二次函数y=ax+bx+c的图像和性质教案
二次函数图像和性质教学设计【优秀3篇】
二次函数图像和性质教学设计【优秀3篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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关于二次函数的图像与性质的数学教案(9篇)
关于二次函数的图像与性质的数学教案（9篇）二次函数的图像与性质的数学教案篇1【学问与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并依据图象熟悉、理解和把握其性质.2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简洁的实际问题.【过程与方法】经受探究二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象讨论函数的阅历，培育观看、思索、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间沟通争论，到达对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解，把握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步熟悉问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么外形呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思索探究，猎取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互沟通、展现，表扬画得比拟标准的同学.②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和进展趋势.误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。
误区三:无视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延长，而并非到某些点停顿.二次函数的图像与性质的数学教案篇2一学习目标1、把握二次函数的图象及性质；2、会用二次函数的图象与性质解决问题；学习重点：二次函数的性质；学习难点：二次函数的性质与图像的应用；二学问点回忆：函数的性质函数函数图象a0a0性质三典型例题：例 1：已知是二次函数，求m的值例 2：（1）已知函数在区间上为增函数，求a的范围；（2）知函数的单调区间是，求a；例 3：求二次函数在区间[0，3]上的最大值和最小值；变式：（1）已知在[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。
数学人教九上《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》教案
[ ] [ ]= a ( x 2 + x + ) = a ⎢ x 2 + x + ( ) 2 - ( ) 2 + ⎥ = a ( x + ) 2 + 《二次函数y =ax 2+bx +c 的图像和性质》教案教学目标1、了解二次函数图像的特点；2、掌握一半二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与y =ax 2的图像之间的关系；3、会确定函数的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴.教学重点二次函数的图象特征教学难点例题的解题思路与解题技巧.教学过程一、回顾知识.1、二次函数 y = a ( x + m ) 2 + k 的图象和 y = ax 2 的图象之间的关系.2、对于函数 y = - x 2 - 2 x + 1 ，请回答下列问题：(1)对于函数 y = - x 2 - 2 x + 1 的图象可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？(2)函数图象的对称轴、顶点坐标各是什么？思路：把 y = - x 2 - 2 x + 1 化为 y = a ( x + m ) 2 + k 的形式.= - ( x 2 + 2 x - 1) = - ( x 2 + 2 x + 1) - 2 = - ( x + 1) 2 - 2 = -( x - 1) 2 + 2在 y = -( x - 1) 2 + 2 中，m 、k 分别是什么？从而可以确定由什么函数的图象经怎样的 平移得到的？二、探索二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象特征.1、问题：对于二次函数y =ax ²+bx +c (a ≠0 )的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将y =ax ²+bx +c 转化为y = a (x +m )2 +k 的形式？ y = ax 2 + bx + cb c ⎡ b b b c ⎤ b 4ac - b 2 aa ⎣ a 2a 2a a ⎦ 2a 4a由此可见函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与函数 y = ax 2 的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到.2、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象特征.(1)二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0)的图象是一条抛物线；1、例1、求抛物线y=-1b b4ac-b2(2)对称轴是直线x=-，顶点坐标是为(-，)2a2a4a(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点.