第三章晶体的定向和晶面符号知识讲解
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晶体的定向和晶面符号
• 结晶轴的选择应当符合晶体固有的对称性
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
《结晶学》第3章晶体定向和晶面符号
注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y 注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y轴，其它 晶系均先确定z 晶系均先确定z轴
思考： 思考：
能否根据各晶体晶体常数特点确定属于 何种晶系？ 何种晶系？
§3.3
对称型的国际符号
一、国际符号中对称要素的表示法
对称面：m 对称面： 对称轴：以轴次的数字表示， 对称轴：以轴次的数字表示， 如 1、2、3、4 和 6
Z
举例： 举例：
Y
X
答案（100）（100）（010）（010）（001）（001） 答案（100）（100）（010）（010）（001）（001） ）（100）（010）（010）（001）（001
补充说明： 补充说明：
1）晶面符号中某指数为0，表示该晶面平行于相应晶轴。 晶面符号中某指数为0 表示该晶面平行于相应晶轴。 2）同一晶体中，如有两晶面，对应三组晶面指数的绝 同一晶体中，如有两晶面， 对值全部相等，而正负号恰好全部相反， 对值全部相等，而正负号恰好全部相反，则两晶面必 相互平行。 相互平行。 3）同一晶面符号中，指数的绝对值越大，表示晶面在 同一晶面符号中，指数的绝对值越大， 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小； 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小；在轴单位 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。
即：
◆ ◆ ◆
平行的对称轴或旋转反伸轴； 平行的对称轴或旋转反伸轴； 垂直的对称面； 垂直的对称面； 当这两类对称要素在同一方向上同时存在 则写成分式的形式。 分式的形式 时，则写成分式的形式。
晶
系
序 位 1 2 3 1
代表方向 x或y或z轴方向 三次轴方向 x、y或x、z或y、z轴之间 四次轴, 四次轴,即z方向 与四次轴垂直, 与四次轴垂直,在x或y轴方向 与四次轴垂直,并与位2 与四次轴垂直,并与位2成450 六次或三次轴,即z 方向 六次或三次轴, 与六次或三次轴垂直, 与六次或三次轴垂直,在x或y或u轴方向 与六次或三次轴垂直,并与位2 与六次或三次轴垂直,并与位2成300角 x轴方向 y轴方向 z轴方向 y轴方向 任意方向
3.晶体定向及晶面符号概述
面 -----单面 1、平行双面1、反映双面及轴双面1 。
柱 ----（单柱 4 、复柱3） 锥 ----（单锥7、双锥 7） 体 ------ 23
低级晶族的单形
平行双面
轴双面
斜方单锥
斜方四面体
斜方双锥
斜方柱
中级晶族的单形
三方单锥
六方单锥
四方单锥
复三方单锥复六方单锥复四方Fra bibliotek锥三方双锥
六方双锥
四方双锥
晶面符号举例！
1. 等轴晶系：立方体、八面体 2. 四方晶系：四方柱、四方双锥 3. 六方晶系：六方柱 4. 三方晶系：菱面体 5. 斜方晶系：斜方双锥 6. 单斜晶系：石膏单晶
3、简整指数定律： 晶面在晶轴上的截距系数之比，往往为简单的整数比。 （1）简单？见P.38 图4-8 网面密度：a1b1 ＞ a1b2 ＞ a1b3 ＞ a1b4 ＞ ……a1bx 晶面在x、y、轴上的截距系数之比： b1 b2 b3 b4 b5 b6 bx a1b1 = 1:1 Z Y a1b2 = 1:2 a1b3 = 1:3 a1 a1b4 = 1:4 …… a2 a1bx= 1: x 网面密度越大、晶面在 X 晶轴上的截距系数之比 网面密度与截距系数比的关系 越简单。布拉维法则： 实际晶体往往被网面密度较大的晶面所包围。
（2）整数？（见P.38 图4-7 ） 把平行于晶胞的三个行列 作为晶轴，用该行列上的结 点间距作为轴单位。晶轴相 应于行列，晶面相应于面网， 晶面截晶轴于结点（a1b2）， 或者晶面平移后截晶轴于结 点（kb5→a2b4），故晶面在 晶轴上的截距系数之比必为 一整数比。
（a1b2：x=1a ，y= 2b ：即1: 2） （a2b4：x=2a ，y= 4b ：即2: 4）
第三章晶体定向和晶面符号
Ⅱ
三方、六方为四轴定向（XYZU）
＋U
＋Y
Z轴直立
＋X
2
晶面符号
用晶轴和轴单位来表示晶面所在的空间方位，称晶面 符号。应用最广是米氏符号。
2.1
整数定律（有理指数定律） 阿羽依指出：晶体上任何晶面在结晶轴上的截距系 数之比恒为简单的整数比。 说明两个问题： ⑴ 晶面在结晶轴上的截距就是晶轴结点的整数倍； ⑵ 晶体在生长过程中，是遵守布拉维法则的（实际 出现的晶面系密度较大的面网，面网密度 出现的可能性越大） 米氏符号（米勒尔）：
轴率：用投影法求出它们的比率a :b :c
1.2 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 晶轴的选择原则 选对称轴作晶轴； 若对称轴的个数不足，由对称面的发线来补充； 若没有对称面和对称轴，则选三个晶棱充当晶轴
1.3
Ⅰ
各晶系晶体的定向方法
三轴定向的有：等轴、四方、正交、单斜、三斜（前右上）
＋Z（c）
β α ＋Y（b) X（a)＋ γ
第三章 晶体的定向和晶面符号
晶体定向：设置坐标系
晶面符号：用数学符号表示方位
1 1.1 晶体定向 选择坐标轴和确定各轴上轴单位的比值。 晶轴和晶体几何常数 晶轴：于晶体上所设置的坐标轴。 轴角：每两个晶轴正端之间的夹角。 ＝Y∧Z ＝Z∧X ＝X∧Y
