傅里叶积分变换ppt课件

证明
F() F (t)
(t)e-jtdejt
1
t 0
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第六章 傅氏变换
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例3
证明单位阶跃函数
u(t)
0,
1,
变换为 1 () j
t 0
的傅氏
t 0
解：只需证明
1
j
() 的傅氏逆变换为u(t)
。
f (t) F-1 F()
21 j1 ()ejtd 1 2 ()je td 2 1 s itn d
一返、回 傅氏变第换六章 傅氏变换
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1．傅氏积分定理
若f(t)在(-∞,+∞)上满足下列条件：
（1） f(t)在任一有限区间上满足条件： f(t)至多有
有限个第一类间断点和极值点；
（2） f(t)在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积（即积分
f (t) dt 收敛），则有
f(t)1
2
f(τ) e jd τ ejtd（1）
积分变换
.
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第六章 傅氏变换
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主要内容
§1 傅里叶（Fourier）积分变换 §2 拉普拉斯(Laplace)积分变换
注：积分变换的学习中，规定： j 2 1
§1 傅里叶（Fourier）积 分变换
.
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第六章 傅氏变换
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傅里叶变换——又简称为傅氏变换
内容： 傅氏变换概念 傅氏变换性质 卷积与相关函数
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我们可以看出引入δ-函数后，一些在普 通意义下不存在的积分，有了确定的数 值。工程技术上许多重要函数的傅氏变 换都可以利用δ-函数及其傅氏变换很方 便地表示出来，并且使许多变换的推导 大大地简化。
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5．非周期函数的频谱
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系， 这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本 概念。
（2）
则
f(t)21
F()ejtd
（3）
源自文库 返回
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从上面两式可以看出， f(t)和F(ω)通过指定的积分 运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式， 记为
F() F f (t)
F(ω)叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆 变换式，记为
f (t) F -1 F()
b. 若f(t)为无穷可微的函数，则 (t)f(t)dtf(0)
证明 记
(t)f(t)dt
l i0m (t)f(t)d tl i0m (t)f(t)d
t
l i0m01f(t)dtf(0) 更一般地有 (tt0)f(t)dtf(t0)
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c. 单位脉冲函数的傅氏变换F() F (t)1
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解：根据（2）式，傅氏变换为
F() F f (t) f(t)ejtdt
0 f(t)ejtdt f(t)ejtdt
0
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e te jtd t e ( j)td t
0
0
1 j j 22
通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积分表达 式。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得
成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以
f(t0)f(t0) 来代替。 2
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2．傅氏变换的概念
若函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件，则在f(t) 的连续点处，式（1）
f(t)1
2
f(τ) e jd τ ejtd成立。
设 F() f(t)ejtdt
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例4 求正弦函数 f(t)si n0t 的傅氏变换。
解：
F() F
f (t)
e jt
sin0tdt
e j0t ej0tejtdt
2j
1
e e j(0)t
j(0)t
dt
2j
2 1j2(0)2(0)
j( 0 ) ( 0 )
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2 1 (c 2 o 2 t ss 2 it 2 ) n j ( s 2 it 2 n c 2 o t 2 ) d s
10co t2 s s2 i nt d
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由傅氏积分定理，可得到一个含参量广义积分的 结果：
0, t0;
costsint
f(t)叫做F(ω)的象原函数。
（2）式右端的积分运算，叫做取f(t)的傅氏变换； （3）式右端的积分运算，叫做取F(ω) 的傅氏逆
变换。象函数F(ω)和象原函数f(t)构成一个 傅氏变换对。
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3．例子
例1
求指数衰减函数函数
f
(t)
0,
t 0
e t ,t 0
的傅氏变换及其积分表达式，其中β>0。
f (t) F1F()
1 F()ejtd
2
21
2 j2ejtd
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2 1 (2 2 j2 2)( c t o jss ti)d n
1 (co t ssit) n j(sitn co t) d s
2 2 2 2 2
2 2 2 2
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1210si n td
由于
0
sin
td
0 ,
2
,t 0; t0
2
,
t0
故
f(t)1 210s i ntd 1 1 2 2 1 1 2 ,2,tt 0 0 ;;
1 0,,
t0; t0;
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这表明
1
j
()
的傅氏逆变换为u(t)
。u(t)
和
1
j
()构成了一个傅氏变换对。同时得到
单位阶跃函数u(t)的一个积分表达式
u (t)1 2 10 s in td (t0 )
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类似的方法可得
F -12()1 F -1 2( 0) ej0 t
所以1和2()构成了一个傅氏变换对;
e
j
t 0
和
2(0)也构成了一个傅氏变换对。
0
2 2
d2,
t 0;
et, t 0
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4．单位脉冲函数（狄拉克--Dirac函数）
设
0,
(t)
1
t0或t , 0t
定义单位脉冲函数为
(t)l i0m (t)
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单位脉冲函数的一些性质：
a.
(t)dt
1
l 0 im (t) d l t 0 i m (t) d l t 0 i0 m d 1 t
在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏 积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F(ω)称 为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F(ω)|称为 f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。