ECA＝＝，∴CH＝k，∴AC＝AH+CH＝k＝4，解得：k＝，∴AE＝．。
人教版九年级数学下册28.2 解直角三角形 同步练习3 含答案
28.2解直角三角形（3）一、选择题1. 一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶,共走了500m,那么这山的高度是[ ]m.A.230B.240C.250D.2602. 一个人从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到达B点，再从B点出发向南偏东15°方向走了一段距离到C点，则∠ABC的度数为 [ ]A.15°B.75°C.105°D.45°3. 为了求河对岸建筑物AB的高,在地平面上测得基线CD=180米,在C点测得A点的仰角为30°,在地平面上测得∠BCD=∠BDC=45°,那么AB的高是[ ]米.4. 如图,一船向正北航行,看见正东有两个相距10海里的灯塔,船航行半小时后,一个灯塔在船的东南,另一个灯塔在船的东22°30′南,则船的速度(精确到0.1米)是[ ]米/时(tg22°30′=0.4142)A.12.1B.13.1C.14.1D.15.15. 一只船向正东航行,上午7时在灯塔A的正北C处,上午9时到达塔的北偏东60°B处,已知船的速度为每小时20千米,那么AB的距离是[ ]千米.6. 如图：B处有一船,向东航行,上午9时在灯塔A的西南58.4千米的B上午11时到达灯塔的南C处,那么这船航行的速度是[ ]千米/时.A.19.65B.20.65C.21.65D.22.657. 如图：一只船以每小时20千米的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°,2小时后,船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°,则灯塔B到船的航海线AC的距离是 [ ]千米.二、填空题一只船向东航行,上午9点到一座灯塔的西南68海里处,上午11点到达这座灯塔的正南,这只船航行的速度是_____________.(答案可带根号)三、解答题1. 如图：已知一船以每小时20海里的速度向正南行驶,上午10时在A 处见灯塔P 在正东,1小时后行至B 处,观察灯塔P 的方向是北60°东.求正午12时船行驶至C 处距灯塔P 的距离.(答案可带根号)2．如图：东西方向的海岸线上有A 、B 两码头，相距100 )13(-千米，由码头A 测得海上船K 在北偏东30°，由码头B 测得船K 在北偏西15°，求船K 距海岸线AB 的距离（已知tan75°=32+-）参考答案一、选择题1. C2. B3. C4. C5. D6. B7. C二、填空题时海里/217三、解答题1．米7202．350千米。
新人教版九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形同步测试(含答案)
解直角三角形1．△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( A )A ．c sin A ＝aB ．b cos B ＝cC ．a ta n A ＝bD ．c tan B ＝b2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，c ＝2，则b 的值等于( D )A.55 B.255 C.355 D.455【解析】 ∵tan A ＝a b ＝12，∴a ＝b 2，又∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋b 2＝4，∴5b 24＝4，∴b ＝45 5.3．如图28－2－1，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于( B ) A ．m ·sin α米 B ．m ·tan α米 C ．m ·cos α米 D.mtan α米图28－2－1图28－2－24．如图28－2－2，△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A.212B ．12C ．14D ．21 5．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高．则下列结论中，正确的是( B ) A ．AD ＝32AB B ．AD ＝12AB C ．AD ＝BD D ．AD ＝22BD 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23，则∠B ＝__30°__．【解析】 本题是已知两直角边解直角三角形，由tan B ＝b a ＝236＝33，得∠B ＝30°.7．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°，则a ＝__12__，b ＝．【解析】 本题是已知一锐角和斜边解直角三角形，由sin A ＝a c ，得a ＝sin A ·c ＝32×83＝12.由∠A ＝60°，得∠B ＝30°，所以b ＝12c ＝4 3.8．等腰三角形底边长为26，底边上的高为32，则底角为__60°__． 【解析】 底边上的高将等腰三角形分割成两个直角三角形，通过解直角三角形即可求底角． 9．在△ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形． (1)已知∠A ＝60°，b ＝4，求a ； (2)已知a ＝13，c ＝23，求b ；(3)已知c ＝282，∠B ＝30°，求a ；(4)已知a ＝2，cos B ＝13，求b .解：(1)∵tan A ＝a b，∴a ＝b ·tan A ＝4·tan60°＝4×3＝43；(2)∵a 2＋b 2＝c 2， ∴b ＝c 2－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝13； (3)∵cos B ＝a c， ∴a ＝c ·cos B ＝282×32＝146； (4)∵cos B ＝a c ，∴c ＝a cos B ＝213＝6.又∵b 2＝c 2－a 2，∴b ＝c 2－a 2＝62－22＝4 2. 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°. (1)已知a ＝4，b ＝8，求c .(2)已知b ＝10，∠B ＝60°，求a ，c . (3)已知c ＝20，∠A ＝60°，求a ，b .解：(1)c ＝a 2＋b 2＝42＋82＝45；(2)a ＝b tan B ＝10tan60°＝103＝1033，c ＝b sin B ＝10sin60°＝1032＝2033；(3)a ＝c ×sin A ＝20×32＝103，b ＝c ×cos A ＝20×12＝10. 11．根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，∠B ＝60°； (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，b ＝ 6.解：(1)∠A ＝90°－∠B ＝30°，c ＝acos B＝16，b ＝a ·tan B ＝83；(2)∠B ＝90°－∠A ＝45°，a ＝b ·tan A ＝6，c ＝bcos A＝2 3.图28－2－312．如图28－2－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝ 22，解这个直角三角形．解：∵∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝22，∴sin B ＝AC AB ＝12，∴∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°.BC ＝AB 2－AC 2＝8－2＝ 6.13．如图28－2－4，已知△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，D 是AC 上一点，∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD ＝( A )图28－2－4A.35B.105C.310D.4914．如图28－2－5，已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，求△ABC 的周长(结果保留根号)． 解：∵△ABD 是等边三角形，∴∠B ＝ 60°. 在Rt △ABC 中，∵cos B ＝AB BC ，sin B ＝AC BC，∴BC ＝ AB cos B ＝2cos60°＝4，∴AC ＝BC ·sin B ＝4×sin60°＝23， ∴△ABC 的周长＝AB ＋AC ＋BC ＝6＋2 3.图28－2－5图28－2－615．如图28－2－6，△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，已知∠BDC ＝45°，BD ＝102，AB ＝20.求∠A 的度数．解：在Rt △BDC 中，因为sin ∠BDC ＝BC BD， 所以BC ＝BD ×sin ∠BDC ＝102×sin45°＝102×22＝10. 在Rt △ABC 中，因为sin A ＝BC AB ＝1020＝12，所以∠A ＝30°. 16．如图28－2－7，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，求AB 的长．图28－2－7第16题答图解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°，∴CD ＝BD . ∵∠A ＝30°，AC ＝23，∴CD ＝12AC ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理得：AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.17．某学校的校门是伸缩门(如图①)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图②)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图③)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.087 2，cos5°≈0.996 2，sin10°≈0.173 6，cos10°≈0.984 8)．图28－2－8 解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABC D.根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0．3米．∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6(米)；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1.根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0．3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1＝5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B1A1O1·A1B1＝sin5°×0.3＝0．02616(米)，∴B1D1＝2B1O1＝0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464米；∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．故校门打开了5米．。
【新】人教版九年级数学下册： 解直角三角形及其应用 同步练习 (含答案)
