关于贝特朗悖论
贝特朗概率悖论的解释
贝特朗概率悖论的解释贝特朗概率悖论的解释贝特朗概率悖论是一个著名的悖论题，与其他的集合悖论不一样，这个悖论只是我们看起来“错”而已，也并没有像集合悖论一样带来一次数学危机，正确审视它，就是让我们对“几何概型”这一概念更加地深入了解而已。
我就不废话，我们直接来看什么是贝特朗概率悖论，百度上有很多，随便一搜就到处都是题目是这样子滴：在圆中做弦MN，求使MN的长大于圆内接正三角形边长的概率。
这道题若从不同的角度看，就有几种不同的答案，百度百科里有，我就不想在这里多费口舌，希望各位先到那里去看看具体的答案，我把图片下来，大家可以自己看：百度百科词条解释虽然这多种解法各有各得说法，似乎每一个都对，但是悖论毕竟是悖论，他终究是错的。
概率问题一个基本的原则就是，不管从哪个角度看，答案只能有一个，否则一件事情的概率都不一致，这问题要么就是本身就有问题，要么就是条件不够。
而对于贝特朗概率悖论所涉及到的问题，正是如此，因为其条件不够。
首先我们看第一种“解法”。
解法1的思路是，在于AB平行的弦中，只有与PQ交点落在MN上的，弦长才大于根号3。
弦与PQ的交点肯定就是落在能分布于以O为圆心，半径为1/2的圆中，而该圆的面积占据大圆的1/4，故概率为1/4.学夫子自己的看法来说，这种解法最牵强，他将弦的分布划归为其中点在圆中的分布，认为“一个中点M只对应于一条弦”，显然这是错误的，因为圆心O所对应的弦有无数条，而对于非圆心的点M，以M为中点的弦只有一条。
所以这本身就不是等可能的，这种解法就是错误，他就跟前两种解法不一样，加上条件就是对的，这种解法无论加什么条件都是错的，因为不是条件缺与不缺的问题，而是犯了概率论中最基本的前提错误——等可能分布。
不过网络上更倾向于第二种方法的答案作为这道题的“标准答案”，因为任意给一条弦，他应该由圆周上的两点决定。
文章。
几何“贝特朗概率悖论问题”的一点思考
几何“贝特朗概率悖论问题”的一点思考几何“贝特朗概率悖论问题”的一点思考郑甜（贵州省贵阳市第一中学）度中引入了古典概型和几何概型的概念，并从古典概型入手，要求学生能够对基本事件进行准确的计数和合理的描述。
学生要能够掌握几何概型中的具体情境分析，能够对基本事件的发生进行转换，将其转变为特定区域内的随机取点。
教材在几何概型这方面旨在对学生的建模能力和类比猜想能力进行培养和提高，并在其中渗透了丰富的数形结合思想和等价转换思想，是新课标人教A版高中数学教材中的一项难点内容。
在教学的过程中，几何概型的教学难点就在于如何让学生把握住几何概型的定义和特征，不要出现类似贝特朗概率悖论的问题。
二、贝特朗概率悖论问题贝特朗概率悖论问题是一个着名的问题，其内容为“有一个半径为1的圆，在圆内随机地将一条弦去除，那么弦的长度超过圆的内接等边三角形边长的概率有多大？”1.长度，y，2.60°角和，弦与该成样本空间Ω2。
两变量的变化率不一样，所以不能用弦与切线成60°角和120°角之间的概率取代弦长度大于三角形边长的概率。
3.如图1第三幅图，当弦的中点在阴影标记的圆内时，弦的长度大于三角形的边长，而大圆的弦中点一定在圆内，大圆的面积是πr2，小圆的面积是π（r/2）2。
所以概率P=1/4，假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3。
三、对贝特朗概率问题的分析每一个弦都可以被其中点唯一决定。
上述三种方法会给出不同中点的分布。
方法1和方法2会给出两种不同不均匀的分布，而方法3则会给出一个均匀的方法。
在几何概型中，对某一随机事件的概率可以用体积、面积和长度来进行计算，其中的基本原理就在于每个基本事件都与一个点相互对应，这些点均匀分布，构成了空间几何体、平面区域或者曲线段。
但仍然可问题，。
贝特朗悖论
贝特朗悖论在第一次世界大战时，意大利军队里流行着一种反常的现象：意大利士兵受伤后不去医院治疗，而是要求服用大量的止痛片。
这使人费解，军方将领也莫衷一是。
英国海军少将贝特朗认为，这种看似矛盾的现象有它合理的一面。
因为他发现，如果不进行必要的止痛治疗，很多士兵都会在作战中牺牲。
从20世纪开始，对于贝特朗悖论产生了各种不同的观点和解释。
1909年，爱尔兰数学家波利亚最先提出，士兵因为怕被俘，宁愿死于敌手，也不愿治疗疾病。
这被称为“假死说”。
但是，美国医生杜南和拉斯马丁，为寻找原因，深入研究，终于揭开了这个奥秘：原来，当士兵受伤后，生命特征就已经消失了。
如果去治疗，那么生命活动仅存于人体的某些器官，就不能在行军或作战中发挥积极作用了。
为此，医生们便采取了“假死说”的治疗方法，让士兵不用去接受手术等治疗，可以保存下更多的体力。
1910年，德国医生冯·贝克曼德尔首先向公众宣布了这个奥秘。
这种假死说在医学上被称为“灵魂出壳说”。
这个学说的前提是，人受伤以后，其实就是“灵魂”离开身体。
这种灵魂虽然没有肉体，却仍然具有思维，并且对自己的行为负责任。
由于灵魂与肉体不在一起，当伤愈之后，对自己所造成的伤害，则难以恢复。
为此，在重伤初愈后，我们必须对伤口进行必要的处理。
1912年，英国医生洛伍德正式向公众宣布了这个奥秘，他称之为“拟态说”。
他认为，人体内每一个器官、每一根神经都相当于一个独立的人，每一个器官都有一个生命，即具有特殊性质的“灵魂”。
因此，身体各部位不应该互换，医生只能对受伤的器官进行抢救，而不能移动“灵魂”。
1916年，法国外科医生皮纳尔提出，人体有两种系统在控制人体的正常功能。
一种是靠内部神经来指挥的。
另一种则是依靠来自外界刺激来指挥的。
这两种系统既独立又相互联系，同时也相互转化。
他把这种相互转化叫做“拟态”。
他把人体分成两个不同的部分，即“身体”和“灵魂”。
灵魂处于一种休息状态，通过“拟态”来适应环境，接受指令。
贝特朗悖论
贝特朗悖论著名的数学家弗朗西斯·贝特朗曾提出一个有趣的悖论：如果我们在相同的时间内穿越不同的维度，那么我们将永远也无法到达目的地。
也就是说，我们只能前进而不能后退，既然这样，我们为什么还要向着终点努力呢？其实这个悖论很好理解。
我们先假设现在有两个你，和一个你存在于过去。
如果你进入了过去的某一个时间点，那么这就意味着你来到了另一个你的时空。
而这样的事件在平行宇宙中可能会发生，但几率非常小。
所以说，你只能往前走而无法后退。
然而，这个悖论的前提是在一个四维时空中同时存在两个你。
如果你有三维空间的思想，就会觉得难以接受。
在三维世界中，一切物体都具有长、宽、高三种特性，然而到了第四维世界中，一切物体均具有了时间和速度，因此没有任何运动可言。
物体之间的关系也只能是“瞬间”或者“过去”或者“未来”，没有任何其他联系。
正如网上流传的一句话“时间是最小的距离”，从另一个角度看，“时间就是物体”，当物体消失在另一个空间时，它同时也消失在另一个世界里。
一方面，你希望能够走到更远处；另一方面，你又不能后退。
换做是我们，谁会选择停留在原地，而不前进呢？这个悖论也表明了，在我们面对多维空间时，每个人都会做出不同的选择。
既然生活在三维空间中的我们是如此不自由，那么我们还有必要坚持继续向前吗？1、请思考一下，如果你现在站在广场上，在你面前有两条路，一条通往死亡，一条通往毁灭。
你作何选择？请在其中选择一条通道！假设，我们已经用尽了人生全部的积蓄，并打算把仅剩的钱买一张彩票。
如果买了一张中奖了，就能够改变你的命运，这次冒险是否值得？2、很久以前，我们的太阳系统治了整个银河系，但是今天，银河系却威胁到了太阳系的生存。
为了保护我们自己，我们需要拥有足够的战斗能力。
你愿意做一名军人，还是坐在火山口上悠闲地晒太阳？3、如果你得到了500万美元，会怎么分配？如果继续保留这笔钱，你的钱会随着时间的推移而贬值；如果进行投资，可能你的回报会翻倍；甚至更多……钱还可以购买到不同的商品，带来丰富的收益，这样的机会难道不珍贵吗？。
关于贝特朗悖论的新思考_黄晶晶
中点 .这样 , 弦的中点(所有)覆盖整个闭圆面 .其 密度随它越靠近圆心 O 密度越大 , 设该点为 P ＊ , 它离圆心的距离为 OP ＊ =s ＊ , 与圆心 O 距离相同 的点 , 其密度是相同的 .一个点 P ＊ 的密度与它至 O 的距离 s＊ 成反比 .故 ⊙O(s ＊)上 P ＊ 点的密度
我们的看法是 :对于贝特朗奇论的原题而言 , 答案只能有一个 .贝特朗奇论的原题是“ 在圆内任 作一弦 , 求其长超过圆内接正三角形边长的概 率 .” , 对于原题的理解应当是这样的 , 即只能默认 圆内(包括圆周上)点的分布是均匀的 .这样 , 本题
应有唯一正确的答案
,
我们做出的结果是
1 2
.
