椭圆周长和面积计算公式

圆环体
R－环体半径
D－环体直径
r－环体截面半径
d－环体截面直径
V＝2π2Rr2
＝π2Dd2/4
桶状体
D－桶腹直径
d－桶底直径
h－桶高
V＝πh(2D2＋d2)/12
(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15
(母线是抛物线形)
1.几何体的表面积体积计算公式
圆柱体:
表面积:2πRr+2πRh体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)
菱形
a－边长
α－夹角
D－长对角线长
d－短对角线长
S＝Dd/2
＝a2sinα
梯形
a和b－上、下底长
h－高
m－中位线长
S＝(a+b)h/2
＝mh
圆
r－半径
d－直径
C＝πd＝2πr
S＝πr2
＝πd2/4
扇形
r—扇形半径
a—圆心角度数
C＝2r＋2πr×(a/360)
S＝πr2×(a/360)
弓形
l－弧长
b－弦长
（三）
笔者认为任何科学研究的方法都基于：1、发现特殊现象；2、提出假设或猜想；3、利用假设或猜想做出结论；4、对结论进行检验。《椭圆定理》就是基于这四点写出的短文。笔者认为论文不在长短，而在其价值。当今的椭圆理论是不完整的（比如只有近似的椭圆周长计算公式，缺少标准的椭圆周长计算公式），那么“椭圆理论”的依据还需要靠发现来完善。任何科学的原始依据从哪里来？从发现来。对特殊现象的发现加以总结，通过检验就可以成为理论；理论升华就是科学，科学也是理论依据的源泉。
圆锥体:
表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根]体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高,
2平面图形
名称符号周长C和面积S
正方形a—边长C＝4a S＝a2
长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab
三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中
s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)
S＝π(R2-r2)
＝π(D2-d2)/4
椭圆
D－长轴
d－短轴
S＝πDd/4
立方图形
名称
符号
面积S和体积V
正方体
a－边长
S＝6a2
V＝a3
长方体
a－长
b－宽
c－高
S＝2(ab+ac+bc)
V＝abc
棱柱
S－底面积
h－高
V＝Sh
棱锥
S－底面积
h－高
V＝Sh/3
棱台
S1和S2－上、下底面积
h－高
V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3
（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。如：上式中πa2为π乘a的二次方。）
椭圆面积猜想：S=πa2T（6）
T是猜想的椭圆面积率。将（5）等式与（6）等式合并，得：
0<πa2T<πa2（7）
根据不等式基本性质，将不等式（7）同除πa2，则有：0<T<1。可得：
S=πa2T=πa2(K+f)（8）
一、椭圆周长、面积计算公式
根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。
椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
椭圆面积公式：S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
h－高
V＝πr2h/3
圆台
r－上底半径
R－下底半径
h－高
V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3
球
r－半径
d－直径
V＝4/3πr3＝πd2/6
球缺
h－球缺高
r－球半径
a－球缺底半径
V＝πh(3a2+h2)/6
＝πh2(3r-h)/3
a2＝h(2r-h)
球台
r1和r2－球台上、下底半径
h－高
V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6
T是猜想的椭圆周率。将（1）等式与（2）等式合并，得：
4a<(2πa-4a)T<2πa（3）
根据不等式基本性质，将不等式（3）同除(2πa-4a)，有：
4a/(2πa-4a) <T<2πa /(2πa-4a)（4）
简化表达式（4）：
2/(π-2)<T<π/(π-2)
定义：K1=2/(π-2)；K2=π/(π-2)
任一部分椭圆面积
椭圆周长
（一）椭圆周长计算公式
椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式
椭圆面积公式：S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
拟柱体
S1－上底面积
S2－下底面积
S0－中截面积
h－高
V＝h(S1+S2+4S0)/6
圆柱
r－底半径
h－高
C—底面周长
S底—底面积
S侧—侧面积
S表—表面积
C＝2πr
S底＝πr2
S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底
V＝S底h
＝πr2h
空心圆柱
R－外圆半径
r－内圆半径
h－高
V＝πh(R2-r2)
直圆锥
r－底半径
在等式（8）中K=0，f=b/a，代入等式中：
S=πa2b/a=πab
椭圆面积计算公式：S=πab
关于《椭圆定理》中的T=k1+f问题
易亚苏
《椭圆定理》一文中有：“定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。定义3：T=K1+f，T为椭圆周率”。有聪明的网友提出“定义：T=k1+f没有依据”，现就此问题作出如下分析说明。
（一）
在《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中，有“T是猜想的椭圆周率”，并“定义：T=K1+f”（《椭圆定理》中也有此定义，见上）。《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中还有表达式:Hale Waihona Puke Baidu/(π-2)<T<π/(π-2)。
定义：K1=2/(π-2)；K2=π/(π-2)。这样定义理当无可非议。
K1+f<K2的数学关系正是椭圆周长计算时存在的数学关系。
定义：T=K1+f，将此等式代入等式（2）则有：
L=(2πa-4a)T=2(π-2)a(K1+f)
=2(π-2)a(2/(π-2)+b/a)=2πb+4(a-b)
