极差.方差与标准差(知识点讲解)

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《极差方差与标准差》课件

统计分析
在统计分析中，标准差是描述数据分布的重要参数之一，可以帮助我们了解数据的离散程度和波动情况。
05
极差、方差与标准差的关系
三者之间的关系
01
02
03
极差
表示数据分布的离散程度，计算公式为最大值减去最小值。
方差
表示数据偏离平均值的程度，计算公式为每个数据点与平均值的差的平方和的平均值。
案例三：标准差在人力资源管理中的应用
总结词
评估员工绩效稳定性
详细描述
标准差用于评估员工绩效的稳定性，通过计算员工绩效数据的离散程度，可以了解员工工作表现是否稳定可靠，为人力资源管理和员工培训提供参考依据。

THANKS
感谢观看
标准差的值越大，表示数据点越离散；标准差的值越小，表示数据点越集中。
计算公式：标准差 = sqrt[(1/N) * Σ(xi-μ)^2]，其中xi是数据点，μ是平均值，N是数据点的数量。
标准差的计算方法
手动计算
适用于数据量较小的情况，可以通过逐一计算每个数据点与平均值的差的平方，然后求和，最后除以数据点的数量得到标准差。
标准差
是方差的平方根，表示数据点与平均值的偏离程度。
三者在数据分析中的作用
极差
用于初步了解数据的分布范围，判断数据的离散程度。
方差
用于量化数据点与平均值的偏离程度，帮助了解数据的稳定性。
标准差
用于量化数据点与平均值的偏离程度，常用于金融、统计学等领域。
06
案例分析
案例一：极差在金融领域的应用
课程目标
知识目标
掌握极差、方差与标准差的计算方法，理解其数学意义。
能力目标

极差方差标准差公式

极差方差标准差公式极差、方差和标准差是统计学中常用的三种描述数据分散程度的指标，它们在数据分析和统计推断中扮演着重要的角色。

本文将对这三种指标的计算公式进行详细介绍，并对它们的应用进行简要说明。

首先，我们来看极差。

极差是一组数据中最大值与最小值之间的差值，它可以用来描述数据的变异程度。

极差的计算公式如下：\[ R = X_{max} X_{min} \]其中，\( X_{max} \)表示数据中的最大值，\( X_{min} \)表示数据中的最小值。

极差越大，说明数据的变异程度越大；极差越小，说明数据的变异程度越小。

接下来，我们来介绍方差。

方差是一组数据与其平均值之差的平方和的平均值，它是衡量数据分散程度的重要指标。

方差的计算公式如下：\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i \bar{X})^2}{n} \]其中，\( X_i \)表示第i个数据点，\( \bar{X} \)表示数据的平均值，n表示数据的个数。

方差越大，说明数据的分散程度越大；方差越小，说明数据的分散程度越小。

最后，我们来介绍标准差。

标准差是方差的平方根，它是数据分散程度的另一种度量方式。

标准差的计算公式如下：\[ S = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i \bar{X})^2}{n}} \]标准差与方差类似，它也可以用来衡量数据的分散程度。

标准差越大，说明数据的分散程度越大；标准差越小，说明数据的分散程度越小。

在实际应用中，极差、方差和标准差都可以用来描述数据的分散程度，但它们各自有着不同的特点和适用范围。

在选择使用哪种指标时，需要根据具体情况进行综合考虑。

总之，极差、方差和标准差是统计学中常用的描述数据分散程度的指标，它们对于理解数据的特点和规律具有重要意义。

通过对这三种指标的计算公式和应用进行了解，可以更好地应用统计学方法进行数据分析和推断。

希望本文的介绍能够对读者有所帮助。

极差、方差、标准差

乙 10.2, 10, 9.5, 10.3, 10.5, 9.6, 9.8, 10.1
分别计算这两组数据的方差，比较它们的稳定分性析． (1)求平均数
x = 10 + 1(-0.1+ 0.3- 0.2+ 0.1+ 0.4 - 0.2- 0.3)= 10
甲
8
x = 10 + 1(0.2- 0.5+ 0.3+ 0.5- 0.4 - 0.2+ 0.1)= 10
3、方差
，方差的单位是 S2 = 1 n
x1 - x