正确的解法应当是 :
从 ⊙O(r)到 ⊙O
r 2
的点的对应 , 让 P 对应 P 0 ,
Q 对应 Q0 .易证这种对应 是可逆的 , 固而是一一
的 , 在上的 .故我们可以认为 ⊙O(r)上的点子与
⊙O
r 2
上的点子是一样多的 .但是 ⊙O(r)的周
长 为 2πr ,
而
⊙O
r 2
的 周 长 是 πr. 所 以
⊙O
r 2
的密度 是
⊙O(r)的 2 倍 .对于 同心圆
⊙O(s ＊)来说(P ＊ 为 OP 上之动点 .0 ≤s ＊ ≤r),
s ＊ 越小 , ⊙O(s ＊)上的密度越大 .至此 , 关于圆的
弦的中点的分布可以得出这样的结论 :圆心是无穷
多条弦(直径)的中点的迭合处 , 其密度为 + ∞;圆
内及圆周上任一点均是并且只是圆的某一条弦的
1 2 昆明师范高等专科学校学 报 2004 年 12 月
贝特朗悖论
贝特朗悖论
1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，使我们对概率的定义有了更深的认识。
同一个问题，得出了三种答案，所以该问题一经提出就被人称为“悖论”。
其实，该问题的答案已经被人们证明有无数多个。
现在我们要考虑，同一个问题，为什么答案会有这么多?
之所以被人称之为“悖论”，并不是因为这个问题错了，也不是解答错误，每种答案都对。
但是结果不一样，这是因为人们忽略了概率中的一个定义。
样本空间定义
一个随机试验可能出现不同的结果，这些结果称之为样本点，样本点的全体所构成的集合称之为样本空间Ω，事件A定义为样本空间Ω的一个子集，它包含了若干的样本点。
所以我们要求概率，首先考虑这个试验的样本空间是什么，选择不同的样本空间，会得出不同的答案，我们针对上面三种解法考虑其样本空间：
上面三种解法得出不同答案的实质是因为求解概率的样本空间不同，换句话说就是弦是怎么做出来的，不同的作弦方式会得到不同的样本空间。
该问题之所以称之为悖论，仅仅是因为该问题中并没有阐述圆中的弦是怎么做出来的。
而我们知道，做弦的方式有无数多种，所以贝特朗提出的这个问题有无数种答案。
以下用两题对比来体会样本空间这一概念：
两个题目做出线段CM的方式不同：。
贝特朗悖论
贝特朗悖论贝特朗悖论是一个有关几率论的传统解释会导致的悖论。
约瑟·贝特朗于1888年在他的著作《Calcul des probabilités》中提到此悖论，用来举例说明，若产生随机变数的“机制”或“方法”没有清楚定义好的话，几率也将无法得到良好的定义。
贝特朗悖论的内容如下：考虑一个内接于圆的等边三角形。
若随机选圆上的弦，则此弦的长度比三角形的边较长的几率为何？贝特朗给出了三个论证，全都是明显有效的，但导致的结果都不相同：1.“随机端点”方法：在圆周上随机选给两点，并画出连接两点的弦。
为了计算问题中的几率，可以想像三角形会旋转，使得其顶点会碰到弦端点中的一点。
可观察到，若另一个弦端点在弦会穿过三角形的一边的弧上，则弦的长度会比三角形的边较长。
而弧的长度是圆周的三分之一，因此随机的弦会比三角形的边较长的几率亦为三分之一。
图1 随机的弦，方法1；红=比三角形的边较长，蓝=比三角形的边较短2.“随机半径”方法：选择一个圆的半径和半径上的一点，再画出通过此点并垂直半径的弦。
为了计算问题的几率，可以想像三角形会旋转，使得其一边会垂直于半径。
可观察到，若选择的点比三角形和半径相交的点要接近圆的中心，则弦的长度会比三角形的边较长。
三角形的边会平分半径，因此随机的弦会比三角形的边较长的几率亦为二分之一。
图2 随机的弦方法23.“随机中点”方法：选择圆内的任意一点，并画出以此点为中点的弦。
可观察到，若选择的点落在半径只有大圆的半径的二分之一的同心圆之内，则弦的长度会比三角形的边较长。
小圆的面积是大圆的四分之一，因此随机的弦会比三角形的边较长的几率亦为四分之一。
图3 随机的弦方法3上述方法可以如下图示。
每一个弦都可以被其中点唯一决定。
上述三种方法会给出不同中点的分布。
方法1和方法2会给出两种不同不均匀的分布，而方法3则会给出一个均匀的方法。
但另一方面，若直接看弦的分布，方法2的弦会看起来比较均匀，而方法1和方法3的弦则较不均匀。
贝特朗悖论之争的终极原因
贝特朗悖论之争的终极原因贝朗特1.贝特朗悖论的产生背景人们对概率的研究有着悠久的历史。
公元1494年意大利的帕奇欧里（paciuolo）提出了了关于“分赌金”的问题，这个问题直到16世纪才有巴斯卡（1623～1662）、费尔马（1601～1665，费马大定理的提出者）、惠更斯（荷兰数学家1629～1695）联合解决。
转眼到了1812年,法国数学家拉普拉斯撰写了《分析概率论》这一著作,概率的古典定义在书中被首次完整而系统地提出.作为对古典定义的补充和推广,在无限样本空间背景下的几何概率也得到了广泛的应用。
正当古典概率和几何概率在各自的研究领域内迅猛发展时,1899年,法国数学家贝特朗（nsephBertrand,l822-1900）提出一个“简单”的问题:在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率是多少？按照几何概率的定义进行计算,竟然可以求得3个不同的概率,这与概率的性质是背道而驰的.这就是著名的“贝特朗悖论”矛头直指几何概率概念本身.贝特朗悖论说明原来关于概率的定义带有很大的局限性,迫切需要一种公理化体系改造概率论.1933年,前苏联数学家科尔莫戈洛夫提出了概率的公理化体系,迅速获得举世的认可,使得古典概率和几何概率具有了更加严密的逻辑基础,像“贝特朗悖论”这类自相矛盾的问题也得到了合理的解释。
华罗庚说：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要”。
2.相关的概念古典概型2.1古典概型①定义如果一个随机试验所有可能出现的结果只有有限个,即基本事件总数是有限的,并且每个基本事件发生的可能性相同,那么称这样的随机试验为古典概型试验,简称古典概型.古典概型的特点:(i)有限性一试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (ii)等可能性——每个基本事件出现的可能性相等.②概率计算公式P(A)=m/n=(事件A包含的基本事件数)/(基本事件总数)2.2几何概型①定义对于一个随机试验,将基本事件理解为从某个可度量的几何区域G内随机地取一点,该区城中每一个点被取到的机会都一样;而随机事件A的发生则理解为恰好取到区域G内的某个指定区域g中的点,则称这个随机试验为几何概型随机试验,简称几何概型③率计算公式P(A)=(g的度量)/(G的度量)g的度量为构成事件A的区域的长度、面积或体积,G的度量为试验的全部结果所构成的区域的长度、面积或体积.一切推理都必须从观察与实验中得来。
概率论发展的转折点：贝特朗悖论
概率论发展的转折点：贝特朗悖论和所有的数学分支类似，概率论的也是经历了从直觉到严格的过程。
其中的一个转折点就是贝特朗悖论。
1 古典派古典派也就是高中时候学的概率论。
它的核心哲学思想是：不充分理由原则。
1.1 不充分理由原则雅各布·伯努利（1654－1705）：提出，如果因为无知，使得我们没有办法判断哪一个结果会比另外一个结果更容易出现，那么应该给予它们相同的概率。
比如：•硬币：由于不清楚硬币哪一面更容易出现，那么应该给予正面、反面相同的概率，即为•骰子：我们不清楚骰子哪一面更容易出现，那么应该给予每一面相同的概率，即为此称为不充分理由原则（Insufficient Reason Principle）。
