斯坦纳-莱默斯定理1 - 360文档中心

论学习数学的三种境界

论学习数学的三种境界发表时间：2012-01-04T10:24:58.100Z 来源：《少年智力开发报（课改论坛）》2011年32期供稿作者：闫照建[导读] 做数学.数学光看不做是不行的，结果就犹如入宝山而空手返。

商丘市第十五中学闫照建清代词学家王国维曾在《人间词话》说：“古今成大事业大学问者，必经过三种境界：‘昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路.’此第一境也. ‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴.’此第二境也. ‘众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处.’此第三境也.”其实不但做大学问的人要经过这样三种境界，对于我们每一个人来讲，也是能达到这样三种境界的.比如我们学习数学，我认为也应该经历类似的三种境界：一、做数学.数学光看不做是不行的，结果就犹如入宝山而空手返。

数学必须得亲自去做才能巩固所学的知识，才能将书本知识化为独立解决问题的能力，才能提高成绩。

无论是作为学生或老师，还是作为数学家都必须经历长时间地去“做数学”这一关.这正是所谓第一境界“昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路”吗？但数学光靠做题还是不行的，因为我们学习过程中不能老搞题海战，原因是一方面这样做我们没有这么多的时间；另一方面是我们会因此失去更多的思考的时间，失去“研究数学”的机会.二、研究数学.有人看到“研究”这两个字就害怕了，认为“研究数学”只有数学家才能正如自然的美景对于所有的人都是开放的，数学王国的奇妙也绝对不是几个“数学家们”的特权！只要你善于独立思考，善于发现问题并勇于质疑，并想办法解决它，那么你就是在“研究数学”；只要你对数学抱有浓厚的兴趣，甚至如痴如醉，并坚持不懈地去探究数学世界的奥秘，那么你就是在“研究数学”；如果你善于运用数学的眼光看生活，用数学的眼光看世界，那么你就是在“研究数学”！而 “衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴” 揭示的就是这种境界.其实我们每个人都可以研究数学，并且我们每个人都可以做出前无古人的发现！发现无处不在！有的同学可能会问我们怎样研究数学呢？其实“研究数学”并不高深，而且还是有规律可寻的，我们只需要掌握几种思考问题的思维方式就可以研究数学了.首先我们可以将问题“倒过来”想.比如一道几何题，都有题设和结论的，假如题设和结论互换一下将会怎样呢？是否成立？每一个数学题都可以这样想的.如果做完题在反思的时候，倒过来这样一想，说不定你可以发现什么新定理呢！在这儿我举一个例子吧，大家都很熟悉“等腰三角形的两底角平分线相等”，当然证明这个命题也很简单，只需要利用两个三角形全等即可证明.可是我们如果倒过来想的话就会得到这样一个命题：“如果三角形的两个角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形.”这个命题是真还是假呢？其实这个命题早是在1840年，数学家莱默斯（C.L.Lehmus）就提出来了.瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863）首先给出证明，因而这个命题后来就称为＂斯坦纳—莱默斯定理＂，大家看看是不是觉得这个问题的提出确实很容易呢？其实这样的例子俯首皆是，数不胜数！有时候我们仔细想想，我们做人也应该如此，假如我们和同学或老师之间出现矛盾时，能用这种“倒过来”的思维方式，也即换位思考的方式站在别人的立场上考虑的话，我们就不会有那么多的烦恼了，那么我们的生活其实可以变得更美的！数学是思维的体操.生命在于运动，思维的精髓其实也在运动. 让我们思维“动起来”！最精彩的问题来自于运动的观点的运用！比如我们研究几何中的某个原本固定的点，你不妨让这个点运动起来试试看！会出现什么变化？我们大可不必让自己缩手缩脚，眼界开阔些，是否能让这个点运动到该边的延长线或反向延长线呢？甚至整个平面或整个空间上呢？不想尝试一下吗？现举一个例子，我们知道“等腰三角形底边上一点到两腰的距离和是一个定值”，这个定值是什么呢？如果我们让这个点动起来，运动到底边一端时就会发现距离和等于一腰上的高！我们再想下去，如果将这个点运动拓展到底边的延长线上的时候，距离和将会怎样呢？还等于一腰上的高吗？如果不相等的话，两个距离以及一腰上的高三者之间还有什么数量关系吗？如果仔细研究，你肯定会发现新的结论！三、享受数学.其实研究数学的思维方式还有很多，关键在于自己做个细心的人！俗语不是说事事留心皆学问吗？其实这句话也可以改为：事事留心皆数学！如果学习数学时能注重训练自己思维的话，数学就可以使愚钝的人变聪明，聪明的人变得更聪明！如果在做数学的同时能经常反思，你就会从做数学中提高成绩，迷上数学，陶醉在研究数学之中！在研究数学时，有些问题常常让你百思不得其解，但又不忍轻易放弃，苦苦寻觅，使你“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”后，忽然发现方法竟如此之妙！答案如此简单！这不正是感受到 “众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的心境吗？数学不仅很有趣的，更是美的！是一种体现我们人类思维之美的科学！如果你能够在“做数学”中发现数学之美，更能在“研究数学”中享受数学之美！这样你就达到了学习数学的第三种境界：最高境界------享受数学！。

