第三章平面问题的有限元法作业及答案

第三章 平面问题的有限元法作业

1. 图示一个等腰三角形单元及其节点编码情况，设μ=0，单元厚度为t 。求 1）形函数矩阵[]N ；2）应变矩阵[]B ；3）应力矩阵[]S 。

4

第1题图 第2题图

2. 如题图所示，结构为边长等于a 的正方形，已知其节点位移分别为：11(,)u v 、

22(,)u v 、33(,)u v 、44(,)u v 。试求A 、B 、C 三点的位移。其中A 为正方形形心，B 为三角形形心。

3.直角边边长为l 的三角形单元，如题图所示。试计算单元等效节点载荷列阵（单元厚度为t ，不计自重）。

第3题图 第4题图

4. 如题图所示，各单元均为直角边边长等于l 的直角三角形。试计算（1）单元等效节点载荷列阵；（2）整体等效节点载荷列阵。已知单元厚度为t ，不计自重。

5．下列3个有限元模型网格，哪种节点编号更合理？为什么？

9

34

6

7912

11

34

6

12142

(a) (b) (c)

第5题图

6.将图示结构画出有限元模型；标出单元号和节点号；给出位移边界条件；并计算半带宽（结构厚度为t ）。

2a

(a) (b) 无限长圆筒 (c) 第6题图

7. 结构如图所示，已知结构材料常数E 和 ，单元厚度为t 。利用结构的对称性，采用一个单元，分别计算节点位移和单元应力。

第7题图

答案：

1. 1）形函数

i x N a =

， j y N a = ， 1m x y N a a

=-- 2）应变矩阵

[]1000101

000101011011B a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦

3）应力矩阵

[]100010100

01

0111

110022

2

2S a ⎡

⎤⎢⎥-⎢

⎥=-⎢⎥⎢⎥-

-⎢

⎥⎣

⎦

2. A 点的位移为

()2312A u u u =

+ ， ()231

2A v v v =+ B 点的位移为

()24313B u u u u =

++ ， ()2431

3B v v v v =++ C 点的位移为

()1223C a u u u =

+ ， ()C 1223

a

v v v =+ 3. 单元等效节点载荷列阵为

{}11

11

00003

663

T

e

i j i j

R q q q q ⎡⎤

=++⎢⎥

⎣⎦

4. （2）整体等效节点载荷向量为

{}111100006

322T

R qlt P qlt P P

qlt qlt ⎡⎤

=-⎢⎥⎣⎦ 7. （1） 减缩后的整体刚度方程

22

12

2

1222

22221110222021102(1)2

2102x x b b ab R b ab b P v Et

ab a b ab ab R v b a μμμ

μμμμμμ---⎡⎤-

-

⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪--⎪⎪⎢⎥⎪⎪

-⎪⎪⎢

⎥=⎨⎬⎨⎬---+

+⎢

⎥⎪⎪⎪

⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭-⎢⎥⎩⎭+⎢⎥

⎣

⎦ 节点位移

22(1)

Pb v Eat

μ+=- ， 22

12212b a v v b

μ-+

=

单元应力为

{}()2122

201012bv E bv bv ab av μσμμ⎛⎫⎧⎫ ⎪⎪⎪-⎧⎫ ⎪

⎪⎪⎪⎪=+-⎨⎬⎨⎬ ⎪-⎪⎪⎪⎪ ⎪

-⎩⎭⎪⎪-

⎪⎩⎭⎝

⎭