二次函数y=a(xh)2的图象和性质 (左右平移) 课件
二次函数y=a(xh)2的图象与性质(第2课时)课件华东师大版九年级数学下册
二次函数y=a(x-h)2与y=ax2图象间的位置关系
1-1. 将抛物线y=-x2平移后得到新抛物线y=-(x-3)2,下列平移方 式正确的是（ D ）
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1-2. 把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移 后抛物线的解析式是 y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 .
左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变.
二次函数y=a(x-h)2与y=ax2图象间的位置关系
例1 将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( C ) A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物 线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函 数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
1-3. 在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2 y 的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图. 函 数 y=2(x-2)2 的 图 象 由 函 数 y=2x2 的 图 象 向 右 平 移 2 个 单 位得到.
y = 2x2 O2 x
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
向上 直线x=h （h,0） 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大.
x=h时，y最小值=0
向下
直线x=h （h,0）
当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小.
x=h时，y最大值=0
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质课件2022-2023学年人教版九年级数学上册
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
4 函数y=4(x+1)2的图象是由抛物线__y_=_4_x_2____向左___
平移__1___个单位得到.
5.抛物线y=-2x2向下平移2个单位得到抛物线_y_=_-2_x_2_-2__, 再向上平移3个单位得到抛物线_y_=_-_2_x_2+_1_____; 若向 左平移2个单位得到抛物线_y_=_-2_（__x_+_2_）__2 __，向右平 移2个单位得到抛物线__y_=_-2_（__x_-2_）__2____.
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 3)2 4
y 1 x2 3 2
y 3 (x 5)2 4
y 1(x 6)2 2
小结 拓展
你认为今天这节 课最需要掌握的是
________________ ？
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上.
画出二次函数
y
1 2
(
x
1)
2、
y
1 2
(
x
1)2
二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质ppt课件
精选ppt课件
12
4 . 将抛物线y= -2x2向左平移一个单位，再向右平移3
个单位得抛物线解析式为 y= - 2(x – 2)2.
5.抛物线y=3(x-8)2最小值为 0 .
精选ppt课件
13
6.抛物线y= -3(x+2)2与x轴y轴的交点坐标分别
为 ( - 2, 0) (0, - 12) .
线
y
1
x
12
2
；把抛物线
y 1 x2
向右平移1个单位，就得到抛物
2
线 y 1x12 ．
2
2
－4
y 1x12
2
－2 －2 －4
24
y 1x12
2
y
1
－6
x精选2 ppt课件
Hale Waihona Puke 62探究在同一坐标系中作二次函数y =2(x-1)2和 y=2x2的图象,会是什么样?
y 2x2
y2x12
二次项系数为2，
二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的 图象与性质
九年级数学组
－4 －2 －2 －4
24
－6
精选ppt课件
1
1.二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是什么形状？ 二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是一条抛物线。
2.二次函数y=ax2的性质是什么？
解析式
开口方向 a＞0 a＜0
对 称 轴
顶点 坐标
精选ppt课件
10
填表： 函数
y=2(x+3)2 y=-3(x -1)2 y=5(x+2)2 y= -(x-6)2 y=7(x-8)2
数学九年级上册第2课时二次函数y=a(xh)2的图象和性质(共18张PPT)
直线x=2
知识梳理
（一）抛物线y=a(x-h)2特点：
1.当a>0时，开口 向上 ；当a<0时，开口 向下； 2. 顶点坐标是（h,0）； 3. 对称轴是直线 直线x=h。 4、当a>0时,在对称轴的左侧,即x <h 时，y随x的增大而 减小 ;
在对称轴的右侧,即x >h 时，y随x的增大而 增大 . 当a<0时, 在对称轴的左侧,即x <h 时，y随x的增大而 增大 ;
y＝(x-1)2
（1） y＝(x-1)2的开口向 上 ， 对称轴是直线 x=1 ，
顶点坐标是（1,0）。 图象有最 低 点， 即x= 1 时，y有最小值是 0 ；
在对称轴的左侧，
即x <1 时，y随x的增大而 减小 ；
在对称轴的右侧，
即x >1 时，y随x的增大而 增大 。 y＝(x-1)2 可以看作由y=x2
抛物线 y 1 (x 1)、2 y 1 (x 1)2 与抛物线 y 1 x2
2
2
2
有什么关系？
y
即:
1
y
1 2
向左平移 x2 1个单位
y
1 2
(x 1)2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
y 1 (x 1)2 2
y
1 2
x2向右平移 1个单位