斯坦纳定理的简证及推广

斯坦纳定理的简证及推广作者：何正权来源：《中学数学杂志(初中版)》2010年第01期若用直接证法证明命题“两内角平分线相等的三角形是等腰三角形”, 在很多资料上表明问题已被用不同方法得到完全解决,但证题过程较为复杂,寻找简捷的证明方法有待于进一步探索,在间接证法中最多见的是反证法,读者在阅读、理解方面都存在诸多不便,如果选用间接证法中的“同一法”,可使证题过程简化,且便于理解,于是将该证法整理如下,并作一些探讨.定理两内角平分线相等的三角形是等腰三角形.已知:如图1,△ABC中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,且BD=CE.求证:AB=AC.分析结合题目的条件,要证AB=AC,必先证∠ABC=∠ACB,又两角被平分,且平分后的角不易找到直接的相等关系,仔细观察发现∠EBD与∠ECD所对的是同一条边DE,若转化在圆中就是两圆周角所对的公共弦,便可找出互相之间的联系,于是可以考虑B、E、C、D是否在同一个圆上,恰好用“同一法”可以解决这一点,问题就得到简化.证明过点B、D、C作⊙O交CE或其延长线于点H,因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,所以所以所以CH=BD.因为BD=CE,所以CH=CE,又点H在CE上,所以点H与点E重合.所以∠ABC=∠ACB.所以AB=AC.所以三角形ABC是等腰三角形.上面过B、C、D三点作一个辅助圆后,把角平分线与弧之间的关系紧密联系,从而使弧与CE的交点H和点E之间的关系成为解题的主线,然后证得点H与点E 重合,问题获得解决,这就应用了反证法中“同一法”的思想.经过这一证明,在相同条件下,图中许多关系非常明显,若用命题形式表达出来,则有以下两个命题尤为重要.命题1 三角形中两内角平分线相等,则角平分线与对边的交点的连线平行于第三边.已知:如图2,△ABC中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,且BD=CE.求证:DE∥BC.证明由以上定理的证明得△ABC是等腰三角形,易证∠1=∠2.所以 PB=PC.因为BD=CE,所以PE=PD,所以∠3=∠PED.因为∠EPD=∠CPB,所以∠1=∠3,所以DE∥BC.此命题是在定理的基础上作出的进一步推理,只要满足三角形两内角平分线相等,则推得线段之间的平行关系,在相关三角形问题的证明中能起到条件转换的作用,可使一部分问题简化.命题2 对角线平分两锐角且相等的四边形是等腰梯形.已知:如图3,在四边形ABCD中,AC、BD是对角线, BD平分锐角∠ABC. CA平分锐角∠DCB,且BD=AC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.证明延长BA、CD相交于点F.根据定理易得BF=CF.由命题1可证得AD∥BC.所以∠FAD=∠ABC,∠FDA=∠DCB.因为∠ABC=∠DCB,所以∠FAD=∠FDA,所以AF=FD,所以BF-AF=CF-FD,所以AB=CD.即四边形ABCD是等腰梯形.此题与前面问题相比不同之处是,三角形中两内角已经隐含了角为锐角的条件,所以扩充到四边形中必须把锐角这一条件补出,否则条件被放宽,导致命题的结论不成立.这个定理和相关命题的证明,应用了圆和三角形的许多重要性质,分析这些问题的思考和解决过程,说明认真观察图形、分析问题找到相互之间的联系是使问题得到解决的前提,只要加以训练,有助于提高应用圆的一些性质和定理解决角相等、线段相等、两直线平行、垂直等问题,不断让解综合题的能力得到加强,对复杂的问题,可以大胆地对各种量相互之间的联系作出某些猜想,形成命题,最终再努力寻求解决途径,促使自已专业知识不断发展.参考文献[1] 刘晓玫,章飞. 九年级数学(上)[M].北京:北京师范大学出版社,2007:6.[ZK)][2] 朱德祥.初等几何研究[M].北京:高等教育出版社出版,1995:30.[ZK)][3] 徐彦明.也谈斯坦纳—雷米欧斯定理的证明[J].中小学数学(初中教师版),2003,(12).[4] 施联华.斯坦纳—莱默斯定理[J].中学数学教学参考(学生版),2003,(12).作者简介:何正权,男,汉族,贵州威宁人,中学一级教师.。

