河北省邯郸市2021届新高考第二次大联考数学试卷含解析
2021年河北省某校高考数学第二次联考试卷(文科)(全国Ⅱ)(有答案)
2021年河北省某校高考数学第二次联考试卷（文科）（全国Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，集合A={1, 3, 5, 7}，B={2, 3, 4, 5}，则(∁U A)∩B=()A.{2, 4}B.{3, 5}C.{3, 7}D.{2, 5}2. 已知复数z＝，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A.第二象限B.第一象限C.第三象限D.第四象限3. 为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……，照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为()A.7B.6C.8D.94. 已知向量＝(1，），||＝2，|-|＝，则与的夹角为（）A. B. C. D.5. 甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙肯定优秀；丁：乙的说法是错误的．若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为()A.乙B.甲C.丙D.丁6. 卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（）A.√2B.1C.√3D.27. MOD函数是一个求余函数，格式为MOD(M, N)，其结果为两个数M，N作除法运算M后的余数，例：MOD(36, 10)=6．如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输N入的n=6，v=1，则输出的u的值为（）A.2B.1C.3D.48. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△F1PF2的面积为b2，则该双曲线的离心率为()A.1+√2B.1+√3C.√3D.√29. 已知函数g(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π)的部分图象如图所示，函数f(x)= sin(πx−π2)，则()A.g(x)=f(x2−12) B.g(x)=f(2x−12)C.g(x)=f(x2+12) D.g(x)=f(2x−1)10. 中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量f(x t)=rx t(1−x tN)，其中x t为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为()A.r 3B.r2C.r4D.r511. 已知圆C:x2+y2=1，直线l:x=2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（）A.(0, 2)B.(12,0) C.(2, 1) D.(12，1)12. 已知函数数f(x)=ln(√9x2+1−3x)+sin x−x+2，则不等式式f(2x+1)+f(−1)<4的解集是()A.{x|x>1}B.{x|x<−1或x>1}C.{x|x<−1}D.{x|−1<x<1}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知角α的终边上有一点P(2, 3)，则cos2α的值为________．若x，y满足约束条件，则z＝4x+y的最小值为________．已知直线l:y=x+b为曲线f(x)=e x的切线，若直线l与曲线g(x)=−12x2+mx−72也相切，则实数m的值为________．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC外接圆半径的最小值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．已知在公比为2的等比数列{a n}中，a2，a3，a4−4成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n={5log2a n+1,n为奇数,(a n)12,n为偶数,求数列{b n}的前2n项和S2n．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如表：从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是．（1）求2×2列联表中p，q，x，y的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝AB＝2，，∠ABC＝60∘，且平面PAC⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若M是PC上一点，且BM⊥PC，求三棱锥M−BCD的体积．已知椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆E上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，且．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E 的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，在y 轴上存在点R ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点R ，且，求直线l 的方程．已知函数．（1）求函数y ＝f(x)的单调区间；（2）在区间上，f(x)是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =2+2√2cos α,y =2√2sin α（α为参数）．以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(4√2,π4).(1)求圆C 的普通方程及极坐标方程；(2)过点A 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，当△MCN 面积最大时，求直线l 的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝x −1−|2x −1|． （1）求不等式f(x)≥−1的解集；（2）若不等式f(x)<ax −1恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2021年河北省某校高考数学第二次联考试卷（文科）（全国Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【解析】此题暂无解析【解答】9.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【解析】【解答】此题暂无解答【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2021年河北省邯郸市邱县实验中学高三数学理联考试卷含解析
2021年河北省邯郸市邱县实验中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某人向平面区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在单位圆x2+y2=1内的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】CF：几何概型．【分析】本题利用几何概型求解．先根据区域|x|+|y|≤图象特征，求出其面积，最后利用面积比即可得点P落在单位圆x2+y2=1内的概率．【解答】解：区域|x|+|y|≤表示以（±，0）和（0，±）为顶点的正方形，单位圆x2+y2=1内所有的点均在正方形区域内，正方形的面积S1=4，单位圆面积S2=π，由几何概型的概率公式得：P==，故选：A．2. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出一列四个命题：①若，则；②若，，则；③若，则；④若，，则.其中正确命题的序号是A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④参考答案：A3. 定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。
现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。
则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为A.①②B.③④C.①③D.②④7.参考答案：C设数列的公比为.对于①，,是常数，故①符合条件;对于②，，不是常数，故②不符合条件;对于③，，是常数，故③符合条件;对于④, ，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等.4. （5分）已知a＞1，b＞1，且lna，，lnb成等比数列，则ab（）．有最大值D．有最小值B∵lna，，lnb成等比数列∴=lna?lnb 即lna?lnb=∵a＞1，b＞1∴lna＞0，lnb＞0∴=lna?lnb≤（）2=∴ab有最小值e故选B．5. 若函数f（x）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g （x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．（0，1）D．参考答案：D考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，求出x∈（﹣1，0）时，f（x）的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论．解答：解：函数f（x）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴x∈（﹣1，0）时，f（x）+1==，f（x）=．因为g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，所以y=f（x）与y=mx+m的图象有两个交点，函数图象如图所示，由图象可得，当0＜m≤时，两函数有两个交点，故选 D．点评：此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力，属于中档题．6. 已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x?g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为( )A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：A【考点】简单复合函数的导数；数列的函数特性．【专题】计算题；压轴题．【分析】由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得单调递增，从而可得a＞1，结合，可求a．利用等比数列的求和公式可求，从而可求【解答】解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴，从而可得单调递增，从而可得a＞1，∵，∴a=2．故=2+22+…+2n=．∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*．∴n=6．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数单调递增．7. 已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A. B.C. D.参考答案：D8. 已知，若是的充分不必要条件，则正实数的取值范围是A． B． C． D．参考答案：D试题分析：命题成立，，得或；命题成立，得或，由于是的充分不必要条件，，等号不能同时成立，解得，由于，因此考点：充分、必要条件的应用9. 棱长为1的正四面体ABCD中，点M和N分别是边AB和CD的中点，则线段MN的长度为（）A. B. C. D. 2参考答案：A【分析】连接，则，故而，利用勾股定理计算即可【详解】连接，∵正四面体棱长为1，是的中点，∴，∵是的中点，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，空间距离的计算，属于基础题10. 函数取得最小值时x为（）A． 1 B. 2 C. 3 D. 4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数的最小值为3，则实数b 的值为。
河北省邯郸市2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)含解析
河北省邯郸市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+ B．6+C ．8D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1ce a=，2c e a ='，设2PF m =由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122mPF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭68≥+=当且仅当73a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 2．设i 是虚数单位，a R ∈，532aii a i+=-+，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】 【分析】 由532aii a i+=-+，可得()()()5323232ai a i i a a i +=+-=++-，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a 的值. 【详解】 解：532aii a i+=-+Q，()()()5323232ai a i i a a i ∴+=+-=++- 53232a a a =+⎧∴⎨-=⎩，解得：1a =.故选:C. 【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把2i 当成1进行运算. 3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．()722+πB ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯+⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 4．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .【详解】 因为22|sin()||sin |22()66()1()1x x f x f x x x--===+-+ ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |242()61111f πππππ==++11101122<-=-=+,故排除B , 因为2|sin |22()2()621()2f ππππ==+426164ππ+42616444>-+46662425=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题. 5．已知函数()1ln11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( )A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()1F x f x =-，判断出()F x 的单调性和奇偶性，由此求得不等式()()12f a f a ++>的解集. 【详解】构造函数()()11ln1x F x f x x x +=-=+-，由101xx+>-解得11x -<<，所以()F x 的定义域为()1,1-，且()()111lnln ln 111x x x F x x x x F x x x x +--⎛⎫-=-=--=-+=- ⎪-++⎝⎭，所以()F x 为奇函数，而()12lnln 111x F x x x x x +⎛⎫=+=-++ ⎪--⎝⎭，所以()F x 在定义域上为增函数，且()0ln100F =+=.由()()12f a f a ++>得()()1110f a f a -++->，即()()10F a F a ++>，所以1011102111a a a a a ++>⎧⎪-<<⇒-<<⎨⎪-<+<⎩.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.6．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 7．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ）A ．10B ．16C ．20D ．24【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.8．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．43C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为23，所以该几何体的体积113223132V =⨯⨯⨯=，故选C ．9．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1 3【答案】D【解析】【分析】先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.【详解】年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 累计装机容量158.1 197.2 237.8 282.9 318.7 370.5 434.3 489.2 542.7 594.1 新增装机容量39.1 40.6 45.1 35.8 51.8 63.8 54.9 53.5 51.4 中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量197.7GW，全球累计装机容量594.1158.1436GW-=，占比为45.34%，选项D正确.故选：D【点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.10．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”2.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（）A．400米B．480米C．520米D．600米【答案】B【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=【答案】A 【解析】 【分析】点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值，因为2tan a APF m +∠=，2tan aBPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=．故选：A 【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为（ ） A ．2 B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】 【分析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值． 【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，，则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(Word版) 2021年全国新高考Ⅱ卷数学试题真卷(含答案及详细解析)
3.非连择题必须用黑色字连的钢笔或法字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。
，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高
下底面面积S1=16，上底面面积S2=4，
参考答案及详细解析
1.A.利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置.
【详解】 ，所以该复数对应的点为 ，该点在第一象限，故选：A
2. B.根据交集、补集的定义可求.
【详解】由题设可得， , 故 ，故选：B.
3. B. 首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为: ｛ ,0 ｝
其到直线X-Y+1的距离
解得：P=2, P= - 6(舍去).
故选：B.
4. C由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
故选：C.
5. D由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图:
9. 下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（）
A. 样本 的标准差B. 样本 的中位数
C. 样本 的极差D. 样本 的平均数
10. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足 的是（）
A. B.
C. D.
河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试(新高考)数学试题(含答案解析)
解：由于 ， ，
则： ，
， ，
可得 ．
故选线面位置关系的判定与性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，如图所示，在长方体 中，
平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
但 与 不平行，故 错误；
对于B中，如图所示， 平面 ， 平面 ， ，
但平面 与平面 不平行，故 错误；
C．当 ， 时，点 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为
D．当 ， 时，在 的轨迹上任取一点 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ，则 ( 为坐标原点)的面积为定值
三、填空题
13．正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象､生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩 .若成绩低于 的同学人数和高于 的同学人数相同，则整数 的值为___________.
A． B．
C． D．
6．命题 关于 的不等式 的解集为 的一个充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
7．面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力技术手段.科研攻关组第一时间把疫苗研发作为重中之重，对灭活疫苗､重组蛋白疫苗､腺病毒载体疫苗､减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗5个技术路线并行研发，组织了12个优势团队进行联合攻关.其中有5个团队已经依据各自的研究优势分别选择了灭活疫苗､重组蛋白疫苗､腺病毒载体疫苗､减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗这5个技术路线，其余团队作为辅助技术支持进驻这5个技术路线.若保障每个技术路线至少有两个研究团队，则不同的分配方案的种数为（）
A．14700B．16800C．27300D．50400
8．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（）
高考数学专题《集合》习题含答案解析
分析：由题意首先求得 CR B ，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得： CR B x | x 1 ，
结合交集的定义可得： A CR B 0 x 1 .
本题选择 B 选项.
8．（2017·全国高考真题（理））已知集合 A={x|x<1}，B={x| 3x 1 }，则（
故选：C
8．（2019·北京临川学校高二期末（文））已知集合 = { ―1,3}， = {2,2}，若 ∪ = { ―1,3,2,9}，则实数
）
的值为（
A． ± 1
B． ± 3
C． ― 1
D．3
【答案】B
【解析】
∵ 集合 = { ―1,3}， = {2,2}，且 ∪ = { ―1,3,2,9}， ∴ 2 = 9，因此， =± 3，
对③： {0,1, 2} 是集合， {1, 2, 0} 也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.
对④： 0 是元素， 是不含任何元素的空集，所以 0 ，故④错误.
对⑤： 0 是元素， 是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误.
故选：C.
3．（2021·浙江高一期末）已知集合 M 0,1, 2,3, 4 ， N 2, 4, 6 ， P M N ，则满足条件的 P 的非
则集合 A B 的所有元素之和为（
A．16
B．18
）
C．14
D．8
【答案】A
【解析】
由题设，列举法写出集合 A B ，根据所得集合，加总所有元素即可.
【详解】
由题设知： A B {1, 2,3, 4, 6} ，
∴所有元素之和 1 2 3 4 6 16 .
