极差.方差与标准差(知识点讲解)
《极差方差与标准差》课件
在统计分析中，标准差是描述数据 分布的重要参数之一，可以帮助我 们了解数据的离散程度和波动情况 。
05
极差、方差与标准差的关 系
三者之间的关系
01
02
03
极差
表示数据分布的离散程度 ，计算公式为最大值减去 最小值。
方差
表示数据偏离平均值的程 度，计算公式为每个数据 点与平均值的差的平方和 的平均值。
案例三：标准差在人力资源管理中的应用
总结词
评估员工绩效稳定性
详细描述
标准差用于评估员工绩效的稳定性，通过计算员工绩效数据的离散程度，可以了解员工工作表现是否 稳定可靠，为人力资源管理和员工培训提供参考依据。
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感谢观看
标准差的值越大，表示数据点越离散 ；标准差的值越小，表示数据点越集 中。
计算公式：标准差 = sqrt[(1/N) * Σ(xi-μ)^2]，其中xi是数据点，μ是平 均值，N是数据点的数量。
标准差的计算方法
手动计算
适用于数据量较小的情况，可以通过 逐一计算每个数据点与平均值的差的 平方，然后求和，最后除以数据点的 数量得到标准差。
标准差
是方差的平方根，表示数 据点与平均值的偏离程度 。
三者在数据分析中的作用
极差
用于初步了解数据的分布 范围，判断数据的离散程 度。
方差
用于量化数据点与平均值 的偏离程度，帮助了解数 据的稳定性。
标准差
用于量化数据点与平均值 的偏离程度，常用于金融 、统计学等领域。
06
案例分析
案例一：极差在金融领域的应用
课程目标
知识目标
掌握极差、方差与标准差的计算方法 ，理解其数学意义。
能力目标
极差 方差 标准差公式
极差方差标准差公式极差、方差和标准差是统计学中常用的三种描述数据分散程度的指标，它们在数据分析和统计推断中扮演着重要的角色。
本文将对这三种指标的计算公式进行详细介绍，并对它们的应用进行简要说明。
首先，我们来看极差。
极差是一组数据中最大值与最小值之间的差值，它可以用来描述数据的变异程度。
极差的计算公式如下：\[ R = X_{max} X_{min} \]其中，\( X_{max} \)表示数据中的最大值，\( X_{min} \)表示数据中的最小值。
极差越大，说明数据的变异程度越大；极差越小，说明数据的变异程度越小。
接下来，我们来介绍方差。
方差是一组数据与其平均值之差的平方和的平均值，它是衡量数据分散程度的重要指标。
方差的计算公式如下：\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i \bar{X})^2}{n} \]其中，\( X_i \)表示第i个数据点，\( \bar{X} \)表示数据的平均值，n表示数据的个数。
方差越大，说明数据的分散程度越大；方差越小，说明数据的分散程度越小。
最后，我们来介绍标准差。
标准差是方差的平方根，它是数据分散程度的另一种度量方式。
标准差的计算公式如下：\[ S = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i \bar{X})^2}{n}} \]标准差与方差类似，它也可以用来衡量数据的分散程度。
标准差越大，说明数据的分散程度越大；标准差越小，说明数据的分散程度越小。
在实际应用中，极差、方差和标准差都可以用来描述数据的分散程度，但它们各自有着不同的特点和适用范围。
在选择使用哪种指标时，需要根据具体情况进行综合考虑。
总之，极差、方差和标准差是统计学中常用的描述数据分散程度的指标，它们对于理解数据的特点和规律具有重要意义。
通过对这三种指标的计算公式和应用进行了解，可以更好地应用统计学方法进行数据分析和推断。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助。
极差、方差、标准差
分别计算这两组数据的方差，比较它们的稳定 分性析 ． (1)求平均数
x = 10 + 1(-0.1+ 0.3- 0.2+ 0.1+ 0.4 - 0.2- 0.3)= 10
甲
8
x = 10 + 1(0.2- 0.5+ 0.3+ 0.5- 0.4 - 0.2+ 0.1)= 10
3、方差
，方差的单位是 S2 = 1 n
x1 - x
+
x2 - x
2
+L
+
xn - x
2
原数据的单位的平方,方差表示统计的样本基于平
均数的偏差，当平均数相同时，方差大，说明数据
不整齐波动大，起伏大。
4、标准差为S，即方差的算术平方根，它的单位 与原数据的单位相同。
