圆周角和圆心角的位置关系
九年级数学圆周角和圆心角关系
对的弧相等,所以整个圆也被 B
C
等分成360份。我们把每一份这
样的弧叫做1°的弧。
在同圆或等圆中,圆心角的度数和它所对的 弧的度数相等。
点与圆的位置关系有哪些?
当角的顶点发生变化时,这个角的位置有哪几种情况?
圆周角
A.
A.
A.
O.
O.
O.
B
C
பைடு நூலகம்
B
C
B
C
圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角
A
叫圆周角.
特征:
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交. B
.
O C
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角。
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角? 有没有圆心角? 它们有什么共同的特点?
C 它们都对着同一条弧
下列图形中,哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A
O B
A O
B
C
O
D
C
BC
A
A
O
B
D C
O
B
C
自己动手量一量同一条弧所对的圆心角和 圆周角分别是多少度?
A A
O
O
B
C
B
C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
证明:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
A
O
B
C
证明:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
A O
B
C
练习:
D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
北师大版九下《圆周角和圆心角的关系》课件
这个课件将带你深入了解圆周角和圆心角的关系,以及它们在几何学中的应 用。准备好跟上了吗?让我们开始吧!
引言和背景
在几何学中,我们经常遇到与圆形相关的问题。掌握圆周角和圆心角的关系, 能够帮助我们解决这些问题,进一步理解和应用几何学的知识。
圆周角的定义
圆周角是指其两边都与圆的圆周相交,通常用度数或弧度来表示。圆周角是 一个重要的几何概念,它有着独特的性质和特点。
圆心角的定义
圆心角是指其两边都与圆的圆周相交,并且顶点位于圆的中心。圆心角是圆形的一个特殊角度,对于我们理解 圆形的性质非常重要。
圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角之间存在着紧密的关联。它们的度数或弧度有一定的规律和 对应关系,我们可以通过推导和证明来进一步揭示它们之间的联系。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总结和应用
通过对圆周角和圆心角的学习,我们掌握了它们的定义、关系和应用。这些 知识将帮助我们更好地解决与圆形相关的几何问题,并且在实际生活中应用 几何学的原理和方法。
推导和证明
通过一些基本的几何性质,我们可以推导出圆周角和圆心角的具体关系。这个过程需要一些数学推理和运算, 但是它将帮助我们更深入地理解这两个角度之间的联系。
用例和示例
通过一些实际的案例和具体的示例,我们可以更好地理解圆周角和圆心角的 关系,并且看到它们在几何学中的应用。让我们一起来看几个有趣的例子吧!
圆周角和圆心角的位置关系
第三章圆《圆周角和圆心角的关系(第1课时)》教学设计说明砀山县四新中学李保光一、学生起点分析学生的知识技能基础:学生在本章的第二节课中,通过探索,已经学习了同圆或等圆中弧、弦和圆心角的关系,并对定理进行了严密的证明,通过一系列简单的练习对这个关系熟悉,具备了灵活应用本关系解决问题的基本能力.学生活动经验基础:在之前的学习过程中,学生已经经历了“猜想-验证”、分类讨论的数学方法,获得了在得到数学结论的过程中采用数学方法解决的经验,同时在学习过程中也经历了合作学习的过程,具有了一定的合作学习的能力,具备了一定的合作和交流的能力.二、教学任务分析本节共分2个课时,这是第1课时,主要内容是圆周角的定义以及探究圆周角定理,并利用定理解决一些简单问题.具体地说,本节课的教学目标为:知识与技能1.理解圆周角定义,掌握圆周角定理.2.会熟练运用定理解决问题.过程与方法1.培养学生观察、分析及理解问题的能力.2.在学生自主探索定理的过程中,经历猜想、推理、验证等环节,获得正确学习方式.情感态度与价值观:培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点:圆周角定理及其应用.教学难点:圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透.三、教学设计分析本节课设计了七个教学环节:知识回顾——探究新知1——定义的应用——探究新知2——方法小结——定理的应用——课堂小结(作业布置).第一环节 知识回顾活动内容:1.圆心角的定义?——顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系? 如图:∠AOB 弧AB 的度数3.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条 、两条 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.活动目的:通过三个简单的练习,复习本章第二节课学习的同圆或等圆中弧和圆心角的关系.练习1是复习圆心角定义:顶点在圆心的角叫圆心角;练习2和练习3是复习定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.活动的注意事项:题目以复习概念和定理为主,特别是定理当中的前提条件“同圆或等圆”,需要再特别向学生强调一遍,同时要学生明白何为三组量中其中一组量相等,那么其余各组量也分别相等.第二环节 探究新知1活动内容:(1)问题:我们已经知道,顶点在圆心的角叫圆心角,那当角顶点发生变化时,我们得到几种情况?类比圆心角定义,得出圆周角定义:顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角.点A 在圆内点A 在圆外点A 在圆上.BOC A.B OC AO BC顶点在圆心.C .AOB圆心角 圆周角活动目的:本环节的设置,需要学生类比圆心角的定义,采用分类讨论和类比的思想方法得出圆周角的定义.活动的注意事项:问题当中的角的顶点位置发生变化可得到几种情况,其实是点和圆的位置关系知识点的应用,老师在此应注意知识之间的联系,达到触类旁通的目的.第三环节定义的应用活动内容:(1)练习、如图,指出图中的圆心角和圆周角解:圆心角有∠AOB、∠AOC、∠BOC圆周角有∠BAC、∠ABC、∠ACB活动目的:在学习了圆周角的定义后,为了下面学习圆周角的定理做铺垫,有必要先让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角,并掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角,这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的.活动的注意事项:图中圆里有3条半径和3条弦,当学生讲出正确答案后,则需要老师从旁总结寻找圆心角和圆周角的方法.寻找圆心角关注的是半径,任意两条半径所夹的角就是一个圆心角,个数由半径的条数决定.寻找圆周角则应关注弦和弦与圆的交点,任意两弦和两弦的交点组成一个圆周角,数圆周角关键是看弦与圆的交点,看以这个交点为顶点能引出多少条弦,每两条弦所夹的即是一个圆周角,数完一个交点后,再数另一个交点.这里要注意,因为半径AO没有延长,所以∠OAB严格来说还不算是一个圆周角,这里有必要向学生说明一下,但以后在解题中,我们又往往会忽略这些角,因为只要把半径AO延长与圆相交后,就会形成圆周角了,所以这里要特别注意.第四环节探究新知2活动内容:(一)问题提出:当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?教师提示:类比圆心角探知圆周角CB在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系?为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关系.(二)做一做:如图,∠AOB =80°,(1)请你画出几个 所对的圆周角,这几个圆周角的大小有什么关系?教师提示:思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系?三种:圆心在圆周角一边上,圆心在圆周角内,圆心在圆周角外.(2)这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系? ∠AOB =2∠ACB(三)议一议:改变圆心角∠A0B 的度数,上述结论还成立吗?成立 (四)猜想出圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.符号语言: (五)证明定理:已知:如图,∠ACB 是 所对的圆周角,∠AOB 是 所对的圆心角, 求证: 分析:1.