用反证法证明施泰纳-莱默斯定理

用反证法证明施泰纳－莱默斯定理①①本文及本章后面几段阅读资料参考了贺贤孝的《证明的艺术》一书（湖南教育出版社，2000年6月第1版）．我们知道，等腰三角形两个底角的平分线相等．反过来，有两个角的平分线相等的三角形是否为等腰三角形呢？德国柏林的莱默斯（C ．L ．Lemhus ）研究了这个问题，并向著名几何学家施泰纳请教，1840年，施泰纳给出了第一个证明．为此，该定理称为施泰纳－莱默斯定理．如图1所示，在△ABC 中，BD ，CE 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，且BD ＝CE ．求证：AB ＝AC ．如图2所示，施泰纳将△BCD 与△CBE 分别移到△B ′C ′D ′和△B ′C ′E ′的位置，连接D ′E ′．由BD ＝CE ，得B ′D ′＝B ′E ′，故∠1＝∠2．假设AB ≠AC ，则AB ＜AC 或AB ＞AC ．如果AB ＜AC ，那么∠ACB ＜∠ABC ．从而 ∠ACE ＝21∠ACB ＜21∠ABC ＝∠ABD ．所以 ∠B ′D ′C ′＝∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＞∠A ＋∠ACE ＝∠BEC ＝ ∠B ′E ′C ′，即 ∠B ′D ′C ′＞∠B ′E ′C ′．又 ∠1＝∠2，所以 ∠3＞∠4．所以 C ′E ′＞C ′D ′，即BE ＞CD ．在△BCD 与△CBE 中，BD ＝CE ，BC ＝CB ，CD ＜BE ，故 ∠CBD ＜∠BCE ，即 21∠ABC ＜21∠ACB ，于是∠ABC ＜∠ACB ，AB ＞AC ，与假设AB ＜AC 相矛盾，故AB ＜AC 是不可能的．同理可证AB ＞AC 也是不可能的．从而，AB ＝AC ．施泰纳的参与引起了各国数学家的兴趣．100多年来，该定理的证明层出不穷．20世纪80年代美国《数学教师》杂志提出征解，结果收到了从美国、加拿大、丹麦、以色列、埃塞俄比亚和罗马尼亚寄来的2 000多封信，共提出80多种证法．不仅如此，人们更深入到它的孪生问题：如果一个三角形的两个角的外角平分线（简称外分角线）相等，那么这个三角形是否为等腰三角形？利用代数方法，数学家们证明了如下的结论：两外分角线相等且第三角为该三角形的最大内角或最小内角时，此三角形是等腰三角形．。

施泰纳一莱默斯定理

施泰纳一莱默斯定理是指电子在分子中的能级分布是对称的，也就是说，分子中的电子分布是对称的。这个定理是由美国化学家施泰纳一莱默斯在1930年提出的。
施泰纳一莱默斯定理的意义在于，它为我们理解分子中电子的分布情况提供了一个重要的框架。这个定理被广泛应用于化学、物理学和生物学等领域，对于分子的结构、性质和反应性质的研究重要的定理，在许多化学和物理学的研究中都有广泛的应用。它为我们理解分子中电子的分布情况提供了一个重要的框架，帮助我们更好地解释分子的结构、性质和反应性质等。
施泰纳一莱默斯定理是基于电子的波动原理推导出来的。它认为，分子中的电子能级是对称的，即电子的波函数的形式是对称的。这个定理可以解释很多分子中电子的分布特征，如分子结构的对称性、分子的光学性质、分子的反应性质等。施泰纳一莱默斯定理的应用非常广泛，在许多化学和物理学的研究中都有重要的作用。施泰纳一莱默斯定理有一些局限性，在一些情况下并不适用。例如，在分子中存在强烈的外场（如磁场、电场等）时，电子的能级分布可能会发生变化，施泰纳一莱默斯定理就不再适用。此外，在一些特殊的分子结构中，电子的能级分布也可能与施泰纳一莱默斯定理的预测不符。

斯坦纳定理

斯坦纳定理，很难，这是我整理的多个方法1在△ABC中∠A的平分线交BC于点D求证AD²=AB.AC-BD.CD过B做BE，使得∠CBE=∠A/2，交AD的延长线于E因为∠DBE=∠A/2=∠DAC，∠BDE=∠ADC，所以△BDE相似于△ADC，于是BD×CD=AD×DE，——（1）并且∠C=∠E 因为∠BAE=∠DAC=∠A/2，∠C=∠E，所以△ABE相似于△ADC，于是AB×AC=AD×AE——（2）（2）-（1）得：AB×AC-BD×CD=AD×AE-AD×DE=AD×(AE-DE)=AD^22.三角形ABC,∠B、∠C 的角平分线BD=CE ,求证AB=AC法一：根据上面结论AB*BC-CD*AD=AC*BC-AE*BE即BC×（BE＋AE）－DC×DA＝CB×（CD＋AD）－EB×EABC×AD＝BA×CD，CB×AE＝CA×BE整理得BC×BE＋（CD＋DA）×BE－DC×DA＝CB×CD＋（BE＋EA）×CD－EB×EA移项并因式分解得（BE－CD）（BC＋EA＋DA）＝0因此BE＝CD此时易证AB＝AC法二：BD^2=ab(1-（c^2/(a+b)^2) CE^2=ac(1-（b^2/(a+c)^2)因为BD=CE，所以ab(1-（c^2/(a+b)^2)-ac(1-（b^2/(a+c)^2)=0，上式两边除以a，通分后，对分子进行因式分解，则得到分子为（b-c)(a+b+c)(a^3+(a^2+bc)(b+c)+3abc)，所以只能b-c=0，命题得证。

法三：设三角形ABC，角B、角C的平分线是BD、CE 作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC ∵BD=CE ∴△BDF≌△ECB, BF=BE, ∠EBC=∠BFD设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β ∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180-2β-α=180°-(α+β); ∴∠FBC=∠CDF∵2α+2β<180°,∴α+β<90° ∴∠FBC=∠CEF>90°∴Rt△FBC≌Rt△CDF(都是钝角三角形可以用SSA) FB=CD=BE所以△BDC≌△CEB B=C AB=AC（或者）过C作FB的垂线，过F作CD的垂线在FB和CD延长线垂足分别为G、H;∠FDH=∠CBG; ∵BC=DF, ∴Rt△CGB≌Rt△FHD∴CG=FH,BC=FD 连接CF ∵CF=FC,FH=CG∴Rt△CGF≌△FHC (或者FG=CH FH=CG FGCH矩形) ∴FG=CH, ∴BF=CD,∴CD=BE∵BE=CD,BC=CB,∴△BEC≌△CDB ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC法四：设AB≠AC,不妨设AB>AC，这样∠ACB>∠ABC，从而∠BCE=∠ACE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠ABD=∠CBD。

斯氏定理(斯坦沃特定理)

斯氏定理、斯坦沃特定理，任意三角形ABC中，D是底边BC上一点，联结AD，则有：AB^2×CD+AC^2×BD-AD^2×BC=BD×DC×BC也可以有另一种表达形式：设BD=u，DC=v，则有：AD^2=(b^2×u+c^2×v)/a-uv2证明过点A作AE⊥BC于E, 设DE = x(假设底边四点从左到右顺序为B、D、E、C）则 AE^2 = b^2 - (v-x)^2 = c^2 - (u+x)^2 = AD^2 - x^2若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v所以有 AD^2 = b^2 - v^2 + 2vxAD^2 = c^2 - u^2 - 2ux1*u式+2*v式得AD^2(u+v) = b^2u + c^2v - uv(u + v)故 AD^2 = (b^2u + c^2v)/a - uv1)当AD是△ABC中线时， u = v = 1/2a AD^2 = (b^2+c^2-(a^2)/2)/22)当AD是△ABC内角平分线时，由三角形内角平分线的性质，得u = ac/(b+c), v =ab/(b+c)设s = (a+b+c)/2得 AD^2 = 4/(b+c)^2 *(bcs(s-a))3)当AD是△ABC高时， AD^2 = b^2 - u^2 = c^2 - v^2再由 u+v = a得AD^2 = 1/4a^2(2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4)证明方法2：不妨设角ADB=θ。

AD=t由余弦定理可得：c^2=t^2+u^2-2tu·cosθ ①b^2=t^2+v^2+2tv·cosθ ②①×v+②×u得：b^2u+c^2v=at^2+auv整理即可得：t^2=(b^2×u+c^2×v)/a-uv证毕3推广角平分线长定理已知AD为三角形ABC的角分线，则AD^2=AB·AC-DB·DC中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。

张角定理

张角定理在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。

那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。

分角定理在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。

斯坦纳—莱默斯定理如图，已知△ABC中，两内角的平分线BD=CE。

求证：AB=AC。

证法①：（斯坦纳原证) 如图1，假设AB>AC．则∠BEC>∠BDC (1)在△BCE与△CBD中，斯坦纳原证∵BD=CE，BC公共，∠BCE>∠CBD，∴BE>CD．作平行四边形BDCF，连接EF．∵BE>CD=BF．∴∠1<∠2．∵CE=BD=CF ．∴∠3=∠4．∴∠BEC<∠BFC=∠BDC (2)(1)与(2)矛盾．∴AB≯AC．同理AC≯AB．故AB=AC．证法②：(海塞证法，德国数学家（L.O.Hesse,1811-1874）)作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC∵BD=EC，∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF.示意图设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β，∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180°-2β-α=180°-(α+β);∴∠FBC=∠CDF，∵2α+2β<180°,∴α+β<90°，∴∠FBC=∠CDF>90°∴过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB和CD的延长线上.设垂足分别为G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD，∴CG=FH,BC=FD连接CF，∵CF=FC,FH=CG，∴Rt△CGF≌△FHC（HL），∴FG=CH, 又∵BG=DH,∴BF=CD, 又∵BF=BE,∴CD=BE，∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB，∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC.证法③设二角的一半分别为α、βsin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0，∴sin[(α-β)/2]=0∴α=β,∴AB=AC.证法④用张角定理：2cosα/BE=1/BC+1/AB2cosβ/CD=1/BC+1/AC若α>β 可推出AB>AC矛盾！若α<β 可推出AB <AC矛盾！所以AB=AC梅涅劳斯定理证明一过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则证毕证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则两式相乘得西木松定理证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分别连FE、FD、BP、CP.易证P、B、D、F和P、F、C、E分别共圆，（四点共圆）在PBDF圆内，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圆内∠ABP+∠ACP =180度，∴∠DFP=∠ACP ①，在PFCE圆内∠PFE=∠PCE②而∠ACP+∠PCE=180°③∴∠DFP+∠PFE=180°④即D、F、E共线. 反之，当D、F、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.证明一证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、L、P、N和P、M、C、L分别四点共圆，有∠NBP = ∠NLP= ∠MLP= ∠MCP.故A、B、P、C四点共圆。

stein定理

Stein定理是一种用于估计随机变量的均值不等式，由美国数学家Ernst W. Stein在1937年提出。

该定理可以用于估计一些随机变量的均值、方差、协方差等统计量的上界和下界。

Stein定理的一般形式如下：
设X和Y是两个随机变量，Z是一个实数，且X和Y满足一定的条件，那么有：
|E[X|Z] - E[Y|Z]| ≤σ²/σ²(Z)
其中，σ²(Z)是Z的谱均方。

该定理的意义在于，它提供了一种方法来估计随机变量的均值，即使这些随机变量不是独立的。

它也可以用于估计其他统计量的上界和下界，例如方差和协方差等。

Stein定理的应用非常广泛，例如在金融领域中用于估计资产的风险度量、在物理学中用于估计随机波动的能量等。

它也是概率论和统计学中的一个重要工具，对于理解和应用概率论和统计学的基本原理有着重要的作用。

平面几何的26个定理

ED C B A 高一数学竞赛班二试讲义第1讲平面几何中的26个定理班级一、知识点金 1. 梅涅劳斯定理：假设直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线分别交于,,P Q R ，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立〔用同一法证明〕2. 塞瓦定理：设,,P Q R 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点，假设,,AP BQ CR 三线共点，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。

