解析几何中的存在性问题
第8章-第11节圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
y－1＝k1x， 由 y＝－2，
3 x＝－ ， 3 k1 得 ∴M－k ，－2. 1 y ＝－ 2 ， 1 x＝－ ， 1 k2 得 ∴N－k ，－2. 2 y ＝－ 2 ，
高三一轮总复习 攻考向·三级提能
定点问题
(2016· 福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为 1 (0,1)，(0，－1)，动点P满足直线AP与直线BP的斜率之积为－ 4 ，直线AP，BP与 直线y＝－2分别交于点M，N.
(1)求动点P的轨迹方程； (2)求线段MN的最小值； (3)以线段MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐 标；若不经过定点，请说明理由．
2 2 x 2 1 2 x1＋ 2 ＋2－ 2 ＝2＋ 2 x1，
＋
2 6 2 ＝2＋ 2 . 2
∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，
∴2 2＋
2 2 ＝4＋ 2 (x1＋x2)， 2
高三一轮总复习
∴x1＋x2＝2.
2 2 x1＋2y1＝4， ①当x1≠x2时，由 2 2 x ＋ 2 y 2 2＝4， 2 2 2 x2 － x ＋ 2( y － y 1 2 1 2)＝0，
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(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分 别为(x1，y1)，(x2，y2)． x2 y2 ＋ ＝1， 联立 4 2 得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0. y＝kx＋1， 其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0， 4k 2 所以x1＋x2＝－ 2 ，x1x2＝－ 2 . 2k ＋1 2k ＋1
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知椭圆:的焦点分别为、，点在椭圆上，满足，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，试探究是否存在直线与椭圆交于、两点，且使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）本题求椭圆的方程只需确定一个未知数，建立一个方程即可，利用椭圆定义及焦点三角形,结合余弦定理可解：由，得，由余弦定理得，（Ⅱ）表明点在线段DE中垂线上，利用韦达定理列等量关系，求出与的关系，再根据判别式大于零，可解出的取值范围试题解析：（1）由，得，由余弦定理得，∴所求的方程为．（2）假设存在直线满足题设，设，将代入并整理得，由，得①又设中点为，，得②将②代入①得化简得，解得或所以存在直线，使得，此时的取值范围为．【考点】直线与椭圆位置关系2.抛物线：的准线的方程是____；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____．【答案】，．【解析】分析题意可知，∴准线方程为，焦点为，半径，∴所求圆方程为．【考点】1．抛物线的标准方程；2．直线与圆的位置关系．3.如图，为外一点，是切线，为切点，割线与相交于点，，且，为线段的中点，的延长线交于点，若，则__________；_________．【答案】，．【解析】由切割线定理，∴，，再由相交弦定理，∵是的中点，∴，，则．【考点】1．切割线定理；2．相交弦定理．4.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则，所以，，将其代入椭圆方程可得，化简可得，解得，故应选．【考点】1、椭圆的定义；2、椭圆的简单几何性质；5.如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．【答案】【解析】由已知及圆的弦切割线定理得，，又知点P是CD的中点，所以，再由相交弦定理得；故答案为：．【考点】圆的性质．6.已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，△的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设点距轴的距离为，因为IG∥，则点距轴的距离为，连接，则，，所以，所以，所以椭圆方程为．【考点】椭圆的标准方程．7.已知双曲线（，）的焦距为，若、、顺次组成一个等比数列，则其离心率为．【答案】【解析】根据题意，有，即，式子两边同时除以，得，结合双曲线的离心率的取值范围，可求得．【考点】双曲线的离心率．8.设椭圆E：的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是．【答案】【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为的中位线，于是，且，即．【考点】椭圆的离心率．9.点M（χ，）是抛物线χ2=2P（P＞0）上一点，若点M到该抛物线的焦点的距离为2，则点M到坐标原点的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线（）的准线方程是，因为点到该抛物线的焦点的距离为，所以，解得：，所以该抛物线的方程是，因为点是抛物线上的一点，所以，所以点到坐标原点的距离是，故选D．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程．10.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则此时的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，过点作的垂线，垂足为，则为的中点．因为点的坐标为，所以，，所以，即，所以抛物线的方程为，此时，，所以直线的方程为，将其代入抛物线方程可得，，解得或，所以或，所以的面积为，故应选．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质．【思路点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先过点作的垂线，垂足为，则为的中点，然后利用点的坐标为，可求出，进而得出抛物线的方程，从而得出直线的方程，最后将其与抛物线的方程联立求出点的坐标，即可求出的面积．其解题的关键是求出抛物线的方程和直线的方程．11.已知、、c为正数，（1）若直线2x－（b－3）y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，试求的最小值；（2）求证：．【答案】（1）25；（2）证明见解析．【解析】（1）先利用两直线垂直得到关于正数的关系，再利用基本不等式进行求解；（2）先对不等式左边的每个括号进行因式分解，再利用基本不等式进行证明．试题解析：（1）由已知，有：即：、为正数，当且仅当时取等号，此时：故当时，的最小值是25．（2）、、c为正数，【考点】基本不等式．12.如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值．【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）面积的最大值为．【解析】（1）由已知得，跟据抛物线定义，得，所以点；据椭圆定义，得．所以椭圆的标准方式是．（2）因为为线段的中点，得直线的方程为；联立，得，由弦长公式和点到直线的距离，得．再根据函数的单调性得面积的最大值为．试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．由已知，点，则．设点，据抛物线定义，得．由已知，，则．从而，所以点．设点为椭圆的左焦点，则，．据椭圆定义，得，则．从而，所以椭圆的标准方式是．（2）设点，，，则．两式相减，得，即．因为为线段的中点，则．所以直线的斜率．从而直线的方程为，即．联立，得，则．所以．设点到直线的距离为，则．所以．由，得．令，则．设，则．由，得．从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为．【考点】1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题．【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比较大，不容易拿高分．13.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线为．双曲线的右焦点为，所以，即，即，过作准线的垂线，垂足为，则，即，设，则代入，解得．故应选B．【考点】圆锥曲线的性质.【思路点睛】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得的坐标，设，过点向准线作垂线，则，根据及，进而可求得点坐标．14.已知抛物线：，过焦点F的直线与抛物线交于两点（在第一象限）．（1）当时，求直线的方程；（2）过点作抛物线的切线与圆交于不同的两点，设到的距离为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，故，设，，则可得则，由此可求直线的方程；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得，则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离，则，然后再根据基本不等式即可求出结果．试题解析：（1）因为，故设，，则故则因此直线的方程为；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离则今则，故．【考点】1．直线与抛物线的位置关系；2．点到直线的距离公式；2．基本不等式．15.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线将于点、，若点的坐标为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）极坐标与直角坐标之间的关系是，由此可实现极坐标方程与直角坐标方程的转化；（2）由直线参数方程的标准形式（即参数的几何意义），直线过点，直线上的标准参数方程为，把它代入圆的方程，其解满足，．试题解析：（1）由得，又，则有，配方得圆的标准方程为．（2）直线的普通方程为，点在直线上的标准参数方程为，代入圆方程得：．设对应的参数分别为，则，，于是．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．16.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一个是左顶点为，所以，另一个是，所以，（2）实质利用斜率k表示点，P ，E，假设存在定点，使得，因此，即恒成立，从而即（3）利用斜率k表示点M，因此，本题思路简单，但运算量较大．试题解析：（1）因为左顶点为，所以，又，所以又因为，所以椭圆C的标准方程为．（2）直线的方程为，由消元得，．化简得，，所以，．当时，，所以．因为点为的中点，所以的坐标为，则．直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为．（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，由，得，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为．【考点】直线与椭圆位置关系17.选修4－4：坐标系与参数方程：在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为。