当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点.三、巩固知识.5x2+3x-的对称轴和顶点坐标.22有由学生自己完成.师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法或者是用顶点坐标公式.2、(补充例题)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(-1，2)，且图象过点(1，-3).(1)求这个二次函数的解析式；(2)求这个二次函数的图象与坐标轴的交点坐标.(此小题供血有余力的学生解答)分析与启发：(1)在已知抛物线的顶点坐标的情况下，将所求的解析式设为什么比较简便？小结1、函数y=ax2+bx+c的图象与函数y=ax2的图象之间的关系.2、函数y=ax2+bx+c的图象在对称轴、顶点坐标等方面的特征.3、函数的解析式类型：一般式：y=ax2+bx+c.顶点式：y=a(x+m)2+k.。
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(教案)
-当a>0时，函数图象开口向上，如y=x^2，图象在x轴上方；
-当a<0时，函数图象开口向下，如y=-x^2，图象在x轴下方；
- b、c的取值会影响图象的平移，如y=x^2+3，图象沿y轴向上平移3个单位；
-通过具体函数如y=x^2-4x+3，演示如何使用顶点公式(-b/2a, c-b^2/4a)求顶点坐标和判别式Δ=b^2-4ac判断与x轴的交点情况。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，它描述了许多自然现象和工程技术问题中的抛物线变化规律。它是数学中的一个重要部分，因为它可以帮助我们解决最值问题、预测物体运动轨迹等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次函数在物理学中的应用，比如计算抛物线运动的最高点和落点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二次函数y=ax^2+bx+c的标准形式及其图象特征，特别是a、b、c的符号对图象形状和位置的影响。
-掌握二次函数的对称性、最值性、顶点坐标和与x轴的交点的判定方法。
-学会运用顶点公式和判别式进行二次函数的图象分析和性质判断。
-能够将实际问题抽象为二次函数模型，并运用二次函数的性质解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的图象特征和性质这两个重点。对于难点部分，如顶点公式的推导和应用，我会通过图象示例和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如物体抛射的最大高度计算。
二次函数y=ax+bx+c的图象和性质
x
··· 3
y 1 x2 6x 21 ··· 7.5
2
y
10
5
4
5
5 3.5
6
7
3 3.5
8
9 ···
5 7.5 ···
y 1 x2 6x 21 2
O
5
10 x
你能把 y = ax 2 + bx + c 改写成 y = a(x - h)2 + k 吗？
用配方法 你知道吗?
y=ax2+bx+c
y 1 x2 4x 3 2
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
x顶
2 23
1 3
y顶
22 43
1 3
顶点坐标为
1 3
,
1 3
对称轴x 1
3当xFra bibliotek1 3
时，y最小值＝-
1 3
（2） y x2 2x
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
x= - b 2a
y最大值=
4ac-b2 4a
定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数 y 1 x2 6x 21
2
也能化成这样的形式吗？
配方可得
y 1 x2 6x 21 2
1 x 62 3
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x 21 2
的顶点是（6，3），对称轴是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
回顾：二次函数y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2 +k(a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴
人教版初三数学教案 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第二十二章 二次函数22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质第1课时 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质学习目标：1.会用配方法或公式法将一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 化成顶点式y =a (x －h )2+k .2.会熟练求出二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴.重点：能够熟练地求出二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴. 难点：会用配方法或公式法将一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 化成顶点式y =a (x －h )2+k .自主学习一、知识链接1.