2021年河北省高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2021年河北省“五个一名校联盟〞高考数学二模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1．i是虚数单位，假设z〔1+i〕=1+3i，那么z=〔〕A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log2〔a+1〕，a∈A}，那么〔∁U A〕∩〔〔∁U B〕=〔〕A．{1，3}B．{5，6}C．{4，5，6}D．{4，5，6，7}3．命题p，q是简单命题，那么“￢p是假命题〞是“p∨q是真命题〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为〔〕A．B．C．D．5．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，那么sin〔2θ+〕=〔〕A．B．﹣C．D．﹣6．设函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔x〕=，那么g[f〔﹣8〕]=〔〕A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．27．函数f〔x〕=sinωx〔ϖ＞0〕的图象向右平移个单位得到函数y=g〔x〕的图象，并且函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，那么实数ω的值为〔〕A．B．C．2 D．8．设变量x，y满足约束条件，那么z=x﹣2y的最大值为〔〕A．﹣12 B．﹣1 C．0 D．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州〔现四川省安岳县〕人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法，如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入x的值为2，那么输出v的值为〔〕A．210﹣1 B．210C．310﹣1 D．31010．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A．B．C．D．411．椭圆C：=1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，那么的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣〕∪〔0，〕 B．〔﹣∞，0〕∪〔0，〕C．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕D．〔﹣∞，0〕∪〔0，1〕12．假设关于x的不等式xe x﹣2ax+a＜0的非空解集中无整数解，那么实数a的取值范围是〔〕A．[，〕B．[，〕C．[，e]D．[，e]二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．正实数x，y满足2x+y=2，那么+的最小值为．14．点A〔1，0〕，B〔1，〕，点C在第二象限，且∠AOC=150°，=﹣4+λ，那么λ=．15．在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕xπx2dx=x3|=．据此类比：轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=．cos〔n+1〕π，数列{b n}的前16．数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+2n，b n=a n a n+1n项和为T n，假设T n≥tn2对n∈N*恒成立，那么实数t的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，其中〔17〕-〔21〕题为必考题，〔22〕，〔23〕题为选考题．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC ﹣c=2b．〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设c=，角B的平分线BD=，求a．18．〔12分〕空气质量指数〔Air Quality Index，简称AQI〕是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．〔Ⅰ〕利用该样本估计该地本月空气质量优良〔AQI≤100〕的天数；〔按这个月总共30天〕〔Ⅱ〕将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．19．〔12分〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕求证：AD⊥平面BFED；〔Ⅱ〕在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．假设存在，求出点P的位置；假设不存在，说明理由．20．〔12分〕椭圆C1： +=1〔a＞b＞0〕的离心率为，P〔﹣2，1〕是C1上一点．〔1〕求椭圆C1的方程；〔2〕设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．21．〔12分〕函数f〔x〕=alnx+x2﹣ax〔a为常数〕有两个极值点．〔1〕求实数a的取值范围；〔2〕设f〔x〕的两个极值点分别为x1，x2，假设不等式f〔x1〕+f〔x2〕＜λ〔x1+x2〕恒成立，求λ的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为〔α为参数〕．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos〔θ+〕=．l与C交于A、B两点．〔Ⅰ〕求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P〔0，﹣2〕，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．〔Ⅰ〕求m的最大值；〔Ⅱ〕a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c 的值．2021年河北省“五个一名校联盟〞高考数学二模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1．i是虚数单位，假设z〔1+i〕=1+3i，那么z=〔〕A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z〔1+i〕=1+3i，得，应选：A．【点评】此题考查复数代数形式的乘除运算，是根底的计算题．2．全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log2〔a+1〕，a∈A}，那么〔∁U A〕∩〔〔∁U B〕=〔〕A．{1，3}B．{5，6}C．{4，5，6}D．{4，5，6，7}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求解集合B，∁U A，∁U B．根据集合的根本运算即可求〔∁U A〕∩〔∁U B〕．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，∴∁U A={2，4，5，6}集合B={|x=log2〔a+1〕，a∈A}，当a=1时，B={x|x=log2〔2+1〕=1，当a=3时，B={x|x=log2〔3+1〕=2，当a=7时，B={x|x=log2〔7+1〕=3，∴集合B={1，2，3}，∴∁U B={4，5，6，7}，故得〔∁U A〕∩〔∁U B〕={4，5，6}应选C．【点评】此题主要考查集合的根本运算，比拟根底．3．命题p，q是简单命题，那么“￢p是假命题〞是“p∨q是真命题〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复合命题的真假结合充分必要条件，判断即可．【解答】解：￢p是假命题，那么p是真命题，推出p∨q是真命题，是充分条件，反之，不成立，应选：A．【点评】此题考查了复合命题的真假，考查充分必要条件的定义，是一道根底题．4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设“开关第一次闭合后出现红灯〞为事件A，“第二次闭合出现红灯〞为事件B，那么由题意可得P〔A〕=，P〔AB〕=，由此利用条件概率计算公式求得P〔B/A〕的值．【解答】解：设“开关第一次闭合后出现红灯〞为事件A，“第二次闭合出现红灯〞为事件B，那么由题意可得P〔A〕=，P〔AB〕=，那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是：P〔B/A〕===．应选：C．【点评】此题考查概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的灵活运用．5．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，那么sin〔2θ+〕=〔〕A．B．﹣C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据定义求解sinθ和cosθ的值，利用两角和与差的公式以及二倍角公式即可化简并求解出答案．【解答】解：由题意，角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，可知θ在第一或第三象限．根据正余弦函数的定义：可得sinθ=，cosθ=±，那么sin〔2θ+〕=sin2θcos+cos2θsin=sinθcosθ+==应选：A．【点评】此题主要考查了正余弦函数的定义的运用和两角和与差的公式以及二倍角公式的化简和计算能力，属于中档题．6．设函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔x〕=，那么g[f〔﹣8〕]=〔〕A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】先求出f〔﹣8〕=﹣f〔8〕=﹣log39=﹣2，从而得到g[f〔﹣8〕]=g〔﹣2〕=f〔﹣2〕=﹣f〔2〕，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔x〕=，∴f〔﹣8〕=﹣f〔8〕=﹣log39=﹣2，∴g[f〔﹣8〕]=g〔﹣2〕=f〔﹣2〕=﹣f〔2〕=﹣log33=﹣1．应选：A．【点评】此题考查函数值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．函数f〔x〕=sinωx〔ϖ＞0〕的图象向右平移个单位得到函数y=g〔x〕的图象，并且函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，那么实数ω的值为〔〕A．B．C．2 D．【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】根据平移变换的规律求解出g〔x〕，根据函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减可得x=时，g〔x〕取得最大值，求解可得实数ω的值．【解答】解：由函数f〔x〕=sinωx〔ϖ＞0〕的图象向右平移个单位得到g〔x〕=sin[ω〔x〕]=sin〔ωx﹣〕，函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，可得x=时，g〔x〕取得最大值，即〔ω×﹣〕=，k∈Z，ϖ＞0．当k=0时，解得：ω=2．应选：C．【点评】此题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用．属于根底题．8．设变量x，y满足约束条件，那么z=x﹣2y的最大值为〔〕A．﹣12 B．﹣1 C．0 D．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下列图所示：由图可知，由可得C〔，﹣〕，由：，可得A〔﹣4，4〕，由可得B〔2，1〕，当x=，y=﹣时，z=x﹣2y取最大值：．应选：D．【点评】此题考查的知识点是简单的线性规划，其中根据约束条件画出可行域，进而求出角点坐标，利用“角点法〞解题是解答此题的关键．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州〔现四川省安岳县〕人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法，如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入x的值为2，那么输出v的值为〔〕A．210﹣1 B．210C．310﹣1 D．310【考点】程序框图．【分析】根据的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的x=2，v=1，k=1，满足进行循环的条件，v=2+C101，k=2，满足进行循环的条件，v=22+2C101+C102，…∴v=210+29C101+…+C1010=310，故输出的v值为：310，应选D．【点评】此题考查程序框图，考查二项式定理的运用，属于中档题．10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A．B．C．D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如下图，由三视图可知该几何体为：四棱锥P ﹣ABCD ． 【解答】解：如下图，由三视图可知该几何体为：四棱锥P ﹣ABCD ． 连接BD ．其体积V=V B ﹣PAD +V B ﹣PCD ==． 应选：B ．【点评】此题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．椭圆C ：=1的左、右顶点分别为A ，B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆x 2+y 2=4上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，那么的取值范围是〔 〕A ．〔﹣∞，﹣〕∪〔0，〕B ．〔﹣∞，0〕∪〔0，〕C ．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕 D ．〔﹣∞，0〕∪〔0，1〕 【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】取特殊点P 〔0，2〕，P 〔0，﹣2〕，求出，利用排除法，可得结论．【解答】解：取特殊点P〔0，2〕，那么PA方程为y=x+2与椭圆方程联立，可得7x2+16x+4=0=0，所以x=﹣2或﹣，所以Q〔﹣，〕，∴k PB=﹣1，k QF==﹣，∴=．同理取P〔0，﹣2〕，=﹣．根据选项，排除A，B，C，应选D．【点评】此题考查圆与圆锥曲线的综合，考查特殊法的运用，属于中档题．12．假设关于x的不等式xe x﹣2ax+a＜0的非空解集中无整数解，那么实数a的取值范围是〔〕A．[，〕B．[，〕C．[，e]D．[，e]【考点】函数恒成立问题．【分析】设g〔x〕=xe x，f〔x〕=2ax﹣a，求出g〔x〕的导数，判断直线恒过定点，设直线与曲线相切于〔m，n〕，求得切线的斜率和切点在直线上和曲线上，解方程可得a，再由题意可得当x=﹣1时，求得a，通过图象观察，即可得到a 的范围．【解答】解：设g〔x〕=xe x，f〔x〕=2ax﹣a，由题意可得g〔x〕=xe x在直线f〔x〕=2ax﹣a下方，g′〔x〕=〔x+1〕e x，f〔x〕=2ax﹣a恒过定点〔，0〕，设直线与曲线相切于〔m，n〕，可得2a=〔m+1〕e m，me m=2am﹣a，消去a，可得2m2﹣m﹣1=0，解得m=1〔舍去〕或﹣，那么切线的斜率为2a=〔﹣+1〕e，解得a=，又由题设原不等式无整数解，由图象可得当x=﹣1时，g〔﹣1〕=﹣e﹣1，f〔﹣1〕=﹣3a，由f〔﹣1〕=g〔﹣1〕，可得a=，由直线绕着点〔，0〕旋转，可得≤a＜，应选：B．【点评】此题考查不等式解法问题，注意运用数形结合的方法，结合导数的运用：求切线的斜率，以及直线恒过定点，考查运算能力和观察能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．正实数x，y满足2x+y=2，那么+的最小值为．【考点】根本不等式．【分析】利用“乘1法〞与根本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足2x+y=2，那么+==≥=，当且仅当x=y=时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．【点评】此题考查了“乘1法〞与根本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．14．点A〔1，0〕，B〔1，〕，点C在第二象限，且∠AOC=150°，=﹣4+λ，那么λ=1．【考点】平面向量的根本定理及其意义．【分析】根据向量的根本运算表示出C的坐标，利用三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵点A〔1，0〕，B〔1，〕，点C在第二象限，=﹣4+λ，∴C〔λ﹣4，〕，∵∠AOC=150°，∴tan150°==﹣，解得λ=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查向量坐标的应用以及三角函数的定义，根据向量的根本运算求出C的坐标是解决此题的关键．15．在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕xπx2dx=x3|=．据此类比：轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= π〔e ﹣1〕 ．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积． 【解答】解：由曲线y=2lnx ，可得x=，根据类比推理得体积V=dy==π〔e ﹣1〕，故答案为：π〔e ﹣1〕．【点评】此题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决此题的关键．16．数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =n 2+2n ，b n =a n a n +1cos 〔n +1〕π，数列{b n } 的前n 项和为T n ，假设T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，那么实数t 的取值范围是 〔﹣∞，﹣5] ．【考点】数列递推式．【分析】n=1时，a 1=3．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，可得a n =2n +1．b n =a n a n +1cos 〔n +1〕π=〔2n +1〕〔2n +3〕cos 〔n +1〕π，n 为奇数时，cos 〔n +1〕π=1；n 为偶数时，cos 〔n +1〕π=﹣1．对n 分类讨论，通过转化利用函数的单调性即可得出． 【解答】解：n=1时，a 1=3．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+2n ﹣[〔n ﹣1〕2+2〔n ﹣1〕]=2n +1．n=1时也成立，∴a n =2n +1．∴b n =a n a n +1cos 〔n +1〕π=〔2n +1〕〔2n +3〕cos 〔n +1〕π， n 为奇数时，cos 〔n +1〕π=1；n 为偶数时，cos 〔n +1〕π=﹣1．因此n 为奇数时，T n =3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…+〔2n +1〕〔2n +3〕=3×5+4×〔7+11+…+2n +1〕=15+4×=2n 2+6n +7．T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立， ∴2n 2+6n +7≥tn 2，t ≤++2=，∴t ＜2．n 为偶数时，T n =3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…﹣〔2n +1〕〔2n +3〕=﹣4×〔5+9+11+…+2n +1〕=﹣2n 2﹣6n ．∴T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，∴﹣2n 2﹣6n ≥tn 2，t ≤﹣2﹣，∴t ≤﹣5． 综上可得：t ≤﹣5． 故答案为：〔﹣∞，﹣5]．【点评】此题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、三角函数的求值、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共70分，其中〔17〕-〔21〕题为必考题，〔22〕，〔23〕题为选考题．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔12分〕〔2021•宁城县一模〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC﹣c=2b．〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设c=，角B的平分线BD=，求a．【考点】正弦定理．【分析】〔Ⅰ〕由正弦定理、两角和的正弦公式化简的条件，求出cosA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值；〔Ⅱ〕由条件和正弦定理求出sin∠ADB，由条件求出∠ADB，由内角和定理分别求出∠ABC、∠ACB，结合条件和余弦定理求出边a的值．【解答】解：〔Ⅰ〕由2acosC﹣c=2b及正弦定理得，2sinAcosC﹣sinC=2sinB，…〔2分〕2sinAcosC﹣sinC=2sin〔A+C〕=2sinAcosC+2cosAsinC，∴﹣sinC=2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=，又A∈〔0，π〕，∴A=；…〔6分〕〔Ⅱ〕在△ABD中，c=，角B的平分线BD=，由正弦定理得，∴sin∠ADB===，…〔8分〕由A=得∠ADB=，∴∠ABC=2〔〕=，∴∠ACB==，AC=AB=由余弦定理得，a2=BC2═AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=2+2﹣2×=6，∴a=…〔12分〕【点评】此题考查正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及两角和的正弦公式等应用，考查转化思想，化简、变形能力．18．〔12分〕〔2021•河北二模〕空气质量指数〔Air Quality Index，简称AQI〕是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．〔Ⅰ〕利用该样本估计该地本月空气质量优良〔AQI≤100〕的天数；〔按这个月总共30天〕〔Ⅱ〕将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】〔1〕从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能求出该样本中空气质量优良的频率，从而能估计该月空气质量优良的天数．〔2〕估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B〔3，〕，由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：〔1〕从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，∴该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为30×=18．〔2〕由〔1〕估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B〔3，〕，P〔ξ=0〕=〔〕3=，P〔ξ=1〕==，P〔ξ=2〕==，P〔ξ=3〕=〔〕3=，∴ξ的分布列为：ξ01 2 3P∴Eξ=3×=1.8．【点评】此题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．〔12分〕〔2021•河北二模〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕求证：AD⊥平面BFED；〔Ⅱ〕在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．假设存在，求出点P的位置；假设不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】〔Ⅰ〕推出AB=2，求解AB2=AD2+BD2，证明BD⊥AD，然后证明AD ⊥平面BFED．〔Ⅱ〕以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面EAD的一个法向量，平面PAB的一个法向量，利用向量的数量积，转化求解即可．【解答】解：〔Ⅰ〕在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，∴故AB=2，∴BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°=3，∴AB2=AD2+BD2∴BD⊥AD，∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，∴AD⊥平面BFED．…〔Ⅱ〕∵AD⊥平面BFED，∴AD⊥DE，以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，那么D〔0，0，0〕，A〔1，0，0〕，B〔0，，0〕，P〔0，λ，〕，=〔﹣1，，0〕，=．取平面EAD的一个法向量为=〔0，1，0〕，设平面PAB的一个法向量为=〔x，y，z〕，由=0，•=0得：，取y=1，可得=〔〕．∵二面角A﹣PD﹣C为锐二面角，平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．