[考研]华南理工大学：概率论习题
15华工概率论与数理统计第五、六章作业答案
概率论第五章答案 5.1 解：因 E[ X + Y ] = E[ X ] + E[Y ] = 0
故 P ( X + Y ≥ 6) = P ( X + Y − E[ X + Y ] ≥ 6) ≤
Var[ X + Y ] 36
而 Var[ X + Y ] = Var[ X ] + Var[Y ] + 2 cov( X , Y )
∑
9
因
* 8S 9
2
σ
2
~ χ 2 (8)
X 10 − X 10 σ 3( X 10 − X ) 3 所以 T = 服从 t (8) 分布 . = *2 *2 S9 10 8S 9
σ2
8
X 6.7 解：由题意知 2 = i ~ χ 2 (4) . σ i =6 σ Z3
∑
σ
Z1
因 {X n } 是独立同分布的随机变量序列，且
2 2 Var[ X n ] = E[ X n ] − (E[ X n ]) ⇒ E[ X n ] = 10 2
故 {Yn }是独立同分布的随机变量序列，且
E[Yn ] = E[ X 32n−2 + X 3n−1 X 3n ] = E[ X 32n−2 ] + E[ X 3n−1 ]E[ X 3n ]
E[ X i ] = 0 ，Var[ X i ] = 0.0075 .
因 P (48 ≤ Y60 ≤ 52) = P 48 ≤ 50 +
60
∑X
i =1
i
≤ 52
= P (−2 ≤
∑X
概率论与数理统计答案(华南理工)
开讨论
例 对容量为n的样本，求下列密度函数中参数 a 的
2 2 (a x), (0 x a) f ( x) a 其它 0, a 2 a 解 由于 E [ X ] x 2 ( a x )dx 0 a 3 a 所以由矩法估计，得 X 3 3 n 解得 a 3 X X i n i 1 3 n 所以，参数 a 的矩估计量为 a X i n i 1
方差
1 50 ˆ X Xi 50 i 1 50 1 2 2 2 ˆ 2 S50 Xi ( X ) 50 i 1
此时，ˆ ,
ˆ
2
为两个统计量
根据大数定理，样本的矩和总体的矩应当非常接近 假若样本有观测值x1，x2，……x50,代入统计量中，有
用样本的统计量来估计分布的数字特征，进而得到参
数估计的办法也叫数字特征法，是矩法的特例。
思考一下，是否有其他求解的办法？ 考虑泊松分布的二阶中心矩 得到矩法估计量
Var[ X ]
1 n ( X i X )2 n i 1
可见：同一个参数的矩估计量可以不同。 使用哪个更好一些？ 矩法估计总能用低阶矩就不用高阶矩 之后会系统地介绍估计量优劣的评价，届时再展
解：设装袋的重量为随机变量X，即总体为X~N(μ, σ2)。
E[ X ] 2 2 2 Var [ X ] E [ X ] ( E [ X ])
此时，要估计参数，就转化为估计随机变量的矩 观测50次，即取X1，X2，……X50个样本，样本容量50 计算样本 的期望和
若总体的密度函数中有多个参数1，2，…，n，则将 ln L 第（3）步改为 0, (i 1, 2, , n) i 解方程组即可。
华南理工大学2007~2010年概率论A卷(含答案)
2007《概率论与数理统计》试卷A 卷注：标准正态分布的分布函数值Φ（2.33）=0.9901；Φ（2.48）=0.9934；Φ（1.67）=0.9525一、 选择题（每题3分，共18分）1.设A 、B 均为非零概率事件，且A ⊂B 成立，则 （ ）A. P(A ⋃B)=P(A)+P(B)B. P(AB)=P(A)P(B)C. P(A ︱B)=)()(B P A P D. P(A-B)=P(A)-P(B) 2. 掷三枚均匀硬币，若A={两个正面，一个反面}，则有P(A)= ( )A.1/2B.1/4C.3/8D.1/8 3. 对于任意两个随机变量ξ和η，若E(ξη)=E ξE η,则有 （ ）A. D(ξη)=D ξD ηB. D(ξ+η)=D ξ+D ηC. ξ和η独立D. ξ和η不独立4. 设P(x)=⎩⎨⎧∉∈],0[,0],0[,sin 2ππA x A x x 。
若P(x)是某随机变量的密度函数，则常数A= （ ）A.1/2B.1/3C.1D.3/25. 若ξ1，ξ2，…，ξ6相互独立，分布都服从N(u, 2σ),则Z=∑=-6122)(1i iu ξσ的密度函数最可能是 （ ）A. f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,00,1612/2z z e z z B. f(z)=+∞<<-∞z e z ,12112/2π C. f(z)=+∞<<-∞-z e z,12112/2πD. f(z)= ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0,00,1612/2z z e z z6.设（ξ，η）服从二维正态分布，则下列说法中错误的是 （ ） A.（ξ，η）的边际分布仍然是正态分布B.由（ξ，η）的边际分布可完全确定（ξ，η）的联合分布C. （ξ，η）为二维连续性随机变量D. ξ与η相互独立的充要条件为ξ与η的相关系数为0二、填空题（每空3分，共27分）1. 设随机变量X 服从普阿松分布，且P(X=3)=234-e ，则EX= 。
华工概率论2010-1答案
二、解：设 A={从事某职业的可疑病人}，B=｛患有肺癌｝
2分 4分 8分
P( A) = 0.45 ， P (A ) = 0.55 ， P(B A) = 0.9 ， P B A = 0.05
（1） P (B ) = P ( A)P B A + P A P B A = 0.4325 （2） P A B =
n n
5分
n
∑ ξ i ， Eη = ∑ Eξ i = 0 ， Dη = ∑ Dξ i =
i =1 i =1 i =1
n 3
7分
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎛ 3⎪ 3⎞ 3⎞ ⎪ η ⎟ − Φ⎜ − 10 ⎟ ≥ 0.99 P{η < 10} = P ⎨ < 10 ⎬ ≈ Φ⎜ 10 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n n n n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎩ ⎭
1.5
{ξ
< y} = 0 ，
d Fη (y ) = 0 ， 3 分 dy
当 y > 0 时， Fη (y ) = P{ η < y} = P
{ξ
< y} = P(- y < ξ < y )
7分
y⎞ ⎛ξ y⎞ ⎛ξ ⎛y⎞ ⎛ y⎞ = P(ξ < y ) - P(ξ < -y) = P⎜ < ⎟ - P⎜ < - ⎟ = Φ⎜ ⎟ - Φ⎜ - ⎟ σ⎠ ⎝σ σ ⎠ ⎝σ ⎝σ ⎠ ⎝ σ ⎠
P (D1 ) = 0.05 ， P(D2 ) = 0.10 ， P(D3 ) = 0.25
5分
Ei =｛表示第二种工艺下的第 i 道工序生产的废品｝ ，i=1，2
P (E1 ) = P (E 2 ) = 0.10
[考研]华南理工大学：概率论习题
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概率论例题例1.设某班车起点站上车人数X 服从参数为 （＞0）的泊松分布，并且中途不再有人上车。
而车上每位乘客在中途下车的概率为p （0 p 1）,且中途下车与否相互独立，以 Y 表示在中途下车的人数。
试求（1） （ X,Y ）的联合概率分布律；（2）求Y 的分布律（列）。
ke 解：X 可能的取值是 0, 1, 2,…..,k ,…，n , ... P{X=k}= —k!Y 可能的取值是0, 1, 2,…，r ,…，kP{x =k, y = r }=P{x=k}P{y=r/x=k}=当 r>k 时，P{x=k, y=r}=0,Y 的边缘分布2例2.设服从N （ 0, 1 ）,求 的分布密度。
解因为只取非负值，所以当 y 0时，F （y ） P （ y ） P （ 2y ） 0r=0,1,2,…,kP{Y= r }= P{xk 0k, y r} = P{x k}P{ y r /xk 0kk}=k" Ckrprqkr=e (P)r1 k(k 1) rk!=e ( p)「+r! kr(k r)!(rq)kr =e (p)r Z rqP)r e r!rpr = 0, 1,2,验证Y 的分布律P{ y r} = 1 ?r 0F (y) P( y) P( 2y) P( 55)U1 du du .u所以血混合在一起进行检验 ，如果这混合血液呈阴性反应 ，就说明k 个人的血都呈阴性反应，这样，k 个人的血就只需验一次•若呈阳性，则再对这k 个人的血液分别进行化验 •这样，k 个人的血总共要化验是 k 1次•假设每个人化验呈阳性的概率为P ，且这些人的试验反应是相互独立的•试说明当p 较小时，选取适当的k ，按第二种方法可以减少化验的次数 .并说明k 取什么值时最适宜.设以k个人为一组时，组内每人化验的次数为 X ，则X 是一个随机变量，其分布律为P(X ]) q k, P(Xkkk 1)k1 q .X 的数学期望为E(X) 1 k k q(1 7)(1 q k) kk1 q1 k .N 个人平均需化验的次数为kN(1 q k1、).由此可知，k只要选择 k 使 1 q k辛1则N 个人平均需化验的次数N .当 p 固定时，我们选取k 使得L 1 q k -小于1且取k到最小值，这时就能得到最好的分组方法1例如，p 0.1,则q 0.9,当k 4时，L 1 q k—取到最小值.此时得到最好的分t 2(t)dty 1e 2dtyJdt例3. 行・(i) F (y)21 .2 e,udU ，1y 12 22e y(y)在一个人数很多的团体中普查某种疾病将每个人的血分别去验，这就需验N 次.(ii)按k 个人一组进行分组，把从k 个人抽来的 ，为此要抽验N 个人的血，可以用两种方法进解各人的血呈阴性反应的概率为q k率为q ，k 个人的混合血呈阳性反应的概率为1 p .因而k 个人的混合血呈阴性反应的概k1- q .k 组方法.若N 1000,此时以k 4分组,则按第二方案平均只需化验1000(1 0.94-) 594(次).4这样平均来说，可以减少40%的工作量.例4.按规定，某车站每天8: 00-9: 00, 9: 00-10 : 00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立.其规律为一旅客& 20到车站，求他候车时间的数学期望.解设旅客的候车时间为X (以分计).X的分布律为在上表中，例如1 3P{X 70} P(AB) P(A)P(B) ,6 6其中A为事件“第一班车在& 10到站”，B为“第二班车在9：30到站”.候车时间的数学期望为3 2 1 3 2E(X) 10 +30 + 50 + 70 + 90 =27.22 (分).6 6 36 36 36例5.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.记使用寿命为X (以年计)，规定：X <1 , 一台付款1500元；1 X < 2 ,一台付款2000元；2 X <3,一台付款2500元；X 3，一台付款3000元.设寿命X服从指数分布，概率密度为0 , x<0试求该商店对上述家电收费(Y兀)的数学期望. 解先求出寿命X落在各个时间区间的概率，即有1 1P{X <1} — e x/10dx。
15华工概率论与数理统计答案
④ 当 x ≥ 3 时， FX ( x) = ∑ pi = P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3)
ai ≤ x
=1
x < 1, 0, 0.2, 1 ≤ x < 2, 所以 X 的分布函数为 FX ( x) = . x 0 . 5 , 2 3 , ≤ < x ≥ 3. 1,
则 X 的分布列为：
X P
0
1 5 21
2 4 21 1 7
3
4 2 21
5
2 7
1 21
2.2 解： X 的可能取值为 1，2，3，4，5；
且
p ( X = 1) =
3 4
3 3 3 p ( X = 2) = (1 − ). = 4 4 16 3 3 3 p ( X = 4) = (1 − ) 3 . = 4 4 256 3 3 3 p ( X = 3) = (1 − ) 2 . = 4 4 64
故 Z 的分布列为
Z
5
6 0.3
14 0.4
P 0.3
1 , 0 ≤ x ≤ 2, 2.21 解: 因 f X ( x) = 2 其它. 0,
且 ① 当 y < 1时， P (Y ≤ y= ) P ( X 2 + 1 ≤ y= ) 0 ② 当1 ≤ y < 5 时， P (Y ≤= y ) P( X 2 + 1 ≤ y )
故 V4 ~ B (4,0.1)
∫
0.2
0
1 dx = 0.1 2
2 2 从而 P (V4 = 2) = (0.1) (1 − 0.1) = 0.0486 .