数学中的存在性与唯一性问题
数学中的存在性与唯一性问题作者：王江慈来源：《高中生·高考指导》2011年第10期近几年的高考数学试卷中，常常出现这样的设问方式：是否存在×××？如果存在，求出×××；如果不存在，请说明理由.这就是数学中一类特殊的问题——存在性问题，与之密切相关的是唯一性问题.由于结论需要考生自己去发现，并且论证所发现的结论正确，因此此类试题具有明显的开放性和探索性，对思维能力、运算能力和论证能力都有很高的要求，常常放在选择题、填空题或解答题的最后位置，发挥着区分考生的不同水平、不同层次的作用.如何探索应对存在性与唯一性问题的规律和策略，并进行梳理，应是考生在复习阶段的重要任务之一.例1函数f（x）＝-（x∈R），区间M＝[a，b]（aA.0个B.1个C.2个D.无数多个解析4个选项分别表示实数对（a，b），选项A表示不存在，选项B表示存在且唯一，选项C表示存在且不唯一，选项D表示存在且有无数多个.求解本题的关键就集中在如何去寻找使M＝N成立的实数对（a，b）.我们注意到已知条件主要是给出函数的解析式f（x）＝-（x∈R），自然应从分析函数f （x）的性质入手.我们可以判定函数f（x）满足f（-x）＝ -f（x），是奇函数.又从解析式含有｜x｜，判定函数 f（x）具有分段性.当x>0时，f（x）＝-＝＝＝-1，由此可知函数f（x）单调递减，且其图像是由函数y＝（x>1）的图像向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度所得.综合函数f（x）是奇函数，我们可以判定函数f（x）＝-（x∈R）是减函数，且其图像如图1所示.据此，我们可以确认：实数对（a，b）使M＝N成立的充要条件是方程组f（a）＝b，f （b）＝a有解，或图像上有坐标分别为（a，b）与（b，a）的两点.可以推断，方程组f（a）＝b，f（b）＝a只有一组解a＝0，b＝0，与a小结这是一道与存在性和唯一性相关的试题，求解的基本思路就是一个字：找.这就是解决存在性与唯一性问题的关键.为此，从数量特征与几何特征两个方面分析条件与结论，实施必要的转化.例2两个相同的正四棱锥组成如图2所示的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体的体积的可能值有A.1个B.2个C.3个D.无穷多个解析通过读题，我们自然会联想到一个熟悉的图形（如图3），认定两个相同的正四棱锥组成的几何体与棱长为1的正方体的关系是该几何体的6个顶点恰是正方体6个面的中心，因此选A，从而导致出错.事实上，该几何体的上、下两个顶点的确是正方体上、下两个底面的中心，正四棱锥的底面ABCD应位于正方体的中截面内，且内接于中截面（如图4），这样的正方形ABCD可以有无数多个.A，B，C，D恰好位于正方体4个侧面的中心，只是一个特例.选D.小结此题在确认存在的前提下，讨论是否唯一.要正确理解题意，我们要通过空间想象，找出结果，作出判断，要把存在与唯一作为相互联系的整体，对问题进行全面的思考.例3已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为.（1）求a，b的值.（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝+成立？若存在，求出所有的点P的坐标与l的方程；若不存在，请说明理由.解析（1）由已知得F（c，0）.当直线l的斜率为1时，l的方程为y=x-c.依题意有＝，得c＝1.由e==，得a＝，b＝.（2）由（1）得椭圆C的方程是+=1.当l绕F转到某一位置时，斜率k存在，可设其方程为y=k•（x-1），并设A（x1，y1），B（x2，y2）.若C上存在点P（x0，y0），使＝+成立，则有x0＝x1+x2，y0＝y1+ y2.+=1，y=k（x-1）消去y，得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6＝0.由于y=k（x-1）与椭圆C必有交点，因此有x0＝x1+x2＝，y0＝y1+y2＝k（x1+x2-2）＝-.将上述等式代入椭圆C的方程并整理，得3k4-4k2-4＝0，解得k2＝2，k＝±，此时x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2-2）＝-，即点P的坐标为（，-）.当k＝时，点P的坐标为（，-），l的方程为y=x-；当k＝-时，点P的坐标为（，），l的方程为y=-x+.由此可知，椭圆C上存在点P，使＝+成立.当l的斜率不存在，即l⊥x轴时，可得A（1，），B（1，-）.由＝+，可得P（2，0）不在椭圆上，可知此种情况下满足条件的点P不存在.综上可知，C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝+成立，点P的坐标为（，-），l的方程为y=x-，或点P的坐标为（，），l的方程为y=-x+.小结这是一道解析几何的综合题，其中的第（2）小题以存在与否的方式提出问题.求解的基本程序是：先假设满足＝+的点P存在，通过运算和推理，或求出点P的坐标与l的方程，或推出矛盾，说明满足＝+的点P存在与否.这是解决存在性问题的通法.本题在直线l绕F转动的过程中，向量关系式＝+刻画了运动变化的规则和要求，也就成为探索存在性问题的结果，进行推理的出发点.由于结论与直线的不同位置有关，因此需要进行分类讨论，并通过整合，得出合乎要求的完整答案.（责任编校/周峰）。
高校空间解析几何教学改革研究
高校空间解析几何教学改革研究摘要：通过调研访谈首先分析了高校空间解析几何的教学现状，然后根据解析几何教学过程中存在的问题，从教学内容、教学方法、考核方式等方面给出相应的改革措施，从而提高空间解析几何的教学效果。
关键词：空间解析几何；教学现状；教学改革；教学效果一、引言空间解析几何课程是高校数学与应用数学的专业基础课，是中学平面解析几何与立体几何相关知识的延续与提升，为数学分析、高等代数、高等几何、微分几何及点集拓扑等其他后续课程的学习奠定必要的基础。
空间解析几何的基本是借助于向量这一基本工具，利用代数的方法研究几何问题以及使几何结构代数化，其目标是培养基础扎实，具有创新思维和创新能力的中、高级人才。
二、高校空间解析几何的教学现状及存在的问题（一）教学内容多和课时少相矛盾目前，大多数高校空间解析几何教师上课有压力，主要原因在于课时逐渐压缩，在此情况下授课教师为了完成教学任务不得不对教材内容有所删减，甚至有些应该详细讲解的内容略讲或讲得不深不透，从而使得空间解析几何的教学内容不系统、不严谨，为后续课程的学习埋下隐患，如空间图形的描绘，在二重积分等教学中十分重要，如果这部分内容删去，势必影响数学分析二重积分的学习。
再比如，二次曲线的切线、法线和对称性及平面的仿射变换与等距变换是空间解析几何内容的经典，但受学时限制，任课教师不得不删除该部分内容的讲授，使得学生无法深刻理解和掌握此部分内容的精髓。
（二）教学方法缺乏改革创新空间解析几何的教学在很长一段时间内大多采用“粉笔加黑板”的传统教学模式，这种教学方法注重在基本概念的理解及理论的推导，而对学生创新能力和创造力的培养不够，其中最突出的问题是这种单一的教学方式使课堂变得没有生气，教学内容变得枯燥和难以理解，导致学生不愿意主动学习，甚至即使有些学生掌握了足够的理论知识却不能真正以其为基本工具去解决一些实际问题。
在空间解析几何教学中图形的构建是非常重要的，各种空间概念的理解、各种曲线曲面的研究和方程的建立都离不开图形，若仅仅用手把空间中的曲线和曲面画在黑板上则费时费力，且准确度不够，学生看起来也不够清楚，特别是在讲解由曲线族生成的柱面、锥面、旋转曲面及二次曲面时，学生只能根据教师的讲解凭空想象图形的形成过程和各图形之间的关系，甚至无法想象某些曲面是如何形成的，这样的教学方式不能从动态上演示各种复杂图形的形成原理，从而无法给学生直观、形象的刺激，使得学生缺乏学习几何的兴趣和持久的注意力，并且在学习数学分析中的三重积分、曲线积分及曲面积分时更是无法顺利解决投影区间或投影区域的问题。
全国2018年高考数学第2轮复习 专题五 解析几何 第四讲 大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 文
[演练冲关] 3．(2017·惠州调研)已知椭圆C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦
点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A1， 22在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不 同交点M，N时，能在直线y＝53上找到一点P，在椭圆C上 找到一点Q，满足―PM→＝―N→Q ？若存在，求出直线的方 程；若不存在，说明理由．
[演练冲关] 1．如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛
物线E上的点A(2,1)作斜率分别为k1，k2的
直线，分别交抛物线E于B，C两点．
(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；
(2)若k1＋k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点． 解：(1)设抛物线E的标准方程为x2＝ay，a>0， 将A(2,1)代入得，a＝4. 所以抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1. (2)证明：由题意得，直线AB的方程为y＝k1x＋1－2k1， 直线AC的方程为y＝k2x＋1－2k2，
(1)证明：由于 F 在线段 AB 上，故 1＋ab＝0. 设 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，则 k1＝1a＋－ab2＝aa2－－abb＝1a＝－aab＝－b＝－b－1－01＝k2.
22 所以 AR∥FQ. (2)设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0)， 则 S△ABF＝12|b－a||FD| ＝12|b－a|x1－12，S△PQF＝|a－2 b|.
[解] (1)如图，由已知得M(0，t)，P 2t2p，t .又N为M关于 点P的对称点，故N tp2，t，
故直线ON的方程为y＝pt x， 将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2pt2.因此H 2pt2，2t. 所以N为OH的中点，即||OOHN||＝2.
