傅里叶积分变换ppt课件
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傅里叶ppt课件
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
F()f(t)ejtdt
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 2 2
f(t)21 F()ejtd21 2 j2ejtd
10cos2t 2sintd
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33
因此
0
cost sint
0
2 2
0
0
其中
+
+
A () f() c o sd , B () f() s i nd .
(2.3)
(2.2) 是 f(t) 的傅里叶积分公式的三角形式
f(t) A(),B()
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20
傅里叶积分定理：若函数 f(t) 在区间 (,+) 上满足条件
(1) 在任意有限区间满足狄里克雷条件,
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40
(5)
F [ej0tf(t)]F(0)
像函数的 位移性质
F[ej0t f(t)] f(t)ej(0)tdt F(0).
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41
(6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系
F[f1(t)]F1(), F[f2(t)]F2()
F [f1 ( t) f2 ( t) ] F 1 ()F 2 ()
kt
l
,
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10
偶函数 f(x) 有
f(t)a0
2
+
ak
k1
coskt,
l
ak
1 l
l f ( ) cos k d ,
l
l
bk
1 l
l f ( ) sin k d .
第五章 第二节 傅里叶积分与傅里叶变换
(一)实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换
周期为2l 的函数f (x)的傅立叶级数为：
f
x
a0
k 1
ak
cos k
l
x bk
sin
k
l
x ............5.1.3
ak
1
kl
l f cos k d ,
l
l
bk
1l
l l
f
sin
k
l
d ,......5.1.5
对于定义在区间 ， 上的函数f (x)
解：rect t 2T
1,...... t 1 即t T 2T 2
0,...... t 1 即t T 2T 2
f(t)是偶函数，可按(5.2.8)展为余弦积分
f(t) h
-T O T t
f t Acostd,
0
其中
A
2
0
f
cosd
2
T
0
h
cosd
2h
s in T
A的图形如图5-2所示，是连续谱。即f (t)代表的脉冲电波， 含有一切频率(应除去 T的整数倍频率)，它到达无线电接收机
第一节讨论的是周期为2l的函数的傅里叶级数展开，下面讨论
定义在区间 ，上的函数 f x的情形。
§5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
(一) 实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换 (二) 复数形式的傅里叶积分 (三) 傅立叶变换的基本性质
如何将定义在无穷区间上的函数展开？
方法：先将f (x)看成是周期为2l 的函数，再取2l 趋于无穷大时 的极限结果。最后f (x)可以用积分表示，称为傅里叶积分。
根据上面提出的方法，有
《傅里叶变换经典》PPT课件
F 1[AF BG ] AF 1[F ] BF 1[G ]
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
第五章 傅里叶变换85页PPT
f (1) (0) 0 f (1) (l) 0
例1，要求在（- ，）上，f (x)=x2,
展开为Fourier 级数，在本题 展开所得中置 x=0，由此验证:
1212 312 412 122
解：f (x)=x2，为偶函数；bk 0
1
a0
02d313
0
2
3
kx
f(x)a 0 a kco s k 1
★得
bk
1 l
l l
f()sin kd
l
★称
a
、
k
bk
为周期函数的傅里叶系数！
4、狄里希利定理：
若f (x) 满足：
(1)处处连续，或在每个周期有 有限个第一类间断点；
(2)或在每个周期有有限个极值 点，则级数收敛，且
级数和
=
f (x)
1[f(x0)f(x0)] 2
(在连续点x ) (在间断点x )
l
sinx, sin2x, L, sinkx,L
l
l
l
★设f(x)为周期为 2l 的函数将 f (x) 展开
f(x)a 0k 1(akco kls xb ksikn lx)
3、再谈周期函数族的正交性
l 1coksxdx0
l
l
l
kx
1sin dx0
l
l
lcoksxconsxd x0 (k n)
l
lHale Waihona Puke llsiknxsin nxd x0
l
l
l
(k
n)
l kx nx
cos sin d x0
l
l
l
l cos
k
x
积分变换--傅里叶变换课件
x
前面计算出
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2, ) 2 2 n w n nw n , 可将cn以竖线标在频率图上 T 2
w
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一
周期为8的周期函数f8(t)
f 8 (t )
n
f (t 8n),
w
一般地, 对于周期T
1 jw n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 jw n t e dt T 1 1 1 1 jw n t jw n jw n e e e Tjw n Tjw n 1 2 sin w n 2 sinc( w n ) (n 0,1,2, ) T wn T
1
例如变换核 k( t ,ω ) e jωt , 积分域 ( a,b ) ( , ), 则
F( ω )
f ( t )e jωt dt
变换核 k(t , s) e st , 积分域 (a, b) (0,), 则
F ( s)
0
f ( t )e st dt ( s为复变量)
T 2
则在T=8时,
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2, ) 4 2 n w n nw n , 再将cn以竖线标在频率图上 8 4
w
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2,) 8 2 n w n nw n , 再将cn以竖线标在频率图上 16 8
1 T2 jnwt 合并为：cn fT (t )e dt n 0, 1, 2, T T 2
傅里叶变换__经典ppt
1
§1 Fourier积分公式 积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数f 打交道. 例如: 变化的周期函数 T(t)打交道. 例如:
t 具有性质f 称作周期, 具有性质 T(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹( 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). , ).