+
x2 - x
2
+L
+
xn - x
2
原数据的单位的平方,方差表示统计的样本基于平
均数的偏差，当平均数相同时，方差大，说明数据
不整齐波动大，起伏大。
4、标准差为S，即方差的算术平方根，它的单位与原数据的单位相同。
什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范
围．用这种方法得到的差称为极差
（range）．
极差＝最大值－最小值．
练习：
1、求下列各题中的极差
（1）已知一组数据4、0、2、1、-2，则极差是__
（2）某班个子最高的学生身高为1.70米，个子最矮的学生的身高为1.38米，求该班所有学生身高的极差______
（x>y）的平均数为100，方差为2，
求 x，y
4、已知数据 x1, x2 ,L xn 的方差为
a，求数据
差
2x1
1，2x2
1,L
L
, 2xn
1
的方

极差.方差与标准差(知识点讲解)

极差.方差与标准差(知识点讲解)极差、方差与标准差一、本节知识导学本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。

通过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时也希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。

因此有必要重新找一个对整组数据的波动情况更敏感的指标, 构造方差前请同学们注意以下几个方面： 1．为什么要用“每次成绩”和“平均成绩”相减。

2．为什么要“平方”。

3．为什么“求平均数”比“求和”更好。

同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。

对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算，应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。

对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根运算又可以将他们联系在一起。

二、例题1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散程度。

本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。

解：从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等。

（图（1）中数据与图（2）中前10个数据相等, 且图（2）中后几个数据不影响平均值）。

图（1）的标准差比图（2）的标准差大。

（因为图（1）中各数据与其平均值离散程度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其平均值的离散程度小。

因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）。

）2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。

分析：要求方差，必须先求平均数。

解：= （5+7+9+9+10+11+13+14）=9.75方差s 2= =7.69[（5-9.75）2+(7-9.75)2+……+(14-9.75) 2]3．求下列一组数据的极差、方差和标准差（小数点后保留两位）：50，55，96，98,65，100，70，90，85，100分析：由于标准差是方差的变形所以一般情况下先求方差解：极差为100-50=50平均数为=（50+55+96+98+65+100+70+90+85+100）=80.9方差为：s 2= =334.69 标准差为：s=[(50-80.9)2+(55-80.9)2+……+(100-80.9) 2]=18.294．在某次数学竞赛中，甲、乙两班的成绩如下已经算出两班的平均数都是80分，请你根据已有的统计知识分析两个班的成绩。

极差--方差--标准差1

小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示．
谁的成绩较为稳定？为什么？能通过计算回答吗?
链接1
通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定．
请同学们进一步思考，什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度？
从表和图中可以看到，小兵的测试成绩与平均值的偏差较大，而小明的较小．那么如何加以说明呢？
那么，你能提出一个可行的方案吗？
请在下表的红色格子中写上新的计算方案，并将计算结果填入表中．
考虑实际情况，如果一共进行了7次测试，小明因故缺席两次，怎样比较谁的成绩更稳定?
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况．这个结果通常称为方差（variance）．
1.分别求出小明和小兵的方差和标准差
2.比较下列两组数据的方差: A组:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; B组:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5
3.观察下面的图，指出其中谁的标准差较大，并说说为什么．
反映数据离散程度的指标是什么？
在一次数学测试中，甲、乙两班的平均成绩相同，甲班成绩的方差为 42，乙班成绩的方差为35，这样的结果说明两个班的数学学习状况各有什么特点？
方差越大,说明这组数据偏离平均值的情况越严重,即离散程度较大,数据也越不稳定．方差反映的是一组数据与平均值的离散程度或一组数据的稳定程度．
2 可以看出S
的数量单位与原数据的不一致，因此在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差（standard deviation），用符号表示为
复习回忆:
1.何谓一组数据的极差? 极差反映了这组数据哪方面的特征? 答一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫做这组数据的极差，极差反映的是这组数据的变化范围或变化幅度．