4 2
华理概率论习题答案(精品).doc
华东理工大学概率论与数理统计作业簿(第五册)学院______________ 专业_______________ 班级 ________________学号____________ 姓名_____________ 任课教师 ____________第十九次作业一.填空题：1.在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位:mm)如下：1.23, 1.24, 1.26, 1.29, 1.20, 1.32, 1.23, 1.23, 1.29, 1.28 用矩估计法得到这批垫圈的数学期望“的估计值//=_x = l .257 —,标准差cr的估计值$= s”_[ = 0.037_。
二.计算题：1.设总体X服从泊松分布P(2), (X】，X»…,X”)为样本，分别用矩估计法和极大似然法求参数2的估计量/。
解：矩估计法，因为X ~ P(2),所以总体平均值EX = 2 ,一 1 n_ 1 n而样本平均值x所以2 = x=-yx,；n ,=i n ,=i极大似然法，设(X],X2,…,X”)的一组观测值为(“2,…,X”)，似然函数L(2) = FT P(x = X,.) = FT —取对数，得In 厶(2) = -nA. + (x; In 2 - In x;!),i=l令气◎_” + ]£廿0,解得：i = l£x.=-；da2幺n幺故＜9的极大似然估计量为：i = x o^)=fl/(x,) = ^flx,^ i=l i=l2. 设总体歹服从几何分布P(X =x) = p(l-pY-1 (x = l,2,…),(X”X2,…,X”)为 X 的样本。
(1) 求未知参数p 的矩法估计；(2)求未知参数p 的极大似然估计。
解： ⑴由于g 〜Ge(p),因此砖=丄，由矩法原则可知E^ = X,故p-X. PX(2) 设样本(X 1,X 2,---,X n )的一组观测值为01，勺,…,x”),由于总体为离散型, 因此似然函数 L(p) = Y[P(X i =x .) = p n (l-p^X!~n ,Z = 1取对数，得In L(p) = nlnp + (工二%, -njln(l-p),上式两端关于p 求导，令di"厶(卩)=工+工日兀—”=0, dp p 1-p 解上式，得丄+ ― p =~^ O p 1- p X3. 设总体总体X 的密度函数为/Xx) JP + D 汽其中<9>-1是0, 其他未知参数，(X],X2,…，X”)是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求 9的估计量。
概率论与数理统计习题解答 华南理工大学出版社
第一章
1-7 已知10个电子管中有7个正品和3个次品，每次任意抽
取1个来测试，测试后不再放回去，直至把3个次品都找到为 止，求需要测试7次的概率。
解
p
C31P62 P74 P170
1 8
1-10 房间中有4个人，试问没有2个人的生日在同一个月
份的概率是多少?
解
p
P142 12 4
1-13 将3个球放置到4个盒子中去，求下列事件的概率:（1）
P( AC BC ) P( AC) P(BC ) P( ABC) P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P(C)[P( A) P(B) P( A)P(B)] P(C)P( A B) A B与C相互独立。
7、解：(1)
A={点数之和为偶数} B={点数之和等于8}
rA 18 B {(2,6) , (6,2) , (3,5) ，(5,3) ，(4,4)} P(B A) P( AB) P(B) 5 / 36 5
P( A) P( A) 18 / 36 18
8、解：设Ai={第i人破译出密码} i=1,2,3
100
100
0.9524
P(C) P(A1)P(A2)P(A3) 0.95243 0.8639
22、解： Ai={产品来自第i箱}
B={产品是合格品} C={产品经检验为合格品}
3
(1) P(B) P(B Ai )P( Ai ) i 1 20 1 12 1 17 1 20 5 3 12 4 3 17 5 3 0.775
P(C) P(C B)P(B) P(C B )P(B )
华南理工大学概率论-04-05含答案
所求真值μ的0.95的置信区间为[1816.23, 1833.77]（单位：℃）-------10分
解答与评分标准
一．1．（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）
二．1．0.85、2.n=5、3. =29、4. 0.94、5. 3/4
(1) 4个球全在一个盒子里;
(2)恰有一个盒子有2个球.
四．(本题10分)设随机变量ξ的分布密度为
(1)求常数A; (2)求P(ξ<1)；(3)求ξ的数学期望.