高考解析几何常见题型
1、最值问题：:设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.:已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．求四边形ABCD 的面积的最小值．:已知椭圆C :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值. 设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.（Ⅰ）过点P （0，-4）作抛物线G 的切线，求切线方程：（Ⅱ）设A 、B 为势物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.2、存在性问题：已知向量()OA = ，O 是坐标原点，动点M 满足：6OM OA OM OA ++-= ①求点M 的轨迹C 的方程②是否存在直线()P 0,2l 过点与轨迹C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由。
在平面直角坐标系中，已知A 1（−3，0）、A 2（3，0）、P （x ，y ）、M （92-x ，0），若实数λ使向量P A 1、λ、P A 2满足λ2·()2=A 1·A 2（Ⅰ）求P 点的轨迹方程，并判断P 点的轨迹是怎样的曲线；（Ⅱ）当λ=33时，过点A 1且斜率为1的直线与（Ⅰ）中的曲线相交的另一点为B ，能否在直线x =−9上找一点C ，使△A 1BC 为正三角形．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由3、取值范围问题：已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(（Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列.(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标；(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围.4、定值问题：已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点.① 设1()2OR OP OQ =+ （O 为原点），求点R 的轨迹方程；②若直线l 的倾斜角为060，证明11||||PF QF +为定值. 已知动点M 到两个定点12(3,0),(3,0)F F -的距离之和为10，A 、B 是动点M 轨迹C 上的任意两点. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）若原点O 满足条件AO OB λ= ，点P 是C 上不与A 、B 重合的一点，如果PA 、PB 的斜率都存在，问PA PBk k ⋅是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由。
高考数学第八篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题(第3课时)定点、定值、存在性专题文
＋1)，
由x82＋y42＝1，
得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
y＋2＝k（x＋1），
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－4k（1＋k－2k22），
y1)，B(x2，y2)．
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第7节 圆锥曲线的综合问题 第二十二页，共四十二页。
由x42＋y2＝1，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. y＝kx＋m
则 Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2 ＝－1＋8km4k2，x1x2＝41m＋2－4k42 ，则 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝m12＋－44kk22，
且 x1＋x2＝4k82k＋2 3，x1x2＝44kk22－＋132.
直线 AE 的方程为 y＝x1y－1 2(x－2)，
令 x＝4，得点 M4，x12－y12，
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第7节 圆锥曲线的综合问题 第十七页，共四十二页。
直线 AF 的方程为 y＝x2y－2 2(x－2)， 令 x＝4，得点 N4，x22－y22， 所以点 P 的坐标为4，x1y－1 2＋x2y－2 2. 所以直线 PF2 的斜率为 k′＝x1y－1 2＋4－x21y－2 2－0 ＝13x1y－1 2＋x2y－2 2＝13·y2xx11x＋2－x22y（1－x12＋（xy21）＋＋y24）
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第7节 圆锥曲线的综合问题 第十一页，共四十二页。
(2)由(1)知 F(1，0)，设 A(x0，y0)(x0＞0)，D(xD，0)(xD＞0)， 因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1， 由 xD＞0 得 xD＝x0＋2，故 D(x0＋2，0)， 故直线 AB 的斜率为 kAB＝－y20， 因为直线 l1 和直线 AB 平行， 故可设直线 l1 的方程为 y＝－y20x＋b，
二次函数解析几何--存在性问题
二次函数解析几何专题——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
一、方法总结解存在性问题的一般步骤：（1）假设点存在；（2）将点的坐标设为参数；（3）根据已知条件建立关于参数的方程或函数。
二、常用公式（1）两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB|=221221)()(y y x x -+-（2）中点坐标公式：1212,22x x y y x y ++==（3）斜率公式：①；②（为直线与x 轴正方向的夹角）2121y y k x x -=-tan k θ=θ（4）①对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2②如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.题型一 面积问题例1．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．变式练习：1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．O B A CyxA xy BO能力提升：1.（2013菏泽）如图1，△运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形2．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．3.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．yD BMA CO xE 图1的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点与△POC的坐标；若不存在，请说明理由；c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交m（m＞1）与x轴交于D。
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第11节 圆锥曲线中的证明与存在性问题
解:(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件.
由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0).
设Q(x0,y0)(x0>1)为双曲线C右支第一象限上一点.
当x0=2时,因为∠QFM=2∠QMF=90°,
所以∠QMF=45°,于是|MF|=|QF|=3,
所以t=-1,即M(-1,0).
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当 p<0 时,x=± -,则 2 -=4 ,
解得p=-4,故C的方程为x2=8y.
(2)设P为C的准线上一点,过P作C的两条切线,切点为A,B,直线PA,PB
的斜率分别为k1,k2,且直线PA,PB与y轴分别交于M,N两点,直线AB的
斜率为k0.证明:k1·k2为定值,且k1,k0,k2成等差数列.
(2)证明:由(1)可知C的准线方程为y=-2,
不妨设P(m,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意,过点P且与C相切的直线l的斜率一定存在,设为k,
则l:y=k(x-m)-2,且k≠0,
= (-)-,
2
联立
得 x -8kx+8(km+2)=0,
= ,
2
2
则Δ=64k -32(km+2)=0,即 k -mk-1=0,
|| ||
,证明:∠ANC=2∠AMC.
=
|| ||
(2)证明:由(1)可知 M(-8,0),设直线 l 的方程为 x=my-8,其与椭圆
E:+=1 的交点为 B(x1,y1),C(x2,y2),
+
=
,
2
中考专题讲解：直角三角形的存在性问题解题策略
中考专题讲解：直角三角形的存在性问题解题策略有关直角三角形的存在性问题，一般都是放在平面直角坐标系中和抛物线结合起来考察，这种题的解法套路一般都是固定的，在学习的过程中只需要牢固掌握直角三角形存在的基本模型：两线一圆，多加练习，这类问题就可以轻松掌握。
一、模型讲解“两线一圆”模型：在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时，通常是以直角顶点作为分类标准，如下图，分别以点A、点B、点M为直角定点来构造直角三角形，然后根据相关条件来进行求解即可。
已知:定点A(2，1)、B(6，4)和动点M(m，0)，存在直角三角形。
具体有以下三种情况：（1）过点A作直线AM垂直AB，交x轴于点M；（2）过点B作直线BM垂直AB，交x轴于点M；（3）根据直径所对的圆周角为90度，以AB为直径作圆，交x轴的点即为满足条件的点M（一般情况下有两个交点，特殊情况下只有一个交点），然后根据相关条件来进行求解即可。
作出图形后，具体求解方法有三种：方法一：“K型”图（有的叫“一线三等角”），三角形相似易得△ACM∽△BEA，求得CM，从而求出点M的坐标。
易得△AEB ∽△BFM求得BF，从而得M的坐标方法二：勾股定理∵BH²=BG²-GH² ∵AC²+CM²=AM²BH²=BM²-HM² MD²+BD²=BM²∴BG²-GH² =BM²-HM² AM²+BM²=AB²∴AC²+CM²+MD²+BD²=AB²方法三：解析法（来源于高中的解析几何，虽然有点超纲，但是很多老师都教学生这种方法）K AB ·K AM =-1，直线BM 与x 轴的交点即为M 。
K AB ·K BM =-1，直线A 与x 轴的交点即为M 。
高考数学学科二轮备考关键问题指导系列一(解析几何存在问题及应对策略)
福建省2024届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列一解析几何存在问题及应对策略（福建省高三毕业班复习教学指导组余小萍执笔整理）新高考的背景下，解析几何知识板块试题分值高，在全卷中占比高，但整体得分低，得分率最低，对全卷影响重大，新高考解析几何如何提分，值得研究.解析几何高考试题以核心素养为导向，突出了学科素养、关键能力的考查，有以下特点：1．突显解析思想，考查全面解析思想解题主要包含两个方面．其一，在坐标系下，每个几何对象均可被数（坐标、方程等）所完全表达，并通过代数（或向量）方法来解决；其二，特定的代数语言有了几何解释，从而使代数语言有了直观意义，人们能从中得到启发，进而解决问题或提出新的结论．解析几何问题考查模式可以用下图的框架体现：2．突出直观想象，强调算理解析法是通过坐标系实现“点与坐标互化”、“曲线与方程互化”、“几何关系代数化”，从而达到用代数方法解决几何问题，其思维模式可以用下图的框架体现：这是平面解析几何复习教学可以遵循的思维模式，通过它，帮助厘清知识，构建方法体系，回到基础，落实对知识与方法的深刻理解，让解析法升华为一种认识论与方法论.3．突破题型套路，鼓励创新新高考试卷持续推进题型和结构的创新，在解析几何试题的设计上，最大的变化就是突破题型套路，有多选题、多空题和条件开放或结论开放试题，在难度层次上也有所变化，从情境选择、设问方式到解题方法，鼓励创新求解的意识，培养学生探究能力．下面就具体的平面解析几何复习教学的相关问题探讨如下.一、存在的问题及原因分析（一）作图意识薄弱，以形助思待提高规范作图是认识问题、研究问题的基础，将图形特征转化、合理代数化的过程是问题条件的理解与解题思路的探究过程．【例1】过点(0,2)-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=( )A. 1B.4C.4D. 4【解析】圆22410x y x +--=化简，得22(2)5x y -+=，故圆心(2,0)B，记(0,2)A -，设切点为M ，.N AB =BM =，故AM sinsin MAB 24BM ABα=∠==，coscos M B 2A AM ABα=∠==，sin 2sincos22ααα==B. 【评析】本题考查直线与圆的位置关系、二倍角公式，属于基础题．利用切线构造直角三角形，由三角函数定义求出sin2α，cos2α，再利用二倍角正弦公式即可求解．本题中切线的运用很多学生能想到，但学生不易想到角度关系MAB 2α=∠，究其原因在于作图意识薄弱，对题中的几何关系挖掘不够，缺乏对图形中几何特征与数量关系的细致分析，难以借助图形分析思考问题.【例2】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y轴上，11F A F B ⊥，222=3F A F B -，则C 的离心率为__________.