轴单位：按XYZ轴的顺序，标记为ab（晶面指数）来表示，晶面指数等于 该晶面在三个晶轴上的截距系数的倒数比。
用hkl表示分别与XYZ三个轴相对应。 例：
规律：平行——指数为零。负端相交——加“－”。 四轴：形式（hkil）且h+k+i＝0
3
晶面指数与晶面方位间的关系
几点结论：见符号，解含义，想方位
① 晶面中某个指数为零时，表示该晶面与相应的晶面平行 ② 同一个晶面符号中，指数的绝对值越大，表示晶面在相应 晶轴上的截距系数越小；在轴单位相等的情况下，还表示 截距的绝对长度越短，晶体本身与该结晶轴的夹角越大 ③ 同一晶面符号，如有两个指数的绝对值相等，这两个晶轴 的轴单位也相等，则晶面与这两个晶轴以等角度相交 ④ 在同一晶体中，如有两个这样的晶面，在它们的晶面符号 之间有两组对应的指数值均相等，仅有另一组对应指数不 相等，对于不等的那一组指数
晶体定向和晶面符号
3L2为三轴，（3L2；3L23PC） L2为Z轴，2个P的法线为X、Y轴（L22P） L2为Y轴（L2；L2PC） P之法线为Y轴（P） 2个均垂直与b轴的适当晶棱方向为X、Z轴 三个适当的晶棱方向为Z、X、Y轴
三、晶面符号
晶体定向后，表示晶面在空间相对位置的符号，又 叫米氏符号。
即晶面在三个晶轴(X,Y,Z)上截距系数的倒数比h:k:l； 通常表示为（hkl）
3、同一米氏符号中，如有两个指数的绝对值相等，而且 与它们相对应的那两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面 与此二结晶轴以等角度相交；
4、在同一个晶体中，如有两个晶面的三组米氏指数的绝 对值全都相等，而且正、负号恰好全都相反，则此二晶面 平行。
四、单形符号
1、因为单形是一组由对称要素联系起来的相同晶面， 故可以用一个面来表示整个单形。
晶体定向和晶面符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位
二、建立坐标系统
1、晶体是多面体
三维坐标系统
三个方向即晶轴 量度单位轴单位
2、选择方法
微观上： 选择平行六面体中交于一点的三个行列的方向
宏观体现： 选择对称轴、对称面的法线、晶棱 的方向
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
a=b≠c α=β=γ＝90°
a≠b≠c α=γ=90° β＞90°
a≠b≠c
α≠β ≠ γ a≠b≠c
选轴原则（按晶体几何常数特征）
以三个相互垂直的L4(Li4,L2)为X、Y、Z三 轴
唯一的高次轴为Z轴; 两个相互垂直的L2(P 之法线,晶棱)为X、Y轴
唯一的高次轴为Z轴 三个互成60°交角的L2(P之法线，适当晶 棱）为X、Y、U轴
三、晶面符号
晶体定向后，表示晶面在空间相对位置的符号，又 叫米氏符号。
即晶面在三个晶轴(X,Y,Z)上截距系数的倒数比h:k:l； 通常表示为（hkl）
3、同一米氏符号中，如有两个指数的绝对值相等，而且 与它们相对应的那两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面 与此二结晶轴以等角度相交；
4、在同一个晶体中，如有两个晶面的三组米氏指数的绝 对值全都相等，而且正、负号恰好全都相反，则此二晶面 平行。
四、单形符号
1、因为单形是一组由对称要素联系起来的相同晶面， 故可以用一个面来表示整个单形。
晶体定向和晶面符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位
二、建立坐标系统
1、晶体是多面体
三维坐标系统
三个方向即晶轴 量度单位轴单位
2、选择方法
微观上： 选择平行六面体中交于一点的三个行列的方向
宏观体现： 选择对称轴、对称面的法线、晶棱 的方向
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
a=b≠c α=β=γ＝90°
a≠b≠c α=γ=90° β＞90°
a≠b≠c
α≠β ≠ γ a≠b≠c
选轴原则（按晶体几何常数特征）
以三个相互垂直的L4(Li4,L2)为X、Y、Z三 轴
唯一的高次轴为Z轴; 两个相互垂直的L2(P 之法线,晶棱)为X、Y轴
唯一的高次轴为Z轴 三个互成60°交角的L2(P之法线，适当晶 棱）为X、Y、U轴
ap3晶体定向和晶面符号ap4单形和聚形1(2)
a = b = g = 90 a = b = g = 90
a=b≠c a = b = 90 g = 120
三方晶系 及六方晶系
斜方晶系 单斜晶系
以互相垂直的L2或P的法线为X、Y、 Z轴 以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴 的主要晶棱方向为X、Z轴
以三个主要的晶棱方向为X、Y、Z轴
a≠b≠c
001 011 _ 111 101 111
_ 110 100 110
010
__ 111 _ 101
_ 111
_ 011
1、单形(simple form) ：是由对称要素联系起
来的一组晶面的组合。 也就是说，单形是一个晶体上能够由该晶体的所 有对称要素操作而使它们相互重复的一组晶面。 单形中所有晶面性质、大小、形状完全等同。
请注意: 在晶体的宏观形态上根据对 称特点选出的三根晶轴，与晶体内部结 构的空间格子的三个不共面的行列方向 是一致的。 为什么?因为空间格子中三个不共面的 行列也是根据晶体的对称性，人为地画 出来的。而晶轴也是根据晶体的对称性， 人为地选出来的。晶体的内部对称与晶 体的宏观对称是一致的，所以晶轴与三 个行列就是一致的。
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴 的具体方法也不同,见表4-1(此表非常重要，要熟记).
