第三章晶体定向和晶面符号
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晶体的定向和晶面符号
• 结晶轴的选择应当符合晶体固有的对称性
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
《结晶学》第3章晶体定向和晶面符号
注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y 注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y轴，其它 晶系均先确定z 晶系均先确定z轴
思考： 思考：
能否根据各晶体晶体常数特点确定属于 何种晶系？ 何种晶系？
§3.3
对称型的国际符号
一、国际符号中对称要素的表示法
对称面：m 对称面： 对称轴：以轴次的数字表示， 对称轴：以轴次的数字表示， 如 1、2、3、4 和 6
Z
举例： 举例：
Y
X
答案（100）（100）（010）（010）（001）（001） 答案（100）（100）（010）（010）（001）（001） ）（100）（010）（010）（001）（001
补充说明： 补充说明：
1）晶面符号中某指数为0，表示该晶面平行于相应晶轴。 晶面符号中某指数为0 表示该晶面平行于相应晶轴。 2）同一晶体中，如有两晶面，对应三组晶面指数的绝 同一晶体中，如有两晶面， 对值全部相等，而正负号恰好全部相反， 对值全部相等，而正负号恰好全部相反，则两晶面必 相互平行。 相互平行。 3）同一晶面符号中，指数的绝对值越大，表示晶面在 同一晶面符号中，指数的绝对值越大， 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小； 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小；在轴单位 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。
即：
◆ ◆ ◆
平行的对称轴或旋转反伸轴； 平行的对称轴或旋转反伸轴； 垂直的对称面； 垂直的对称面； 当这两类对称要素在同一方向上同时存在 则写成分式的形式。 分式的形式 时，则写成分式的形式。
晶
系
序 位 1 2 3 1
代表方向 x或y或z轴方向 三次轴方向 x、y或x、z或y、z轴之间 四次轴, 四次轴,即z方向 与四次轴垂直, 与四次轴垂直,在x或y轴方向 与四次轴垂直,并与位2 与四次轴垂直,并与位2成450 六次或三次轴,即z 方向 六次或三次轴, 与六次或三次轴垂直, 与六次或三次轴垂直,在x或y或u轴方向 与六次或三次轴垂直,并与位2 与六次或三次轴垂直,并与位2成300角 x轴方向 y轴方向 z轴方向 y轴方向 任意方向
晶体定向晶面符号与晶带解析
c0 表示。由于晶体结构中的结点间距较小，（一般以nm 计），需要藉X射线才能测定，对晶体外形的宏观研究不能
定出其轴长，但利用几何结晶学方法可以求出它们的比率
a0∶b0∶c0（或表示为a∶b∶c ），这一比率称为轴率。
Z
c0
a0
b0
Y
X
不同物质晶体结构不同，结点间距不同，轴长各不相同。
等轴晶系 对称程度高，晶轴X、Y、Z 为彼此对称的行列， 它们通过对称要素的操作可以相互重合，因此它们的轴长是 相同的。即 a＝b＝c ，轴率 a：b：c ＝1：1：1
U
Y
三六方晶系
X－
Y－
Z
Y
Y－
Z
Y
X
X
U－
X－
Y－
Y
X
注意：只有等轴晶系晶体在倾斜的位置才能出现对称面， 因此，只有等轴晶系晶体投影时才能画该位置的辅助线， 目的是确定四个三次轴的位置（P41表I-4-5）。
（3）轴长与轴率： 晶轴系格子构造中的行列，该行列上的
结点间距称为轴长。 X、Y、Z 个轴上的轴长分别以 a0、b0、
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
斜方晶系a≠b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z U
Y X
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
确定了晶体的对称型，仍不一定获得有关形态的完 整概念。
四个晶体的对称型都是L44L25PC，其中中间两个都 是四方柱和四方双锥组成。
定出其轴长，但利用几何结晶学方法可以求出它们的比率
a0∶b0∶c0（或表示为a∶b∶c ），这一比率称为轴率。
Z
c0
a0
b0
Y
X
不同物质晶体结构不同，结点间距不同，轴长各不相同。