初三数学极差、方差、标准差

初三数学知识点精讲精练——极差、方差、标准差
【知识点】
（1）极差是用来反映一组数据变化范围的大小．一组数据中的最大数据与最小数据所得的
差来称为极差；
（2）方差记作 S 2
1 n
[(
x1
x)2
(x2
x)2
(xn
x)2 ]
；在实际应用时常常将求出
的方差算术平方根，这就是标准差.
【例题】
1、（2016 广西百色）一组数据 2，4，a，7，7 的平均数 x =5，则方差 S2=
C．甲和乙一样稳定
D．甲、乙稳定性没法对比
3、下面是甲、乙两人 10 次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是（）
A．甲比乙的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定
B．乙比甲的成绩稳定 D．无法确定谁的成绩更稳定
4．已知 A 样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B 样本的数据恰好是 A 样
A．平均数 3
B．众数是﹣2
C．中位数是 1
D．极差为 8
2．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击 10 次，两人 10 次射击成绩的平均数均是 9.1 环，方差分别是 S 甲 2=1.2，S 乙 2=1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是（）
A．甲比乙稳定
B．乙比甲稳定
本数据每个都加 2，则 A，B 两个样本的下列统计量对应相同的是（）
A.平均数
B.标准差
C.中位数
D.众数
【练习解析】
1、【答案】D．
2、【答案】A 【解析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

数学《极差方差和标准差》知识点

八年级数学《极差、方差和标准差》知识点极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标.一、定义理解1极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小. 我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差.极差=最大值-最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义.2、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均•"通常用S表示一组数据的方差，用X表示一组数据的平均数，x“ x2、… X n表示各数据.方差计算公式是：s2=1[(x 1- x) 2+(x2- x) 2+—+(X n- x) 2]；3、标准差在计算方差的过程中，可以看出S2的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再幵平方，这就是标准差.标准差=..方差，方差=标准差2.一组数据的标准差计算公式是S j1~xi~x X2—"X ~ xn~x ，其中X为n个数据X i, X2,…，X n的平均数.方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小.方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同.在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况.二、例题讲析例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102(1)求甲、乙两队的平均分和极差？(2)计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？解：(1) x= (100 97 99 96 102 103 104 101 101 100)= 100.3?10甲队的极差=104-96= 8; 甲队的极差=104-95= 9(2) S 甲2丄[(100 100.3)2(99 100.3)2(100 100.3)2 ]=5.6110甲队的标准差：-.5.61 2.37 ; 乙队的标准差：.9.21 3.03 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些.例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25, 23, 28, 22, 27乙组：27, 24, 24, 27, 23(1)10盆花的花期最多相差几天？(2)施用何种花肥，花的平均花期较长？(3)施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！解：(1) 28- 22= 6 (天) 所以，10盆花的花期最多相差6天._ 1(2)由平均数公式得：x= -(25 23 28 22 27)= 25?5得站=心，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等.(3)由方差公式得：得S B2 s乙故施用乙种花肥，效果比较可靠三、反馈练习1. 一组数据5, 8, x, 10, 4的平均数是2x，则这组数据的方差是____________ .2. 五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下(单位：cm): 2,-2, —1, 1, 0,则这组数据的极差为______ cm.方差是_________ ，标准差是______3. 若样本1, 2, 3, x的平均数为5,又样本1, 2, 3, x, y的平均数为6,则样本1, 2, 3, x, y的极差是 _________ ，方差是_______ ，标准差是______ .4. 已知一组数据0, 1, 2, 3, 4的方差为2,则数据20, 21, 22, 23, 24的方差为 ____ ,标准差为________ .5. 一组数据—8,- 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9的极差是 ________ ，方差是______ ，标准6. 若样本X1,X2,……,X n的平均数为 =5,方差S2= 0.025,贝肪羊本4X I,4X2,4X n的平均数X /= _______ ，方差S7 2= _______ .。

极差方差标准差(整理)

北京四中撰稿：张扬责编：姚一民数据的波动一．基本知识点讲解：1．极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。

极差=数据中的最大数-数据中的最小数2. 方差与标准差：S^2=[(x1-x的平均数)^2+(x2-x的平均数)^2+...+(xn-x的平均数)^2]设在一组数据x1 x2 x3……x n中各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-)2, (x2-)2……(x n-)2,则他们的平均数：方差可以用来衡量这组数据的波动的大小，一组数据的方差越大，就说明这组数据的波动也越大，这波动的大小是指偏离平均数的大小。

3. 标准差：一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用S来表示，即：标准差也只是来衡量一组数据波动大小的量，它虽然比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的度量单位是一致的，所以有时用标准差比较方便。