解直角三角形及其应用同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，cosC=，则△BCD与△ABD的面积比是（）A．1：3B．2：7C．2：9D．2：112．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为（）A．1B．C．0.5D．3．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（）A．1B．2C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，延长CA到点D，使AD=AB，连接BD．根据此图形可求得tan15°的值是（）A．B．C．D．5．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31°，缆车速度为每分钟40米，从山脚下A到达山顶B缆车需要15分钟，则山的高度BC为（）A．600•tan31°B．C．600•sin31°D．6．小明同学在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知他的目高AB为1.5米，他先站在A处看路灯顶端O的仰角为30°，向前走3米后站在C处，此时看灯顶端O的仰角为60°，则灯顶端O 到地面的距离约为（）A．3.2米B．4.1米C．4.7米D．5.4米7．如图所示，小明所住高楼AB高为100米，楼旁有一座坡比为3：1的山坡CE，小明想知道山坡的高度，于是小明来到楼顶B俯视坡底C，测得俯角为45°，仰视坡项E，测得仰角为27°，请根据小明提供的信息，帮小明求出斜坡CE的高度ED的值．（结果均精确到0.1米．参考数据：sin27°≈0.45，cos37°≈0.89，tan27°≈0.51）（）A．151.1米B．168.7米C．171.6米D．181.9米8．如图，要测量小河两岸相对的两点P、A之间的距离，可以在小河边PA的垂线PB上取一点C．测得PC=80米，∠PCA=32°，则PA的长为（）A．80sin32°米B．80tan32°米C．D．9．如图，某“拓展训练营”的一个自行车爬坡项目有两条不同路线，路线一：从C到B，路线二：从D到A，AB为垂直升降梯．其中BC的坡度为i=1：2，BC=12米，CD=8米，∠D=36°（其中A，B，C，D均在同一平面内），则垂直升降梯AB的高度约为（精确到0.1米）（）（参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）A．8.6B．11.4C．13.9D．23.410．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个测点，AB=4km，从A处测得船C在北偏东45°的方向，从B 处得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离CD的长为（）A．4kmB．(4+2)kmC．(4+)kmD．(4-)km11．某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福土最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头项正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i=1：2的斜坡CD走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）A．301.3米B．322.5米C．350.2米D．418.5米12．诗人卞之琳的代表作《断章》：“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你，明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦”．2019年国庆，重庆来福士广场开业，吸引了全国各地游客前来，重庆又有了一张新的名片．10月2日，游客小王从南滨路的A处，沿坡度i=1：0.75的斜坡上行20米到达B处，再往正前方水平走8米到达C处，对来福士广场拍照．同时，小王身后的一栋居民楼里面的重庆市民小张在D处测得C处的俯角为42°，若居民楼底端E处与A处的距离是45米，A、B、C、D、E在同一平面内，DE⊥AE于点E．则DE的长约为（）米．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9）A．74.5B．74.1C．61.2D．58.5二．填空题（共6小题）13．已知一段公路的坡度为1：20，沿着这条公路前进，若上升的高度为2m，则前进了．14．如图，l是一条笔直的公路，道路管理部门在点A设置了一个速度监测点，已知BC为公路的一段，B 在点A的北偏西30°方向，C在点A的东北方向，若AB=50米．则BC的长为米．（结果保留根号）15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，tanB=0.75，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC，垂足为点E，则DE=．16．如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，则A处与灯塔C的距离是．17．在△ABC中，∠A=30°，AB=2，AC=6，则BC的长为18．如图，为了测量塔CD的高度，小明在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，那么塔的高度是m．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）．三．解答题（共5小题）19．如图，正在海岛C西南方向20海里作业的海监船A，收到位于其正东方向渔船B发出的遇险求救信号，已知渔船B位于海岛C的南偏东30°方向，海岛C周围13海里内都有暗礁．（参考数据）（1）如果海监船A沿正东方向前去救援是否有触礁的危险？（2）求海监船A与渔船B的距离．（结果精确到0.1海里）20．某中学为数学实验“先行示范校”，一数学活动小组带上高度为1.5m的测角仪BC，对建筑物AO进行测量高度的综合实践活动，如图，在BC处测得直立于地面的AO顶点A的仰角为30°，然后前进40m至DE处，测得顶点A的仰角为75°．（1）求∠CAE的度数；（2）求AE的长（结果保留根号）；（3）求建筑物AO的高度（精确到个位，参考数据：．21．如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC，A、C、D在同一直线上．量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．求台灯的高（即台灯最高点E到底盘AB 的距离）．（结果取整，参考数据sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，22．某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，AD=BD=DE=30cm，CE=40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC=53°，图1中B、E、C三点共线，图2中的座板DE与地面保持平行．问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：sin53°）23．如图①是某小区入口实景图，图②是该入口抽象成的平面示意图，已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．上的O点处装有一盏灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长1.2米，（1）求点M到地面的距离，（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车能否从该入口安全通过？如果能安全通过，请直接写出货车离门卫室外墙AB的最小距离（精确到0.01米）；如果不能安全通过，请说明理由．（参考数据：参考答案1-5：BDBAC 6-10:BDBBB 11-12:BA13、214、）15、16、17、18、19、20、21、22、在Rt△CEN中，∵CE=40cm，∴由勾股定理可得CN=32cm，则BC=18+30+32=80（cm），答：BC的长度发生了改变，增加了4cm23、（1）过点M作MN⊥OA于点N，∵OM长1.2米，∠AOM=60°．∴ON=0.6米，∴BN=OB+ON=3.3+0.6=3.9米．答：点M到地面的距离为3.9米．（2）一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车能从该入口安全通过，理由如下：过点A作AE⊥BA，垂足为A，∵设货车高AB=3.5米，则OA=3.5-3.3=0.2∴AE=OAtan60°=≈0.35答：货车离门卫室外墙AB的最小距离为0.35米。
人教版九年级数学下册《28.2.1解直角三角形》同步练习题带答案
人教版九年级数学下册《28.2.1解直角三角形》同步练习题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，由元素求元素的过程，就是解直角三角形.注意：（1）直角三角形中共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，其余的五个元素中，只要已知其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素；（2）解直角三角形时，要求出这个直角三角形的所有未知元素. 2.如图，在Rt ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系：三边关系：.两锐角关系：.边角关系：sin A＝，sin B＝；cos A＝，cos B＝；tan A＝，tan B＝.基础分点训练知识点1已知两边解直角三角形1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin B等于（）A.35B.34C.53D.452.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝√3，AB＝√6，则∠A＝，∠B ＝，AC＝.3.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形.知识点2已知一边一锐角（或锐角三角函数值）解直角三角形4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝35，BC＝6，则AB＝（）A.4B.6C.8D.105.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝12，AC＝8，则△ABC的面积为（）A.12B.16C.32D.486.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，b＝10，解这个直角三角形.（结果保留小数点后一位.参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47）中档提分训练7.如图，AD是△ABC的高.若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为（）A.3√2B.3√5C.6√2D.3√78.（2024·武威校级二模）如图，△ABC是周长为36的等腰三角形，AB＝AC，BC＝10，则tan B的值为（）A.512B.513C.125D.12139.【分类讨论思想】（易错题）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，AC＝2√7，则BC的长为.10.（2024·武威校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD .＝35（1）求BC的长；（2）求∠ACB的正切值.拓展素养训练11.【阅读理解】阅读下列材料：题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C＝90°，AB＝1，请用sin A，cos A表示sin 2A.解：如图2，作AB 边上的中线CE ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CE ＝12AB ＝12，∠CED ＝2∠A ，CD ＝AC ·sin A ，AC ＝AB ·cos A ＝cos A .在Rt △CED 中，sin 2A ＝sin ∠CED ＝CD CE＝AC·sinA12＝2AC ·sin A ＝2cos Asin A .图1图2根据以上阅读材料，请解决以下问题：如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB ＝3，求sin A ，sin 2A 的值.图3参考答案1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，由 已知 元素求 未知 元素的过程，就是解直角三角形.注意：（1）直角三角形中共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，其余的五个元素中，只要已知其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素；（2）解直角三角形时，要求出这个直角三角形的所有未知元素. 