等轴晶系 对称程度高，晶轴X、Y、Z 为彼此对称的行列， 它们通过对称要素的操作可以相互重合，因此它们的轴长是 相同的。即 a＝b＝c ，轴率 a：b：c ＝1：1：1
U
Y
三六方晶系
X－
Y－
Z
Y
Y－
Z
Y
X
X
U－
X－
Y－
Y
X
注意：只有等轴晶系晶体在倾斜的位置才能出现对称面， 因此，只有等轴晶系晶体投影时才能画该位置的辅助线， 目的是确定四个三次轴的位置（P41表I-4-5）。
（3）轴长与轴率： 晶轴系格子构造中的行列，该行列上的
结点间距称为轴长。 X、Y、Z 个轴上的轴长分别以 a0、b0、
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
斜方晶系a≠b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z U
Y X
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
确定了晶体的对称型，仍不一定获得有关形态的完 整概念。
四个晶体的对称型都是L44L25PC，其中中间两个都 是四方柱和四方双锥组成。
3.晶体定向及晶面符号概述
面 -----单面 1、平行双面1、反映双面及轴双面1 。
柱 ----（单柱 4 、复柱3） 锥 ----（单锥7、双锥 7） 体 ------ 23
低级晶族的单形
平行双面
轴双面
斜方单锥
斜方四面体
斜方双锥
斜方柱
中级晶族的单形
三方单锥
六方单锥
四方单锥
复三方单锥复六方单锥复四方Fra bibliotek锥三方双锥
六方双锥
四方双锥
晶面符号举例！
1. 等轴晶系：立方体、八面体 2. 四方晶系：四方柱、四方双锥 3. 六方晶系：六方柱 4. 三方晶系：菱面体 5. 斜方晶系：斜方双锥 6. 单斜晶系：石膏单晶
3、简整指数定律： 晶面在晶轴上的截距系数之比，往往为简单的整数比。 （1）简单？见P.38 图4-8 网面密度：a1b1 ＞ a1b2 ＞ a1b3 ＞ a1b4 ＞ ……a1bx 晶面在x、y、轴上的截距系数之比： b1 b2 b3 b4 b5 b6 bx a1b1 = 1:1 Z Y a1b2 = 1:2 a1b3 = 1:3 a1 a1b4 = 1:4 …… a2 a1bx= 1: x 网面密度越大、晶面在 X 晶轴上的截距系数之比 网面密度与截距系数比的关系 越简单。布拉维法则： 实际晶体往往被网面密度较大的晶面所包围。
（2）整数？（见P.38 图4-7 ） 把平行于晶胞的三个行列 作为晶轴，用该行列上的结 点间距作为轴单位。晶轴相 应于行列，晶面相应于面网， 晶面截晶轴于结点（a1b2）， 或者晶面平移后截晶轴于结 点（kb5→a2b4），故晶面在 晶轴上的截距系数之比必为 一整数比。
（a1b2：x=1a ，y= 2b ：即1: 2） （a2b4：x=2a ，y= 4b ：即2: 4）
晶体定向和晶面符号
3L2为三轴，（3L2；3L23PC） L2为Z轴，2个P的法线为X、Y轴（L22P） L2为Y轴（L2；L2PC） P之法线为Y轴（P） 2个均垂直与b轴的适当晶棱方向为X、Z轴 三个适当的晶棱方向为Z、X、Y轴
三、晶面符号
晶体定向后，表示晶面在空间相对位置的符号，又 叫米氏符号。
即晶面在三个晶轴(X,Y,Z)上截距系数的倒数比h:k:l； 通常表示为（hkl）
3、同一米氏符号中，如有两个指数的绝对值相等，而且 与它们相对应的那两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面 与此二结晶轴以等角度相交；
4、在同一个晶体中，如有两个晶面的三组米氏指数的绝 对值全都相等，而且正、负号恰好全都相反，则此二晶面 平行。
四、单形符号
1、因为单形是一组由对称要素联系起来的相同晶面， 故可以用一个面来表示整个单形。
晶体定向和晶面符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位
二、建立坐标系统
1、晶体是多面体
三维坐标系统
三个方向即晶轴 量度单位轴单位
2、选择方法
微观上： 选择平行六面体中交于一点的三个行列的方向
宏观体现： 选择对称轴、对称面的法线、晶棱 的方向
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
a=b≠c α=β=γ＝90°
a≠b≠c α=γ=90° β＞90°
a≠b≠c
α≠β ≠ γ a≠b≠c
选轴原则（按晶体几何常数特征）
以三个相互垂直的L4(Li4,L2)为X、Y、Z三 轴
唯一的高次轴为Z轴; 两个相互垂直的L2(P 之法线,晶棱)为X、Y轴