【解析】依题意222=3F A F B -，设22||2,||3(0)F A t F B t t ==>，||5.AB t ∴=由对称性知21|||| 3.F B F B t ==又11F A F B ⊥，故1||4F A t =，4cos .5A = 由双曲线的定义知，12||||2F A F A a -=，故.t a =在12F AF 中，22216444cos 2425a a c A a a +-==⋅⋅，解得：29()5c a =，故C 的离心率为5【评析】本题考查双曲线的定义及性质、余弦定理、向量共线的充要条件等，属于中档题. 根据向量的关系设参数t ，得到||AB ，2||F B ，1||F B 的关系，勾股定理得到1||4F A t =.由双曲线的定义得到t a =，在1Rt F AB △和12F AF △中通过对cos A 算两次得到a 与c 的关系.学生若作图潦草，难以发现关键的几何特征信息，导致对图中几何关系的提取错误或者不完整，思路受阻．本题中222=3F A F B -，不仅有数量特征，还具有位置关系．【建议】课堂教学中教师能使用尺规规范作图，起到示范指导，并要求学生当堂作图练习．布置不给图形的解几练习，要求学生通过审题自己作图.教师对图形中几何特征与数量关系进行细致分析，结合图形从整体角度理解题意、寻找解题思路．（二）概念思维淡漠，核心观点需增强定义是数学问题研究的起点．曲线方程的概念蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义．【例3】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12，过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE △的周长是__________.【解析】由椭圆离心率为12，可得2a c =，则b ==则椭圆C ：2222143x y c c +=，)A ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，易得ED l ：()3y x c =+，由2211||||||2AF AF F F c ===，故过1F 且垂直于2AF 的直线DE 垂直平分2AF ，即2||||EA EF =，2||||DA DF =，又2222143)x y c c y x c =⎧+=⎪⎨+⎪⎪⎪⎩，得22138320x cx c +-=，故28133213D E D Ec x x x c x =⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩， 213||||6()4278D E D E D E DE x x x x x x c ∴=-=⇒+-=⇒=，所以ADE △的周长2211||||||||||||||4813DA EA DE DF EF DF EF a c ++=+++===.【评析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题.部分学生不能从离心率、椭圆定义角度去分析几何特征解决问题，而是先求点M 坐标，再求点D 、E 的坐标，利用两点间的距离公式，绕了一大圈才得出周长，没能活用定义轻松得到解题的突破口．究其原因在于没有养成优先站在“定义”的角度探究问题和解决问题意识，未能从圆锥曲线的定义审视几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化．【建议】复习教学中凡涉及圆锥曲线的最值问题，均需先回顾梳理各种方法，结合问题背景比较、优化方法；强调要在大问题（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系）下研究几何性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析． （三）欠缺条件思辨，代数方法要选择解析几何就是用代数的方法研究几何问题．那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化．【例4】写出与圆221x y +=和圆22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程__________. 【解法一】显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，1=化简得221c b =+①，4.=化简得，|34||4|b c c ++=，故344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可) 【解法二】设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =， 圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =， 则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意； 又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程；又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+1=，解得724k =，从而该切线的方程为724250x y --=； 所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可)【评析】本题是一道开放题，代数法设切线方程通过解方程组能解决问题，也可以利用几何特征快速写出公切线10x +=，发现题中两圆的位置关系是快速破题的关键．本题若改为写出所有公切线方程学生失分率将更高，两种方法计算量也相差无几，代数法中方程组的求解是学生的失分点，其中直线方程的设法涉及简便、减少运算量，几何法通过先求直线OC 与直线10x +=的交点，再求过该点且与圆221x y +=相切的直线即可得到公切线724250x y --=也是利用几何特征简便、减少运算量.【例5】已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴y 轴分别相交于M ，N 两点，且||||MA NB =，||MN =l 的方程为__________.【解析】取AB 的中点为E ，因为||||MA NB =，所以||||ME NE =，设11(,)A x y ，22(,)B x y 可得1212121212y y y y x x x x +-⨯=-+-，即1.2OE AB k k =-⋅ 设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则(0,)M m ，(,0)mN k-， 所以(,)22m m E k -，所以212m k k m k⨯=-=--，k =又||MN =22212m m +=，故2m =，所以直线:22AB y x =-+，即0.x -= 【评析】本题考查椭圆的中点弦问题，属于偏难题.条件 ||||MA NB = 的转化应用是解本题快速与否的关键，取AB 的中点为E ，将中点E 纵横坐标比转化为中点与原点连线的斜率，利用点差法及点坐标就能快速找到一个,k m 的关系式.学生若能依题构图，结合图形联想第三定义推论，就能将条件 ||||MA NB = 转化为简洁的代数形式，从而达到解决问题的目的.【建议】复习教学中重视引导学生依题构图，结合圆锥曲线的性质从题意与图形中抽象出关键的几何特征，并以简洁的代数形式加以呈现，从而转化为待求目标关系式进行变形演算．（四）缺乏算法算理，运算求解须考究解析几何问题常常都有计算量大的特点，如何进行有效运算、简便运算，寻找化简方向是我们必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程，回归定义，以简驭繁；设而不求，整体运算；充分运用图形几何性质，简化计算；利用根与系数关系化繁为简；选用方程适当形式，减少运算量等，这些方法一定要结合具体问题进行训练.【例6】已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为 ．【解法一】解直角三角形法：如图，依题意得,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭且OPF PQF ∠=∠，所以tan tan OPF PQF ∠=∠，所以2,6pOF PF p PF FQ p =∴=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-.【解法二】射影定理应用法依题意得,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2,PF OF FQ =⋅262p p ∴=⨯，解得3p =或0p =（舍去），所以C 的准线方程为32x =-.【解法三】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，所以直线OP 的斜率22OP pk p ==，因为PQ OP ⊥，所以12PQ k =-，所以PQ 的方程为1()22p y p x -=--，即524px y =-+.令0y =时，52p x =，因为||6FQ =，所以5622p p -=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-． 【解法四】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，(6,0)2pQ +，所以(6,)PQ p =-， 因为PQ OP ⊥，所以0PQ OP ⋅=，所以602pPQ p p =⨯-⨯=，所以()30p p -=，因为0p >，所以3p =，所以C 的准线方程为32x =-．【评析】破解本题的关键是对PQ OP ⊥进行转化，可以从解直角三角形的角度，也可以从斜率角度，还可以从向量的角度，甚至可以利用射影定理的角度去进行转化，显见不同的思路其解题的长度不一样.因此，需强化的解题训练形成套路化、模式化，就能根据问题特点灵活处理.【例7】在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F，2F ，12||||2MF MF -=，点M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【解析】（1）因为12122MF MF F F -=<=C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >．由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+=⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=． 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0．【评析】TA TB ⋅与TP TQ ⋅从弦长公式到韦达定理代入化简是破解本题的关键，从设直线方程到联立消元再到弦长公式的应用，有明晰的解题方向，形成套路化、模式化的解题训练有助于学生根据问题特点灵活处理.【建议】课堂教学时不能只是谈思路方法，应合理利用几何特征设参，分析算式结构，合理消参、降次，通过课堂师生共同演算的体验，增加实践经验，进行算法算理的指导．在涉及求有关过一点的两条斜率不同的直线的交点坐标或弦长问题时，往往只需计算其中的一类交点坐标或弦长，另一类只需等价代换的结果中的参数即可．（五）只求题型模仿，解析思想欠领悟高中解析几何既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，其核心是“数形结合”的思想方法.由于解析几何内容的综合性，在解决问题的过程中，充满着探究性、创新性，对能力有较高的要求.解题中必然要用到思想方法引领，如函数与方程、特殊与一般、分类与整合的思想，以及待定系数法、换元法等等.【例8】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，点．若，则________．【解析】设弦AB 的中点为P ,综合题目的几何特征，直观猜测，PM 平行于x 轴，故由点差法可得124=2k y y =+，快速地给出答案为2． 【评析】本题是典型的直线与抛物线的位置关系问题，常规的解法是设方程、联立方程、用韦达定理求解套路，这势必费力费时且会算错．由于问题的特殊性，焦点弦张角为直角，借助数形结合，动中求不变解析思考，斜率为k 的平行弦的不变性，以及焦点弦张角的不变性，就能抓住问题的本质，既解决了问题，又提升了对抛物线的认识．【例9】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 方程；(2)证明：直线CD 过定点．【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，∴(),1AG a =，(),1GB a =-， ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =，∴椭圆方程为：2219x y +=.()11M -，24C y x =：C k C A B 90AMB =︒∠k =的的（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+，将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+， 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭． 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 【评析】解决本题的关键是借助数形结合，由椭圆的对称性可知定点应在x 轴上，明晰计算化简的方向．【建议】教学中要让学生意识到变化是理解解析几何问题的切入点，不变是解决解析几何问题的落脚点，对于它的探究过程主要集中在数学观察、联想、类比、猜测、抽象、概括等思维过程．解决解几具体问题时常常需要用到“数形结合”的思想方法.在解决问题的过程中，针对具体问题具体分析，跳出套路，数形结合找到解题方向.