2.如图，在Rt ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么除直角∠C 外的五个元素之间有如下关系：三边关系：a2＋b2＝c2.两锐角关系：∠A＋∠B＝90°.边角关系：sin A＝ac ，sin B＝bc；cos A＝bc ，cos B＝ac；tan A＝ab ，tan B＝ba.基础分点训练知识点1已知两边解直角三角形1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin B等于（D）A.35B.34C.53D.452.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝√3，AB＝√6，则∠A＝45°，∠B＝45°，AC＝√3.3.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形.解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，c ＝8 根据勾股定理，得b ＝√c 2－a 2＝√82－42＝4√3. ∴sin A ＝ac＝48＝12∴∠A ＝30°∴∠B ＝90°－∠A ＝60°.知识点2 已知一边一锐角（或锐角三角函数值）解直角三角形 4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝（ D ） A .4B .6C .8D .105.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，AC ＝8，则△ABC 的面积为 （ B ） A .12B .16C .32D .486.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝25°，b ＝10，解这个直角三角形.（结果保留小数点后一位.参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝25°∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－25°＝65°. ∵b ＝10，sin 25°＝bc，tan 25°＝ba∴c ＝bsin25°≈100.42≈23.8a ＝btan25°≈100.47≈21.3.中档提分训练7.如图，AD 是△ABC 的高.若BD ＝2CD ＝6，tan C ＝2，则边AB 的长为（ C ）A .3√2B .3√5C .6√2D .3√78.（2024·武威校级二模）如图，△ABC 是周长为36的等腰三角形，AB ＝AC ，BC ＝10，则tan B 的值为（ C ）A .512B .513C .125D .12139.【分类讨论思想】（易错题）在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝8，AC ＝2√7，则BC 的长为 2√3或6√3 .10.（2024·武威校级一模）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，CD 是AB 边上的中线，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，若CD ＝5，sin ∠BCD ＝35.（1）求BC 的长；解：（1）∵DE ⊥BC ，∴∠DEC ＝∠DEB ＝90° 在Rt △ECD 中，sin ∠DCE ＝sin ∠BCD ＝35，CD ＝5∴DE ＝CD ·sin ∠BCD ＝5×35＝3∴CE ＝√CD 2－DE 2＝√52－32＝4. ∵∠B ＝45°，∠DEB ＝90° ∴BE ＝DE ＝3∴BC ＝BE ＋CE ＝3＋4＝7. （2）求∠ACB 的正切值.（2）如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F . ∵DE ⊥BC ，AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ∴△DEB ∽△AFB ，∴DEAF ＝BD BA＝BE BF.∵CD 是AB 边上的中线，即点D 为AB 的中点 ∴BA ＝2BD ，∴AF ＝2DE ＝6，BF ＝2BE ＝6. ∴CF ＝BC －BF ＝7－6＝1∴tan ∠ACB ＝tan ∠ACF ＝AFCF＝61＝6.拓展素养训练11.【阅读理解】阅读下列材料：题目：如图1，在△ABC 中，已知∠A （∠A ＜45°），∠C ＝90°，AB ＝1，请用sin A ，cos A 表示sin 2A .解：如图2，作AB 边上的中线CE ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CE ＝12AB ＝12，∠CED ＝2∠A ，CD ＝AC ·sin A ，AC ＝AB ·cos A ＝cos A .在Rt △CED 中，sin 2A ＝sin ∠CED ＝CD CE＝AC·sinA12＝2AC ·sin A ＝2cos Asin A .图1 图2根据以上阅读材料，请解决以下问题：如图3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sin A，sin 2A 的值.图3解：如图3，作AB边上的中线CE，过点C作CD⊥AB于点D.sin A＝13，sin 2A＝4√29.。
浙教版九年级数学下1.3解直角三角形(三)同步练习
浙教版九年级数学下1.3解直角三角形（三）同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知A ，B 两点，若A 对B 的仰角为α，则B 对A 的俯角为( )A ．αB ．90°－αC ．180°－αD ．90°＋α 2．等腰三角形的底角为15°，腰长a 为，则此等腰三角形的底长为（ ）A ．12aB ．12aC ．2aD ．2 a 3．小明同学从A 地沿北偏西60°方向走100 m 到B 地，再从B 地向正南方向走200 m 到C 地，此时小明同学离A 地 ( )A ．150 mB ．mC ．100 mD ．m 4．如图，已知一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时灯塔M 与渔船的距离是( )A ．海里B ．海里C ．7海里D ．14海里 5．如图，某飞机在空中A 点处测得飞行高度h ＝1000m ，从飞机上看到地面指挥站B 的俯角α＝30°，则地面指挥站与飞机的水平距离BC 为( )A ．500mB ．2000mC ．1000mD ．6．如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，CAB θ∠=，则拉线BC 的长度为（A 、D 、B 在同一条直线上）（ ）A ．sin h θB ．cos h θC ．tan h θD ．cos h θ⋅ 7．如图，斜坡AB 与水平面的夹角为α，下列命题中，不正确的是( )A ．斜坡AB 的坡角为αB ．斜坡AB 的坡度为BC AB C ．斜坡AB 的坡度为tanαD ．斜坡AB 的坡度为BC AC8．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，由此可知，B ，C 两地相距( )m.A ．100B ．150C ．200D ．4009．如图，在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD ＝( )米(结果可保留根号)．A ．21)B ．21)C ．＋4)D ．6) 10．如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA ＝4km ．某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为（ ）A．4km B．C．D．1）km二、填空题11．如图所示，两条宽度都为2cm的纸条交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为________．12．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1AB的长为_______13．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC＝120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是__________m14．如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为米．15．如图，甲从A点出发向北偏东60°方向走到点C，乙从点A出发向南偏西25°方向走到点B，则∠BAC的度数是__________.16．如图，在小山的东侧A点处有一个热气球，由于受西风的影响，以每分钟30米的速度沿与地面成60°角的方向飞行，20分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则A、B两点间的距离为________米．17．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为__m（结果保留根号）．18．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为_____米．三、解答题19．（2011•德州）某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为4米，tanα=1.6，tanβ=1.2，试求建筑物CD的高度．20．如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）21．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）22．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．23．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1 海里的C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．24．如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A 在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．25．如图所示，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为30°和60°，A，B两地相距100 m．当气球沿与BA平行地方向飘移10 s后到达C′处时，在A处测得气球的仰角为45°.(1)求气球的高度(保留根式)；(2)求气球飘移的平均速度(保留根式)．参考答案1．A【分析】根据俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到B对A的俯角为α．【详解】解：如图，∵A对B的仰角为α，∴B对A的俯角为α．故选A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：向下看，视线与水平线的夹角叫俯角；向上看，视线与水平线的夹角叫仰角．2．D【分析】先作出简单的图形，进而在△ABD中，利用余弦求线段BD的长即可．【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，由题意可得，∠B=∠C=15°，AB=AC，则cos∠B=cos15°=BDAB，AB=a，∴BC=2BD=2AB·cos15°．又cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°∴BC=2AB·cos15°a．故选D．【点睛】本题主要考查了简单的直角三角形的求解问题，能够熟练掌握．3．D【分析】根据在Rt△ABD中利用三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可．【详解】解：如图：由B在A的北偏西60°方向可求得∠B=60°，在Rt△ABD中，AD=AB•sin60°=BD=AB•cos60°=50，∴CD=BC-BD=150．∴AC．故选D．【点睛】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．4．A【分析】过点B作BN⊥AM于点N，由已知可求得BN的长，再根据三角函数求BM的长．