二次函数的图像(第二课时)
《二次函数的图象(第二课时)》参考教案
26.1.3 二次函数2()y a x h k=-+的图象第一课时教学目标1．知识与技能会作函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们的异同；理解a，c对二次函数图象的影响．能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．了解抛物线y=ax2上下平移规律．2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2＋c的图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会数形结合的思想与方法．.3．情感、态度与价值观进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，体会知识的转化、图象移动的理会，感受到数学数形之间转换的魅力．教学重点难点1．重点作出函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，比较它们的异同，了解它们的性质．2．难点函数y=ax2＋c的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆二次函数y=ax2的图象与性质．从而导人探求函数y=ax2＋c的图象导语二一个长方形的长为x（cm)，宽为12x（cm)，则这个长方形的面积s(cm2）与它的长x (cm）的关系如何？你能作出它的函数图象吗？这个图象与y=ax2的图象有哪些区别？【答案】y=12x2（x>0）它的图象只是抛物线的一部分，而y=x2的图象是一条抛物线.导语三比较函数y=x2与y=x2＋l中的系数有什么异同？猜想它们的图象有何关系？从而引人新课.（二）合作交流解读探究1．二次函数y=ax2+c的图象与性质【做一做】，在同一坐标系中，画出函数y=x2-1和函数y=x2+1的图象．教师在学生做完以后，可提供如下解答过程． 解：先列表x…-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … y=x 2+1 …83-138…然后描点画图，如图26-1-5【想一想】抛物线y=x 2+1，y=x 2， y=x 2-1有哪些相同点和不同点 相同点：①开口方向相同，它们的开口都向上 ②对称轴相同，它们都关于y 轴对称 ③形状大小相同.不同点：顶点的位置不同，抛物线的位置也不同结合【议一议】三个函数的形状相同，从哪些方向可以看出？①用幻灯片展示，将抛物线y=x 2向上平移1个单位后抛物线y=x 2+1完全重合. ②观察两个图象中各5个点的特殊位置，在①的展示上可以看出这5个点可以通过平移重合情况，从而可推断出抛物线y=x 2与y=x 2+1完全重合③从解析式和表格中数据也可以看出以上平移情况，从而可以肯定抛物线y=x 2，y=x 2+1的形状、大小完全相同.【议一议】抛物线y=ax 2与y=ax 2±c 有何联系？【答案】①抛物线y=ax 2±c 的形状与y=ax 2的形状完全相同，只是位置不同.②抛物线y=ax 2c −−−−→向上平移个单位y=ax 2+c. y=ax 2c −−−−→向下平移个单位y=ax 2-c 【练一练】教科书P7练习 【答案】①它们的图象略 ②见下表③抛物线2y=x 2向上平移k(k>0)个单位后抛物线2y=x 2+k 完全重合.（三）应用迁移巩固提高类型之一函数y=ax 2+c 的图象特征与性质的运用例1 抛物线y=ax 2+c 与y=-5x 2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0,3),则其表达式为 y=-5x 2+3 ，它是由抛物线y=-5x 2向上平移 3 个单位得到的.【分析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a 的值，再根据顶点坐标（0，3），可确定c 的值，从而可判断平移方向.解：抛物线y=ax 2+c 与y=-5x 2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a=-5. 又∵其顶点坐标为（0，3）. ∴c=3.∴y=-5x 2+3.它是由抛物线y=5x 2向上平移3个单位得到的.【点评】①解这类题，必须根据二次函数y=ax 2+c 的图象与性质来解.a 确定抛物线的形式及开口方向，c 确定顶点的位置.②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位.（有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长）类型之二求二次函数的解析式例2若抛物线y=ax 2+c 经过点（-1，2），（0，4），求该抛物线的解析式【分析】抛物线经过点（-1，2），（0，4），那么这两点坐标满足函数关系式，故列方程组可求.解：由已知条件得22a (1)c 2a 0c 4⎧-+=⎪⎨+=-⎪⎩，解得a 6c 4=⎧⎨=-⎩∴所求解析式为y=6x 2-4.