唯一的高次轴为Z轴 三个互成60°交角的L2(P之法线，适当晶 棱）为X、Y、U轴
三、晶面符号
晶体定向后，表示晶面在空间相对位置的符号，又 叫米氏符号。
即晶面在三个晶轴(X,Y,Z)上截距系数的倒数比h:k:l； 通常表示为（hkl）
3、同一米氏符号中，如有两个指数的绝对值相等，而且 与它们相对应的那两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面 与此二结晶轴以等角度相交；
4、在同一个晶体中，如有两个晶面的三组米氏指数的绝 对值全都相等，而且正、负号恰好全都相反，则此二晶面 平行。
四、单形符号
1、因为单形是一组由对称要素联系起来的相同晶面， 故可以用一个面来表示整个单形。
晶体定向和晶面符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位
二、建立坐标系统
1、晶体是多面体
三维坐标系统
三个方向即晶轴 量度单位轴单位
2、选择方法
微观上： 选择平行六面体中交于一点的三个行列的方向
宏观体现： 选择对称轴、对称面的法线、晶棱 的方向
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
a=b≠c α=β=γ＝90°
a≠b≠c α=γ=90° β＞90°
a≠b≠c
α≠β ≠ γ a≠b≠c
选轴原则（按晶体几何常数特征）
以三个相互垂直的L4(Li4,L2)为X、Y、Z三 轴
唯一的高次轴为Z轴; 两个相互垂直的L2(P 之法线,晶棱)为X、Y轴
唯一的高次轴为Z轴 三个互成60°交角的L2(P之法线，适当晶 棱）为X、Y、U轴
晶体定向晶面符号与晶带
例如：47号模型复方偏十二面体：3L24L33PC
四方晶系：
以L4或Li4为 Z 轴，以垂直
Z 轴并相互垂直的L2或P的
法线为X、Y 轴，当无 L2或
P时，平行于晶棱选取。
晶体常数特点：
a＝b≠c
α=β=γ=90°
26号模型四方四面体：Li42L22P
六方及三方晶系：
以L3 、L6、 Li6为 Z 轴，以垂 直 Z 轴并相互以120°相交 （正端）的L2或P的法线为X、 Y 、U轴，当无 L2或P时， X、 Y 、U平行于晶棱选取。X轴 水平朝正前偏左30°。 晶体常数特点： a＝b≠c α=β=90 ° γ=120°
Z
c0
a0
b0 X
Y
不同物质晶体结构不同，结点间距不同，轴长各不相同。
等轴晶系 对称程度高，晶轴X、Y、Z 为彼此对称的行列， 它们通过对称要素的操作可以相互重合，因此它们的轴长是 相同的。即 a＝b＝c ，轴率 a：b：c ＝1：1：1 中级晶族 （四方、三方、六方晶系）具有一个高次轴，以 高次轴为Z轴，通过高次轴作用可以使X轴与Y轴重合，因此 轴长 a＝b，与 c 不等，其 a：c比例视晶体不同而不同。 低级晶族 （斜方、单斜、三斜晶系）对称程度低，X、Y、 Z 轴不能通过对称要素的操作相互重合，所以a≠b≠c，视 晶体不同a∶b∶c比值不同。
α=γ= 90°
β＞ 90°
三斜晶系：
以不在同一平面内的主要 晶棱方向为 X、Y、 Z 轴。
晶体常数特点：
a≠b≠c α≠γ≠ β≠ 90°
请注意: 在晶体的宏观形态上根据对称特点选出
的三根晶轴，与晶体内部结构的空间格子的三个不
共面的行列方向是一致的。
为什么? 因为空间格子中三个不共面的行列也是根据晶体的 对称性人为地画出来的，而晶轴也是根据晶体的对
第三章晶体的定向和晶面符号知识讲解
晶面指数－米氏符号中小括号内的三个数字称晶面指数。
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单 简单的
晶面截晶轴于结点 整数比
在确定晶体上晶面的米氏符号时，并不需要知道a， b，c的大小。可以首先选择一个晶面作单位面。单位面 应该是晶体上发育很好、与三个晶轴都相截，而且截距 尽可能相等或相近的晶面。将单位面的符号定为（111 ），即认为该晶面的截距系数p=q=r，截距之比为a：b ：c。确定了单位面之后，其它晶面的符号可通过与单 位面的比较而求得。
第三章晶体的定向和晶面符号
三、如何为晶体定向
1、选择晶轴的原则
（1）晶轴平行行列方向。
优先
其次
晶轴平行 对称轴
对称面的法线
Z +_
_ +Y
+
X_ 再次
平行晶棱
（2）晶轴要尽可能的互相垂直或近于
垂直，即尽可能使 ===90,
具a体=步b=骤c
高次轴 L2 P 法线 显著晶棱
三、如何为晶体定向
（3）等轴、四方、斜方、单斜及 三斜等五个晶系选三个晶轴（X、 Y、Z），其中
同一单形的各个晶面的指 数的绝对值不变，而只有 正负号的区别
知道了单形的一个晶面 的符号，则该单形的其 它晶面的符号即可导出