2
2
2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它
们的开口方向、对称轴及顶点．
（思考）按下列要求求出二次函数的解析 式：形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但 开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物 线解析式
顶点坐标是（-1,0）。
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
活动 四： 课堂 总结 反思【教学反思】 ①[授课流程反思]新课导入环节中, 引导学生在观察函数图象上下功夫, 同时给学生设置有悬念的问题, 使学生积极思考问题；在探究新知过程中, 让学生经历类比联想、归纳总结的过程, 应用由特殊到一般的思想, 增强学生的观察、分析、归纳和表达能力. ②[讲授效果反思] 引导学生注意三点: (1)明确记忆函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)函数图象的平移规律；(3)掌握函数的性质. ③[师生互动反思] 教学过程中, 教师对学生进行引导, 使他们能够积极投入到对数学知识的探索过程中来, 养成探索的好习惯. ④[习题反思]好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________反思教学过程和教师表现, 进一步提升操作流程和自身素质. 一、知识回顾: 画出二次函数y ＝－ (x ＋1)2, y ＝－ (x －1)2的图象, 并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、函数值的变化情况．先列表：x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …y ＝－12(x ＋1)2… … y ＝－12(x －1)2……在坐标纸上描点并画图:(1)观察图象, 填开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增(2)请在图上把抛物线y＝－x2也画上去(草图).①抛物线y＝－ (x＋1)2, y＝－ x2, y＝－ (x－1)2的形状大小________.②把抛物线y＝－ x2向______平移________个单位, 就得到抛物线y＝－ (x＋1)2；把抛物线y＝－ x2向______平移________个单位, 就得到抛物线y＝－ (x－1)2.(2)对于抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象, 形状________, 位置__________.当h>0时, 抛物线y＝a(x－h)2的图象可由y＝ax2的图象向________平移________个单位得到；当h<0时, 抛物线y＝a(x－h)2的图象可由y＝ax2的图象向________平移________个单位得到．小试牛刀:2.抛物线y ＝4(x －2)2与y 轴的交点坐标是________, 与x 轴的交点坐标为________.3. (1)把抛物线y ＝3x2向右平移4个单位后, 得到的抛物线的表达式为________. (2)把抛物线y ＝3x2向左平移6个单位后, 得到的抛物线的表达式为________.4.(1)将抛物线y ＝－ (x －1)2向右平移2个单位后, 得到的抛物线表达式为__________． (2)将抛物线y ＝－13(x －4)2向________平移________个单位得到y ＝－13x 2.5. 写出一个顶点是(5, 0), 形状、开口方向与抛物线y ＝－2x2都相同的二次函数表达式__________.当堂巩固检测(1)二次函数y ＝2(x ＋5)2的图象是________, 开口________, 对称轴是________, 当x ＝____________时, y 有最________值, 是________.(2)二次函数y ＝－3(x －4)2的图象是由抛物线y ＝－3x2向________平移________个单位得到的；开口________, 对称轴是________, 当x ＝________时, y 有最__________值, 是__________.(3)将二次函数y ＝2x2的图象向右平移3个单位后得到函数________的图象, 其对称轴是________, 顶点是________, 当x________时, y 随x 的增大而增大；当x________时, y 随x 的增大而减小.(4)将二次函数y ＝－3(x －2)2的图象向左平移3个单位后得到函数____________的图象, 其顶点坐标是________, 对称轴是__________, 当x ＝________时, y 有最________值, 是________.(5)抛物线y ＝4(x －3)2的开口方向__________, 对称轴是__________, 顶点坐标是__________, 抛物线有最________点, 当x ＝__________时, y 有最________值, 其值为__________, 抛物线与x 轴的交点坐标为________, 与y 轴的交点坐标为________．三、课时小结1. 抛物线y ＝2(x ＋3)2的开口__________；顶点坐标为________；对称轴是________； 当x ＞－3时, y 随x 的增大而__________；当x ＝－3时, y 有最________值是________. 2．抛物线y ＝m(x ＋n)2向左平移2个单位后, 得到的函数表达式是y ＝－4(x －4)2, 则m ＝________, n ＝________．3．二次函数y ＝a(x ＋h)2(a ≠0)的图象由y ＝ x2向右平移得到的, 且过点(1, 2), 试说明向右平移了几个单位？。
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1 2
2
9 2
8
25 …
2
y 1 (x 2)2 …
2
25 8
2
9 2
2
1 2
0
1…
2
巩固练习 6
y 1 x 22
2
5
y
4
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
O
2
x
4
6
-1
y 1 x2
向左平移 -2
y 1 (x 2)2
2 2个单位
自主探究
2.观察思考
抛物线 y 1 (x 1)2 、y 1 (x 1)2 与抛物
2
2
线 y 1 x2有什么关系？
2
（1）思考抛物线 y 1 (x 1)2 、y 1 (x 1)2 、
2
2
y 1 x2 的开口方向及大小、对称轴、顶
2
点位置.