1.2 古典概率以不充分理由原则为基础，经由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵（1749－1827）：之手，确立了古典概率的定义，即：未知的概率都为等概率整个19世纪的人们都广泛接受这个定义，并发展出了一系列的定义和定理。
2 贝特朗悖论法国数学家贝特朗（也翻译为“伯特兰”）于1888年在他的著作《Calcul des probabilités》中提到了这个悖论：原始的悖论比较复杂，下面我们给出一个等价的形式。
2.1 锯木厂的木头问：有一家锯木厂，它会把木头切成不同的木方，木方的截面都是正方形，边长会在尺之间随机浮动：那么根据古典概率，该锯木厂生产出来的正方形边长在尺之间的概率为多少？解：根据不充分理由原则，因为不知道哪一种边长更容易出现，那么就应该给予它们相同的概率，也就是说之间每一种长度都是等可能的。
而包含了一半的可能长度：所以，正方形边长在尺之间的概率为：2.2 悖论的产生刚才的问题还可以转为面积来解答，尺边长的正方形面积为平方尺，尺边长的正方形面积为平方尺：同样，根据不充分理由原则，平方尺之间的正方面面积是等可能的，那么正方形面积在平方尺之间的概率为：选择对“长度”还是对“面积”运用不充分理由原则，同一个问题会得到了不同的概率：那么哪个是对的？3 现代概率论3.1 反思19世纪不少人相信只要找到适当的等概率，就可以得到问题的唯一解。
贝特朗悖论与概率论的公理化_冯变英
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克莱悖论的出现, 使得极限概念由模糊变得清 晰, 由直
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觉变得严密; 罗素悖论的出现, 使得建立在集合 论基础
频率反应了事件发生的可 能性大小, 但用频 率反 上的数学大厦摇摇 欲坠, 人们在 不断 的做出 努力 来构 应事件发生的可能 性大 小有不 确定的 缺点。同样 是对 建和加固数学大厦, 数学 大厦也 就在 人们的 不断 加固
概率趋于 0 来描 述。人 们不 由 的要 问: 概 率究 竟是 什
么?
3) 弦可以 由中点 唯一 确定。 当弦 的中 点落 在半 径为大圆半径一半的同心圆内时, 其长才合乎要求 (如 图 4)。设中点位于圆内哪一 点是等可 能的, 则所 求概 率为 1 /4。
此问题从三个不同的角度来考虑, 做出三种不同的 答案。这严重违背了常理。这就是贝特朗悖论。
三、概率论发展历程中的疑惑 概率论的 发 展经 历 了一 个 漫长 而 曲折 的 历史 过 程。 300 年 前, 西 方 贵族 在 利 用纸 牌、骰 子 进行 赌 博 时, 遇到了许多无法解决的问题, 例如赌博中断 问题等 等。由于输赢无法预知, 又涉及金钱得失, 人们 试图了 解其中的规律。 梅尔向 朋友 Pasca l请 教了 一些 问题, Pasca l以及当时欧洲一些有声望 的数学 家参加了 有关 讨论, 由此产生了一 些概率论 的基 本概念 ( 频率、概率 等等 )。 频率是研究事件发生可能性大小时的基本 概念之 一。当初, 人们为了研究事件发生可能性大 小的规律, 做了许多的试验。抛硬币的试验便是其中之一 [ 2] 。
从贝特朗悖论谈现代数学的迷失
从贝特朗悖论谈现代数学的迷失几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识.在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答.然而，1899年，法国学者贝特朗（Joseph Bertrand）提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指一些数学基本概念.贝特朗的这个悖论以及他的《概率论》对几何概率的不确定性提出的批评，促使概率论向公理化方向发展.然而，人类也因此再一次错失了一次纠偏的大好时机！在半径为1的圆内的所有弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率.解法一：由于对称性，可预先固定弦的一端.仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求.所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 .解法二：由于对称性，可预先指定弦的方向.作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长.所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 .解法三：弦被其中点位置唯一确定.只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求.中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4.三个看似都有道理的解法却得到了不同的结果，所以我们称其为paradox.其实，这些结果都是对的.因为它们采用了不同的等可能性假定：解法一假定端点在圆上均匀分布；解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布；解法三假定弦的中点在圆内均匀分布.这三种解法针对三种不同的随机实验，对于各自的随机实验它们都是正确的.现在，如果我们假定弦的中点在圆内均匀分布.那么前两种假设中弦的中点便不是均匀分布了.它们的分布情况如下：解法一的弦中点分布：解法一的弦分布：解法二的弦中点分布：解法二的弦分布：解法三的弦中点分布：解法三的弦分布：从贝特朗的这个悖论，我们可以清醒地看到数学家们对点的分布状态影响问题的结果是有认识的！事实上，贝特朗悖论告诉了我们一个很浅显的道理：我们在解决一个问题之前，就应该设定点的分布状态.然而，遗憾的是数学家们不去反省由此悖论反应出来的数学基础是否牢固，而总是弄出一大堆理论来试图亡羊补牢.说句不好听的话，数学的公理化是什么？就是如果你说的一大堆谬论没有自相矛盾，那么恭喜你，你创造了一套理论.现在问题来了！数学中我们经常所说的“点”究竟是什么？平面或者空间中点的分布状态到底是怎么样的？我们一般倾向于假设点在平面或者空间是均匀分布的，但是“均匀”这个词并不能表达所有，是在每个方向上是均匀的吗？在每条直线上的密度是一样的吗？我们能建立直角坐标系吗？如果我们建立了直角坐标平面xOy，那么就等于宣布了平面上的点在x轴和y轴方向上都是均匀的，而且在x轴和y轴上的“密度”是相同的！我们在向自己的学生讲授函数知识的时候，总是说单调函数是从定义域A到值域B上的一一对应.果真是这样吗？下面我也仿照贝特朗悖论，提出下面一个悖论：首先我们假设平面内的点在x轴和y轴上都是均匀分布的，这个大家没有意见吧？！给定一个分段函数：当0<=x<=1时，y=x；当1<=x<=2时，y=2x-1.这是一个单调函数，按照数学家们的说法，按照这个对应法则，从定义域[0，2]到值域[0，3]建立了一个一一对应关系.下面我要问：当x在[0，2]内变化时，x∈[0,1]的概率是多少？如果在x轴上看，概率当然是1/2；又因为通过这个函数可以得到x∈[0,1]<=>y∈[0,1]，x∈[0,2]<=>y∈[0,3]，这就是说，如果通过这个函数转移到y轴上去看,概率变成了1/3.问题出在哪儿？如果大家看了我前面写的博文《数学超级谬论：部分可以等于整体》就会很明白了：如果假设平面内的点在x轴和y轴上都是均匀分布的，那么上述函数并没有真正建立从区间[0，2]到区间[0，3]的一一对应关系！在这个对应关系中，y的值在区间[0,3]上并不是均匀分布的！可是事先，我们假定平面内的点在x轴和y轴上都是均匀分布的啊！