用单形一个代表晶 面的符号来代表整 个单形
定义：单形符号简称形号，它是指在单形中选择一 个代 表面，把该晶面的晶面指数用“{ }”括 起来，用以表征组成该单形的一组晶面的 结晶学取向的符号
矿物的规则连生体的形态
1、平行连生
同种晶体彼此平行的连生在一起，连生 着的每一个晶体的相对应的晶面和晶棱 都是相互平行的
平行连生从外形来看是多晶体的连生，但它们 的内部格子构造是平行、连续的
3晶体定向及晶面符号概述
右右右右型型型型
六方偏方面体
（4）单形符号
由于同一单形的各个晶面的晶面指数的绝对值不变，而 只是正负号和顺序不同； 例：立方体（100）（T00）（010）（0T0） （001）（00T） ① 单形符号----在单形各个晶面中，选择一个代表晶面的符
即： 尽量使 α= β= r = 90o 三、六方晶系 r =120o
3、尽量选择轴单位相等或趋于相等的行列作为晶轴 即： 尽量使 a=b=c
各晶系的晶体定向举例：
★ 等轴晶系：3L4、或3Li4、或 3L2 → X、Y、Z 轴⊥或棱→ X、Y、U轴 ★ 三方晶系：L3 → Z轴， 3L2或P⊥或棱 → X、Y、 U 轴 ★ 四方晶系：L4 或 Li4 →Z轴，2L2或2P⊥或晶棱 → X、Y轴 ★ 斜方晶系：3L2 或3P⊥或 棱 → X、Y、Z轴 ★ 单斜晶系：L2或P⊥→ Y轴， 2个晶棱 → X、Z轴 ★ 三斜晶系：3条晶棱 → X、Y、 Z轴
Z b1 b2 b3 b4 b5 b6 bx Y a1
a1bx= 1: x
a2
网面密度越大、晶面在
X
晶轴上的截距系数之比
网面密度与截距系数比的关系
越简单。布拉维法则：
实际晶体往往被网面密度较大的晶面所包围。
（2）整数？（见P.38 图4-7 ） 把平行于晶胞的三个行列
作为晶轴，用该行列上的结
点间距作为轴单位。晶轴相
∨∨
γα
∨
β
轴角：α、β、γ
r
（三）、晶体定向原则
1、选择晶体中的对称要素或晶棱作为坐标轴 晶体中的对称要素：Ln 、Li n、P 的法线、晶棱，必须
按下列顺序选择晶轴：Ⅰ轴、Ⅱ面、Ⅲ 晶棱。
（1）、先确定Z轴（单斜晶系先确定 Y 轴）
第三章 晶体的定向和晶面符号
A
rc
qb
O
pa
BY
.
X
12
如图：所示晶面在三个结晶轴 上的截距分别为2a、3b、6c，
Z
截距系数分别为2，3，6。
C
那么
截距系数的倒数比为
1 h:k:l=2
：1 3
：1 6
＝3：2：1
cb
aO
A
BY
该晶面的米氏符号为（321） X
晶面指数－米氏符号中小括号内的三个数字称晶面指数。
.
13
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单
晶面截晶轴于结点
简单的
整数比
.
14
在确定晶体上晶面的米氏符号时，并不需要知道a， b，c的大小。可以首先选择一个晶面作单位面。单位面 应该是晶体上发育很好、与三个晶轴都相截，而且截距 尽可能相等或相近的晶面。将单位面的符号定为（111 ），即认为该晶面的截距系数p=q=r，截距之比为a：b ：c。确定了单位面之后，其它晶面的符号可通过与单 位面的比较而求得。
确定轴单位
Z+ _ _ +Y
+
X_
B4
晶轴 行列，轴单位 结点间距
B3
B2
晶体常数 轴率a:b:c和轴角, ,
.
B1 b
O a A 1 A 2 A 3 3A 4
三、如何为晶体定向
1、选择晶轴的原则
（1）晶轴平行行列方向。
优先
晶轴平行 对称轴
其次
对称面的法线
Z +_
_ +Y
+
X_ 再次
平行晶棱
构成双晶的两个个体之间其结晶
rc
qb
O
pa
BY
.
X
12
如图：所示晶面在三个结晶轴 上的截距分别为2a、3b、6c，
Z
截距系数分别为2，3，6。
C
那么
截距系数的倒数比为
1 h:k:l=2
：1 3
：1 6
＝3：2：1
cb
aO
A
BY
该晶面的米氏符号为（321） X
晶面指数－米氏符号中小括号内的三个数字称晶面指数。
.
13
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单
晶面截晶轴于结点
简单的
整数比
.
14
在确定晶体上晶面的米氏符号时，并不需要知道a， b，c的大小。可以首先选择一个晶面作单位面。单位面 应该是晶体上发育很好、与三个晶轴都相截，而且截距 尽可能相等或相近的晶面。将单位面的符号定为（111 ），即认为该晶面的截距系数p=q=r，截距之比为a：b ：c。确定了单位面之后，其它晶面的符号可通过与单 位面的比较而求得。
确定轴单位
Z+ _ _ +Y
+
X_
B4
晶轴 行列，轴单位 结点间距
B3
B2
晶体常数 轴率a:b:c和轴角, ,
.