()ABCD E BAE CAD ABE ACDAB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CDAB AE BAC EAD ABC AED AC ADBC ED AD BC AC ED AC ADAB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C D ∠=∠∠=∠∆∆∴=⇒⋅=⋅=∠=∠∴∆∆∴=⇒⋅=⋅∴⋅+⋅=⋅+∴⋅+⋅≥⋅证：在四边形内取点，使，则：和相似又且和相似且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、四点共圆时成立；注：托勒密定理的逆定理也成立4. 西姆松定理：假设从ABC ∆外接圆上一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F ，则,,D E F 三点共线。

西姆松定理的逆定理：从一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F 。

假设,,D E F 三点共线，则点P 在ABC ∆的外接圆上。

5．蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于X ，Y ，则M 为XY 之中点。

几何史坦纳定理

几何史坦纳定理摘要：1.几何史坦纳定理简介2.几何史坦纳定理的证明3.几何史坦纳定理的应用4.与其他几何定理的关联5.实际生活中的应用案例正文：几何史坦纳定理（Geometric Steiner Theorem）是三角形几何中的一项重要定理，由瑞士数学家史坦纳（Jakob Steiner）于19世纪首次提出。

该定理阐述了三角形中的一些性质，包括三角形的内心、外心和重心之间的关系。

下面我们将详细介绍几何史坦纳定理及其证明、应用等相关内容。

一、几何史坦纳定理简介几何史坦纳定理指出：在一个三角形ABC中，设D、E、F分别为内心、外心和重心，那么有如下关系：1.内心D、外心E和重心F三点共线；2.内心D、外心E和重心F到三角形三个顶点的距离之和相等，即FD + FE + FF" = AD + AE + EF。

二、几何史坦纳定理的证明证明过程较为复杂，涉及到向量和平面的知识。

这里简要说明一下证明思路：1.连接内心D与重心F，设直线DF为角平分线；2.利用角平分线定理，得到DF为三角形ABC的中位线；3.同理，连接外心E与重心F，得到EF为三角形ABC的中位线；4.结合上述结论，可得内心D、外心E和重心F三点共线。

三、几何史坦纳定理的应用1.计算三角形面积：已知三角形内心D、外心E和重心F的坐标，可以利用史坦纳定理求得三角形ABC的面积。

2.判断三角形形状：根据史坦纳定理，可以判断三角形是否为等边三角形、直角三角形等。

3.求解三角形角度：利用史坦纳定理，可以求解三角形中某个角度的大小。

四、与其他几何定理的关联1.内心、外心和重心：几何史坦纳定理与三角形内心、外心和重心的性质密切相关，可以互相推导。

2.费马多边形：史坦纳定理可以推广到多边形中，称为费马多边形定理。

五、实际生活中的应用案例1.建筑领域：在建筑设计中，利用史坦纳定理可以优化结构，提高安全性。

2.地理信息系统：在地图制图中，利用史坦纳定理可以精确计算三角形区域的面积。

超导论文

1.1超导的发现9
1.1.1 超导物理之父— 海克·卡末林·昂内斯
1.1.2 液化氦气成功为超导的发现奠定基础
1.1.3. 首次发现超导
1.1.4 零电阻效应的证实
1.2超导材料的特点10
1.2.1超导的零电阻效应................................................
1870年,卡末林-昂内斯进入格罗宁根（Groningen）大学学习,第二年获科学学士学位。在格罗宁根大学,他学习了物理学和数学.次年转人德国海德堡（Heidelharg ）大学,在这里曾有向化学家罗伯特·威廉·本生（Robert Wilhelm Bunsen）及物理学家基尔霍夫（Kirchhoff）请教学习的机会。他是在基尔霍夫私人实验室工作的两名学生之一。
第一章超导.1 超导物理之父— 海克·卡末林·昂内斯
1853年9 月21 日海克·卡末林·昂内斯（Heike Kamerlingh Onnes）出生于荷兰的格罗宁根（Groningen）。他的父亲拥有一制瓦厂, 但他的母亲艺术素养颇佳, 深深影响了他。他的姐夫是当时Liden（地名）有名气的画家。卡末林一昂内斯年轻时也曾涉猎诗歌。
改革开放以来我国社会主义市场经济体制逐步建立，综合国力日益增强，人民生活水平大大提高，然而在这快速发展的同时一些深层次的矛盾与问题日益积累和加深，致使我国的可持续发展面临着诸多困境。一、一次能源资源面临枯竭，相关要素资源严重短缺。目前我国探明可开采的石油储量约21亿吨预计还可开采11.3年，煤炭1145亿吨预计还可开采45年，天然气1.88万亿立方米预计还可开采27.2年（数据来源：BP世界能源统计2008）。二、资源消耗过大，环境严重恶化，面临巨大的温室气体减排压力。科学观测表明，地球大气中二氧化碳的浓度已从工业革命前的280ppm（280毫升/立方米）上升到了2008年的386ppm。很多科学家将400~450ppm设为大气中二氧化碳的浓度上限，以避免“不可逆转的灾难性后果”。以上的数据表明我国（乃至全球）要实现可持续发展必须走低能高效之路，一方面最大限度地提高能源特别是不可再生能源的终端利用效率，另一方面大力开发利用新能源，寻找满足我国能源需求的终极解决途径。中国南方电力公司副总经理肖鹏曾在《中国电力工业变革与发展的战略选择》中强调要高度重视并加快高温超导技术的研发利用。他指出：高温超导技术是21世纪有可能为电力工业带来革命性变化的唯一高科技储备，也是未来新能源变革的重要技术支撑。

