初中数学竞赛—— 等腰三角形

初一数学联赛班七年级

第14讲等腰三角形

知识总结归纳

一.等腰三角形的性质

（1）等边对等角：等腰三角形的底角相等

（2）等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形

二.三线合一

（1）“三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线与底边上的高相互重合

（2）“三线合一”逆定理：如果一个三角形的某个角的平分线、对边中线或者对边上的高有两条重合在一起，则该三角形必是等腰三角形．

典型例题

【例1】（1）已知ABC

△中，AB AC

=，求证：B C

∠=∠．

（2）已知ABC

△中，B C

∠=∠，求证：AB AC

=．

初一数学联赛班 七年级

【例2】 证明：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线与底边上的高相互重合．

【例3】 证明：如果一个三角形的某个角的平分线、对边中线或者对边上的高有两条重合在一起，则

该三角形必是等腰三角形．

【例4】 （1）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，求此三角形的周长．

（2）已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长为多少？

初一数学联赛班七年级【例5】已知：ABC

△是等腰三角形，70

A

∠=，求B

∠．

【例6】等腰三角形被一条直线分成两个较小的三角形也是等腰三角形．这个等腰三角形的顶角可能是多少？

【例7】如图，ABC

△中，AB AC

=，D、E分别在AC、AB上，BD BC

=，AD DE BE

==，求A

∠的度数．

A

初一数学联赛班 七年级

【例8】 如图，O 是等边ABC △内一点，OCB ABO ∠=∠，求BOC ∠的度数．

【例9】 如图，ABC △是等边三角形，D 为BC 边上的一点，在ABC △的外角平分线CE 上取点E ，

使CE BD =，连接AE 、DE ．请判断ADE △的形状，并说明理由．

【例10】 如图，ABC △中，AB AC =，120BAC ∠=，DE 垂直平分AC 交BC 于D ，

垂足为E ，2cm DE =，求BC 长．

E

C

初一数学联赛班七年级【例11】如图，在ABC

△中，AB AC

=，D在BC边上，30

BAD

∠=，在AC边上取点E，使A E A D=．求EDC

∠的度数．

【例12】如图，若AB AC

=，BG BH

=，AK KG

=，则BAC

∠的度数是多少？

【例13】如图，若

1

AA、

1

BB分别是EAB

∠、DBC

∠的平分线，若

11

AA BB AB

==，求BAC

∠的度数．

C

K

H

C

B

A

B

C

D

1

B

E

A

1

A

初一数学联赛班 七年级

【例14】 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，DE DF =，求证：

AB AC =．

【例15】 如图，在ABC △中，AE 平分BAC ∠，DCE B ACB ∠=∠-∠，求证：DCE △是等腰三角形．

【例16】 如图，已知AB CD =，A D ∠=∠，求证：B C ∠=∠．

E

C

B

A

初一数学联赛班七年级【例17】如图，ABC

△中，BD DC

=，ABD ACD

∠=∠，求证：AD BC

⊥．

【例18】如图，在ABC

△中，//

DE BC，FB、FC分别平分ABC

∠和ACB

∠．求证：DE BD CE

=+．【例19】如图，在ABC

△中，AE垂直于ABC

∠的平分线于E，并交ACB

∠的平分线于F，过F作MN BC

∥并交AB于M，交AC于N，求证：MN AM CN

=+．

M

B

E

F

N

D

A

C

F E

D

C

B

A

初一数学联赛班 七年级

【例20】 如图，90ACB ∠=，AC BC =，D 为BC 的中点，CE AD ⊥，垂足为点E ，BF AC ∥交CE

的延长线于点F ．求证：AB 垂直平分DF ．

【例21】 如图，等腰直角ABC △中，90ACB ∠=，D 是BC 的中点，CE AD ⊥于F 交AB 于E ，求证：

CDF BDE ∠=∠．

【例22】 如图，在ABC △中，AB AC =，36A ∠=，BE 平分ABC ∠，AD DB =，DE 交BC 延长线于

F ，求证：AB CF =．

初一数学联赛班七年级

作业

1.已知：ABC

△是等腰三角形，80

A

∠=，求B

∠．

2.（1）如果一个等腰三角形的两边长分别是4cm和7cm，求此三角形的周长．

（2）已知等腰三角形的周长为15，其一边长为4，则其他两边长为多少？

3.如图，在ABC

△中，12

ABC

∠=，132

ACB

∠=，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M、N分别在直线AC、AB上．证明：BM CN

=．

4.如图，在ABC

△中，DE BC

∥，FB、FC分别平分ABC

∠和ACB

∠．若9

BD CE

+=，求线段DE 的长．

A

B

M

C

N

F E

D

C

B

A