什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？
用一组数据中的最大值减去最小 值所得的差来反映这组数据的变化范
围．用这种方法得到的差称为极差
（range）．
极差＝最大值－最小值．
练习：
1、求下列各题中的极差
（1）已知一组数据4、0、2、1、-2，则极差是__
（2）某班个子最高的学生身高为1.70米，个子最 矮的学生的身高为1.38米，求该班所有学生身高 的极差______
（x>y）的平均数为100，方差为2，
求 x，y
4、已知数据 x1, x2 ,L xn 的方差为
a，求数据
差
2x1
1，2x2
1,L
L
, 2xn
1
的方
极差.方差与标准差(知识点讲解)
极差.方差与标准差(知识点讲解)极差、方差与标准差一、本节知识导学本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。
通过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时也希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。
因此有必要重新找一个对整组数据的波动情况更敏感的指标, 构造方差前请同学们注意以下几个方面： 1．为什么要用“每次成绩”和“平均成绩”相减。
2．为什么要“平方”。
3．为什么“求平均数”比“求和”更好。
同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。
对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算，应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。
对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根运算又可以将他们联系在一起。
二、例题1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散程度。
本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。
解：从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等。
（图（1）中数据与图（2）中前10个数据相等, 且图（2）中后几个数据不影响平均值）。
图（1）的标准差比图（2）的标准差大。
（因为图（1）中各数据与其平均值离散程度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其平均值的离散程度小。
因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）。
）2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。
分析：要求方差，必须先求平均数。
解：= （5+7+9+9+10+11+13+14）=9.75方差s 2= =7.69[（5-9.75）2+(7-9.75)2+……+(14-9.75) 2]3．求下列一组数据的极差、方差和标准差（小数点后保留两位）：50，55，96，98,65，100，70，90，85，100分析：由于标准差是方差的变形所以一般情况下先求方差解：极差为100-50=50平均数为=（50+55+96+98+65+100+70+90+85+100）=80.9方差为：s 2= =334.69 标准差为：s=[(50-80.9)2+(55-80.9)2+……+(100-80.9) 2]=18.294．在某次数学竞赛中，甲、乙两班的成绩如下已经算出两班的平均数都是80分，请你根据已有的统计知识分析两个班的成绩。
极差--方差--标准差1
小明和小兵两人参加体育项目训练， 近期的五次测试成绩如下表所示．
谁的成绩较为稳定？为什么？ 能通过计算回答吗?
链接1
通常，如果一组数 据与其平均值的离 散程度较小，我们 就说它比较稳定．
请同学们进一步思 考，什么样的数能 反映一组数据与其 平均值的离散程度？
从表和图中可以看到，小兵的测试成绩 与平均值的偏差较大，而小明的较小．那 么如何加以说明呢？
那么，你能提出一个可行的方案吗？
请在下表的红色格子中写上新的计算方案， 并将计算结果填入表中．
考虑实际情况，如果一共进行了7次测试， 小明因故缺席两次，怎样比较谁的成绩 更稳定?