sinc(x)
x
12
前面计算出
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 2 2π nπ ωn = nω = n , 可将cn以竖线标在频率图上 = T 2
ω
13
现在将周期扩大一倍, 现在将周期扩大一倍 令T=8, 以f (t)为基础构造 为基础构造 一周期为8的周期函数 的周期函数f 一周期为 的周期函数 8(t)
6
1 合并为： 合并为： cn = T
+∞
∫
fT (t )e −T 2
T 2
−in ωt
dt (n = 0, ±1, ±2,L)
级数化为： 级数化为：
n =−∞
cne in ωt ∑
T 2 1 +∞ = ∑ ∫ fT (τ )e −in ωτ dτ e in ωt T n =−∞ −T 2
19
积分公式与Fourier积分存在定理 1.2 Fourier积分公式与 积分公式与 积分存在定理
− T , T 上满足Dirichlet条件, 设fT (t ) 为T − 周期函数，在 2 2 则 fT (t ) 可展开为Fourier级数: fT (t ) =
课件(PPT版)7.1_傅立叶变换的概念
推导
fT
(t)
a0 2
n1
( an
ibn 2
einω0t
an
ibn 2
e inω0t
).
令
c0
a0 2
,
cn
an
ibn 2
,
cn
an
ibn 2
,
fT (t)
cneinω0t ,
n
则有 (B)
其中,
cn
1 T
T/2 T/2
fT (t ) einω0td t ,
fT (t)
t
fT (t)
t
T/2
T/2
t
二、非周期函数的傅立叶变换
1. 简单分析 (2) 当 T 时，频率特性发生了什么变化？ 分析 Fourier 级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，
其频谱是以 ω0 2π T 为间隔离散取值的。 当 T 越来越大时，取值间隔越来越小； 当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零， 即频谱将连续取值。
变上限积分形式的函数：F(x)
x
f (t)dt
a
变换器的固定件——a f (t)dt
含参变量的积分：
F(x)
b f (tx)dt或
b
f (t - 2x)dt
a
a
而F(x) b f (t)extdt， a
对任意给定的f (t)积出的关于x的函数相应确定
即 b estdt就是一台将f (t)加工成F(s)的变换器。 a F() f (t)eitdt 傅里叶变换,且 1 eitd 称为傅氏逆变换器,并有 2 1 F ()eitd f (t) 2
傅里叶积分变换PPT课件
F( )
f (t)ej t dt
（2）
则
f (t) 1
F ( ) e j t d
2
（3）
第5页/共66页
从上面两式可以看出， f(t)和F(ω)通过指定的积分 运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式， 记为
F() F f (t)
F(ω)叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆 变换式，记为
0
E e jt
j
0
E (1 cos τ j
jsin τ
)
2E
e jT 2
sin τ
2
第34页/共66页
解2
前面介绍的矩形单脉冲
f1
(t
)
E,
0,
τ t τ ;
2
2
其他
的频谱函数为
F1 ()
2E
sin
τ
2
因为f(t)可以由f1(t)在时间轴上向右平移 利用位移性质有
τ 2
得到，
F() F
故（8）式成立。这表明：一个函数积分后
的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换除以
因子 j。
第38页/共66页
例2 求微分积分方程
t
ax(t) bx(t) c x(t)dt h(t)
的解，其中 t , a,b, c 均为常数。
解 记 F x(t) X () F h(t) H()
在方程式两边取傅氏变换，并利用傅氏变换的微 分性质和积分性质可得
例6 求指数衰减函数
f
(t)
0,
t 0;
( 0)
e t , t 0
的频谱。
解
根据例1的结果， F ( )
傅里叶变换原理PPT课件
根据傅氏积分公式，函数f(t)能取傅立叶积分变换的前提条件是它首 先应绝对可积，即
实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不 满足这一点.如
34
第34页/共53页
如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应 用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲 函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换 中，得到它们的广义傅氏变换. 实际运算时，我 们通常用傅氏逆变换来推证.