【点评】二次函数y=ax 2+c 中有两个待定系数a 、c ，故通常需至两足对应值或图象上的两个点的坐标，列方程组可求出a 、c 的值例3 已知抛物线y=ax 2+c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x 2+2.试求a 、c 的值【分析】这里a 、c 值可利用抛物线的特征和平移规律来求出.解：根据题意知，a 3c 22=-⎧⎨-=⎩，解得a 3c 4=-⎧⎨=⎩，【点评】可根据规律直接求出a 、c. （四）总结反思拓展升华【总结】本节所学知识是函数y=ax 2+c 的图象与性质以及抛物线y=ax 2上下平移规律. 所学的思想方法图象法、数形结合的思想.【反思】若将抛物线y=2x 2+3绕其顶点旋转1800，所得抛物线的解析式为y=-2x 2+3 【拓展】若抛物线y=ax 2+c 与y=-2x 2+5关于x 轴对称.求a 、c 的值. 【答案】a=2,c= -5.草图如26-1-6【点评】此类题通常画出草图，利用对称关系求出顶点坐标.进而求出a 、c 的值 （五）当堂检测反馈1.抛物线y=-2x 2-5的开口方向向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标（0，-5）. 【分析】根据抛物线y=ax 2+c 的特征解答即可.2. 抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同，且其顶点坐标为（0，1），则其表达式 为 y=3x 2+1或y=-3x 2+1.解：∵抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同，故a=±3, 又∵其顶点坐标为（0，1），∴c=1. ∴所求抛物线y=3x 2+1或y=-3x 2+1【注意】两抛物线的形状相同时，它们的二次项系数的绝对值相等，故有两种情况3. 抛物线y=-212x +7向下平移 10 个单位后得到抛物线y=-212x -34. 下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是（ D ）A.y=2x 2与y=3x 2B. y=212x +2与y=2x 2+12C.y=2x 2与y=x 2+2D.y=x 2+2与y=-x 2-2， 【分析】根据a 的值相同判断即可5．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（B ）解：根据图象知，只有B中两个函数解析式中系数a 和c 的正、负情况保持一致.故选择B6．若抛物线y=ax 2+c 经过点A(-3,2),B(0,1).求该抛物线的解析式解：由已知得222(3)10a c a c ⎧=-+⎪⎨-=+⎪⎩，解得131a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. ∴所求抛物线的解析式为y=13x 2-1ABD。
26.2二次函数的图象与性质(第2课时)课件(共12张PPT)
为0 。
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C
)
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点
D.形状
4.已知抛物线y=2x2-＜1上有两点(x1,y1 ) ,(x1,y1 ) 且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
5.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并 且离原点1个单位，图像经过点(–1,0)，求该 二次函数解析式。
1.5
1
0.5
y3x2 1
1
2
-0.5
-1
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 y 1x2 2 3
5 4
y
3 y 1 x2 2
3
3 2
的图像
1
x
–5 –4 –3 –2 –1O –1
–2
y 1x2 2
–3
3
–4
–5
12345
y 1 x2 2 3
y 1 x2 3
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图 象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
1
-6 -4 -2
2
4
6
x y=3x2 y=3x2–1
… –1 –0.6
…3
1.08
…2
0.08
（2）二次函数 y=3x²－1 的图 象与二次函数
y=3x²的图象有 什么关系？
-2
-1
–0.3
0
0.3
0.27
0
0.27
–0.73 – 1 –0.73
y 3x2
2
0.6 1 … 1.08 3 … 0.08 2 …
谢谢观赏
You made my day!
九年级下册数学课件(北师版)二次函数的图象与性质 第二课时
数y=-2x2+
1 2
的图象有什么关系?
1.y=3x2- 1 的图象：
2
由y=3x2的图象向下平移
1 个单位得到
2
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0，-
1）
2
y=3x2 y=3x2- 1
2
2. y=-2x2- 1 的图象：
2
由y=-2x2+
1
的图象向下平移1个单位得到.