五．(本题10分)设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是
η＝1
η=2
η＝4
η＝5
ξ＝0
0.05
0.12
0.15
0.07
ξ＝1
0.03
0.10
概率论试题（2004-2005学年第一学期）（含答案）
一．单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设事件A和B的概率为 则 可能为（）
(A) 0; (B) 1; (C) 0.6;(D) 1/6
2.从1、2、3、4、5这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（）
(A) ; (B) ;(C) ;(D)以上都不对
3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（）
(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对
4．某一随机变量的分布函数为 ，则F(0)的值为（）
(A) 0.1; (B) 0.5;(C) 0.25; (D)以上都不对
5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（）
华南理工大学概率论
第九章9-1 ①提出假设010:32.05H μμ==.②找统计量.()~0,1X u N =.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得0.025 1.96u =;对给定的0.01α=,查表 得0.005 2.575u =.④求观察值.31.13, 2.05X u ==-.⑤作出判断.当0.05α=时, 2.05 1.96u =>,所以拒绝0H ;当0.01α=时, u2.05 2.275=<,所以接受0H .9-2 ①提出假设00:5H μμ==.②找统计量.()~0,1X u N =.③求临界值.对给定的0.01α=,查表得0.005 2.575u =. ④求观察值. 5.32, 3.2X u ==.⑤作出判断.当0.01α=时, 3.2 2.275u =>,所以拒绝0H . 9-3 (1)①提出假设00:50H μμ==.②找统计量.()~0,1X u N =.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得0.025 1.96u =. ④求观察值. 2.25u =.⑤作出判断.当0.05α=时, 2.25 1.96u =>,所以拒绝0H . (2)①提出假设00:50H μμ==. ②找统计量.()~1X t t n =-.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()0.0258 2.31t =. ④求观察值.48.5, 2.5, 1.8X S t ===-.⑤作出判断.当0.05α=时, 1.8 2.31t =<,所以接受0H .9-4 ①提出假设00: 2.7H μμ==.②找统计量.()~1X t t n =-.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()0.02529 2.04t =. ④求观察值.°0.18,301 2.05/29n S S t n ==-⨯. ⑤作出判断.当0.05α=时, 2.04t <,所以接受0H . 9-5 ①提出假设00:H μμ=.②找统计量.()~0,1X u N =.③求临界值.对给定的0.01α=,查表得0.005 2.575u =. ④求观察值. 1.5u =.⑤作出判断.当0.01α=, 1.5 2.575u =<,所以拒绝0H . 9-6 (1)①提出假设00:100H μμ==.②找统计量.()~0,1X u N =.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得0.025 1.96u =. ④求观察值.99.9,0.25X u ==.⑤作出判断.当0.05α=时,0.25 1.96u =<,所以接受0H .(2)①提出假设22200: 1.2H σσ==.②找统计量. ()92222101()~ii Xn χμχσ==-∑.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()()220.0250.975919.0,9 2.7χχ==.④求观察值. 28.2χ=.⑤作出判断. 当0.05α=时,22.719.0χ<<,所以接受0H .9-7 ①提出假设2200:0.04H σσ==.②找统计量. ()2222101()~1nii XX n χχσ==--∑.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得()()220.0250.9751426.1,14 5.63χχ==. ④求观察值. 21.84χ=.⑤作出判断. 当0.05α=时,25.63χ<,所以拒绝0H ,有显著差异. 9-8 ①提出假设00:9H σσ==.②找统计量. ()2222101()~1nii XX n χχσ==--∑.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得()()220.0250.975919.0,9χχ==2.7.④求观察值. 2221162.9,(62.9)9nii X Xχ===-∑.⑤作出判断. 当0.05α=时, 22.719χ<<,所以接受0H ,即可认为溶化时间 的标准差为9.9-9 (1)①提出假设00:500H μμ==.②找统计量. ()~0,1X u N =.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得0.025 1.96u =. ④求观察值. 501.3,0.82X u ==.⑤作出判断. 当0.05α=时, 0.82 1.96u =<,所以接受0H ,即包装机工作 正常.(2)①提出假设00: 2.7H μμ==.②找统计量. ()~1X t t n =-.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得()0.0259 2.26t =. ④求观察值. 2501.3,31.57,0.73X S t ===. ⑤作出判断. 当0.05α=时, 2.26t <,所以接受0H .9-10 (1)①提出假设2200:25H σσ==.②找统计量. ()2222101()~ni i X X n χχσ==-∑. ③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()()220.0250.9751020.5,10 3.25χχ==.④求观察值. 212χ=.⑤作出判断. 当0.05α=时, 23.2520.5χ<<,所以接受0H . (2)①提出假设00:5H σσ==. ②找统计量. ()2222101()~1nii XX n χχσ==--∑.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得()()220.0250.975919.0,9χχ==2.7. ④求观察值. 22501.3,31.57,11.37X S χ===. ⑤作出判断. 当0.05α=时, 22.719χ<<,所以接受0H .9-11 ①提出假设02:0H μμ-=.②找统计量.()~0,1X Y u N μμ---=.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得0.025 1.96u =. ④求观察值. u =. ⑤作出判断. 当0.05α=时, 1.96u >,所以拒绝0H .9-12 (1)①提出假设21022:1H σσ=.②找统计量. ()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()()0.0250.9755,57.15,5,50.14F F ==④求观察值. 222112221139.33,269,0.14655S S S F S =⨯=⨯==.⑤作出判断. 当0.05α=时, 0.147.15F <<,所以接受0H . (2)①提出假设012:0H μμ-=. ②找统计量.()12~2X Y t t n n μμ---=+-.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得()0.02510 2.23t =. ④求观察值. 0.14067,0.13883,0.57X Y t ===. ⑤作出判断. 当0.05α=时,0.57 2.23t =<,所以接受0H .9-13 (1)①提出假设21022:1H σσ=.②找统计量. ()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑.③求临界值.对给定的0.01α=,查表得()()0.0050.9958,9 6.69,8,9F F ==17.34. ④求观察值. 2221122264,226,0.28S S S F S ====.⑤作出判断.当0.01α=时,16.697.34F <<,所以接受0H . (2)①提出假设02:0H μμ-=.②找统计量.()12~2X Y t t n n μμ---=+-.③求临界值. 对给定的0.01α=,查表得()0.00517 2.9t =. ④求观察值. 533,562,X Y t ===.⑤作出判断. 当0.01α=时, 2.9t >,所以拒绝0H .9-14 ①提出假设012:0H μμ-=.②找统计量.()12~2X Y t t n n ---=+-.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得()0.02511 2.20t =. ④求观察值. 17.681,17.630,X Y t ===⑤作出判断. 当0.05α=时, 2.2t <,所以接受0H .9-15 (1)①提出假设21022:1H σσ=.②找统计量. ()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑.③求临界值.对给定的0.10α=,查表得()()0.050.9518,5 4.82,8,5 3.69F F ==. ④求观察值. 22211222113.69,19.2,0.1285S S S F S =⨯=⨯==.⑤作出判断. 当0.10α=时,13.69F <,所以拒绝0H . (2)①提出假设21022:1H σσ=.②找统计量. ()1221111222121()~,1()n i i n i i X n F F n n Y n μμ==-=-∑∑. ③求临界值.对给定的0.10α=,查表得()()0.050.9519,6 4.06,9,6 3.37F F == ④求观察值. 0.128F =. ⑤作出判断.当0.10α=时,13.37F <,所以拒绝0H . 9-16 ①提出假设02:0H μμ-=.②找统计量.()12~2X Y t t n n μμ---=+-.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()0.02513 2.16t =. ④求观察值. t =.⑤作出判断. 当0.05α=时, 2.16t <,所以接受0H .9-17 ①提出假设21022:1H σσ=.②找统计量. ()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑. ③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()()0.0250.97516,751.2,6,7 5.7F F ==. ④求观察值. 222112220.1048,0.0272, 3.85S S S F S ====.⑤作出判断.当0.10α=时,15.125.7F <<,所以接受0H . 9-18 根据题目要求,考虑假设检验()()()()0010:,:H F x F x H F x F x =≠.其中0F 服从泊松分布,其分布律为{}() 0,1,2,!kP X k e k k λλ-===Lλ的极大似然估计为样本均值X ,其观察值为()106544940.61200X =++++= 则统计量为()25210.7853i i i in np np χ=-==∑其中200n =,i p 是按0.61λ=的泊松分布律计算出的X 的取值为0,1,2,3,4 这五种情况的概率.查表得()220.0549.49χχ=>,故接受0H .9-19 根据题目要求,考虑假设检验()()00:H F x F x =,其中0F 服从等概率分布,其 分布律为{}()11,2,,66P X k e k λ-===L由观测数据得120,20i n np ==,则统计量为()()26211936102525 4.820i i i in np np χ=-==+++++=∑其中120n =.查表得()220.05511.1χχ=>,故接受0H .。
华理概率论习题13测试卷
）.
1 X i | } 1 ( >0) ; n i 1
（D） α=0.01
n
（B）
1 n
n
i 1
Xi
~ N ( 0 ,1) ;
（C）
1 n X i 为 E 的无偏估计; n i 1
1 n ( X i X ) 2 为 D 的无偏估计 n 1 i 1
华东理工大学
概率论与数理统计 作业簿（第十三册）
学 学 院 号 ____________专 ____________姓 业 名 ____________班 级 ____________ ____________任课教师____________
测试卷 1
一.假设进入某超市行窃的小偷被监控发现的概率是 0.8, 被保安发现的概率是 0.2, 被监控和保安同时发现的概率是 0.12. 求小偷在该超市行窃而没有被发现 的概率?
（
D 1
）
i! e
i 0
k
i
B
k
k!
e
C
i! e
i k
iห้องสมุดไป่ตู้
k
k!
e
8. 关于线性回归,下述选项错误的是 ( ) A 线性回归的前提是误差项满足:正态性,独立性和方差齐性 B 总离差平方和 = 回归平方和+残差平方和 C 当回归分析中 F 检验的 p 值小于给定的显著性水平时,说明变元的线性关系 显著 D 当回归分析中 F 检验的 p 值小于给定的显著性水平时,说明变元的线性相关 关系不显著
的密度函数为________________________; P{ X Y } _______ . 3. 设( X1 , X 2 ,..., X n )为取自正态总体N (,22 )的样本，要使得总体期望置信水平 90%的 置信区间的长度不超过 0.5, 则样本容量n至少为 _____ 。 4. 独立重复进行n次试验,设事件A每次发生的概率均为p, 在n次试验中事件A发
华南理工大学概率论试卷4(含答案)
.
( B ) 2 F ( 2004 ) 1 ；
( D) 2[1 F ( 2004 )] .
2.
设二维随机变量 ( X , Y ) 服从 G 上的均匀分布， G 的区域由曲线 y x 2 与 y x 所围， .