说说函数y =a (x －h )2+k 图象的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减变化情况.2.将下列式子因式分解：（1）a 2+2ab +b 2=____________; (2)a 2-2ab +b 2=____________.课堂探究二、要点探究探究点1：将一般式y =ax 2+bx +c 化成顶点式y =a (x －h )2+k问题 怎样将216212y x x 化成y =a (x －h )2+k 的形式？填一填（1）x 2-12x +36=_____________; （2）x 2-12x =_____________ .想一想（1）请将216212y x x 化成y =a (x －h )2+k 的形式，并说一说配方的方法及步骤；（2）如何用配方法将一般式y =ax 2+bx +c (a ≠0)化成顶点式y =a (x －h )2+k ？练一练将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y =a (x -h )2+k 的形式，并指出其顶点坐标． （1）y =x 2-2x +1； （2）y =2x 2-4x +6．探究点2：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质问题1 你能说出21632y x 的对称轴和顶点坐标吗？问题2 二次函数21632y x 可以看作是由212y x 怎样平移得到的？问题3 如何画二次函数216212y x x =-+的图象？问题4 结合二次函数216212y x x =-+的图象，说出其性质.要点归纳：二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质一般地，二次函数y =ax 2+bx +c 可以通过配方化成y =a (x -h )2+k 的形式，即y =ax 2+bx +c =______________;因此，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标是：______________; 对称轴是：直线______________;如果a >0，当x < _________时，y 随x 的增大而减小；当x > _________时，y 随x 的增大而增大.如果a <0，当x <________时，y 随x 的增大而增大；当x >_________时，y 随x 的增大而减小.例1 画出函数2241y x x =--+的图象，并说明这个函数具有哪些性质.练一练 已知二次函数y ＝x 2﹣6x +5．（1）将y ＝x 2﹣6x +5化成y =a (x -h )2+k 的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．探究点3：二次函数字母系数与图象的关系问题1 一次函数y =kx +b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空.k10，b10；k20，b20；k30，b30.问题2 二次函数2y ax bx c的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空.a10，b10，c10；a20，b20，c20；a30，b30，c30；a40，b40，c40；例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4三、课堂小结二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质顶点式配方法或公式法→224()24b ac by a xa a顶点坐标：24()24b ac ba a，对称轴：2bxa图象与a、b、c的关系a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；b=0，对称轴为y轴；a、b同号，对称轴在y轴的左侧，a、b异号，对称轴在y轴的右侧；c=0，图象经过原点；c＞0，与y轴交于正半轴，c＜0，与y轴交于负半轴.当堂检测1. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的x 、y 的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( )A.y 轴B.直线x =52C.直线x =2 D .直线x =322.已知二次函数y =－x 2＋2bx ＋c ，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是（ ） A ．b ≥－1 B ．b ≤－1 C ．b ≥1 D ．b ≤13.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，则下列结论： (1) a 、b 同号；(2) 当x =－1和x =3时，函数值相等； (3) 4a +b =0；(4) 当y =－2时，x 的值只能取0； 其中正确的是 .4.已知抛物线y =2x 2-12x +13.（1）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？ （2）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小;（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.5.已知二次函数y =x 2-4x -1． （1）将函数y =x 2-4x -1的解析式化为y =a (x +m )2+k 的形式，并指出该函数图象顶点B 的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y =x 2-4x -1与y 轴交点为C ，抛物线的对称轴与x轴交点为A ，求四边形OABC 的面积．x －1 0 1 2 3 y51－1－11。