【详解】解：由已知得，AB=12×28=14km ，∠MAB =30°，∠ABM =105°． 过点B 作BN ⊥AM 于点N ．∵在直角△ABN 中，∠BAN =30°∴BN =12AB =7km ． 在直角△BNM 中，∠MBN =45°，则直角△BNM 是等腰直角三角形，即BN =MN =7km ，∴BM ．故选A ．【点睛】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．5．D【解析】【分析】首先根据图示，可得∠B =∠α=30°，然后在Rt △ABC 中，用AC 的长度除以tan30°即可求出BC 的长．【详解】解：∵从飞机上看到地面指挥站B 的俯角α＝30°，∴∠B =∠α=30°，在Rt △ABC 中，BC=tan AC B ∠=1000tan 30=． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．6．B【分析】先通过等量代换得出BCD CAB θ∠=∠=，然后利用余弦的定义即可得出结论．【详解】AC BC ⊥90ACB ∴∠=︒90,90,CAB ABC BCD ABC ∴∠+∠=︒∠+∠=︒BCD CAB θ∴∠=∠=cos CD BCD BC∠= cos cos CD h BC BCD θ∴==∠ 故选：B ．【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握余弦的定义是解题的关键．7．B【分析】利用坡角与坡度的定义求解即可．【详解】解：坡面与水平面的夹角叫做坡角，所以斜坡AB 的坡角为α，故A 正确；坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比，等于坡角的正切值，故C 、D 正确，B 错误． 故选B ．【点睛】此题主要考查学生对坡角和坡度定义的理解及掌握情况，坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i 与坡角α之间的关系为：i =h l =tan α． 8．C【解析】试题分析：首先把实际问题转化为直角三角形问题来解决，由已知可推出∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°-60°=30°，再由三角形内角和定理得∠ACB=30°，从而求出B、C两地的距离200m．故选C考点：解直角三角形9．A【解析】【分析】作AE⊥CD于点E，则△AED和△ABD都是等腰直角三角形，即可求得DE的长，然后在直角三角形中利用三角函数求得CE的长，进而求得CD的长．【详解】解：作AE⊥CD于点E．在直角△ABD中，∠ADB=45°，∴DE=AE=BD=AB=21（米），在直角△AEC中，CE=AE•tan∠CAE=21×tan30°=21．则CD=（21+故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形．10．C【解析】试题分析：过点A 作AD ⊥OB ，则AD=OA=2km ，根据题意可得：△ABD 为等腰直角三角形，则AB=2km.考点：三角函数的应用11．4sin αcm 2 【分析】首先过C 作CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，垂足为E ，F ，证明△CEB ≌△CFD ，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC 的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．【详解】解：过C 作CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，垂足为E ，F ，∴∠CEB =∠CFD =90°，∵AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵纸条宽度都为2cm ，∴CE =CF =2cm ，在△CEB 和△CFD 中90CBE CDF CEB CFD CE CF α∠=∠=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△CFD （AAS ），∴BC =CD ，∴四边形ABCD 是菱形．∴BC =AB ，在Rt △CEB 中， BC=sin CE α=2sin α，∴BC=AB=2sinα，∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：AB×CE=2sinα×2=4sinαcm2．故答案为4sinαcm2．【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数求出BC的长．12．12米【解析】试题分析：在Rt△ABC中，根据坡面AB的坡比以及BC的值，求出AC的值，再通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．∵Rt△ABC中，BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，∴BC：AC=1：，∴AC=•BC=6（米），∴AB===12（米）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．13．【分析】首先过点C作CE⊥AB于点E，易得∠CBE=60°，在Rt△CBE中，BC=50m，利用正弦函数，即可求得答案．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°，在Rt△CBE中，BC=50m，∴h=CE=BC•sin60°=m）．故答案为此题考查了坡度坡角问题．能构造出直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解决此题的关键．14．100．【解析】由题意得，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=200米，∴BC=12AB=100米．15．145°【解析】AC与正东方向的夹角的度数是：90°-60°=30°，则∠BAC=30°+90°+25°=145°，故答案为145°．16．600【解析】【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B=30°求出AB的长．【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD=60°-30°=30°，AC=30×20=600（米），∴AD=AC•sin30°=300（米）．在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∴AB=2AD=600（米）．故答案为：600．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．17．【分析】由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．【详解】解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，∴∠ABC=30°，∴．∴楼的高度AC为故答案为考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．18．【解析】试题解析：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD=75°-30°=45°，AC=30×25=750（米），∴（米）．考点：解直角三角形的应用—仰角俯角问题.19．解：CD与EF的延长线交于点G，如图，设DG=x米．在Rt△DGF中，，即．在Rt△DGE中，，即．∴，．∴．∴4=﹣，解方程得：x=19.2．∴CD=DG+GC=19.2+1.2=20.4．答：建筑物高为20.4米．【解析】略20．旗杆AB的高度大约是10米【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造边角关系，进而可求出答案．解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米，在Rt△BCE中，sin60°=，即=，∴BE=5，AB=BE+AE=5+1≈10米．答：旗杆AB的高度大约是10米．点评：主要考查解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．cos25°【分析】首先根据题意得出∠MP A=∠A=65°，以及∠DBP=∠DPB=45°，在Rt△P AD中利用三角函数求出PD的长，再在Rt△PBD中利用解直角三角形求出PB即可．【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D，∵点A在P的北偏东65°方向，∴∠APD＝25°，在Rt△P AD中，cos25°＝PD PA，∴PD＝P A cos25°＝80cos25°．由题意知∠DPB＝45°，在Rt△PBD中，cos45°＝PD PB，∴PB.∴PB＝cos25°．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确记忆三角函数的定义并得出相关角度是解决本题的关键．22．【解析】【分析】过B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．【详解】解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠，∵△BCD中，∠CBD=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD=BD=，∴BD=．答：B，C两地的距离是点睛：此题考查了方向角问题和解直角三角形的应用．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．23．【解析】试题分析：作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC=CD+BD可得出方程，解出x的值后即可得出答案．试题解析：如图，作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°．设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，可得BD，又∵BC=20（CD+BD=BC，即x=20（解得：x=20，∴AC（海里）．答：A、C之间的距离为海里．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．24．这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2）公里【解析】试题分析：要求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离也就是要求出点A到直线BC的最短距离，过点A作AD⊥BC于D，然后利用所给条件求出AD的长即可试题解析：过A作AD⊥BC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD=，即tan60°=，所以BD==x，又BC=4，即BD+CD=4，所以x+x=4，解得x=6﹣2．答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2）公里．考点：1、垂线的性质；2、解直角三角形的应用25．（1）CD＝m.（2）（15－） m/s.【分析】（1）分别过C、C′作AB的垂线，设垂足为D、E；在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用所给角的三角函数分别用BD表示出CD，联立两式即可求出CD、BD的长．（2）直角梯形ADCC′中，已知了BD、AB的长，即可求出AD的长；而AE的长可在Rt△AEC′中利用已知角的三角函数求出，即可得出ED、CC′的长，也就得出了气球10秒漂移的距离，根据速度=路程÷时间，即可得解．【详解】解：（1）如答图所示，作CD⊥AB，C′E⊥AB，垂足分别为D，E.∵CD＝BD·tan60°，CD＝(100＋BD)·tan30°，∴(100＋BD)·tan30°＝BD·tan60°，∴BD＝50(m)，CD＝，∴气球的高度约为CD＝（2）∵BD＝50 m，AB＝100 m，∴AD＝150 m，又∵AE＝C′E＝，∴DE＝（150－m，（150－÷10＝（15－(m/s)．∴气球飘移的平均速度约为（15－m/s.【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．。