1 96.04 4
故
n > [ 96.4 ]+1 = 97 人 .
x| 1 2 | x e dx 2 2 ， 2
5. 解：
E( X 2 )
矩估计量 极大似然估计量 6．解：
1 n 2 Xi ； 2n i 1
1 n | Xi | . n i 1
五. 证明题 （6 分） 设 A , B , C 是不能同时发生但两两独立的随机事件，且 P ( A ) P ( B ) P (C ) ， 证明 可取的最大值为 1/2. [ 附 正态分布、 t 分布、 2 分布数值表 ]
(1 .285 ) 0 .9, (1 .645 ) 0 .95 , (1 .96 ) 0 .975 , ( 2 .33 ) 0 .99
t 0.025 (5) 2.5706, t 0.025 (6) 2.4469, t 0.05 (5) 2.0150, t 0.05 (6) 1.9432
2 2 2 2 0.05 (5) 11.071, 0.05 (6) 12.592, 0.025 (5) 12.833, 0.025 (6) 14.449
解法二 设事件 B {两个中至少有一个是新球}， A {两个都是新球}，则 A B ，
华理概率论习题6答案
华东理工大学概率论与数理统讣作业簿(第六册)学院 _______________ 专业 _______________班级________________学号 _______________ 姓名 _______________任课教师____________第十六次作业计算题：1 一批产品的不合格率为0.02,现从中任取40只进行检查，若发现两只或两 只以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法拒收的概率：(1)用二项 分别作精确计算；(2)用泊松分布作近似计算。
解:设不合格得产品数为(1) >2) = 1-P(g = 0)-P(g = 1) = 1 -(O.98)40-4(0.02)(0.98)39 «0.1905.⑵利用二项分布列的泊松定理近似，得2 = ^,=40x0.02 = 0.8,> 2)«1 -严-0.W "1912.2作加法时，对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互 独立的，都服从(-0.5,0.5)上的均匀分布。
现在有1200个数相加，问取整误差总 和的绝对值超过12的概率是多少？解 设各个加数的取整误差为$ (心1,2,…,1200 )。
因为§〜(,=12・・・,1200)。
设取整误差的总和为帀=土刍，因为77=1200数值很大，由定理知，这时近. — 0.5 + 0.5 t/(-0.5,0.5),所以 p = E& = --------------------------- = 0(0.5 + 0.5)2 12 1 12似有〃 =£勺〜r-1 其中，/?// = 1200x0 = 0 ,na 2 = 1200x 丄= 100 o 12所以，取整误差总和的绝对值超过12的概率为卩{| 〃| > 12 } = 1 — P{-12<;/<12}^1-①(12工\ _ ①(二］二《)ylna 2 yjna-2=1-①(皇2)_①(二二。
华南理工大学概率论和数理统计课后答案
第一章1-1（1）Ω={1,2,3,4,5,6}；（2）Ω={（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4）（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5）}；（3）Ω={3,4,5,6,7,8,9,10}；（4）用数字1代表正品，数字0代表次品，则Ω={（0,0），（1,0,0），（0,1,0），（1,1,0,0），（0,1,1,0），（1,0,1,0），（1,1,1,0），（1,1,0,1），（1,0,1,1），（1,1,1,1）}.1-2 （1）A为随机事件；B为不可能事件；C为随机事件；D为必然事件；（2）、（3）、（4）、（5）均为随机事件.1-3 （1）A；（2）ABC；（3）A B C；（4）ABC；（5） .ABC ABC ABC1-4 （1）ABC；（2）ABC ABC ABC；（3）ABC；（4）或；（5）ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABCABC A B CABC；（6）A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC或或ABC.1-5 （1）买的是1985年以后出版的英文版物理书；（2）在“书店所有物理书都是1985年以后出版的且是英文版”这一条件下，ABC A=.1-6 （1）、（4）、（5）、（6）、（7）正确，其余均不正确.1-7 若需要测试7次，即前6次恰好取出2个次品，还有一个次品在第7次取出，故有246C C A次.而在10个中取出7个共有710A种取法.376设 A ={测试7次}，故2463767101()8C C A P A A == 1-8 设 A ={能开门}，从6把钥匙中任取2把共有 26C 种取法，故2611()15P A C == . 1-9 设 A ={拨号不超过3次就能接通电话}，则191981()0.3101091098P A =+⨯+⨯⨯= 设 B ={若记得最后一位是奇数时，拨号不超过3次就能接通电话}，则141431()0.6554543P B =+⨯+⨯⨯= 1-10 设 A ={恰有2人的生日在同一个月份}，则21114121110455()12144C C C C P A == .1-11 将五个数字有放回地抽取，出现的结果有 35125= 种. 三个数字不同的取法有335360C A = 种，故 60()0.48125P A == ； 三个数字不含1或5，即每次只能在2、3、4中进行抽取，共有3327=种取法，故 27()0.216125P A == ； 三个数字5出现两次，即有 213412C C = 种取法，故12()0.096125P C == .1-12 设 A ={指定的3本书恰好放在一起}，10本书的排列方法共有10！种，而指定的3本书的排列方法有3！种，剩下的7本书与指定的3本书这一整体的排列有8！种，故3!8!1()10!15P A == 1-13 （1）21134339()416C C C P A ==；（2）341()416P B == . 1-14 从10个人中任选3个人共有310C 种方法.（1）设 A ={最小号码是5}，当最小号码是5时，在 610 之间还有地两个号码，即有 25C 种方法，故253101()12C P A C ==（2）设 B ={最大号码是5}，当最大号码是5时，在14 之间还有两个号码，即有 24C 种方法，故243101()20C P B C ==1-15 （1）112211661()9C C P A C C == ；（2）1111244211664()9C C C C P B C C +== . 1-16 （1） 22261()15C P A C == ；（2）1124268()15C C P A C == .1-17 （1）设 A ={样品中有一套优质品、一套次品}，则11844210056()825C C P A C ==； （2）设 B ={样品中有一套等级品、一套次品}，则1112421008()825C C P B C == ；（3）设 C ={退货}，则2112496412210076()825C C C C P C C ++==； （4）设D ={该批货被接受}，则2118484122100749()825C C C PD C +==； （5）设E ={样品中有一套优质品}，则1184162100224()825C C P E C ==. 1-18 (1)设 A ={恰有5张黑体,4张红心,3张方块,1张梅花},则5431131313131352()C C C C P A C = (2)设 B ={恰有大牌A,K,Q,J 各一张而其余为小牌},则111194444361352()C C C C C P B C = 1-19 设A ={至少有两张牌的花色相同},则 3112113441134354()0.562C C C C C P A C +==第二章2-1 （1）()()()()0.50.40.10.8;P A B P A P B P AB =+-=+-=（2）()0.1(|)0.25;()0.4P AB P A B P B === （3）()0.1(|)0.2;()0.5P AB P B A P A === （4）()()()0.50.12(|)0.66671()10.43()P AB P A P AB P A B P B P B --====≈--2-2 因为A B 、是独立事件，所以有()()(),()()(),()()()P AB P A P B P AB P A P B P AB P A P B ===（1）()()()(|)0.3;()()P AB P A P B P A B P B P B === （2）()1()1()()10.70.40.72;P A B P A B P A P B =-=-=-⨯=（3）()()()(|)0.4;()()P AB P A P B P B A P A P A === （4）()()()(|)0.7()()P AB P A P B P A B P B P B === 2-3 因为AB A A B ⊆⊆ ，所以()()()P AB P A P A B ≤≤又因为()()()()P A B P A P B P AB =+- ，所以()()()()()P AB P A P A B P A P B ≤≤≤+当A B ⊂时，第一个不等式中的等号成立； 当B A ⊂时，第二个不等式中的等号成立； 当AB =∅时，第三个不等式中的等号成立. 2-4 证明 (())()()()(P A B C P A CB CP A CP B C PA CBC ==+- (()())()()P A P B P C P A B P C=+- (()()())(P A P B P A B P C =+- ()()P A B P C= ()()()()()()P ABC P A P B P C P AB P C ==(())()()()()P A B C P ABC P A P B P C -==()()()()P A B P C P A B P C ==- 所以，A B A B AB - 、、分别与C 独立2-5 设A ={射手击中目标}，1A ={第一次击中目标}，2A ={第二次击中目标}，3A ={第三次击中目标}.有题意可知，0.6100k=，即60k =； 1112233()()()(|)()(|)()(|)P A P A P A P A A P A P A A P A P A A =+++6060600.60.40.410.832150150200⎛⎫=+⨯+⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 2-6 设1A ={投掷两颗骰子的点数之和为偶数}，设2A ={投掷两颗骰子的点数之和为奇数}，1B ={点数和为8}，2B ={点数和为6}（1）1166111111113333111665()5(|)()18C C P A B P B A C C C C P A C C ===+；（2）11662222111133332116662()12(|)()18C C P A B P B A C C C C P A C C ⨯===+；（3）116622222116662()12(|)21()21C C P A B P A B P B C C ⨯=== 2-7 设A ={此密码能被他们译出}，则141421()0.6553534P A =+⨯+⨯⨯= 2-8 1110101101()1(|),1()10C C P AB P B A P A C === 1110101110101()1(|)6()6C C P AB P A B P B C C === 2-9 设A ={第一次取得的全是黄球}，B ={第二次取出黄球、白球各一半}，则5552010155103025()0.1,(|)C C C P A P B A C C ===所以 5551015201052530()()(|)C C C P A B P A P B A C C ==2-10 设1A ={第一次取得的是黄球}，2A ={第二次取得的是黄球}，3A ={第三次取得的是白球}，则1111213121112(),(|),(|)b b ca ab a bc a b cC C C P A P A A P A A A C C C ++++++===所以 12312131()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A= 1111112b b c a a b a b c a bcC C CC C C ++++++=2b b c aa b a b c a b c+=+++++2-11 设A ={这批货获得通过}，B ={样本中恰有一台次品}，A ={这批空调设备退货}；D ={第一次抽的是合格品}，E ={第二次抽的是合格品}（1）67661474()()(|);70691610P A P D P E D ==⨯= （2）673367134()()(|)()(|);706970691610P B P D P E D P D P E D =+=⨯+⨯=（3）136()1()1610P A P A =-=2-12 设A ={选出的产品是次品}，1B ={产品是由 厂生产}，B ={选出的产品是正品}（1）118241300042();3000C P A C +== （2）11811182418(|);42C P B A C +==（3）117821117821761782(|)2958C P B B C +==2-13 设A ={检验为次品}，B ={实际为正品}（1）()5%90%95%1%0.0545P A =⨯+⨯=； （2）()(|)95%1%(|)0.1743()0.0545P B P A B P B A P A ⨯===2-14 设A ={这位学生选修了会计}，B ={这位学生是女生} （1）()()(|)0.66%0.036P AB P B P A B ==⨯=；（2）()()(|)0.490%0.36P AB P B P A B ==⨯=； （3）((())()()P A P A B B P AB P AB =+=+）()(|)()(|)P B P A B P B P AB =+ 0.66%0.410%0.