15
第15页/共53页
简称傅氏变换,记为 简称傅氏逆变换,记为
F F
还可以将 f(t) 和 F(w)用箭头连接: f(t) F(w) .
16
第16页/共53页
f (t)
o
第17页/共53页
t
17
解:根据定义, 有
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
18
第18页/共53页
根据积分表达式的定义,有
注意到
1
2
1 2
1 2
1 2
1, 0,
t0 t0
u(t ).
证毕.
38
第38页/共53页
例3 求
的傅氏逆变换.
解：由定义，有
F 1[d (w w0 )]
1
2
d
(w
w0
)e iw
t
dw
特别地 故 得到
1 e iw0 t .
2
F 1[d (w)]
1
2
.
39
第39页/共53页
于是，有
例4 求正弦函数 f(t)=sinw0 t 的傅氏变换.
基于这种思想，便产生了积分变换.
其主要体现在：
数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与 普通乘积之间的互相转化.
实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不 满足这一点.如
34
第34页/共53页
如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应 用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲 函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换 中，得到它们的广义傅氏变换. 实际运算时，我 们通常用傅氏逆变换来推证.
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简称傅氏变换,记为 简称傅氏逆变换,记为
F F
还可以将 f(t) 和 F(w)用箭头连接: f(t) F(w) .
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f (t)
o
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t
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解:根据定义, 有
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
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根据积分表达式的定义,有
注意到
1
2
1 2
1 2
1 2
1, 0,
t0 t0
u(t ).
证毕.
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例3 求
的傅氏逆变换.
解：由定义，有
F 1[d (w w0 )]
1
2
d
(w
w0
)e iw
t
dw
特别地 故 得到
1 e iw0 t .
2
F 1[d (w)]
1
2
.
39
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于是，有
例4 求正弦函数 f(t)=sinw0 t 的傅氏变换.
基于这种思想，便产生了积分变换.
其主要体现在：
数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与 普通乘积之间的互相转化.
积分变换 课件-课件
bnT 2 T 2 T 2fT(t)sin n td(tn1,2,3, )
在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为
1 2f(t00)f(t00) (二)付氏级数的复指数形式
fT(t) Cnjewnt n (三)付氏积分
任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周期
函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。 即 Tl im fT(t)f(t)
sin x d x sinc( x ) d x
0x
0
2
另 外 ， 由 F = 2 s i n 可 作 出 频 谱 图 :
F 2 k s i n 0
2 3
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t 0 的 傅 氏 变 换 及 其 t 0
积 分 表 达 式 ,其 中 0 .
ejn t co n stjsin n t (1.3.8)
e j n t cn o t s jsn itn ( 1 .3 .9 )
co nts1(ej nt ej nt) (1 .3 .1)0 2
sin nt1(ej ntej nt) (1.3.1)1
2j
2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲
上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条
件： ⑴ 在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一
类间断点；
⑵ f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。
从T为周期的周期函数fT(t)，如果在
T 2
,
T2上 满
足狄利克雷条件，那么在
T 2
,
T上2 fT(t)可以展成付
氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为
傅里叶变换(课堂PPT)
f(t)21 2g()ejtd
F
f(t)2g()
.
46
例题4.9 求
2
1 t2
的傅里叶变换。
解：根据例题4.2，我们有，
F
e|t|
2
12
利用对偶性
2
F
2e||
1t2
.
47
利用对偶性来进一步分析和推导傅里叶变换的性质。 （1）下面将微分性质与对偶性结合，可得，
jt(xt) F d X() d
.
56
在这里，我们进一步来理解频谱 X( j) 的含义。
我们将一个信号除 [0,0] 以外的频率分量“滤掉”
x(t)
带通滤波器
x0 (t)
.
57
x0 (t) 的能量就等于
1 | 0 X(j)|2 d
2 0
可以说，| X(j0)|2 表示了信号 x (t ) 在 0 处的能量密度。
从这个意义上来说，
.
49
4.3.7 帕斯瓦尔（Parseval）定理 可以证明，对于能量有限信号
能谱密度
|x(t)|2d t1
|X(j
)|2d
2
信号在时域里面的能量
信号在频域里面的能量
.
50
对于周期信号，那么上面公式的左边将为无穷大。 我们有帕斯瓦尔定律的另一种形式
1
T0
|
T0
x(t)|2
d
t |ak
.