二、解决问题的思考与对策（一）回归基础，揭示本质，返璞归真解析几何思想的数学结构是由核心概念、基本方法、数学原理3个层次构成.核心概念是曲线与方程，基本方法是几何问题代数化和代数问题几何化，数学原理是映射原理(或化归原则)，其中几何问题代数化的途径是坐标法，是笛卡尔“方法论”的观念表现．【例10】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．【解析】正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系， 设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒===+︒+，()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-.故答案为：13；3-.【评析】本题以简单的多空形式呈现，以正方形、直线与直线的位置关系为载体，考查坐标法的基本 应用.考点虽然稍冷，却有着浓浓的解析味.解决问题的关键在于，合理建立坐标系，恰当地表征几何对象，如倾斜角的引进，以及与斜率的互化，体现了基础性、综合性和应用性.【例11】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线 【解析】ACD【评析】曲线方程的特征及区别是求解的关键，是解析几何的基本工具，一定要熟知．【例12】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213xy +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>， 当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx t kt =+<即0kx y t -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，所以221t k =+，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x ktx t +++-=， 所以2121222633,1313kt t x x x x k k-+=-⋅=++，所以MN ==213k=+= 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN =【评析】问题归结——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义；策略突破——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义，构建方程，转化为求2,2a c 的值或齐次方程，从而求椭圆的方程．【建议】教学中要回归基础，即是回到知识的联系、回到思想方法、回到定义和基本性质中去．对于圆锥曲线而言，即是回到定义、方程、性质去，也是解决问题的认知基础．归纳：1．定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题，采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的．2．求圆锥曲线方程常用的方法有直接法、定义法、待定系数法、参数法等．用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，要“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，抛物线的焦点是在x 轴的正半轴、负半轴，还是y 轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指运用方程思想、利用待定系数法求出方程中的a 2、b 2、p 的值（基本量法），最后代入椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．3．求椭圆或双曲线的离心率时，应该寻求三角形中的边角之间的关系，从而建立a 、c 的齐次方程（求值）或者齐次不等式（求范围）．4.证明充要条件的问题，不要只证明充分性，或只证明必要性，需注意：既要证明其充分性，又要证明其必要性.（二）弄清几何问题，选择代数方法，合理转化解析几何就是用代数方法来研究几何问题，即：几何问题→代数问题→代数结论→几何结论．所以，它的两大任务是：（1）把几何问题转化为代数问题，（2）研究代数问题，得出代数结论．【例13】设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1) 当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2) 设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-．所以AM 的方程为2y x =-+2y x = （2）本题目标要研究的几何对象为角，这需要在图形中挖掘这两个角的几何特征或这个角的等价几何关系．特例情况当l 与x 轴重合时．①0OMA OMB ∠=∠=︒；②当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，将OMA OMB ∠=∠代数化，即角相等的证明可以有两个思路，即从 数量关系或几何关系来思考．为此，不妨设1221(,),(,)A y x y x B ．思路1：从图形中直线的倾斜角直接切入，由位置特征，可以将问题转化为0MA MB k k +=； 思路2：从数量关系角度看，通过向量运算去获取，淡化几何特征，直接采取坐标运算，即证；思路3：从几何角度看，问题可以转化为运用角平分线定理，现坐标化，即证11AF y AM BFy BM==；思路4:从几何角度看，在坐标几何中，构造直角三角形相似来证． 思路5：从几何角度看，视为角平分线，用点到两边的距离进行代数化． 思路6：角平分线具有对称性，故可证明点A 关于x 轴的对称点在直线BM 上． 这么多的思路，如何代数化，要不要求坐标？程序化（算术化）：即设直线方程，遵循不断求出的思路进行运算，求出点A ，B 坐标，后再计算； 结构化（关系化）：即设直线方程，找出A ，B 坐标关系（这里的策略就是通常所说的“设而不求”， 再对要证的结构关系进行推演．事实上，程序化和结构化的代数思维没有特别的优劣，它都是代数思维的重要特征，它是一个不断螺旋上升的过程，只是大家目前都喜欢用结构化的思维，忽视程序化的思维，这是不对的，对结构化思维的形成与培养也不利．另外，即便用结构化思维进行推演，在设方程上也有此许的差别，如设l 的方程为(1)y k x =-或设x my t =+，还是有讲究的．【评析】解析法的过程，充满着概念与思辩，需要大家细细品味！绝不是机械模仿能达到的． 【建议】课堂中怎样将几何问题转化为代数问题？（1）要主动去理解几何对象的本质特征；（2）善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来；（3）恰当选择代数化的形式，这点是关键：一要研究具体的几何对象具有什么样的几何特征（如果几何特征不清楚，就不可能准确将其代数化），这就要在审题上下功夫；二是选择最简洁的代数形式（方便后续的代数研究），这需要大局观；（4）注意等价转化．（三）增强几何意识，配合解析工具，巧妙转化解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．【例14】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则PQ 的取值范围为．分析：问题归结——定直线上的动点与圆上一点距离问题；策略突破——首先要明确目标PQ 垂径定理，在等腰PCQ △与Rt PCB △中，PC 形，问题溯源，选定较为直观的几何变量AC ，构建PQ 式：2PQ PB PCA ==∠==围，计算求解，又3AC ≥，所以21109AC <≤，因此PQ 的取值范围为． 【建议】直线与圆的三种位置关系：相切，相交，相离．解决直线与圆的问题时，一方面，要运用解析几何的一般方法，即代数化方法，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系非常紧密，因此，准确地作出图形，挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．提高学生等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．【例15】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线2y x =交于A 、B 线OA 和OB 分别和圆22(2)4x y -+=交于D 、E 两点，若OABODES S λ∆∆=，则λ等于A ．12B ．13C ．14D ．15【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由2,(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得222(21)0k x k x k -++=，即121x x ⋅=．又11222,y x ⎪⎨=⎪⎩所以12120x x y y ⋅+⋅=，即OA OB ⊥．设直线OA ：1y k x =，直线OB ：2y k x =，则121k k ⋅=-．由21,y x y k x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得21111(,)A k k ，同理22211(,)B k k ．由221(2)4,x y y k x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得1221144(,)11k D k k ++，同理2222244(,)11k E k k ++． 所以OA =OB =OD =，OE ． x所以221122*********(1)(1)2(1)(1)12116161642OAB ODEk k OA OBS k k k k S OD OE ∆∆++++++====≥．【建议】1．解析几何研究的对象是几何图形，善用巧用几何图形的特征，把几何特征转化为代数表示，从而缩短思维链条，简化运算过程；2．在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决解析几何问题．其中，解三角形的画图用图，体现数形结合的思想；利用角或边的关系消角（边），体现了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想．（四）重视平面解析几何中代数方法的思维训练代数的思维特征，可以概括为程序化：即有点类似于解应用题的算术思维，遵循不断求出的计算，即便引进参数，也当成假设已知，参与运算；构造性的：即有点类似于解应用题的方程思维，注重寻找关系，“设而不求”，推演求解．复习教学中，要通过恰当的事例，训练学生的代数思维，这使得解析几何的代数方法不是一招一式的技巧，而是有着行动指南的思维模式.【例16】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，42p FM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =. （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=.由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=. 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB===点P到直线AB的距离为d=，所以，()3220011422PABS AB d x y=⋅==-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y-=-+-=---=-++，由已知可得53y-≤≤-，所以，当5y=-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=．【评析】运算繁杂是解析几何最突出的特点．首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点．运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能收到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．【例17】过抛物线24y x=的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为1A，1B两点，以线段1A1B为直径的圆C过点(2,3)-，则圆C的方程为A．22(1)(2)2x y++-=B．22(1)(1)5x y++-=C．22(1)(1)17x y+++=D．22(1)(2)26x y+++=分析一：问题归结——确定圆的方程的基本要素：过焦点的直线AB的方程及与抛物线的交点坐标()()1122,,,A x yB x y；策略突破——圆的两个关键量的代数形式：圆心和半径，确定参变量，引入关联变量——斜率的倒数t，可设直线AB：1x ty=+；；求解过程分析：联立方程组21,4,x tyy x=+⎧⎨=⎩消元得到2440y ty--=；由韦达定理得12124,4y y t y y+==-，则()1,2C t-，直径()()2221112161A B y y t=-=+；求半径()2212-3MC t=+，由22114A B MC=得方程()()()22161412-3t t+=+，则1=2t.回归圆：圆心(1,1)C-，半径的平方25MC=，答案选B．。
文科高考数学重难点04 解析几何(解析版)