我们可以用“先平均，再求差，然后 平方，最后再平均”得到的结果表示一 组数据偏离平均值的情况．这个结果通 常称为方差（variance）．
1.分别求出小明和小兵的方差和标准差
2.比较下列两组数据的方差: A组:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; B组:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5
3.观察下面的图，指出其中谁的标准差较大， 并说说为什么．
反映数据离散程度的指标是什么？
在一次数学测试中，甲、乙两班的 平均成绩相同，甲班成绩的方差为 42，乙班成绩的方差为35，这样的 结果说明两个班的数学学习状况各 有什么特点？
方差越大,说明这组数据偏离平均值的 情况越严重,即离散程度较大,数据也越不稳定． 方差反映的是一组数据与平均值 的离散程度或一组数据的稳定程度．
2 可以看出S
的数量单位与原数据的 不一致，因此在实际应用时常常将 求出的方差再开平方，这就是 标准差（standard deviation）， 用符号表示为
复习回忆:
1.何谓一组数据的极差? 极差反映了这组数据哪方面的特征? 答 一组数据中的最大值减去最小 值所得的差叫做这组数据的极差，极 差反映的是这组数据的变化范围或变 化幅度．
初三数学极差、方差、标准差
【知识点】
（1）极差是用来反映一组数据变化范围的大小．一组数据中的最大数据与最小数据所得的
差来称为极差；
（2）方差记作 S 2
1 n
[(
x1
x)2
(x2
x)2
(xn
x)2 ]
；在实际应用时常常将求出
的方差 算术平方根，这就是标准差.
【例题】
1、（2016 广西百色）一组数据 2，4，a，7，7 的平均数 x =5，则方差 S2=
C．甲和乙一样稳定
D．甲、乙稳定性没法对比
3、下面是甲、乙两人 10 次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定
B．乙比甲的成绩稳定 D．无法确定谁的成绩更稳定
4．已知 A 样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B 样本的数据恰好是 A 样
A．平均数 3
B．众数是﹣2
C．中位数是 1
D．极差为 8
2．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击 10 次，两人 10 次射击成绩的平均数均是 9.1 环， 方差分别是 S 甲 2=1.2，S 乙 2=1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确 的是（ ）
A．甲比乙稳定
B．乙比甲稳定
本数据每个都加 2，则 A，B 两个样本的下列统计量对应相同的是（ ）
A.平均数
B.标准差
C.中位数
D.众数
【练习解析】
1、【答案】D．
2、【答案】A 【解析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小， 表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
数学《极差方差和标准差》知识点
八年级数学《极差、方差和标准差》知识点极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标.一、定义理解1极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小. 我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差.极差=最大值-最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义.2、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均•"通常用S表示一组数据的方差，用X表示一组数据的平均数，x“ x2、… X n表示各数据.方差计算公式是：s2=1[(x 1- x) 2+(x2- x) 2+—+(X n- x) 2]；3、标准差在计算方差的过程中，可以看出S2的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再幵平方，这就是标准差.标准差=..方差，方差=标准差2.一组数据的标准差计算公式是S j1~xi~x X2—"X ~ xn~x ，其中X为n个数据X i, X2,…，X n的平均数.方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小.方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同.在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况.二、例题讲析例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102(1)求甲、乙两队的平均分和极差？(2)计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？解：(1) x= (100 97 99 96 102 103 104 101 101 100)= 100.3?10甲队的极差=104-96= 8; 甲队的极差=104-95= 9(2) S 甲2丄[(100 100.3)2(99 100.3)2(100 100.3)2 ]=5.6110甲队的标准差：-.5.61 2.37 ; 乙队的标准差：.9.21 3.03 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些.