分式方程及其解法课件
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分式方程(共10张PPT)
小试牛刀
八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一 部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘
汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑
车同学速度的2倍，求骑车同学的速度.
归纳总结
1、列分式方程解应用题，应该注意解题的 六个步骤.
2、列方程的关键是要在准确设元（可直接设，也 可设间接）的前提下找出等量关系.
分析：甲队一个月完成工程的 1，设乙队如果单独施工一个月
3 能完成总工程的 ，1 那么甲队半个月完成总工程的 （
）1 乙
队＋半个月完成总工程x 的（ ）1 两队半个月完成总工程的 6
1 1
2x
6 2x
例2
从2004年5月起某列车平均提速v千米/时，用 一样的时间，列车提速前行驶s千米，提速后 比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均 速度是多少？
3、解题过程注意画图或列表帮助分析题意找 等量关系.
4、注意不要漏了检验和做答.
50
经检验x= 是原分式方程的解.
sv
答：提速前5列0 车的平均速度为
sv 千米/时。 50
方程两边同乘以6x，得： 分析：甲队一个月完成工程的 ，设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的 （ ） 乙队半个月 完成总工程的（ ）两队半个月完成总工程的 2、 解整式方程. 经检验x= 是原分式方程的解. 3、解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系. 根据工程的实际进度，得: 工作了半个月，总工程全部完成. 从2004年5月起某列车平均提速v千米/时，用一样的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速 度是多少？ 八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽 车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度. 分析：根据行驶时间的等量关系可以列出方程. 分析：甲队一个月完成工程的 ，设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的 （ ） 乙队半个月 完成总工程的（ ）两队半个月完成总工程的 2、列方程的关键是要在准确设元（可直接设，也可设间接）的前提下找出等量关系. 解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的 解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的 解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的
分式方程及分式方程的解法PPT课件
6.若式子 1 和 3 的值相等，则x=___7____. x 2 2x 1
7.如果关于x的方程
x
1
2
k x2 4
1有增根x=2，那么k的值为___4___.
8.关于x的分式方程
m x2
4
x
1
2
0无解，则m=__0_或__-_4__.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
9.解方程 x 2 3 1. x3 x3
八年级数学下册苏科版
第10章 分 式
10.5 分式方程
第1课时 分式方程及分式方程的解法
知识要点
1 2
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
CONTENTS
1
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
情境引入
小红家到学校的路程为 38 km.小红从家去学校总是先乘公共汽 车，下车后再步行 2 km，才能到学校，路途所用时间是 1 h.已知 公共汽车的速度是小红步行速度的 9 倍，求小红步行的速度.
B.2个
C.3个
D.4个
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
2.分式方程 x2 1 0 的解是( D ) x 1
A.1或-1
B.-1
C.0
D.1
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
3.分式方程
x 1 x 1
x
3
1x
2
的解为(
A
)
A. x=1
B. x=-1
C. x=-2
D. 无解
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
分式方程
归 纳： 1.分式方程的两个特点： ①方程中含有分母；②分母中含有未知数． 2.分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，是 区分分式方程和整式方程的依据． 3.分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数．
初中数学华东师大版八年级下册1第1课时分式方程及其解法课件
课堂总结
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，那么如何将分式方程 化为我们熟悉的整式方程进行求解呢？
在分式方程两边乘最简公分母可化为整式方程.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
90 60 30+x 30 x
解：方程两边乘以最简公分母(30+x)(30-x)，得
90(30 x) 60(30+x)
概念剖析
典型例题
ห้องสมุดไป่ตู้
（一）分式方程的概念
当堂检测
课堂总结
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺 流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等， 江水的流速为多少？
解：设江水的流速为x千米/时.