4. 计算方差的三个公式公式①是方差的定义，一组数据的每个数都减去它们的平均数的平方，再求这些平方的和，比较麻烦，因此可用公式②以使计算过程较为简单，当不是整数时尤为简单。

接近这组数据的平均数的一个常数。

二．例题解析：（1）应用公式①例1. 计算数据9.9、9.7、10.3、9.8、9.8、10、10.1、10.4的方差与标准差。

解：例2. 甲乙两组进行投篮比赛，每组选派10名队员参加，每人投10次，每次投中的人数如下：甲组：7、6、8、8、5、9、7、7、6、7乙组：6、7、8、4、10、9、7、6、6、7求：甲、乙两组哪一组的投篮情况比较稳定解：∴甲乙两组的平均命中率相同，但甲组的投篮比较稳定，所以甲组的投篮情况较好。

（2）应用公式②例3. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，各次命中环数如下：甲：4、7、10、9、5、6、8、6、8、8乙：7、8、6、6、7、8、7、8、5、9求甲、乙两人谁的射击成绩比较稳定解：（3）应用公式③例4. 求以下数据的方差（精确到0.1）10、13、9、11、8、10、11、12、8、14、10、9解：设a=10，每个数都减去10，有三：小结：1. 方差是以平均数为基数，揭示数据波动的大、小，所以首先要把平均数算准确。

第 11次课平均数、中位数、众数、方差、极差、标准差(学生版)

【教师寄语：昨天很残酷，明天很残酷，不要倒在今天晚上！】平均数、中位数、众数、方差、标准差一、考点、热点回顾考点一、平均数1、平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标。

2、求平均数的方法（1）定义法当所给数据,,,,21n x x x 比较分散时，一般选用定义公式：)(121n x x x nx +++= （2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：nf x f x f x x kk ++=2211，其中n f f f k =++ 21。

（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：a x x +='。

其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='。

)'''(1'21n x x x nx +++=是新数据的平均数（通常把,,,,21n x x x 叫做原数据，,',,','21n x x x 叫做新数据）。

考点二、中位数1、中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数。

2、中位数的找法：将该组数从小到大排列，取中间的数3、当一组数有偶位数时，该组数的中位数为中间两个数的平均数；当一组数有奇位数时，该组数的中位数为中间那个数。

考点三：众数众数：在一组数据中出现次数最多的数众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

考点四：极差、频数、频率1、极差：一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差。

2、频数：将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数。

3、频率：每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率。

4、频数和频率的基本关系式：频率 = ——————频数样本容量5、各小组频数的总和等于样本容量，各小组频率的总和等于1。

极差方差标准差

区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感。
方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标。在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。
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2.分别计算下列各组数据的平均数、极差、
方差： (1) 3, 4, 5, 6, 7； (2) 23, 24, 25, 26, 27； (3) 6, 8, 10, 12, 14. 观察上述各组数据之间的规律，以及各组数据的平均值、方差之间的联系，用算式表示你猜想出的结论．
1.何为一组数据的极差? 极差反映了这组数据哪方面的特征?
答一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫做这组数据的极差，极差反映的是这组数据的变化范围或变化幅度．
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2.方差和标准差的符号和计算公式是怎样的？它们反映了这组数据哪方面的特征
80 70 60 成绩（分）甲
乙
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一二三四五月月月月月
1.从甲、乙两名射击运动员中选拔一名参加比赛，预赛中，他们每人各打10发子弹，命中的环数如下：甲：9， 8， 9， 9， 8，9.5， 10，10， 8.5， 9；乙：8.5， 8.5，9.5， 9.5，10， 8， 9，9，8，10．则甲的平均数是，乙的平均数是你认为派去参加比赛比较合适？请结合计算加以说明．．