=⨯+⨯= 2-15 设A ={此人被诊断为患肺癌}，B ={此人确实患肺癌}（1）()98%3%(|)0.7519;()98%3%97%1%P AB P B A P A ⨯===⨯+⨯（2）()(|)3%2%(|)0.0001;2%3%97%99%()P B P A B P B A P A ⨯===⨯+⨯ （3）对于被检查者，若被查出患肺癌，可不必过于紧张，还有约25%的可能没有患肺癌，可积极准备再做一次检查.对地区医疗防病结构而言，若检查结果是未患肺癌，则被检查者基本上是没有患肺癌的. 2-16 设A ={收到信息为0}，B ={发送信息为0}，则有(0.7(10.02)0.30.010.689P A =⨯-+⨯=）(0.7(10.02)0.686P AB =⨯-=）所以 (0.686686(|()0.689689P AB P B A P A ==））=2-17 设1A ={这批计算机是畅销品}，2A ={这批计算机销路一般}，3A ={这批计算机是滞销品}，B ={试销期内能卖出200台以上}.根据题意有123()0.5,()0.3,()0.2P A P A P A === 123(|)0.9,(|)0.5,(|)0.3P B A P B A P B A ===（1）1111112233()((|(|)()((|((|((|P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++）））））））） 0.50.90.726;0.50.90.30.50.20.1⨯==⨯+⨯+⨯ （2）22()0.15(|)0.242;()0.62P A B P A B P B === （3）33()0.02(|)0.032;()0.62P A B P A B P B === （4）33(|)1(|)10.0320.968P A B P A B =-=-=2-18 设A ={硬币抛掷出现正面}，i B ={硬币是第i 个硬币} （i =1,2,3,4,5），B ={抛掷又出现字面}（1）125()()()()P A P AB P AB P AB =+++112255()(|)()(|)()(|)P B P A B P B P A B P B P A B =+++ 11111311101;545254552=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）11()(|)0()P AB P B A P A ==， 2211()145(|)1()102P AB P B A P A ⨯===， 3311()125(|)1()52P AB P B A P A ⨯=== ， 4431()345(|)1()102P AB P B A P A ⨯===，551()25(|)1()52P AB P B A P A === ；（3）1111332()0010.75104521045P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2-19 设1A ={一人击中}，2A ={两人击中}，3A ={三人击中}，B ={飞机被击落}.根据题意有1()0.40.5(10.7)0.60.50.30.60.50.70.36,P A =⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯= 2()0.40.5(10.7)0.40.50.370.60.50.70.41,P A =⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯= 3()0.40.50.70.14,P A =⨯⨯=123(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A ===所以 112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++ 0.360.20.410.60.141=⨯+⨯+⨯= 2-20 设A ={这批元件能出厂}，则495()(4%0.0596%0.99)0.050.999999P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+ ⎪⎝⎭4940.050.999898⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭0.8639= 2-21 （1）设A ={这批产品经检验为合格品}，则1205124175()0.960.060.960.060.960.063252516162222P A ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭0.757= （2）设B ={产品真是合格品}，则12012170.960.960.96()3251622(|)0.982()0.757P AB P B A P A ⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭===第三章3-1 根据题意可知{}()1x a x aP X x F x a x b b ax b ≤⎧⎪-⎪<==<≤⎨-⎪>⎪⎩当当当3-2 根据题意可知00()1012x f x x ≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩当 当所以 001(){}1211x F x P X x x x x ≤⎧⎪⎪=<=<≤⎨⎪>⎪⎩当当0当3-3 根据题意可知011126(){}223313x x F x P X x x x ≤-⎧⎪⎪-<≤⎪=<=⎨⎪<≤⎪⎪>⎩当当当当3-4 设X ={取到的次品的个数}.（1）取出后放回：1144115516{0}25C C P X C C === ，1111144111558{1}25C C C C P X C C +=== 111111551{2}25C C P X C C === 因此，取得的次品数的分布列为X 0 1 2P 1625 825 125（2）取出后不放回：114311543{0}5C C P X C C ===， 1111144111542{1}5C C C C P X C C +===因此取得的次品数的分布列为 X 0 1P 35 253-5 当X k =时，说明前1k -次失败，第k 次成功，因而1{}(1)k P X k p p -==- (1,2,)k = 3-6 （1）放回袋中的情况：512161{0}243C P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 111111422225111116666610{1}243C C C C C P X C C C C C C === ，111112442225111116666640{2}243C C C C C P X C C C C C C ===， 111113444225111116666680{3}243C C C C C P X C C C C C C === ， 111114444425111116666680{4}243C C C C C P X C C C C C C ===， 111115444445111116666632{5}243C C C C C P X C C C C C C === . 因此红球个数的分布列为X 0 1 2 3 4 5P1243 10243 40243 80243 80243 32243（2）不放回袋中的情况：223524562{3}3C P P P X P ===， 114524561{4}3C P P P X P ===.因此红球个数的分布列为X 3 4P23 133-7 {1}0.9P X ==， {2}0.10.90.09P X ==⨯=，{3}0.10.10.90P X ==⨯⨯=，{4}0.10.10.10.90P X ==⨯⨯⨯=， {5}0.10.10.10.1P X ==⨯⨯⨯=因此，X 1 2 3 4 5P 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00013-8 由题意知，1~8000000,2000000X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于8000000n =较大，12000000p =很小，故二项分布可用4np λ==的泊松分布近似代替，则有44{}!k P X k e k -==3-9 设X ={废品的件数}，1000,0.0063n p ==可用泊松近似公式( 6.3)np λ==得所求概率为6 6.36.3{6}0.166!P X e -==≈3-10 设X ={单位时间内纱线被扯断的次数}，由题意可知，~(800,0.005)X B ，则（1）448004800{4}(0.005)(0.995)0.195367P X C -===；（2）108008000{10}(0.005)(0.995)0.997160i i i i P X C -=≤==∑.3-11 设X ={该单位患有这种疾病的人数}，5000,0.001n p ==，可用泊松近似公式(5)np λ==得所求概率为5505{5}1{5}1!k k P X P X e k -=>=-≤=-∑10.00670.03370.08420.140=----- 0.38404=3-12 设X ={在同一时刻向总机要外线的分机数}，则~(300,0.30)X B ，在同一时刻至少有13台分机向总机要外线的时候不能满足.可用泊松近似公式得所求概率为13909{13}0.92615!k k P X e k -=≤==∑3-13 这分布不是离散的，因为X 的分布函数不是阶梯型的，也不是连续的（在x =1处是跳跃的）.3-14 由连续型随机变量概率密度分布的性质可知：2()111A x dx dx A x ϕπ+∞+∞-∞-∞==⇒=+⎰⎰因此 1A π=121111{11}[arctan1arctan(1)]0.51P X dx x ππ--<<==--=+⎰3-150002010211()()022411224x xx x xxe dxx F x x dx e dx dx x e dx dx x ϕ-∞-∞-∞-∞⎧≤⎪⎪⎪==+<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰当当当化简得10211()022412xex F x x x x ⎧≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪>⎪⎪⎩当当当3-16 （1）因为()F x 在(,)-∞+∞上的左连续性，所以(1)1F A == ，则200()0111x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩当当当（2）对分布函数求导得分布密度函数为201()()0x x x F x ϕ<<⎧'==⎨⎩当其他（3） 0.70.3{0.30.7}20.4P X xdx <<==⎰.3-17 （1）0.0151001.5{100}1{100}10.0150.223xP X P X edx e ---∞>=-≤=-==⎰（2）0.0150.015{}1{}10.0150.1xx x P X x P X x edx e ---∞>=-≤=-=<⎰因此ln 0.1153.50.015x >-=. 3-18 由题意可知1030()30x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他 10012{10}1{10}1303P X P X dx ≥=-<=-=⎰3-19 由题意可知212(1)01()0x x x x ϕ⎧-<<=⎨⎩当其他 120.8{0.8}12(1)0.0272P X x x dx >=-=⎰120.9{0.9}12(1)0.0037P X x x dx >=-=⎰3-20 （1）{ 2.2}(2.2)0.9861P X φ<==； （2）{ 1.76}1(1.76)0.0392P X φ>=-=；（3）{0.78}1(0.78)0.2177P X φ<-=-=；（4）{ 1.55}{1.55 1.55}2(1.55)10.8788P X P X φ<=-<<=-=； （5）{ 2.5}{ 2.5}{ 2.5}22(2.5)0.0124P X P X P X φ>=<-+>=-=. 