2
抽样函数或者称为采样函数：
Sa(x) sinx x
S(ax)S(a x) 偶函数
通过罗必塔法则，可以得到
Sa(0) 1
Sa()0
x 抽样函数右边的第一个过零点在
《傅里叶变换》课件
特点
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
3章-经典傅里叶变换讲解ppt课件
n=1
n>1
直流分量 基波分量 n次谐波分量
整理ppt
7
式中，n
arctan
bn an
cn
an2bn2
Opposite Hypotenuse
为n次谐波初始相位。 为n次谐波振幅。
！ 并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！
f ( t ) 可展开为傅里叶级数的条件：
（1）f ( t 绝) 对可积，即：t2 f (t) dt t1
f(t)a0 (ancosn1tbnsinn1t) n1
称为傅里叶级数
系
an
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt
t1 t2cos2(n1t)dt
2 t21 t1
t2t1
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt,
t2 f(t)dt, n0
t1
n0
数
bn
t2 t1
f(t)sin(n1t)dt
t1 t2sin2(n1t)dt
2 t2t1
t2 t1
f(t)sin(n1t)dt
整理ppt
6
或 f(t)a 2 0n 1(a nc o sn1 t b nsinn1 t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
ant2t1
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt
同上式
另一种形式
f(t)a 20n 1cncos(n1tn) t
nn002T
Sa(n1)
2
整理ppt
21
（2）双边频谱：
1
FnT
/2ejn1tdt1ejn1t /2 2sinn21
/2
Tjn1/2 T n1
b b24ac 2a
傅里叶变换详解(课堂PPT)
的拉氏逆变换．
5
7.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容
7.1.1 周期函数的傅里叶展开
定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数
若函数 f ( x )以 2 l 为周期，即为
f(x2l)f(x)
6
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 [ l , l ] ，则可取三角
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
3
（1）特别当核函数 K(t, )ei（t 注意已将积分参
变量 改写为变量 ），当 a,b，则
F() f(t)eitdt
称函数F ( ) 为函数 f ( t ) 的傅里叶（Fourier）变换，
简称 F ( ) 为函数 f ( t ) f 的傅氏变换．同时我们称 ( t ) 为 F ( ) 的傅里叶逆变换．
7
式（7.1.3）称为周期函数 f ( x ) 的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简 称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
8
l 1cos kπx d x 0
l
l
l 1 sin kπx d x 0
l
l
bk
1 l
l l
f (x)sin(kπx)d x l
（7.1.4）
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（Dirichlet）定理 7.1.1 若函数 f ( x ) 满足条件：
10
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
5
7.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容
7.1.1 周期函数的傅里叶展开
定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数
若函数 f ( x )以 2 l 为周期，即为
f(x2l)f(x)
6
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 [ l , l ] ，则可取三角
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
3
（1）特别当核函数 K(t, )ei（t 注意已将积分参
变量 改写为变量 ），当 a,b，则
F() f(t)eitdt
称函数F ( ) 为函数 f ( t ) 的傅里叶（Fourier）变换，
简称 F ( ) 为函数 f ( t ) f 的傅氏变换．同时我们称 ( t ) 为 F ( ) 的傅里叶逆变换．
7
式（7.1.3）称为周期函数 f ( x ) 的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简 称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
8
l 1cos kπx d x 0
l
l
l 1 sin kπx d x 0
l
l
bk
1 l
l l
f (x)sin(kπx)d x l
（7.1.4）
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（Dirichlet）定理 7.1.1 若函数 f ( x ) 满足条件：
10
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
《傅里叶变换详解》课件
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原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
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应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
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展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
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应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
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展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
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b. 若f(t)为无穷可微的函数，则 (t)f(t)dtf(0)
证明 记
(t)f(t)dt
l i0m (t)f(t)d tl i0m (t)f(t)d
t
l i0m01f(t)dtf(0) 更一般地有 (tt0)f(t)dtf(t0)
返回
第六章 傅氏变换
前进
c. 单位脉冲函数的傅氏变换F() F (t)1
f (t) F1F()
1 F()ejtd
2
21
2 j2ejtd
返回
第六章 傅氏变换
前进
2 1 (2 2 j2 2)( c t o jss ti)d n
1 (co t ssit) n j(sitn co t) d s
