二次函数最值应用题1

二次函数最值应用题

要点：

在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题

1．小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．

（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？

答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．

2.、如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直

角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为多少 ？

5 m 12 m A

B C D 3、某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一

边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．．当花园的宽取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22

+--=x

∵152400≤-

∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，

∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米) 答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．

4、 如图，已知正方形ABCD 边长为8，E ，F ，P 分别是AB ，CD ，AD

上的点，(不与正方形顶点重合)，且PE ⊥PF ，PE ＝PF ，问当AE 为多

长时，五边形EBCFP 面积最小？最小面积是多少？

5、如图，有一块形状是直角梯形的铁片ABCD ，它的上底AD

＝3cm ，下底BC ＝8cm ，垂直于底的腰CD ＝6cm ，现要截成一块

矩形铁皮MPCN ，使它的顶点M ，P ，N 分别在AB ，BC ，CD 上，

当MN 多长时，矩形MPCN 面积有最大值？

6、某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？

解：设每件价格提高x 元，利润为y 元，则：)20400)(2030(x x y --+=

)20)(10(20-+-=x x 4500)5(202

+--=x 当5=x ，4500max =y （元） 答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润

7、：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-= )60010(102---=x x

6250)5(102+--=x 当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元） )20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x 6125)5.2(202+--=x 当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元）

综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．

8、某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价，增加销售的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件，将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

9、某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经实验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y （件）是价格x （元／件）的一次函数。①试求出y 与x 之间的关系式。

②在商店不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定位多少时，才能使每月获得最大利润？，每月最大利润是多少？

10. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m 件与

每件的销售价x 元满足一次函数m=162－3x.

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的售价x 之间的函数表达式。

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少合适？，最大利润是多少？

11、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场调查若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题：①当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利

润； ②设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 之间的函数表达式，（不必写出x 的取值范围） ③当销售单价为多少元时，可获得最大月销售利润？

12、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x 元，日均获利为y 元。（1）求y 关于x 的函数关系式，并注明x 的取值范围。（2）将（1）中所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标。 并指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？

13、某宾馆客房部有60间客房供客人居住，当每个房间的定价为每天200时，房间可以住满，当每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个空房间，对有客人入住的房间每天支出20元的各种费用，设每个房间每天的定价增加X ，求：（1）房间每天入住量y （间）关于x 元的函数关系式。（2）该宾馆每天房间收费z(元)关于x(元)的函数关系.（3）该宾馆客房部每天的利润w( 元)关于x(元）的函 数关系式；当每个房间的定价为每天多少元，w 有最大值？最大值是多少？

14、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．

（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

15．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元，

则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x

当55=x ，30250max =y （元）

答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．

16、 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)

与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；

⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=40

1b k ，•

即一次函数表达式为40+-=x y ．

⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元