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2 bx c的图像和性质》教学设计
《二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质》教学设计教材依据人民教育出版社义务教育教科书《数学》（九年级上册）22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质．设计思路一、指导思想新课程标准指出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。
在教学设计时，我以布鲁纳认知发现学习理论的实质——主动的形成认知结构为指导思想，结合新课标“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．”的教育理念，设计了二次函数的图像和性质这节课。
二、设计理念本节课授课班级的学生已经获得的二次函数解析式中待定系数与图象的关系、二次函数图象的性质的基础上学习的，根据学生的认知特点和所学知识的特征，我在教学过程中重点运用我校的三段两重心教学模式：揭示目标，突破目标，检测目标。
使学生经历数学知识的形成与应用过程，以达到促进学生有效学习的目的。
这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设计，将图象与数量结合到一起、将代数与几何结合到一起解决问题，提高学生在动手操作能力、分析问题能力的过程中，养成认真观察、主动思考的习惯，体会数形结合思想在解题中的优势。
从而提高课堂教学的效率。
三、教材分析本节属于《数学课程标准》（2011年）中“数与代数”领域的内容，课标中明确指出要求学生“会用配方法将数字系数的的二次函数的表达式化为y=a(x-h)²+k的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。
”设计本节课是学生在已经学习了二次函数的顶点式的基础上，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为一节课（探究图象及其性质）。
二次函数的图象与性质也是中考内容的重点考察之一。
四、学情分析二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。
22.1.2二次函数的图像和性质(教案)
最后，我意识到在课堂上，对于学生的疑问和困惑，我需要更加耐心和细致地进行解答。有时候，一个简单的解释就能帮助学生跨越理解的障碍。在今后的教学中，我会更加注重与学生的互动，鼓励他们提出问题，并及时给予反馈。
-重点三，利用图示和计算，说明二次函数与x轴的交点即为二次方程的实数根；
-重点四，通过图像和数学推导，让学生理解二次函数最值的含义及其计算方法。
2.教学难点
-理解二次函数图像的对称性，特别是对称轴的概念及其与顶点的关系；
-掌握顶点坐标计算公式的应用，尤其是对于含有绝对值、分式等复杂二次函数的顶点求解；
-学会求解二次函数与坐标轴的交点，理解这些交点与二次方程解的关系；
-掌握二次函数的最值问题，明确当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
举例解释：
-对于重点一，强调a的符号决定了图像的形状，并通过实例展示a的正负对图像的影响；
-重点二，通过具体函数示例，演示如何计算顶点坐标，并解释顶点即为对称轴上的点；
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“22.1.2二次函数的图像和性质”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛高后落地的情况？”（如抛球游戏）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数图像和性质的奥秘。
3.二次函数图像的顶点坐标计算，顶点公式为（-b/2a，4ac-b²/4a）；
4.二次函数图像的对称轴，即x = -b/2a；
人教版九年级上册二次函数y=ax+bx+c的图像和性质
2 ①抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点坐标为（0，c）。
=当-[a(x<+01时)2，-又2]抛=-物(xy-线1)2的+2开口1 向x2下，3顶x点是1抛物线上1的x最2高点6。x 9 9 1
当x< 时，y随x的增2大而减小。 2
2
2
①当抛x<物线y时=a，x²+y随bx+x的c1与增y轴x大的而交3减点小2 坐。标9为（10，c）。1 x 3 2 5
问题引入
对于函数y=-x2-2x+1，请回答下列问题： （1）对于函数y=-x2-2x+1的图象可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？ （2）函数图象的对称轴、顶点坐标各是什么？ 思路：把y=-x2-2x+1化为y=a(x+m)2+k的形式。
y=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-[(x2+2x+1)-2] =-[(x+1)2-2]=-(x-1)2+2
b 3 3
2a
2
1 2
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。
课堂总结
1.二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0) 顶点式：y=a(x+m)2+k。 二次函数的特殊形式： 当b=0时，y=ax2+c 当c=0时，y=ax2+bx 当b=0,c=0时，y=ax2 。
2.y=ax²+bx+c(a≠0 )的b图象
(1)对称轴是直线x= 2a
。
课堂总结
b 4ac - b2
(2)顶点坐标是（ 2a
，
二次函数y=ax +bx+c的图像和性质