重难点04 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1，0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：a c（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；a c e（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题一、单选题1．（2020·贵州贵阳一中高三月考（文））已知圆C ：(x +3)2+(y +4)2=4上一动点B ，则点B 到直线l :3x +4y +5=0的距离的最小值为（）A ．6B ．4C ．2D．【答案】C【分析】因为圆心到直线的距离，Cl 4d ==所以最小值为，422-=故选：C ．2．（2020·河南开封市·高三一模（文））已知双曲线的离心率与椭圆221(0)x y m m -=>的离心率互为倒数，则该双曲线的渐近线方程为（ ）2213x y m m +=A ．B ．C ．D．y =y x =y x =y =【答案】B【分析】双曲线的离心率为221(0)x y m m -=>e =在椭圆中，由于，则，所以焦点在轴上2213x y m m +=0m >30m m >>y 所以椭圆的离心率为2213x y m m +=e =解得：1=2m =所以双曲线的渐近线方程为：2212x y -=y x =±故选：B3．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知平行于轴的一条直线与双曲线x 相交于，两点，，（为坐标原()222210,0x y a b a b -=>>P Q 4PQ a=π3PQO ∠=O点），则该双曲线的离心率为（）．A BC D【答案】D【分析】如图，由题可知，是等边三角形，POQ △，，4PQ a =()2,P a ∴将点P 代入双曲线可得，可得，22224121a a a b -=224b a =离心率.∴c e a ===故选：D.4．（2020·河南周口市·高三月考（文））已知直线：与圆：l 340x y m -+=C 有公共点，则实数的取值范围为（ ）226430x y x y +-+-=m A ．B ．C ．D ．()3,37[]37,3-[]3,4[]4,4-【答案】B 【分析】因为圆的标准方程为，C ()()223216x y -++=所以，半径，()3,2C -4r =所以点到直线C :340l x y m -+=根据题意可知，解得.1745m+≤373m -≤≤故选：B5．（2020·全国福建省漳州市教师进修学校高三三模（文））已知直线:210l kx y k --+=与椭圆交于A 、B 两点，与圆交于C 、D22122:1(0)x y C a b a b +=>>222:(2)(1)1C x y -+-=两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）[2,1]k ∈--AC DB =1CA ．B ．C ．D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭【答案】C【分析】直线，即为，可得直线恒过定点，:210l kx y k --+=(2)10k x y -+-=(2,1)圆的圆心为，半径为1，且，为直径的端点，222:(2)(1)1C x y -+-=(2,1)C D 由，可得的中点为，AC DB =AB (2,1)设，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 则，，2211221x y a b +=2222221x y a b +=两式相减可得，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=由．，124x x +=122y y +=可得，由，即有，2122122y y b k x x a -==--21k -- (2)2112b a……则椭圆的离心率．(0c e a ==故选：C6．（2020·全国高三其他模拟（文））已知，为的两个顶点，点()1,0A ()3,0B ABC :C在抛物线上，且到焦点的距离为13，则的面积为（ ）24x y =ABC :A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】A【分析】解:因为点在抛物线上,设，C 24x y =()00,C x y 抛物线的准线方程为，24x y =1y =-根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.由，得，0113y +=012y =所以.()01131121222ABC S AB y =⨯⋅=⨯-⨯=△故选:A7．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知抛物线的焦点为，过的直线24x y =F F l 与抛物线相交于，两点，．若，则（ ）．A B 70,2P ⎛-⎫ ⎪⎝⎭PB AB ⊥AF =A ．B ．C ．D ．322523【答案】D【分析】由题意可知，，设，，()0,1F 211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，2227,42x PB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 222,14x BF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因为，且，，三点共线，则由可得，PB AB ⊥A B F 0AB PB ⋅= 0BF PB ⋅=所以，即，222222710424x x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭422226560x x+-=解得或（舍），所以.222x =2228x =-2x =设直线的方程为，与抛物线方程联立，AB 1y kx =+得，消去得，则，所以.214y kx x y =+⎧⎨=⎩y 2440x kx --=124x x =-1x =±则.21124x y ==所以.12213y F pA =+==+故选：D.8．（2020·四川高三一模（文））已知直线与双曲线：y kx =C ()222210,0x y a b a b -=>>相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（A B F C 3AF BF=OA b=为坐标原点），则双曲线的离心率为（）O C AB C ．2D【答案】B【分析】设是右焦点，则，，即，F 'BF AF '=3AF BF=3AF AF '=又，∴，，而，∴22AF AF AF a''-==AF a'=3AF a=,OA b OF c'==，OA AF '⊥由得，AOF AOF π'∠+∠=cos cos 0AOFAOF '∠+∠=∴，整理得．222902b c a b bc c +-+===ce a 故选：B ．9．（2020·河南新乡市·高三一模（文））已知双曲线的左、()2222:10,0x y C a b a b -=>>右焦点分别为、，过原点的右支于点，若1F 2F O C A ，则双曲线的离心率为（ ）1223F AF π∠=AB 1C D【答案】D 【分析】推导出，可计算出，利用余弦定理求得112F OA F AF :::1F A =2AF =，进而可得出该双曲线的离心率为，即可得解.1212F F e AF AF =-【详解】题可知，，，123F OA π∠=121AF O F AF ∠=∠ 112F OA F AF ∠=∠112F OA F AF ∴:△△，所以，可得.11112F O F AF A F F =1F A =在中，由余弦定理可得，12F AF :22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅即，解得.2220AF c +=2AF=双曲线的离心率为.1212F F e AF AF ===-故选：D.【点睛】10．（2020·全国高三专题练习（文））已知圆，则在轴和轴上22:(2)2C x y ++=x y 的截距相等且与圆相切的直线有几条（ ）C A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【分析】若直线不过原点，其斜率为，设其方程为，1-y x m =-+则，解得或，d 0m =4-当时，直线过原点；0m =若过原点，把代入，()0,0()2200242++=>即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条，故选：C ．二、解答题11．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知椭圆的离心率()2222:10x y C a b a b +=>>，且直线与圆相切．1x ya b +=222x y +=（1）求椭圆的方程；C（2）设直线与椭圆相交于不同的两点﹐，为线段的中点，为坐标原l C A B M AB O 点，射线与椭圆相交于点，且，求的面积．OM C P OP OM=ABO :【答案】（1）；（2．22163x y +=【分析】（1，∴（为半焦距）．c a=c∵直线与圆．1x ya b +=222x y +==又∵，∴，．222c b a +=26a =23b =∴椭圆的方程为．C 22163x y +=（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，l 设直线的方程为．l (x nn =<<∵，∴．OP OM==225n =∴．ABOS ==△（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，l ():0l y kx m m =+≠，．()11,A x y ()22,B x y 由，消去，得．22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222214260k x kmx m +++-=∴，即．()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>22630k m -+>∴，．122421kmx x k +=-+21222621m x x k -=+∴线段的中点．AB 222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭当时，∵，∴．0k =OP OM==215m =∴．ABOS =△当时，射线所在的直线方程为．0k ≠OM 12y x k =-由，消去，得，．2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2221221P k x k =+22321Py k =+∴M POMy OPy ===∴．经检验满足成立．22521m k =+0∆>设点到直线的距离为，则．O ld d =∴212ABOS x =-===△综上，．ABO :12．（2020·云南高三其他模拟（文））已知椭圆的左右焦点分2222:1(0)x y C a b a b +=>>别为，离心率为，椭圆上的点到点的距离之和等于4.12,F F 12C 31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭12,F F （1）求椭圆的标准方程；C（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足()2,1P l C A B 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.2PA PB PM ⋅= l 【答案】（1）；（2）存在直线满足条件，其方程为.22143x y +=l 12y x =【分析】解：（1）由题意得，所以.2221224c a a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的标准方程为.C 22143x y +=（2）若存在满足条件的直线，则直线的斜率存在，设其方程为.l l (2)1y k x =-+代入椭圆的方程得.C 222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=设，两点的坐标分别为，，A B ()11,x y ()22,x y 所以.所以，222[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>12k >-且，.1228(21)34k k x x k -+=+21221616834k k x x k --=+因为，即，2PA PB PM ⋅= 12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=所以.2212(2)(2)(1)54x x k PM --+==即.[]2121252()4(1)4x x x x k -+++=所以，222222161688(21)44524(1)3434344k k k k k k k k k ⎡⎤---+-⋅++==⎢⎥+++⎣⎦解得.12k =±又因为，所以.12k >-12k =所以存在直线满足条件，其方程为.l 12y x =13．（2020·广西北海市·高三一模（文））已知抛物线的准线为2:2(0)C x py p =>，焦点为F .1y =-（1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，求的最小值.||||AP BQ ⋅【答案】（1）；（2）2.24x y =【分析】（1）因为抛物线的准线为，12py =-=-解得，2p =所以抛物线的方程为.24x y =（2）由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，由（1）得，则直线l 的方程为.(0,1)F 1y kx =+设，，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭由消去y ，得，214y kx x y =+⎧⎨=⎩2440x kx --=所以，.124x x k +=124x x =-因为抛物线C 也是函数的图象，且，214y x =12y x '=所以直线PA 的方程为.()2111142x y x x x -=-令，解得，所以，0y =112x x =11,02P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭从而||AP =同理得||BQ =所以，||||AP BQ ⋅==，=，==当时，取得最小值2.0k =||||AP BQ ⋅14．