首先考虑一种特殊情况:当圆心(O )在圆周角(∠ACB )的一边(BC )上时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系.∵∠AOB 是△ACO 的外角 ∴∠AOB =∠C +∠AAB⌒C12ACB AOB∠=∠AB ⌒ AB ⌒12ACB AOB∠=∠●OAC∵OA=OC ∴∠A =∠C∴∠AOB =2∠C2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB )的内部时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样?老师提示:能否转化为1的情况? 过点C 作直径CD .由1可得:3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样?老师提示:能否也转化为1的情况? 过点C 作直径CD.由1可得:活动目的:本活动环节,首先有一个情景引出探究的问题,然后通过类比得出探究圆周角定理的方法,再通过对特殊图形的研究,探索出一个特殊的关系,然后进行一般图形的变换,让学生经历猜想,实验,证明这三个探究问题的基本环节,得到一般的规律.规律探索后,得出圆周角定理,并对探究过程中的三种情况逐一加以演绎推理,证明定理.活动的注意事项:本环节有不少的数学思想方法,教师在教学中要注意逐一渗透.在(一)中注意渗透类比思想,在(二)中注意渗透“分类讨论”思想,在(三)中注意渗透“特殊到一般”思想,在(四)(五)中注意渗透“猜想,试验,证明”的探究问题一般步骤.12ACB AOB ∠=∠即11,22ACD AOD BCD BOD∠=∠∠=∠()12ACD BCD AOD BOD ∴∠+∠=∠+∠12ACB AOB∠=∠即11,22ACD AOD BCD BOD ∠=∠∠=∠()12ACD BCD AOD BOD ∴∠-∠=∠-∠12ACB AOB ∠=∠即C活动内容:思想方法:分类讨论,“特殊到一般”的转化活动目的:通过回顾圆周角定理的证明过程,体会探究过程中的数学思想方法的运用.活动的注意事项:多让学生用自己的语言表述当中用到的方法,然后教师再进行深加工.第六环节 定理的应用活动内容:问题回顾:当球员在B,D,E 处射门时,他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ,∠ADC ,∠AEC .这三个角的大小有什么关系?连接AO 、CO ,由此得出定理:同弧或等弧所对的圆周角相等.活动目的:通过回顾之前提出的问题,直接应用圆周角定理解决问题,然后推导出另一条圆周角与弧的定理.活动的注意事项:这里要注意引导学生学以致用,通过作辅助线添加圆心角,把问题转化到定理的直接应用上.还要注意引导学生对得出的结论加以总结,从而得出新的定理.化归化归DD111,,,222ABC AOC ADC AOC AEC AOC ∠=∠∠=∠∠=∠ABC ADC AEC ∴∠=∠=∠BC活动内容:(一) 这节课主要学习了两个知识点: 1.圆周角定义.2.圆周角定理及其定理应用.(二)方法上主要学习了圆周角定理的证明,渗透了类比,“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法.(三)圆周角及圆周角定理的应用极其广泛,也是中考的一个重要考点,望同学们灵活运用.活动目的:通过小结,让学生回顾本节课的学习内容,尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结,让学生懂得,我们学习不但是学习了知识,更重要的是要学会进行方法的总结.活动的注意事项:这里体现学生的总结和交流能力,只要学生是自己总结的,都应该给与鼓励和肯定,最后老师再作总结性的发言.第八环节:附课后练习答案随堂练习1.如图,在⊙O 中,∠BOC =50°,求∠BAC 的大小 解:在⊙O 中,∠BOC =50°2.如图,哪个角与∠BAC 相等,你还能找到那些相等的角? 解:∠BAC =∠BDC ∠ADB =∠ACB ∠CAD =∠CBD ∠ABD =∠ACD 习题1.如图,OA 、OB 、OC 都是⊙O 的直径,∠AOB =2 ∠BOC ,∠ACB 与∠BAC 的大小有什么关系,为什么?0011502522BAC BOC ∴∠=∠=⨯=AADOABC 12解:∠BAC = 2 ∠ACB ,理由:又∵∠AOB =2 ∠BOC即∠BAC= 2∠ACB 2.如图,A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点,且∠BCD =100°,求∠BOD 与∠BAD 的大小解:∵∠BCD =100°∴优弧所对的圆心角∠BOD =2∠BCD =200° ∴劣弧所对的圆心角∠BOD =36O °-200°=160°3.为什么电影院的作为排列呈弧形,说一说这设计的合理性.答:有些电影院的坐位排列呈圆弧形,这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等.4.船在航行过程中,船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁, 如图,A 、B 表示灯塔,暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形 区域内,优弧AB 上任一点C 都是有触礁危险的临界点,∠ACB 就是“危险角”,当船位于安全区域时,∠α与“危险角” 有怎样的大小关系?解:当船位于安全区域时,即船位于暗礁区域外(即⊙O 外) ,与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” .四、教学设计反思1. 根据学生特点灵活应用教案针对编者学校学生的特点,大部分学生能力相对较高,因此课堂的容量会比112AOB ∠=∠122BOC ∠=∠11122222AOB BOC BOC ∴∠=∠=⨯∠=∠=∠o1802BAD BOD ∴∠=∠=较大,而且在教学过程中渗透的思想方法也较多,如果碰到学习能力不足的学生群体,则要根据实际情况进行调整,注意突出渗透分类讨论的思想方法和体会探索问题的一般步骤即可.2.让学生有充分的探索机会,经历猜想,试验,证明的环节学生往往会直接进行证明,这对于简单问题可行,对于复杂问题就不好做了,因此要让学生经历猜想的过程,并且需要实际动手,拿出量角器进行实际度量,验证猜想,最后再进行严密的几何证明.。
圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)
圆周角和圆心角的关系--知识讲解(基础)【学习目标】1.理解圆周角的概念,了解圆周角与圆心角之间的关系;2.理解圆周角定理及推论;3.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用;通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系,发展学生合情推理能力和演绎推理能力.【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义:像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;推论2:直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.要点诠释:(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.(3)圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周角的外部.(如下图)要点二、圆内接四边形1.圆内接四边形定义:四边形的四个顶点都在同一个圆上,像这样的四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.ODCBA2.圆内接四边形性质:圆内接四边形的对角互补.如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.要点诠释:当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时,四边形的对角是不互补.【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图,在⊙O 中,,求∠A 的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的圆周角相等,所对的 弦也相等. 举一反三:【变式】如图所示,正方形ABCD 内接于⊙O ,点E 在劣弧AD 上,则∠BEC 等于( )A .45°B .60°C .30°D .55° 【答案】A.∵ AB =BC =CD =DA ,∴ 90AB BC CD DA ====°, ∴ ∠BEC =45°.类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断,顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O 内,两边与圆相交,所以∠1不是圆周角; (b)∠2顶点在圆外,两边与圆相交,所以∠2不是圆周角;(c)图中∠3、∠4、∠BAD 的顶点在圆周上,两边均与圆相交,所以∠3、∠4、∠BAD 是圆周角. (d)∠5顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆不相交,所以∠5不是圆周角; (e)∠6顶点在圆上,两边与圆均不相交,由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【总结升华】 紧扣定义,抓住二要素,正确识别圆周角.3.