3-21 1,4μσ=-= .（1）()2.441{ 2.44}0.860.80514P Y φφ+⎛⎫<=== ⎪⎝⎭；（2）1{ 1.5}1{ 1.5}1(0.125)0.54988P Y P Y φφ⎛⎫>-=-≤-=--== ⎪⎝⎭；（3） 2.81{ 2.8}(0.45)1(0.45)0.32644P Y φφφ-+⎛⎫<-==-=-= ⎪⎝⎭；（4）4141{4}{44}44P Y P Y φφ+-+⎛⎫⎛⎫<=-<<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1.25(10.75)0.6678φφ=--=； （5）2151{52}44P Y φφ+-+⎛⎫⎛⎫-<<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0.75[11]0.6147φφ=--=；（6）2101{11}{2}{0}144P Y P Y P Y φφ++⎛⎫⎛⎫->=>+<=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.8253=.3-22 设A ={一次测量中误差的绝对值不超过30}.（1）由题意可知，2~(20,40)X N ，20,40μσ==，则(){30}{3030}(0.25)( 1.25)P A P XP X φφ=≤=-≤≤=-- (0.25)(1.25)10.φφ=+-= （2）设Y 表示3次独立重复测量中事件A 发生的次数，则~(3,0.4931)Y B{1}1{1}1{0}P Y P Y P Y ≥=-<=-=331(10.4931)0.87C =--=3-23 首先求出电子管的损坏概率为150150201001001()03P x dx dx x ϕ==+=⎰⎰设Y ={电子管损坏的个数}，则1~(3,)3Y B .（1）0303118{0}13327P Y C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）333111{3}13327P Y C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3-24 设A ={生产的零件合格}，2~(50,0.75)X N ，50,0.75μσ==，则(){50 1.550 1.5}P A P X =-≤≤+501.55050501.550{}0.750.750.75X P ---+-=≤≤(2)(2)2(2)10.φφφ=--=-= 3-25 强度2~(200,18)X N .（1）18020010{180}1{180}10.8665189P X P X φφ-⎛⎫⎛⎫>=-≤=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）强度不低于150MPa 的概率为()150200{150}1{150}1 2.770.997218P X P X φφ-⎛⎫≥=-<=-== ⎪⎝⎭3-26 由题意可知X -3 -2 0 1 21X -- 2 1 -1 -2 -32X 9 4 0 1 4P18 14 18 13 16所以1X --的分布列为1X -- 2 1 -1 -2 -3 P 18 14 18 13 162X 的分布列为2X 0 1 4 9P18 13 512 183-27 由23(0,1)()0(0,1)xx x x ϕ⎧∈=⎨∉⎩当当知300()0111x F x x x x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩当当当.（1）令21Y X =-+，Y 的分布函数为(){}{21}Y F x P Y x P X x =<=-+<1211()2xx P X x d x ϕ--∞-⎧⎫=>=-⎨⎬⎩⎭⎰ 当1012x -≤<时312201()1312xY x F x x dx --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰， 所以 221131()32222Y x x f x --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当102x-<时，12()0xx dx ϕ--∞=⎰，此时，1x >，()1Y F x =；当112x-≤时12()1xx dx ϕ--∞=⎰此时，1x ≤-，()0Y F x = .因此 3011()111211Y x x F x x x ≤-⎧⎪-⎪⎛⎫=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩当当当23111()220Y x x f x ⎧-⎛⎫-<≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩当其他 （2）设2Y X = ，Y 的分布函数为2(){}{}()Y F x P Y x P X x x t d t=<=<=<1> ，即1x >时，()1Y F x =；当01<≤，即01x <≤时，23/2()3Y F x t dt x==，所以1/23()2Y f x x =；0=，即0x =时，()0Y F x =.因此 3/200()0111Y x F x xx x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩当当当 1/2301()2Y xx f x ⎧<≤⎪=⎨⎪⎩当其他 3-28 当0x >时，(){}{}{ln }X Y F x P Y x P e x P X x =<=<=<2222l n l n()/2()/2xx t a t a dt e dt σσ-----∞-∞==⎰22(ln )/2()0()00x a Y Y dF x x x dx x σϕ--⎧=>⎪=⎨⎪≤⎩当当3-29 1/331/3(){}{}{}()x Y F x P Y x P X x P X x t dt ϕ-∞=<=<=<=⎰2/31/3()1()()3Y Y dF x x x x dx ϕϕ-==令()1x ϕ=代入上式可得2/3101()3Y xx x ϕ-⎧<≤⎪=⎨⎪⎩当其他 3-30 /2/2(){}{2ln }{}x e x t Y F x P Y x P X x P X e e dt λλ-=<=<=<=⎰因此/2/2/2/211()22x x x e x e Y f x e e e λλλλ--==()x -∞<<+∞第四章4-1X 1 2 3Y1 0 16 1122 16 16 163 112 164-2 4352410{,}i j i jC C C P X i Y j C --=== 4-3 由于11(,)14RAf x y dxdy Axydxdy A xdx ydy +∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 故4A =，代入密度函数，得401,01(,)0xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩当其他所以 112300111{,}42336P X Y xdx ydy <<==⎰⎰4-4 （1）当0X >且0Y >时，()0(,)(1)(1)xyu v x y F x y du e dv e e -+--==--⎰⎰；当00x y <<或时，(,)0F x y =.所以 (1)(1)0,0(,)0x ye e x y F x y --⎧--<<+∞<<+∞=⎨⎩当其他（2）由于{(,):0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤，有11()10(,)(,)12xx y DP X Y f x y dxdy dx e dy e --+-===-⎰⎰⎰⎰4-5 由题意可知：14(,)111(,)220x y B f x y ⎧=∈⎪⎪⨯⨯=⎨⎪⎪⎩当其他当12x ≤-或0y ≤时，(,)0F x y =； 当102x -<≤且021y x <≤+时，102(,)42(21)x y y F x y dudv y x y -==--⎰⎰；当102x -<≤且21y x >+时，212102(,)42(21)x x F x y dudv x +-==+⎰⎰； 当0x >且01y <≤时，102(,)42(1)xyy F x y dudv y y -==-+⎰⎰；当0x >且1y >时，(,)1F x y =.因此 2100212(21)00212(,)12(21)02122(1)001101x y y x y x y x F x y x x y x y y x y x y ⎧≤-≤⎪⎪⎪-+-<≤<≤+⎪⎪=⎨⎪+-<≤>+⎪⎪-><≤⎪>>⎪⎩当或当且当且当且当且4-61{0}6P X ==， 7{0}12P Y ==， 5{1}12P X =-=，1{1}3P Y ==， 5{2}12P X ==， 11{}312P Y ==. 4-7 由于()(,)X f x f x v dv +∞-∞=⎰，得1(,)(,)0x y Df x y ∈⎧=⎨⎩当其他当[0,1]x ∈时，220()122xX f x dv x -==-⎰；当[0,1]x ∉时，()0X f x =.因此 2201()0X x x f x -<<⎧=⎨⎩当其他当[0,2]y ∈时，2201()1(2)2yY f y du y -==-⎰；当[0,2]y ∉时，()0Y f y =.因此 1102()2Y y y f y ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他 4-8 由于()(,)X f x f x v dv +∞-∞=⎰， ()(,)Y f y f u y du +∞-∞=⎰ 当0x >时，0()x v x X f x e dv e +∞---==⎰；当0y >时，0()u y y Y f y e du e +∞---==⎰.因此 0()00x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩当当， 0()00y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩当当4-9 由题意可知1X 0 12X0 0.1 0.81 0.1 0 4-10 由于1X -1 0 12X-1 0 140 14 0 141 0140 4-11 （1）由于(34)(34)(,)112x y x yRAf x y dxdy Ae dxdy A dx e dy +∞+∞+∞+∞-+-+-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 故12A =.（2）当0x <或0y <时，(,)0F x y =； 当00x y <<且时，(34)340(,)12(1)(1)x yu v x y F x y e dudv e e -+--==--⎰⎰.故 34(1)(1)0,0(,)0x y e e x y F x y --⎧-->>=⎨⎩当其他（3）34(34)9160{03,04}12(1)(1)x y P X Y dx e dy e e -+--<≤<≤==--⎰⎰4-12 由题意可知1(,)(,)20x y D f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩当其他当10x -≤<时，111()12x X x f x dv x +--==+⎰； 当01x ≤≤时，111()12x X x f x dv x -+-==-+⎰. 故 110()1010X x x f x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩当当其他 4-13 （1）11111111118812121216161616a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故14a =. （2）1{}4P Xi ==(1,2,3,4i =， 25{1}48P Y ==，13{2}48P Y ==，27{3}48P Y ==，3{4}48P Y ==.（3）111125{}48121648P XY ==+++=. 4-14 由联合分布函数的性质可知 （1）(,)()()122F A B C ππ+∞+∞=++=，(,)()()022F A B C ππ-∞-∞=--=，(,)()(a r c t a n )023yF y A B C π-∞=-+=，(,)(a r c t a n )()022x F x A B C π-∞=+-=，故21A π=，2Bπ=，2C π=.