（2020·广东东莞市·高三其他模拟（文））在平面直角坐标系中，已知两定点xOy，，动点满足.()2,2A -()0,2B P PAPB=（1）求动点的轨迹的方程；P C （2）轨迹上有两点，，它们关于直线：对称，且满足C E F l 40kx y +-=，求的面积.4OE OF ⋅=OEF ∆【答案】（1）动点的轨迹是圆，其方程为（2）P ()()22228x y -+-=【分析】（1）设动点的坐标为，则.P (),xyPAPB==整理得，故动点的轨迹是圆，且方程为.()()22228x y -+-=P ()()22228x y -+-=（2）由（1）知动点的轨迹是圆心为，半径的圆，圆上两点，关P ()2,2C R =E F 于直线对称，由垂径定理可得圆心在直线：上，代入并求得l ()2,2l 40kx y +-=1k =，故直线的方程为.l 40x y +-=易知垂直于直线，且.OC l OC R=设的中点为，则EF M ()()OE OF OM ME OM MF⋅=+⋅+()()OM ME OM ME=+⋅- ，又，.224OM ME =-= 22222OM OC CM R CM =+=+ 222ME R CM =-∴，，∴，.224CM = CM =ME==2FE ME == 易知，故到的距离等于，∴OC FE :O FE CM 12OEF S ∆=⨯=15．（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆xOy 的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭22221(0)x y a b a b +=>>3(2Q A B 圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.P PA y C PB x D （1）求椭圆的标准方程（2）若，求线段的长20OB OC +=PA （3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由ABCD 【答案】（1）；（2；（3）是定值，6.22194x y +=【分析】（1）解：由题意得，解得.26a =3a =把点的坐标代入椭圆C 的方程，得Q 22221x y a b +=229314ab +=由于，解得3a =2b =所以所求的椭圆的标准方程为.22194x y +=（2）解：因为，则得，即，20OB OC += 1(0,1)2OC OB =-=(0,1)C 又因为，所以直线的方程为.(3,0)A -AP 1(3)3y x =+由解得(舍去)或，即得221(3)3194y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩30x y =-⎧⎨=⎩27152415x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2724,1515P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以||AP ==即线段AP （3）由题意知，直线的斜率存在，可设直线.PB 2:23PB y kx k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭令，得，0y =2,0D k ⎛⎫⎪⎝⎭由得，解得(舍去)或222194y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2249360k x kx +-=0x =23649kx k =+所以，即2218849k y k -=+22236188,4949k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭于是直线的方程为，即AP 22218849(3)36314k k y x k k -+=⨯+++2(32)(3)3(32)k y x k -=++令，得，即，0x =2(32)32k y k -=+2(32)0,32k C k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭所以四边形的面积等于ABDC 1||||2AD BC ⨯⨯122(32)13212326232232k k k k k k k -+⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即四边形的面积为定值.ABDC 16．（2020·江西南昌市·南昌二中高三其他模拟（文））已知抛物线的()220y px p =->焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，F x ()2,M m -52MF =l A 两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.B A B M MA MB 1k 2k （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标.122k k +=-l 【答案】（Ⅰ）；22y x =-（Ⅱ）见解析.（Ⅰ）由抛物线的定义可以，5(2)22p MF =--=,抛物线的方程为.1p ∴=22y x =-（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点的坐标为M (2,2)-当直线斜率不存在时，此时重合，舍去. l ,A B 当直线斜率存在时，设直线的方程为l l y kx b=+设，将直线与抛物线联立得：()()1122,,,A x y B x y l 2222(22)02y kx bk x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩212122222,kb b x x x x k k --+==①又，12121222222y y k k x x --+=+=-++即，()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-，()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=将①代入得，222(1)0b b k b ---+=即(1)(22)0b b k +--=得或1b =-22b k =+当时，直线为，此时直线恒过;1b =-l 1y kx =-(0,1)-当时，直线为，此时直线恒过（舍去）22b k =+l 22(2)2y kx k k x =++=++(2,2)-所以直线恒过定点.l (0,1)-。
二次函数解析几何--存在性问题
二次函数解析几何专题——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
一、方法总结解存在性问题的一般步骤： （1）假设点存在；（2）将点的坐标设为参数；（3）根据已知条件建立关于参数的方程或函数。
二、常用公式（1）两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB|=221221)()(y y x x -+- （2）中点坐标公式：1212,22x x y y x y ++== （3）斜率公式：①2121y y k x x -=-；②tan k θ=（θ为直线与x 轴正方向的夹角）（4）①对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2 ②如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.题型一面积问题例1．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．变式练习：1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．2.（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B .（1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.例2：如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A （1，0），B （0，2），抛物线y=21x 2+bx-2的图象过C 点． （1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？x CO yA B D1 1 图2变式练习：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 关于直线x=1对称，与坐标轴交与A ，B ，C 三点，且AB=4，点D （2，23）在抛物线上，直线l 是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O 是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值；例3：将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点 B (–3，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；y xCBOA变式练习：如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；能力提升：1.（2013菏泽）如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形． （1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？2．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．3.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．题型二：构造直角三角形例2．（2010四川乐山）如图所示，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若tan ∠OAC=2． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使∠APC=90°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；变式练习： 1.函数218y x =的图象如图所示，过y 轴上一点()02M ，的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．（1）当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由；y D B MA COx3.（2010山东聊城）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求此时点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =1上的一动点，求使∠PCB ＝90º的点P 的坐标．4.（2012广州）如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1E5.（2013白银）如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标； （3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．6.（2013山西）如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2013济宁）如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB 与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．8.（2013 绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。
18第一部分 板块二 专题五 解析几何 第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)
解 假设存在常数 λ 使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|成立，则 λ＝|A1B|＋|C1D|. 由题意知，l1，l2的斜率存在且均不为零， 设l1的方程为y＝kx＋1， 则由yx＝2＝k4xy＋，1， 消去 y 得 x2－4kx－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A，B(均与P不重合)，直线PA，PB分别 交抛物线的准线l于点M，N.试判断以MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.
解 以MN为直径的圆一定过点F，理由如下： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设直线AB的方程为x＝my＋1(m∈R)，代入抛物线C：y2＝4x， 化简整理得y2－4my－4＝0， 则yy11＋y2＝y2＝－44m，，
例 1 (2019·济南模拟)已知抛物线 C1：y2＝2px(p>0)与椭圆 C2：x42＋y32＝1 有一个相同的
焦点，过点A(2,0)且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对 称点为M. (1)求抛物线C1的方程；
解 由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为(1,0)， 所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
例3 (2019·济南模拟)设M是抛物线E：x2＝2py(p>0)上的一点，抛物线E在点M处 的切线方程为y＝x－1. (1)求E的方程；
解 方法一 由xy2＝＝x2－py1，， 消 y 得 x2－2px＋2p＝0.
由题意得Δ＝4p2－8p＝0，
因为p>0，所以p＝2.
故抛物线E：x2＝4y.