(2015•台州)如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,点E 在对角线AC 上,EC=BC=DC . (1)若∠CBD=39°,求∠BAD 的度数; (2)求证:∠1=∠2.【答案与解析】(1)解:∵BC=DC , ∴∠CBD=∠CDB=39°,∵∠BAC=∠CDB=39°,∠CAD=∠CBD=39°, ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°; (2)证明:∵EC=BC ,∴∠CEB=∠CBE,而∠CEB=∠2+∠BAE,∠CBE=∠1+∠CBD,∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD,∵∠BAE=∠CBD,∴∠1=∠2.【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质,熟悉圆的有关性质是解决问题的关键.4.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?【思路点拨】BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰三角形,要证明D是BC的中点,只要连结AD,证明AD是高或是∠BAC的平分线即可.【答案与解析】BD=CD.理由是:如图,连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB,∴BD=CD.【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线.举一反三:【变式】(2015•安顺)如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为()DABCOA .2B . 4C . 4D .8【答案】C.提示:∵∠A=22.5°,∴∠BOC=2∠A=45°,∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ,∴CE=DE,△OCE 为等腰直角三角形,∴CE=OC=2,∴CD=2CE=4. 故选:C .类型三、圆内接四边形及应用5.圆内接四边形ABCD 的内角∠A :∠B :∠C=2:3:4,求∠D 的度数.【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值,再根据四边形的内角和为360°,从而求得∠D 的度数. 【答案与解析】解:∵圆内接四边形的对角互补, ∴ ∠A :∠B :∠C :∠D=2:3:4:3 设∠A=2x ,则∠B=3x ,∠C=4x ,∠D=3x , ∴2x+3x+4x+3x=360°, ∴x=30°. ∴∠D=90°.【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用.举一反三:【变式】如图,⊙O中,四边形ABCD是圆内接四边形,∠BOD=110°,则∠BCD的度数是().A.110°B.70°C.55°D.125°【答案】D.C。
圆周角与圆心角、弧的关系
(教案)圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解:1.圆周角与圆心角的的概念:顶点在圆上,同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2.在同圆或等圆中,假如两条弦,两条弧,两个圆心角中有一组量相等,那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3.一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
4.直径所对的圆周角是90度,90度的圆周角所对的弦是直径。
5.圆的内接四边形对角之和是180度。
6.弧的度数确实是圆心角的度数。
解题思路:1.已知圆周角,能够利用圆周角求出圆心角2.已知圆心角,能够利用圆心角求出圆周角3.已知直径和弧度,能够求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上,同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个差不多特点:(1)顶点在圆上;(2)两边都和圆相交。
二、教学内容【1】圆心角:顶点在圆心的角。
利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点:练习:判断下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由.【2】明白得圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知:⊙O中,弧BC所对的圆周角是∠BAC,圆心角是∠BOC,求证:∠BAC= 1/2∠BOC.分析:通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情形:(1)圆心O在∠BAC的一边上 O(2)圆心O在∠BAC的内部(3)圆心O在∠BAC的外部 B D C●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述情形的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系(1).在同圆或等圆中,假如两条弦,两条弧,两个圆心角中有一组量相等,那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3.3_圆周角和圆心角的关系(2)
C
老师期望: 你可要理 解并掌握 这个模型.
●
O
B
即
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
演示
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
条件:圆周角与圆心角对同一条弧。 结论:圆周角是圆心角的一半。
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
思考与巩固
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
1 解: ∠A= ∠BOC=25°. 2
A B C
●
O
练习、在下列各图中, ∠α 1= 150° ,∠α 2= 60°,
C 返回
D
B
总结:圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90度的圆周角所对的弦是直径。
推论3: 圆内接四边形对角互补。 对角互补的四边形内接于圆。
探究:直径或半圆所对的圆周角的度数 1、探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度? 2、90°的圆周角所对的弦是否是直径? 线段AB是⊙O的直径,点C是 ⊙O上任意一点(除点A、B), 那么,∠ACB就是直径AB所对的圆 周角.想想看,∠ACB会是怎么样 的角?为什么呢?
3.3 圆周角和圆心角 的关系
3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
1.顶点在圆上, 2.两边都与圆相 交的角
圆周角定理
圆周角的度数等于 它所对弧上的圆心 角度数的一半.
圆周角定理 的推论1
同弧或等弧所对 的圆周角相等;
能力提升
1.判断 (1)同一个圆中等弧所对的圆周角相等 ( √ ) (2)相等的弦所对的圆周角也相等 ( × ) (3)同弦所对的圆周角相等 ( × )
C2
C2
B C2 D
1 2
BOD.
AC2 B
AC2 D
BC2 D
1 2
(AOD
BOD)
1 2
AOB.
推导与验证
已知:如图,在圆O中,∠C3是弧AB所对的圆周角, ∠AOB是弧AB所对的圆心角.
求证:∠C3=
1 2
∠AOB.
(提示:转化为第一种情况进行证明)
A
B
O
O
C3
能力提升 2.如图,△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上,∠C=30 °,
AB=2,则⊙O的半径是 2 .
解:连接OA、OB
C
∵∠C=30 ° ,
∴∠AOB=60 °
O
又∵OA=OB ,
∴△AOB是等边三角形
A
∴OA=OB=AB=2,即半径为2.
B
能力提升 3.如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四
在射门过程中,球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门 AC的张角( ∠ABC )有关. 当球员在B,D,E处射门时,他所 处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.