∴cos＜===，解得λ=，即P为线段EF的3等分点靠近点E的位置．…〔12分〕【点评】此题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．〔12分〕〔2021•河北二模〕椭圆C1： +=1〔a＞b＞0〕的离心率为，P〔﹣2，1〕是C1上一点．〔1〕求椭圆C1的方程；〔2〕设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；〔2〕设A〔﹣2，﹣1〕，B〔2，1〕，Q〔2，﹣1〕，设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆方程，设C〔x1，y1〕，D〔x2，y2〕，E〔﹣x1，﹣y1〕，运用韦达定理，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，化简整理，代入韦达定理，即可得证．【解答】解：〔1〕由题意可得e==，且a2﹣b2=c2，将P〔﹣2，1〕代入椭圆方程可得+=1，解得a=2，b=，c=，即有椭圆方程为+=1；〔2〕证明：A，B，Q是P〔﹣2，1〕分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，可设A〔﹣2，﹣1〕，B〔2，1〕，Q〔2，﹣1〕，直线l的斜率为k=，设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，设C〔x1，y1〕，D〔x2，y2〕，E〔﹣x1，﹣y1〕，即有△=4t2﹣4〔2t2﹣4〕＞0，解得﹣2＜t＜2，x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，那么k1+k2=+=，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，即〔2﹣x1〕〔y2﹣1〕﹣〔2+x2〕〔y1+1〕=0，由y1=x1+t，y2=x2+t，可得〔2﹣x1〕〔y2﹣1〕﹣〔2+x2〕〔y1+1〕=2〔y2﹣y1〕﹣〔x1y2+x2y1〕+x1﹣x2﹣4=x2﹣x1﹣〔x1x2+tx1+tx2〕+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t〔x1+x2〕﹣4=﹣〔2t2﹣4〕+2t2﹣4=0，那么直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【点评】此题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式和运用，化简整理的运算能力，属于中档题．21．〔12分〕〔2021•河北二模〕函数f〔x〕=alnx+x2﹣ax〔a为常数〕有两个极值点．〔1〕求实数a的取值范围；〔2〕设f〔x〕的两个极值点分别为x1，x2，假设不等式f〔x1〕+f〔x2〕＜λ〔x1+x2〕恒成立，求λ的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】〔1〕f′〔x〕=且f′〔x〕=0有两个不同的正根，即x2﹣ax+a=0两个不同的正根，即可求实数a的取值范围；〔2〕利用韦达定理，可得=lna﹣a﹣1，构造函数，确定函数的单调性，求出其范围，即可求λ的最小值．【解答】解：〔1〕由题设知，函数f〔x〕的定义域为〔0，+∞〕，f′〔x〕=且f′〔x〕=0有两个不同的正根，即x2﹣ax+a=0两个不同的正根x1，x2，〔x1＜x2〕那么，∴a＞4，〔0，x1〕，f′〔x〕＞0，〔x1，x2〕，f′〔x〕＜0，〔x2，+∞〕，f′〔x〕＞0，∴x1，x2是f〔x〕的两个极值点，符合题意，∴a＞4；〔2〕f〔x1〕+f〔x2〕=alnx1+x12﹣ax1+alnx2+x22﹣ax2=a〔lna﹣a﹣1〕，∴=lna﹣a﹣1，令y=lna﹣a﹣1，那么y′=﹣，∵a＞4，∴y′＜0，∴y=lna﹣a﹣1在〔4，+∞〕上单调递减，∴y＜ln4﹣3，∵不等式f〔x1〕+f〔x2〕＜λ〔x1+x2〕恒成立，x1+x2＞0，∴是λ的最小值ln4﹣3．【点评】此题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕〔2021•河北二模〕在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为〔α为参数〕．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos〔θ+〕=．l与C交于A、B两点．〔Ⅰ〕求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P〔0，﹣2〕，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔Ⅰ〕利用三种方程互化方法，曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕点P〔0，﹣2〕在l上，l的参数方程为为〔t为参数〕，代入x2+y2=1整理得，3t2﹣10t+15=0，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：〔Ⅰ〕曲线C的参数方程为〔α为参数〕，普通方程为C：x2+y2=1；直线l的极坐标方程为ρcos〔θ+〕=，即ρcosθ﹣ρsinθ=2，l：y=x﹣2．…〔4分〕〔Ⅱ〕点P〔0，﹣2〕在l上，l的参数方程为〔t为参数〕代入x2+y2=1整理得，3t2﹣10t+15=0，由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=…〔10分〕【点评】此题考查三种方程互化，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．〔2021•河北二模〕关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．〔Ⅰ〕求m的最大值；〔Ⅱ〕a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c 的值．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】〔Ⅰ〕利用|x﹣3|+|x﹣m|≥|〔x﹣3〕﹣〔x﹣m〕|=|m﹣3|，对x与m的范围讨论即可．〔Ⅱ〕构造柯西不等式即可得到结论．【解答】解：〔Ⅰ〕∵|x﹣3|+|x﹣m|≥|〔x﹣3〕﹣〔x﹣m〕|=|m﹣3|当3≤x≤m，或m≤x≤3时取等号，令|m﹣3|≥2m，∴m﹣3≥2m，或m﹣3≤﹣2m．解得：m≤﹣3，或m≤1∴m的最大值为1；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕a+b+c=1．由柯西不等式：〔 ++1〕〔4a2+9b2+c2〕≥〔a+b+c〕2=1，∴4a2+9b2+c2≥，等号当且仅当4a=9b=c，且a+b+c=1时成立．即当且仅当a=，b=，c=时，4a2+9b2+c2的最小值为．【点评】此题主要考查了绝对值不等式的几何意义和解法以及柯西不等式的构造思想．属于中档题．。
河北省邯郸市2021届新高考二诊数学试题含解析
河北省邯郸市2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A B ．32C D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 化简得到1322z i =-+，1322z i =--，再计算复数模得到答案.【详解】(1)12i z i +=+，故()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+++-，故1322z i =--，z 2=. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.2．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A B A =I B ．A B B ⋃=C ．()U A B =∅I ðD ．U B A ⊆ð【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A ，根据对数函数的性质，化简集合B ，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【详解】由2230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤， 则31,2A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故U 3(,1),2A ⎛⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ð， 由2log 1x >知，(2,)B =+∞，因此A B =∅I ，31,(2,)2A B ⎡⎤⋃=-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，()U (2,)A B ⋂=+∞ð，3(2,)(,1),2⎛⎫+∞⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选:D 【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A ．2728倍 B ．4735倍 C ．4835倍 D ．75倍 【答案】B 【解析】 【分析】设贫困户总数为a ，利用表中数据可得脱贫率000000002409521090P =⨯⨯+⨯⨯，进而可求解. 【详解】设贫困户总数为a ，脱贫率0000000000240952109094a aP a⨯⨯+⨯⨯==，所以000094477035=. 故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的4735倍. 故选：B 【点睛】本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.4．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．C ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】求得定点M 的轨迹方程22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭可得141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】设A （-a ，0），B （a ，0），M （x ，y ）．∵动点M 满足MA MB=2，==2，化简得222516(x )y 39a a -+=. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，∴141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯= ，解得a b ==，=． 故选D ． 【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．5．复数z 满足()11z i -=，则复数z 等于（） A ．1i - B ．1i +C ．2D ．-2【答案】B 【解析】 【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可. 【详解】复数z 满足()112z i -==， ∴()()()2121111i z i i i i +===+--+，故选B. 【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．6．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.7．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i - B ．86i +C ．86i -+D ．86i --【答案】B 【解析】分析：利用21i =-的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得1286z i z =+ 详解：2122686886z i i i i z i i--===+-- ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i =-符号的正、负问题.8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．6423πD ．2053π【答案】C 【解析】 【分析】作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【详解】2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为22r =(3422233V π=⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.9．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，由16PF =，列出相应方程，求出离心率. 【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率==ce a． 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．10．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A1 B1C ．2D【答案】B 【解析】 【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率. 【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=u u u v u u u v，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故1e ===，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.11．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R ð（ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞UB ．(,1][3,)-∞+∞UC ．(,1)(3,)-∞+∞UD ．(1,3)【答案】A 【解析】 【分析】算出集合A 、B 及A B I ，再求补集即可. 【详解】由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥， 所以{|13}A B x x ⋂=≤<，故()A B ⋂=R ð{|1x x <或3}x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.12．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ） A ．e B ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可得()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，于是可得()f x 在1,1e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦，继而可得()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，解之即可. 【详解】解：()2222()a e x f x a e x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，因为1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >， 所以()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在1,1e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦， 因为所有点(,())s f t (,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，所以()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭， 解得2ea e =-， 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到221(2)(1)1a e e e e---=-是关键，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省2021-2022学年数学高三理数第二次联考试卷(II)卷
河北省2021-2022学年数学高三理数第二次联考试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一下·仙桃期末) ，集合，集合，则集合的真子集有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 8个2. （2分）复数的共轭复数是， i是虚数单位，则ab的值是（）A . -7B . -6C . 7D . 63. （2分）已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则（）A . 1B .C .D .4. （2分）(2018·南宁模拟) 中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列的前项和，，等比数列满足，，则（）A . 4B . 5C . 9D . 165. （2分）下面四个命题：①若直线平面，则内任何直线都与a平行；②若直线平面，则内任何直线都与a垂直；③若平面平面，则内任何直线都与平行；④若平面平面，则内任何直线都与垂直。
其中正确的两个命题是（）A . ①②B . ②③C . ③④D . ②④6. （2分） (2017高一上·宜昌期末) 若，不共线，且λ +μ = （λ，μ∈R），则（）A . = ， =B . λ=μ=0C . λ=0， =D . = ，μ=07. （2分）(2017·潍坊模拟) 如果实数x，y满足约束条件，则z= 的最大值为（）A .B .C . 2D . 38. （2分）形如y=的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数（a＞0，a≠1）有最小值，则当c，b的值分别为方程x2+y2﹣2x﹣2y+2=0中的x，y时的“囧函数”与函数y=loga|x|的图象交点个数为（）A . 1B . 2C . 4D . 69. （2分） (2018高一上·荆州月考) 已知，，，则a,b,c的大小关系是（）A . a>b>cB . b>c>aC . c>a>bD . c>b>a10. （2分） (2017高二上·牡丹江月考) 椭圆（）上存在一点满足，为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一下·舒城期中) 数列{an}的前n项和为Sn ，若，则S5等于（）A . 1B .C .D .12. （2分）若曲线上存在垂直y轴的切线，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在△ABC中，若b=2， c=1，tanB=2，则a=________14. （1分）(2019·广东模拟) 从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是________15. （1分） (2020高二上·东莞期末) 抛物线上的一点到焦点的距离为2，则点的纵坐标是________.16. （1分）多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm________ cm3三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2017高二下·洛阳期末) 已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足bcosC+ c=a．（1）求△ABC的内角B的大小；（2）若△ABC的面积S= b2 ，试判断△ABC的形状．18. （10分） (2019高三上·洛阳期中) 如图，在三棱锥中，为正三角形，为棱的中点，，，平面平面．（1）求证：平面；（2）若是棱上一点，，求二面角的大小．19. （10分）(2016·桂林模拟) 为了解某商场旅游鞋的日销售情况，现抽取部分顾客购鞋的尺码，将所得数据绘成如图所示频率分布直方图，已知图中从左到右前三组的频率之比为1：2：3，第二组的频数为10．（1）用频率估计概率，求尺码落在区间（37.5，43.5]概率约是多少？（2）从尺码落在区间（37.5，39.5]（43.5，45.5]顾客中任意选取两人，记在区间（43.5，45.5]的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．20. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 过椭圆 =1的右焦点F作斜率k=﹣1的直线交椭圆于A，B 两点，且共线．（1）求椭圆的离心率；（2）当三角形AOB的面积S△AOB= 时，求椭圆的方程．21. （10分）(2018·山东模拟) 已知函数， .（1）讨论函数的单调性；（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围.22. （10分）(2017·泸州模拟) 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（ϕ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设直线l的极坐标方程是，射线 x﹣y=0（x≥0）与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23. （10分） (2017高二下·牡丹江期末) 已知函数 ).(Ⅰ)若不等式恒成立，求实数的最大值；(Ⅱ)当时，函数有零点，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：。
河北省邯郸市2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析