九年级数学解直角三角形同步练习题(含答案)
九年级数学解直角三角形同步练习题（含答案）一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.若角α的余角是30∘，则cosα的值是()A. 12B. √32C. √22D. √332.在Rt▵ABC中，∠C=90∘，sinA=35，则cosB的值是()A. 45B. 35C. 34D. 433.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，cosA=45，则BD的长度为()A. 94B. 125C. 154D. 44.已知a，b，c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，且a：b：c=1：√2：√3，则cos B的值为()A. √63B. √33C. √22D. √245.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定6.如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是()A. tan55°=B. tan55°=C. sin55°=D. cos55°=7.如图，已知点A、点B是同一幢楼上的两个不同位置，从A点观测标志物C的俯角是65°，从B点观测标志物C的俯角是35°，则∠ACB的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 65°8.在Rt△ABC中，已知∠C=90∘.若AC=2BC，则sin∠A的值是()A. 12B. 2 C. √55D. √529.△ABC中，∠C=90°，若∠A=2∠B，则cosB等于()A. √3B. √33C. √32D. 1210.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=2√3，∠B=30°，S△ABC=10√3，则tanC的值为()A. 13B. 12C. √33D. √3211.在Rt△ABC中，∠C=90，AC=12，cosA=1213，则tanA等于()A. 513B. 1312C. 125D. 51212.如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为()A. 12B. √22C. 1D. √213.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是()A. 42√3米B. 14√3米C. 21米D. 42米14.如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为()A. 13B. √1010C. 12D. √2215.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值()A. 不变B. 缩小为原来的13C. 扩大为原来的3倍D. 扩大为原来的9倍二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）16.计算：√27+(13)−2−3tan60°+(π−√2)0=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.如图，在A的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A沿着北偏东55°方向巡逻，到达C时接到命令，立刻从C沿南偏东60°方向以20海里/小时的速度航行，从C到B航行了3小时．求A，B间的距离(结果保留整数).(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，√3≈1.73)四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）18.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.测得BC=221m，∠ACB=45°，∠ABC=58°.根据测得的数据，求AB的长(结果取整数)．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．19.如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10,0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=．(1)求点B的坐标；(2)求tan∠BAO的值．)−1+√18−6sin45°．20.计算：(1221.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度(√3取1.7)．22.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE=6，cosA=3．5(1)求CD的长；(2)求tan∠DBC的值．1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．【解答】解：因为角α的余角是30∘，所以α=90°−30°=60°，则．故选A．2.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=，故选：B．3.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，cosA=45，∴AB=ACcosA=5，∴BC=√AB2−AC2=3，∵∠DBC=∠A．∴cos∠DBC=cosA=BCBD =45，∴BD=3×54=154，故选：C．在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．4.【答案】B【解析】解：∵，∴△ABC为直角三角形．cosB==．故选：B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，∴ACAB =AC5=45，∴AC=4，∴BC=√AB2−AC2=3，∵r=3，∴⊙B与AC的位置关系是相切，故选：B．6.【答案】B【解析】【解析】解：∵在Rt△ADE中，DE=6，AE=AB−BE=AB−CD=x−1，∠ADE=55°，∴sin55°=，cos55°=，tan55°=，故选：B．7.【答案】B【解析】【解析】解：根据题意可知：∠ACD=65°，∠BCD=35°，∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=30°．故选：B．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了锐角三角函数的求法，属于基础题．可先求出斜边AB，然后根据正弦的定义求出角A的正弦即可．【答案】解：∵AC=2BC，由勾股定理可得：AB=√AC2+BC2=√(2BC)2+BC2=√5BC，∴sin∠A=BCAB =√5=√55，故选C．9.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A=2∠B，∴∠B=30°，∴cosB=cos30°=√32，故选：C．根据直角三角形的性质求出∠B，根据30°的余弦值是√32解答．本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵在△ABD中，∠ADB=90°，AD=2√3，∠B=30°，∴BD=ADtanB =√3√33=6．∵S△ABC=12BC⋅AD=10√3，∴12BC⋅2√3=10√3，∴BC=10，∴CD=BC−BD=10−6=4，∴tanC=ADCD =2√34=√32．故选：D．首先解直角△ABD，求得BD，再根据S△ABC=10√3，求出BC，那么CD=BC−BD，然后在直角△ACD中利用正切函数定义即可求得tanC的值．本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数定义，解题的关键是求出CD的长．【解析】解：∵cosA=ACAB =1213，AC=12，∴AB=13，BC=√AB2−AC2=5，∴tanA=BCAC =512．故选：D．根据cosA=1213求出第三边长的表达式，求出tanA即可．本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．12.【答案】B【解析】解：连接BC，∵每个小正方形的边长均为1，∴AB=√5，BC=√5，AC=√10，∵(√5)2+(√5)2=(√10)2，∴△ABC是直角三角形，∴cos∠BAC=ABAC =√5√10=√22，故选：B．根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求得cos∠BAC的值．本题考查解直角三角形、勾股定理与逆定理，解答本题的关键是明确题意，判断出△ABC 的形状，利用锐角三角函数解答．13.【答案】A【解析】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42√3(米)故选：A．在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．本题考查解直角三角形的应用−仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．【解析】【分析】本题主要考查正切值的求法，解题的关键是构造直角三角形．作AH⊥CB，交CB延长线于H点，∠ACB的正切值是AH与CH的比值．【解答】解：如图，作AH⊥CB，交CB延长线于H点，则tan∠ACB=AHHC =26=13．故选A．15.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．根据相似三角形的性质解答．【解答】解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．16.【答案】10【解析】解：原式=3√3+9−3√3+1=10．故答案为：10．直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意可知：∠ACD=55°，∠BCD=60°，BC=20×3=60(海里)，BC=30(海里)，BD=30√3(海里)，在Rt△BCD中，CD=12在Rt△ADC中，AD=CD⋅tan55°=30×1.43≈42.90(海里)，∴AB=AD+BD=42.90+30√3≈95(海里)．答：A，B间的距离为95海里．【解析】过点C作CD⊥AB于点D，根据三角函数分别求出CD、BD、AD的长，进而可求出A、B间的距离．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角的定义．18.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵∠ACB=45°，∴AD=CD，设AB=x，在Rt△ADB中，AD=AB⋅sin58°≈0.85x，BD=AB⋅cos58°≈0.53x，又∵BC=221，即CD+BD=221，∴0.85x+0.53x=221，解得，x≈160，答：AB的长约为160m．【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．19.【答案】解：(1)如图，过点B作BH⊥OA于点H，∵OB=5，sin∠BOA=，∴BH=3，OH=4，∴点B的坐标为(4,3)，(2)∵OA=10，∴AH=OA−OH=10−4=6，∴在Rt△AHB中，tan∠BAO===．【解析】解答案20.【答案】解：(12)−1+√18−6sin45°=2+3√2−6×√2 2=2+3√2−3√2=2．【解析】首先计算负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．21.【答案】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形．∴CE=AB=12m．在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE，CE∴BE=CE⋅cot30°=12×√3=12√3．在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得DE=BE=12√3．∴CD=CE+DE=12(√3+1)≈32.4．答：楼房CD的高度约为32.4m．【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．22.【答案】解：(1)在Rt△ADE中，∠AED=90°，AE=6，cosA=3，5∴AD=AE=10，cosA∴DE=√AD2−AE2=√102−62=8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD=DE=8；(2)由(1)AD=10，DC=8，∴AC=AD+DC=18，在△ADE与△ABC中，∵∠A=∠A，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，即8BC=618,BC=24，∴tan∠DBC=CDBC =824=13．【解析】(1)在Rt△ADE中，根据余弦函数的定义求出AD，利用勾股定理求出DE，再由角平分线的性质可得DC=DE=8；(2)由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18.由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=13．本题考查了解直角三角形，角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，求出DE是解第(1)小题的关键；求出BC是解第(2)小题的关键．。