数据的分析----极差、方差、标准差课件

-10）2 （15
-10）2
13.5
8

S
2小明＜S
2 小华
小明的成绩比小华的成绩稳定
测试次数小明小华
1
2
3
4
5
6
7
8
5
9
10Leabharlann 101110
10
15
5
14 13
8
12
7
6
15
成绩 15 13 11
9
成绩 15
13
x 10 11 9
x 10
7
7
5
测试
1 2 3 4 5 6 7 8次数
X=1或6
小明和小华两人参加体育项目训练，近期的八次测试成绩如下表所示．谁的成绩较为稳定？为什么？能通过计算回答吗?
测试次数 1 2 3 4 5 6 7 8
小明
5 9 10 10 11 10 10 15
小华
5 14 13 8 12 7 6 15
分析：从平均数来看：

x小明

5

9
10
10
15成绩 13
15成绩 13
11
x 10 11
9
9
x 10
7
7
5
测试
小1明2的3成4绩5分布6 散7 点8图次数
5 1 2 3 4 5 6 7 8 测试
小华的成绩分布散点图次数
解： S 2小明（5 -10）2 （9 -10）2 （15 -10）2 6.5 8
S
2 小华
（5 -10）2 （14
小明的成绩分布散点图
5
测试 1234 5 6 7 8

方差极差标准差公式

方差极差标准差公式方差、极差和标准差是统计学中常用的概念，它们可以帮助我们衡量数据的离散程度和波动性。

在实际应用中，我们经常需要计算和理解这些指标，以便更好地分析数据并做出相应的决策。

本文将对方差、极差和标准差的计算公式进行详细介绍，并且说明它们在实际中的应用。

方差是衡量数据离散程度的一种统计指标，它的计算公式为，方差=Σ(xi-μ)²/n，其中Σ代表求和，xi代表每个数据点，μ代表数据的均值，n代表数据的个数。

方差的计算过程是先计算每个数据点与均值的差值，然后将差值的平方求和并除以数据个数。

方差越大，代表数据的离散程度越高；方差越小，代表数据的离散程度越低。

极差是一组数据中最大值与最小值之间的差异，它的计算公式为，极差=最大值-最小值。

极差可以直观地反映数据的波动情况，但它只考虑了最大值和最小值，没有考虑其他数据点的情况，因此在一些情况下，极差并不能完全反映数据的离散程度。

标准差是方差的平方根，它的计算公式为，标准差=√方差。

标准差是衡量数据波动性的一种常用指标，它不仅考虑了数据与均值的偏离程度，还考虑了数据的数量级。

标准差越大，代表数据的波动性越高；标准差越小，代表数据的波动性越低。

在实际应用中，方差、极差和标准差经常用于金融、经济、科学等领域。

比如在金融领域，投资组合的波动性常用标准差来衡量；在经济领域，通货膨胀率的波动程度可以用标准差来评估；在科学研究中，实验数据的稳定性可以通过方差来分析。

总之，方差、极差和标准差是统计学中常用的衡量数据离散程度和波动性的指标，它们可以帮助我们更好地理解和分析数据。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的指标来衡量数据的离散程度和波动性，从而更好地进行决策和分析。

极差、方差、标准差2

极差和方差都是表示一组数据离散程度的指标. 度的指标极差大只能说明这组数据中的最大值与最小值的离散程度大,但不表示其他数与最小值的离散程度大但不表示其他数据的波动大小.极差不能准确的衡量数据据的波动大小极差不能准确的衡量数据中的波动程度方差反映一组数据的整体波动大小的指标数,反映的是一组数据偏离平均值的大小反映的是一组数据偏离平均值的大小. 标数反映的是一组数据偏离平均值的大小因此极差大的一组数据的方差并不一定大. 定大
动脑筋某旅游区上山有甲、某旅游区上山有甲、乙两条石级图中数字表示每一级的高度）路（图中数字表示每一级的高度）
14
（1）整修前走这两条石）级路中的哪一条更舒服？级路中的哪一条更舒服？ 15 为什么？为什么？ 14 （2）为方便游客，旅游区打算甲）为方便游客，重新整改修石级路，重新整改修石级路，实际个数不时走起变，应把石级定为来舒服。来舒服。
13 13 15
14 15 11 13 14
17
乙
结束寄语
可以用一次的想法是一个决窍,如果它可以用两次以那就成为一种方法了. 上,那就成为一种方法了.
祝同学们学习进步！祝同学们学习进步！
(3 解： ) x甲 = x乙说明甲乙两名战士的平均水平相当。
又因为 s 〉 s ，说明甲战士射击情况波动大，
2 甲 2 乙
−
−
乙战士比甲战士射击情况稳定。
老师的烦恼
王虎和李明谁的数学成绩更好
次数
1
2 79 84
3 81 89
4 84 79
5 85 81
6 82 91
7 83 79
8 86 76
哪种灯管的使用寿命长?哪种质量比较稳定哪种灯管的使用寿命长哪种质量比较稳定? 哪种质量比较稳定