看来，我们经常采用建立直角坐标系研究函数的做法，本身基础就是有问题的！现代数学继续迷失在深不可测的“无穷”里！数学超级谬论：部分可以等于整体一天，三个乞丐在路上捡到了三个苹果，他们决定把苹果分掉.乞丐A提出了分配方案：“ 我拿两个苹果，你们两个人平分一个苹果.”另外两个乞丐不同意：“为什么要这样分？”A 回答说：“两个苹果和半个苹果是相等的.”两个乞丐感到不公平，认为A在扯蛋！于是，他们吵了起来.最后，两个乞丐联合起来，把乞丐A打得半死，他们两个人平分了三个苹果.又有一天，三个数学家在路上捡到了三个苹果，他们决定把苹果分掉.数学家B提出了分配方案：“我拿两个苹果，你们两个人平分一个苹果.”另外两个数学家不同意：“为什么要这样分？”.B回答说：“两个苹果所含的点和半个苹果所含的点是相等的啊.”两个数学家一想：对哦！我们得到的点与他得到的点是一样多，没有吃亏嘛！最后两个数学家高高兴兴的分了一个苹果.把一个苹果切成两块，原来的整个苹果当然大于切开后的任何一块.整体大于部分，这是一条古老而又令人感到无可置疑的，连乞丐都知道的真理！而数学家们却自作聪明，搞出一套理论来，竟然说部分可以等于整体.这套理论是19世纪后期，德国“疯子”——康托尔创立的，名曰集合论.他认为：部分可以和整体之间建立一一对应关系，也就是说：部分可以等于整体.说康托尔是疯子，一点也不为过.当初他提出集合论的时候，因为很多结论是违背常理而超出现实的，许多著名的数学家都不认同他的理论.最后，康托尔本人进了疯人院.有人说他是因为饱受人们的冷嘲热讽与挫败孤独而进的疯人院，我猜测，他进入疯人院的真正原因可能还是因为他自己都觉得他的理论太过荒谬.创立这个理论的人都因为这个理论而疯了，而到现在我们还把这些疯狂的谬论当做真理！其实，在17世纪，伽利略就发现所有的正整数可以与所有的正偶数之间可以建立“一一对应”关系：1，2，3，4，5，6……↓↓↓↓↓↓2，4，6，8，10，12……这可以说明正整数和正偶数一样多吗？不能！如果从1 数到100，那么就有100个正整数，如果从1 数到2n，那么就有2n个正整数，而其中只有n个正偶数.数到2n的时候，正整数与正偶数的比值永远是2，那么当2n→+∞时，正整数与正偶数的比值不仍然是2吗？可是为什么数学家会觉得正偶数和正整数的个数相等呢？其实，是因为数学家没有把无穷当成一个确定的数对待，而是把无穷当成一个变化过程，一个无休无止，永远无法完成的过程在对待.在上述对应过程中，本来正整数的“能力”只有一个无穷大，为了找到n的对应项2n，我们把它的“能力”扩大到了两个无穷大.就象一个人现在只有100万，为了替中国的高房价买单，他向银行又贷款100万一样.这是在透支未来！从另个一个例子，我们可以更清楚地发现问题出在哪儿.听说康托尔是从一个平面几何模型研究入手的.在一个三角形中，从一顶点引一射线交对边及其中位线于两个互相对应的点.不难发现，只要射线与对边有交点，则与中位线有交点，并且两个点一一对应，那么中位线与对边上的点的个数应该相等.但是，中位线与对边的长度不相等.如果中位线的长度为1，那么对边的长度就是2，这就是说长度为1的线段上的点与长度为2的线段上的点是一样多的！康托进而进行类推，得到许多不可思议甚至是“荒唐”的结论.好，我们来分析一下这个例子.我们在研究问题的时候，总要把前提条件和研究问题的环境固定下来吧，譬如说，空间中点的分布状态.在康托尔的三角形模型中，如果我们在那个顶点处放一个点光源，那么它发出的光线就相当于我们刚才所做的射线，最后那条中位线和对边都被照亮了.但是，你只要稍微有点物理知识，你就会发现：中位线上的光的亮度肯定强一些，而对边上光的亮度弱一些，准确地说，对边上光的亮度正好是中位线上光的亮度的一半！为什么会这样？这说明什么问题？形象地说，为了能让中位线上的点能与对边上的点一一对应，康托尔不仅把中位线“地面上”的点用完了，还“掘地三尺”，把地底下的点也用完了.正是对无穷的认识不足，人们才可以无休无止地从无穷中去“榨取”更多的数.“专业一点”地说，是在康托尔的一一对应模型中，中位线上的点的“密度”比对边上的点的“密度”大一倍！如果用函数的知识来说，那么函数y=2x，x∈[0,1]的定义域上的点就比值域y∈[0,2]上的点密度要大一倍.把定义域和值域放在x,y轴上，那么x轴上的点就是y轴上的点的2倍.如果再换一个函数y=3x呢？那么又得到x轴上的点就是y轴上的点的3倍.为什么我们在研究问题的时候不规定好点的分布状态呢？为什么我们在研究同一个问题的时候，不规定平行直线上的点的密度是一样的呢？我们在建立直角坐标系的时候，x轴和y轴上的点的密度是一样的吗？数学家们不是没有意识到点的分布状态对数学问题的影响啊！概率问题的贝特朗悖论不就是的这样吗？走笔至此，突然想起佛教《中论》卷四〈观四谛品〉云（大正30·33a）中的一段话：“第一义皆因言说，言说是世俗，是故若不依世俗，第一义则不可说.若不得第一义，云何得至涅盘，是故诸法虽无生而有二谛.”是数学家们觉得“无故不可说”？还是“甚深故不可说”？亦或“能引无义故不可说”？还是“法相法尔之所安立故不可说”？。
贝特朗概率悖论的解释-学习文档
贝特朗概率悖论的解释贝特朗概率悖论是一个著名的悖论题，与其他的集合悖论不一样，这个悖论只是我们看起来“错”而已，也并没有像集合悖论一样带来一次数学危机，正确审视它，就是让我们对“几何概型”这一概念更加地深入了解而已。
我就不废话，我们直接来看什么是贝特朗概率悖论，百度上有很多，随便一搜就到处都是题目是这样子滴：在圆中做弦MN，求使MN的长大于圆内接正三角形边长的概率。
这道题若从不同的角度看，就有几种不同的答案，百度百科里有，我就不想在这里多费口舌，希望各位先到那里去看看具体的答案，我把图片下来，大家可以自己看：百度百科词条解释虽然这多种解法各有各得说法，似乎每一个都对，但是悖论毕竟是悖论，他终究是错的。
概率问题一个基本的原则就是，不管从哪个角度看，答案只能有一个，否则一件事情的概率都不一致，这问题要么就是本身就有问题，要么就是条件不够。
而对于贝特朗概率悖论所涉及到的问题，正是如此，因为其条件不够。
首先我们看第一种“解法”。
解法1的思路是，在于AB平行的弦中，只有与PQ交点落在MN上的，弦长才大于根号3。
弦与PQ的交点肯定就是落在PQ上的，而NM=1/2PQ，所以此时概率为1/2.这个解法其实有一个重要前提，那就是弦与PQ的交点在PQ 上是均匀分布的。
正正是题目中所缺乏的条件，因为圆中任意的弦，这到底怎么个做法？是像这种解法所说的，使其与PQ交点在PQ上均匀分布么？还是使弦与圆周的交点是任意分布？如果满足后者，就不可能满足前者，满足前者，就不可能满足后者。
一个比较明显的说法就是：做几条平行弦，使其在PQ上均匀分布，也就是相互之间的距离相等，我们可以看见，这些弦之间的弧长并不相等，也就是说，在PQ上均匀分布，一定不会在圆周上均匀分布。
原题中没有给出这样的条件，解法1加了这么一个条件，显然就有不一样的结果了。
再看解法2.解法2的思路是，链接OA，在OA两边做弦AM和AN，使其和AO的夹角为30°。
贝特朗悖论