（2）21(,)arctan arctan 2223x y F x y πππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2222(,)6(,)(4)(9)F x y f x y x y x y π∂==∂∂++. （3）222262()(4)(9)(4)X f x dy x y x ππ+∞-∞==+++⎰，222263()(4)(9)(9)Y f y dx x y y ππ+∞-∞==+++⎰4-15 （1）由于122002(,)()13f x y dxdy x Cxy dxdy C +∞+∞-∞-∞=+=+=⎰⎰⎰⎰，故13C=. （2）当00x y <<或时，(,)0F x y =； 当1,2x y >>时，(,)1F x y =；当01,02x y ≤≤≤≤时，232200111(,)()3312xyF x y du u uv dv x y x y =+=+⎰⎰；当01,2x y ≤≤>时，223200121(,)()333xF x y du u uv dv x x =+=+⎰⎰当1,02x y >≤≤时，12200111(,)()3312yF x y du u uv dv y y =+=+⎰⎰.故 3223220001101,0231221(,)01,233111,0231211,2x y x y x yx y F x y x x x y y y x y x y <<⎧⎪⎪+≤≤≤≤⎪⎪⎪=+≤≤>⎨⎪⎪+>≤≤⎪⎪>>⎪⎩当或当当当当（3）由于()(,)X f x f x v dv +∞-∞=⎰， ()(,)Y f y f u y du +∞-∞=⎰，当[0,1]x ∈时，222012()233X f x x xy dy x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰；当[0,1]x ∉时，()0X f x =.故 22201()3X x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他当[0,2]y ∈时，120111()336Y f y x xy dx y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰；当[0,2]y ∉时，()0Y f y =.故 1102()360Y y y f y ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他（4）由于|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =， |(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =，故 26201,02(|)20x xyx y f x y y ⎧+≤≤≤≤⎪=+⎨⎪⎩当其他故 301,02(|)62x yx y f y x x +⎧≤≤≤≤⎪=+⎨⎪⎩当其他 4-16 由于|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =， |(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =， （1）当0x >时，(2)20()22x y x X f x e dy e +∞-+-==⎰；当0y >时，(2)0()2x y y Y f y e dx e +∞-+-==⎰.故 2|20,0(|)0x X Y e x y f x y -⎧>>=⎨⎩当其他|0,0(|)0y Y X e x y f y x -⎧>>=⎨⎩当其他（2）21(2)0012{2,1}{2|1}{1}x y ydx e dyP X Y P XY P Y edy-+-≤≤≤≤==≤⎰⎰⎰14541111e e e e e -------+==--. 4-17 （1）由于()1X f x = (01)x <<|1(|)1Y X f y x x=- (01,1)x x y <<<<故 101,1(,)10x x y f x y x⎧<<<<⎪=-⎨⎪⎩当其他 （2）由于01()(,)l n (1)1yY f y f x y d x d x y x+∞-∞===---⎰⎰故l n (1)01()0Y y y f y --<<⎧=⎨⎩当其他 （3）11121{()1}l n 21yy P X Y d yd x x-+>==-⎰⎰ 4-18X Y 与相互独立的充要条件是ij i j p p p = (1,2;1,2,3)i j ==，因此有{1,3}{1}{3}P X Y P X P Y =====1111169181818B ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{2,3}{2}{3}P X Y P X P Y =====11318A B B B ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得21,99A B ==. 4-19 （1）由0.5()0.5()(,)0.251x xu v x X F x f u v dvdu e dvdu e +∞+∞-+--∞-∞-∞-∞===-⎰⎰⎰⎰故 0.510()00x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩当当同理可得0.510()00y Y e y F y y -⎧->=⎨≤⎩当当（2）0.5()20.250,0(,)(,)0x y e x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩当其他当0x >时，0.5()0.50()(,)0.250.5x v x X f x f x v dv e dv e +∞+∞-+--∞===⎰⎰；当0x ≤时，()0X f x =.故 0.50.50()00x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩当当同理可得0.50.50()00y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩当当（3）由于(,)()()X Y f x y f x f y =，故X Y 、相互独立. （4）0.5()0.10.10.1{0.1,0.1}0.25x y P XY dy e dx e +∞+∞-+->>==⎰⎰.4-20 （1）由于1001(,)()12x f x y dxdy dx C x y dy C +∞+∞-∞-∞=+==⎰⎰⎰⎰，故2C=.（2）由于()(,)X f x f x v dv +∞-∞=⎰， ()(,)Y f y f u y du +∞-∞=⎰当[0,1]x ∈时，20()2()3x X f x x y dy x =+=⎰；当[0,1]x ∉时，()0X f x =.故 2301()0X x x f x ⎧≤≤=⎨⎩当其他当[0,1]y ∈时，12()2()123Y yf y x y dx y y =+=+-⎰；当[0,1]y ∉时，()0Y f y =.故 212301()0Y y y y f y ⎧+-≤≤=⎨⎩当其他（3）当01x y ≤≤≤时，有(,)2()f x y xy =+， 22()()3(123)X Y f x f y x y y =+-可见，(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X Y 与并不相互独立. （4）11201{1}2()3y yP XY dy x y dx -+≤=+=⎰⎰.4-21 （1）由于X Y 与相互独立，故()0,0(,)()()0x y X Y e x y f x y f x f y -+⎧>>==⎨⎩当其他 （2）110{1|0}{1}1x P X Y P X e dx e --≤>=≤==-⎰.第五章5-1 （1）1111210(1)12666EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=，222211117210(1)26663EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=，11(21)(221)(211)(201)26E X -+=-⨯+⨯+-⨯+⨯+-⨯+⨯11(2(1)1)166+-⨯-+⨯=-； （2）224()3DX EX EX =-=，()X σ==.5-2 （1）00;kk k k qEX kpq pq q p∞∞=='⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑（2）2222221000kk k k k k k k EXk pq pqk qpq q pq kq ∞∞∞∞--====''⎛⎫===+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑200k k k k pq q pq q ∞∞=='''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑222q qp p=+2222222q q q q q DX p p p p p=+-=+5-3 （1）1()02xEX xf x dx x e dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰；（2）22201()2(3)22x DX EX EX x e dx +∞-=-==Γ=⎰. 5-4 （1）0(1)1EXp p p =⨯-+⨯=， 0(1)1EY p p p =⨯-+⨯=；（2）由于20(1)1EX p p p =⨯-+⨯=，20(1)1EY p p p =⨯-+⨯=；22()(1)DX EX EX p p =-=-，22()(1)DY EY EY p p =-=-；（3）由于00(1)11EXY p p p =⨯⨯-+⨯⨯=，故2cov(,)(1)X Y EXY EX EY p p p p =-⋅=-=-.5-5222()()2g t E X t EX tEX t =-=-+， ()220dg t t EX dt=-=， 因此，tEX =，即t EX =时，()g t 达到最小值为DX .5-6 当2Y X =时，022x EYxe dx +∞-==⎰；当3XYe-=时，3014x x EYe e dx +∞--==⎰. 5-7 222()/2(ln 2)/2xx u a EY a dx a eμσσ+∞---∞==⎰ 22()DY EY EY =-222222()/2(l n 2)/222l n 2l n2()()(1)xx u a u a a a e d x a ea e e μσσσσ+∞---∞=-=-⎰ 5-8 由于12102()23EX x x dx x dx ϕ+∞-∞===⎰⎰， (5)20()y EY y y dy ye dy ϕ+∞+∞---∞==⎰⎰6=，且X Y 与相互独立，所以有2643EXY EX EY =⋅=⨯=， 220(+)+633E X Y EX EY ==+=5-9 证明)0E Y E E X E X==-=22221()()1DY EY EY E E X EXDX=-==-=5-10 证明)XYρ===()()0E X E X Y E Y⇒--=()0E X Y Y E X X E Y E X E Y⇒-⋅-⋅+⋅=E X Y E X E Y⇒-⋅=()2c o v(,)D X Y D X D Y X Y D X D Y⇒+=++=+5-15 （1）由于2200(,)sin()x y dxdy A x y dxdyππϕ+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰⎰2c o s c o s2A x x d xππ⎡⎤⎛⎫=-+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰21A==，故12A=.（2）22200011sin()cos cos2224 EX x x y dxdy x x x x dxπππππ⎡⎤⎛⎫=+=++=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰，由于X Y与相互对称，故有4EY EXπ==；2 222222200011sin()[sin cos]22282 EX x x y dxdy x x x x dxπππππ=+=+=+-⎰⎰⎰22222()22824162DX EX EXπππππ⎛⎫=-=+--=+-⎪⎝⎭由于X Y与相互对称，故有22162DYππ=+-.（3）222000112sin()sin cos222EXY xy x y dxdy x x x dxππππ-⎛⎫=+=+⎪⎝⎭⎰⎰⎰22π-=2cov(,)1162X Y EXY EX EY ππ=-⋅=-+-2211622162XYππρππ-+-==+- 5-12 二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为1(,)(,)0x y Af x y ∈⎧=⎨⎩当其他12(1)12(1)000012,33x x EX xdydx EY ydydx --====⎰⎰⎰⎰12(1)0016x EXY xydydx -==⎰⎰. 