方差和标准差知识讲解

方差和标准差——知识讲解责编：杜少波【学习目标】1. 了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义；2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测；3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、方差和标准差 1.方差在一组数据12,,n x x x …，中，设它们的平均数是x ，各数据与平均数的差的平方的平均数()[]222212)(...)(1x x x x x x nS n -++-+-=叫做这组数据的方差. 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. 要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好．（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2k 倍.2.标准差一般地，一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差. 要点诠释：（1）标准差的数量单位与原数据一致.（2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 要点二、方差和标准差的联系与区别联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况.区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标.在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小. 方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同.【典型例题】类型一、方差和标准差1. 一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】按照“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法，利用求方差的公式：()[]222212)(...)(1x x x x x x nS n -++-+-=计算. 【答案】B【解析】该组数据的平均数是0，所以215s =2222(2)(1)12⎡⎤-+-++⎣⎦=2. 【总结升华】此类题关键是掌握求方差的步骤，记准求方差的公式.举一反三：【变式】学校篮球队五名队员的年龄分别为1715171615，，，，，其方差为0.8，则3年后这五名队员年龄的方差为______．【答案】0.8.2.已知某样本的标准差是2，则这个样本的方差是（） A.1 B.2 C.2 D.4【思路点拨】根据标准差的概念计算．标准差是方差的算术平方根．【答案】D ；【解析】解：由于方差的算术平方根就是标准差，所以样本的方差=22=4．故选D ．【总结升华】正确理解标准差的概念，是解决本题的关键．标准差是方差的算术平方根．举一反三：【变式】下列说法：其中正确的个数有（）（1）方差越小，波动性越小，说明稳定性越好；（2）一组数据的众数只有一个；（3）数据2，2，3，2，2，5的众数为4；（4）一组数据的标准差一定是正数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个【答案】B.提示：（1）正确.类型二、方差和标准差的实际应用3.甲、乙两班举行汉字输入比赛，•参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：班级参加人数中位数方差平均字数甲 55 149 191 135 乙55151110135分析此表得出如下结论：（）（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀）（3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大． A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（3）【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同. 【答案】B【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B. 【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义. 举一反三：【变式】（2015•崇左）甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分是x 甲=85,x 乙=85，x 丙=85，x 丁=85，方差是2S 甲=3.8，2S 乙=2.3，2S 丙=6.2，2S 丁=5.2，则成绩最稳定的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B.解：∵2S 甲=3.8，2S 乙=2.3，2S 丙=6.2，2S 丁=5.2，∴2S 乙＜2S 甲＜2S 丁＜2S 丙， ∴成绩最稳定的是乙．故选B ．4.（2016春•商水县期末）甲、乙两种水稻试验田连续5年的平均单位面积产量如下：（单位：吨/公顷）品种第1年第2年第3年第4年第5 年甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.410.310.89.79.8（1）哪种水稻的平均单位面积产量比较高？（2）哪种水稻的产量比较稳定．【思路点拨】首先求得平均产量，然后求得方差，比较方差，越小越稳定．【答案与解析】解：（1）()19.89.910.11010.2105=++++=x 甲， ()19.410.310.89.7105=++++9.8=x 乙，所以甲、乙两种水稻的平均产量一样高；（2）甲中水稻产量的方差是：[（9.8﹣10）2+（9.9﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2]=0.02，乙种水稻产量的方差是：[（9.4﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10.8﹣10）2+（9.7﹣10）2+（9.8﹣10）2]=0.244． ∴0.02＜0.244，∴产量比较稳定的水稻品种是甲．【总结升华】此题考查了方差，用到的知识点是方差和平均数的计算公式，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．举一反三：【变式】为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．【答案】5.85.2x x==乙甲∵，，∴甲种水稻比乙种水稻长得更高一些．222.160.56S S==乙甲∵，，∴乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些．5.（2015春•安达市期末）甲、乙两台机床同时加工直径为10mm的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，结果如下（单位：mm）：甲10 9.8 10 10.2 10乙9.9 10 10 10.1 10（1）分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数和方差；（2）根据所学的统计知识，你认为哪一台机床生产零件的稳定性更好一些，说明理由．【思路点拨】（1）根据所给的两组数据，分布求出两组数据的平均数，再利用方差公式求两组数据的方差即可．（2）根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产的零件稳定性更好一些．【答案与解析】解：（1）∵甲机床所加工零件直径的平均数是：（10+9.8+10+10.2+10）÷5=10，乙机床所加工零件直径的平均数是：（9.9+10+10+10.1+10）÷5=10，植株编号 1 2 3 4 5甲种苗高7 5 4 5 8乙种苗高 6 4 5 6 5∴甲机床所加工零件直径的方差=[（10﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（10﹣10）2]=0.013，乙机床所加工零件直径的方差=[（9.9﹣10）2+（10﹣10）2+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2]=0.004，（2）∵S 2甲＞S 2乙，∴乙机床生产零件的稳定性更好一些．【总结升华】本题考查了平均数和方差，一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为，则方差S 2=[（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n ﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大．举一反三：【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙8375808090859295(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由．【答案】解：1(9582888193798478)858x =+++++++=甲(分)， 1(8375808090859295)858x =+++++++=乙(分)．甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分． (2)由(1)知85x x ==甲乙分，所以22221[(9585)(8285)(7885)]35.58s =-+-++-=甲， 22221[(8385)(7585)(9585)]418s =-+-++-=乙．①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同； ②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为x x =甲乙，22s s <乙甲，所以甲的成绩较稳定；④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．。