moore-aronszajn定理

moore-aronszajn定理Moore-Aronszajn定理是关于Hilbert空间和有界线性算子的重要定理之一。

它的主要内容是证明一个有界算子T如果是一个紧算子，则它的伴随算子T*也是紧算子。

Hilbert空间是数学中极为重要的一个概念，它是由一个内积定义的完备的线性空间。

有界线性算子是Hilbert空间上的一类特殊算子，它们保持空间之间的相对距离和大小不变。

紧算子是一类比较特殊的有界线性算子，它们可以将一个无限维空间中的向量集合映射为一个有限维向量集合。

紧算子是Hilbert空间中非常重要的一类算子，它有着广泛的应用，例如在量子力学和微积分等领域中都有很好的应用。

在证明Moore-Aronszajn定理之前，我们需要先了解一些基本的定义和定理。

定义1：一个算子T：X→Y是一个有界算子，如果存在一个常数C使得对于任意的x∈X，都有||Tx||≤C||x||。

定义2：一个算子T：X→Y是一个紧算子，如果对于空间中的每一个有界序列{x_n} ，都存在一个收敛子序列{T(x_n)}。

定义3：一个Hilbert空间X是可分的，如果存在一个可数的Hilbert空间基。

定理1：Hilbert空间上的有界算子是可分的。

定理2：如果T是一个Hilbert空间上的有界算子，那么T*也是一个有界算子，并且||T*||=||T||。

设T是一个紧算子，我们来证明T*也是一个紧算子。

首先，根据定义3，可分Hilbert 空间的性质，我们可以将Hilbert空间X分解为一个可数的Hilbert空间基{e_n}的线性组合。

令Sn=span{e_1,e_2,…,e_n}，则Sn是X的一个有限维子空间，也就是说Sn内的每个向量可以表示为线性组合：x=a_1e_1+a_2e_2+…+a_ne_n。

根据定义1，对于任意的x∈X，我们可以将其表示为x=x_n+x'_n，其中x_n属于Sn，x'_n属于Sn的正交补空间。

三角形的一个母不等式

２ｒ则对 △ Ａ７．ＢＣ成立：
Ａ
ｔｎ — ａ
．；。＋ｔｎ — Ｑ＝ｃａ
Ｂ
． ℃ ＋ｔＩａ１
・Ｑ℃ ｙ
四面体中的一类不等式
樊益武
（安交通大学附中．１０９西７０４）
≥２．证明：令式 ①分子中的
Ａ
ｌ＝ｔａｎ，２＝ｔｎａ
图２
．
．
式① 的左边平方一右边平方
＋２（ｘ：１＋ＣＳＢ一２ｉ・ｉＯｓｎＡｓｎ（）＋２ｒ１ＣＳ一２ｉ・ｉ．．ｙ（＋ＯｓｎＡｓｎＢ）
证明：ＡＢ￣ＡＣ，妨设Ａ若＝不Ｂ＞ＡＣ．设
ＢＣ交于点，Ｂ＝２Ｃ＝２．Ｅ、Ｆ，ｐ，ｙ则
Ｂ＝Ｃ，ｌ２３且＝＝．
≤．罢
参考文献：
ｆＲ）７．
⑥
以下是定理ｌ的应用．
定理２设０口，，＜ｙ＜７且ａ＋＋ｙｒ，
＝
１刘健．一个简单的代数等式谈起．学教研．９６：从中１９
≤ （（ｂ＋ｃ）［ｂ＋ｃ一ａｊ）。㈢ｎ［ｂ（＋ｃ）一（ｂ＋ｃｃ）ｂ］
≤ （＋ｃ）ｂ＋ｃｂｂ（）（＋Ｃ一２ｃｂ）
㈢ｎｂ（＋Ｃ４一ｂｃ—ｂ。ｃ）
结合ＢＥ＞Ｃ有Ｆ，
ＢＥ・Ｇ＞ＣＦ・ＳＨＴ．
三角形的一个母不等式
张善立
（江省岱山县岱山中学，１２０浙３６０）