等轴晶系的定向:
晶= b = c – 三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 – z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
单斜晶系的定向:
晶体几何常数: a = g = 90°, b > 90° a<>b<>c L2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴，z 轴起立， y 轴左右 水平， x 轴前后向前下倾斜。
3晶体定向及晶面符号概述
右右右右型型型型
六方偏方面体
（4）单形符号
由于同一单形的各个晶面的晶面指数的绝对值不变，而 只是正负号和顺序不同； 例：立方体（100）（T00）（010）（0T0） （001）（00T） ① 单形符号----在单形各个晶面中，选择一个代表晶面的符
即： 尽量使 α= β= r = 90o 三、六方晶系 r =120o
3、尽量选择轴单位相等或趋于相等的行列作为晶轴 即： 尽量使 a=b=c
各晶系的晶体定向举例：
★ 等轴晶系：3L4、或3Li4、或 3L2 → X、Y、Z 轴⊥或棱→ X、Y、U轴 ★ 三方晶系：L3 → Z轴， 3L2或P⊥或棱 → X、Y、 U 轴 ★ 四方晶系：L4 或 Li4 →Z轴，2L2或2P⊥或晶棱 → X、Y轴 ★ 斜方晶系：3L2 或3P⊥或 棱 → X、Y、Z轴 ★ 单斜晶系：L2或P⊥→ Y轴， 2个晶棱 → X、Z轴 ★ 三斜晶系：3条晶棱 → X、Y、 Z轴
Z b1 b2 b3 b4 b5 b6 bx Y a1
a1bx= 1: x
a2
网面密度越大、晶面在
X
晶轴上的截距系数之比
网面密度与截距系数比的关系
越简单。布拉维法则：
实际晶体往往被网面密度较大的晶面所包围。
（2）整数？（见P.38 图4-7 ） 把平行于晶胞的三个行列
作为晶轴，用该行列上的结
点间距作为轴单位。晶轴相
∨∨
γα
∨
β
轴角：α、β、γ
r
（三）、晶体定向原则
1、选择晶体中的对称要素或晶棱作为坐标轴 晶体中的对称要素：Ln 、Li n、P 的法线、晶棱，必须
按下列顺序选择晶轴：Ⅰ轴、Ⅱ面、Ⅲ 晶棱。
（1）、先确定Z轴（单斜晶系先确定 Y 轴）
第三章 晶体的定向和晶面符号
A
rc
qb
O
pa
BY
.
X
12
如图：所示晶面在三个结晶轴 上的截距分别为2a、3b、6c，
Z
截距系数分别为2，3，6。
C
那么
截距系数的倒数比为
1 h:k:l=2
：1 3
：1 6
＝3：2：1
cb
aO
A
BY
该晶面的米氏符号为（321） X
晶面指数－米氏符号中小括号内的三个数字称晶面指数。
.
13
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单
晶面截晶轴于结点
简单的
整数比
.
14
在确定晶体上晶面的米氏符号时，并不需要知道a， b，c的大小。可以首先选择一个晶面作单位面。单位面 应该是晶体上发育很好、与三个晶轴都相截，而且截距 尽可能相等或相近的晶面。将单位面的符号定为（111 ），即认为该晶面的截距系数p=q=r，截距之比为a：b ：c。确定了单位面之后，其它晶面的符号可通过与单 位面的比较而求得。
确定轴单位
Z+ _ _ +Y
+
X_
B4
晶轴 行列，轴单位 结点间距
B3
B2
晶体常数 轴率a:b:c和轴角, ,
.
B1 b
O a A 1 A 2 A 3 3A 4
三、如何为晶体定向
1、选择晶轴的原则
（1）晶轴平行行列方向。
优先
晶轴平行 对称轴
其次
对称面的法线
Z +_
_ +Y
+
X_ 再次
平行晶棱
构成双晶的两个个体之间其结晶
rc
qb
O
pa
BY
.
X
12
如图：所示晶面在三个结晶轴 上的截距分别为2a、3b、6c，
Z
截距系数分别为2，3，6。
C
那么
截距系数的倒数比为
1 h:k:l=2
：1 3
：1 6
＝3：2：1
cb
aO
A
BY
该晶面的米氏符号为（321） X
晶面指数－米氏符号中小括号内的三个数字称晶面指数。
.
13
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单
晶面截晶轴于结点
简单的
整数比
.
14
在确定晶体上晶面的米氏符号时，并不需要知道a， b，c的大小。可以首先选择一个晶面作单位面。单位面 应该是晶体上发育很好、与三个晶轴都相截，而且截距 尽可能相等或相近的晶面。将单位面的符号定为（111 ），即认为该晶面的截距系数p=q=r，截距之比为a：b ：c。确定了单位面之后，其它晶面的符号可通过与单 位面的比较而求得。
确定轴单位
Z+ _ _ +Y
+
X_
B4
晶轴 行列，轴单位 结点间距
B3
B2
晶体常数 轴率a:b:c和轴角, ,
.