A
B D
初中数学知识点精讲精析-圆周角和圆心角的关系
3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义:圆周角(angle in a circular segment):顶点在圆上,并且角的两边和圆相交的角.两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦.2.圆周角定理:同弧所对的圆周角相等,所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半.注意:(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角,结论是圆周角等于圆心角的一半.(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.注意:(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.3.直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.注意:这一推论应用非常广泛,一般地,如果题目的已知条件中有直径时,往往作出直径上的圆周角——直角:如果需要直角或证明垂直时,往往作出直径即可解决问题.4.反证法:注意:用反证法证明命题的一般步骤:(1)假设命题的结论不成立;(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.(3)山矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.5.圆内角与圆外角:我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1.顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2).定理:圆内角的度数,等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半.圆外角的度数,等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半.典型例题1.已知:⊙O中,所对的圆周角是∠ABC,圆心角是∠AOC.求证:∠ABC=12 AOC.【解析】证明:∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO.∴∠AOC=2∠ABO.即∠ABC=12∠AOC.如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图),那么结果怎样?特殊情况会给我们什么启发吗?你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗?如图(1),点O在∠ABC内部时,只要作出直径BD,将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出.由刚才的结论可知:∠ABD=12∠AOD,∠CBD=12∠COD,∴∠ABD+∠CBD=12(∠AOD+∠COD),即∠ABC=12∠AOC.在图(2)中,当点O在∠ABC外部时,仍然是作出直径BD,将这个角转化成上述情形的两个角的差即可.由前面的结果,有∠ABD=12∠AOD,∠CBD=12∠COD.∴∠ABD-∠CBD=12(∠AOD-∠COD),即∠ABC=12∠AOC.2.如图示,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径,故连接AD.由推论直径所对的圆周角是直角,便可得AD⊥BC,又因为△ABC中,AC=AB,所以由等腰三角形的二线合一,可证得BD=CD.【解析】BD=CD.理由是:连结AD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.即AD⊥BC.又∵AC=AB,∴BD=CD.3.为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形?说一说这种设计的合理性.【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形,这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等.4.如下图,哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC=∠BAC.5. 如下图,⊙O的直径AB=10 cm,C为⊙O上的一点,∠ABC=30°,求AC的长.【解析】∵AB为⊙O的直径.∴ACB=90°.又∵∠ABC=30°, ∴AC=21AB=21×10=5(cm). 6.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形,根据下图,你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是:90°的圆周角所对的弦是直径.7.船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁,如下图,A 、B 表示灯塔,暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内,C 表示一个危险临界点,∠ACB 就是“危险角”.当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时,就有可能触礁;当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时,就能避免触礁.(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时,船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时,船位于哪个区域?为什么? 分析:这是一个有实际背景的问题,由题意可知:“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角,船P 与两个灯塔的夹角为∠α,P 有可能在⊙O 外,P 有可能在⊙O 内,当∠α>∠C 时,船位于暗礁区域内;当∠α<∠C 时,船位于暗礁区域外,我们可采用反证法进行论证. 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时,船位于暗礁区域内(即⊙O 内),理由是:连结BE ,假设船在(⊙O 上,则有∠α=∠C ,这与∠α>∠C 矛盾,所以船不可能在⊙O 上;假设船在⊙O 外,则有∠α<∠AEB ,即∠α<∠C ,这与∠α>∠C 矛盾,所以船不可能在⊙O 外.因此.船只能位于⊙O 内.(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时,船位于暗礁区域外(即⊙O 外).理由是:假设船在⊙O上,则有∠α=∠C,这与∠α<∠C矛盾,所以船不可能在⊙O上;假设船在⊙O内,则有∠α>∠AEB,即∠α>∠C.这与∠α<∠C矛盾,所以船不可能在⊙O内,因此,船只能位于⊙O外.8.如图,已知在⊙O中,直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D.求BC、AD和BD的长.分析:由AB为直径,知∠ACB=90°,又AC、AB已知,可由勾股定理求BC.又∠ADB=90°,AD=DB,由勾股定理可求AD、BD.【解析】∵AB为直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,又∵AB=10cm,AC=6cm,又∵CD是∠ACB的平分线,∠ACD=∠DCB,∴AD=DB.在 Rt∠ADB中,9.已知AB是⊙O的直径,AE是弦,C是的中点,CD⊥AB于D,交AE于F,CB交AE于G.求证:CF=FG.分析:如图7—107,要证CF=FG,只需证∠FCG=∠FGC.由已知,∠FCG与∠B互余.如果连结AC,∠ACB=90°.∠FGC与∠CAG互余.【解析】证明:连结AC,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∠FGC=90°-∠CAE.又∵CD⊥AB于D,∠FCG=90°-∠B,∴∠FGC=∠FCG.因此,CF=FG.10.如图,AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ,与 的大小有什么关系?为什么?(2)把(1)中的条件和结论交换一下,还能成立吗?说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立,延长DO 交⊙O 于点E ,连结AD . ∵=,=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图,⊙O 上三点A 、B 、C ,AB =AC ,∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ,∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ,BE 和CF 相交于点D ,四边形AFDE 是菱形吗?验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明:∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ,∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ,同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ,AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径,小亮同学谈了他的做法:先量取弦AB 的长,再量中点到AB 的距离CD 的长,就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗?如不合理,说明理由;如合理,请你给出具体的数值,求出半径,与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ,CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r -2)2+42. 得r=5(m).13.如图,现需测量一井盖(圆形)的直径,但只有一把角尺(尺的两边互相垂直,一边有刻度,且两边长度都长于井盖的半径),请配合图形,用文字说明测量方案,写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1:使角尺顶点在圆上,角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径,用刻度尺量出直径.方案2:任画圆的一条弦,用尺量出弦的中点,利用角尺过弦中点做弦的垂线,垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合),求证:∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时,∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明:连结OD, ∵AB 是直径,AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是:∠CP ′D+∠COB=180°.证明:∵∠CPD+∠CP ′D=180°,∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知,如图20,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外),直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证:AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点,上述结论是否仍然成立?若成立,请画出图形并给予证明;若不成立,请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明:连接CB ,∵AB 是直径,CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点,上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时,F 与G 重合, 有AG =AF ,∵CD ⊥AB ,∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时,证明类似①.。
《圆周角和圆心角的关系》 讲义
《圆周角和圆心角的关系》讲义一、引入在我们探索圆的奇妙世界时,圆周角和圆心角是两个非常重要的概念。
它们之间存在着独特而又紧密的关系,理解这种关系对于解决与圆相关的数学问题至关重要。
想象一下,我们在一个圆中,随意画出一个圆周角和一个圆心角,你是否好奇它们之间到底有着怎样的关联呢?接下来,让我们一起深入研究。
二、圆周角的定义圆周角是指顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角。
比如说,在圆O 中,点 A 在圆上,角 A 的两边分别与圆相交于 B、C 两点,那么角A 就是一个圆周角。
圆周角的度数大小取决于它所对的弧的长度。
这是一个非常关键的性质,也是我们后面探讨圆周角和圆心角关系的重要基础。
三、圆心角的定义圆心角则是指顶点在圆心的角。
同样在圆 O 中,如果角 BOC 的顶点 O 是圆心,那么角 BOC 就是一个圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
四、圆周角和圆心角的大小关系1、同弧所对的圆周角和圆心角在同一个圆中,如果一个圆周角和一个圆心角都对着同一条弧,那么这个圆周角的度数是圆心角度数的一半。
例如,在圆 O 中,圆心角∠AOB 所对的弧是弧 AB,圆周角∠ACB 也对着弧 AB,那么∠ACB = 1/2 ∠AOB。
证明如下:连接 OC,因为 OA = OC,所以∠A =∠ACO;同理,因为 OB = OC,所以∠B =∠BCO。
所以∠AOB =∠A +∠B = 2∠ACB,即∠ACB = 1/2 ∠AOB。
2、等弧所对的圆周角和圆心角如果两条弧相等,那么它们所对的圆周角相等,所对的圆心角也相等。
因为等弧意味着它们的长度相等,而圆周角的度数取决于所对弧的长度,圆心角的度数等于所对弧的度数,所以等弧所对的圆周角和圆心角具有这样的关系。
3、半圆(或直径)所对的圆周角半圆(或直径)所对的圆周角是直角。
在圆 O 中,AB 是直径,点 C 在圆上,那么∠ACB = 90°。
证明:因为∠AOB = 180°,根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半,所以∠ACB = 1/2 × 180°= 90°五、圆周角和圆心角关系的应用1、求角度已知圆中的某些角度关系,可以利用圆周角和圆心角的关系求出未知角度。
圆周角定理
提示:注意圆心与圆周角的位置关系 .