19世纪末，概率论的广泛应用提出了对概率论的基础概念与原理进行解释的需要．另外，科学家发现的一些概率悖论提示了古典概率论的基本理论所存在的矛盾，其中最著名的是贝特朗悖论．悖论提出后，在数学界引起了很大震动，促使数学家理性反思概率论的基础理论．1932年，这个问题才由前苏联的数学家柯尔莫哥洛夫解决，他在其经典的著作《概率论基础》中建立了在测度论的基础上的概率论公理系统，从而把概率论建立在完全严格的数学基础之上，那么什么是贝特朗悖论呢？下面我将简要向同学们介绍一下．贝特朗悖论是法国数学家贝特朗提出的关于几何概型的悖论．1889年贝特朗在著作《概率计算》中提出：在圆内作任一弦，求其长超过圆内接正三角形边长的概率．现按几何概型的计算方法，可毫无计算错误地求得三种不同的结果，从而使几何概型陷入逻辑矛盾之中．（1） 如图1，弦l BC ∥，由ABC △是正三角形知，2R OD OD '==，OE d =，有PQ BC >，2R d <． 由Ｅ点在圆Ｏ直径上的等可能性，因此所求概率为21222RP R ⨯==． （2）如图2，弦l 的弦切角为α，由ABC △是正三角形知，60MAB ∠=°，120MAC ∠=°，有AP AB >，60120α<<°°．由于弦l 在圆内的等可能性，因此所求概率为1206011803P -==°°°． （3）如图3，弦l 的弦心距OE 为d ，ABC △的内切圆半径为，由于弦l 在大圆内和交点Ｅ在小圆内的等可能性，因此所求概率为 22π12π4R P R ⎛⎫ ⎪⎝⎭==． 出现以上三种不同结果的根本原因不是别的，就是本题进行了无穷多个等可能性随机试验，而“等可能”概念缺乏一个明确的客观标准．这一悖论揭示了几何概率在19世纪刚兴盛时期存在着其逻辑基础的脆弱性，也反映出古典概率有着相当的局限．这也推动了20世纪概率论合理化工作的早日到来． 当然这也提醒我们在解决几何概型问题时，必须找准观察角度、明确随机选择的意义、判断好基本事件的等可能性．。
贝特朗悖论与概率论的公理化
贝特朗悖论与概率论的公理化
贝特朗悖论和概率论在数学方面可以说是共同的、交叉的学科，它们有着共同的公理化过程，可以用于描述相近的客观现象。
一、贝特朗悖论
1、首先，必须对Decision Problem进行分析和定义，包括测定可用来解决决策问题的异质变量，以及针对每一异质变量所要考虑的多个取值情况；
2、其次，识别出实际决策中相关概率变化，将决策问题定义成一组事件发生概率的期望值；
3、然后，计算可能的决策方案，通过对每一方案的风险可视化，明确方案的最优化；
4、最后，完成贝特朗悖论的公理化，可以用于描述决策过程中负担的收益和可能的后果。
二、概率论
1、首先，通过对诸如抛硬币的实验的实验分析，可以确定给定实验的概率，并使用数学表示法来估计实验的概率；
2、其次，基于概率或概率分布，可以确定随机变量和确定性变量之间存在的关系；
3、然后，利用数学表达式建模和求解，能够识别出和计算出解决问题所需要的最优解，或者最有价值的解；
4、最后，完成概率论的公理化，可以用于预测要解决问题的范围、成功机率和结果的可能性。
贝特朗悖论和概率论的公理化是进行决策分析的重要基础，因此，在利用它们来解决实际决策问题时，需要充分考虑其以上提到的方面，以满足确定最优选择的要求。
关于贝特朗悖论
关于贝特朗悖论从法国学者贝特朗（Joseph Bertrand）提出“贝特朗悖论”至今，已经过了一个多世纪。
在这漫长的一百多年中，贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注，人们穿越时空，从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流……首先来看一下贝特朗悖论：在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 此问题可以有三种不同的解答:面对同一问题的三种不同的答案。
人们往往这样来解释：得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。
这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。
三个结果都正确！——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因。
显然这样的解释是不正确的。
上述解法看似是用了严密的理论来论述，但有的解法与问题的本质是脱节的，即理论是正确的，但却不合题意：因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件，而此问题的条件是在圆内任作一条弦（或是从圆内任取一条弦），所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时，才能使整个的随机试验过程具有等可能性，否则，运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的。
找到了问题的本质，我们就容易分析上面三种解法中，哪种解法是错误的了，实际上，找出错误，只要举出一个反例即可，下面我们把目光指向圆心：第一种解法中，除了圆心外，圆内的点都和唯一的一条弦（与相应的直径垂直）对应，即一一对应。
但是，圆心却与无数条弦（即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦，其长度满足题意）对应。
这样，圆心——这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了，为此，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了，所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的。
有了这种认识，大家会马上发现第三种解法也是不正确的。
而第二种解法，所构造的均匀分布的点是在圆周上，没有圆心，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件是等可能的，所以结果是正确的。
贝朗特悖论
贝朗特悖论贝特朗悖论是法国学者贝特朗于1899年针对几何概念提出的，悖论是：“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形的边长的概率是多少？”几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”（亦称”贝特朗怪论“），矛头直指几何概率概念本身：悖论分析解法一：由于对称性，可预先指定弦的方向。
作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。
所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。
此时假定弦的中心在直径上均匀分布。
解法二：由于对称性，可预先固定弦的一端。
仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。
所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。
此时假定端点在圆周上均匀分布。
解法三：弦被其中点位置唯一确定。
只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。
中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。
此时假定弦长被其中心唯一确定。
这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。
同一问题有三种不同答案，究其原因在于圆内“取弦”时规定尚不够具体，不同的“等可能性假定”导致了不同的样本空间，具体如下：其中“均匀分布”应理解为“等可能取点”。
解法一中假定弦的中点在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间Ω1.解法二中假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间Ω2.解法三中假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3.可见，上述三个答案是针对三个不同样本空间引起的，它们都是正确的，贝特朗悖论引起人们注意，在定义概率时要事先明确指出样本空间是什么。