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图某河堤迎水坡AB坡比i＝tan∠CAB＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB长是（）A．5 m B．10m C．5m D．8 m2．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）A．42米B．14米C．21米D．42米3．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．米B．4sinα米C．米D．4cosα米4．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠1，那么钢管AB的长为（）A．B．C．m•cos∠1D．m•sin∠15．如图，测得一商场自动扶梯的长为l，自动扶梯与地面所成的角为θ，则该自动扶梯到达的高度h为（）A．l•sinθB．C．l•cosθD．6．如图，梯子AC的长为2.8米，则梯子顶端离地面的高度AD是（）A．米B．米C．sinα米D．cosα米7．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tan B的值为（）A．B．C．D．8．如图，一艘船向东航行，上午8时到达A处，测得一灯塔B在船的北偏东30°方向，且距离船48海里；上午11时到达C处，测得灯塔在船的正北方向．则这艘船航行的速度为（）A．24海里/时B．8海里/时C．24海里/时D．8海里/时二．填空题9．某斜坡坡角α的正弦值sinα＝，则该斜坡的坡比为．10．如图，在市区A道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l为米（结果精确到0.1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．11．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）12．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ACB＝60°，当他在17：00时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ADB＝30°，若两次测得的影长之差CD长为6m，则树的高度为m．13．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.6m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）14．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是海里．15．如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB，无人机在离教学楼底部B处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处的俯角为39°，则教学楼的高度AB约为米．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin39°＝0.63，cos39°＝0.78，tan39°＝0.81】16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为．三．解答题17．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果精确到1千米）．18．如图，已知在一高速公路L边上有一测速站点P，现测得PC＝24米，PD＝26米，CD ＝10米．一辆汽车在公路L上匀速行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为1秒，并测得∠PBD＝60°，∠P AD＝30°，计算此车是否超过了每秒25米的限制速度．19．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）20．如图，校门口路灯灯柱AB被钢缆CD固定，已知BD＝4米，且cos∠DCB＝．（1）求钢缆CD的长度；（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？21．某综合实验小组利用大厦AC测量楼前一棵树EF的高，小明在大厦的B点能透过树梢F看到小强同学在G点，小明上升到达C点透过F点看到小文同学在D点，已知G，D，E，A在同一直线上，AC⊥AG，EF⊥AG测得GD＝6米，∠C＝27°，∠G＝38.5°，则树的高度约为多少米？（参考数据：tan27°＝0.50，tan38.5°＝0.80）．22．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）参考答案一．选择题1．解：∵tan∠CAB＝＝＝，∴在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，又∵BC＝5m，∴AB＝2BC＝10m，故选：B．2．解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝42（米）故选：A．3．解：过点A′作A′C⊥AB于点C，由题意可知：A′O＝AO＝4，∴sinα＝，∴A′C＝4sinα，故选：B．4．解：在Rt△ABC中，sin∠1＝，∴AB＝，故选：A．5．解：∵sinθ＝，∴h＝l•sinθ，故选：A．6．解：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AB＝2.8m，∠ACD＝α，∴AD＝AC•sin∠ACD＝2.8sinα＝sinα米，故选：C．7．解：如图所示，在Rt△ABD中，tan B＝＝．故选：A．8．解：在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AB＝48海里，∴AC＝AB＝24海里，则这艘船航行的速度为24÷3＝8（海里/小时），故选：D．二．填空题9．解；如图，设BC＝x，在Rt△ABC中，sin A＝＝，则AB＝2x，由勾股定理得，AC＝＝x，∴斜坡的坡比＝＝＝1：，故答案为：1：．10．解：由题意可得：tan14°＝＝≈0.25，解得：l＝19.2，故答案为：19.2．11．解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（m），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（m），故答案为：7.5m．12．解：∵tan∠ADB＝，∴BD＝＝AB（m），∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝AB（m），∵CD＝BD﹣BC，∴6＝AB﹣AB（m），∴AB＝9（m），故答案为9．13．解：在直角三角形中，sin A＝，∴BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701（m），∴CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.6＝1.101≈1.1（m），故答案为：1.1．14．解：如图所示：由题意可得，∠P AB＝30°，∠DBP＝30°，故∠PBE＝60°，则∠P＝∠P AB＝30°，可得：AB＝BP＝40海里．故答案为：40．15．解：过点A作AM⊥CD于点M，则∠DAM＝∠ADE＝39°，如图所示．在Rt△ADM中，AM＝16，∠DAM＝39°，∴DM＝AM•tan∠DAM＝16×0.81＝12.96，∴AB＝CM＝CD﹣DM＝31﹣12.96＝18.04≈18.0．故答案为：18.0．16．解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．三．解答题17．解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．在Rt△ACD中，AC＝8（千米），∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，∴CD＝AC•sin∠CAD＝4（千米），AD＝AC•cos∠CAD＝4（千米）≈6.8（千米）．在Rt△BCD中，CD＝4（千米），∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝4（千米），∴AB＝AD+BD＝6.8+4≈11（千米）．答：A、B两点间的距离约为11千米．18．解：此车超过了每秒25米的限制速度，理由如下：∵PC＝24米，PD＝26米，CD＝10米，242+102＝262，∴PC2+CD2＝PD2，∴△PCD是直角三角形，∠PCD＝90°，∴∠PCB＝90°，在Rt△PCB中，∠PBD＝60°，sin∠PBD＝，∴PB＝＝＝16≈27.7（米），∵∠P AD＝30°，∴∠APB＝∠PBD﹣∠P AD＝60°﹣30°＝30°，∴∠APB＝∠P AD，∴AB＝PB≈27.7米，∵27.7＞25，∴此车超过了每秒25米的限制速度．19．解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，由题意可知，AC＝80mm，CD＝80mm，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40mm＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44（mm），∴AM＝AF+FM＝51.44+40≈120.7（mm），答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，在Rt△BCD中，CD＝80mm，BC＝40mm，∴tan∠D＝＝＝0.500，∴∠D≈26.6°，因此旋转的角度约为：60°﹣26.6°＝33.4°，答：CD旋转的角度约为33.4°．20．解：（1）在Rt△DCB中，cos∠DCB＝，∴∴设BC＝3x，DC＝5x，∴BD＝，∵BD＝4m，∴4x＝4，∴x＝1，∴CD＝5米；（2）如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F．∵∠EAB＝120°，∴∠EAF＝60°，∴AF＝AE•cos∠EAF＝1.6×＝0.8（米），∴FB＝AF+AD+DB＝0.8+2+4＝6.8（米）．∴灯的顶端E距离地面6.8米．21．解：∵AC⊥AG，EF⊥AG，∴∠A＝∠FED＝90°，∴AC∥EF，∴∠DFE＝∠C＝27°，在Rt△GEF和Rt△DEF中，tan∠G＝＝，即＝0.80，tan∠DFE＝＝0.5，即DE＝0.5EF，∴＝0.8，解得EF＝8（米）．答：树的高度约为8米．22．解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK ⊥DE，垂足为K，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），在Rt△BMH中，cos∠BMH＝＝＝0.4，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°＝＝，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈4.9（cm），∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．。