河北省邯郸市2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】 先化简得31i,55z =+再求||z 得解. 【详解】 2i 2i(13i)31i,13i 1055z -===++所以||5z =. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 【答案】A【解析】【分析】【详解】 由()f x 的最小正周期是π，得2ω=， 即()sin(2)4f x x π=+ cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ cos 2()8x π=-， 因此它的图象向左平移8π个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．【名师点睛】三角函数图象变换方法：3．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =I （ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】D【解析】【分析】利用交集的定义直接计算即可.【详解】 {}|2A x x =≤，故{}0,1,2A B =I ，故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.4．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=u u u u r u u u ru u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【分析】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 33t OP t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r ,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判断()g t 的零点的个数,即为所求.【详解】 设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r , 依题意可得1ln 03t t +=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t -'=-=, 当103t <<时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当13t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增, 所以min 1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭, 1()ln 03g t t t ∴=+=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.5．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A ．2223S S ，且B ．2223S S ，且C ．2223S S ，且D ．2223S S ，且【答案】D【解析】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故{}2,22,23S =，得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件.故12AB BC CD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =.故{}2,22,23S =，故22S ∈，23S ∈.故选：D .【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.6．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【解析】【分析】根据含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，计算可得；【详解】解：集合{2,0,1,9}含有4个元素，则集合{2,0,1,9}的真子集有42115-=（个），故选：C【点睛】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，属于基础题．7．ABC V 是边长为23的等边三角形，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF V 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ）A ．534B ．334C ．64D ．364【答案】D【解析】【分析】首先由题意得，当梯形BCFE 的外接圆圆心为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，BC 的中点即为梯形BCFE 的外接圆圆心，也即四棱锥P BCFE -的外接球球心，则可得到3PO OC ==，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.【详解】如图，四边形BCFE 为等腰梯形，则其必有外接圆，设O 为梯形BCFE 的外接圆圆心，当O 也为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A 作BC 的垂线交BC 于点M ，交EF 于点N ，连接,PM PN ，点O 必在AM 上，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则必有AN PN MN ==，90APM ∴∠=o ，即APM △为直角三角形.对于等腰梯形BCFE ，如图：因为ABC V 是等边三角形，E 、F 、M 分别为AB 、AC 、BC 的中点，必有MB MC MF ME ===，所以点M 为等腰梯形BCFE 的外接圆圆心，即点O 与点M 重合，如图132PO OC BC ∴===，222336PA AO PO =-=-=， 所以四棱锥P BCFE -底面BCFE 的高为362PO PA AM ⋅⨯==， 1131313623323343424P BCFE BCFE ABC V S h S h -==⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=V . 故选：D.【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.8．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾A B C D E F 评分 96 95 96 89 97 98嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ）A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>> 【答案】C【解析】计算出1x 、2x ，进而可得出结论.【详解】 由表格中的数据可知，196959689979895.176x +++++=≈， 由频率分布直方图可知，2750.2850.3950.588x =⨯+⨯+⨯=，则12x x >， 由于场外有数万名观众，所以，12212x x x x x +<<<. 故选：B.【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.9．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ）A ．4±B ．4C ．2±D ．2【答案】D【解析】【分析】由23S =得123a a +=，又23412()12a a a a q +=+=，两式相除即可解出q ． 【详解】解：由23S =得123a a +=，又23412()12a a a a q +=+=，∴24q =，∴2q =-，或2q =，又正项等比数列{}n a 得0q >，∴2q =，故选：D ．【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．10．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件【解析】【分析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*4750,,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，显然当5599y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D.【点睛】 本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.11．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B【解析】 由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a ＜1，f(1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f′(x)＝2x －b ，所以g(x)＝e x ＋2x －b ，所以g′(x)＝e x ＋2＞0，所以g(x)在R 上单调递增，又g(0)＝1－b ＜0，g(1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，故选B.12． “2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】 根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【详解】∵当函数()()2231a f x b b x =--为幂函数时，22311b b --=， 解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231a f x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【高三】2021年高三数学理科二模试卷B版(邯郸市带答案)
【高三】2021年高三数学理科二模试卷B版（邯郸市带答案）邯郸市2021年高三第二次模拟考试数学试卷（理科）本试卷分第i卷(选择题)和第ⅱ卷(非选择题).第i卷1至2页，第ⅱ卷2至4页，共4页.考生注意：1.答题前，学生务必将自己的准考证号、姓名核对在答题卡上.学生必须深入细致录入答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与学生本人准考证号、姓名与否一致.2.第i卷每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号.第ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试完结后，监考员将试题卷、答题卡一并交还.第i卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.1.设复数z=―l―i(i为虚数单位）,z的共轭复数为，则等于a.-1-2ib.-2+ic.-l+2id.1+2i2.集合a={xx2+x―6<0}，b={y\y=lg(x2+l)}则a∩b等于a.(-3,2)b.[0,3)c.[0，+oo)d.[0,2)3.已知,，则等于a.3b.―3c.2d.―24.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1+ba2+…+ba6“等于a.78b.84c.124d.1265.已知抛物线:y2=2px(p>0)上的点a(m，2)到直线x=-3/2的距离比到抛物线焦点的距离大1，则点a到焦点的距离为（2）2b.5/2c.3d.3/26.已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于a.b.c.d.7.如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的s=-10，则输出s的值为a.8b.9c.10d.118.未知命题p:””就是“函数的图象经过第二象限”的充分不必要条件，命题q:a,b是任意实数，若a>b，则.则a.“p且q”为真b.“p或q”为真c.p假q真d.p，q均为假命题9.将函数y=2sinxsin(+x)的图象向右位移太少(>0)个单位，使位移后的图象仍过点(，)，则的最小值为ab.c.d.10.甲、乙、丙3十一位志愿者精心安排在周一至周五的5天中出席某项志愿者活动，建议每人出席一天且每天至多精心安排一人，现建议甲精心安排在另外两位前面且丙不精心安排在周五，则相同的精心安排方法共计a.14种b.16种c.20种d.24种11.巳言双曲线(a>0，b>0)，过其右焦点f且与渐近线y=-x平行的直线分别与双曲线的右支和另一条渐近线处设a、b两点，且,则双曲线的距心率为a.b.c.d.212.未知关于x的方程存有唯一求解，则实数a的值.a.1b.―3c.1或一3d.―1或3第ii卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题?第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题?第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分后.把答案填上在答题卡中的横线上.13.=14.未知向量a，b夹角为，若,,,则(a+2b)?(a―b)=?15.在棱锥p-abc中，侧棱pa、pb、pc两两垂直，q为底面?abc内一点，若点q到三个侧面的距离分别为2、2、，则以线段pq为直径的球的表面积为.16.数列的前n项和为,若数列的各项排列如下：…,,…,…,若，则=___.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分后）在?abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，若b-c=acosc.（1）谋a的大小；（2）若?abc的面积为，且2abcosc―bc=a2+c2，求a.18.(本小题满分12分后）某娱乐中心拟举行庆祝活动，每位来宾交30元人场费，可参加一次抽奖活动，抽奖活动规则是:从一个装有分值分别为1，2，3，4，5，6六个相同小球的抽奖箱中，有放回地抽取两次，?次抽取一个球，规定:若抽得两球分值之和为12分，则获得价值为m元礼品;若抽得两球分值之和为11分或10分，则获得价值为100元礼品；若抽得两球分值之和小于10分，则不获奖.(1)谋每位会员得奖的概率；(2)假设这次活动中，娱乐中心既不赔钱，也不赚钱，则m应为多少元？19.(本小题满分12分后）在如图的多面体中，ef?平面aeb，aeeb，ad//ef，ef//bc，bc=2ad=4，ef=3,ae=be=2，g就是bc的中点.(1)求证:bd?eg;](2)谋二面角c―df―e的余弦值.20.(本小题满分12分）设ai,a2与b分别就是椭圆e:的左、右顶点与上顶点，直线a2b与圆c：切线.(1)p是椭圆e上异于a1，a2的一点,直线pa1，pa2的斜率之积为，求椭圆e的方程；(2)直线i与椭圆e处设m，n两点，且，先行推论直线i与圆c的边线关系，并表明理由.21.(本小题满分12分）未知a?，函数，(其中e为自然对数的底数).(1)巳知a>0，若函数f(x)在区间(0，e]上满足f(x)>2恒成立，求a的取值范围；⑵与否存有实数,并使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴横向？若存有，算出x。
2020-2021学年河北省高考数学二模试卷(理科)及答案解析
河北省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}2．若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或33．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C．D．4．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm35．在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．217．某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元（其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则①处应填（）A．y=2.0x+2.2 B．y=0.6x+2.8 C．y=2.6x+2.0 D．y=2.6x+2.88．已知一个球的表面上有A、B、C三点，且AB=AC=BC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为（）A．20πB．15πC．10πD．2π9．当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）A．y=±x B．C．D．10．已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．111．若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A． B． C．D．12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．则下列命题中：①若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．②若点A，B，C是三角形的三个顶点，则有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0．④若A为坐标原点，B在直线x+y﹣2=0上，则d（A，B）的最小值为2．真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知△ABC中，若AB=3，AC=4，，则BC= ．14．某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是名．15．若直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，则的展开式中x的系数为．16．已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f=2017，设a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），则a，b，c的大小关系是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）在（1）中，设b n=，求证：当c=﹣时，数列{b n}是等差数列．18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）．若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号．（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望．19．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的正弦值．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），b（0，b），D（﹣a，0），△ABD的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设P（x0，y0）是椭圆C在第二象限的部分上的一点，且直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=e x的切线l1，l2，若两切线的斜率互为倒数，求证：1＜a＜2．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sinθ+cosθ=．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}【考点】1D：并集及其运算．【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．2．若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，可得x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x．【解答】解：∵复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，∴x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x=1．故选：B．3．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用直线斜率的定义、二倍角的正切公式，进行计算即可．【解答】解：∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，∴tanθ=2；∴tan2θ==﹣，故选D．4．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】该三棱锥高为3，底面为直角三角形．【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，∴V=××3×1×3=．故选A．5．在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．【解答】解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2，由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为6，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax ﹣a2＞0}这个事件的测度为3，故区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为，故选：D．6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．21【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据基本不等式求得ab的范围，进而利用三角形面积公式求得．【解答】解：∵ab≤（）2=36，当且仅当a=b=6时，等号成立，∴S△ABC=absinC≤×36×=9，故选：B．7．某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元（其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则①处应填（）A．y=2.0x+2.2 B．y=0.6x+2.8 C．y=2.6x+2.0 D．y=2.6x+2.8【考点】EF：程序框图．【分析】由题意可得：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，应按超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元收费，进而可得函数的解析式．【解答】解：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元∴y=2.6（x﹣2）+7+1=8+2.6（x﹣2），即整理可得：y=2.6x+2.8．故选：D．8．已知一个球的表面上有A、B、C三点，且AB=AC=BC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为（）A．20πB．15πC．10πD．2π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由正弦定理可得截面圆的半径，进而由勾股定理可得球的半径和截面圆半径的关系，解方程代入球的表面积公式可得．【解答】解：由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆O′，设截面圆O′的半径为r，由正弦定理可得2r=，解得r=2，设球O的半径为R，∵球心到平面ABC的距离为1，∴由勾股定理可得r2+12=R2，解得R2=5，∴球O的表面积S=4πR2=20π，故选：A．9．当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）A．y=±x B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦距2c=2=2，由二次函数的性质分析可得当m=1时，双曲线的焦距最小，将m的值代入双曲线方程可得此时双曲线的方程，由双曲线的渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦距2c=2=2，分析可得：当m=1时，双曲线的焦距最小，此时双曲线的方程为：﹣=1，其渐近线的方程为y=±x，故选：B．10．已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系可得==1+，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣a n﹣1，化为：==1+，由于数列单调递减，可得：n=2时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：C．11．若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A． B． C．D．【考点】KE：曲线与方程．【分析】取特殊点代入进行验证即可．【解答】解：由题意，x=1时，y=1，故排除C，D；令x=2，则y=，排除A．故选B．12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．则下列命题中：①若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．②若点A，B，C是三角形的三个顶点，则有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0．④若A为坐标原点，B在直线x+y﹣2=0上，则d（A，B）的最小值为2．真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】IS：两点间距离公式的应用；2K：命题的真假判断与应用．【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0），x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）成立，故①正确；在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|≥|（x0﹣x1）+（x2﹣x0）|+|（y0﹣y1）+（y2﹣y0）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）③，故②错误；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x﹣1|+|y|}，由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，∴到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③成立；设B（x，y），则d（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|x|+|2﹣x|≥2，即d（A，B）的最小值为2，故④正确；综上知，正确的命题为①③④，共3个．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知△ABC中，若AB=3，AC=4，，则BC= ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的数量积公式可得•=||•||cosA=6，再根据余弦定理即可求出．【解答】解：∵AB=3，AC=4，，∴•=||•||cosA=6，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB••cosA=9+16﹣12=13，∴BC=，故答案为：．14．某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是7 名．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z=x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大．【解答】解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=x+y⇔y=﹣x+z 则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过⇒（4，3）时使得目标函数取得最大值为：z=7．故答案为：7．15．若直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，则的展开式中x的系数为210 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，求出a=2，由此利用分类讨论思想能求出=（x+﹣2）5的展开式中x的系数．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，∴，解得a=2，∴=（x+﹣2）5，∴展开式中x的系数为：++=80+120+10=210．故答案为：210．16．已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f=2017，设a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），则a，b，c的大小关系是a＞c＞b ．