极差.方差与标准差(知识点讲解)

极差.方差与标准差(知识点讲解)

极差、方差与标准差

一、本节知识导学

本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。通

过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时也

希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间

的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。因此有必要重新找一个对整组数据的波动情

况更敏感的指标, 构造方差前请同学们注意以下几个方面： 1．为什么要用“每次成绩”

和“平均成绩”相减。 2．为什么要“平方”。

3．为什么“求平均数”比“求和”更好。

同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。

对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算，

应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。

对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根

运算又可以将他们联系在一起。

二、例题

1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差

分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散

程度。本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。

解：从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等。（图（1）中数据与图（2）中前

10个数据相等, 且图（2）中后几个数据不影响平均值）。

图（1）的标准差比图（2）的标准差大。（因为图（1）中各数据与其平均值离散程

度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其

平均值的离散程度小。因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）。）

2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。

分析：要求方差，必须先求平均数。

解：

= （5+7+9+9+10+11+13+14）=9.75

方差s 2

= =7.69

[（5-9.75）2+(7-9.75)2+……+(14-9.75) 2]

3．求下列一组数据的极差、方差和标准差（小数点后保留两位）：50，55，96，98,65，100，70，90，85，100

分析：由于标准差是方差的变形所以一般情况下先求方差

解：极差为100-50=50

平均数为=（50+55+96+98+65+100+70+90+85+100）=80.9

方差为：s 2

= =334.69 标准差为：

s=

[(50-80.9)2+(55-80.9)2+……+(100-80.9) 2]

=18.29

4．在某次数学竞赛中，甲、乙两班的成绩如下

已经算出两班的平均数都是80分，请你根据已有的统计知识分析两个班的成绩。

分析：这是一道开放型试题，题目中没有给出进行分析的标准，所以我们可以从已经掌握的

统计知识：平均数、众数、中位数、方差、标准差、极差等方面进行分析。

解：（1）用众数进行分析：甲班成绩的众数是90，乙班成绩的众数是70。所以用众数比较，甲班的成绩好于乙班。

（2）用方差进行分析：s 2甲=172 ；s 2乙=256。所以s 2甲

考虑成绩的稳定性：甲班好于乙班。

（3）用中位数进行分析：两个班的中位数都是80分，甲班在中位数以上（包括80分）的学生共33人；乙班在中位数以上（包括80分）的学生共26人。所以甲班成绩好于乙班。

（4）甲班学生高于90分（包括90分）的学生共20人，乙班学生高于90分（包括

90分）的学生共24人；从满分成绩来看，甲班比乙班少6人。从“优等生”角度看乙班

成绩好于甲班。

三、练习选择题：

1．在数据统计中，能反映一组数据变化范围大小的指标是（） A 、极差 B 、方差

C 、标准差

D 、以上都不对

2．能反映一组数据与其平均值的离散程度的是（） A 、极差和方差 B 、极差和

标准差 C 、方差和标准差 D 、以上都不对

3．已知甲、乙两个样本（样本容量一样大），若甲样本的方差是0.4，乙样本的方差是0.2, 那么比较甲、乙两个样本的波动大小的结果是（） A 、甲样本的波动比乙大

B 、乙样本的波动比甲大

C 、甲、乙的波动一样大

D 、无法比较

4．数据501，502，503，504，505，506，507，508，509的标准差是（）

A

、

B

、 C

、 D 、1

5. 如果一组数据的极差是80，若画图前确定组距是9，则组数是（） A 、7组 B 、8组 C 、9组 D 、10组

6. 样本方差的作用是（）

A 、用来估计总体数值的大小

B 、用来估计样本数值的大小

C 、用来衡量样本容量

的大小 D 、用来衡量样本波动的大小。

填空题

1．方差的___________________叫标准差。

2．当两组数据的个数相等、平均数相等或接近时，用方差和标准差可以比较其波动

大小及稳定性，方差较大的数据波动__________,稳定程度_____________,方差较小的数

据波动__________,稳定程度_____________。

3．数据0，1，3，2，4的极差为________方差为___________标准差为

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