合作探究
☞
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况: • 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. 证明:∵∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB, ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即
合作探究
☞
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:用类比能否也转化为1的情况? 证明:过点B作直径BD.由1可得:
A C
●
它所对的圆心角的一半. 你能写出这个命题吗?
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C
理解并掌 握这个模 型.
●
O
B
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
合作探究
☞
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
在同圆或等圆中,
圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
我们把顶点在圆心的周角等 分成360份时,每一份的圆心角是 1°的角。 因为同圆中相等的圆心角所 对的弧相等,所以整个圆也被 等分成360份。我们把每一份这 样的弧叫做1°的弧。
B O
.
C
在同圆或等圆中,圆心角的度数和它所对的 弧的度数相等。
想一想
证明:
1 ∵∠ACB= ∠AOB 2 1 ∠BAC= ∠BOC
北师大版九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》圆说课教学课件复习提升
2.如右图,⊙O中,∠ACB = 130º,
1
则∠AOB=_1_0_0_º__.
O B
A
C
3.求圆中 的度数.
O
C 70°
A
B
α 350
D
C 120°
1
O
A
B
α 1200
A
4.如图,OA BC,AOB 500
C
B
则 CDA = 25°
O
D
5.在半径为R的圆内,长为R的 弦所对的圆周角为 30°或 150°
2
2
\ACB 1 AOD - BOD
2
即
A C
B
1 2
A
OB
C
C
C
O
O
O
A
A
B
A
B
D
DB
圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所
对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
C O
丙
A
甲
仅从射门角度 大小考虑,谁 相对于球门的 角度更好?
B乙
1.下列命题中是真命题的是( D ) (A)顶点在圆周上的角叫做圆周角 (B)60º的圆周角所对的弧的度数是30º (C)一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 (D)120º的弧所对的圆周角是60º
即 ACB 2BAC
A
O C
B
2.如图,点A,B,C,D,E均在⊙0上,则
A + B + C + D + E 等于多少度?
为什么?
B
分析:A,B,C,D,E这 五个圆周角所对的的弧之 A
C
和正好是一个圆,一个圆
所对的圆心角为 360°
17-第三章4圆周角和圆心角的关系
栏目索引
8.(2019黑龙江哈尔滨道外一模)如图3-4-6,AB、BC为☉O的两条弦,∠AOC -∠ABC=60°,则∠ABC的度数为 ( )
A.120°
B.100°
C.160°
图3-4-6 D.150°
4 圆周角和圆心的关系
答案
B
如图,在优弧
︵
AC
上取点D,连接DA、DC,
温馨提示 任何一个四边形都最多只有一个外接圆,但是一个圆的内接四边形有无数个
4 圆周角和圆心的关系
2.圆内接四边形的性质
内容
性质
圆内接四边形的对角互补
详解
∵ ︵ 与 ︵ 所对的圆心角之
ABC ADC
和为360°,∴∠ABC+∠D= 1×36
2
0°=180°.同理,∠BCD+∠BAD=1
80°
拓展
∵∠ABC+∠D=180°,∠CBE+∠ ABC=180°,∴∠CBE=∠D. 结论:圆内接四边形的任何一个 外角等于它的内对角
2
栏目索引
③如图3-4-1(3)所示,圆心O在∠BAC的外部.连接AO并延长交☉O于点D,由
①得∠BAD= 1 ∠BOD,∠CAD= 1 ∠COD,∴∠CAD-∠BAD= 1(∠COD-∠
2
2
2
BOD),即∠BAC= 1 ∠BOC.
2
提示:不能把“一条弧所对的”去掉,而简单说成“圆周角等于圆心角的一
解析 因为四边形ADBC内接于☉O,所以∠2+∠D=180°,同理可得∠1+∠ E=180°,所以∠1+∠2+∠D+∠E=360°,又∠1+∠2=180°-∠BAC=130°,所以 ∠D+∠E=230°.