【考点】3S：函数的连续性．【分析】根据题意得出f（x）是单调函数，得出f（x）﹣log2015x是定值；设t=f（x）﹣log2015x，得f（x）=t+log2015x，结合f（x）是单调增函数判断a，b，c的大小．【解答】解：∵方程f′（x）=0无解，∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，∴f（x）是单调函数；由题意得∀x∈（0，+∞），f=2017，又f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，则f（x）﹣log2015x是定值，设t=f（x）﹣log2015x，则f（x）=t+log2015x，∴f（x）是增函数，又0＜log43＜logπ3＜1＜20.5，∴a＞c＞b．故答案为：a＞c＞b．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）在（1）中，设b n=，求证：当c=﹣时，数列{b n}是等差数列．【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定．【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求{a n}的通项公式；（2）先化简b n，再利用定义证明即可．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+5=0得其二根分别为1和5，∵a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根∴以a1=1，a2=5，∴{a n}等差数列的公差为4，∴=2n2﹣n；（2）证明：当时，=，∴b n+1﹣b n=2（n+1）﹣2n=2，∴{b n}是以2为首项，公差为2的等差数列．18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）．若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号．（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人．用分层抽样的方法，与古典概率计算公式即可得出．（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．利于古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是所以选中的“优秀警员”有4人，“优秀陪练员”有6人．用事件A表示“至少有1名“优秀警员”被选中”，则=．因此，至少有1人是“优秀警员”的概率是（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3.，，，，因此，ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3p∴．19．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，四边形AEFG 为平行四边形，即AG∥EF，由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，可证平面BDE⊥平面BCD（2），过点B在△BEC内做BM⊥EC，垂足为M，连接DM，则DM⊥EC，可得∠DMB为所求二面角的平面角在等腰三角形EBC中．由面积相等可知：，；，根据余弦定理=，即可．【解答】解：（1）证明：如下图所示：取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，FG是△BCD的中位线所以FG∥AE且FG=AE，即四边形AEFG为平行四边形，所以AG∥EF由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF⊂面BDE，故平面BDE⊥平面BCD（2）由AB=2，AE=1可知，，同理又DC=BC=2，EC为△BEC，△DEC的公共边，知△BEC≌△DEC，过点B在△BEC内做BM⊥EC，垂足为M，连接DM，则DM⊥EC，所以∠DMB为所求二面角的平面角在等腰三角形EBC中，BC=2．由面积相等可知：，；根据余弦定理=所以二面角D﹣EC﹣B正弦值为20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），b（0，b），D（﹣a，0），△ABD的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设P（x0，y0）是椭圆C在第二象限的部分上的一点，且直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的离心率公式及三角形的面积公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）求得直线PA的方程，求得丨BM丨，同理求得丨AN丨，由，代入即可求得四边形ABNM的面积．【解答】解：（1）由题意得，解得a=2，．∴椭圆C的方程为．（2）由（1）知，A（2，0），，由题意可得，因为P（x0，y0），﹣2＜x0＜0，，．∴直线PA的方程为令x=0，得．从而=．直线PB的方程为．令y=0，得．从而|AN|=|2﹣x N|=．∴|AN|•|BM|=，=，=，=．∴=，四边形ABNM的面积2．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=e x的切线l1，l2，若两切线的斜率互为倒数，求证：1＜a＜2．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，从而求解函数f（x）的极值；（2）设切线l2的方程为y=k2x，从而由导数及斜率公式可求得切点为（1，e），k2=e；再设l1的方程，整理得，再令，求导确定函数的单调性，从而问题得证．【解答】（1）解：①若a≤0时，＞0所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，故无极大值和极小值②若a＞0，由得，所以．函数f（x）单调递增，，函数f（x）单调递减故函数f（x）有极大值a﹣lna﹣1，无极小值．（2）证明：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，，所以x2=1，y2=e，则．由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则=，所以，．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得令，则，所以m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．又x0为m（x）的一个零点，所以①若x1∈（0，1），因为，，所以，因为所以=1﹣lnx1，所以1＜a＜2．②若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以a=1﹣lnx1=0（舍去）．综上可知，1＜a＜2．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sinθ+cosθ=．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求出圆心到直线的距离，即可求直线l被圆C所截得的弦长．【解答】解：（1）圆C的参数方程化为普通方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x+y=1，（2）圆心到直线的距离，故直线l被圆C所截得的弦长为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f（x）≥3的解集；（2）f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|﹣2=0，利用关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于或或解得：或，∴不等式的解集为或．（2）∵f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|﹣2=0，且f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，∴a2﹣a﹣2≤0，解得﹣1≤a≤2，∴实数a的取值范围是﹣1≤a≤2．。
2021年河北省邯郸市高考数学二模试卷
2021年河北省邯郸市高考数学二模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{x∈N|x≤5}，A＝{1，2}U A＝（）A．{0，3，5}B．{0，3，4}C．{3，4，5}D．{0，3，4，5} 2．（5分）已知向量＝（﹣2，6），＝（1，x），若与反向，则•（3+）＝（）A．﹣30B．30C．﹣100D．1003．（5分）某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，125人选《水浒传》，125人选《西游记》，若采用分层抽样的方法随机抽取40名学生分享他们的读后感，则选《西游记》的学生抽取的人数为（）A．5B．10C．12D．154．（5分）曲线y＝（x﹣3）e x在x＝0处的切线方程为（）A．2x+y+3＝0B．2x+y﹣3＝0C．2x﹣y+3＝0D．2x﹣y﹣3＝0 5．（5分）某商场有三层楼，最初规划一层为生活用品区，二层为服装区，招商工作结束后，共有100家商家人驻，若从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为（）生活用品店服装店餐饮店一层2573二层4274三层6123 A．0.75B．0.6C．0.4D．0.256．（5分）（x2﹣x）（1+x）6的展开式中x3项的系数为（）A．﹣9B．9C．﹣21D．217．（5分）如图所示，正四棱台的下底面与半球的底面重合，上底面四个顶点均在半球的球面上，则半球的体积为（）A．B．C．πD．8．（5分）设双曲线C：的焦距为2c（c＞0），左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|＝a|PF1|，则C的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，1+]D．[1+，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）若复数z满足（2+i）z+5i＝0，则（）A．z的虚部为﹣2B．＝1+2iC．z在复平面内对应的点位于第二象限D．|z4|＝25（多选）10．（5分）设a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不同的平面．下列四个命题中（）A．若γ⊥α，α∥β，则γ⊥βB．若β⊥α，γ⊥α，则β∥γC．若a⊥α，a⊥β，则α∥βD．若a⊥α，a⊥b，则b∥α（多选）11．（5分）将函数f（x）＝cos（2x）的图象向左平移，得到函数g（x）的图象，则（）A．g（x）的最小正周期为B．g（x）的图象关于直线x＝对称C．g（x）的图象的一个对称中心为（）D．g（x）在（，0）上单调递增（多选）12．（5分）已知函数f（x）满足当x∈[0，1）时，f（x），当x∈[1，+∞）时，（x）＝k在[0，+∞）上的根从小到大排列恰好构成一个等差数列（）A．2020B．2020C．2021D．2021+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）写出一个奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＞0且其导数f′（x），则f（x）＝．14．（5分）直线l1：x+ay﹣2＝0（a∈R）与直线l2：平行，则a＝，l1与l2的距离为．15．（5分）当0＜x＜时，函数的最大值为．16．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作不垂直于x轴的直线，交抛物线于M，线段MN的中垂线交x轴于R，则＝．四、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n}满足a n＞0，a n+1＝3a n+4．（Ⅰ）证明：数列{a n+2}为等比数列；（Ⅱ）若a3＝25，求数列{a n﹣n}的前n项和S n．18．（12分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，CD＝2，∠CBD＝30°．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求A．19．（12分）小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品（充话费等），详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．表1购买实物商品（元）（0，100）[100，500）[500，1000）积分246概率表2购买虚拟商品（元）（0，20）[20，50）[50，100）[100，200）积分1234概率（Ⅰ）求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；（Ⅱ）求小张一个月积分不低于8分的概率；（Ⅲ）若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X的分布列与数学期望．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝21＝4，D点在棱CC1上（与端点不重合）．（Ⅰ）试确定D在棱CC1上的位置，使得B1D⊥AD；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面ABD与平面A1BC1所成锐二面角的大小．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M1F2|＝2，△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）＝λ，＝μ，若是，求出这个定值，说明理由．22．（12分）已知函数，g（x）＝m cos x﹣x，m＞0．（Ⅰ）讨论函数f（x）在（﹣π，0）∪（0，π）上的单调性；（Ⅱ）若方程mf（x）＝g（x）在区间（0，），求m的取值范围．2021年河北省邯郸市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{x∈N|x≤5}，A＝{1，2}U A＝（）A．{0，3，5}B．{0，3，4}C．{3，4，5}D．{0，3，4，5}【分析】先表示出集合U，然后直接利用补集的定义即可求解．【解答】解：U＝{x∈N|x≤5}＝{0，7，2，3，4，5}，2}，则∁U A＝{4，3，5，8}，故选：D．【点评】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2．（5分）已知向量＝（﹣2，6），＝（1，x），若与反向，则•（3+）＝（）A．﹣30B．30C．﹣100D．100【分析】利用向量共线，求解x，然后求解向量的数量积即可．【解答】解：向量＝（﹣2，＝（1，与反向，可得x＝﹣3，所以•（3+，6）•（﹣8．故选：D．【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量共线，是基础题．3．（5分）某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，125人选《水浒传》，125人选《西游记》，若采用分层抽样的方法随机抽取40名学生分享他们的读后感，则选《西游记》的学生抽取的人数为（）A．5B．10C．12D．15【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可．【解答】解：根据分层抽样的定义可得选《西游记》的学生抽取的人数为×125＝10，故选：B．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．4．（5分）曲线y＝（x﹣3）e x在x＝0处的切线方程为（）A．2x+y+3＝0B．2x+y﹣3＝0C．2x﹣y+3＝0D．2x﹣y﹣3＝0【分析】求得y＝（x﹣3）e x的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的斜截式方程，可得所求切线的方程．【解答】解：y＝（x﹣3）e x的导数为y′＝（x﹣2）e x，曲线y＝（x﹣5）e x在x＝0处的切线的斜率为﹣2，切点（7，﹣3），则切线的方程为y＝﹣2x﹣4，即2x+y+3＝6．故选：A．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．（5分）某商场有三层楼，最初规划一层为生活用品区，二层为服装区，招商工作结束后，共有100家商家人驻，若从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为（）生活用品店服装店餐饮店一层2573二层4274三层6123 A．0.75B．0.6C．0.4D．0.25【分析】求出与最初规划不一致的商家数，由古典概型的概率公式求解即可．【解答】解：100家商铺中与最初规划一致的有25+27+23＝75家，故不一致的有100﹣75＝25家，所以从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为．故选：D．【点评】本题考查了古典概型问题的求解，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．6．（5分）（x2﹣x）（1+x）6的展开式中x3项的系数为（）A．﹣9B．9C．﹣21D．21【分析】先求（1+x）6展开式的通项T r+1＝，结合多项式的项的特点可求．【解答】解：因为根据（1+x）6展开式的通项T r+5＝，所以（x2﹣x）（8+x）6的展开式中x3项为＝﹣7x3，所以含x3项的系数﹣4．故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式中指定项的系数，利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．7．（5分）如图所示，正四棱台的下底面与半球的底面重合，上底面四个顶点均在半球的球面上，则半球的体积为（）A．B．C．πD．【分析】利用已知条件求出取得半径，然后求解体积即可．【解答】解：连接上底面中心G与球的球心O，连接AO，R＝＝，所以外接球的体积为：＝＝．故选：B．【点评】本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查学生逻辑推理能力以及直观想象的数学素养，是中档题．8．（5分）设双曲线C：的焦距为2c（c＞0），左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|＝a|PF1|，则C的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，1+]D．[1+，+∞）【分析】由已知可得＝，设出P点坐标，结合双曲线的焦半径公式列不等式求解．【解答】解：∵c|PF2|＝a|PF1|，∴＝，∵P在双曲线的右支上，∴可设P的横坐标为x0（x4≥a），由双曲线焦半径公式，可得|PF1|＝a+ex0，|PF8|＝ex0﹣a，则，∴≥a，即，解得≤e≤．又e＞2，∴C的离心率的取值范围是（1]．故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线焦半径公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）若复数z满足（2+i）z+5i＝0，则（）A．z的虚部为﹣2B．＝1+2iC．z在复平面内对应的点位于第二象限D．|z4|＝25【分析】先利用复数的除法运算求出复数z，然后可以复数的定义，共轭复数的定义，复数的几何意义以及复数模定义对四个选项逐一判断即可．【解答】解：因为（2+i）z+5i＝3，所以，故z的虚部为﹣2，故选项A正确；，故选项B错误；z在复平面内对应的点位于第三象限，故选项C错误；|z4|＝|z|4＝|﹣6﹣2i|4＝25，故选项D正确．故选：AD．【点评】本题考查的知识点有：复数的除法运算，复数的定义，共轭复数的定义，复数的几何意义，复数的模，属于基础题．（多选）10．（5分）设a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不同的平面．下列四个命题中（）A．若γ⊥α，α∥β，则γ⊥βB．若β⊥α，γ⊥α，则β∥γC．若a⊥α，a⊥β，则α∥βD．若a⊥α，a⊥b，则b∥α【分析】对于A，由面面垂直的判定定理得γ⊥β；对于B，β与γ相交或平行；对于C，由面面平行的判定定理得α∥β；对于D，b∥α或b⊂α．【解答】解：由a，b是两条不重合的直线，α，β，知：对于A，若γ⊥α，则由面面垂直的判定定理得γ⊥β；对于B，若β⊥α，则β与γ相交或平行；对于C，若a⊥α，则由面面平行的判定定理得α∥β；对于D，若a⊥α，则b∥α或b⊂α．故选：AC．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力等数学核心素养，是中档题．（多选）11．（5分）将函数f（x）＝cos（2x）的图象向左平移，得到函数g（x）的图象，则（）A．g（x）的最小正周期为B．g（x）的图象关于直线x＝对称C．g（x）的图象的一个对称中心为（）D．g（x）在（，0）上单调递增【分析】首先利用平移变换求出函数的g（x）的解析式，进一步利用余弦函数的图象的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：函数f（x）＝cos（2x）的图象向左平移，得到函数g（x）＝cos（6x ﹣，故函数g（x）的最小正周期为，故A错误；对于B：当x＝时，g（，故B正确；对于C：当x＝﹣时，g（﹣，故C错误；对于D：当x时，⊂（﹣π，故函数在该区间上单调递增；故选：BD．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．（多选）12．（5分）已知函数f（x）满足当x∈[0，1）时，f（x），当x∈[1，+∞）时，（x）＝k在[0，+∞）上的根从小到大排列恰好构成一个等差数列（）A．2020B．2020C．2021D．2021+【分析】先求出x∈[1，2）时的解析式，然后求出x∈[2，+∞）时，函数f（x）的周期为2，作出函数f（x）的图象，分k＝0，k＝1，0＜k＜1时，讨论方程的根，分析等差数列的构成即可．【解答】解：当x∈[1，2）时，＝，当x∈[2，+∞）时，＝，故函数f（x）的周期为2，作出函数f（x）的图象如图所示，当k＝2时，方程f（x）＝0的根恰好是1，7，5，成等差数列；当k＝1时，方程f（x）＝5的根恰好是0，2，2，成等差数列；当0＜k＜1时，要使方程f（x）＝k的根成等差数列，设方程的根依次为a，a+6，•，1），则f（a）＝f（a+1），即2﹣a＝，所以．故选：ABC．【点评】本题考查了函数与数列的综合应用，函数图象与性质的运用以及方程的根的运用，解题的关键是确定函数放入周期为2，考查了逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）写出一个奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＞0且其导数f′（x），则f（x）＝（答案不唯一）．【分析】根据题中给出的条件，写出一个符合题意的函数即可．【解答】解：函数为奇函数，当x＞0时，故f（x）＝（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查了函数奇偶性的应用，导函数的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．14．（5分）直线l1：x+ay﹣2＝0（a∈R）与直线l2：平行，则a＝﹣，l1与l2的距离为．【分析】根据题意，由两直线平行的判断方法可得a的值，即可得直线l1的方程，由平行线间距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，直线l2：，即3x﹣4y﹣4＝0，若直线l3与直线l2平行，则有1×（﹣2）＝3a，当a＝﹣时，直线l3：x﹣y﹣3＝0，直线l1与直线l7平行，符合题意，此时两直线间的距离d＝＝，故答案为：﹣，．【点评】本题考查平行线间的距离计算以及两直线平行的判断，注意平行线间距离公式的形式，属于基础题．15．（5分）当0＜x＜时，函数的最大值为﹣4．【分析】直接利用同角三角函数关系式的变换和二次函数的性质的应用求出结果．【解答】解：由于当0＜x＜，所以2＜tan x＜1．所以＝，当tan x＝时，函数f（x）的最大值为﹣4．故答案为：﹣2．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作不垂直于x轴的直线，交抛物线于M，线段MN的中垂线交x轴于R，则＝．【分析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），利用抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+p，再由y12＝2px1，y22＝2p2x，相减得可得直线MN的斜率，根据垂直的关系可得线段MN的中垂线的方程为，令y＝0，得R的横坐标，从而求出|FR|，最后求比值即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x8，y2），则根据抛物线的定义得：|AB|＝x1+x3+p，由y12＝8px1，y26＝2p2x，相减得，y42﹣y25＝2px1﹣2px2，∴k＝＝，则线段MN的中垂线的方程为：y﹣＝﹣）．令y＝3，得R的横坐标为p+，0），∴|FR|＝，则＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的方法，属于中档题．四、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n}满足a n＞0，a n+1＝3a n+4．