B1 b
O a A 1 A 2 A 3 3A 4
三、如何为晶体定向
1、选择晶轴的原则
（1）晶轴平行行列方向。
优先
晶轴平行 对称轴
其次
对称面的法线
Z +_
_ +Y
+
X_ 再次
平行晶棱
构成双晶的两个个体之间其结晶
晶体定向和晶面符号《结晶学》
一、晶体定向的概念
晶体定向就是在晶体上选择坐标系统。即选择
坐标轴（或称为结晶轴）和确定各坐标轴上的 单位长（轴单位）之比（轴率）。
Z
Z
U Y X Y
X
1、晶轴：交于晶体中心的三条轴，它们分别称为x、y、z
轴，晶轴之间的夹角称为轴角，分别表示为：（yz）、 （zx）、（xy）。 注意：三方晶系及六方晶系为四轴定向，在水平方向 上为x、y、u三条互成120度夹角的坐标。
B、在上述前提下，应尽可能使晶轴垂直，轴单位
近乎相等。
§3.2各晶系晶体定向的具体原则
三轴定向
等轴、四方、斜方、单斜、三斜
四轴定向
三方、六方
1、等轴晶系
选轴原则：相互垂直的L4或Li4或L2为x、y、z轴
Z
Y
X
晶体常数：a＝b＝c，α ＝β ＝γ ＝９０0
2、四方晶系
选轴原则：以L4或Li4为z轴，以垂直z轴并相 互垂直的L2或P的法线或晶棱方向为x、y轴。
:
OC2
= e:f:g
C2
O
A1 A2
B2
B1
X
Y
1、截距系数之比为整数比
因为晶面是面网，晶轴是行列，晶面与晶轴之交点 为结点，或平移相交于结点。因此，若以晶轴之结 点间距为度量单位，则晶面在晶轴上的截距系数之 比为整数比
c
a
b
2、为简单整数比
晶体面网密度越大，则晶面在晶轴上的截距系数之 比越简单。又依布拉维法则，晶体总是为面网密度 较大的面网所包围，所以为简单整数比。
数为0表示晶棱垂直于相应晶轴。
（4）对于三方、六方晶系的四轴定向，相应晶棱 符号的一般式写作 [u v · w].
晶体定向和结晶符号
实验2. 晶体定向和结晶符号一、目的要求掌握不同晶系晶轴选择的原则，确定模型中单形的名称及其符号。
二、基本原理为了获得晶体形态的完整描述，需要确切地表示晶面在空间的相对位置。
在晶体学中，确定晶面在空间的位置是按晶体的对称特征选择坐标系，将晶体按对称特征放置于该坐标系中(晶体定向)，再以一种符号表示法表示出晶面在空间的位置。
晶体定向就是给晶体选择坐标轴(晶轴)和确定坐标轴上的轴单位。
在七个晶系中，有五个晶系（立方、四方、斜方、单斜、三斜）采用三轴定向，即选择交于晶体中心的三条直线，它们分别记为a、b、c轴(或X、Y、Z轴)。
相应b与c间轴角为α，a与c间轴角为β，a与b间轴角为γ。
三方、六方晶系一般采用四轴定向，即在ab平面上增加了一个d轴，使水平面三轴间正向的轴角形成120°，以满足该类晶系对称性的要求。
晶体放置的取向原则是要反映晶体的对称性，从晶体的外形上讲，对称轴、倒转轴、对称面的法线及晶棱是与晶体构造中的行列重合的，因此晶体与坐标轴的相对取向按对称轴、倒转轴、对称面的法线、晶棱的优先顺序作晶轴方向。
轴单位是晶轴上的单位长度。
由于所选定的晶轴都是格子构造中的行列方向，所以晶轴的轴单位就是该行列的结点间距。
a、b、c轴上的轴单位分别以a o、b o、c o表示，有时也直接用a、b、c表示，其间比率a：b：c称为轴率(或称轴单位比)。
轴率a：b：c和轴角α、β、γ合称为晶体几何常数。
在晶体定向的基础上，我们就可以确定晶体各种结晶几何参数在空间的位置。
表示这些参数在空间位置所用的符号称为结晶符号，结晶符号主要有晶面符号、晶向符号、单形符号和晶带符号。
表示晶面在空间位置的符号称为晶面符号。
晶面符号有几种，通常多采用米氏符号，又称米勒指数或晶面指数，是英国学者米勒(W．H．Miller)于1839年提出。
本实验通过在晶体模型上确定米勒指数和单形符号，达到掌握晶体定向和确切表示晶面族在空间的相对位置的方法。
晶体的定向和晶面符号课件
晶体的定向和晶面符号课件
目录
• 晶体定向 • 晶面符号 • 晶体结构与性质 • 晶体学实验技术 • 晶体学研究前沿与展望 • 附录与参考文献
01
晶体定向
定义与重要性
定义
晶体定向是指通过确定晶体中某一晶 向指数或某一晶面指数的方法来确定 晶体空间结构的方法。
重要性
晶体定向是研究晶体结构的重要手段 ，通过确定晶向或晶面指数，可以获 得晶体结构对称性、空间群等信息， 有助于理解晶体性质和应用。
晶体结构
不同晶体结构具有不同的物理和 化学性质。
晶体尺寸
晶体尺寸对光学、电学和热学性 质产生影响。
晶体缺陷