方差极差标准差

方差、极差和标准差都是度量数据分布离散程度或波动性的统计指标。

它们各自的计
算和含义略有不同，以下是对这三个指标的详细说明：
1. 方差（Variance）：方差表示各数据与其平均值之差的平方的平均值。

它反映了数
据的离散程度，值越大，说明数据波动性越大。

计算公式为：σ^2 = (Σ(x\_i - μ)^2) / N。

其中，σ^2 是总体方差，x\_i 是数据，μ 表示数据集的平均值，N 是数据个数。

2. 极差（Range）：极差表示数据集最大值和最小值之间的差距。

它描述的是数据的
分布范围，但受最大值和最小值的影响较大，对于数据集中的集中趋势敏感度较低。

计算公式为：R = Max(X) - Min(X)。

其中，R 是极差，Max(X) 表示数据集中的最大值，Min(X) 表示数据集中的最小值。

3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。

它是一种常用的数据分布稳定性和可预测性的指标。

与方差相比，标准差的量纲与原
始数据相同，因此更容易理解和比较。

计算公式为：σ = √((Σ(x\_i - μ)^2) / N)。

其中，σ 是总体标准差，x\_i 是数据，μ 表示数据集的平均值，N 是数据个数。

在实际数据分析中，可以根据需求选择合适的离散程度指标。

通常情况下，标准差是
最广泛使用的指标，因为它能更直观地反映数据的波动性和集中趋势。

然而，在某些
特定场景下，如对数据极值较关心的情况，极差也是一个有用的考量。

八年级数学《极差、方差和标准差》知识点教学文案

解：（ 1） 28－ 22＝6（天）
所以， 10 盆花的花期最多相差 6 天．
（ 2）由平均数公式得：
x乙＝ 1 (27 24 24 27 23）＝25 5
1 x甲＝ (25
5
23 28
22 27）＝25
得 x甲＝x乙，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．
（ 3）由方差公式得：
(102 100.3) 2 ]＝9.21
甲队的标准差：
5.61 2.37 ；乙队的标准差：
9.21 3.03
所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些．例 2、对 10 盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把 10 盆花分成两组，每组 5 盆，记录其花期：
标准
差的单位与原数据的单位相同．在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去
考察总体的波动情况．
二、例题讲析
例 1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行
10 次比赛得分如下：
甲队： 100， 97， 99， 96， 102， 103， 104，101， 101， 100
乙队： 97， 97，99， 95，102， 100， 104，104， 103， 102
2
S甲
1 [( 25 25) 2 (23 25) 2 (28 25) 2 ( 22 25) 2 (27 25)2 ]＝5.2
10
S乙 2 1 [( 27 25) 2 (24 25)2 (24 25) 2 5
得 S甲2 S乙2 故施用乙种花肥，效果比较可靠
(27 25)2
(23 25) 2 ]＝2.8
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