B1 b
O a A 1 A 2 A 3 3A 4
三、如何为晶体定向
1、选择晶轴的原则
（1）晶轴平行行列方向。
优先
晶轴平行 对称轴
其次
对称面的法线
Z +_
_ +Y
+
X_ 再次
平行晶棱
构成双晶的两个个体之间其结晶
晶体定向和晶面符号《结晶学》
一、晶体定向的概念
晶体定向就是在晶体上选择坐标系统。即选择
坐标轴（或称为结晶轴）和确定各坐标轴上的 单位长（轴单位）之比（轴率）。
Z
Z
U Y X Y
X
1、晶轴：交于晶体中心的三条轴，它们分别称为x、y、z
轴，晶轴之间的夹角称为轴角，分别表示为：（yz）、 （zx）、（xy）。 注意：三方晶系及六方晶系为四轴定向，在水平方向 上为x、y、u三条互成120度夹角的坐标。
B、在上述前提下，应尽可能使晶轴垂直，轴单位
近乎相等。
§3.2各晶系晶体定向的具体原则
三轴定向
等轴、四方、斜方、单斜、三斜
四轴定向
三方、六方
1、等轴晶系
选轴原则：相互垂直的L4或Li4或L2为x、y、z轴
Z
Y
X
晶体常数：a＝b＝c，α ＝β ＝γ ＝９０0
2、四方晶系
选轴原则：以L4或Li4为z轴，以垂直z轴并相 互垂直的L2或P的法线或晶棱方向为x、y轴。
:
OC2
= e:f:g
C2
O
A1 A2
B2
B1
X
Y
1、截距系数之比为整数比
因为晶面是面网，晶轴是行列，晶面与晶轴之交点 为结点，或平移相交于结点。因此，若以晶轴之结 点间距为度量单位，则晶面在晶轴上的截距系数之 比为整数比
c
a
b
2、为简单整数比
晶体面网密度越大，则晶面在晶轴上的截距系数之 比越简单。又依布拉维法则，晶体总是为面网密度 较大的面网所包围，所以为简单整数比。
数为0表示晶棱垂直于相应晶轴。
（4）对于三方、六方晶系的四轴定向，相应晶棱 符号的一般式写作 [u v · w].
第三节 晶向、晶面和它们的标志
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢 被平行的晶面等间距的分割成h (1)基矢a1 , a2 , a3 被平行的晶面等间距的分割成 1、h2、h3 等份； 等份； (2)以 (2)以 a1 ,a2 ,a3 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴 上的截距倒数的互质比； 上的截距倒数的互质比； (3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。 (3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。 晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值
(
)
(
)
(
)
可以证明： ---阿羽依的有理数定理。 可以证明：r,s,t必是一组有理数---阿羽依的有理数定理。 的末端上的格点分别在离原点距离h 、 、 设 a1 , a2 , a3的末端上的格点分别在离原点距离 1d、h2d、 h3d的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。 的晶面上， 的晶面上 (1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必 有一个晶面通过坐标系的原点； 有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 a1 , a2 , a3 末端上的格点 也一定落在该晶面族的晶面上； 也一定落在该晶面族的晶面上； (2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原 点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。 点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。
晶列的特点
2.晶向指数 (1) 用固体物理学原胞基矢表示 如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
′ ′ ′ R = l1 a1 + l2 a2 + l3 a3
a 1 ,a 2 ,a 3
为固体物理学原胞基矢
′ ′ 为整数， 其中 l1′ , l 2 , l3 为整数，将 l ′ , l ′ , l ′ 化为互质的整数 l1 , l 2 , l 3 ， 1 2 3
4第三章 晶体定向和结晶学符号
6c 6
3
1/3
1/2
3
1/6
12ຫໍສະໝຸດ (231)晶面指数与晶面方位间的关系 几点结论：见符号，解含义，想方位
① 晶面中某个指数为零时，表示该晶面与 相应的晶面平行
② 同一个晶面符号中，指数的绝对值越大， 表示晶面在相应晶轴上的截距系数越小； 在轴单位相等的情况下，还表示截距的绝 对长度越短，晶体本身与该结晶轴的夹角 越大。
等轴晶系 a＝b＝c α＝β＝γ＝９０° 四方晶系 a＝b≠c α＝β＝γ＝９０ ° 三方及六方 a＝b≠c α＝β＝９０ °， γ＝１２０ ° 斜方晶系 a≠b≠c α＝β＝γ＝９０ ° 单斜晶系 a≠b≠c α＝γ＝９０ ° ， β９０ ° 三斜晶系 a≠b≠c αβγ９０ °