用“蒙特卡罗”方法解读“贝特朗”悖论
用“蒙特卡罗”方法解读“贝特朗”悖论24嚣毒'''篇历特卡骂"方法思想方法解艇中心觎i卖''贝特朗"悖论"贝特朗"悖论直剌概率论的心脏,蒙特卡罗"方法帮忙找根源,计算机再次显身手,随机事件不神秘.方才国(安徽省铜陵市第十七中学)随着几何概率进入高中数学课堂,"贝特朗"悖论自然地进入广大数学教师的视野,成为大家关注的焦点之一.然而,笔者从近年来的有关论文看出,对于这个似乎早已解决的问题却有种种错误的解读,不能不说这是一件遗憾的事情.为此笔者用现代计算机技术结合必要的数学分析加以重新解读,以正视听.用计算机模拟随机试验进而得出随机事件的相关性质,这种方法即为"蒙特卡罗"(MonteCarlo)方法,高中课本(人教A版《数学3》)有简单介绍.为分析问题方便,先请看:问题1如图,△ABC中,A一30.,C一90.,D为BC边的中点,连结AD,试求下列概率:(1)在AB边上任取一点E,直线CE~#.AD于点F,求事件"AE≤1"发生的概率;(2)在中线AD上任取一点F,直线CF交AB于E,求事件"丽AE≤"发生的概率;(3)在C内部任作一条射线交AB于E,交AD于F,求事件"丽AE≤专"发生的概率.简析:三者都是求事件"丽AE≤1''发生的概率,答案一样"-57显然不一样,原因即为相应的条件不同.在(1)中,点E可以认为是在线段AB上随机运动且具有等可能性,故相应的概率户.一1;在(2)中,点F可以认为是在线AD上随机运动且具有等可能性,显然事件"AE≤∞≤詈",故相应的概率夕一2;在(3)中,可以认为射线CE在C内随机运动且具有等可能性,显然事件"dtl& ≤丢"甘"AcE≤30",,故相应的概率户.一÷.从上面的分析可以看出,随机事件发生的概率与其发生的条件有关,在不同条件下,同一事件结果发牛的概率并不相同;这就像我们在平原上烧水,事件"水在不到95℃时沸腾"是不可能事件,而在高原上烧水时事件"水在不到95℃时沸腾"就会经常发生,这是由于事件发生的条件不同的缘故.现在回到本文的核心部分,1899年,法国学者贝特朗(JosephBertrand)提出了所谓"贝特朗悖论",矛头直指一些数学基本概念.贝特朗的这个悖论以及他的《概率论》对几何概率的不确定性提出了批评,促使概率论向公理化方向发展,贝特朗的问题是:问题2在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率.解法1:由于对称性,可预先固定弦的一端.仅当弦与过此端点的切线的交角在6O.～12O.之间时,其长才合乎1要求.所有方向是等可能的,则所求概率为÷.解法2:由于对称性,可预先指定弦的方向.作垂直于1此方向的直径,只有交直径于÷点与÷点间的弦,其长才大于内接正三角形边长.所有交点是等可能的,则所求概率为.解法3:弦被其中点位置唯一确定.只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内,其长才合乎要求.中点1位置都是等可能的,则所求概率为÷.同一个问题却有三个不同的答案,这与我们通常的认识不一样,故称之为悖论.文[1]认为解法2是唯一正确的答案,文[2]认为解法1是唯一正确的,文[3]认为三种解法都是正确的.虽然"贝特朗悖论"已经提出一百多年,由此引出的几何概率的公理化工作也早已完成,但是可以看出仍然有很多专业的数学工作者对此认识不清;笔者认为这三个答案都是正确的,而且还可以有其他的解法与结果.这是因为,在圆内任作一条弦,作法有多种,每种作法对应一种等可能条件,因而每一种作法得到的概率都可能A1不同,这与问题1中事件":≤÷"发生的概率有三种情锯题中心思想方法..一.....一况是一样的.下面我们考虑三种作弦的方法,冉用"蒙特卡罗"方法加以验证,看看每种作法下面事件"弦长超过圆内接正三角形边长"发生的频率有何不同.作法1:在圆周上任取两点,并连结成一条弦.此种作法实际上是假定每条弦的端点在圆周上是均匀分布的,因而每条弦被选取的机会是均等的,与弦的长短无关.为此编写下列计算机程序:Constpi一3.14l59265358979Randomize(Tliner)Fori一1To10000al—Rnd*2pia2一Rnd*2pixl—Cos(a1)yl—Sin(a1)x2一Cos(a2)y2一Sin(a2)S一(xl—x2)2+(yl—y2)2Ifs>3ThenS—S+1Nextip—s/iprint"p一";P程序说明:用随机数在单位圆上随机产生两点(, Y.),(aT2,Y2),再判断弦长的平方(oTI,/72)2+(l—y.)2是否大于3,试验10000次,统计弦长大于√3(即内接正三角形边长)的频数与频率P.1运行程序,户一0.333…,接近解法1的结果亡.作法2:在圆内任取两点,并连结为一条直线,与圆交成一条弦.此种作法实际上是假定圆内的点是均匀分布的,因而每条弦被选中的机会是不均等的,与弦的长短有关,越长的弦被选中的机会越大.设在圆内任取两点(,Y,),(,),其连线方程为(Y21).27一(2一1).).4-(2一1)l(2一-y1)1—0.设2一Yl一"?,2一1一,2,nyl—mxl一,则连线方L2程为"—my4.k一0,对应的弦心距平方为南,当且L2仅当—d0.25时所选取的弦长超过圆内接正三角形m十"边长.为此编写下列计算机程序:Constpi一3.14159265358979Randomize(Timer)Fori一1To10000a—Rndaa—Rnd*2pixl—a*Cosraa)yl—a*Sin(aa)b—Rndbb—Rnd*2pix2一b*Cos(bb)加嚣翌毒'25中学数学教学参考y2一b*Sin(bb)m—y2一y1n—x2一xlk—nyl—In*x1d一(k2)/(rn2+n2)Ifd<0.25Thens—S+1Nextip—s/iprint"p一";P运行程序,户一0.896…,可以看出相应的频率远大于÷,这是由于我们在圆内任取两点,越长的弦上面的点越多,被选中的机会也越大.,作法3:在圆内任取一点,并按任一方向画一条直线,与单位圆交成一条弦.这里设定圆内的所有点都是均匀分布的,且每条弦在各方向上也是均匀分布的,这样弦越长被选中的机会仍然是越大,但与作法2相比,弦的长度对所求的概率的影响有所减弱.先选定弦的方向,设其倾斜角为a,再在圆内任取一点(.,y),于是弦所在的直线方程为kx—Y—kx+Y一0.对应的弦心距平7i为,当且仅当k.+1的边长.<O.25时所选取的弦长超过圆内接正三角形程序如下:Constpi一3.14l59265358979Randomize(Timer)Fori一1TO1000000a—Rnd*Dib—Rnd*2pic—Rndxl—c*Cos(b)yl—C-R-Sin(b)k—Tan(a)d一(k*x1一y1)2/(k2+1)Ifd<0.25ThenS—s+1NextiPs/iprint"P一":P运行程序得一0.752….从上面的三种弦的作法中可以看出,每一种弦的作法,对应一种等可能性的假定,相应的概率(频率)也有大有小,也就是说"贝特朗"悖论之所以产生,其根源在于"圆内任取一条弦"的取法不明确,并不神秘.参考文献1黄晶品,黄世同.关于贝特朗悖论的新思考EJ].昆明师范高等专科学校,2004,42苏同安.都是圆心惹的祸——"贝特朗悖论"新说EJ].中学数学,2O1o,13徐明."几何概型"教学释疑～…兼谈"贝特朗概率悖论" EJ].数学通讯(下半月),2009,6。