22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质(第1课时)教学目标：1．会用配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴；2．能根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标和对称轴公式求函数的顶点坐标和对称轴；3．会画二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象．知道二次函数 y=ax 2+bx+c 与y=a(x-h)2+k 的区别和联系教学重点：根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标和对称轴公式求函数的顶点坐标和对称轴；教学难点：用配方法确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴，顶点坐标 教学过程一、创设情境，引入新课1、二次函数22(3)5y x =--+图象的开口_____，对称轴是____，顶点坐标_______，它可由22y x =-先向_____平移_____个单位，再向_____平移_____个单位。
2、我们知道，像y=a(x-h)2+k 这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为（h,k ）,二次函数y ＝12 x 2－6x ＋21也能化成这样的形式吗？能够画出它们的图象吗？二、学习新课：1、回顾：将下列多项式进行配方 （1）22__)(___10-=+-x x（2）_____)(______)6(136222+-=++-=+-x x x x x （3）222__)(3__)__(312123+=++=++x x x x x2、用配方法将二次函数y ＝12x 2－6x ＋21化为y=a(x-h)2+k 的形式，并画出图象因此，抛物线开口_______，对称轴是直线_________，顶点坐标是（ ）由对称性列表：x …… 3)6(212+-=x y…3、自学检测：1. 根据y ＝12 x 2－6x ＋21 的图象说出函数的变化趋势2.用配方法确定抛物线2241y x x =--+的开口方向、对称轴和顶点坐标开口方向______ 对称轴______ 顶点坐标______4、合作探究：你能用配方法求抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点和对称轴吗？y ＝ax 2＋bx ＋c＝a(_________)＋c ……提取二次项系数＝a[x 2＋_____x ＋_____________]＋c ……括号内配成完全平方＝a[(__________)2－(b2a )2]＋c＝a(__________)2＋_____________......化为y=a(x-h)2+k 的形式归纳：当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下，对称轴是________，顶点坐标是(_____，_____)三、当堂训练1.求下列抛物线的对称轴及顶点坐标(1) y ＝－2x 2＋8x －8 (2) y ＝3x 2＋2x ；2.已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6，把它化成y=a(x-h)2+k 的形式，当_________时，y 随x 的增大而增大；当x ＝_____时，y 有_____值是_________．3. 二次函数y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标是（1，－2），则b ＝________， c ＝_________4．如图，二次函数22y ax bx =-+的大致图象如图所示，则函数y ax b =+的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.已知抛物线y=ax 2+bx+c.在平面直角坐标系 中的位置如图所示，则下列结论正确（ ） A ．0>a B ．0<b C ．0<c D ．0>++c b a四、回顾反思、强化小结五、作业布置。
二次函数y=ax +bx+c的图像和性质
（1）在同一直角坐标系中，分别作出二次函数y=- x2, y=-- x2-1、y=- (x+1)2-1的图象，验证你的结论，并填写下表回答下列问题。
性质
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=- x2
y=-- x2-1
y=- (x+1)2-1
（2）二次函数y=- (x+1)2-1的图象是------它与抛物线y=- x2的形状-------，只是-------不同。将二次函数y=- x2的图象向-------平移--------个单位就得到函数y=-- x2-1的图象，再向---------平移----------个单位就得到函数y=- (x+1)2-1的图象。
培养学生勤于思考、乐于思考、会思考的良好学习习惯。
教学
重点
二次函数图象的平移、二次函数图象的性质、顶点坐标及对称轴的求法。
教学
难点
二次函数图象的平移与解析式变化之间的规律及应用。
教学
准备
多媒体
教学方法
自学探究教（教师适当点拨）
教学
过程
一、组织教学：
二、温故知新：
在y=ax2+k的图象中若k为正数则应把y=ax2的图象向---------平移---------个单位，k为负数呢？
备课教师
授课教师
总课时数
3
本课时数
2
课题名称
二次函数y=ax +bx+c的图像和性质
教材分析
本节课是二次函数y=ax +bx+c的图象和性质第二课时，是在第一节课的基础上继续研究二次函数图象的性质及平移问题，是第三节课必备的知识基础，也是进行二次函数综合练习时的一个重要内容。
二次函数图像分析教案
二次函数图像分析教案一、教学目标1.理解二次函数的概念和性质，掌握二次函数的标准式和顶点式以及它们之间的相互转化方法。