方法二 设 Mx0，2xp20 ，
由(1)知P(4,4)， 所以直线 PA 的方程为 y－4＝xy11－－44(x－4)＝myy1－1－43(x－4)， 令 x＝－1 得 y＝4mm－y15－y31＋8，即 M－1，4mm－y15－y31＋8，
恒成立与存在性问题的解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B.9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:✍在给定区间上某关系恒成立;✍某函数的定义域为全体实数R;✍某不等式的解为一切实数;✍某表达式的值恒大于a 等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
圆锥曲线综合问题—5. 存在性问题
圆锥曲线综合问题—5. 存在性问题（一）存在性问题是近几年高考试题对解析几何考查的一种热点题型，以判断满足条件的点、直线、参数是否存在，证明直线与圆锥曲线的位置关系，数量关系(等量或不等量)为主要呈现方式，多以解答题的形式考查；对这类问题，若存在，需要找出来，若不存在，需说明理由，其解法有：一、假设法 假设法的一般解法是，先假定存在，然后根据已知条件或其他定理、公理、法则等推导下去，如与已知定理、公理、法则等不发生矛盾，即推出的结果合理，并经验证成立，那么结论成立，若发生矛盾，则结论不成立。
1.（2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为， 且过点31(,)22A .（1）求椭圆的方程；（2）已知:1l y kx =-，是否存在k 使得点A 关于l 的对称点B （不同于点A ）在椭圆C 上？若存在求出此时直线l 的方程，若不存在说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）不存在k 满足条件2. 【2015届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试数学（理）】已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）(-∞，-7]∪[7，+∞)3. （河北省容城中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知点A (-2,0),B (2,0),直线P A 与直线PB 的斜率之积为34-，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)设M ,N 是曲线C 上任意两点,且OM ON OM ON -=+，问是否存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠(2) 存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆，其方程为22127x y +=4. 【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】如图，椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ，使得123+=.k k k λ若存在求λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）2λ=5. 【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】（本小题满分12分） 已知椭圆长轴的左右端点分别为A ，B ，短轴的上端点为M ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB uur ＝1，｜OF uu u r｜＝1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）存在，方程为43y x =-6. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】（本题满分12分）已知定点(3,0)G -，S 是圆22:(3)72C x y -+=（C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E .设点E 的轨迹为M . (1),求M 的方程； (2)是否存在斜率为1的直线l ，使得直线l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）221189x y +=（2）y x y x =+=-7. 直线1ax y -= 与曲线2221x y -=相交于P 、Q 两点。
恒成立和存在性问题的解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f mi n mi n ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m i n m a x≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f m a x m i n≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ⊂B.9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;❍某表达式的值恒大于a 等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
解析几何常规问题解决方法
圆锥曲线中的最值和范围问题【考点透视】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
【热点透析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于：①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式 0。
【重点突破】【点晴1】为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等．【点晴2】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化折为直，是一种简便而有效的好方法。
【点晴3】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得．．注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
【点晴4】当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。
圆锥曲线中的定点、定值与最值问题【知识、方法要点归纳】1．圆锥曲线有关定点、定值、最值问题等综合性问题，它涉及到圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系，同时又与三角函数、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系，解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性．2．研究变量的最值问题时，一般先建立目标函数，再转化为函数或不等式问题求解，或运用“数形结合”、“几何法”求解．3．解析几何定值包括几何量的定值或曲线系(直线系)过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明，对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．【小结】1．对圆锥曲线中定值的计算，一般利用相关公式或方程思想求解，如果求值对象有相关公式计算(如距离、斜率、面积等)，并且公式中所需数据可由已知或相关参变量表示，则套用公式求解，或将求值对象看成一个未知数，根据已知条件建立方程或方程组，再解方程求未知数的值．2．对圆锥曲线中定点的确立，通常求相应曲线系(或直线系)方程，利用方程思想或曲线系(直线系)特征确定点或由特殊值确定一定点，再进行一般性证明．3．圆锥曲线中最值问题的解法常用方法有几何法、函数法或不等式法，其中几何法是根据图形几何性质求解的方法；函数法是指将所求变量表示成某个相关变量的函数，再求函数的最值；不等式法是根据曲线性质及条件建立一个关于所求变量的不等式，再解不等式，求其最值的方法．圆锥曲线中对称问题在圆锥曲线的综合问题中，我们经常遇到“圆锥曲线上存在两点关于某直线对称”的问题，而对此类问题，不少同学总是束手无策、望而生畏，找不到正确的解决方法，在此我们给出解决这类问题的一般策略：即牢记“用判别式找不等关系，用中点垂直找等量关系”这两句话，便能轻轻松松使问题迎刃而解，用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解析几何中的探究型存在性问题
PA (x1 2, y1)， PB (x2 2, y2) ，
总结：求解探究型存在性问题的方法主要有以下两种： 1．先猜后证法． 2．假设验证法．
第二问只能用“先假设再证明”
先假设再验证
(ky1 1)(ky2 1) y1 y2
(k 2 1) y1 y2 k ( y1 y2 ) 1
3(k 2 1) k2 3
2k 2 k2 3
1
0.
因此，存在符合条件的点 M，其坐标为 M(1，0)．
典型例题
例 x 轴上是否存在异于点 P(2，0)定点 M，使得以 椭圆 E：x2＋3y2＝4 的任意一条过点 M 的弦 AB 为直径 的圆都过点 P？若存在，求出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 x＝ky＋1．与椭圆方程联立，消 去 x，整理得(k2＋3)y2＋2ky－3＝0．根据韦达定理，有 y1＋y2＝－k22＋k 3，y1y2＝－ k2＋3 3．因为
所以
PA (x1 2, y1) ， PB (x2 2, y2) ，
PA PB (x1 2)(x2 2) y1 y2
解析几何中的探究型存在性问题
合肥一六八中学 谈世勇
典型例题
例 x 轴上是否存在异于点 P(2，0)定点 M，使得以 椭圆 E：x2＋3y2＝4 的任意一条过点 M 的弦 AB 为直径 的圆都过点 P？若存在，求出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由．
解法一(先猜后证法) 当且仅当 PA⊥PB 时，AB 为直径的圆点 P．当弦 AB 垂 直于 x 轴时，由椭圆的对称性可知 kPA＝1，直线 PA 的方程为 y＝x－2．与椭圆方 程联立，消去 y，解得 x＝1．以下只需要验证 M(1这样的点 M．设 M(m，0)(m≠2)，A(x1，y1)，B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 x＝ky＋m．与椭圆方程联立，消去 x，整理得(k2＋3)y2＋2kmy ＋m2－4＝0．根据韦达定理，有 y1＋y2＝－k22＋km3，y1y2＝mk22＋－34．因为
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【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】探究圆锥曲线中的存在性问题1．求曲线（或轨迹）的方程。
对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值（或极值）和取值范围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题，探究型的存在性问题。
这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。
一、是否存在这样的常数例1．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx ++=．整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得k <k >．即k 的取值范围为222⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12x x +=． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =，，．.将②③代入上式，解得2k =．由（Ⅰ）知k <或k >，故没有符合题意的常数k ． 练习1：（08陕西卷20）．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=，直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x k x x x x =-=++-.222214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，，，，把2y kx =+代入22y x =得 2220x kx --=．由韦达定理得121212kx x x x +==-，．∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．22y x =，4y x '∴=，∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44kk ⨯=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．由（Ⅰ）知22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则 22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤⎡⎤=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=，21016k --<，23304k ∴-+=，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．练习2.直线1ax y -= 与曲线2221x y -=相交于P 、Q 两点。
当 a为何值时，PQ =是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
解：（1）联立方程22221(12)43021ax y a x ax x y ì-=ïï-+-=íï-=ïî得， 222P ,Q ,1201612(12)0a a a ìï-?ïíïD =+->ïî又知直线与曲线相交于两点可得，即a a <?， 设P 、Q 两点的坐标为112212122243(,),(,),2121a P x y Q x y x x x a a +==--则x ，所以PQ == 化简得222(12)(12)20,1a a a ----==?解得即为所求。
假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ，121212122221212222.1,0,(1)(1)0,3(1)4(1)()10,1021122,,.OP OQ k k x x y y x x ax ax a a a x x a x x a aa a a =-+=+--=++-++=++=--=-纹则也就是整理得故有解得即不存在实数 二、是否存在这样的点例2.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l（I ）求a ，b 的值；（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。
解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。
解：（Ⅰ）设(),0,c F 当l 的斜率为1时，其方程为O c y x ,0=--到l 的距离为2200c c=-- ，故222=c ， 1=c ，由 33==a c e ，得 3=a ，22c ab -==2 （Ⅱ）C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立。
由 （Ⅰ）知椭圆C 的方程为22x +23y =6. 设).,(),,(2211y x B y x A(ⅰ) )1(-=x k y l x l 的方程为轴时，设不垂直当假设C 上存在点P ，且有OP OA OB =+成立，则）点的坐标为（2121,y y x x P ++，6)(3)(2221221=+++y y x x ，整理得 6643232212122222121=+++++y y x x y x y x632,63222222121=+=+y x y x C B A 上，即在、又故 03322121=++y y x x ①将 并化简得代入,632)1(22=+-=y x x k y0636)32(2222=-+-+k x k x k ②于是 2221326k k x x +=+, 21x x =223263k k +-, 2221221324)2)(1(kk x x k y y +-=--= ， 代入①解得，22=k ，此时2321=+x x 于是)2(2121-+=+x x k y y =2k -， 即)2,23(kP - 因此， 当2-=k 时，)22,23(P ， 022=-+y x l 的方程为； 当2=k 时，)22,23(-P ， 022=--y x l 的方程为。
（ⅱ）当l 垂直于x 轴时，由)0,2(=+OB OA 知，C 上不存在点P 使OB OA OP +=成立。
综上，C 上存在点)22,23(±P 使OB OA OP +=成立，此时l 的方程为022=-±y x . 例3.（2009福建卷）（本小题满分14分）已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点。
（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ∆的面积为15？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由（I ）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴==故椭圆C 的方程为2214x y +=（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而1016(,)33kM 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)16164k x k x k +++-=0 设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2122814k x k -=+，从而12414k y k =+ 即222284(,),1414k k S k k-++ 又(2,0)B ，由1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101(,)33N k ∴-故161||33k MN k =+又16180,||333k k MN k >∴=+≥= ，当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立 14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN 取最小值时，14k =此时BS的方程为6420,(,),||555x y s BS +-=∴=要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ∆的面积等于15，只须T 到直线BS，所以T 在平行于BS 且与BS距离等于4的直线l 上。