1.3 各晶系晶体的定向方法
以3L4为x轴、y轴、z轴。 z轴直立， y轴左右水平， x轴前后水平； α =β =γ =90°， A=b=c。
3L4i4L36P 3L24L3 3L24L33PC
以3L4i为x轴、y轴、z轴
以3L2为x轴、y轴、z轴
L44L2 L44L25PC L4i2L22P
4 四方晶 L 4P 系 L4 L4PC L4i
α＝β＝γ＝９０ °
四方柱
L44L25PC
以L4为Z轴，两个
垂直的L2作X、Y 轴。
a=b≠c
α＝β＝γ＝９０ °
三方柱
Li63L23P
六方柱
L66L27PC
3L44L36L29PC
23PC，a≠b≠c, α＝β＝γ＝９０ ° 3L 2为X、Y、Z轴 以三个L
举例
有一单斜晶系晶体的晶 面ABC在X、Y、Z轴上的 截距分别为3a、2b、6c。 其晶面指数求解过程为： X、Y、Z三晶轴的单位 分别为a、b、c，因此其 截距系数分别为3、2、6， 其 倒 数 比 为 ： 2︰3︰1 ， 因 此 其 晶 面 指 数 为 （231）。
第三章-晶体定向和晶体学符号
晶体学基础
第三章
晶体定向和晶体学符号
Chapter Outline
晶胞选取原则 晶体学坐标系 各晶系的定向方法 原子坐标 晶向指数 晶面指数 晶带指数 晶面间距与晶面夹角
晶胞及其选取原则
空间点阵按照平行六面体划 分为许多形状和大小相同的网 格，此平行六面体称为点阵晶 胞或单元晶胞（Unit cell）。
• 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表 面时才有意义 , 在晶体内部这些面都是等效的 。 不考虑符号相反的晶面，则
面等效的晶面数分别为：3个 表示为
面等效的晶面数分别为：6个 表示为
面等效的晶面数分别为：4个 表示为
六方晶系指数及标定
(110)
(100)
(110)
(100)
• 六方系的单胞不 能反映点阵的对称 性;
（ 2 ）轴角：两个结晶轴正向 之夹角。用a，b，g 表示。
结晶轴选择原则
符合晶体本身的对称 适宜的对称元素作为结晶轴
适宜的晶棱方向作为结晶轴
尽量使得晶轴之间夹角为90
晶体定向的几个基本概念
（ 3 ）轴单位：晶体坐标系中结晶轴的长度单位。是相应 晶体点阵中平行于晶轴的行列上相邻节点间距。用a, b, c分 别表示x轴、y轴、z轴的轴单位。 （4）轴率：结晶轴的轴单位之连比。用a:b:c 表示。 （5）晶体几何常数：轴率a:b:c和轴角a，b，g的合称。表 示晶体坐标系特征的一组参数，用以区分不同的晶系。
原子坐标
• 以晶胞基矢为单位矢量建 立晶体学坐标系，以晶胞基 矢长度为单位，以数字表示 晶胞中原子中心所处的位置。
体心立方晶胞
面心立方晶胞
也可以将原子的位置投影到晶胞底面上，以数字 标明原子的高度；
第三章
晶体定向和晶体学符号
Chapter Outline
晶胞选取原则 晶体学坐标系 各晶系的定向方法 原子坐标 晶向指数 晶面指数 晶带指数 晶面间距与晶面夹角
晶胞及其选取原则
空间点阵按照平行六面体划 分为许多形状和大小相同的网 格，此平行六面体称为点阵晶 胞或单元晶胞（Unit cell）。
• 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表 面时才有意义 , 在晶体内部这些面都是等效的 。 不考虑符号相反的晶面，则
面等效的晶面数分别为：3个 表示为
面等效的晶面数分别为：6个 表示为
面等效的晶面数分别为：4个 表示为
六方晶系指数及标定
(110)
(100)
(110)
(100)
• 六方系的单胞不 能反映点阵的对称 性;
（ 2 ）轴角：两个结晶轴正向 之夹角。用a，b，g 表示。
结晶轴选择原则
符合晶体本身的对称 适宜的对称元素作为结晶轴
适宜的晶棱方向作为结晶轴
尽量使得晶轴之间夹角为90
晶体定向的几个基本概念
（ 3 ）轴单位：晶体坐标系中结晶轴的长度单位。是相应 晶体点阵中平行于晶轴的行列上相邻节点间距。用a, b, c分 别表示x轴、y轴、z轴的轴单位。 （4）轴率：结晶轴的轴单位之连比。用a:b:c 表示。 （5）晶体几何常数：轴率a:b:c和轴角a，b，g的合称。表 示晶体坐标系特征的一组参数，用以区分不同的晶系。
原子坐标
• 以晶胞基矢为单位矢量建 立晶体学坐标系，以晶胞基 矢长度为单位，以数字表示 晶胞中原子中心所处的位置。
体心立方晶胞
面心立方晶胞
也可以将原子的位置投影到晶胞底面上，以数字 标明原子的高度；
晶体定向晶面符号和晶带定律课件
演示如何利用晶带定律判断晶体 的对称性和物理性质。
06
总结与展望
晶体定向、晶面符号与晶带定律的重要性和意义
1 2 3
晶体定向 对于材料科学和物理学的研究具有重要意义，能 够确定晶体在空间中的方位，为深入研究晶体结 构和性质提供了基础数据。
晶面符号 是晶体的一个重要特征，可以用来识别和区分不 同的晶体，同时对于晶体定向和晶带定律的研究 具有关键作用。
晶面符号
如前所述，晶面符号是用来表示晶面在晶体中的相对位置和方向的 符号。
关系