晶体缺陷可以影响其物理和化学 性质。
晶体在材料科学中的应用
半导体材料
晶体硅、锗等是重要的半导体材料，用于制造电 子器件。
光学材料
某些晶体具有特殊的光学性质，如激光晶体、光 学窗口等。
结构材料
某些晶体具有高强度、高硬度等特性，可用于制 造刀具、航空航天结构件等。
晶体学研究的发展趋势与展望
多学科交叉融合
加强多学科交叉融合，促进晶体学与相关学科的协同发展 。
理论模拟与实验研究相结合
加强理论模拟与实验研究的结合，提高研究水平和深度。
国际化合作与交流
积极参与国际合作与交流，共同推动晶体学研究的进步和 发展。
06
附录与参考文献
附录
晶体的定向
确定晶体取向的常用方法：X射线衍射、反光显微镜观察等。
晶体定向的方法
01
02
03
几何作图法
通过几何作图方法确定晶 体中某一晶向指数或某一 晶面指数。
X射线衍射法
利用X射线衍射原理确定 晶体结构中的晶向和晶面 指数。
目录
• 晶体定向 • 晶面符号 • 晶体结构与性质 • 晶体学实验技术 • 晶体学研究前沿与展望 • 附录与参考文献
01
晶体定向
定义与重要性
定义
晶体定向是指通过确定晶体中某一晶 向指数或某一晶面指数的方法来确定 晶体空间结构的方法。
重要性
晶体定向是研究晶体结构的重要手段 ，通过确定晶向或晶面指数，可以获 得晶体结构对称性、空间群等信息， 有助于理解晶体性质和应用。
晶体结构
不同晶体结构具有不同的物理和 化学性质。
晶体尺寸
晶体尺寸对光学、电学和热学性 质产生影响。
晶体缺陷
晶体缺陷可以影响其物理和化学 性质。
晶体在材料科学中的应用
半导体材料
晶体硅、锗等是重要的半导体材料，用于制造电 子器件。
光学材料
某些晶体具有特殊的光学性质，如激光晶体、光 学窗口等。
结构材料
某些晶体具有高强度、高硬度等特性，可用于制 造刀具、航空航天结构件等。
晶体学研究的发展趋势与展望
多学科交叉融合
加强多学科交叉融合，促进晶体学与相关学科的协同发展 。
理论模拟与实验研究相结合
加强理论模拟与实验研究的结合，提高研究水平和深度。
国际化合作与交流
积极参与国际合作与交流，共同推动晶体学研究的进步和 发展。
06
附录与参考文献
附录
晶体的定向
确定晶体取向的常用方法：X射线衍射、反光显微镜观察等。
晶体定向的方法
01
02
03
几何作图法
通过几何作图方法确定晶 体中某一晶向指数或某一 晶面指数。
X射线衍射法
利用X射线衍射原理确定 晶体结构中的晶向和晶面 指数。
3.晶体定向及晶面符号
6、 研究双晶的意义： （1）鉴定矿物------如：长石族矿物 （2）矿物晶体材料的应用 --------
作压电材料的 α -石英，不允许有双晶 作光学材料的 α -石英，允许有道芬双晶,
不允许巴西双晶 作光学材料的冰洲石， 不允许双晶存在。
尖晶石律双晶
常见双晶
燕尾双晶
聚片双晶 十字双晶
膝状双晶 穿插双晶
即： 尽量使 α= β= r = 90o 三、六方晶系 r =120o
3、尽量选择
各晶系的晶体定向举例：
★ 等轴晶系：3L4、或3Li4、或 3L2 → X、Y、Z 轴 ★ 六方晶系：L6 或 Li6 → Z轴，3L2或3P⊥或棱→ X、Y、U轴 ★ 三方晶系：L3 → Z轴， 3L2或P⊥或棱 → X、Y、 U 轴 ★ 四方晶系：L4 或 Li4 →Z轴，2L2或2P⊥或晶棱 → X、Y轴 ★ 斜方晶系：3L2 或3P⊥或 棱 → X、Y、Z轴 ★ 单斜晶系：L2或P⊥→ Y轴， 2个晶棱 → X、Z轴 ★ 三斜晶系：3条晶棱 → X、Y、 Z轴
∨∨
γα
∨
β
轴角：α、β、γ
r
（三）、晶体定向原则
1、选择晶体中的对称要素或晶棱作为坐标轴 晶体中的对称要素：Ln 、Li n、P 的法线、晶棱，必须
按下列顺序选择晶轴：Ⅰ轴、Ⅱ面、Ⅲ 晶棱。
（1）、先确定Z轴（单斜晶系先确定 Y 轴）
★ 等轴晶系： ★ 六方晶系： ★ 三方晶系：
L4、或Li4、或L2 → Z轴
Z b1 b2 b3 b4 b5 b6 bx Y a1
a1bx= 1: x
a2
网面密度越大、晶面在
X
晶轴上的截距系数之比
网面密度与截距系数比的关系
晶体定向和晶体学符号
法线
c b O a
邻近两平行晶面间的垂直距离称为 晶面间距； • 从原点作（h k l）晶面的法线； • 法线被最近邻的（h k l）面所交截 的距离即是晶面间距。
•
*
• 立方晶系晶面夹角
晶面夹角 —— 晶面法线之间的夹角
晶面与 晶面的夹角为