（Ⅰ）证明：数列{a n+2}为等比数列；（Ⅱ）若a3＝25，求数列{a n﹣n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由已知递推式两边加2，结合等比数列的定义，即可得证；（Ⅱ）运用等比数列的通项公式可得a n，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）证明：由a n+1＝3a n+5，可得a n+1+2＝6（a n+2），则数列{a n+2}是公比为8的等比数列；（Ⅱ）若a3＝25，又a3＝5a2+4，可得a2＝7，由a2＝5a1+4，可得a6＝1，可得a n+2＝（a2+2）•3n﹣8＝3n，则a n＝3n﹣6，a n﹣n＝3n﹣2﹣n，则S n＝（2+32+...+3n）﹣2n﹣（1+5+3+...+n）＝﹣2n﹣＝﹣．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．（12分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，CD＝2，∠CBD＝30°．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求A．【分析】（I）由已知结合余弦定理即可直接求解BD；（II）由已知可得∠CBD＝∠ADB＝30°，然后结合余弦定理即可直接求解．【解答】解：（I）因为AD∥BC，AD＝6，CD＝2，由余弦定理得cos30°＝＝，解得BD＝2；（II）因为AD∥BC，所以∠CBD＝∠ADB＝30°，由余弦定理得AB7＝BD2+AD2﹣7AD•BD cos30°，＝12+36﹣2×＝12，故AB＝2，因为BD＝6，所以∠A＝∠ADB＝30°．【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．19．（12分）小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品（充话费等），详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．表1购买实物商品（元）（0，100）[100，500）[500，1000）积分246概率表2购买虚拟商品（元）（0，20）[20，50）[50，100）[100，200）积分1234概率（Ⅰ）求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；（Ⅱ）求小张一个月积分不低于8分的概率；（Ⅲ）若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X的分布列与数学期望．【分析】（Ⅰ）分别求出小张一个月购买实物商品和虚拟商品的概率，则可得出一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；（Ⅱ）根据条件，分别求出积分不低于8分的两种情况，故可得小张一个月积分不低于8分的概率；（Ⅲ）由条件可得X的所有可能取值，再分别求出对应的概率，即可得出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为+＝，购买虚拟商品不低于100元的概率为，所以所求概率为×＝．（Ⅱ）根据条件，积分不低于7分有两种情况：①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2，2；②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，故小张一个月积分不低于5分的概率为×（6﹣×＝．（Ⅲ）由条件可知X的可能取值为2，4，5，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝P（X＝3）＝＝，即分布列如下：X343P数学期望E（X）＝3×+4×＝．【点评】本题主要考查概率的求法，离散型随机变量的分布列和数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝21＝4，D点在棱CC1上（与端点不重合）．（Ⅰ）试确定D在棱CC1上的位置，使得B1D⊥AD；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面ABD与平面A1BC1所成锐二面角的大小．【分析】（Ⅰ）由BB1⊥AB，AB⊥BC，推出AB⊥平面B1BC，有AB⊥B1D，结合B1D⊥AD，知B1D⊥平面ABD，从而有B1D⊥BD，进一步证得△BCD∽△DC1B1，可求得CD ＝2，从而得解；（Ⅱ）以B为原点建立空间直角坐标系，求得平面ABD和平面A1BC1的法向量与，再由cos＜，＞＝，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由直三棱柱的性质知，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB5∩BC＝B，BB1、BC⊂平面B1BC，∴AB⊥平面B3BC，∵B1D⊂平面B1BC，∴AB⊥B5D，若B1D⊥AD，∵AB∩AD＝A，AB，∴B1D⊥平面ABD，∴B3D⊥BD，∴∠B1DC1+∠BDC＝90°，∵∠B3DC1+∠DB1C4＝90°，∴∠BDC＝∠DB1C1，又∠BCD＝∠B6C1D＝90°，∴△BCD∽△DC1B2，设CD＝x，则C1D＝4﹣x，∴＝，即＝，解得x＝2，∴当D是棱CC1的中点时，B1D⊥AD．（Ⅱ）以B为原点，BC，BB2所在直线分别为x，y，z轴，则B（0，0，6），2，0），7，2），A1（3，2，4），C3（2，0，5），∴＝（0，2，＝（5，0，＝（5，2，＝（7，0，设平面ABD的法向量为＝（x，y，则，即，令x＝5，则y＝0，∴＝（1，2，设平面A1BC1的法向量为＝（a，b，则，即，令c＝﹣1，则a＝2，∴＝（2，2，∴cos＜，＞＝＝＝，故平面ABD与平面A1BC5所成锐二面角的大小为．【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握线面垂直判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M1F2|＝2，△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）＝λ，＝μ，若是，求出这个定值，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a的值，再利用焦距求出c的值，由a，b，c的关系求出b的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x+1），联立直线与椭圆的标准方程，利用向量的坐标表示求出λ，μ，再由韦达定理化简λ+μ，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为△ABF2的周长为8，则有7a＝8，因为|F1F8|＝2，所以2c＝2，所以b2＝a2﹣c5＝22﹣22＝3，故椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）由题意可得，直线l的斜率存在，由，消去y可得2）x6+8k2x+4k2﹣12＝0，设A（x7，y1），B（x2，y4），则，设M（4，k）1（﹣1，2），所以，故，同理，，则，故＝＝＝＝＝，所以λ+μ是定值．【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22．（12分）已知函数，g（x）＝m cos x﹣x，m＞0．（Ⅰ）讨论函数f（x）在（﹣π，0）∪（0，π）上的单调性；（Ⅱ）若方程mf（x）＝g（x）在区间（0，），求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，利用导数与单调性的关系即可求解；（Ⅱ）由题意可得F（x）＝x2﹣mx cos x+m sin x在（0，）上有且只有一个零点，对F （x）求导，再对m分类讨论，利用导数求出F（x）的单调性，从而可得F（x）有且只有一个零点时m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝，令h（x）＝x cos x﹣sin x，h′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x，当x∈（﹣π，0）时，h（x）单调递减，π）时，h（x）单调递减，所以当x∈（﹣π，8）时，当x∈（0，h（x）＜h（0）＝0，所以当x∈（﹣π，6）时，当x∈（0，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣π，4）上单调递增，π）上单调递减．（Ⅱ）由题意得＝m cos x﹣x2﹣mx cos x+m sin x＝0在区间（3，）上有且只有一个实数根，令F（x）＝x8﹣mx cos x+m sin x，则F（x）在（0，，F′（x）＝2x﹣m cos x+mx sin x+m cos x＝2x+mx sin x＝x（3+m sin x），①当0＜m≤2时，﹣8＜m sin x≤2，F（x）在（0，，F（x）＞F（0）＝0，所以F（x）在（4，；当m＞3时，令F′（x）＝0∈（﹣8，所以存在唯一x0∈（0，），使F′（x）＝0，当x∈（5，x0）时，F′（x）＞0，当x∈（x7，）时，F（x）单调递减，因为F（0）＝2，F（﹣m，当F（）≥0时时，F（x）＞3在（0，，F（x）在（0，，不符合题意；当F（）＜7时时，F（x）在（0，，符合题意．综上，m的取值范围是（．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，方程的根与函数零点的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．。
2021年河北省邢台市、邯郸市中考数学大联考试卷(二)(解析版)
2021年河北省邢台市、邯郸市中考数学大联考试卷（二）一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．近似数3.20精确的数位是（）A．十分位B．百分位C．千分位D．十位2．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．若﹣a＞|﹣3|，则a的值可以是（）A．﹣4B．﹣2C．2D．44．如图，∠MON的度数可能是（）A．50°B．60°C．70°D．120°5．表示的意义是（）A．B．C．D．6．墨迹覆盖了“计算”＝”中的右边计算结果，则覆盖的是（）A．a2B．﹣a2C．a D．﹣a7．用图1所示的平面图形可以围成图2所示的正方体，则与A点重合的点是（）A．点B B．点C C．点D D．点E8．如图，点A（1，n）在双曲线上，点A'从点A开始，沿双曲线向右滑动，则在滑动过程中，OA'的长（）A．增大B．减小C．先增大，再减小D．先减小，再增大9．如图，四边形ABCD为菱形，若CE为边AB的垂直平分线，则∠ADB的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°10．有三个角是直角的四边形是矩形，已知：如图，∠A＝∠B＝∠C＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°，∴AD∥BC，AB∥DC（①），∵∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形（②），在证明过程中，依据①、②分别表示（）A．①表示两直线平行，同旁内角互补；②表示对角线相等的平行四边形是矩形B．①表示两直线平行，同旁内角互补；②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形C．①表示同旁内角互补，两直线平行；②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形D．①表示同旁内角互补，两直线平行；②表示对角线相等的平行四边形是矩形11．点D、点E分别是△ABC边AB、AC（AB＞AC）的中点，沿直线DE将△ABC折叠若点A的对应点为A'，则（）A．A'点落在△ABC内B．A'点落在△ABC外C．A'点落在BC边上，且A'B＞A'CD．A'点落在BC边所在的直线上，且A'B＞A'C12．已知：直线AB及AB外一点P．如图求作：经过点P，且垂直AB的直线，作法：①以点P为圆心，适当的长为半径画弧，交直线AB于点C，D．②分别以点C、D为圆心，适当的长为半径，在直线AB的另一侧画弧，两弧交于点Q．③过点P、Q作直线．直线PQ即为所求．在作法过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（）A．这两个适当的长相等B．①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离C．②中“适当的长”指大于线段CD的长D．②中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离13．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率，如图，则n的值是（）A．4B．5C．6D．814．如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，M是BC的中点，设AM＝a，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）标有四段中的（）A．段①B．段②C．段③D．段④15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M是△ABC内一点，连接BM交AD于点N，已知∠AMB＝108°，若点M是△CAN的内心，则∠BAC的度数为（）A．36°B．48°C．60°D．72°16．对于题目，“线段与抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）有唯一公共点，确定a的取值范围”．甲的结果是，乙的结果是，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17小题4分，18～19小题各2个空，每空2分）17．若＝20，则a＝．18．已知a2+ab＝0，b2﹣3ab＝4．（1）3ab﹣b2＝；（2）a﹣b＝．19．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABDE 的方法证明了勾股定理（如图），连接DM并延长交AB于点N，已知AB＝10，BC＝6，（1）CM＝；（2）BN＝．三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．嘉淇准备完成题目：计算：27×（﹣）﹣□÷3+（﹣3）2.发现有一个数“□”印刷不清楚．（1）他把“□”猜成18，请你计算：27×（﹣）﹣18÷3+（﹣3）2；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是﹣32．”通过计算说明原题中“□”是几？21．发现：把一个两位数的十位上数字与个数上的数字交换得到一个新的两位数，新的两位数与原两位数的差是9的倍数；验证：①51﹣15＝9×．②设这个两位数十位上数字为a，个位上数字为b，且a+b≠9，说明新的两位数与原两位数的差是9的倍数；延伸：判断新的两位数与原两位数的和是否是9的倍数，并说明理由．22．某篮球队，全员进行定点投篮训练，每人投五次，训练结束后，发现命中的结果只有2次、3次、4次、5次，并把结果制成了如图1，图2所示不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）“命中4次”所在扇形的圆心角是；请补充完整条形统计图；（2）若有一名队员新加入篮球队，经过五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现平均数变小，求此队员命中结果的最大值；（3）若有n名队员加入篮球队，经过五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现中位数发生了变化，求n的最小值．23．如图，点C在长为6的线段BE上，以C点为圆心，分别以CB、CE为半径在BE的上方作圆心角均为钝角且相等的扇形BCD、扇形ACE．（1）求证：△ACB≌△ECD；（2）已知BC＝2CE，若AD是扇形ACE所在圆的切线，①求的长；②求阴影部分的面积．（注：结果不求近似值）24．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，a），B（a+2，a），其中a＞0，直线y＝kx﹣2与y轴相交于C点．（1）已知a＝2，①求S△ABC；②若点A和点B在直线y＝kx﹣2的两侧，求k的取值范围；（2）当k＝2时，若直线y＝kx﹣2与线段AB的交点为D点（不与A点、B点重合），且AD＜3，求a的取值范围．25．某农场计划种植一种新型农作物，经过调查发现，种植x亩的总成本y（万元）由三部分组成，分别是农机成本，管理成本，其他成本；其中农机成本固定不变为100万元，管理成本（万元）与x成正比例，其他成本（万元）与x的平方成正比例，在生产过程中，获得如下数据：x（单位：亩）1030y（单位：万元）160340（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知每亩的平均成本为11.5万元，求农场计划种植新型农作物的亩数是多少？（3）设每亩的收益为Q（万元）且有Q＝kx+b（k、b均为常数），已知当x＝50时，Q 为12.5万元，且此时农场总利润最大，求k、b的值．【注：总利润＝总收益﹣总成本】26．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠BCD＝120°，把边BC绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）、得到线段BC'，连接CC'，DC'．（1）求平行线AD与BC之间的距离以及C'D的最小值；（2）若BC'交直线AD于E，∠C'BA＝30°，则AE＝；（3）若CC'⊥DC′于点C'，求cos∠CDC'的值．参考答案一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．近似数3.20精确的数位是（）A．十分位B．百分位C．千分位D．十位【分析】根据近似数的精确度求解．解：近似数3.20精确到百分位．故选：B．2．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A．不是中心对称图形，故本选项符合题意；B．是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．3．若﹣a＞|﹣3|，则a的值可以是（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】根据绝对值性质解答即可．解：∵﹣a＞|﹣3|，∴﹣a＞3∴a＜﹣3，在A、B、C、D选项中，比﹣3小的只有﹣4，故选：A．4．如图，∠MON的度数可能是（）A．50°B．60°C．70°D．120°【分析】根据量角器的用法将量角器移至正确位置即可判定求解．解：由量角器的位置可判断ON与70°的刻度线接近平行，∴将量角器右移，使点O与量角器的中心点位置重合时，ON与70°刻度线接近重合，∴∠MON是70°，故选：C．5．表示的意义是（）A．B．C．D．【分析】根据乘方的意义即可得出结果．解：∵表示3个（﹣）相乘，∴表示的意义是（﹣）×（﹣）×（﹣），故选：A．6．墨迹覆盖了“计算”＝”中的右边计算结果，则覆盖的是（）A．a2B．﹣a2C．a D．﹣a【分析】将除法转化为乘法，然后进行约分计算．解：原式＝＝﹣a，故选：D．7．用图1所示的平面图形可以围成图2所示的正方体，则与A点重合的点是（）A．点B B．点C C．点D D．点E【分析】根据正方体的平面展开图与正方形的关系，正确找到与A点重合的点即可．解：将图1所示的平面图形可以围成图2所示的正方体，则与A点重合的点是点B．故选：A．8．如图，点A（1，n）在双曲线上，点A'从点A开始，沿双曲线向右滑动，则在滑动过程中，OA'的长（）A．增大B．减小C．先增大，再减小D．先减小，再增大【分析】先求出双曲线与直线y＝x的交点坐标，然后结合图象可判断OA′的长度随x的变换情况．解：把A（1，n）代入y＝得n＝3，则A（1，3），∵双曲线关于直线y＝x对称，与直线y＝x的交点坐标为（，），∴当1≤x＜时，OA′的长减小，当x≥时，OA'的长增大．故选：D．9．如图，四边形ABCD为菱形，若CE为边AB的垂直平分线，则∠ADB的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°【分析】连接AC，根据菱形的性质和线段垂直平分线的性质可得△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝60°，进而可得∠ADB的度数．解：如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD，∵CE为边AB的垂直平分线，∴AC＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝30°，故选：C．10．有三个角是直角的四边形是矩形，已知：如图，∠A＝∠B＝∠C＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°，∴AD∥BC，AB∥DC（①），∵∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形（②），在证明过程中，依据①、②分别表示（）A．①表示两直线平行，同旁内角互补；②表示对角线相等的平行四边形是矩形B．①表示两直线平行，同旁内角互补；②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形C．①表示同旁内角互补，两直线平行；②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形D．①表示同旁内角互补，两直线平行；②表示对角线相等的平行四边形是矩形【分析】根据矩形的判定解答即可．解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°，∴AD∥BC，AB∥DC（同旁内角互补，两直线平行），∵∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故选：C．11．点D、点E分别是△ABC边AB、AC（AB＞AC）的中点，沿直线DE将△ABC折叠若点A的对应点为A'，则（）A．A'点落在△ABC内B．A'点落在△ABC外C．A'点落在BC边上，且A'B＞A'CD．A'点落在BC边所在的直线上，且A'B＞A'C【分析】由三角形中位线定理可得DE∥BC，AD＝AB，可证△ADE∽△ABC，可得＝＝2，由折叠的性质可得点A到DE的距离＝点A'到DE的距离，A'B'＝AB，A'C'＝AC，即可求解．解：∵点D、点E分别是△ABC边AB、AC（AB＞AC）的中点，∴DE∥BC，AD＝AB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝2，∵沿直线DE将△ABC折叠若点A的对应点为A'，∴点A到DE的距离＝点A'到DE的距离，A'B'＝AB，A'C'＝AC∴点A'在直线BC上，A'B'＞A'C'，故选：D．12．已知：直线AB及AB外一点P．如图求作：经过点P，且垂直AB的直线，作法：①以点P为圆心，适当的长为半径画弧，交直线AB于点C，D．②分别以点C、D为圆心，适当的长为半径，在直线AB的另一侧画弧，两弧交于点Q．③过点P、Q作直线．直线PQ即为所求．在作法过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（）A．这两个适当的长相等B．①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离C．②中“适当的长”指大于线段CD的长D．②中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离【分析】利用基本作图进行判断．解：①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离；②中“适当的长”指大于线段CD 的长的一半．故选：B．13．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率，如图，则n的值是（）A．4B．5C．6D．8【分析】利用频率估计概率，由概率列方程求解即可．解：由频率分布图可知，当实验的次数逐渐增大时，摸到蓝球的频率越稳定在0.6附近，因此摸到蓝球的概率为0.6，所以有＝0.6，解得n＝6，经检验，n＝6是原方程的解，因此蓝球有6个，故选：C．14．如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，M是BC的中点，设AM＝a，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）标有四段中的（）A．段①B．段②C．段③D．段④【分析】过点A作AH⊥BC交CB延长线于点H，可求AH＝，HB＝1，BM＝1，在Rt△AHM中，求得AM＝，再估算出2.6＜＜2.7，即可求解．解：∵四边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝120°，∵边长为2，M是BC的中点，∴AB＝2，BM＝1，过点A作A、HA⊥BC交CB延长线于点H，∴∠ABH＝60°，∴AH＝，HB＝1，∴HM＝2，在Rt△AHM中，AM＝＝＝，∵2.6＜＜2.7．故选：A．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M是△ABC内一点，连接BM交AD于点N，已知∠AMB＝108°，若点M是△CAN的内心，则∠BAC的度数为（）A．36°B．48°C．60°D．72°【分析】过点M作ME⊥AD于点E，根据已知条件可得△ABC是等腰三角形，AD是BC 边的中垂线，证明ME∥BC，可得∠NME＝∠NBD，由点M是△CAN的内心，可得点M 在∠NAC和∠ANC的角平分线上，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，所以∠BAC＝4x，∠NBD ＝∠NCD＝∠NME＝y，∠ENM＝∠CNM＝2y，然后利用∠AMB＝108°，列出方程组，求解即可得结论．