自主探究
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数 y=a（x-h）2+k的图象和性质
第2课时 二次函数 y=a(x-h)2的图象和性质(案例一)
Company name
1. 我们已经了解到，函数 y=ax2+k 的图象可 由函数y=ax2的图象上下平移得到，平移的规 律是怎样的？
向下 向下
x =0(y轴) x=-1
(0,0) (-1,0)
y 1 (x 1)2 向下
x=1
2
(1,0)
自主探究
2. 结论：②
26.2 二次函数y=a(x-h)2 的图像与性质PPT课件
练 有什么关系？以及增减性
-2
-3 -4
y 1( 2
-5
-6
-7
-8 -9
是怎么变化的？ 2020年10月2日
x=－1-10
y 1(x3 1) 2
抛物线 y 1(x1)2 与抛物线 y 1(x1)2 y 1 x有2
什么关系? 2
2
2
即:
y
1 2
x2向1个左单平位移y
1(x1)2 2
y 1 x2向右平移y 1(x1)2
…
y1(x1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
(1)抛物线 y 1(x1)2
y 1
与 y 1(x1)2 2 的开口
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5
2
倍 速
方向、对称轴、顶点?1)2 2
2y 1 x2 2
速 课 时 学 练
2020年10月2日
直线x=-3 直线x=1 直线x=3
( -3 , 0 ) (1,0) ( 3, 0)
11
2、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2 （-1，0）求该抛物线线的解析式。
（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相 同，但开口方向不同，顶点坐标是（1， 0）的抛物线解析式。
（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函
数 y=2（x-3）2 的图像，其对称轴是 直线x=3
，顶点
倍 速 课 时 学
是 （3，0）
，当x ＞3 时，y随x的增大而增大；当
x ＜3
时，y随x的增大而减小.
（4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后 得到函数 y= -3（x+1）2 的图像，其顶点坐标是 （-1，0） ，
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质(左右平移)课件
y 3x 2
X=-1 X=1
1)2的顶点是(1,0);对 称轴是直线:x=1;抛 物线y=-3(x+1)2的 顶点是(－1,0);对称 轴是直线:x=－1.
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平 移了1个单位.
2
2
⑴完成下表 ,观察两个函数值之间有怎样的关系?
x -3 27 -2 12 -1 3 0 0 1 3 2 12 3 27 4 48
y 3x 2
2 y 3 x 1
48
27
12
3
0
3
12
27
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象．
观察图象,回答问题
x<1时,y随x 的增大而减小 想一想,在同一坐标系中作二次函 数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置? 它的增减性会是什么样?
1. 函 数 y=3(x+1)2 的 图 象 与 y=3x2 和 y=3(x-1)2 的 图 y 3x 12 象有什么关系?它是轴对称 图形吗?它的对称轴和顶点 坐标分别是什么?
（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函 数 y=2（x-3）2 的图像，其对称轴是 直线x=3 ，顶点 是 （ 3， 0） ，当x ＞3 时，y随x的增大而增大；当 x ＜3 时，y随x的增大而减小. （4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后 得到函数 y= -3（x+1）2 的图像，其顶点坐标 （-1，0） ， 对称轴是 直线x=-1 ，当x= -1 时，y有最 大 值， 是 0 .
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y ax h2
增大而减小;在对称轴
(x=h)右侧,y随着x的增
大而增大;当x=h时函数 二次函数y=a(x-h)2
y的值最小(是0).
与y=ax2的图象形状
当a<0时,在对称轴(x=h) 相同,可以看作是抛
的左侧,y随着x的增大而 物线y=ax2整体沿x轴
增大;在对称轴(x=h)的 平移了h 个单位(当
向下无限伸展.
y 3x 12
1.抛物线y=-3(x-
3.抛物线y=-3(x-1)2在对称
1)2的顶点是(1,0);对
轴(x=1)的左侧,当x<1时, y随 着x的增大而增大;在对称轴
y 3x2
称轴是直线:x=1;抛 物线y=-3(x+1)2的
(x=1)右侧,当x>1时, y随着x
X=-1 X=1
想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?
