九年级解直角三角形专题复习教案

解直角三角形

一、 复习目标

1.掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。

2.熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。

3.能熟练运用勾股定理、直角三角形中两锐角互余及三角函数定义解直角三角形。

4.会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题。 二、自测导学：

1.在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( )

A ．3sin 40°

B ．3sin 50°

C ．3tan 40°

D ．3tan 50°

2.在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，则AB 的长为________．

3. 若ααcos ,2

3

)90sin(则=

-ο=______. 4.如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB =500，则此时就将坝底向外拓宽多少米（结果保留到米，参考数据：sin620 ≈ ,cos620 ≈ ,tan500 ≈ ）

三、复习过程

（一）知识回顾

1.三角函数

（1）锐角三角函数的定义：

B

C

a

①

斜边

的对边

A

∠

叫∠A的正弦.记作sin A a

A

c

∠

==

的对边

斜边

②

斜边

的邻边

A

∠

叫∠A的余弦.记作cos A b

A

c

∠

==

的邻边

斜边

③

的邻边

的对边

A

A

∠

∠叫∠A的正切.记作

tan

A a

A

A b

∠

==

∠

的对边

的邻边

（1）解直角三角形的定义：

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)．

（2）直角三角形的边角关系

①三边之间的关系：a2＋b2＝c2；

②两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；

（3）解直角三角形的类型

3. 解直角三角形的应用

（1）仰角、俯角

如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上

方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

（2）坡度(坡比)、坡角

如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫做坡度(或坡比)，

即i＝tan α＝h

l

，坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

（3）方向角

一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达为北(南)偏东(西)多少度．如图③，A点位于O点的北偏东60°方向．

注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．

(二)典型例题

例1:已知2)cos (sin ,450ααα-<<化简οο. 解:|cos sin |)cos (sin 2αααα-=- αααcos sin ,450<∴<<οοΘ 比如ααα

ααcos sin ,2

3

cos ,2

1sin ,30<==ο. 再如οοοο50sin 40cos cos ,40sin sin ,40====ααα ααcos sin ,40cos 40sin <∴<οοΘ. 所以ααααsin cos |cos sin |-=-.

例2.如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB =90度，CD ⊥AB 于点D

，

AC =

AB =设∠BCD =α，那么cos α的值是_____.

B

解析：

90,=.cos ACB CD AB A BCD AC AB AC AB αα∠=⊥∴∠∠=∠==∴=

==o Q Q ，又 变式1．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝2

3

，

则BC 的长为( )

A ．4

B ．2 5 C. 181313 D. 1213

13

例3. 一艘轮船位于灯塔P 南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A 处，它向东航行多少海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处

（参考数据：3≈，结果精确到）

变式2．如图，从热气球C 处测得地面A ，B 两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A ，D ，B 在同一直线上，则AB 两点间的距离是( )

A ．200米

B ．2003米

C ．2203米

D ．100(3＋1)米

变式3．我国为了维护对钓鱼岛P(如图)的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同(AP ∥BD)，当轮船航行到距钓鱼岛20 km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC＝5 km.轮船到达钓鱼岛P时，测得D处飞机的仰角为30°.试求飞机的飞行距离BD(结果保留根号)．