平面几何的几个著名定理

平面几何中的几个著名定理几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理．1．梅内劳斯定理亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．定理一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得同理将这三式相乘，得说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为AX×BY×CZ=XB×YC×ZA，仍然成立．(2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线．例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线．证如图3－99有相乘后得由梅内劳斯定理的逆定理得F，D，E共线．例2(戴沙格定理)在△ABC和△A′B′C′中，若AA′，BB′，CC′相交于一点S，则AB 与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的交点F，D，E共线．证如图3－100，直线FA′B′截△SAB，由梅内劳斯定理有同理，直线EC′A′和DC′B′分别截△SAC和△SBC，得将这三式相乘得所以D，E，F共线．2．塞瓦定理意大利数学家塞瓦(G．Ceva)在1678年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理．定理在△ABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于D，E，F，则证如图3－101，过B，C分别作直线AP的垂线，设垂足为H和K，则由于△BHD∽△CKD，所以同理可证将这三式相乘得说明(1)如果P点在△ABC外，同样可证得上述结论，但P点不能在直线AB，BC，CA上，否则，定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为BD×CE×AF=DC×EA×FB，仍然成立．(2)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果那么直线AD，BE，CF相交于同一点．”证如图3－102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F′，由塞瓦定理得所以F′B=FB，即F′与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点．塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点．证(1)如果D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，则由塞瓦定理的逆定理得中线AD，BE，CF共点．(2)如果D，E，F分别是△ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC，CA，AB的交点，则由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，BE，CF共点．(3)设D，E，F分别是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．(i)当△ABC是锐角三角形时(如图3－103)，D，E，F分别在BC，CA，AB上，有BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosc，EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF共点．(ii)当△ABC是钝角三角形时，有BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，EA=ccos(180°-A)=-ccosA，AF=bcos(180°-A)=-bcosA,FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理，得高AD，BE，CF共点．(iii)当△ABC是直角三角形时，高AD，BE，CF都经过直角顶点，所以它们共点．例4 在三角形ABC的边上向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明：直线AA1，BB1，CC1相交于一点．证如图3－104．设直线AA1，BB1，CC1与边BC，CA，AB的交点分别为A2，B2，C2，那么BA2：A2C等于从点B和C到边AA1的垂线的长度之比，即其中∠θ=∠CBA1=∠BCA1．同理将上述三式相乘得根据塞瓦定理的逆定理，得AA1，BB1，CC1共点．3．斯台沃特定理定理△ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，则证过A作AE⊥BC，E为垂足(如图3－105)，设DE=x，则有AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2，(若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v．)于是得消去x得(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，这就是中线长公式．(2)当AD是△ABC的内角平分线时，由三角形的内角平分线的性质设a+b+c=2p，得这就是内角平分线长公式．(3)当AD是△ABC的高时，AD2=b2-u2=c2-v2．再由u+v=a，解得所以若设AD=h a，则这就是三角形的高线长公式．当D在BC的延长线上时，用-v代替v，同样可得高线长线公式．这就是三角形的面积公式．伦公式例5 如图3－106．在△ABC中，c＞b，AD是△ABC的角平分线，E在BC上，BE=CD．求证：AE2-AD2=(c-b)2．证为方便起见，设BD=u，DC=v，则BE=v，EC=u．由斯台沃特定理得所以因为AD是角平分线，所以于是4．托勒密定理托勒密(Ptolemy，约公元85～165年)是古代天文学的集大成者．一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

斯坦纳莱默斯定理

斯坦纳莱默斯定理
斯坦纳莱默斯定理（Steiner-Lehmus theorem）是一个几何定理，它描述了一个等边三角形的边角都相等的充要条件。

该定理的一种常见陈述是：如果一个三角形的两条边与一个等长的边夹角相等，那么这个三角形必须是等边三角形。

斯坦纳莱默斯定理可以通过构造两个相关的等腰三角形来证明。

证明过程中使用了一些角度相等和边垂直的性质。

这个定理的命名来自于两位数学家斯坦纳（Jakob Steiner）和莱默斯（Ferdinand Lehmus），他们在19世纪中期分别独立提出了这个定理的证明。

斯坦纳莱默斯定理被广泛应用于几何学和三角学的教学和研究中。

它提供了一种判定一个三角形是否为等边三角形的方法，同时也反映了在一些特定条件下，边角关系的一种对称性。

steiner定理几何

Steiner定理在几何学中的应用Steiner定理是几何学中一个非常重要的定理，它是欧氏几何中的一种性质，在图形学和建筑学中广泛应用。

Steiner定理是由瑞士数学家雅各布·斯泰纳在19世纪提出的，它涉及到几何形状中的全局属性及其本质，我们将在下面的文章中详细介绍它。

Steiner的发现雅各布·斯泰纳是一个非常出色的数学家，他在数学上做出了众多的贡献，其中包括了Steiner定理。

他在1834年提出了这个定理，证明了在欧氏几何中，一些特定形状的几何平均数是固定的。

这个定理在建筑学和图形学中都有着极其重要的应用。

定理的表述Steiner定理的表述非常简单：对于一个二次曲线，如果它的质心是一条直线，那么它沿着这条直线的慢曲率中心是由同一点的慢曲率中心连接而成的。

这个定义可能有些晦涩，实际上它非常简单。

它的意思是，当一个二次曲线的质心是一条直线时，它沿着这条直线的慢曲率中心是相等的。

这个定义可能不太容易理解，所以我们下面将解释一下什么是二次曲线，什么是质心和慢曲率中心。

二次曲线二次曲线是一类曲线，它们可以被表示为x2, xy, y2, x, 或y的多项式。

因此，它们可以被表示为这样的方程：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0其中a,b,c,d,e,f都是实数。

二次曲线在几何上可以表示为椭圆、抛物线或双曲线等形状。

二次曲线是几何形状中的重要组成部分，因为它们在复杂的几何问题中经常出现。

质心几何形状的质心是指在其表面上的重心位置。

在任何形状中，有一个唯一的质心点，它是所有表面积的平均值。

在图形学和机器学习中，质心是计算几何分析的一种非常重要的方法。

慢曲率中心对于一个给定的曲线，它的曲率在不同的位置上可能会有所不同。

慢曲率中心是指曲率相等的点的集合。

因此，在慢曲率中心上，曲线具有相同的曲率。

在图形学和机器学习中，慢曲率中心是计算几何分析的一种非常重要的方法。

定理的意义Steiner定理在几何学中有着非常重要的意义，因为它对于理解欧氏几何中的某些基本概念非常有用。

斯佩纳定理集合

斯佩纳定理集合一、斯佩纳定理的表述1. 定义- 在组合数学中，斯佩纳定理（Sperner's theorem）给出了一个n元集合的子集族的最大规模，其中子集族中的子集满足两两互不包含关系。