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，BC＝a，则AB的长为（）A．a B．2a C．a D．a2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（）A．B．C．D．3．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（）A．B．C．2D．34．如图，在离铁塔200米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A．（1.5+200sinα）米B．（1.5+200cosα）米C．（1.5+200tanα）米D．（1.5+）米5．如图，AB是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端B沿水平方向向左走8米到达点C，沿坡度i＝1：2（坡度i＝坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点D，再继续沿水平方向向左走40米到达点E（A、B、C、D、E在同一平面内），在E处测得建筑物顶端A 的仰角为34°，已知建筑物底端B与水平面DE的距离为2米，则建筑物AB的高度约是（）（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）A．27.1米B．30.8米C．32.8米D．49.2米6．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这棵树CD的高度是（）A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m 7．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝2，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为（）A．200米B．米C．米D．米8．如图，一条船从灯塔C南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船与灯塔C距离为（）海里．A．4B．8C．16D．24二．填空题9．在△ABC中，sin B＝，AC＝2，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为．10．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则（1）AD＝；（2）sin∠BAD＝．11．2022年，北京成功举办第24届冬季奥运会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．如图，一位同学乘滑雪板沿坡度为i＝1：2的斜坡滑行30米，则他下降的高度为米．12．数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求灯塔CF＝m（结果保留整数）．（参考数据：tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，）13．一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为海里．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）14．公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与A城和地心的连线OP所夹的锐角记为∠1，光线与B城和地心的连线OQ重合，通过测量A，B两城间的路程（即弧AB）和∠1的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知弧AB的长度约为800km，若∠1≈7.2°，则地球的周长约为km．15．如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以12千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞至村庄C 的正上方A处时，测得∠NAD＝60°，该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD＝75°，则村庄C、D间的距离为千米．（≈1.732，结果保留一位小数）16．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段AB，BC可分别绕点A，B转动，已知AB＝18cm．当AB转动到∠BAD＝30°，BC转动到与AD垂直时，点C恰好落在AD上；当AB转动到∠BAD＝60°，BC转动到∠ABC＝50°时，点C到AD的距离为cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，）三．解答题17．如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）18．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD ＝45m．求楼间距MN（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）19．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点，现测得AB＝BE＝ED＝CD＝20cm，经多次调试发现当点B，E都在CD的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．（1）求放置最平稳时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）20．如图，一扇窗户垂直打开，即打开到OM⊥OP的状态，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时∠ODB为30°，BO的长为20cm．求滑动支架AC的长．（精确到1cm，≈1.41，≈1.73）．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上运动，连接AD，以AD为边作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．①若tan∠ABC＝2，AB＝3，AE＝2，求BD长？②若直线DE与直线BC所夹锐角的正切值是，cos∠BAC＝，BC＝4，求BD的长．22．如图，在苏州工业园区的金鸡湖东岸，有一座世界最大的水上摩天轮“苏州之眼”，其直径为120m，旋转1周用时24min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光．（1）4min后小明离地面多高？（2）摩天轮转动1周，小明在离地面90.5m以上的空中有多长时间？23．如图，在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器，先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，要求AD与水平线的夹角α为48°，且两支架之间的水平距离为150cm．现测量出屋顶斜面BC与水平面的夹角β为30°，支架AB的高度为20cm，求支架CD的高度．（结果精确到1cm．参考数值：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，）24．西山公园要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的坡度为1：3，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝3.2米，一楼到地平线的距离BC＝1米．（1）为保证斜坡的坡度为1：3，斜面AD的长度应为多少米？（2）如果给该地下停车场送货的货车高度为2.8米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：）参考答案一．选择题1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan A＝＝，BC＝a，∴AC＝2a，由勾股定理得，AB＝＝a，故选：C．2．解：如图，过B、D分别作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，则∠BEO＝∠DFO＝90°．在Rt△BOE中，∠BOE＝∠AOD＝60°，∴BE＝OB•sin∠BOE＝OB•sin60°＝OB，在Rt△DOF中，∠AOD＝60°，∴DF＝OD•sin∠BOE＝OD•sin60°＝OD．∵AC＝BD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝AC•BE+AC•DF＝×2×OB+×2×OD＝OB+OD＝（OB+OD）＝BD＝×2＝．故选：C．3．解：由网格以及勾股定理可得，AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，∴AB2+BC2＝8+2＝10＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴tan∠BAC＝＝，故选：B．4．解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，则CE＝AD＝1.5米，AE＝CD＝200米，在Rt△ABE中，∠BAE＝α，∴BE＝AE•tanα＝200tanα（米），∴BC＝BE+EC＝（1.5+200tanα）米，∴铁塔的高BC为（1.5+200tanα）米，故选：C．5．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG＝BC＝8米，DE＝40米，BF＝CG＝2米，在Rt△CDG中，i＝1：2，∴DG＝4米，在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝52米，∠E＝43°，∴AF＝FE•tan34°≈52×0.67＝34.84（米），∴AB＝AF﹣BF＝34.84﹣2≈32.8（米）；即建筑物AB的高度约为32.8米．故选：C．6．解：设AD＝x米，∵AB＝16米，∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴CD＝AD•tan45°＝x（米），在Rt△CDB中，∠B＝60°，∴tan60°＝＝＝，∴x＝24﹣8，经检验：x＝24﹣8是原方程的根，∴CD＝24﹣8＝8（3﹣））米，∴这棵树CD的高度是8（3﹣）米，故选：A．7．解：作BE⊥MD于点E，如图所示，由已知可得：∠BAC＝α，tanα＝2，AB＝80米，∠BDE＝30°，MC＝100米，AM⊥MD，AB∥MD，∴ME＝AB＝80米，∠ACM＝∠BAC＝α，AM＝BE，∴＝2，解得AM＝200米，∴BE＝200米，∵tan∠BDE＝，∴tan30°＝，解得DE＝200米，∴CD＝MD﹣MC＝ME+DE﹣MC＝80+200﹣100＝（200﹣20）米，故选：C．8．解：由题意得，∠BAC＝42°，∠BCA＝84°﹣42°＝42°，AB＝8海里，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝8海里，即船与灯塔C距离为8海里．故选：B．二．填空题9．解：当点D在线段BC的延长线上时，∵AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，∴CD＝AD．∵AC2＝CD2+AD2，AC＝2，∴CD＝AD＝2．∵sin B＝＝，∴AB＝2．在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝4．∴BC＝BD﹣CD＝4﹣2＝2．若点D在线段BC上时，同理可求BD＝4，CD＝2，∴BC＝6，故答案为：2或6．10．解：如图，连接AC，根据题意得：，而，∵AD⊥BC，∴，解得：，∴，设AD＝4x，则AB＝5x，∴，∴．故答案为：，．11．解：设他下降的高度AC为x米，∵斜坡的坡度为i＝1：2，∴这位同学滑行的是水平距离BC为2x米，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即x2+（2x）2＝302，解得：x＝±6（负值舍去），∴他下降的高度为6米，故答案为：6．