晶面符号与晶带定律之间存在密切关系，通过晶带定律可以确定晶 面符号在晶带上的相对位置和方向。
晶体定向、晶面符号与晶带定律的综合应用
综合应用
在晶体学中，晶体定向、晶面符号和晶带定律是相互关联的基本概念，它们共同构成了晶体学的基础知识。
晶带定律 揭示了晶体中晶面的排列规律，对于理解晶体结 构和性质、以及材料性能的优化具有重要意义。
三者在材料科学和物理学中的应用前景
材料科学
在材料科学中，晶体定向、晶面符号和晶带定律的应用广泛，例如在材料合成、晶体工程、复合材料 等领域，可以用来指导材料的设计和制备，提高材料的性能。
物理学
在物理学中，这些理论可以用来研究晶体的物理性质，如光学、电学、热学等，预测新材料的性质， 以及为开发新的物理现象提供理论基础。
晶体定向晶面符号 和晶带定律课件
• 晶体定向 • 晶面符号 • 晶带定律 • 晶体定向、晶面符号与晶带定律的关系 • 实验操作与演示 • 总结与展望
01
晶体定向
定义与概念
晶体定向的定义
晶体定向是确定晶体中各晶面的方位和晶向的几何过程。
晶体定向的概念
晶体定向是研究晶体结构和性质的重要手段，通过对晶体的 定向研究，可以获得晶体中各晶面的方位和晶向的信息，从 而了解晶体的对称性、结构特征和物理性质等。
晶体的定向和晶面符号课件
晶体的定向和晶面符号课件
目录
• 晶体定向 • 晶面符号 • 晶体结构与性质 • 晶体学实验技术 • 晶体学研究前沿与展望 • 附录与参考文献
01
晶体定向
定义与重要性
定义
晶体定向是指通过确定晶体中某一晶 向指数或某一晶面指数的方法来确定 晶体空间结构的方法。
重要性
晶体定向是研究晶体结构的重要手段 ，通过确定晶向或晶面指数，可以获 得晶体结构对称性、空间群等信息， 有助于理解晶体性质和应用。
晶体结构
不同晶体结构具有不同的物理和 化学性质。
晶体尺寸
晶体尺寸对光学、电学和热学性 质产生影响。
晶体缺陷
晶体缺陷可以影响其物理和化学 性质。
晶体在材料科学中的应用
半导体材料
晶体硅、锗等是重要的半导体材料，用于制造电 子器件。
光学材料
某些晶体具有特殊的光学性质，如激光晶体、光 学窗口等。
结构材料
某些晶体具有高强度、高硬度等特性，可用于制 造刀具、航空航天结构件等。
晶体学研究的发展趋势与展望
多学科交叉融合
加强多学科交叉融合，促进晶体学与相关学科的协同发展 。
理论模拟与实验研究相结合
加强理论模拟与实验研究的结合，提高研究水平和深度。
国际化合作与交流
积极参与国际合作与交流，共同推动晶体学研究的进步和 发展。
06
附录与参考文献
附录
晶体的定向
确定晶体取向的常用方法：X射线衍射、反光显微镜观察等。
晶体定向的方法
01
02
03
几何作图法
通过几何作图方法确定晶 体中某一晶向指数或某一 晶面指数。
X射线衍射法
利用X射线衍射原理确定 晶体结构中的晶向和晶面 指数。
目录
• 晶体定向 • 晶面符号 • 晶体结构与性质 • 晶体学实验技术 • 晶体学研究前沿与展望 • 附录与参考文献
01
晶体定向
定义与重要性
定义
晶体定向是指通过确定晶体中某一晶 向指数或某一晶面指数的方法来确定 晶体空间结构的方法。
重要性
晶体定向是研究晶体结构的重要手段 ，通过确定晶向或晶面指数，可以获 得晶体结构对称性、空间群等信息， 有助于理解晶体性质和应用。
晶体结构
不同晶体结构具有不同的物理和 化学性质。
晶体尺寸
晶体尺寸对光学、电学和热学性 质产生影响。
晶体缺陷
晶体缺陷可以影响其物理和化学 性质。
晶体在材料科学中的应用
半导体材料
晶体硅、锗等是重要的半导体材料，用于制造电 子器件。
光学材料
某些晶体具有特殊的光学性质，如激光晶体、光 学窗口等。
结构材料
某些晶体具有高强度、高硬度等特性，可用于制 造刀具、航空航天结构件等。
晶体学研究的发展趋势与展望
多学科交叉融合
加强多学科交叉融合，促进晶体学与相关学科的协同发展 。
理论模拟与实验研究相结合
加强理论模拟与实验研究的结合，提高研究水平和深度。
国际化合作与交流
积极参与国际合作与交流，共同推动晶体学研究的进步和 发展。
06
附录与参考文献
附录
晶体的定向
确定晶体取向的常用方法：X射线衍射、反光显微镜观察等。
晶体定向的方法
01
02
03
几何作图法
通过几何作图方法确定晶 体中某一晶向指数或某一 晶面指数。
X射线衍射法
利用X射线衍射原理确定 晶体结构中的晶向和晶面 指数。
3.晶体定向及晶面符号
6、 研究双晶的意义： （1）鉴定矿物------如：长石族矿物 （2）矿物晶体材料的应用 --------
作压电材料的 α -石英，不允许有双晶 作光学材料的 α -石英，允许有道芬双晶,
不允许巴西双晶 作光学材料的冰洲石， 不允许双晶存在。
尖晶石律双晶
常见双晶
燕尾双晶
聚片双晶 十字双晶
膝状双晶 穿插双晶
即： 尽量使 α= β= r = 90o 三、六方晶系 r =120o
3、尽量选择
各晶系的晶体定向举例：
★ 等轴晶系：3L4、或3Li4、或 3L2 → X、Y、Z 轴 ★ 六方晶系：L6 或 Li6 → Z轴，3L2或3P⊥或棱→ X、Y、U轴 ★ 三方晶系：L3 → Z轴， 3L2或P⊥或棱 → X、Y、 U 轴 ★ 四方晶系：L4 或 Li4 →Z轴，2L2或2P⊥或晶棱 → X、Y轴 ★ 斜方晶系：3L2 或3P⊥或 棱 → X、Y、Z轴 ★ 单斜晶系：L2或P⊥→ Y轴， 2个晶棱 → X、Z轴 ★ 三斜晶系：3条晶棱 → X、Y、 Z轴