2.掌握二次函数的图像基本特征，如顶点、轴、对称轴、开口方向等，并能够应用这些特征作出二次函数的图像。
3.理解二次函数的应用，如关于汽车制造、弹道预测等方面的实际问题，掌握如何应用二次函数解决这些问题。
二、教学内容1.二次函数的基本概念和性质定义：二次函数为y=ax^2+bx+c，其中，a、b、c为已知实数，a≠0，x为自变量，y为因变量。
性质：（1）二次函数的解析式中包含x的二次项。
（2）二次函数图像是否对称是由a的正负决定的，即当a＞0时，图像开口向上，称为“正二次函数”，对应的图像是单调上升的，并且含有最小值；当a＜0时，图像开口向下，称为“负二次函数”，对应的图像是单调下降的，并且含有最大值。
（3）若二次函数的标准式为y=ax^2+bx+c，则其顶点坐标是(-b/2a，c-b^2/4a)；若二次函数的顶点式为y=a(x-h)^2+k，则其顶点坐标是(h，k)。
（4）二次函数经过零点(也称为根)的情况要看它的判别式b^2-4ac的正负性：当b^2-4ac＞0时，函数经过两个零点；当b^2-4ac＝0时，函数经过一个零点；当b^2-4ac＜0时，函数不经过零点。
2.二次函数的图像为了更好地帮助学生理解二次函数的图像特征，可以采用以下授课方式：（1）演示绘制二次函数图像的步骤：找出顶点的坐标；在确定对称轴的位置并绘制对称轴；确定开口方向；根据对称轴和顶点的位置，画出整个图像。
（2）比较正二次函数和负二次函数的图像特征：在绘图中，让学生比较两种二次函数的图像，比较它们的顶点、轴、对称轴、开口方向、零点等方面的不同之处。
（3）引导学生通过观察图像来确定二次函数的解析式：出示一些已知的二次函数图像，让学生观察其特征，从中分析出相应的解析式。
3.应用实例（1）汽车制造：二次函数可用于描述汽车的制造和销售情况、成本和收益情况等方面。
二次函数的图像与性质(教案)
二次函数的图像与性质（教案）教学目标：一. 知识与技能：1. 通过对二次函数性质习题的讲评，使学生熟练掌握二次函数的图像与性质2. 懂得从图像中获取有关的性质信息。
3. 使学生会通过图像求二次函数的解析式。
二. 过程与方法：通过数形结合理解二次函数的性质。
三. 情感态度与价值观：培养数形结合思想，体验函数具体解决现实问题的功能。
教学重点：如何在图像中获取有用的信息。
教学难点：性质的综合应用 教学过程：一. 引入：华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”要真正的研究数学就应该数形结合，研究函数就是用数形结合的思想二次函数是函数问题中的主要内容，中考试题中年年考查，可以出简单题、中档题甚至于综合性难题，但实际上有相当一部分的题型都跟二次函数的图像与性质有关，本节课通过对我们做过的习题进行讲评，使同学们熟练掌握二次函数的图像与性质二.讲评： 一. 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的性质： 1.图像位置一题.5. 在同一坐标系中，函数y=-x-1和y=x²+2x+1 的图像可能是（）总结抛物线()20y ax bx c a =++≠的性质：b 同号 b=0 b 异号 0 040ac 40ac = 抛物线与40ac抛物线与Ａ． Ｃ．24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 决定顶点位置 0a 时，顶点纵坐标244ac b a-是二次函数的最小值。
0a 时，顶点纵坐标244ac b a-是二次函数的最大值。
242b b aca -±- 决定抛物线与x 轴交点的横坐标 当0y =时，即20ax bx c ++=，则抛物线与x轴的交点坐标为2244,0,,022b b ac b b ac a a ⎛⎫⎛⎫-+----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【练习】已知反比例函数xy =的图像如下右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图像大致为（ ）【总结】灵活运用二次函数中24a b c b ac -、、、的性质在图像中解题，也就是根据抛物线确定二次函数解析式中字母系数的取值范围，很好地体现了数形结合的数学思想，这就需要大家对于二次函数的性质与图像要比较熟悉，并能在图像中从这些性质来思考解决问题的思路。
二次函数的顶点式图像与性质教案
二次函数的顶点式图像与性质教案第一章：二次函数的顶点式图像1.1 引入二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c1.2 解释二次函数的顶点式图像：y = a(x h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标1.3 探讨顶点式图像的特点：开口方向、对称轴、顶点坐标等1.4 利用顶点式图像分析二次函数的增减性、最大值或最小值等性质第二章：开口方向与a的取值2.1 分析a的取值对开口方向的影响：a > 0时，开口向上；a < 0时，开口向下2.2 利用顶点式图像观察不同开口方向的二次函数特点2.3 引导学生通过观察图像判断开口方向及a的取值范围第三章：对称轴与顶点坐标3.1 解释二次函数的对称轴公式：x = h3.2 探讨对称轴与顶点坐标的关系：对称轴经过顶点3.3 利用顶点式图像分析二次函数的对称性质3.4 引导学生通过图像找到对称轴及顶点坐标第四章：增减性与最值4.1 解释二次函数的增减性：a > 0时，函数在顶点左侧递减，在顶点右侧递增；a < 0时，函数在顶点左侧递增，在顶点右侧递减4.2 探讨最值的求法：当a > 0时，最小值为顶点的y坐标；当a < 0时，最大值为顶点的y坐标4.3 利用顶点式图像观察二次函数的最值及增减性4.4 引导学生通过图像分析二次函数的最值和增减性第五章：实际问题与二次函数的顶点式图像5.1 引入实际问题：如抛物线运动、物体的抛物线轨迹等5.2 解释实际问题中的二次函数顶点式图像与性质的应用5.3 