2 2 2 2 2
2 2 2 2
一返、回 傅氏变第换六章 傅氏变换
前进
1．傅氏积分定理
若f(t)在(-∞,+∞)上满足下列条件：
（1） f(t)在任一有限区间上满足条件： f(t)至多有
有限个第一类间断点和极值点；
（2） f(t)在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积（即积分
f (t) dt 收敛），则有
f(t)1
2
f(τ) e jd τ ejtd（1）
。u(t)
和
1
j
()构成了一个傅氏变换对。同时得到
单位阶跃函数u(t)的一个积分表达式
u (t)1 2 10 s in td (t0 )
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第六章 傅氏变换
前进
类似的方法可得
F -12()1 F -1 2( 0) ej0 t
所以1和2()构成了一个傅氏变换对;
e
j
t 0
和
2(0)也构成了一个傅氏变换对。
成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以
f(t0)f(t0) 来代替。 2
返回
第六章 傅氏变换
前进
2．傅氏变换的概念
若函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件，则在f(t) 的连续点处，式（1）
f(t)1
2
f(τ) e jd τ ejtd成立。
设 F() f(t)ejtdt
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第六章 傅氏变换
前进
例4 求正弦函数 f(t)si n0t 的傅氏变换。
解：
F() F
f (t)
e jt
sin0tdt
e j0t ej0tejtdt
2j
1
e e j(0)t
j(0)t
dt
2j
2 1j2(0)2(0)
j( 0 ) ( 0 )
返回
第六章 傅氏变换
0
2 2
d2,
t 0;
et, t 0
返回
第六章 傅氏变换
前进
4．单位脉冲函数（狄拉克--Dirac函数）
设
0,
(t)
1
t0或t , 0t
定义单位脉冲函数为
(t)l i0m (t)
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第六章 傅氏变换
前进
单位脉冲函数的一些性质：
a.
(t)dt
1
l 0 im (t) d l t 0 i m (t) d l t 0 i0 m d 1 t
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第六章 傅氏变换
前进
1210si n td
由于
0
sin
td
0 ,
2
,t 0; t0
2
,
t0
故
f(t)1 210s i ntd 1 1 2 2 1 1 2 ,2,tt 0 0 ;;
1 0,,
t0; t0;
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第六章 傅氏变换
前进
这表明
1
j
()
的傅氏逆变换为u(t)
在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏 积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F(ω)称 为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F(ω)|称为 f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。
前进
我们可以看出引入δ-函数后，一些在普 通意义下不存在的积分，有了确定的数 值。工程技术上许多重要函数的傅氏变 换都可以利用δ-函数及其傅氏变换很方 便地表示出来，并且使许多变换的推导 大大地简化。
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第六章 傅氏变换
前进
5．非周期函数的频谱
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系， 这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本 概念。
f(t)叫做F(ω)的象原函数。
（2）式右端的积分运算，叫做取f(t)的傅氏变换； （3）式右端的积分运算，叫做取F(ω) 的傅氏逆
变换。象函数F(ω)和象原函数f(t)构成一个 傅氏变换对。
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第六章 傅氏变换
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3．例子
例1
求指数衰减函数函数
f
(t)
0,
t 0
e t ,t 0
的傅氏变换及其积分表达式，其中β>0。
（2）
则
f(t)21
F()ejtd
（3）
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第六章 傅氏变换
前进
从上面两式可以看出， f(t)和F(ω)通过指定的积分 运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式， 记为
F() F f (t)
F(ω)叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆 变换式，记为
f (t) F -1 F()
2 1 (c 2 o 2 t ss 2 it 2 ) n j ( s 2 it 2 n c 2 o t 2 ) d s
10co t2 s s2 i nt d
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第六章 傅氏变换
前进
由傅氏积分定理，可得到一个含参量广义积分的 结果：
0, t0;
costsint
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第六章 傅氏变换
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解：根据（2）式，傅氏变换为
F() F f (t) f(t)ejtdt
0 f(t)ejtdt f(t)ejtdt
0
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第六章 傅氏变换
前进
e te jtd t e ( j)td t
0
0
1 j j 22
通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积分表达 式。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得
积分变换
.
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第六章 傅氏变换
前进
主要内容
§1 傅里叶（Fourier）积分变换 §2 拉普拉斯(Laplace)积分变换
注：积分变换的学习中，规定： j 2 1
§1 傅里叶（Fourier）积 分变换
.
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第六章 傅氏变换
前进
傅里叶变换——又简称为傅氏变换
内容： 傅氏变换概念 傅氏变换性质 卷积与相关函数
证明
F() F (t)
(t)e-jtdejt
1
t 0
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第六章 傅氏变换
前进
例3
证明单位阶跃函数
u(t)
0,
1,
变换为 1 () j
t 0
的傅氏
t 0
解：只需证明
1
j
() 的傅氏逆变换为u(t)
。
f (t) F-1 F()
21 j1 ()ejtd 1 2 ()je td 2 1 s itn d