贝特朗悖论
贝特朗数学悖论在一个圆内随机地画一条弦。
它的长度大于该圆内接等边三角形边长的概率是多少？算法1：由于对称性，可将弦的方向固定，考虑它与垂直于它的直径的交点。
当这个焦点是半径的中点时，长度小于内接等边三角形边长的弦达到最大长度。
因此所求概率是1/2。
算法2：考虑弦的中点。
对于长度大于内接等边三角形边长的弦，这个中点必定落在一个半径为原来一半的同心圆内。
这个新圆的面积只有原来那个院的1/4，因此所求的概率为1/4。
算法3：由于对称性，可从弦的一个交点以及弦与此点切线的夹角着手。
这条弦必定位于三个60°角的一个角内。
因此这概率必为1/3。
算法4：让我们设想把所有能作为弦的线段放在一起，它的长度从0到d(即圆的直径长度)。
那些符合要求的弦其长度将落在(√3)d/2与d之间。
因此概率是(2-√3)/2。
贝特郎（Joseph Bertrand, 1822-1900, 法国数学家）在1889年提出了这个问题，用以批评连续型概率，并提出了第三种算法。
R. J. Denichou博士提出了第四种算法。
事实上，这道题的答案不是唯一的，除非明确规定了随机变量。
本题中并没有这样做。
几中算法对应于几种不同的随机变量：(1) 弦到圆心的距离；(2) 弦的中心位置；(3) 弦与切线的夹角；(4) 弦的长度。
《世界报》的一位读者证明，如果死抱着导致这种悖论的诡辩推理不放，那么可以使这个概率在0到1之间连续变化。
令ABC为一等边三角形，ON为垂直于OA的半径。
S是OA所在直线上位于O点上方的一点。
SN交AC于C'，交圆在A点的切线于N'。
由于对称性，可仅考虑左半圆。
经过A的一条弦相应于SN上的一个点，因此弦的长度大于这个等边三角形边长的概率是SC'/SN'。
但是S的位置是可以随意变化的，于是这个概率可以取0（S趋于O时）与1（S无限上升时）之间任何值。
贝特朗悖论
贝特朗悖论有一位美国年轻人，毕业后去参军，因训练不合格，退伍回家。
一天，他站在一座桥上，面对滔滔河水，想起自己没有文化、不懂技术，只能靠做苦力赚钱。
为了使自己成为有知识、懂技术的人，他毅然决定从明天起学习。
但是他一没有钱，二没有时间，三没有任何基础。
要实现这一目标谈何容易！他坐在河边思考，又来到河边散步，他看见一位老人在钓鱼，手持钓杆，注视水面，非常专注。
过了一会儿，老人慢慢收起鱼竿，放进鱼篓里，望着水面若有所思地说：“真正想要学会钓鱼，就要像我一样静心观察水面，专心致志。
”年轻人恍然大悟，当即找来笔墨纸砚，把老人的话记录下来，重新坐在河边思考起来。
他目不转睛地盯着水面，专心致志地读书、写字，渐渐地忘记了时间。
后来，他终于用辛勤劳动换得了一笔钱，买了许多书籍和文具。
于是，他废寝忘食地攻读，先后掌握了电工、木工等技术，通过了自学考试。
由于他有一定的文化功底，工作起来得心应手，很快成了单位的技术骨干。
但是他并不满足于现状，一心想寻求更高深的知识。
于是他买了一些专业书，一有空就埋头钻研，逐渐掌握了许多知识，成了远近闻名的专家。
贝特朗这时做了一个奇怪的举动：跳入水中，接受了一次又一次严峻的挑战。
在水中，贝特朗凭借自己过硬的本领和坚强的意志，顽强拼搏，越过一道又一道障碍，终于成为闻名遐迩的游泳健将。
他也再一次证明：自学能使人走向成功，学习是成功之母。
很多科学家、文学家、艺术家都是经过刻苦自学，掌握了精湛的本领。
比如说法国的科学家居里夫人，她自幼父母双亡，后被送进教会学校。
中学毕业后，她考入巴黎大学[gPARAGRAPH3]学医，希望能用学到的知识救治像妈妈一样病重的人们。
为什么会发生这种现象呢？原来，居里夫人选择了一条正确的道路。
在学医的路上，她把许多知识与实践结合起来，使自己成长为世界著名的科学家。
贝特朗和居里夫人都是经过自学才成为优秀的人才。
这也说明：自学能够改变人的命运。
人们在自学的过程中，必须有目标，也就是说你要给自己定好方向。
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关于贝特朗悖论从法国学者贝特朗(JoSePh Bertrand)提出贝特朗悖论"至今，已经过了一个多世纪。
在这漫长的一百多年中，贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注，人们穿越时空，从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流……首先来看一下贝特朗悖论：在圆内任作一弦，求其长超过圆内接正三角形边长的概率•此问题可以有三种不同的解答：⑴由f⅛⅛⅛可预先指定弦的方向・⅛⅛Sf此方向的直径，只有交直径f 1/4点与3/4点间的弦J其长才大于内接正三角形边也所有交点是等可能的'则所求概率为1/2 *(3)弦被其中点位置唯一确定. 只有当弦的中(2〕由干对■称性T可预先固定弦的—端"仅当弦与过此端点的切线的交角在60°〜120°之间，其长才合乎要求•所有方⅛⅛⅛可能的，则所求概率为1/3 *点落在半径缩小了—半的同心圆(圆内接正三角形的内切凰)内,其长才合乎要求•设中点位置都是等可能的'则所求概率为H面对同一问题的三种不同的答案。
人们往往这样来解释:得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。
这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。
三个结果都正确！一一这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因。
显然这样的解释是不正确的。
上述解法看似是用了严密的理论来论述，但有的解法与问题的本质是脱节的，即理论是正确的, 但却不合题意：因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件，而此问题的条件是在圆内任作一条弦（或是从圆内任取一条弦），所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时，才能使整个的随机试验过程具有等可能性，否则，运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的。
找到了问题的本质，我们就容易分析上面三种解法中，哪种解法是错误的了，实际上，找出错误，只要举出一个反例即可，下面我们把目光指向圆心：第一种解法中，除了圆心外，圆内的点都和唯一的一条弦（与相应的直径垂直）对应，即一一对应。
但是，圆心却与无数条弦（即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦，其长度满足题意）对应。
这样，圆心一一这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了，为此，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了，所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的。
有了这种认识，大家会马上发现第三种解法也是不正确的。
而第二种解法，所构造的均匀分布的点是在圆周上，没有圆心，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件是等可能的，所以结果是正确的。