利用顶点式图像解决实际问题，如求物体的最大高度等5.4 引导学生将实际问题与二次函数的顶点式图像和性质相结合，提高解决问题的能力第六章：二次函数图像的平移6.1 回顾一次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减6.2 介绍二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，改变顶点坐标6.3 利用顶点式图像展示二次函数图像的平移过程6.4 引导学生通过实际例子，掌握二次函数图像的平移规律第七章：二次函数图像的叠加7.1 解释二次函数图像的叠加原理：两个函数图像在同一坐标系中绘制，观察交点情况7.2 利用顶点式图像展示两个二次函数图像的叠加情况7.3 探讨二次函数图像的叠加规律：开口方向、对称轴、顶点坐标等7.4 引导学生通过实际例子，理解二次函数图像的叠加原理第八章：二次函数图像与坐标轴的交点8.1 分析二次函数图像与x轴的交点：令y = 0，解方程得到x的值8.2 分析二次函数图像与y轴的交点：令x = 0，解方程得到y的值8.3 利用顶点式图像找出二次函数图像与坐标轴的交点8.4 引导学生通过实际例子，求解二次函数图像与坐标轴的交点第九章：二次函数图像的应用9.1 引入实际应用场景：如抛物线运动、物体的抛物线轨迹等9.2 解释实际应用中二次函数图像的重要性9.3 利用顶点式图像解决实际应用问题，如求物体的最大速度等9.4 引导学生将实际应用与二次函数图像相结合，提高解决问题的能力10.2 强调二次函数图像在实际问题中的应用价值10.3 提出拓展问题，激发学生对二次函数图像与性质的深入研究兴趣10.4 引导学生进行拓展练习，巩固所学知识重点和难点解析一、二次函数的顶点式图像重点和难点解析：理解顶点式图像的开口方向、对称轴、顶点坐标等特点是教学的重点，也是学生理解的难点。
二次函数的顶点式图像与性质教案
二次函数的顶点式图像与性质教案第一章：二次函数的顶点式图像1.1 理解二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c1.2 引入顶点式的概念：y = a(x h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标1.3 绘制二次函数的顶点式图像，观察顶点、开口方向、对称轴等特征1.4 探讨顶点式图像与一般形式图像的关系第二章：顶点式图像的性质2.1 理解顶点式图像的顶点坐标对图像的影响2.2 探讨顶点式图像的开口方向与a的关系2.3 分析顶点式图像的对称轴方程：x = h2.4 探讨顶点式图像的增减性：a > 0时，y随x增大而增大；a < 0时，y先增大后减小第三章：二次函数的顶点式与一元二次方程3.1 理解二次函数的顶点式与一元二次方程的根的关系3.2 利用顶点式将二次函数转化为一元二次方程：y = a(x h)^2 + k = 03.3 求解一元二次方程，得出x的值3.4 分析一元二次方程的根与顶点式图像的交点关系第四章：实际问题中的应用4.1 引入实际问题，如：抛物线与坐标轴的交点、物体运动等4.2 利用顶点式图像分析实际问题中的最大值、最小值等4.3 探讨实际问题中对称性的应用4.4 分析实际问题中开口方向与实际情况的关系第五章：总结与拓展5.1 总结二次函数的顶点式图像与性质的主要内容5.2 探讨二次函数的顶点式图像在实际问题中的应用5.3 提出拓展问题，如：二次函数的顶点式图像与线性函数的关系等5.4 鼓励学生自主研究，培养学生的探究能力第六章：对称轴与顶点的关系6.1 回顾顶点式y = a(x h)^2 + k 中对称轴的定义6.2 分析对称轴与顶点坐标的h 值的关系6.3 探讨对称轴在实际问题中的应用，如抛物线射击、几何图形的对称性等6.4 进行对称轴相关的练习题，巩固学生对对称轴的理解第七章：开口方向与二次函数的性质7.1 引入开口方向的概念，分析a 值对开口方向的影响7.2 探讨开口方向与顶点式图像的关系7.3 分析开口方向在实际问题中的应用，如球的体积、光学问题等7.4 进行开口方向相关的练习题，帮助学生理解开口方向的意义第八章：增减性分析8.1 回顾顶点式图像的增减性：a > 0 时，y 随x 的增大而增大；a < 0 时，y 的变化为先增大后减小8.2 分析增减性在实际问题中的应用，如气温变化、经济曲线等8.3 进行增减性相关的练习题，让学生掌握增减性的分析方法8.4 探讨增减性与对称轴、开口方向的关系第九章：实际问题中的二次函数应用9.1 引入复杂的实际问题，如利润最大化、路程优化等9.2 利用二次函数的顶点式图像分析实际问题，求解最优解9.3 探讨实际问题中二次函数的多种应用场景，如物理运动、工程设计等9.4 进行实际问题相关的练习题，提高学生解决实际问题的能力第十章：总结与拓展10.1 回顾本节课的主要内容，总结二次函数的顶点式图像与性质的关键点10.2 鼓励学生进行拓展学习，如研究三次函数、高次函数的图像与性质10.3 提出课程延伸问题，如二次函数的顶点式图像在、大数据等领域的应用10.4 布置课后作业，巩固学生对二次函数顶点式图像与性质的理解和应用重点和难点解析一、顶点式图像的绘制与观察：理解顶点式y = a(x h)^2 + k 并能绘制出相应的图像，观察顶点、开口方向和对称轴等特征。
二次函数y=ax+bx+c的图像和性质
对称轴的轴对称图形，有以下性质：
y
1.抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等；
抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称。 O
x
2.如果抛物线交x轴于两点， 那么这两点一定关于对称 轴对称。
3.若设抛物线上关于对称轴对称 的两点横坐标为x1，x 2， 则抛物线 的对称轴是直线x x1 +x 2
2
1 2
x2－6x＋21
＝ 1 (x－6)2＋3 2
由此可知，抛物线
y＝
1 2
x2－6x＋21
的顶点是点（6，3），对称轴是直线 x＝6.