椭圆周长计算公式：L=2πb+4(a-b)
（三）椭圆面积公式推导
椭圆面积的取值范围：0<S<πa2（5）
那么，K1<T<K2，因为k2=k1＋1，也可以说T是k1到k1+1之间的数，数学表达式为：k1<T<k1+1。对于具体椭圆而言k1<T<k1+f，f为椭圆向心率，f=b/a，0<f<1。（a>b>0）（参见《椭圆定理》）。因为0<f<1，所以k1<T<k1+1与T=K1+f有同样的代数内含。所谓“同样的代数内含”是思维数学。
在《椭圆定理》短文中有“后附《椭圆的奥秘》椭圆周长、面积验算公式表”，可惜网上尚未能表示出“验算公式表”，相信您用Excel可以很容易作出“验算公式表”，并可以对椭圆周长计算公式L=2πb+4(a-b)进行序列的直观检验。椭圆周长计算公式L=2πb+4(a-b)中虽然没有出现椭圆周率T，但这个公式是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。
（四）
椭圆周长无疑在4a<L<2πa范围变化，并与f=b/a值存在某种对应的关系，其核心就是T=k1+f。椭圆里的B（B＝b/a椭圆单位）从0到1的平滑变化，必然导致其椭圆周长的平滑变化。椭圆是平滑的闭合曲线，其周长与f=b/a的变化有着必然的对应变化数学关系。所以笔者在《椭圆定理》中要定义f为椭圆向心率，f=b/a，（a>b>0）。如果引用椭圆单位，则4<L<2π（椭圆单位）。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。
近似L=√(4abπ^2+15(a-b)^2)(1+MN) ( M=4/√15-1、N=((a-b)/a)^9 )近似L=πQ(1+3h/(10+√(4-3h))(1+MN) ( Q=a+b、H=((a-b)/(a+b))^2、M=22/7π-1、M=((a-b)/a)^33.697、)
h－a边上的高
s－周长的一半
A,B,C－内角
其中s＝(a+b+c)/2
S＝ah/2
＝ab/2·sinC
＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
＝a2sinBsinC/(2sinA)
四边形
d,D－对角线长
α－对角线夹角
S＝dD/2·sinα
平行四边形
a,b－边长
h－a边的高
α－两边夹角
S＝ah
＝absinα
h－矢高
r－半径
α－圆心角的度数
S＝r2/2·(πα/180-sinα)
＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2
＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2
＝r(l-b)/2 + bh/2
≈2bh/3
圆环
R－外圆半径
r－内圆半径
D－外圆直径
d－内圆直径
标准L＝Qπ(1+h^2/4+h^4/4^3+h^6/4^4+5^2*h^8/4^7+7^2*h^10/4^8…) (h＝(a-b)/(a+b)，Q＝a+b，)
几何图形及计算公式查询
平面图形
名称
符号
周长C和面积S
正方形
a—边长
C＝4a
S＝a2
长方形
a和b－边长
C＝2(a+b)
S＝ab
三角形
a,b,c－三边长
计算K1、K2的值会发现K1、K2是两个非常奇特的数：
K1＝1.75193839388411…… K2＝2.75193839388411……
椭圆第二常数：K2=K1+1
椭圆常数的发现过程描述简单，得来却要复杂得多。
（二）椭圆周长公式推导
长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆，却忽视了椭圆a与b的关系。定义：椭圆向心率为f，f=b/a。根据椭圆第一定义，椭圆向心率f，有0<f<1的范围。
K1＝1.75193839388411……
K2＝2.75193839388411……
这两个奇特的数里包含了π，π是圆周率，f=b/a是0到1之间的小数，那么对于椭圆来说T=k1+f是一个也包含了π的特定数，所以定义T为“椭圆周率”。椭圆周率与圆周率不同，圆周率是固定的值π，椭圆周率是变化的值T=k1+f，它随椭圆b与a的比值变化而变化。从某种意义上说圆是椭圆的范围，由于椭圆定义了a>b>0，所以只能称“圆是椭圆的范围”，而不能称圆是特殊的椭圆。但是在研究椭圆时以椭圆a为半径的圆起到了很好的参考，所以笔者在《椭圆定理》中对圆和椭圆这两种几何图形，只能发出“圆完美的和谐，椭圆和谐的完美”这样的感叹。
注：椭圆单位的概念很重要，切记并体会其内含！在《椭圆定理》短文中首次提出了“椭圆单位”的概念，“定义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位”。
其实T=k1+f的定义既是从椭圆中的代数内含关系推理而来，也是基于“椭圆单位”的思考而来。
（二）
研究椭圆时笔者发现了K1、K2两个非常奇特的数：
（五）
当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一，现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值，这也是科学的遗憾之一，所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。笔者认为一个公式的对与错，既有意义也没有意义，因为科学是发展的，科学是循序渐进的过程。科学探索的过程是寂寞而愉快的，但我们要认识到今天的正确不代表明天的正确，如果没有这样的观念，科学也就难于进步。10的负50次方对古人而言除了代表0没有其他的意义，然而10的负50次方对现代人而言可以代表0，也可以不代表0。随着科学技术的提高，10的负N次方的意义也在发生变化。宇宙之浩大，用椭圆周长的近似公式去研究宇宙，今天不出问题，明天必定要出大问题。人类对宇宙的认识从神话到科学、从主观到客观是不以个人的意志为转移的，科学发展到今天，我们更要具有科学发展观。
由椭圆定义，a>b>0,因为f=b/a,即0<f<1。当b接近0时，椭圆接近双直线，其长度近似于4a；当b接近a时，椭圆接近圆，其周长近似于2πa。当b在0与a之间变化时，形状为椭圆，其周长为L=2πb+4(a-b)。以下作简要分析，如果把椭圆的a作为椭圆单位，那么f=B(椭圆单位)，B＝b/a（椭圆单位），其中0<B<1，也即0<f<1。T=k1+f，k1<T<k1+1或k1<T<k2，即是2/(π-2)<T<π/(π-2)。
二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程
（一）发现椭圆常数
常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。
椭圆的周长取值范围：4a<L<2πa（1）
椭圆周长猜想：L=(2πa-4a)T（2）