当x<-1 时,y随 的增大而减小, 当 x>-1时,y 随 的增大而增大
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
2.抛物线y=-3(x-
y
1)2和y=-3(x+1)2在x
轴的下方(除顶点外),
它的开口向下,并且 y 3x 12
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最大值为0.
开口大小 a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
例1. 填空题
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
y ax h2
抛物线 顶点坐标
y=a(x-h)2 (a>0) （h，0）
y=a(x-h)2 (a<0) （h，0）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置 在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
⑴完成下表 ,观察两个函数值之间有怎样的关系?
x
y 3x2
-3 -2 -1 0 27 12 3 0
1 2 34 3 12 27 48
y 3x 12 48 27 12 3 0 3 12 27
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象．
观察图象,回答问题
y 3x2
y 3x 12
大而减少？当x>1时,y随的增大而增大, 当 x<1时,y随x 的增大而减小 想一想,在同一坐标系中作二次函
数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
它的增减性会是什么样?
1. 函 数 y=3(x+1)2 的 图 象
与 y=3x2 和 y=3(x-1)2 的 图 y 3x 12
象有什么关系?它是轴对称
（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 口向上 ，对称轴是直线x= -5，当x= -5 是0 .
抛物线，开 时，y有最 小
值，
（2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 右 平移 4 个单位得到的；开口 向下 ，对称轴 是直线x=，4 当x= 4 时，y有最 大 值，是 0 .
图形吗?它的对称轴和顶点
坐标分别是什么?
y 3x2
y 3x 12
二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向左平移了1 个单位.
图象是轴对称图形. 对称轴是平行于 y轴的直线:x=－1.
顶点坐标 是点(－1,0).
二次项系数相同 a>0,开口都向上.
顶点是(－1,0);对称
的增大而减小.当x=1时,函数
轴是直线:x=－1.
y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是
(x=－1)的左侧,当x<－1时, y 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1
随着x的增大而增大;在对称 轴(x=－1)右侧,当x>－1时, y 随着x的增大而减小.当 x=－1时,函数y的值最大(是
右侧,y随着x增大而减小; h>0时,向右移 h个单
当x=h时,函数y的值最 位;当h<0时,向左移 h
大(是0).
个单位)得到的.
2.当a>0时,抛 物线y=a(x-h)2 在x轴的上方 (除顶点外),它 的开口向上,并
且向上无限伸 展; 当a<0时,抛物 线y=a(x-h)2在 x轴的下方(除 顶点外),它的 开口向下,并且 向下无限伸展.
函数y=3(x-1)2的图 象与y=3x2的图象 的形状相同吗?
相同
函数y=3(x-1)2的图象与 y=3x2的图象的位置有什么
关系?
函数y=3(x-1)2 的图象可 由y=3x2的图象沿x轴向右
平移1个单位长度得到.
观察图象,回答问题
(1) 函 数 y=3(x-1)2 的 图象与y=3x23;1)2可以看 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平 移了1个单位.
0).
1.抛物线y=a(x- 二次函数y=a(x-h)2的性质
h)2的顶点是(h,0),
X=h
X=h
对称轴是平行于y
y ax2
轴的直线x=h.
4. a 越大,开口越小,
a 越小,开口越大.
3.当a>0时,在对称轴 (x=h)的左侧,y随着x的
（0，0） （0,0）
最小值 是0
最大值 是0
Y随x的增 大而减小
Y随x的增 大而增大
（0,c）
最小值 Y随x的增 是C 大而减小
（0,c）
最大值 是C
Y随x的增 大而增大
Y随x的增 大而增大
Y随x的增 大而减小
Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小
比较函数 y 3x2与 y 3 x 1 2 的图象
y 3x2
y 3x 12
开口方向如何?它是轴
对称图形吗?它的对称
轴和顶点坐标分别是
什么?
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
顶点坐标 是点(1,0).
二次项系数相同 a>0,开口都向上.
(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大
而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增
二次函数y=a(x-h)2的 图象和性质
1.二次函数y=ax2+c的图象是什么？答：是抛物线 2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：
函数
开口方向
对称 轴
顶 点坐 标
Y的 最值
增减性
在对称 在对称轴 轴右侧
左侧
y=ax2
a＞0 向上 Y轴 a＜0 向下 Y轴
y=ax2+c
a＞0 a＜0
向上 Y轴 向下 Y轴