• 立方晶系中晶向 [h k l] 与晶面 (h k l) 垂直
晶体学基础
第三章
晶体定向和晶体学符号
Chapter Outline
晶胞选取原则 晶体学坐标系 各晶系的定向方法 原子坐标 晶向指数 晶面指数 晶带指数 晶面间距与晶面夹角
晶胞及其选取原则
空间点阵按照平行六面体划 分为许多形状和大小相同的网 格，此平行六面体称为点阵晶 胞或单元晶胞（Unit cell）。
晶面间距与晶格常数
SUMMARY
• 晶胞选取原则
• 各晶系的定向方法
• 晶向指数 • 晶面指数 • 晶带定律 • 晶面间距与晶面夹角
23
晶向指数
晶向指数
确定晶向指数4步骤
1）确定坐标系，过原点作平行于欲求晶向的直线； 2）求该直线上任一点的坐标（a，b，c）； 3）将此3个坐标值化成最小整数 u，v，w； 4）加以方括号，即[u v w]。
简单立方晶格的晶向标志
立方边OA的晶向 立方边共有6个不同的晶向
晶向族<u v w>
晶向族代表由对称性联系的一系列等同晶向 的组合。
同一晶面族具有类似的指数。
{1010}: (1010), (0110), (1100) (1010), (0110), (1100)
4轴坐标晶向指数 [u v t w]
c b O a
邻近两平行晶面间的垂直距离称为 晶面间距； • 从原点作（h k l）晶面的法线； • 法线被最近邻的（h k l）面所交截 的距离即是晶面间距。
•
*
• 立方晶系晶面夹角
晶面夹角 —— 晶面法线之间的夹角
晶面与 晶面的夹角为
• 立方晶系中晶向 [h k l] 与晶面 (h k l) 垂直
晶体学基础
第三章
晶体定向和晶体学符号
Chapter Outline
晶胞选取原则 晶体学坐标系 各晶系的定向方法 原子坐标 晶向指数 晶面指数 晶带指数 晶面间距与晶面夹角
晶胞及其选取原则
空间点阵按照平行六面体划 分为许多形状和大小相同的网 格，此平行六面体称为点阵晶 胞或单元晶胞（Unit cell）。
晶面间距与晶格常数
SUMMARY
• 晶胞选取原则
• 各晶系的定向方法
• 晶向指数 • 晶面指数 • 晶带定律 • 晶面间距与晶面夹角
23
晶向指数
晶向指数
确定晶向指数4步骤
1）确定坐标系，过原点作平行于欲求晶向的直线； 2）求该直线上任一点的坐标（a，b，c）； 3）将此3个坐标值化成最小整数 u，v，w； 4）加以方括号，即[u v w]。
简单立方晶格的晶向标志
立方边OA的晶向 立方边共有6个不同的晶向
晶向族<u v w>
晶向族代表由对称性联系的一系列等同晶向 的组合。
同一晶面族具有类似的指数。
{1010}: (1010), (0110), (1100) (1010), (0110), (1100)
4轴坐标晶向指数 [u v t w]
晶体的定向和晶面符号
• 如果以平行于三根不共面晶棱的直线作为坐标轴，则 晶体上任意二晶面在三个坐标轴上所截截距的比值之 比为一简单整数比。
• 设二晶面A1B1C1和A2B2C2在三根坐标轴上的截距分别 为OA1、OB1、OC1和OA2、OB2、OC2，令： OA1/ OA2: OB1/ OB2: OC1/ OC2=e:f:g 则e:f:g必可化为简单的整数比。 因为：
注意正负之分。
截距系数的倒数比
整理课件
(321) 31
米氏指数(Miller indices)是指：用来表达晶面 在晶体上之方向的一组无公约数的整数，它 们的具体数值等于该晶面在结晶轴上所截截 距系数的倒数比。
• 如果将米氏指数按顺序连写，并置于园括 号内, 表达为(h k l), 便构成了晶面的米氏 符号。
三斜晶系
以不在同一平面的三个主要的晶棱方 向为X、Y、Z轴 整理课件
晶体常数特点
a=b=c
a = b = g = 90
a=b≠c
a = b = g = 90
a=b≠c
a = b = 90 g = 120
a≠b≠c
a = b = g = 90
a≠b≠c
a = g = 90 b > 90
a≠b≠ c
a b g 15
斜方晶系：a ≠ b ≠ c，a = b = g = 90； 单斜晶系：a ≠ b ≠ c，a = g = 90，b > 90； 三斜晶系：a ≠ b ≠ c，a b g；
整理课件
16
各晶系的晶体几何常数特点
整理课件
17
三、 对称型的国际符号
•
对称型的国际符号很简明，1）它不将所有的对称要
素都写出来,2）并且可以表示出对称要素的方向性,3） 但它不容易看懂.