直接画函数
y 1 x2 6x 21 2
的图象
根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a= 1 >0,
2
∴开口向上;
对称轴:直线x=6;
顶点坐标:(6,3).
再见
二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质 １２３...顶 位 增23个|个..不联单单点置减同系位位坐与性:点(当y(:当标开与=(a((14234(ab与口最)axc4))位a对最-bh>对方值置2称值)0²+>不时轴不称向k0同,(时不同向a轴≠(向:同右20分))上顶:平分别的平点移别是图移不4;是当a象2直c4;同当a可线b:224分xb以aac和4别看a<0b0是2成b2.<时a0y,时2=向ba和a,,左x向4ya²轴c的平4下a.b图移平2 象)移和,再先)(得0沿沿,0到对x).的轴称.整轴体整左体(上右()下平)移平|移 2|b4aac4|a b2
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
二次函数y=a +b +c的图像和性质教案
2＋bx＋c的图像和性质教学内容二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质教材分析二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。
它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。
因此，本节课的内容十分重要。
学情分析教学目标1.知识与技能使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2.过程与方法使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.情感态度价值观让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
教学重难点重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b/2a、(－b/2a，4ac－b2/4a)教学方法和手段讲授法、练习法学法指导讲授指导教学过程（一）提出问题导入新课1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗具有哪些性质?2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?3．不画出图象，你能直接说出函数y＝-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了（二）学习新知1、思考：像函数y＝－4(x－2)2＋1很容易说出图像的顶点坐标，函数y＝-1/2x2-6x+21能画成y=a(x－h)2＋k 这样的形式吗2、师生合作探索：y＝-1/2x2-6x+21 变成y=a(x－h)2＋k的过程3、做一做（1）通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?在学生做题时，教师巡视、指导；让学生总结配方的方法；思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。
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数学个性化教学教案
授课时间：年月日备课时间年月日年级九学科数学课时 2 h 学生姓名
授课主题 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质授课教师
教学目标1.会用配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2.能根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴公式求函数的顶点坐标和对称轴；
3.会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象；
4.会用待定系数法求二次函数的解析式．
教学重、难点1.通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y=a(x-h)2+k的形式，求出对称轴和顶点坐标．
2.求二次函数的函数关系式，二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质运用．
3.建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题．
教学过程一、【历次错题讲解】
二、【基础知识梳理】
知识点1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
[归纳概括]二次函数y=ax2+bx+c通过配方可转化成形
式.
其图像和性质如下表：
图像
开口
方向
顶点
坐标
对称
轴
增减性最值
a>0 向上
a<0
向下
知识点2确定二次函数的解析式
(1)若已知二次函数的图像上任意三点坐标，则设为一般
式，将三点的坐标代入，列出含有a、b、c的三元一次方程组
求解即可.
(2)若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时，通常设函数解析式为
顶点式.
特别地，当抛物线的顶点是原点时，h=0，k=0，此时可设函数解析式为；
当抛物线的对称轴为y轴时，h= ，此时可设函数的解析式为；
学习札记
课堂练习
课堂练习
本课小结
课后作业布置
课后赏识
评价
课后反馈本节课教学计划完成情况：□照常完成□提前完成
□延后完成，原因___________________________________ 学生的接受程度：□完全能接受□基本能接受
□不能接受，原因___________________________________________ 学生的课堂表现：□很积极□比较积极□一般
□不积极，原因_____________________________________________ 学生上次作业完成情况：完成数量____% 已完成部分的质量____分（5分制）
存在问题_______________________________________配合需求：家长________________________________________________ 学管师________________________________________________。