5-13 设抽到次品所需要次数为X ，则X 服从下列分布：X 1 2 3 k P2n 221n n n -⋅- 23212n n n n n --⋅⋅-- 2(2)(3)()(1)(2)(1)n n n k n n n n k ------- 即2{}1n k P Xk n n -==⋅-，因此 11112{}1n n k k n k EX k P X k k n n --==-=⋅==⋅⋅-∑∑1121121(2)3n n k k n kn k n n --==+⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭∑∑122121n k n k EX k n n -=-=⋅⋅-∑11231121(1)(2)6n n k k k n k n n n n --==⎛⎫=-=+ ⎪-⎝⎭∑∑221()(1)(2)18DX EX EX n n =-=+- 5-15 （1）11005(2)12EX x x y dydx =--=⎰⎰， 512EY EX ==.1122001(2)4EX x x y dydx =--=⎰⎰， 2214EY EX == 2211()144DX DY EX EX ==-=11001(2)6EXY xy x y dydx =--=⎰⎰2151cov(,)612144X Y EXY EX EY ⎛⎫=-⋅=-=- ⎪⎝⎭5()2cov(,)36D X Y DX DY X Y +=++=（2）103()(2)2X f x x y dy x =--=-⎰， 103()(2)2Y f y x y dx y =--=-⎰可见，()()(,)X Y f x f y f x y ≠，所以两者不独立.111441111144XYρ-===-故两者相关. 5-16(5)5()22y X f x xedy x +∞--==⎰， 1(5)(5)0()2y y Y f y xe dx e ----==⎰可见，()()(,)X Y f x f y f x y =，故两者独立.1(5)054y EXY xye dydx +∞--==⎰⎰5-17 两台仪器无故障时间的密度分布为1511150()0x e x f x -⎧>=⎨⎩当其他， 2522250()0x e x f x -⎧>=⎨⎩当其他联合密度函数为125()121212250,0(,)()()0x x e x x f x x f x f x -+⎧>>==⎨⎩当其他设无故障工作时间为12y x x =+，则联合分布函数为1125()5512210(,)()2551y y x x x y y F x x F y e dx dx ye e --+--===--+⎰⎰5()()25y df y F y e y dy-==所以密度函数为5250()0y e y y f y -⎧>=⎨⎩当其他 2502255yEY y edy +∞-==⎰， 235062525y EY y e dy +∞-==⎰ 262225525DY ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭5-18 根据题意有()EX P A =， ()EY P B =， ()EXY P AB ={1}()P XY P AB ==， {0}1()P XY P AB ==-已知0XYρ=，所以cov(,)0X Y =，即cov(,)()()()0X Y EXY EX EY P AB P A P B =-⋅=-=故()()()P AB P A P B =.事件A B 与相互独立，由事件的独立性定理可得：A ，A ，B ，B 两两相互独立，即{11}{1}{1}P X Y P X P Y =====， {10}{1}{0}P X Y P X P Y =====， {01}{0}{1}P X Y P X P Y =====， {00}{0}{0}P X Y P X P Y =====，因此，X Y 和相互独立.5-19 已知11~0,,~0,22X N Y N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正态分布的性质可知：()1D X Y DX DY -=+=， ()0E X Y -=故()()~0,1XY N -，令Z X Y=-，则()~0,1ZN .22()zE Z z e dz+∞--∞==⎰22222()()()()1D Z EZE Z DZ EZ E Zπ=-=+-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦第六章6-1 设11nn iiY Xn==∑,再对n Y利用契比雪夫不等式:{}1222222nii nnn nD XDY nP Y EYn nεεεε=→∞⎛⎫⎪⎝⎭-≥≤=≤−−−→∑故{}n X服从大数定理.6-2 设出现7的次数为X,则有()~10000,0.1,1000,900X B E X n p D X===由棣莫佛-拉普拉斯定理可得{}100096810001696810.14303015XP X P--⎧⎫⎛⎫<=<=-Φ=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭6-311,212i iEX DX==由中心极限定理可知,10110iX-⨯∑,所以101011616110.136i ii iP X P X==⎧⎫⎧⎫>=-≤=-Φ=-Φ=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑6-4 设报各人数为X,则.100,100==DXEX.由棣莫佛-拉普拉斯定理可得()0228.021100100120}120{=Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-=≥DXEXXPXP。
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概率论例题
例1.设某班车起点站上车人数
X 服从参数为 （＞0）的泊松分布，并且中途不再有人上
车。
而车上每位乘客在中途下车的概率为
p （0 p 1）,且中途下车与否相互独立，以 Y 表
示在中途下车的人数。
试求（1） （ X,Y ）的联合概率分布律；（2）求Y 的分布律（列）。
k
e 解：X 可能的取值是 0, 1, 2,…..,k ,…，n , ... P{X=k}= —
k!
Y 可能的取值是0, 1, 2,…，r ,…，k
P{x =k, y = r }=P{x=k}P{y=r/x=k}=
当 r>k 时，P{x=k, y=r}=0,
Y 的边缘分布
2
例2.设服从N （ 0, 1 ）,求 的分布密度。
解因为只取非负值，所以当 y 0时，
F （y ） P （ y ） P （ 2
y ） 0
r=0,1,2,…,k
P{Y= r }= P{x
k 0
k, y r} = P{x k}P{ y r /x
k 0
k
k}
=k" Ckrprqkr
=e (P)r
1 k(k 1) r
k!
=e ( p)「+
r! k
r
(k r)!(rq)kr =e (p)r Z rq
P)r e r!
rp
r = 0, 1,2,
验证Y 的分布律
P{ y r} = 1 ?
r 0
F (y) P( y) P( 2
y) P( 5
5)
U
1 du du .u
所以
血混合在一起进行检验 ，如果这混合血液呈阴性反应 ，就说明k 个人的血都呈阴性反应
，
这
样，k 个人的血就只需验一次•若呈阳性，则再对这k 个人的血液分别进行化验 •这样，k 个人
的血总共要化验是 k 1次•假设每个人化验呈阳性的概率为
P ，且这些人的试验反应是相互
独立的•试说明当p 较小时，选取适当的k ，按第二种方法可以减少化验的次数 .并说明k 取什
么值时最适宜.
设以
k
个人为一组时，组内每人化验的次数为 X ，则X 是一个随机变量，其分布律为
P(X ]) q k
, P(X
k
k
k 1
)
k
1 q .
X 的数学期望为
E(X) 1 k k q
(1 7)(1 q k
) k
k
1 q
1 k .
N 个人平均需化验的次数为
k
N(1 q k
1、
).由此可知，
k
只要选择 k 使 1 q k
辛1
则N 个人平均需化验的次数
N .当 p 固定时，我们选取k 使得L 1 q k -小于1且取
k
到最小值，这时就能得到最好的分组方法
1
例如，p 0.1,则q 0.9,当k 4时，L 1 q k
—取到最小值.此时得到最好的分
t 2
(t)dt
y 1
e 2dt
y
Jdt
例3. 行・(i) F (y)
2
1 .
2 e
,u
dU ，
1
y 1
2 2
2
e y
(y)
在一个人数很多的团体中普查某种疾病
将每个人的血分别去验，这就需验N 次.(ii)按k 个人一组进行分组，把从k 个人抽来的 ，为此要抽验N 个人的血，可以用两种方法进
解
各人的血呈阴性反应的概率为
q k
率为
q ，k 个人的混合血呈阳性反应的概率为
1 p .因而k 个人的混合血呈阴性反应的概
k
1- q .
k 组方法.若N 1000,此时以k 4分组,则按第二方案平均只需化验
1000(1 0.94-) 594(次).
4
这样平均来说，可以减少40%的工作量.
例4.按规定，某车站每天8: 00-9: 00, 9: 00-10 : 00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立.其规律为
一旅客& 20到车站，求他候车时间的数学期望.
解设旅客的候车时间为X (以分计).X的分布律为
在上表中，例如
1 3
P{X 70} P(AB) P(A)P(B) ,
6 6
其中A为事件“第一班车在& 10到站”，B为“第二班车在9：30到站”.候车时间的数
学期望为
3 2 1 3 2
E(X) 10 +30 + 50 + 70 + 90 =27.22 (分).
6 6 36 36 36
例5.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.记使用寿命为X (以年计)，
规定：
X <1 , 一台付款1500元；1 X < 2 ,一台付款2000元；
2 X <3,一台付款2500元；X 3，一台付款3000元.
设寿命X服从指数分布，概率密度为
0 , x<0
试求该商店对上述家电收费(Y兀)的数学期望. 解先
求出寿命X落在各个时间区间的概率，即有
1 1
P{X <1} — e x/10dx。
10
0.1
1 e 0.0952,
f(x) 丄e话x 0 10
2 1 x
P{1 X < 2} e 10dx
1 10
0.2
e e
0.3 0.0861,
P{2 X < 3}
2丄
e x/1°dx e 0.2 e 0.3
0.0779,
2
10
台收费
Y
的分
布
律
为
得即平均一台收费 元口
X,Y 不大于z 等价与X 和Y 不大于z ，故有 P M < z P X < 乙Y W z .
又由于X 和Y 相互独立，得到 M max X,Y 的分布函数为
F max z P M < z P X < 乙 Y W z
即有
率密度为
0 , x <0,
解 X k (k 1,2)的分布函数为
x
F(x) 1 e ，x 0,
0,x W 0.
由第三章§ 5(5.8)式N
min(X^X ?)的分布函数为
因而N 的概率密度为
P{X 3}
0.3
e
0.07408.
及N min X,Y 的分布 设X,Y 是两个相互独立的随机变量 , F X x 和F Y y .现在来求M max X,Y 及N min X,Y 的
例 6 M max X ,Y 它们的分布函数分别为 分布函数.
由于M max
F
max z F
类似地，可得到 z P N < z X
z F Y z .
N min X,Y 1 P N z
的分布函数为
1 P X z,Y
F min Z
1 1 F X z
1 F Y z
例7.有2个相互独立工作的电子装置
,它们的寿命 X k
(k 1,2)服从同一指数分布,其概
f(x)
丄el x
0,
0.
若将这2个电子装置串联联接组成整机
,求整机寿命 (以小时计)N 的数学期望.
F min (x) 1 [1 F(x)]
1 e , x 0 0, x < 0
2x 2x/ .
e dx
例8• —民航机场的送客车载有 20位旅客，自机场开出，旅客有10个站可以下车。
如果到达 一个车站没有人下车则不停车。
以
X 表示停车的次数，求 EX （设每位旅客在各个车站下车
是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。
易知X X 1 x 2川 X 10.现在来求E （X ）.
-
9
按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为
，因此20位旅客都不在第i 站下车的概
10
9
9
率为（一 ）20
,在第i 站有人下车的概率为1 - （一）20
，也就是
10
10
P{X i 0} R ）20,P{X i 1
1 U ）20,i 1,2,川,10.
10 10 111
由此
2x
于是N 的数学期望为
f min (X) 2 °
0, x < 0
E(N) Xf min ( X)dX
解引人随机变量
X i
0,在第i 站没有人下
车,
1,2川,10.
E(X i) 1 (190)20,i 1,2,川10. 进而E(X) E(X1 X2 川X10)
E(XJ Eg) |||E(X10)
10[1 ( —)20] 8.784(次).
10。