由贝特朗奇论谈几何概型中的等价转化— 2 置分别是x,y ,则x,y∙ [0,2二).又如图1 所示,MN 当且仅当 ：如图2,用(X ) y)表示每次实验的结果,则所有基本事件构成正方形区域 其中阴影部分为事件 A 构成的区域，符合几何概型条件，故4222-π f - I - πP(A)丄仝 「J S 正 4兀3评注：解法一是将在圆周上选取两点视为等可能事件 ，从而以面积作为测度，应用几何概型理论得出答案 •此法是从题目中的原始条件出发 作一种通法•然而用通法解题往往比较复杂，况且本题中还涉及到两个变元2.适当进行等价转化，化繁为简解法二：由于圆是具有高度对称性的图形，可认为圆内等长的弦有且只有一条•于是不失一般性，假设M 点就在图1所示位置，问题就转化为另一点 N 在半圆周上随机选取时，弦长MN-. 3的概率•那么,基本事件构成的区域为半圆周，事件A 构成的区域为从 N 1到P 的劣弧长•根据几何概型原理得，1P(A )亏解法三：与解法二思想一致，认为圆内等长的弦只有一条，进一步地，等长弦所对的圆心角也是相等的 •几何概型与古典概型都是概率论中最基础、最简单的概率类型 生的概率都是等可能的；然而前者的基本事件个数只有有限个 本事件有无限多个，人们在解题时总专注于对原始条件进行等价转化 简化概率计算过程•不可否认，有些正确的转化必然达到 最终却得到了不同的答案，使人们产生困惑•本文通过对贝特朗问题的五种正误解法进行深入剖析 的转化应注意的若干问题•贝特朗问题：在单位圆的圆周上，任意选取两点 M •二者的共同点就是每个基本事件发,后者却是无限的•正是由于几何概型的基 ,意在建构较简单的基本事件，以期"事半功倍"的效果撚而,有些看似"等价"的转化,,总结出几何概型 、N ,连结成弦•记事件A 为弦长MN . 3 ,求事件A 发生的概率.1.由原始条件出发，通法求解解法一：该圆的周长为2二.在圆上任取一点，规定它的位置是0,而圆上其余各点的位置按顺时针方向在 [0, 2二)内相应增长•设M , N 在圆周上的位,没有进行等价转化 ,计算过程显得不够简便• 4：23P图1,不易出错，算同时注意到，固定点M在图1位置,点N在自M到P的半圆周上均匀地运动时，圆心角∙MoN也均匀地从0增加到二•因此,我们可以把问题转化为图1中,过圆心O,在直径MP的右侧任意做射线ON交圆2周于点N ，求.MON 超过--的概率•此时,基本事件构成的区域为［0,二］，而事件A 构成的区域为32（亍,二］,故化为弦MN 的中点在半径 OP 上随机选取时，中点处于线段 OQ 上的 概率•从而求得M 2到P 和从N ?到P 的劣弧上等可能地选取时，弦的中点并不会相应等可能地落在半径OP 上•事实上,如果MN 在图3所示位置，不妨设.N 2ON-,,则N 2到N 的劣弧长即为：■而OE =Sin∙ N 2ON =Sin 〉，二者并不成正比•因此,此类错误转化的特点是：虽然保证了研究对象的 化是不等价的•我们再举两个类似的例子•例1如图4J ACB 是一个等腰直角三角形•过顶点C ,在直角.ACB 的内部任意引射线 CP 交斜边 AB 于点P ,求 AP ：： AC 的概率•错解：∙ ACB 内部的任一射线与射线在 AB 边的交点是一一对应 的•如图4中，当交点P 点处于D 位置时AP =AC ,故问题可转化为点 P 在AB 边上随机选取时，2 π 3兀1 3.评注：解法二和解法三是通过合理的等价转化，分别将在半圆周上选取一点和过点P(A)=O 在.MoP 内任,大大简化了概率计算•3.转化不慎，陷入误区然而,贝特朗奇论就告诉我们，有些转化却得到了错误的答案 •问题究竟出现在哪里呢？ 下文中我们就两种错解的原因给予分析.忽视等可能性的保持解法四：视圆上等长的弦为唯一的•不妨假设长度不同的弦的中点 都分布在单位圆的某条半径 OP 上，如图3所示.其中Q 为OP 的中点，故弦MN 在M 1N 1位置时，长度刚好为■. 3 .而此时每条弦的弦长与该弦中点所处的位置是相互决定的•因此，问题就转P(A) =OQ QP辨析:此种解法，在认为圆内等长的弦是唯一的前提下,将研究对象弦的两个端点转化为它的中点•此时,二者确实是■对应的 撚而,解题过程却忽视了另一个考虑要素 ：当弦的两个端点 M,N 分别在从,但是忽视了等可能性的保持，所以转对应AP < AC 的概率•于是所求概率为 —2辨析：由题意，射线CP 在.ACB 内部等可能地选取，而此时对应的交点 P 并不会在AB 边上等可能 地分布•因此,所犯错误与贝特朗问题的解法四相似 •正确的做法应是采用角度作为测π3 3 度•ACD4 = -二，故所求概率为一.284例2如图5, .IABC 是一个直角三角形，.CAB .现以A 为圆心,2为半径做圆弧DG ,且 DE 平行于AB , AB = 3.3在弧DG 上随机地取点P 连结AP ,问直线AP 与BE 相交的概率是多少？错解:在弧DG 上取点与A 连结成直线的效果和在线段 BC 上取点与A 连结成直线的效果是一样.那么，问题可以转化为在线段 BC 上任意取点，与A连结所成的直线与 BE 相交的概率.因为BE= , 3, BC= 3. 3 ,因此结果就为1 3'辨析:所犯错误与上例一样，转化过程中忽视了等可能性的保持.正确解法应该采用弧长或角度作为 测度,答案为1.2忽视研究对象转化的等价解法五：以圆内任一点为中点，可以确定一条弦.要使弦长MN ••一 3,只需该弦的中点落在图 6中的阴影小圆内.于是问题转化为以单位圆内任一点为中点作弦MN ,使得MN 3的概率.通过计算可知，当MN =3 ,即位于图6中DE 位置时 冲点B 到O 的距离为I 2P(A)=青1辨析:此法用弦的中点来代替弦的两端点作为研究对象 .我们看到，圆内除圆心外的任意一点的确唯一地确定了一条弦 .但是,以圆心为中点的弦，即直径,却有无数条.当然相应地，也有无数对的端点.因此,这个对象的转化是不 等价的.以下例3的解法也是步入了这个误区.例3甲,乙,丙三人玩游戏，游戏规则为：在不远处有一小方块，要将一枚铜3板扔到这张方块上，已知铜板的直径是方块边长的一,谁能将铜板完整地扔到这块方块上就可以晋级下関GE4一轮.现在甲一扔，铜板落在小方块上，且没有掉下来，问他能晋级下一轮的概率有多大？错解:记"甲能晋级下一轮"这个事件为c,假设小方块的边长为 1.过铜板中心O向最近的小方块的边做垂线OB ,设OB = d .依题意得，甲已将铜板扔到了1 3 1小方块上，故d [0,—].而要使铜板完整地落入方块，如图7,应使d •[-,一].因2 8 2此，1 3P （C ）= 2182辨析：由已知，铜板的中心等可能地分布在小方块上的任一处 •上面解法中， 将研究对象铜板的中心转化为铜板中心到小方块边的最短距离•如图7，A 为小方块的中心•我们知道,当 OB =d 时,铜板的中心位于以 A 为中心，1 - 2d 为边长1的正方形的边上，随着d 从0增大到一,铜板中心分布的区域长度也呈线性的递2减•所以,该转化显然是不合理的•本题正确的思路应该是，如图8, 当铜板中心位于图中阴影的正方形时，甲能晋级下一轮•而铜板的中心在小方块内的分布是等可能的，属于几何概型，故综上,在进行几何概型的概率计算时 ，要明确原始条件性的原则下，进行等价转化，实现解题过程的简化，优化•参考文献：[1] 普通高中课程标准实验教科书•数学 3（必修）[M].北京：人民教育出版社，2007. [2] 三维设计2010新课标高考总复习•数学理科（人教A 版）[M].北京:光明日报出版社，2009. [3] 魏宗舒等编•概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社，1983.[4] 徐明•"几何概型"教学释疑一兼谈"贝特朗悖论"[J].数学通讯,2009（6）（下半月）•对“贝特朗悖论”的思考几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，它的出现使很多概率问题的解决变得 简单而不用运用微积分的知识。