∨∨
γα
∨
β
轴角：α、β、γ
r
（三）、晶体定向原则
1、选择晶体中的对称要素或晶棱作为坐标轴 晶体中的对称要素：Ln 、Li n、P 的法线、晶棱，必须
按下列顺序选择晶轴：Ⅰ轴、Ⅱ面、Ⅲ 晶棱。
（1）、先确定Z轴（单斜晶系先确定 Y 轴）
★ 等轴晶系： ★ 六方晶系： ★ 三方晶系：
L4、或Li4、或L2 → Z轴
Z b1 b2 b3 b4 b5 b6 bx Y a1
a1bx= 1: x
a2
网面密度越大、晶面在
X
晶轴上的截距系数之比
网面密度与截距系数比的关系
《结晶学》第3章晶体定向和晶面符号PPT课件
1、首先看第二位是否为“3”，若为“3”（3代表4L3）， 则为高级晶族等轴晶系
2、第二位不是3，则看第一位。若第一位为高次轴符号， 则为中级晶族；根据轴次高低判断属于相应晶系
3、符号中无高次轴符号，则为低级晶族。 只出现 1 或 1，则为三斜； “2” ≤1，或“m” ≤1，则为单斜； “2” ＞1， 或“m” ＞1，则为斜方
的全部对称要素。
即：
◆ 平行的对称轴或旋转反伸轴； ◆ 垂直的对称面； ◆ 当这两类对称要素在同一方向上同时存在
时，则写成分式的形式。
晶系 等轴晶系
四方晶系
三方及六方 晶系
斜方晶系 单斜晶系 三斜晶系
序位
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1
代表方向
x或y或z轴方向 三次轴方向 x、y或x、z或y、z轴之间 四次轴,即z方向 与四次轴垂直,在x或y轴方向 与四次轴垂直,并与位2成450 六次或三次轴,即z 方向 与六次或三次轴垂直,在x或y或u轴方向 与六次或三次轴垂直,并与位2成300角 x轴方向 y轴方向 z轴方向 y轴方向 任意方向
z
y
x
晶体常数 a≠b≠c，α＝γ＝９０°β＞９０°
5、三斜晶系
选轴原则：以不在同一平面内的3个主要晶棱 方向为x、y、z轴
Z
Y X
晶体常数 a≠b≠c，αβγ ９０°
6、三方、六方晶系
选轴原则：以L6、Li6、L3为z轴，以垂直z轴并彼此相 交为1200的3个L2或P的法线或晶棱方向为x、y、u轴
OX OY OU OZ
根据定向时三个水平轴正端互成120o交角
关系，三个指数之间的关系为h+k+i=0
u
T
O
2、第二位不是3，则看第一位。若第一位为高次轴符号， 则为中级晶族；根据轴次高低判断属于相应晶系
3、符号中无高次轴符号，则为低级晶族。 只出现 1 或 1，则为三斜； “2” ≤1，或“m” ≤1，则为单斜； “2” ＞1， 或“m” ＞1，则为斜方
的全部对称要素。
即：
◆ 平行的对称轴或旋转反伸轴； ◆ 垂直的对称面； ◆ 当这两类对称要素在同一方向上同时存在
时，则写成分式的形式。
晶系 等轴晶系
四方晶系
三方及六方 晶系
斜方晶系 单斜晶系 三斜晶系
序位
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1
代表方向
x或y或z轴方向 三次轴方向 x、y或x、z或y、z轴之间 四次轴,即z方向 与四次轴垂直,在x或y轴方向 与四次轴垂直,并与位2成450 六次或三次轴,即z 方向 与六次或三次轴垂直,在x或y或u轴方向 与六次或三次轴垂直,并与位2成300角 x轴方向 y轴方向 z轴方向 y轴方向 任意方向
z
y
x
晶体常数 a≠b≠c，α＝γ＝９０°β＞９０°
5、三斜晶系
选轴原则：以不在同一平面内的3个主要晶棱 方向为x、y、z轴
Z
Y X
晶体常数 a≠b≠c，αβγ ９０°
6、三方、六方晶系
选轴原则：以L6、Li6、L3为z轴，以垂直z轴并彼此相 交为1200的3个L2或P的法线或晶棱方向为x、y、u轴
OX OY OU OZ
根据定向时三个水平轴正端互成120o交角
关系，三个指数之间的关系为h+k+i=0
u
T
O
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晶面指数－米氏符号中小括号内的三个数字称晶面指数。
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单 简单的
晶面截晶轴于结点 整数比
在确定晶体上晶面的米氏符号时，并不需要知道a， b，c的大小。可以首先选择一个晶面作单位面。单位面 应该是晶体上发育很好、与三个晶轴都相截，而且截距 尽可能相等或相近的晶面。将单位面的符号定为（111 ），即认为该晶面的截距系数p=q=r，截距之比为a：b ：c。确定了单位面之后，其它晶面的符号可通过与单 位面的比较而求得。
第三章晶体的定向和晶面符号
三、如何为晶体定向
1、选择晶轴的原则
（1）晶轴平行行列方向。
优先
其次
晶轴平行 对称轴
对称面的法线
Z +_
_ +Y
+
X_ 再次
平行晶棱
（2）晶轴要尽可能的互相垂直或近于
垂直，即尽可能使 ===90,
具a体=步b=骤c
高次轴 L2 P 法线 显著晶棱
三、如何为晶体定向