- 设S是一个n元集合，S的子集族F满足对于任意A,B∈F，Anot⊂ B且Bnot⊂ A，则|F|≤slant {nchoose ⌊ n/2⌋}。

二、定理的证明思路（以一种常见方法为例）1. 利用对称链分解（Lubell - Yamamoto - Meshalkin inequality，LYM不等式）- 首先定义对称链。

对于n元集合S={1,2,·s,n}，一个子集链A_1⊂ A_2⊂·s⊂A_k称为对称链，如果| A_1| + | A_k|=n。

- 可以证明n元集合的所有子集可以分解为不相交的对称链的并。

- 假设F是满足斯佩纳定理条件的子集族。

对于每个对称链，F中最多包含该链中的一个子集。

- 然后计算n元集合的对称链的数量，发现最大的对称链数量是{nchoose ⌊n/2⌋}，从而得出|F|≤slant {nchoose ⌊ n/2⌋}。

三、应用举例1. 在集合划分问题中的应用- 考虑将一个具有n个元素的集合进行划分，并且要求划分出的子集之间满足某种特定的包含关系限制。

斯佩纳定理可以用来确定满足条件的划分的最大数量。

- 例如，在一个选举投票场景中，有n个候选人，将选民按照他们支持的候选人子集进行分类，并且要求这些子集之间不能有包含关系（即一个选民支持的候选人集合不能是另一个选民支持的候选人集合的子集），斯佩纳定理可以给出这种分类的最大规模。

2. 在组合优化中的应用- 在一些资源分配问题中，如果资源的分配情况可以用集合的子集来表示，并且要求不同的分配方案之间不能有包含关系，斯佩纳定理可以用来确定最优的分配方案数量的上界。

例如，将n种不同的任务分配给不同的团队，每个团队所承担的任务集合之间不能有包含关系，斯佩纳定理可以帮助分析最多有多少种合理的分配方式。

l-s定理

l-s定理
L-S定理（Löwenheim-Skolem定理）是一种逻辑结果，得名于Hans Hahn和Skolem。

L-S定理可以用来证明一阶逻辑中的亦可数模型存在性。

具体来说，对于任何一阶语言L中的可满足的理论T，如果存在无穷模型，那么也存在与T等价但是具有计数无限模型的可满足理论。

换句话说，L-S定理断定，如果一个理论T在某个无穷模型中有一个满足的赋值，那么这个理论也在某个计数无限模型中有一个满足的赋值。

L-S定理的证明通过构造一个特定的计数无限模型与给定的无穷模型等价。

这个证明涉及到一些集合论和模型论的技术，通常比较复杂。

L-S定理在逻辑学和数学基础理论中有重要的应用。

它表明，虽然一阶逻辑中可能存在一些无意义的语句，但是在可满足性问题中，总是可以找到一些满足这些语句的模型。

这个结果帮助我们理解一阶逻辑的适用性和局限性。

艾森斯坦定理

艾森斯坦定理摘要：1.艾森斯坦定理的概述2.艾森斯坦定理的证明3.艾森斯坦定理的应用4.艾森斯坦定理的重要性正文：1.艾森斯坦定理的概述艾森斯坦定理，又称为艾森斯坦- 博赫瓦尔德定理，是数论中的一个重要定理。

该定理由挪威数学家艾森斯坦（Carl Friedrich Gauss）和德国数学家博赫瓦尔德（Christian Goldbach）于1796 年独立发现。

艾森斯坦定理主要研究了关于模运算与剩余系的性质，为数论领域的研究奠定了基础。

2.艾森斯坦定理的证明艾森斯坦定理的表述如下：设a 和n 为互质的整数，a 与n 的最大公约数为d，则对于任意整数x，满足：ax ≡ 1 (mod n)当且仅当x 满足：x ≡ a^(-1) (mod n/d)换句话说，当一个整数a 与模数n 互质时，关于模n 的线性同余方程ax ≡ 1 (mod n) 有解，且解的个数为n/d。

该定理的证明过程相对简单。

首先，假设存在整数x 满足ax ≡ 1 (modn)，那么我们可以得到：ax = 1 + k * n，其中k 为整数因为a 和n 互质，所以a 和n 的乘积a*n 也与n 互质。

因此，我们可以计算出x 的模逆元素：x ≡ a^(-1) (mod n/d)接下来，我们验证一下x 是否满足原方程：ax = a * (1 + k * n/d) ≡ a * (1 + k * n/d) (mod n/d)因为a 和n/d 互质，所以a * (1 + k * n/d) 与n/d 互质。

根据扩展欧几里得算法，我们可以得到：a * (1 + k * n/d) ≡ 1 (mod n/d)所以，我们证明了当a 和n 互质时，关于模n 的线性同余方程ax ≡ 1 (mod n) 有解，且解的个数为n/d。

3.艾森斯坦定理的应用艾森斯坦定理在数论中有着广泛的应用，例如求解模方程、求解同余方程、研究循环同余等。

此外，艾森斯坦定理还为代数数论、伽罗华理论等领域的研究提供了重要的理论支持。