例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25, 23, 28, 22, 27乙组：27, 24, 24, 27, 23(1)10盆花的花期最多相差几天？(2)施用何种花肥，花的平均花期较长？(3)施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！解：(1) 28- 22= 6 (天) 所以，10盆花的花期最多相差6天._ 1(2)由平均数公式得：x= -(25 23 28 22 27)= 25?5得站=心，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等.(3)由方差公式得：得S B2 s乙故施用乙种花肥，效果比较可靠三、反馈练习1. 一组数据5, 8, x, 10, 4的平均数是2x，则这组数据的方差是____________ .2. 五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下(单位：cm): 2,-2, —1, 1, 0,则这组数据的极差为______ cm.方差是_________ ，标准差是______3. 若样本1, 2, 3, x的平均数为5,又样本1, 2, 3, x, y的平均数为6,则样本1, 2, 3, x, y的极差是 _________ ，方差是_______ ，标准差是______ .4. 已知一组数据0, 1, 2, 3, 4的方差为2,则数据20, 21, 22, 23, 24的方差为 ____ ,标准差为________ .5. 一组数据—8,- 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9的极差是 ________ ，方差是______ ，标准6. 若样本X1,X2,……,X n的平均数为 =5,方差S2= 0.025,贝肪羊本4X I,4X2,4X n的平均数X /= _______ ，方差S7 2= _______ .。
极差方差标准差(整理)
北京四中撰稿：张扬责编：姚一民数据的波动一．基本知识点讲解：1．极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。
极差=数据中的最大数-数据中的最小数2. 方差与标准差：S^2=[(x1-x的平均数)^2+(x2-x的平均数)^2+...+(xn-x的平均数)^2]设在一组数据x1 x2 x3……x n中各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-)2, (x2-)2……(x n-)2,则他们的平均数：方差可以用来衡量这组数据的波动的大小，一组数据的方差越大，就说明这组数据的波动也越大，这波动的大小是指偏离平均数的大小。
3. 标准差：一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用S来表示，即：标准差也只是来衡量一组数据波动大小的量，它虽然比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的度量单位是一致的，所以有时用标准差比较方便。
4. 计算方差的三个公式公式①是方差的定义，一组数据的每个数都减去它们的平均数的平方，再求这些平方的和，比较麻烦，因此可用公式②以使计算过程较为简单，当不是整数时尤为简单。
接近这组数据的平均数的一个常数。
二．例题解析：（1）应用公式①例1. 计算数据9.9、9.7、10.3、9.8、9.8、10、10.1、10.4的方差与标准差。
解：例2. 甲乙两组进行投篮比赛，每组选派10名队员参加，每人投10次，每次投中的人数如下：甲组：7、6、8、8、5、9、7、7、6、7乙组：6、7、8、4、10、9、7、6、6、7求：甲、乙两组哪一组的投篮情况比较稳定解：∴甲乙两组的平均命中率相同，但甲组的投篮比较稳定，所以甲组的投篮情况较好。
（2）应用公式②例3. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，各次命中环数如下：甲：4、7、10、9、5、6、8、6、8、8乙：7、8、6、6、7、8、7、8、5、9求甲、乙两人谁的射击成绩比较稳定解：（3）应用公式③例4. 求以下数据的方差（精确到0.1）10、13、9、11、8、10、11、12、8、14、10、9解：设a=10，每个数都减去10，有三：小结：1. 方差是以平均数为基数，揭示数据波动的大、小，所以首先要把平均数算准确。
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极差.方差与标准差(知识点讲解)
极差、方差与标准差
一、本节知识导学
本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。
通
过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时也
希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间
的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。
因此有必要重新找一个对整组数据的波动情
况更敏感的指标, 构造方差前请同学们注意以下几个方面： 1．为什么要用“每次成绩”
和“平均成绩”相减。
2．为什么要“平方”。