解：如图，过点M作ME⊥AD于点E，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，∴NB＝NC，∠BAD＝∠CAD，∴∠NBD＝∠NCD，∵ME⊥AD，AD⊥BC，∴ME∥BC，∴∠NME＝∠NBD，∵点M是△CAN的内心，∴点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，∴∠NAM＝∠CAM，∠ANM＝∠CNM，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，∴∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∴∠ENM＝∠CNM＝∠NBC+∠NCB＝2y，∵∠AMB＝108°，∴∠AME＝∠AMB﹣EMN＝108°﹣y，在Rt△AEM中，∠EAM+∠AME＝90°，∴x+108°﹣y＝90°，∴y﹣x＝18°，在Rt△ANM中，∠NAM+∠ANM＝180°﹣108°，∴x+2y＝72°，，解得，∴∠BAC＝4x＝48°．故选：B．16．对于题目，“线段与抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）有唯一公共点，确定a的取值范围”．甲的结果是，乙的结果是，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【分析】分类讨论a＞0，a＜0两种情况，通过数形结合方法，列不等式求解．解：如图，点A坐标为（﹣1，3），点B坐标为（3，0），①a＞0时，抛物线开口向上，经过定点（0，0），抛物线与直线x＝﹣1交点坐标为C（﹣1，a+2a2），与直线x＝3交点坐标为（3，9a﹣6a2），当点C在点A下方，点D在点B上方时满足题意，即，解得0＜a＜，②a＜0时，抛物线开口向下，经过定点（0，0），当点C与点A重合或在A上方时满足题意，即，解得a≤﹣．综上所述，0＜a＜或a≤﹣．故选：D．二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17小题4分，18～19小题各2个空，每空2分）17．若＝20，则a＝1．【分析】根据算术平方根的定义和零次幂的意义解答即可．解：∵＝20＝1，∴a＝1．故答案为：1．18．已知a2+ab＝0，b2﹣3ab＝4．（1）3ab﹣b2＝﹣4；（2）a﹣b＝±2．【分析】（1）加上一个负括号，然后整体代入；（2）已知两式相加，构成完全平方式，利用直接开平方法求解．解：（1）3ab﹣b2＝﹣（b2﹣3ab）＝﹣4；故答案为：﹣4；（2）∵a2+ab＝0，b2﹣3ab＝4，∴a2+ab+b2﹣3ab＝4．即a2﹣2ab+b2＝4．∴（a﹣b）2＝4．∴a﹣b＝±2．故答案为：±2．19．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABDE 的方法证明了勾股定理（如图），连接DM并延长交AB于点N，已知AB＝10，BC＝6，（1）CM＝2；（2）BN＝．【分析】（1）根据勾股定理得出AC，进而解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．解：（1）由题意可知，四个全等的直角三角形，∴AM＝BC，∵AB＝10，BC＝6，∠ACB＝90°，∴AC＝，∴CM＝AC﹣AM＝AC﹣BC＝8﹣6＝2；故答案为：2；（2）过M作MF⊥AB于F，在△AMF与△ABC中，∠ACB＝∠AFM＝90°，∠MAF＝∠BAC，∴△AMF∽△ABC，∴＝，∴，∴，，设BN为x，则AN为10﹣x，∴，在△NMF和△NDB中，∠NMF＝∠NDB，∠MFN＝∠DBN＝90°，∴△NMF∽△NDB，∴，即，∴x＝，∴BN＝．故答案为：．三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．嘉淇准备完成题目：计算：27×（﹣）﹣□÷3+（﹣3）2.发现有一个数“□”印刷不清楚．（1）他把“□”猜成18，请你计算：27×（﹣）﹣18÷3+（﹣3）2；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是﹣32．”通过计算说明原题中“□”是几？【分析】（1）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题；（2）设原题中“□”为x，从而可以得到方程，然后求解即可．解：（1）27×（﹣）﹣18÷3+（﹣3）2＝27×（﹣）﹣6+9＝﹣45+（﹣6）+9＝﹣42；（2）设原题中“□”为x，则27×（﹣）﹣x÷3+（﹣3）2＝﹣32，解得x＝﹣12，即原题中“□”为﹣12．21．发现：把一个两位数的十位上数字与个数上的数字交换得到一个新的两位数，新的两位数与原两位数的差是9的倍数；验证：①51﹣15＝9×4．②设这个两位数十位上数字为a，个位上数字为b，且a+b≠9，说明新的两位数与原两位数的差是9的倍数；延伸：判断新的两位数与原两位数的和是否是9的倍数，并说明理由．【分析】①根据有理数的减法和乘法运算法则进行计算；②设这个两位数十位上数字为a，个位上数字为b，则这个两位数是10a+b，新两位数为10b+a，然后根据整式的加减运算法则进行分析计算；延伸：设这个两位数十位上数字为a，个位上数字为b，则这个两位数是10a+b，新两位数为10b+a，然后根据整式的加减运算法则进行分析计算．解：①51﹣15＝36＝9×4，故答案为：4；②设这个两位数十位上数字为a，个位上数字为b，新两位数与原两位数的差＝（10a+b）﹣（10b+a）＝9（b﹣a），∵a，b均为整数，∴b﹣a是整数，∴新的两位数与原两位数的差是9的倍数．延伸：不是9的倍数，理由如下：∵一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，∴这个两位数是10a+b；∵若把这两位数十位上的数字与个位上的数字颠倒位置，得到一个新的两位数为10b+a，∴新两位数与原两位数的和＝（10a+b）+（10b+a）＝11（a+b），∵a+b≠9，∴新的两位数与原两位数的和不是9的倍数，是11的倍数．22．某篮球队，全员进行定点投篮训练，每人投五次，训练结束后，发现命中的结果只有2次、3次、4次、5次，并把结果制成了如图1，图2所示不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）“命中4次”所在扇形的圆心角是135°；请补充完整条形统计图；（2）若有一名队员新加入篮球队，经过五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现平均数变小，求此队员命中结果的最大值；（3）若有n名队员加入篮球队，经过五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现中位数发生了变化，求n的最小值．【分析】（1）根据频率＝求出样本容量，再求出命中“4次”所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，求出命中“5次”的人数即可补全条形统计图；（2）求出原命中结果的平均数，再根据加入1名新队员，其平均数变小了，得出此时命中结果的最大值；（3）利用中位数的意义，得出n的值即可．解：（1）调查人数为：10÷25%＝40（人），“命中4次”所对应的圆心角度数为360°×＝135°，“命中5次”的人数为40﹣10﹣12﹣15＝3（人），故答案为：135°，补全条形统计图如下：（2）原命中结果的平均数为＝3.275，∵一名队员新加入篮球队，结果五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现平均数变小了，∴此队员命中结果的最大值为3；（3）若n名队员加入篮球队，命中结果均为3，此时中位数不会变化，若n名队员加入篮球队，命中结果均大于3，当中位数为＝3.5时，n的值为4，当命中结果为其它情况时，n的值均大于4，所以n的最小值为4．23．如图，点C在长为6的线段BE上，以C点为圆心，分别以CB、CE为半径在BE的上方作圆心角均为钝角且相等的扇形BCD、扇形ACE．（1）求证：△ACB≌△ECD；（2）已知BC＝2CE，若AD是扇形ACE所在圆的切线，①求的长；②求阴影部分的面积．（注：结果不求近似值）【分析】（1）根据题意得到∠BCA＝∠DCE，利用SAS定理证明△ACB≌△ECD；（2）①根据切线的性质得到∠CAD＝90°，根据正弦的定义求出∠ADC＝30°，根据弧长公式计算，得到答案；②过点A作AF⊥BC于F，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵∠BCD＝∠ACE，∴∠BCD﹣∠ACD＝∠ACE﹣∠ACD，即∠BCA＝∠DCE，在△ACB和△ECD中，，∴△ACB≌△ECD（SAS）；（2）解：①∵BC＝2CE，BE＝6，∴CE＝2，BC＝4，∵AD是扇形ACE所在圆的切线，∴∠CAD＝90°，∴sin∠ADC＝＝，∴∠ADC＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACE＝120°，∴的长＝＝π；②过点A作AF⊥BC于F，∵AC＝2，∠ACB＝60°，∴AF＝AC•sin∠ACF＝2×＝，∴阴影部分的面积＝﹣×4×﹣＝π﹣2．24．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，a），B（a+2，a），其中a＞0，直线y＝kx﹣2与y轴相交于C点．（1）已知a＝2，①求S△ABC；②若点A和点B在直线y＝kx﹣2的两侧，求k的取值范围；（2）当k＝2时，若直线y＝kx﹣2与线段AB的交点为D点（不与A点、B点重合），且AD＜3，求a的取值范围．【分析】（1）①把a＝2代入，先求解A，B的坐标及AB的长，再求解C的坐标，利用面积公式求解三角形的面积即可；②分别求解y＝kx﹣2过A，B时，k的值，从而可得答案；（2）先求解直线AB的解析式为：y＝a，DC的解析式为直线y＝2x﹣2，再求解D的坐标及AD的长，再利用D在线段AB上，AD＜3列不等式组即可得到答案．解：（1）①∵a＝2，∴A（2，2），B（4，2），∴AB＝2，∵直线y＝kx﹣2与y轴相交于C点，∴C（0，﹣2），如图，∴S△ABC＝AB×（2+2）＝×2×4＝4．②当直线y＝kx﹣2经过点A（2，2）时，2k﹣2＝2，解得k＝2，当直线y＝kx﹣2经过点B（4，2）时，4k﹣2＝2，解得k＝1，∴点A和点B在直线y＝kx﹣2的两侧时，1＜k＜2．（2）直线AB的解析式为：y＝a，当k＝2时，直线y＝2x﹣2，∴2x﹣2＝a，即x＝，∴D（，a），∴2＜＜a+2，解得a＞2，又∵AD＝，解得a＜8，所以a的取值范围为2＜a＜8．25．某农场计划种植一种新型农作物，经过调查发现，种植x亩的总成本y（万元）由三部分组成，分别是农机成本，管理成本，其他成本；其中农机成本固定不变为100万元，管理成本（万元）与x成正比例，其他成本（万元）与x的平方成正比例，在生产过程中，获得如下数据：x（单位：亩）1030y（单位：万元）160340（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知每亩的平均成本为11.5万元，求农场计划种植新型农作物的亩数是多少？（3）设每亩的收益为Q（万元）且有Q＝kx+b（k、b均为常数），已知当x＝50时，Q 为12.5万元，且此时农场总利润最大，求k、b的值．【注：总利润＝总收益﹣总成本】【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式；（2）根据题意列出方程11.5x＝0.1x2+5x+100，解之可得答案；（3）设销售总利润为W，根据销售利润＝总收益﹣总成本列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其即可．解：（1）设y＝ax2+bx+100，把（10，160）、（30，340）代入得，，解得，∴y＝0.1x2+5x+100；（2）由题意得，11.5x＝0.1x2+5x+100，解得x1＝25，x2＝40，答：农场计划种植新型农作物的亩数是25亩或40亩；（3）设总收益为W元，则W＝x（kx+b）﹣（0.1x2+5x+100）＝（k﹣0.1）x2+（b﹣5）x ﹣100，当x＝﹣时，W有最大值，即﹣＝50，∵x＝50时，Q＝12，5＝50k+b，解得k＝0.05，b＝10．26．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠BCD＝120°，把边BC绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）、得到线段BC'，连接CC'，DC'．（1）求平行线AD与BC之间的距离以及C'D的最小值；（2）若BC'交直线AD于E，∠C'BA＝30°，则AE＝2或1；（3）若CC'⊥DC′于点C'，求cos∠CDC'的值．【分析】（1）连接BD，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，由∠BCD＝120°得∠DCF ＝60°，在Rt△CDF中可求得DF的长，即为平行线AD与BC之间的距离；在Rt△BDF 中可求出BD的长，由于BC′+C′D≥BD，则点C′落在对角线BD上时，C′D的长最小，求出此时C′D的长即可；（2）按点E在边AD上和点E在边DA的延长线上这两种情况分类讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求出AE的长；（3）取CD的中点Q，作QG⊥BC交BC的延长线于点G，连接BQ交CC′于点P，连接C′Q，先证明BQ垂直平分CC′，则PQ是△CDC′的中位线，由勾股定理求出BQ 的长，由相似三角形的性质求出BP的长，即可得到PQ的长，进而求出C′D的长，再求cos∠CDC'的值．解：（1）如图1，连接BD，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则∠F＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，CD＝AB＝2，∵∠BCD＝120°，∴∠DCF＝180°﹣∠BCD＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝1，∵＝tan∠DCF＝tan60°＝，∴DF＝CF＝，∴平行线AD与BC之间的距离为；由旋转得BC′＝BC＝4，∴BF＝4+1＝5，∴BD＝＝＝2，∵BC′+C′D≥BD，∴4+C′D≥2，∴C′D≥，当点C′落在对角线BD上时，C′D的长最小，此时C′D＝，∴C'D的最小值为.（2）如图2，点E在边AD上，∵AB∥CD，∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∵∠C'BA＝30°，∴∠EBC＝60°﹣30°＝30°，∴∠AEB＝∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝2；如图3，点E在边DA的延长线上，∵∠C'BA＝30°，∠EAB＝∠ABC＝60°，∴∠AEB＝90°，∴AE＝AB＝1，综上所述，AE＝2或AE＝1，故答案为：2或1．（3）如图4，取CD的中点Q，作QG⊥BC交BC的延长线于点G，连接BQ交CC′于点P，连接C′Q，∴CC'⊥DC′于点C'，∴∠CC′D＝90°，∴C′Q＝CD＝CQ＝DQ＝1，∵BC′＝BC，∴点Q、点B都在CC′的垂直平分线上，∴BQ垂直平分CC′，∴CP＝C′P，∠BPC＝∠G＝90°，∵∠PBC＝∠GBQ，∴△PBC∽△GBQ，∴；∵∠G＝90°，∠QCG＝60°，∴∠CQG＝30°，∴CG＝CQ＝，∴BG＝4+＝，GQ＝CG•tan60°＝×＝，∴BQ＝＝＝，∴，∴BP＝，∴PQ＝＝，∴C′D＝2PQ＝2×＝，∴cos∠CDC'＝＝＝．。
2021年河北省某校高考数学第二次联考试卷(理科)(全国Ⅱ)
2021年河北省某校高考数学第二次联考试卷（理科）（全国Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合U={0, 1, 2, 3, 4, 5}，A={2, 4, 5}，B={0, 2, 4}，则A∩∁U B=( )A.{5}B.{2, 4}C.{0, 2, 5}D.{0, 2, 4, 5}【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】无【解答】解：∵U={0, 1, 2, 3, 4, 5}，B={0, 2, 4}，∴∁U B={1,3,5}，又A={2, 4, 5}，∴A∩∁U B={5}．故选A．2. 已知sinα>0，cosα<0，则( )A.sin2α>0B.cos2α<0C.tanα2>0 D.sinα2<0【答案】C【考点】三角函数值的符号【解析】无【解答】解：∴sinα>0，cosα<0，∴α为第二象限角，∴α2为第一或第三象限角，∴tanα2>0．故选C．3. 已知复数z=a+(a−1)i(a∈R)，则|z|的最小值为( )A.1 2B.√22C.√32D.1【答案】B【考点】复数的模二次函数的性质【解析】 无【解答】解：因为z =a +(a −1)i ， 所以|z|=√a 2+(a −1)2=√2(a −12)2+12≥√22，所以|z|的最小值为√22． 故选B ．4. 直线y =2x −1被过点(0, 1)和(2, 1)，且半径为√5的圆截得的弦长为( ) A.√1055B.2√1055C.2√1455D.2√1055或2√1455 【答案】B【考点】直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 圆的标准方程【解析】 无【解答】解：过点(0,1)，(2,1)，半径为√5的圆的方程为 (x −1)2+(y +1)2=5或(x −1)2+(y −3)=5， 则圆心到直线y =2x −1的距离为d 1=22=2√55， 或d 2=√2+()2=2√55， 所以弦长为2×√(√5)2−(2√55)2=2√1055．故选B ．5. 已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为( )A.√52B.√53C.√104D.12【答案】C【考点】直线与平面所成的角由三视图还原实物图【解析】无【解答】解：设该四棱锥为P−ABCD，则由题意知，四棱锥P−ABCD满足底面ABCD为矩形，平面PDC丄平面ABCD，且PC=PD=3，AB=4，AD=2．如图，过点P作PE⊥CD，则PE⊥平面ABCD，连接AE，可知∠PAE为直线PA与平面ABCD所成的角，则PE=√PD2−DE2=√5，AE=√AD2+DE2=2√2，所以tan∠PAE=PEAE =√52√2=√104．故选C．6. 已知双曲线的焦点F(c, 0)到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7. 异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10=1×23+0×22+1×21+0×20，9=1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9=1010∧1001=0011，现有运算12∧m= 1100∧n=0001，则m的值为( )A.7B.9C.11D.13【答案】D【考点】进位制【解析】无【解答】解：由12∧m=1100∧n=0001，可得n=1101，1101表示成十进制为13，所以m=13．故选D．8. 已知奇函数f(x)的定义域为R，且满足f(2+x)=f(2−x)，以下关于函数f(x)的说法：①f(x)满足f(8−x)+f(x)=0；②8为f(x)的一个周期；③f(x)=sinπx是满足条件的一个函数；④f(x)有无数个零点．4其中正确说法的个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】D【考点】命题的真假判断与应用函数的周期性奇函数函数的对称性函数的零点【解析】无【解答】解：因为f(2+x)=f(2−x)，所以f(4+x)=f(−x)，因为f(x)是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，所以f(4+x)=−f(x)，所以f(8+x)=−f(x+4)=f(x)，所以8为f(x)的一个周期，故②正确；因为f(8+x)=f(x)，所以f(8−x)=f(−x)=−f(x)，所以f(8−x)+f(x)=0，故①正确；f(x)=sinπx4为奇函数满足f(x)+f(−x)=0，且一条对称轴为直线x=2，故③正确；由f(x)为奇函数且定义域为R知，f(0)=0，又f(x)为周期函数，所以f(x)有无数个零点，故④正确．故选D．9. 已知三棱锥P−ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA=PB=PC，且P，A，B，C都在体积为32π3的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为( )A.2√33B.√3C.3D.2√3【答案】C【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解析】无【解答】解：设球O的半径为R．由球的体积为32π3可得，43πR3=32π3，解得R=2．因为三棱锥P−ABC的高ℎ为1，所以球心O在三棱锥外，如图，设点O1为△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC，在Rt△AO1O中，AO12=OA2−OO12，又OO1=R−ℎ=1，解得AO1=√3．因为△ABC 为等边三角形， 所以AO 1=23AE =23⋅sin 60∘AB =√33AB ， 所以AB =√3AO 1=3． 故选C ．10. 甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n 次由甲掷的概率为P n ，则P 10的值为（ ）A.5111024 B.12C.5131024D.257512【答案】 A【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为416＝14，第n 次由甲掷有两种情况：一是第n −1由甲掷，第n 次由甲掷，概率为14P n−1，二是第n −1次由乙掷，第n 次由甲掷，概率为34(1−P n−1)．推导出数列{P n −12}是以P 1−12＝12为首项，−12为公比的等比数列，由此能求出结果． 【解答】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况， 得点数之和为5的概率为416＝14， 第n 次由甲掷有两种情况：一是第n −1由甲掷，第n 次由甲掷，概率为14P n−1，二是第n −1次由乙掷，第n 次由甲掷，概率为34(1−P n−1)．这两种情况是互斥的，所以P n ＝14P n−1+34(1−P n−1)，即P n ＝−12P n−1+34， 所以P n −12＝−12(P n−1−12)，即数列{P n −12}是以P 1−12＝12为首项，−12为公比的等比数列，所以P n＝12+12(−12)n−1，所以P10＝12+12(−12)9＝5111024．11. 若P(n)表示正整数n的个位数字，a n=P(n2)−P(2n)，数列{a n}的前n项和为S n，则S2021=( )A.−1B.0C.1009D.1011【答案】C【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得a1=−1，a2=0，a3=3，a4=−2，a5=5，a6=4，a7=5，a8=−2，a9=−7，a10=0，a11=−1，a12=0，⋯，所以数列{a n}为周期数列，且周期为10．因为S10=5，所以S2021=5×202+(−1)=1009.故选C.12. 已知函数f(x)=e x ln|x|，a=f(−ln3)，b=f(ln3)，c=f(3e)，d=f(e3)，则a，b，c，d的大小顺序为( )A.a>b>c>dB.d>c>b>aC.c>d>b>aD.c>d>a>b【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性不等式比较两数大小指数函数的单调性与特殊点指数函数单调性的应用【解析】把a，b化简即可得出大小关系，利用函数f(x)=e x在区间(0,+∞)上单调性，可得b，c，d中b最小．构造函数g(x)=x−elnx，利用导数研究函数的单调性可得d，c大小关系．【解答】解：因为a=f(−ln3)=e−ln3ln(ln3)=ln(ln3)3，b=f(ln3)=e ln3ln(ln3)=3ln(ln3)，所以a<b，故排除选项A、D；因为函数f(x)=e x ln|x|在区间(0,+∞)上单调递增，所以b，c，d中b最小．构造函数g(x)=x−elnx，则g′(x)=x−ex，当x ≥e 时，g ′(x )≥0，所以g (x )在区间[e,+∞）上单调递增， 所以g(3)=3−eln3>g (e )=0， 所以3>eln3，即e 3>3e ， 所以d >c .综上所述，d >c >b >a . 故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．若向量a →，b →满足a →=(cos θ, sin θ)(θ∈R)，|b →|=2，则|2a →−b →|的取值范围为________． 【答案】 [0, 4] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 余弦函数的定义域和值域 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设a →与b →的夹角为α，则(2a →−b →)2=4a →2+b →2−4a →⋅b →=8−8cos α． 因为α∈[0,π]，所以0≤8−8cos α≤16， 所以0≤|2a →−b →|≤4. 故答案为：[0,4] .在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为________．【答案】 48【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 3是a 1与a 9的等比中项，则的值为________或（3________2+3________）．【答案】3n,n,n【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD−A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD−A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为________．【答案】②③④【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．【答案】在△ABC中，，由余弦定理得．因为0<∠ABC<π，所以，所以．