圆周角与圆心角的关系
圆周⾓与圆⼼⾓的关系《圆周⾓与圆⼼⾓的关系》说课稿各位评委,各位⽼师:⼤家好!我是来⾃银川市回民中学的李慈秀我今天说课的内容是北师⼤版九年级数学下册第三章《圆》中的第三节《圆周⾓与圆⼼⾓的关系》的第⼀课时。
下⾯,我将从背景分析,教学⽬标设计,教学过程设计三个⽅⾯对本节课加以说明。
⼀、背景分析(下⾯我从学习任务、学⽣情况两个⽅⾯进⾏背景分析)1.学习任务分析在学习本节课之前,学⽣已经认识了圆的圆⼼、半径、弦、弧,也理解了圆⼼⾓的概念,并且通过圆的对称性研究了弦,弧,圆⼼⾓,以及弦⼼距之间的关系,在研究过程中已经经历了应⽤三⾓形的内⾓和、等腰三⾓形的相关知识来解决问题的过程。
教材中将《圆周⾓和圆⼼⾓的关系》安排了两课时,⽽本节课作为第⼀课时,它的学习任务是:通过观察,猜想、验证、推理等数学活动,帮助学⽣理解圆周⾓的概念,证明并掌握圆周⾓定理。
本节课在对圆周⾓定理的证明过程中充分渗透了分类讨论的数学思想和⽅法,学习圆周⾓定理不仅为下节课学习的两个推论及应⽤奠定了坚实的理论依据。
同时,也为后续研究圆和其他图形起到了桥梁和纽带作⽤。
所以我确定本节课的重点是:重点:圆周⾓概念及圆周⾓定理。
2.学⽣情况分析。
九年级学⽣已经系统的学习了简单的⼏何证明,掌握了基本的⼏何语⾔和证明的⽅法,同时,在研究“直线型”⼏何问题(如三⾓形、四边形)的过程中,也积累了⼤量的合作学习的经验,同时了解了分类、归纳等数学思想。
但是学⽣在添加辅助线解决数学问题时,往往⽆从下⼿,甚⾄不能合理添加,尤其本节课还需要在“曲线”⼏何问题中添加辅助线,更加增⼤了难度。
所以我确定本节课难点是:难点:添加辅助线证明圆周⾓定理⼆教学⽬标设计依据数学课程标准、教学内容的特点及学⽣的认知⽔平,我确定本节课的教学⽬标是:1、理解圆周⾓的概念、了解圆周⾓定理的证明;2、经历探索圆周⾓和圆⼼⾓的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决⼀般性问题的⽅法,渗透分类的数学思想.3、通过观察、猜想、验证、推理等数学活动,培养学⽣探索数学问题的能⼒和教会学⽣解决数学问题的⽅法.三教学过程设计环节⼀、创设情境,引⼊新课⾸先我给出了⾜球运动员射门的图⽚,学⽣对此表现出了⾮常⼤的兴趣,这是我不失时机的从图⽚中抽象出这样的数学问题.问题:⾜球训练场上教练在球门前划了⼀个圆圈,进⾏⽆⼈防守的射门训练,如图,甲、⼄两名运动员分别在B 、D 两地,他们争论不休,都说⾃⼰所在位置对球门AC 的张⾓⼤.如果你是教练,请评⼀评他们两个⼈,谁的位置对球门AC的张⾓⼤.这⼀环节中我安排了学⽣感兴趣的⽣活场景和数学活动,学⽣很快就为这⼀问题争论了起来,充分的激发了学⽣的探索激情和求知欲望。
圆心角圆周角的关系
圆心角圆周角的关系
圆周角和圆心角的关系:一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半,即圆周角定理。
圆周角是顶点在圆周上的角,圆心角是顶点在圆心上的角。
1、在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距
中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
2、在同圆或等圆中,成正比的弧所对的圆周角等同于它面元的圆心角的`一半(圆周
角与圆心角在弦的同侧)。
3、圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半。
4、直径面元的圆周角就是直角;90度的圆周角面元的弦就是直径。
5、圆心角计算公式:θ=(l/2πr)×°=°l/πr=l/r(弧度)。
即为圆心角的度数等同于它面元的弧的度数;圆周角的度数等同于它面元的弧的度数
的一半。
北师大版九年级数学下册《圆——圆周角和圆心角的关系》教学PPT课件(6篇)
D
O2
O1
E
B
F
新知探究
【跟踪训练】
1.圆内接四边形ABCD中,∠A, ∠B, ∠C的度数之比是
135°
1:2:3,则这个四边形最大角的度数是_________.
D
A
2.四边形ABCD内接于圆,AD∥BC,AB+CD=AD+BC ,
25
若AD=4,BC=6,则四边形ABCD的面积为_______.
A
A
O
O
BB
C
C
课堂小测
3. 如图,点B,C在⊙O上,且BO=BC,则圆周角∠BAC等于( D )
A
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
O
B
C
课堂小测
4 . 如图,已知BD是⊙O的直径,⊙O的弦AC⊥BD于点E.若
∠AOD=60°,则∠DBC的度数为( A)
A.30°
B.40°
C.50°
B
D.60°
D
C
OC垂直平分AD
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
A
平行
(2)OC与BD的位置关系是___________;
4
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
O1
O
B
新知探究
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解:连接AO并延长交⊙O于点E,
3 . 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆
心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
A
C
过点B作直径BD.由1可得:
《圆周角和圆心角的关系》圆PPT课件3(1)
E
●O
C
B
D
A
E B
C D
同弧或等弧所对的圆周角相等。
如图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?
为什么?
D
同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所 对的弧也相等。
B E
●O
A
C
⑴“同弧或等弧”能否改为“同弦或等弦” 不能 ?
⑵ “同圆或等圆”这一条件能否省去? 不能
随堂练习: 1.如图,在⊙O 中,∠BOC=50°,求∠BAC 的大小。
圆周角定理推论:
C
同弧(等弧)所对的圆周角相等.
都等于这条弧所对的圆心角的一半.
D
O
A
在同圆或等圆中, B 相等的圆周角所对的弧相等.
• 想一想:
• 在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球 门AC分别形成三个角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大 小有什么关系?你能用圆周角定理去解决问题。
九年级数学(下)第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
A
E B
C D
知识回顾
1.圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
2.圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
3.顶点在圆心的角叫做圆心角.
4.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对 的弦相等。
A
E
●O
C
B
D
A
E B
C D
圆周角定义:
A
顶点在圆上,并且两边都和圆 E
相交的角叫圆周角.
●O
C
B
特征: ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交 .
圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)
圆周角和圆心角的关系--知识讲解(基础)【学习目标】1 •理解圆周角的概念,了解圆周角与圆心角之间的关系;2 •理解圆周角定理及推论;3 •熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用;通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系,发展学生合情推理能力和演绎推理能力.【要点梳理】要点一、圆周角1. 圆周角定义:像图中/ AEB / ADB / ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2. 圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半3. 圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;推论2:直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.要点诠释:(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中(3)圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周要点二、圆内接四边形1.圆内接四边形定义:四边形的四个顶点都在同一个圆上,像这样的四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆2.圆内接四边形性质:圆内接四边形的对角互补•如图,四边形ABCD是O 0的内接四边形,则/ A+Z C=180°, / B+Z D=180°D要点诠释:当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时,四边形的对角是不互补【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用C^1・如图,在O 0中 , _ ;i| ',求/ A的度数.【答案与解析】v AB =腮:.AB =腮•債养【总结升华】在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的圆周角相等,所对的弦也相等.举一反三:【变式】如图所示,正方形ABCD内接于O 0,点E在劣弧AD上,则/ BEC等于()A . 45°B . 60°C . 30°D . 55【答案】A.AB = BC= CD= DAAB =BC =CD 二DA =90°,/ BEC= 45°.类型二、圆周角定理及应用C"2.观察下图中角的顶点与两边有何特征?指出哪些角是圆周角?(C) (d)【思路点拨】根据圆周角的定义去判断,顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角•【答案与解析】⑻/1顶点在O O内,两边与圆相交,所以/ 1不是圆周角;(b) / 2顶点在圆外,两边与圆相交,所以/ 2不是圆周角;(c) 图中/ 3、/ 4、/ BAD的顶点在圆周上,两边均与圆相交,所以/ 3、/ 4、/ BAD是圆周角.(d) / 5顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆不相交,所以/ 5不是圆周角;(e) / 6顶点在圆上,两边与圆均不相交,由圆周角的定义知/ 6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义,抓住二要素,正确识别圆周角.3. (2015?台州)如图,四边形ABCD内接于O O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC .(1)若/ CBD=39 °,求/ BAD 的度数;(2 )求证:/ 1 = / 2 .【答案与解析】(1)解:T BC=DC ,•••/ CBD= / CDB=39 °•••/ BAC= / CDB=39 ° / CAD= / CBD=39 °• / BAD= / BAC+ / CAD=39 °+39°=78 °(2)证明:T EC=BC ,:丄 CEB= / CBE ,而/ CEB= / 2+ / BAE ,/ CBE= / 1 + Z CBD ,•••/ 2+Z BAE= / 1 + / CBD ,•••/ BAE= / CBD ,•••/ 仁/2.【总结升华】 本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质,熟悉圆的有关性质是解决问题的关键.BD 是O 0的弦,延长BD 到C ,使AC=AB BD 与CD 的大小有什么关系?【思路点拨】BD=CD 因为AB=AC 所以这个厶ABC 是等腰三角形,要证明 D 是BC 的中点,只要连结 AD,证明AD 是高或是/ BAC 的平分线即可.【答案与解析】BD=CD.理由是:如图,连接 AD•/ AB 是O 0的直径•••/ ADB=90 即 ADL BC 又••• AC=AB • BD=CD.【总结升华】 解题的关键是正确作出辅助线 举一反三:【变式】(2015?安顺)如图,O O 的直径AB 垂直于弦CD ,垂足为E ,/ A=22.5 ° OC=4 , CD 的长为( ).如图,AB 是O 0的直径,为什么?【思路点拨】 根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值,再根据四边形的内角和为 得/ D 的度数.【答案与解析】 解:•••圆内接四边形的对角互补,••• / A: / B:/ C:/ D=2:3:4 : 3设/ A=2x ,则/ B=3x ,/ C=4x,/ D=3x,• 2x+3x+4x+3x=360 ° ,• x=30°• / D=90° .【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为提示:T/ A=22.5°,• / BOC=/A=45 ,TOO 的直径AB 垂直于弦CD• C E=DE △ OCE 为等腰直角三角形,• C E= :OC=2 匚,2• CD=2CE=4 匚.故选:C.类型三、圆内接四边形及应用5 •圆内接四边形 ABCD 勺内角/ A : / B:Z C=2:3:4,求/ D 的度数.360 °,从而求 360°的运用. B . 4【答案】C.举一反三:【变式】如图,O O中,四边形ABCD是圆内接四边形,/ BOD=110,则/ BCD的度数是()A.110 °B.70 °C.55 °D.125 °【答案】D.。
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第三章圆《圆周角和圆心角的关系(第1课时)》教学设计说明砀山县四新中学李保光一、学生起点分析学生的知识技能基础:学生在本章的第二节课中,通过探索,已经学习了同圆或等圆中弧、弦和圆心角的关系,并对定理进行了严密的证明,通过一系列简单的练习对这个关系熟悉,具备了灵活应用本关系解决问题的基本能力.学生活动经验基础:在之前的学习过程中,学生已经经历了“猜想-验证”、分类讨论的数学方法,获得了在得到数学结论的过程中采用数学方法解决的经验,同时在学习过程中也经历了合作学习的过程,具有了一定的合作学习的能力,具备了一定的合作和交流的能力.二、教学任务分析本节共分2个课时,这是第1课时,主要内容是圆周角的定义以及探究圆周角定理,并利用定理解决一些简单问题.具体地说,本节课的教学目标为:知识与技能1.理解圆周角定义,掌握圆周角定理.2.会熟练运用定理解决问题.过程与方法1.培养学生观察、分析及理解问题的能力.2.在学生自主探索定理的过程中,经历猜想、推理、验证等环节,获得正确学习方式.情感态度与价值观:培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点:圆周角定理及其应用.教学难点:圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透.三、教学设计分析本节课设计了七个教学环节:知识回顾——探究新知1——定义的应用——探究新知2——方法小结——定理的应用——课堂小结(作业布置).第一环节 知识回顾活动内容:1.圆心角的定义?——顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系? 如图:∠AOB 弧AB 的度数3.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条 、两条 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.活动目的:通过三个简单的练习,复习本章第二节课学习的同圆或等圆中弧和圆心角的关系.练习1是复习圆心角定义:顶点在圆心的角叫圆心角;练习2和练习3是复习定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.活动的注意事项:题目以复习概念和定理为主,特别是定理当中的前提条件“同圆或等圆”,需要再特别向学生强调一遍,同时要学生明白何为三组量中其中一组量相等,那么其余各组量也分别相等.第二环节 探究新知1活动内容:(1)问题:我们已经知道,顶点在圆心的角叫圆心角,那当角顶点发生变化时,我们得到几种情况?类比圆心角定义,得出圆周角定义:顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角.