2
1
y=-2x2+ 2
对称轴：y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而减小，
（2）函数的最值：y最小值=4
随堂练习
1.二次函数y=3x2-
1 2
的图象与二次函数
y=3x2的的开口方向、对称轴、
顶点坐标分别是什么？画图看一看.
2.二次函数y=-2x2-
1 的图象与二次函
最值： 当x=0时，y取得最小值 y最小值=0
归纳
函数y=ax2（a＜0）的图象与性质 图象：
开口方向：__向__下__， 对称轴：__y_轴__. 顶点坐标：__（_0_,_0_）__.
归纳
增减性： x＜0时，y随x的增大而增大 x＞0时，y随x的增大而减小
最值： 当x=0时，y取得最大值 y最大值=0
画出二次函数y=2x2+1的图象
y=2x2+1 y=2x2
二次函数y=2x2+1的图象的开口方向、对称轴、
顶点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有
什么关系？
y=2x2+1的图象：
y=2x2+1 y=2x2
由y=2x2的图象向上平移1
二次函数图象和性质2精品PPT课件
, |a|越大,抛物线的开口就越小.
例2 已知函数 y (m 3)xm22m6是关于x的二次函数． （1）求满足条件的m的值； （2）当m为何值时，它的图象有最低点？此时当x为何 值时，y随x的增大而增大？
解：（1）根据题意得m-3≠0且m2-2m-6=2， 解得m1=-2，m2=4． 所以满足条件的m的值为-2或4；
解 列表
描点和连线：画出图像在y轴右边的部分，再利 用对称性画出y轴左边的部分.
这样我们得到了 y 1 x2
4
y
的图像，如图
o
－4 －2
24
－2
x
－4
三 系数a对图象的影响
问题3在同一坐标系中，画出函数y=-x2,y=-2x2,y 1 x2
2
的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
二 抛物线y=ax2(a<0)的性质
图 顶点
原点, 是图象的最高点．
象 开口 特 征 对称性
开口向下． 关于y轴对称．
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变 量取值的增大而减小，简称为“右降” ；
函 数
增减性
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变 量取值的增大而增大，简称为“左升”.
性 质
也可表示为：x<0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而减小．
2、抛物线y= x2的开口向 上 ，顶点坐标为 （0,0） ，
对称轴为y轴 ，当x=-2时，y4=
；当y=3时，x=± 3
,
当x≤0时，y随x的增大而减少 ；当x＞0时，y随x的增大而增大 .
导入新课
你还记得如何画
y
1 2
x2
的图象吗？
首先列表;
九年级数学上册2.2二次函数的图像(2)课件浙教版.pptx
y 1 x 22 3 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
2
二次函数y=a(x+ m)2+k的图象和性质.
y=a(x+m)2 当k>0时,向上平移
当k<0时,向下平移
y=a(x+ m)2+k
y=a(x+ m)2+k的图象
a＞0时，开口_____, 最 ____ 点是顶点; a＜0时，开口_____, 最 ____ 点是顶点;ຫໍສະໝຸດ 3做一做抛物线
开口方向 对称轴
y =2(x+3)2
y = -3(x-1)2
y = -4(x-3)2
顶点坐标
用描点法在同一直角坐标系中画出下列 函数的图象：
y 1 x 22
2
y 1 x 22 3
2
x
… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 …
y 1 x 22 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
一般地，二次函数y=ax²（ a≠0 ）的图象是一条抛物线； 当a>0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；
抛物线在x轴的上方（除顶点外）。 当a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
抛物线在x轴的下方（除顶点外）
在同一坐标系中作出下列二次函数：
y 1 x2 2
y 1 x 22 y 1 x 22
2
2
x
y y
y
1 2
1 x 2
1 2
x
x2
2 2
2 2
… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
…