由知，BC // AD，所以△BCE∽△DAE，所以，所以DE＝2BE．因为BD＝2，所以．所以．【考点】余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．【答案】三位同学恰好选择不同组合共有种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率为：．由题意知η的所有可能取值为0，1，3，3，且η∼B(3,)，所以，，，，所以η的分布列为η2123所以．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD // BC，AB=AD，BC=2AD，P为CF的中点．(1)证明：DP // 平面ABFE；(2)求平面DEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：如图，取BF 的中点Q ，连接PQ ，AQ ．因为P ，Q 为CF ，BF 的中点， 所以PQ // BC ，且PQ =12BC ．又因为AD // BC ，BC =2AD ， 所以PQ // AD ，且PQ =AD ． 所以四边形ADPQ 为平行四边形， 所以DP // AQ ．又AQ ⊂平面ABFE ，DP ⊄平面ABFE ， 所以DP // 平面ABFE ．(2)解：因为平面ABCD ⊥平面BAEF ，平面ABCD ∩平面BAEF =AB ，FB ⊂平面BAEF ， 所以FB ⊥平面ABCD ． 又BC ⊂平面ABCD ， 所以FB ⊥BC ．又AB ⊥FB ，AB ⊥BC ，所以以B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，BF 所在直线为x ，y ．z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设BC =2，则D(1,1,0)，E(1,0,2)，F(0,0,1)，A(1,0,0)， FD →=(1,1,−1)，ED →=(0,1,−2)． 设平面DEF 的一个法向量为n →=(x,y,z)， 则{n →⋅FD →=x +y −z =0,n →⋅ED →=x −2z =0,令z =1，得n →=(−1,2,1)．取平面BCF 的一个法向量为m →=BA →=(1,0,0)， 所以cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →||n →|=1×√6=−√66， 所以平面DEF 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为√66． 【考点】直线与平面平行的判定用空间向量求平面间的夹角【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题． (2)答案未提供解析．【解答】(1)证明：如图，取BF 的中点Q ，连接PQ ，AQ ．因为P ，Q 为CF ，BF 的中点， 所以PQ // BC ，且PQ =12BC ．又因为AD // BC ，BC =2AD ， 所以PQ // AD ，且PQ =AD ． 所以四边形ADPQ 为平行四边形， 所以DP // AQ ．又AQ ⊂平面ABFE ，DP ⊄平面ABFE ， 所以DP // 平面ABFE ．(2)解：因为平面ABCD ⊥平面BAEF ，平面ABCD ∩平面BAEF =AB ，FB ⊂平面BAEF ， 所以FB ⊥平面ABCD ． 又BC ⊂平面ABCD ， 所以FB ⊥BC ．又AB ⊥FB ，AB ⊥BC ，所以以B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，BF 所在直线为x ，y ．z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设BC =2，则D(1,1,0)，E(1,0,2)，F(0,0,1)，A(1,0,0)， FD →=(1,1,−1)，ED →=(0,1,−2)． 设平面DEF 的一个法向量为n →=(x,y,z)， 则{n →⋅FD →=x +y −z =0,n →⋅ED →=x −2z =0,令z =1，得n →=(−1,2,1)．取平面BCF 的一个法向量为m →=BA →=(1,0,0)， 所以cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →||n →|=1×√6=−√66， 所以平面DEF 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为√66．已知曲线C 的方程为√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2=4. (1)求曲线C 的离心率；(2)设曲线C 的右焦点为F ，斜率为k 的动直线l 过点F 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，证明：|PF||AB|为定值． 【答案】(1)解：由题意，得√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2=4， 则点(x,y)到点(−1,0)，(1,0)的和是4>2，根据椭圆的定义可知，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆． 设椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ， 则2a =4，2c =2，所以曲线C 的离心率为e =ca =12. (2)证明：设椭圆的短轴长为2b ， 由(1)可知，a =2，c =1， 则b 2=a 2−c 2=3， 所以曲线C 的方程为x 24+y 23=1，且F(1,0).由题意，设动直线l 的方程为y =k (x −1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立{x24+y3=1，y=k(x−1)，化简，得(3+4k2)x2−8k2x+4(k2−3)=0，所以x1+x2=8k23+4x2，x1x2=4(k2−3)3+4k2.设AB的中点为Q(x0,y0)，则x0=x1+x22=4k23+4k2，y0=k(x0−1)=−3k3+4k2.当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为y−−3k3+4k2=−1k(x−4k23+4k2).令y=0，得x=k 23+4k2,所以|PF|=|k 23+4k2−1|=3(1+k2)3+4k2，所以|AB|=√1−x2)2+(y1−y2)2 =√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=12(1+k2)3+4k，所以|PF||AB|=3(1+k2)3+4k223+4k2=14；当k=0时，直线l的方程为y=0，此时，|AB|=2a=4，|PF|=c=1，|PF||AB|=14．综上所述，|PF||AB|为定值，且|PF||AB|=14．【考点】椭圆的离心率椭圆的定义圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】（1）椭圆的定义，判断曲线C为焦点在x轴上的椭圆．求出椭圆的长轴长，焦距长，即可得到曲线C的离心率．（2）设椭圆的短轴长为2b，然后求解椭圆方程，设动直线的方程，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求解AB的中点为Q(x0,y0)，得到线段AB的垂直平分线的方程，利用弦长公式，转化求解比值即可．【解答】(1)解：由题意，得√(x+1)2+y2+√(x−1)2+y2=4，则点(x,y)到点(−1,0)，(1,0)的和是4>2，根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆．设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则2a=4，2c=2，所以曲线C的离心率为e=ca =12.(2)证明：设椭圆的短轴长为2b，由(1)可知，a=2，c=1，则b2=a2−c2=3，所以曲线C的方程为x 24+y23=1，且F(1,0).由题意，设动直线l的方程为y=k(x−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立{x24+y3=1，y=k(x−1)，化简，得(3+4k2)x2−8k2x+4(k2−3)=0，所以x1+x2=8k23+4x2，x1x2=4(k2−3)3+4k2.设AB的中点为Q(x0,y0)，则x0=x1+x22=4k23+4k2，y0=k(x0−1)=−3k3+4k2.当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为y−−3k3+4k2=−1k(x−4k23+4k2).令y=0，得x=k 23+4k2,所以|PF|=|k 23+4k2−1|=3(1+k2)3+4k2，所以|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2 =√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=12(1+k2)3+4k2，所以|PF||AB|=3(1+k2)3+4k212(1+k2)3+4k2=14；当k=0时，直线l的方程为y=0，此时，|AB|=2a=4，|PF|=c=1，|PF||AB|=14．综上所述，|PF||AB|为定值，且|PF||AB|=14．已知函数f(x)=x+a ln x，g(x)=x2e x，a∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a=2时，方程g(x)=mf(x)有两个实根，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0, +∞)，因为f(x)=x+a ln x，a∈R，所以f′(x)=1+ax =x+ax，①当a≥0时，f′(x)>0在区间(0, +∞)上恒成立，函数f(x)的单调递增区间为(0, +∞)；②当a<0时，令f′(x)>0，则x>−a，函数f(x)的单调递增区间为(−a, +∞)；令f′(x)<0，则x<−a，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−a).综上：当a≥0时，函数f(x)的单调递增区间为(0, +∞)，无单调递减区间；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(−a, +∞)，单调递减区间为(−∞,−a).(2)由方程g(x)=mf(x)有两个实根，即关于x的方程x2e x−m(x+2ln x)=0有两个实根，即函数ℎ(x)=x2e x−m(x+2ln x)有两个零点.又ℎ(x)=x2e x−m(x+2ln x)=e x+2ln x−m(x+2ln x)，令t=x+2ln x，由(1)，得t是关于x的单调递增函数，所以只需函数u(t)=e t−mt有两个零点，令u(t)=0，解得1m =te t，令φ(t)=te t ，则φ′(t)=1−te t.易知当t∈(−∞,1)时，φ(t)单调递增；当t∈(1,+∞)时，φ(t)单调递减. 所以当t=1时，φ(t)取得最大值为φ(1)=1e.当t<0时，φ(t)<0；当t>0时，φ(t)>0.又φ(0)=0，所以函数φ(t)=te t的图象如图所示，所以当1m ∈(0,1e)，即m∈(e,+∞)时，函数ℎ(x)有两个零点，所以实数m的取值范围为(e,+∞).【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究与函数零点有关的问题函数的零点与方程根的关系【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）代入a的值，方程g(x)=mf(x)有两个实根，即函数ℎ(x)=x2e x−m(x+2ln x)有两个零点，令t=x+2ln x，只需函数uu(t)=e t−mt有两个零点，令u(t)=0，得1 m =te t，令φ(t)=te t，根据函数的单调性求出m的取值范围即可．【解答】解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0, +∞)，因为f(x)=x+a ln x，a∈R，所以f′(x)=1+ax =x+ax，①当a≥0时，f′(x)>0在区间(0, +∞)上恒成立，函数f(x)的单调递增区间为(0, +∞)；②当a<0时，令f′(x)>0，则x>−a，函数f(x)的单调递增区间为(−a, +∞)；令f′(x)<0，则x<−a，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−a).综上：当a≥0时，函数f(x)的单调递增区间为(0, +∞)，无单调递减区间；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(−a, +∞)，单调递减区间为(−∞,−a).(2)由方程g(x)=mf(x)有两个实根，即关于x的方程x2e x−m(x+2ln x)=0有两个实根，即函数ℎ(x)=x2e x−m(x+2ln x)有两个零点.又ℎ(x)=x2e x−m(x+2ln x)=e x+2ln x−m(x+2ln x)，令t=x+2ln x，由(1)，得t是关于x的单调递增函数，所以只需函数u(t)=e t−mt有两个零点，令u(t)=0，解得1m =te t，令φ(t)=te t ，则φ′(t)=1−te t.易知当t∈(−∞,1)时，φ(t)单调递增；当t∈(1,+∞)时，φ(t)单调递减. 所以当t=1时，φ(t)取得最大值为φ(1)=1e.当t<0时，φ(t)<0；当t>0时，φ(t)>0.又φ(0)=0，所以函数φ(t)=te t的图象如图所示，所以当1m ∈(0,1e)，即m∈(e,+∞)时，函数ℎ(x)有两个零点，所以实数m的取值范围为(e,+∞).（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+2cos α,y =1−2sin α（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos (θ+π4)=√22b(ρ≥0，0≤θ<2π，b ∈R).(1)求曲线C 1的普通方程及曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上存在点P 到曲线C 2的距离为1，求b 的取值范围． 【答案】解：(1)由{x =1+2cos α,y =1−2sin α,（α为参数），消去参数α，得曲线C 1的普通方程为(x −2)2+(y −1)2=4. 由ρcos (θ+π4)=√22b ，得 √22ρcos θ−√22ρsin θ=√22b . 令x =ρcos θ，y =ρsin θ，得x −y =b ，所以曲线C 2的直角坐标方程为x −y −b =0. (2)设P (1+2cos α,1−2sin α),因为点P 到直线x −y −b =0的距离为1， 所以√2=1，化简，得2√2sin (α+π4)−b =±√2①．若关于α的方程①有解，则曲线C 1上存在点P 到曲线C 2的距离为1， 所以b =2√2sin (α+π4)+√2②，或b =2√2sin (α+π4)−√2③，由②，得−√2≤b ≤3√2，由③，得−3√2≤b ≤√2， 所以b 的取值范围为[−3√2,3√2]. 【考点】 圆的参数方程 直线的极坐标方程 点到直线的距离公式 三角函数的最值【解析】（1）把已知参数方程移向平方即可得到普通方程，展开两角差的余弦，结合x =ρcos θ，y =ρsin θ，求得曲线C 2的直角坐标方程；（2）利用点到直线的距离公式求出：2√2sin (α+π6)−b =±√2，从而将问题转化为该方程有解，故b =2√7sin (α+π4)+√2或b =5√2sin (α+π4)−√6，再利用三角函数的最值即可求解. 【解答】解：(1)由{x =1+2cos α,y =1−2sin α,（α为参数），消去参数α，得曲线C 1的普通方程为(x −2)2+(y −1)2=4. 由ρcos (θ+π4)=√22b ，得 √22ρcos θ−√22ρsin θ=√22b . 令x =ρcos θ，y =ρsin θ，得x −y =b ，所以曲线C 2的直角坐标方程为x −y −b =0. (2)设P (1+2cos α,1−2sin α),因为点P 到直线x −y −b =0的距离为1， 所以√2=1，化简，得2√2sin (α+π4)−b =±√2①．若关于α的方程①有解，则曲线C 1上存在点P 到曲线C 2的距离为1， 所以b =2√2sin (α+π4)+√2②，或b =2√2sin (α+π4)−√2③，由②，得−√2≤b ≤3√2，由③，得−3√2≤b ≤√2， 所以b 的取值范围为[−3√2,3√2]. [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|2x −a|+|x +b|，a ，b ∈R ． （1）当a ＝4，b ＝1时，求不等式f(x)≤9的解集；（2）当ab >0时，f(x)的最小值为1，证明：|+|≥．【答案】由题意得f(x)＝|2x −4|+|x +7|，当x ≥2时，原不等式可化为3x −7≤9， 解得x ≤4，故3≤x ≤4当−1≤x <4时，原不等式可化为5−x ≤9， 解得x ≥−7，故−1≤x <2当x <−7时，原不等式可化为−3x +3≤2， 解得x ≥−2，故−2≤x <−7综上，不等式f(x)≤9的解集为[−2．证明：因为≥＝，且ab>0，所以，当且仅当或时等号成立，【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答试卷第21页，总21页。
河北省邯郸市大马堡中学2021年高二数学理联考试卷含解析
河北省邯郸市大马堡中学2021年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A2. 中，，，，则的值是（）A． B． C． D．或参考答案：B略3. 椭圆内一点，过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在的直线方程( )A. B.C. D.参考答案：B略4. 如果数列{}的前n项的和，那么这个数列的通项公式是（）A ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C5. 若椭圆的焦点在x轴上，且离心率e=，则m的值为（）A．B．2 C．﹣D．±参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】通过椭圆的焦点在x轴上，利用离心率，求出m的值．【解答】解：因为椭圆的焦点在x轴上，且离心率e=，所以，解得m=2．故选B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．6. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】程序框图．【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=+++…+，∵S=+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7. 下列图像中有一个是函数的导数的图像，则= （）A． B． C．D．参考答案：B8. 一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为( )A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线参考答案：C【考点】双曲线的定义．【专题】计算题．【分析】设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选C．【点评】本题主要考查双曲线的定义．9.参考答案：D10. 有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底。
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【点睛】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
2．设 为定义在 上的奇函数，当 时， ( 为常数)，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由 可得 ，所以 ，由 为定义在 上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知 在 上单调递增，注意到 ，再利用函数单调性即可解决.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由于 到直线 的距离和等于 中点到此直线距离的二倍，所以只需求 中点到此直线距离的最大值即可。再得到 中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和 中点到此直线距离的最大值的关系可以求出 。再通过裂项的方法求 的前 项和，即可通过不等式来求解 的取值范围.
【详解】
由 ，得 ， .设线段 的中点 ，则 ， 在圆 上， 到直线 的距离之和等于点 到该直线的距离的两倍，点 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆 的圆心 到直线 的距离为 ， ， ， .
.
故选：
【点睛】
本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.
6．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边 、直角边 ，已知以直角边 为直径的半圆的面积之比为 ，记 ，则 （）
A． B． C．1D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据以直角边 为直径的半圆的面积之比求得 ，即 的值，由此求得 和 的值，进而求得所求表达式的值.
【详解】
由于直角边 为直径的半圆的面积之比为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 .
故选：D
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.
7．在平面直角坐标系 中，已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边落在直线 上，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解: ,
故选:A
【点睛】
本题考查复数的除法运算,属于基础题.
4．运行如图所示的程序框图，若输出的 的值为99，则判断框中可以填（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，即可容易求得结果.
【详解】
运行该程序：
第一次， ， ；
第二次， ， ；
第三次， ， ，
…；
第九十八次， ， ；
【详解】
令 ，构造 ，求导得 ，当 时， ；当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，且 时， ， 时， ， ，可画出函数 的图象（见下图），要使函数 有三个不同的零点 （其中 ），则方程 需要有两个不同的根 （其中 ），则 ，解得 或 ，且 ，
若 ，即 ，则 ，则 ，且 ，
故 ，
若 ，即 ，由于 ，故 ，故 不符合题意，舍去.
【详解】
因为 在 上是奇函数.所以 ，解得 ，所以当 时，
，且 时， 单调递增，所以
在 上单调递增，因为 ，
故有 ，解得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.
3． （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析法则求解即可.
河北省邯郸市2021届新高考第二次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数 有三个不同的零点 （其中 ），则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令 ，构造 ，要使函数 有三个不同的零点 （其中 ），则方程 需要有两个不同的根 ，则 ，解得 或 ，结合 的图象，并分 ， 两个情况分类讨论，可求出 的值.
故选A．
【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．
10．若平面向量 ，满足 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.
A．10000立方尺B．11000立方尺
C．12000立方尺D．13000立方尺
【答案】A
【解析】
由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，
则三棱柱的
四棱锥的体积
由三视图可知两个四棱锥大小相等， 立方丈 立方尺．
【解析】
【分析】
利用诱导公式以及二倍角公式，将 化简为关于 的形式，结合终边所在的直线可知 的值，从而可求 的值.
【详解】
因为 ，且 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解 值的两种方法：（1）分别求解出 的值，再求出结果；（2）将 变形为 ，利用 的值求出结果.
8．直线l过抛物线 的焦点且与抛物线交于A，B两点，则 的最小值是
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得 ；再由基本不等式可求得 的最小值．
【详解】
由抛物线标准方程可知p=2
因为直线l过抛物线 的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知
所以
因为 为线段长度，都大于0，由基本不等式可知
第九十九次， ， ，
此时要输出 的值为99.
此时 .
故选：C.
【点睛】
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.
5．在平面直角坐标系 中，已知 是圆 上两个动点，且满足 ，设 到直线 的距离之和的最大值为 ，若数列 的前 项和 恒成立，则实数 的取值范围是（）
，此时
所以选B
【点睛】
本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（）