12．解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，在Rt△DEG中，∠EDG＝45°，∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°，设CH＝xm，在Rt△CGH中，∠CGH＝∠EGD＝45°，∴GH＝CH＝xm，在Rt△CBH中，∠CBH＝28°，∴tan∠CBH＝，即：＝0.53，解得：x≈45.1，∴灯塔的高CF＝45.1+10＝55.1≈55（m）．答：灯塔的高为55米．13．解：如图所示标注字母，根据题意得，∠CAP＝∠EP A＝60°，∠CAB＝30°，P A＝30海里，∴∠P AB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，在Rt△P AB中，sin37°＝≈，解得PB≈50，∴此时与灯塔P的距离约为50海里．故答案为：50．14．解：∵太阳射来的光线可以看作平行线，∴∠AOB＝∠1≈7.2°．设地球的半径为R千米，由题意得＝800，解得R＝，∴地球的周长约为2π×＝40000（千米）．故答案为：40000．15．解：如图，过B作BE⊥AD于E，∵∠NAD＝60°，∠ABD＝75°，∴∠ADB＝45°，∵AB＝12×＝8（千米），∴AE＝4（千米）．BE＝4（千米），∴DE＝BE＝4（千米），∴AD＝（4+4）（千米），∵∠C＝90，∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝2+2≈5.5（千米）．故答案为：5.5．16．解：当AB转动到∠BAD＝30°，BC转动到与AD垂直时，点C恰好落在AD上，如图：在Rt△ABC中，BC＝AB＝×18＝9（cm），当AB转动到∠BAD＝60°，BC转动到∠ABC＝50°时，如图：过点B作BF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BF，垂足为G，过点C作CE⊥AD，垂足为E，则FG＝CE，∠BGC＝90°，在Rt△ABF中，AB＝18cm，∠BAD＝60°，∴BF＝AB•sin60°＝18×＝9（cm），∠ABF＝90°﹣∠BAD＝30°，∵∠ABC＝50°，∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABF＝20°，∴∠BCG＝90°﹣∠CBG＝70°，在Rt△BCG中，BC＝9cm，∴BG＝BC•sin70°≈9×0.94＝8.46（cm），∴CE＝FG＝BF﹣BG＝9﹣8.46≈7.1（cm），∴点C到AD的距离为7.1cm，故答案为：7.1．三．解答题17．解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝37°，AC＝80米，∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，∴CD＝AC•sin37°≈80×0.60＝48（米），AD＝AC•cos37°≈80×0.80＝64（米），在Rt△BCD中，∵∠CBD＝58°，CD＝48米，∴tan∠CBD＝，∴BD＝≈＝30（米），∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．答：A、B两点之间的距离约为94米．18．解：如图，过点C、D分别作CE⊥PN，DF⊥PN，垂足分别为E、F，则，PN＝90m，MB＝DF＝CE，DM＝FN，CD＝EF＝45m，设MN＝xm，在Rt△PDF中，∠PDF＝55.7°，DF＝MN＝xm，∴PF＝tan55.7°•DF≈1.47x（m），在Rt△PCE中，∠PCE＝30°，CE＝xm，∴PE＝tan30°•CE≈0.58x（m），∵EF＝PF﹣PE，即CD＝PF﹣PE，∴1.47x﹣0.58x＝45，解得x≈50.56（m），即MN＝50.56m．19．解：（1）延长BE交DC于点F，由题意得：EF⊥CD，FD＝CD＝CD＝10cm，在Rt△DEF中，DE＝20cm，∴cos D＝＝＝，∴∠D＝60°，∴灯座DC与灯杆DE的夹角为60°；（2）过点A作AM⊥DC，交DC的延长线于点M，过点B作BG⊥AM，垂足为G，则GM＝BF，∠GBF＝90°，在Rt△DEF中，DE＝20cm，DF＝10cm，∴EF＝＝＝10（cm），则GM＝BF＝BE+EF＝（20+10）cm，∵∠ABE＝105°，∴∠ABG＝∠ABF﹣∠GBF＝15°，在Rt△ABG中，AB＝20cm，∴AG＝AB⋅sin15°≈20×0.26＝5.2（cm），∴AM＝AG+GM＝20+10+5.2≈42.5（cm），∴A点到水平桌面（CD所在直线）的距离约为42.5cm，∴此时光线最佳．20．解：由题意可知：∠BOE＝45°，BO＝20cm，BE⊥OD，∴BE＝OE＝BO•sin45°＝10（cm），在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴sin∠BDE＝，∴BD＝20cm，∵BD＝AC，∴AC＝20≈28（cm），答滑动支架AC的长约为28cm．21．解：①如图1中，作DF⊥AB于F．∵tan∠B＝2＝，设BF＝k，DF＝2k，则AF＝3﹣k，在Rt△ADF中，AD＝AE＝2，∴（2）2＝（2k）2+（3﹣k）2，∴k＝或，∵BD＝k，∴BD＝1或5．②如图②中，作DF⊥AB于F，BH⊥AC于H，∵∠AED＝∠ACD，∴∠EDC＝∠CAE＝∠BAD，在Rt△ABH中，∵cos∠BAH＝＝，设AH＝m，AB＝3m，则CH＝2m，BH＝2m，在Rt△BCH中，（2m）2+（2m）2＝16，解得m＝，∴AB＝2，∵tan∠BAD＝＝，设DF＝n，AF＝3n，易知tan B＝＝，∴BF＝n，∵AF+BF＝AB＝2，∴4n＝2，∴n＝，∴BD＝n＝．22．解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，作CD⊥AM，垂足为D．∵旋转1周用时24min，∴4min后∠AOC的度数为：360°×＝60°，在Rt△OCE中，OC＝60m，∠AOC＝60°，∵cos∠AOC＝，∴OE＝120×cos60°＝30m．∴AE＝OA﹣OE＝60.5﹣30＝30.5（m）．∵四边形AECD是矩形，∴CD＝AE＝30.5m．即4min后小明离地面30.5m．（2）延长AO交圆上点G，过OG的中点H作PQ⊥AG，连接PO、PQ．∵OB＝60m，AB＝0.5m，OH＝30m，∴AH＝90.5m．∴PQ上的点都距离地面90.5m，弧PGQ上的点都大于90.5m．在Rt△OPH中，∵OP＝60m，OH＝30m，∴∠P＝30°．∴∠POH＝60°．同理∠QOH＝60°．∴∠POQ＝120°．∵摩天轮旋转1周用时24min，∴摩天轮旋转120°用时：24×＝8（min）．即摩天轮转动1周，小明有8min在离地面90.5m以上的空中．23．解：过点A作AF⊥DC于点F，过点B作BE⊥DC于点E，∵矩形ABEF中，AF＝BE＝150cm，AB＝EF＝20cm．Rt△DAF中，∠DAF＝48°，DF＝AF•tan48°≈150×1.11≈166.5（cm），Rt△CBE中，∠CBE＝30°，CE＝BE°tan30°＝150×≈86.5（cm），∴DE＝DF+EF＝166.5+20＝186.5（cm），DC＝DE﹣CE＝186.5﹣86.5＝100（cm），答：支架CD的高约为100cm．24．解：（1）∵斜坡的坡度为1：3，∴＝，∵BD＝CD﹣CB＝2.2（米），在Rt△ABD中，AB＝3BD＝6.6（米），故AD＝＝≈7.04（米），答：斜面AD的长度应约为7.04米．（2）过C作CE⊥AD，垂足为E，∴∠DCE+∠CDE＝90°，∵∠BAD+∠ADB＝90°，∴∠DCE＝∠BAD，∴tan∠BAD＝tan∠DCE＝＝，设DE＝x米，则EC＝3x米，在Rt△CDE中，3.22＝x2+（3x）2，解得：x≈1.012，则3x＝3.036，∵3.036＞2.8，∴货车能进入地下停车场．。
人教版九年级数学下册《解直角三角形及其应用》同步检测附答案【最新】
人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数——解直角三角形及其应用》同步检测1附答案1．=︒-2)30tan 31( _________ [ ] A ．31-- B ．3+1 C ． 3－1 D ．1－32． 直角三角形两锐角的正切函数的积为 __________． [ ]A ．2B ．1C ．42D ． 353． 在△ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=1,那么cosB= __________． [ ]A ．52B ． 53C ．54D ． 554．在△ABC 中,CD ⊥AB 于 D ．则sin ∠ACD=_______cot ∠BCD=_________5． 在△ABC 中,∠C=90°,设AC=b ．若b 等于斜边中线的34,则△ABC 的最小角的正弦=________,较大锐角的余切=______．6． 在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sinA 是方程52x -14x+8=0的一个根,求sinA,tanA ．7、等腰三角形一腰上的高为1，且这条高与底边的夹角的正弦值为23，求该直角三角形的面积。
8、（1）求边长为8，一内角为120°的菱形的面积。
（2）在△ABC 中，∠A=75°，∠B=60°，AB=22，求AC 的长。
答案 1．C 2．B 3．C 4．DB CD AC AD ⋅ 5．552,32 6． 解：∵sinA 是方程52x -14x+8=0的一个根则5A 2sin -14sinA+8=0 ∴sinA=54，sinA=2（舍去） tanA=347、338、 （1）323 （2）23。
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九年级下册数学解直角三角形同步
练习3
一·选择题
1. 一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶,共走了500m,那么这山的高度是
[ ]m.
A.230
B.240
C.250
D.260
2. 一个人从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到达B点,再从B点出发向南偏东15°方向走了一段距离到C点,则∠ABC的度数为 [ ]
A.15°
B.75°
C.105°
D.45°
3. 为了求河对岸建筑物AB的高,在地平面上测得基线CD=180米,在C点测得A点的仰角为30°,在地平面上测得∠BCD=∠BDC=45°,那么AB的高是[ ]米
.
4. 如图,一船向正北航行,看见正东有两个相距10海里的灯塔,船航行半小时后,一个灯塔在船的东南,另一个灯塔在船的东22°30′南,则船的速度(精确到0.1米)是[ ]米/
时(tg22°30′=0.4142)
A.12.1
B.13.1
C.14.1
D.15.1
5. 一只船向正东航行,上午7时在灯塔A的正北C处,上午9时到达塔的北偏东60°B
处,已知船的速度为每小时20千米,那么AB的距离是[ ]千米.
6. 如图：B处有一船,向东航行,上午9时在灯塔A的西南58.4千米的B
上午11时到达灯塔的南C处,那么这船航行的速度是[ ]千米/时.
A.19.65
B.20.65
C.21.65
D.22.65
7. 如图：一只船以每小时20千米的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°,2小时后,船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°,则灯塔B到船的航海线AC的距离是 [ ]千米.
二·填空题
一只船向东航行,上午9点到一座灯塔的西南68海里处,上午11点到达这座灯塔的正南,这只船航行的速度是_____________.(答案可带根号)
三·解答题
1. 如图：已知一船以每小时20海里的速度向正南行驶,上午10时在A 处见灯塔P 在正东,1小时后行至B 处,观察灯塔P 的方向是北60°东.求正午12时船行驶至C 处距灯塔P 的距离.(答案可带根号)
2．如图：东西方向的海岸线上有A ·B 两码头,相距100 )13(-千米,由码头A 测得海上船K 在北偏东30°,由码头B 测得船K 在北偏西15°,求船K 距海岸线AB 的距离（已知tan75°=32+-）
参考答案
一·选择题
1. C
2. B
3. C
4. C
5. D
6. B
7. C 二·填空题
时
海里/217 三·解答题
1．米720
2．350千米。