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
二次函数图像和性质第二课时
求解二次函数参数a,b,c和变换
参数a
- a的正负性决定了抛物线的开 口方向；
- a的值越大，抛物线越窄，变 化越剧烈；
- a的值越小，抛物线越平缓， 变化越缓和。
参数b,c
- b表示对称轴位置，c表示纵向 位移；
- b,c的正负性和大小决定了抛 物线的位置和位置的变化。
变换操作
- 平移：改变b,c的值，使抛物 线沿坐标轴平移；
2
货币政策
利用二次函数模型研究通货膨胀、货币供给和利率等经济指标的关系。
3
投资和金融
使用二次函数拟合和预测各种金融数据，如收益率、股票价格、区块链价格等。
二次函数技巧和常用小技巧
判断开口方向
- 系数a为正，开口向上； - 系数a为负，开口向下。
判断位置关系
- 当一个二次函数图像位于另 一个二次函数图像上方时， 两者的交点为前者二次函数 的根。
二次函数在信息学中的应用
图像处理
- 图像矫正模型: y = ax² + bx + c - 非线性滤波器: y = $(1 + ax + bx²) / (1 + cx + dx²)$
信号处理
- 带通滤波器: y = ax² / (1 + bx + cx²) - 频率合成模型: y = a cos(2πfx)
求解零点的特殊技巧
- 配方法：将二次函数式通分， 并将 ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + (c - b²/4a) 化为一次 项加完全平方项的形式；
- 模拟除法法：模拟二次函数 根式的格式，用正负分别代 入函数式得到两个零点。
二次函数综合练习及答案解析
§1.2.2 二次函数的图像.2.2 二次函数的图像(2)课件
y a( x-m)
2
y a( x-m)
2
的图象
向上 低 点是顶点; a＞0时，开口________, 最 ____ 向下 高 点是顶点; a＜0时，开口________, 最 ____ 直线x=m 对称轴是 _____________ ， (m,0) 顶点坐标是 __________ 。
一般地，二次函数 y a( x m)2 (a 0)的图象可 y ax2 (a 0) 以 由二次函数 的图象先向右(当m＞0)或 向左(当m＜0)平移│m│个单位得到，顶点是(m,0),对 称轴是直线x=m。
1 2 用描点法在同一直角坐标系中画出函数 y 2 x ，
y 1 1 ( x 2) 2 和 y ( x 2) 2 3 的图象 . 2 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 x
1 2 x 2
2
2 8
3
4.5
4
8
y
12.5 4.5
8 2
4.5 0.5
2 0
0.5 0.5
0 2
(m, k) 顶点坐标是 __________ 。
一般地，二次函数 y a( x m)2 k (a 0) 的图 象可以由二次函数 y ax2 (a 0) 的图象先向右(当 m＞0)或向左(当m＜0)平移│m│个单位，再向上(当k ＞0)或向下(当k＜0)平移│k│个单位得到，顶点是 (m,k),对称轴是直线x=m。
4.5 0.5 0 0.5 2 2
y
4.54.5 0.5源自4.500.5
2
y
1 ( x 2) 2 2
1 2 x 2
y
1 ( x 2) 2 2
y
y 1 ( x 2) 2 2
二次函数的图像与性质第二课时说课课件
讲授新课：逐步深入，化解难点
引入二次函数的定义和一般形式，解释 二次函数系数对图像的影响。
通过图像展示二次函数的开口方向、对 称轴和顶点等性质，帮助学生形成直观
认识。
详细讲解二次函数的最大值和最小值问 题，引导学生理解最值的求解方法和实
际意义。
巩固练习：针对训练，提高能力
提供多种类型的练习题，包括求解析 式、判断图像形状、求最值等，让学 生全面巩固所学知识。
课后拓展延伸建议
深入研究
选择一个具体的二次函数 ，深入研究其图像和性质 ，并撰写研究报告；
拓展应用
尝试将二次函数应用于实 际问题中，例如解决最优 化问题；
自主探索
探索二次函数与其他数学 知识点的联系，例如与三 角函数、数列等的结合。
个性化辅导策略
针对学生的不同兴趣点，提供与二次函数相关的趣味 数学题目或数学史话等阅读材料，激发学生的学习兴 趣；
知识点梳理与分析
知识点2
二次函数的图像特征
分析
学生需要掌握二次函数的图像是一条抛物线，理解抛物线的开口方向、顶点、对称轴等基本概念，并能够根据函 数的表达式绘制出相应的图像。
知识点梳理与分析
知识点3
二次函数的性质
分析
学生需要深入理解二次函数的性质，包括开口方向（由$a$的正负决定）、顶点坐标（可以通过公式 $-frac{b}{2a},f(-frac{b}{2a})$求得）、对称轴（$x=-frac{b}{2a}$）等。同时，要了解这些性质在实 际问题中的应用。