3．为什么“求平均数”比“求和”更好。
同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。
对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算，
应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。
对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根
运算又可以将他们联系在一起。
二、例题
1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差
分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散
程度。
本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。
解：从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等。
（图（1）中数据与图（2）中前
10个数据相等, 且图（2）中后几个数据不影响平均值）。
图（1）的标准差比图（2）的标准差大。
（因为图（1）中各数据与其平均值离散程
度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其
平均值的离散程度小。
因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）。
）
2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。
分析：要求方差，必须先求平均数。
解：
= （5+7+9+9+10+11+13+14）=9.75
方差s 2
= =7.69
[（5-9.75）2+(7-9.75)2+……+(14-9.75) 2]
3．求下列一组数据的极差、方差和标准差（小数点后保留两位）：50，55，96，98,65，100，70，90，85，100
分析：由于标准差是方差的变形所以一般情况下先求方差
解：极差为100-50=50
平均数为=（50+55+96+98+65+100+70+90+85+100）=80.9
方差为：s 2
= =334.69 标准差为：
s=
[(50-80.9)2+(55-80.9)2+……+(100-80.9) 2]
=18.29
4．在某次数学竞赛中，甲、乙两班的成绩如下
已经算出两班的平均数都是80分，请你根据已有的统计知识分析两个班的成绩。
分析：这是一道开放型试题，题目中没有给出进行分析的标准，所以我们可以从已经掌握的
统计知识：平均数、众数、中位数、方差、标准差、极差等方面进行分析。
解：（1）用众数进行分析：甲班成绩的众数是90，乙班成绩的众数是70。
所以用众数比较，甲班的成绩好于乙班。
（2）用方差进行分析：s 2甲=172 ；s 2乙=256。
所以s 2甲
考虑成绩的稳定性：甲班好于乙班。
（3）用中位数进行分析：两个班的中位数都是80分，甲班在中位数以上（包括80分）的学生共33人；乙班在中位数以上（包括80分）的学生共26人。
所以甲班成绩好于乙班。
（4）甲班学生高于90分（包括90分）的学生共20人，乙班学生高于90分（包括
90分）的学生共24人；从满分成绩来看，甲班比乙班少6人。
从“优等生”角度看乙班
成绩好于甲班。
三、练习选择题：
1．在数据统计中，能反映一组数据变化范围大小的指标是（） A 、极差 B 、方差
C 、标准差
D 、以上都不对
2．能反映一组数据与其平均值的离散程度的是（） A 、极差和方差 B 、极差和
标准差 C 、方差和标准差 D 、以上都不对
3．已知甲、乙两个样本（样本容量一样大），若甲样本的方差是0.4，乙样本的方差是0.2, 那么比较甲、乙两个样本的波动大小的结果是（） A 、甲样本的波动比乙大
B 、乙样本的波动比甲大
C 、甲、乙的波动一样大
D 、无法比较
4．数据501，502，503，504，505，506，507，508，509的标准差是（）
A
、
B
、 C
、 D 、1
5. 如果一组数据的极差是80，若画图前确定组距是9，则组数是（） A 、7组 B 、8组 C 、9组 D 、10组
6. 样本方差的作用是（）
A 、用来估计总体数值的大小
B 、用来估计样本数值的大小
C 、用来衡量样本容量
的大小 D 、用来衡量样本波动的大小。
填空题
1．方差的___________________叫标准差。
2．当两组数据的个数相等、平均数相等或接近时，用方差和标准差可以比较其波动
大小及稳定性，方差较大的数据波动__________,稳定程度_____________,方差较小的数
据波动__________,稳定程度_____________。
3．数据0，1，3，2，4的极差为________方差为___________标准差为
________________.
4．已知一个样本1，3，2，5，X 若它的平均数是3，则这个样本的标准差为
_____________.
解答题：
要从甲、乙、丙三名射击运动员中选拔一名参加比赛，在选拔赛中，他们每人各打10发子弹，命中环数如下表所示
根据成绩，应选谁去比赛？
答案：选择题
1、A
2、C
3、A
4、B
5、C
6、D
填空题 1．算术平方根
2．较大、低、较小、高
3．4、2、 4．
解答题
解：从成绩来看：
1. 甲、乙的平均数都是93，丙的平均数是91，所以淘汰丙；
2．虽然甲、乙的平均数都是93，但甲的方差小于乙的方差，说明甲比较稳定，有利于在射击比赛中取得好成绩。
所以，应选甲参加比赛。