点A 在圆内点A 在圆外点A 在圆上.BOC A.B OC AO BC顶点在圆心.C .AOB圆心角 圆周角活动目的:本环节的设置,需要学生类比圆心角的定义,采用分类讨论和类比的思想方法得出圆周角的定义.活动的注意事项:问题当中的角的顶点位置发生变化可得到几种情况,其实是点和圆的位置关系知识点的应用,老师在此应注意知识之间的联系,达到触类旁通的目的.第三环节定义的应用活动内容:(1)练习、如图,指出图中的圆心角和圆周角解:圆心角有∠AOB、∠AOC、∠BOC圆周角有∠BAC、∠ABC、∠ACB活动目的:在学习了圆周角的定义后,为了下面学习圆周角的定理做铺垫,有必要先让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角,并掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角,这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的.活动的注意事项:图中圆里有3条半径和3条弦,当学生讲出正确答案后,则需要老师从旁总结寻找圆心角和圆周角的方法.寻找圆心角关注的是半径,任意两条半径所夹的角就是一个圆心角,个数由半径的条数决定.寻找圆周角则应关注弦和弦与圆的交点,任意两弦和两弦的交点组成一个圆周角,数圆周角关键是看弦与圆的交点,看以这个交点为顶点能引出多少条弦,每两条弦所夹的即是一个圆周角,数完一个交点后,再数另一个交点.这里要注意,因为半径AO没有延长,所以∠OAB严格来说还不算是一个圆周角,这里有必要向学生说明一下,但以后在解题中,我们又往往会忽略这些角,因为只要把半径AO延长与圆相交后,就会形成圆周角了,所以这里要特别注意.第四环节探究新知2活动内容:(一)问题提出:当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?教师提示:类比圆心角探知圆周角CB在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系?为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关系.(二)做一做:如图,∠AOB =80°,(1)请你画出几个 所对的圆周角,这几个圆周角的大小有什么关系?教师提示:思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系?三种:圆心在圆周角一边上,圆心在圆周角内,圆心在圆周角外.(2)这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系? ∠AOB =2∠ACB(三)议一议:改变圆心角∠A0B 的度数,上述结论还成立吗?成立 (四)猜想出圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.符号语言: (五)证明定理:已知:如图,∠ACB 是 所对的圆周角,∠AOB 是 所对的圆心角, 求证: 分析:1.首先考虑一种特殊情况:当圆心(O )在圆周角(∠ACB )的一边(BC )上时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系.∵∠AOB 是△ACO 的外角 ∴∠AOB =∠C +∠AAB⌒C12ACB AOB∠=∠AB ⌒ AB ⌒12ACB AOB∠=∠●OAC∵OA=OC ∴∠A =∠C∴∠AOB =2∠C2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB )的内部时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样?老师提示:能否转化为1的情况? 过点C 作直径CD .由1可得:3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样?老师提示:能否也转化为1的情况? 过点C 作直径CD.由1可得:活动目的:本活动环节,首先有一个情景引出探究的问题,然后通过类比得出探究圆周角定理的方法,再通过对特殊图形的研究,探索出一个特殊的关系,然后进行一般图形的变换,让学生经历猜想,实验,证明这三个探究问题的基本环节,得到一般的规律.规律探索后,得出圆周角定理,并对探究过程中的三种情况逐一加以演绎推理,证明定理.活动的注意事项:本环节有不少的数学思想方法,教师在教学中要注意逐一渗透.在(一)中注意渗透类比思想,在(二)中注意渗透“分类讨论”思想,在(三)中注意渗透“特殊到一般”思想,在(四)(五)中注意渗透“猜想,试验,证明”的探究问题一般步骤.12ACB AOB ∠=∠即11,22ACD AOD BCD BOD∠=∠∠=∠()12ACD BCD AOD BOD ∴∠+∠=∠+∠12ACB AOB∠=∠即11,22ACD AOD BCD BOD ∠=∠∠=∠()12ACD BCD AOD BOD ∴∠-∠=∠-∠12ACB AOB ∠=∠即C活动内容:思想方法:分类讨论,“特殊到一般”的转化活动目的:通过回顾圆周角定理的证明过程,体会探究过程中的数学思想方法的运用.活动的注意事项:多让学生用自己的语言表述当中用到的方法,然后教师再进行深加工.第六环节 定理的应用活动内容:问题回顾:当球员在B,D,E 处射门时,他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ,∠ADC ,∠AEC .这三个角的大小有什么关系?连接AO 、CO ,由此得出定理:同弧或等弧所对的圆周角相等.活动目的:通过回顾之前提出的问题,直接应用圆周角定理解决问题,然后推导出另一条圆周角与弧的定理.活动的注意事项:这里要注意引导学生学以致用,通过作辅助线添加圆心角,把问题转化到定理的直接应用上.还要注意引导学生对得出的结论加以总结,从而得出新的定理.化归化归DD111,,,222ABC AOC ADC AOC AEC AOC ∠=∠∠=∠∠=∠ABC ADC AEC ∴∠=∠=∠BC活动内容:(一) 这节课主要学习了两个知识点: 1.圆周角定义.2.圆周角定理及其定理应用.(二)方法上主要学习了圆周角定理的证明,渗透了类比,“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法.(三)圆周角及圆周角定理的应用极其广泛,也是中考的一个重要考点,望同学们灵活运用.活动目的:通过小结,让学生回顾本节课的学习内容,尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结,让学生懂得,我们学习不但是学习了知识,更重要的是要学会进行方法的总结.活动的注意事项:这里体现学生的总结和交流能力,只要学生是自己总结的,都应该给与鼓励和肯定,最后老师再作总结性的发言.第八环节:附课后练习答案随堂练习1.如图,在⊙O 中,∠BOC =50°,求∠BAC 的大小 解:在⊙O 中,∠BOC =50°2.如图,哪个角与∠BAC 相等,你还能找到那些相等的角? 解:∠BAC =∠BDC ∠ADB =∠ACB ∠CAD =∠CBD ∠ABD =∠ACD 习题1.如图,OA 、OB 、OC 都是⊙O 的直径,∠AOB =2 ∠BOC ,∠ACB 与∠BAC 的大小有什么关系,为什么?0011502522BAC BOC ∴∠=∠=⨯=AADOABC 12解:∠BAC = 2 ∠ACB ,理由:又∵∠AOB =2 ∠BOC即∠BAC= 2∠ACB 2.如图,A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点,且∠BCD =100°,求∠BOD 与∠BAD 的大小解:∵∠BCD =100°∴优弧所对的圆心角∠BOD =2∠BCD =200° ∴劣弧所对的圆心角∠BOD =36O °-200°=160°3.为什么电影院的作为排列呈弧形,说一说这设计的合理性.答:有些电影院的坐位排列呈圆弧形,这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等.4.船在航行过程中,船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁, 如图,A 、B 表示灯塔,暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形 区域内,优弧AB 上任一点C 都是有触礁危险的临界点,∠ACB 就是“危险角”,当船位于安全区域时,∠α与“危险角” 有怎样的大小关系?解:当船位于安全区域时,即船位于暗礁区域外(即⊙O 外) ,与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” .四、教学设计反思1. 根据学生特点灵活应用教案针对编者学校学生的特点,大部分学生能力相对较高,因此课堂的容量会比112AOB ∠=∠122BOC ∠=∠11122222AOB BOC BOC ∴∠=∠=⨯∠=∠=∠o1802BAD BOD ∴∠=∠=较大,而且在教学过程中渗透的思想方法也较多,如果碰到学习能力不足的学生群体,则要根据实际情况进行调整,注意突出渗透分类讨论的思想方法和体会探索问题的一般步骤即可.2.让学生有充分的探索机会,经历猜想,试验,证明的环节学生往往会直接进行证明,这对于简单问题可行,对于复杂问题就不好做了,因此要让学生经历猜想的过程,并且需要实际动手,拿出量角器进行实际度量,验证猜想,最后再进行严密的几何证明.。