定期查看学生作业，了解学生对知 识点的掌握情况。
小组讨论表现
评估学生在小组讨论中的贡献，包 括提出问题和解答问题的能力。
结果性评价方法
单元测试
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(三)情感与价值观要求
1．经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
2．初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
过程与方法
情感态度
与价值观
教学目标达成
人人掌握（A）
二次函数;20)2+1．
∴对称轴为x=-20．顶点坐标为(-20，1)．
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1米．
(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20＝40米．
(3)是用配方法求得顶点坐标得到的，也可以直接代入顶点坐标公式中求得
教学内容
教学过程
备注（设计意图或教后记）
二、课堂练习
1、如右图，一边靠校园院墙，另外三
[师]大家看配方以后的形式属于前面我们讨论过的哪一种形式呢?
[生]属于y＝a(x-h)2+k的形式．
[师]在y=a(x-h)2+k的形式中，我们知道对称轴为x＝h顶点坐标为(h，k)．对比一下，y＝ax2+bx+c中的对称轴和顶点坐标是什么呢?
[生甲]对称轴是x＝ ，顶点坐标是( , ).
2、有关桥梁问题
九年级数学导学案
年级
课题
日期
九年级(下)
二次函数y＝ax2+bx+c的图象（第二课时）
2011.11
教学
目标
知识与技能
(一)教学知识点
1．体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性．
2．能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题．
(二)能力训练要求
1．通过解决实际问题，让学生训练把教学知识运用于实践的能力．
例：求二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标．
解：把y＝ax2+bx+c的右边配方，得
y＝ax2+bx+c
=a(x2+ )
=a[x2+2· x+( )2+ ]
=a(x+ )2+ .
解：y=0．0225x2+0．9x+10
=0．0225(x2+40x+ )
二0．0225(x2+40x+400-400+ )
下图所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x2+0．9x+10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称．
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?
(3)你是怎样计算的?与同伴进行交流．
.
分目标：利用配方法把二次函数化成顶点坐标式
教学内容
教学过程
备注（设计意图或教后记）
三．课堂小结
本节课学习了如何用配方法把二次函数的一般形式化成顶点式，并能根据顶点式解决一些问题．
四．课后作业
习题2．5
部分人掌握(B)
通过解决实际问题，让学生训练把教学知识运用于实践的能力
渗透(C)
经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
教材
分析
教学重点
运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题
教学难点
把数学问题与实际问题相联系的过程．
相关链接
二次函数y＝ax2+bx+c的图象（第一课时）
边用50 m长的篱笆，围起一个长
方形场地，设垂直院墙的边长为xm．
(1)写出长方形场地面积y(m2)与x的函数关系式；
(2)画出函数的图象；
(3)求边长为多少时，长方形面积最大，最大是多少?
2、确定下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标．
(1)y=-x2+ ；
（2）y= x2-
学生独立动笔解答后，投影学生作业交流．
教学内容
教学过程
备注（设计意图或教后记）
一、新课探索
1、[师]前几节课我们研究了不同形式的二次函数的图象，形如y=ax2，y＝ax2+c，y＝a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k．并对它们的性质进行了比较．但对于二次函数的一般形式y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)，它是属于上面形式中的哪一种呢?还是另外一种，它的对称轴和顶点坐标是什么呢?下面我们一起来讨论这个问题．