• 设二晶面A1B1C1和A2B2C2在三根坐标轴上的截距分别 为OA1、OB1、OC1和OA2、OB2、OC2，令： OA1/ OA2: OB1/ OB2: OC1/ OC2=e:f:g 则e:f:g必可化为简单的整数比。 因为：
注意正负之分。
截距系数的倒数比
整理课件
(321) 31
米氏指数(Miller indices)是指：用来表达晶面 在晶体上之方向的一组无公约数的整数，它 们的具体数值等于该晶面在结晶轴上所截截 距系数的倒数比。
• 如果将米氏指数按顺序连写，并置于园括 号内, 表达为(h k l), 便构成了晶面的米氏 符号。
三斜晶系
以不在同一平面的三个主要的晶棱方 向为X、Y、Z轴 整理课件
晶体常数特点
a=b=c
a = b = g = 90
a=b≠c
a = b = g = 90
a=b≠c
a = b = 90 g = 120
a≠b≠c
a = b = g = 90
a≠b≠c
a = g = 90 b > 90
a≠b≠ c
a b g 15
斜方晶系：a ≠ b ≠ c，a = b = g = 90； 单斜晶系：a ≠ b ≠ c，a = g = 90，b > 90； 三斜晶系：a ≠ b ≠ c，a b g；
整理课件
16
各晶系的晶体几何常数特点
整理课件
17
三、 对称型的国际符号
•
对称型的国际符号很简明，1）它不将所有的对称要
素都写出来,2）并且可以表示出对称要素的方向性,3） 但它不容易看懂.
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Ⅱ
三方、六方为四轴定向（XYZU）
＋U
＋Y
Z轴直立
＋X
2
晶面符号
用晶轴和轴单位来表示晶面所在的空间方位，称晶面 符号。应用最广是米氏符号。
2.1
整数定律（有理指数定律） 阿羽依指出：晶体上任何晶面在结晶轴上的截距系 数之比恒为简单的整数比。 说明两个问题： ⑴ 晶面在结晶轴上的截距就是晶轴结点的整数倍； ⑵ 晶体在生长过程中，是遵守布拉维法则的（实际 出现的晶面系密度较大的面网，面网密度 出现的可能性越大） 米氏符号（米勒尔）：
轴率：用投影法求出它们的比率a :b :c
1.2 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 晶轴的选择原则 选对称轴作晶轴； 若对称轴的个数不足，由对称面的发线来补充； 若没有对称面和对称轴，则选三个晶棱充当晶轴
1.3
Ⅰ
各晶系晶体的定向方法
三轴定向的有：等轴、四方、正交、单斜、三斜（前右上）
＋Z（c）
β α ＋Y（b) X（a)＋ γ
第三章 晶体的定向和晶面符号
晶体定向：设置坐标系
晶面符号：用数学符号表示方位
1 1.1 晶体定向 选择坐标轴和确定各轴上轴单位的比值。 晶轴和晶体几何常数 晶轴：于晶体上所设置的坐标轴。 轴角：每两个晶轴正端之间的夹角。 ＝Y∧Z ＝Z∧X ＝X∧Y
轴单位：按XYZ轴的顺序，标记为ab（晶面指数）来表示，晶面指数等于 该晶面在三个晶轴上的截距系数的倒数比。
用hkl表示分别与XYZ三个轴相对应。 例：
规律：平行——指数为零。负端相交——加“－”。 四轴：形式（hkil）且h+k+i＝0
3
晶面指数与晶面方位间的关系
几点结论：见符号，解含义，想方位
① 晶面中某个指数为零时，表示该晶面与相应的晶面平行 ② 同一个晶面符号中，指数的绝对值越大，表示晶面在相应 晶轴上的截距系数越小；在轴单位相等的情况下，还表示 截距的绝对长度越短，晶体本身与该结晶轴的夹角越大 ③ 同一晶面符号，如有两个指数的绝对值相等，这两个晶轴 的轴单位也相等，则晶面与这两个晶轴以等角度相交 ④ 在同一晶体中，如有两个这样的晶面，在它们的晶面符号 之间有两组对应的指数值均相等，仅有另一组对应指数不 相等，对于不等的那一组指数
5
说明：
实际晶体晶面符号的计算中，不是去测量 每一个晶面在 各结晶轴上截距的长 度，求 晶面符号。而是根据晶体测 出的各个晶面 极坐标值 ，计算出晶面发线 与三个结晶轴 间的夹角值： θx、θy、θz 关系式 ：
h:k:l＝a Cosθx :b Cosθy : c Cosθz
可直接求出晶面指数
指数值越大晶面本身与相应的晶轴之间的夹角也越大。 ⑤ 4 4.1 同一晶体中，如有两个晶面它们对应的三组晶面指数 绝对值相等，而正负号完全相反，则这两个晶面平行。 几个概念： 晶带 晶面彼此相交的晶棱相互平行的一组晶面的组合。形
式
为〔rst〕 4.2 至 少必须包含两个互不平行的晶面。 4.3 单形 晶带定律 晶体上任一晶面至少同时属于两个晶带；而一个晶带