（3）等轴、四方、斜方、单斜及 三斜等五个晶系选三个晶轴（X、 Y、Z），其中
同一单形的各个晶面的指 数的绝对值不变，而只有 正负号的区别
知道了单形的一个晶面 的符号，则该单形的其 它晶面的符号即可导出
用单形一个代表晶 面的符号来代表整 个单形
定义：单形符号简称形号，它是指在单形中选择一 个代 表面，把该晶面的晶面指数用“{ }”括 起来，用以表征组成该单形的一组晶面的 结晶学取向的符号
矿物的规则连生体的形态
1、平行连生
同种晶体彼此平行的连生在一起，连生 着的每一个晶体的相对应的晶面和晶棱 都是相互平行的
平行连生从外形来看是多晶体的连生，但它们 的内部格子构造是平行、连续的
2、双晶 ➢ 定义：两个或两个以上的同种晶体按
一定的对称规律形成的规则连生
构成双晶的两个个体之间其结晶 格子不平行，不连续
例如：某晶面与三个晶轴X、Y、Z分别交于A、B、C三点，
那么该晶面在三个晶轴上截距是OA、OB、OC。如果用轴
单位a、b、c度量，得到：
OA＝pa，OB=qb，OC=rc
或者说，晶面在晶轴上的截距分别为pa、qb、rc。
其中p，q，r就是该晶面的截距系数。
Z
C
截距系数的倒数比为：
1 p
：
1 q
:
1 r
Z轴－直立方向，上正、下负；
X轴－对着观察者，前正、后负；
Y轴－置于左右方向，右正、左负
Z +_
_
+Y
+
X
_
Z+
YX+
X-
Y+
Z-
三、如何为晶体定向
（4）三方、六方晶系选四个晶轴 （X、Y、U、Z），其中 Z轴－直立方向，上正、下负； X轴、Y轴、U轴均在一个水平面 上，其正端的夹角为1200，其正负 如右图所示，它们都与Z轴垂直。
－
(1011)
U+
Z+
－
(1121)
E
U
P2
O
P2
P1 P3
D A X
－-
Y+
(1010)
X+
根据四轴定向时3个水平结晶轴的正 P2 端互成120交角的关系，应当有：
Y h+k+i=0
B
即：3个水平结晶轴相应的晶面指数， 它们的代数和永远为0
五、单形符号
同一单形的各个晶面与晶 轴都有着基本相同的相对 位置
U+
_1200 + X
_
1200
+Y
1200
_
Z
U
Y X
2、各晶系晶轴选择的具体方法
等轴晶系
3L4或3个互相垂直的Li4或L2 X Y Z轴
Z 直立，Y 左右，X 前后
晶体常数特点：a=b=c
=四方=晶=系90
1L4 Z轴 以两个相互垂直的L2 X Y轴 无L2时以相互垂直的2个对称面的法线方 向或晶棱方向为X Y轴
代表晶面的选择总原则
尽可能选择与X、Y、Z轴交于正端的晶面
尽可能选取各指数绝对值依递降顺序排列的晶面
具体方法
在中、低级晶族的单形中，按“先上、次前、后 右”的顺序选择代表晶面 “先上”—尽可能使l为正，“次前、后右”—尽可能使 在h高k级晶族中，按“先前、次右、后上”的原 则 选择代表晶面，尽可能满足hkl
晶体常数特点：abc 90
六方晶系和三方晶系
U
对称特点：晶体中唯一的高次轴为L3
或L6
Y
选择1个直立结晶轴和3个水平结晶轴
X L3/L6 Z轴，
3个彼此相交1200的L2 / P 法线/晶棱（无L2或P时） X Y U轴
X Y U 轴正向之间的夹角为120
Z
Z 轴上下直立
Y 轴左右水平，右正左负
➢ 双晶要素
U
X
Y
X 轴左前—右后水平，正端朝前偏左 30
晶U30体轴 常左数后特—右点前：水a＝平b，c正=前朝=9后0偏＝左120
四、晶面符号
晶面符号—代表晶面在空间的方位的符号 晶体定向后，晶面的空间方位可以借晶面与晶 轴的截交关系来确定。 晶面符号的表达方式—米氏符号 由英国人Miller（1839）创立 米氏符号用晶面在结晶轴上的截距系数的倒数比来表 示。
Z 直立，Y 左右，X 前后
晶体常数特点：a=bc
斜方晶系 （对称型：3L23PC、3L2、L22P）
3L2 X Y Z 轴 1L2 Z轴 2P法线 X Y 轴
Z 直立，Y 左右，X 前后
晶体常数特点：abc == =90
单斜晶系 （对称型：L2PC、L2、P）
1L2或1P法线 Y轴, 以垂直于Y轴的2晶
举例：
晶面的米氏符号 （hkl) 晶面指数 h:k:l 取最简单的整数比
即：h, k, l 成为3个没有公约数的整数
注意：
晶面符号中不能同时出现数字和符号（除0外）
晶面指数有正负之分 (h- k l)
晶面与结晶轴平行时，相应的晶面指数符号（hki-l)
h,k,i,l分别代表X，Y，U，Z轴 上的指数。其中h＋k＋i＝0
棱 X Z轴
Z 直立，Y 左右 X 前后但向前下方倾斜 使>90
晶体常数特点：abc ==90 >90
三斜晶系
（对称型：L1、C）
选择3个显著的、而且相互间较接 近于90的晶棱方向作为X Y Z轴
Z 直立， Y 左右并朝右下方倾斜 X 大致前后方向并使之朝前下方倾斜
使>90,>90， 则可为钝角，亦可为锐角
=h:k:l
把hkl用小括号括起来，（ hkl ）就是 该晶面的米氏符号。
A
rc
qb
O
pa
BY
X
如图：所示晶面在三个结晶轴 上的截距分别为2a、3b、6c，
Z
截距系数分别为2，3，6。
C
那么
截距系数的倒数比为
1 h:k:l=2
：1 3
：1 6
＝3：2：1
cb
aO
A
BY
该晶面的米氏符号为（321） X