定义：
90 60 . 30+x 30 x
方程中含有分式，并且分母里含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
解：（2）（4）是分式方程.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
1.下列方程中，不是分式方程的是（ B ）
A. x 2 1 x
C. x 2x 2 1
x 1
x
2
B.
x 1 1 2 x 1 2x 3
D. 2x x 1 x2 1 2
分析：B选项中 x 1 是无理数，不属于整式， x 1 不是分式，所 x 1
组成的方程不是分式方程.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
例2.解方程: 2 3 . x3 x
提示：先找出最简公分母化为整式方程、再求解.
课堂总结
解：去分母，方程两边乘以最简公分母x(x-3)，得
分式方程及其解法课件
高阶分式方程的解法实例
总结词
通过降阶、变量代换等方法，将高阶分式方 程转化为低阶或可直接求解的分式方程。
详细描述
高阶分式方程可以通过降阶、变量代换等方 法，将其转化为低阶或可直接求解的分式方
程。例如，对于形如 "a1x1+a2x2+...+anxn/b1x1+b2x2+...+b nxn=c" 的高阶分式方程，可以先将高阶项 进行降阶或变量代换，将其转化为可直接求
分式方程及其解法课件
目
CONTENCT
录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的解法 • 分式方程的解法技巧 • 分式方程的解法实例 • 分式方程的解法总结与反思
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
总结词
分式方程是数学中一类带有分式的等式，用于描述某些特定情况 下的数量关系。
详细描述
分式方程是数学中一类带有分式的等式，通常用来描述两个或多 个量之间的关系。分式方程中的分母不能为零，因为分母代表一 个量所占的比例或份额。
适用范围
分式方程的解法适用于解决涉及分数 、比例、百分数等实际问题的数学问 题，同时也可以用于解决一些代数和 几何问题。
不适用范围
对于一些过于复杂或抽象的分式方程 ，分式方程的解法可能无法解决，或 者解决起来非常困难。
解法的改进与展望
改进
在解分式方程时，可以尝试引入更多的数学工具和方法，例Байду номын сангаас使用分数运算规则、因式 分解、变量替换等技巧，以提高解题效率和准确性。
通过约分、通分、消去分母等方法，将 分式方程转化为整式方程进行求解。
VS
详细描述
一元分式方程通常可以通过约分、通分和 消去分母的方法，将方程转化为整式方程 ，然后利用整式方程的解法求解。例如， 对于形如 "ax+b/cx+d=e" 的分式方程， 可以先通分，然后移项、合并同类项，最 后求解整式方程。
华东师大版数学八年级下册16.分式方程及其解法课件(共22张)
视察这个方程与我们学过的一 元一次方程有什么不同？
新课推动
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和 逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的 速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
分析 设轮船在静水中的速度为x千米/时，
根据题意，得
80 60 x3 x3
（*）
概 括 方程（*）中含有分式，并且分母中含 有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
概括
上述解分式方程的过程，实质上是将方 程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分 式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常 取方程中出现的各分式的最简公分母.
例1
解方程:
1 x1
2 x2 1
解:方程两边同乘以（x2-1）, 约去分母，得x+1=2. 解这个整式方程，得x=1.
思考：x=1是不是原分式方 程的解（或根）呢？
当x=1时，原分式方程左边和右边的分母 （x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的 两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式 方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.
概括 在解分式方程时，产生不合适原分式方
程的解（或根），这种根通常称为增根.因此， 在解分式方程时必须进行检验.
如何判定一个值是否为这个分式方程 的根呢？分式方程如何检验呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分式方程的检验
解分式方程进行检验的关键是看所求得 的整式方程的根是否使原分式方程中的分式 的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代 入所乘的整式（即最简公分母），看它的值 是否为零.如果为零，即为增根.
例2
解方程:
100 30 x x7
解:方程两边同乘以x(x-7),约
去分母，得 100(x-7)=30x.
新课推动
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和 逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的 速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
分析 设轮船在静水中的速度为x千米/时，
根据题意，得
80 60 x3 x3
（*）
概 括 方程（*）中含有分式，并且分母中含 有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
概括
上述解分式方程的过程，实质上是将方 程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分 式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常 取方程中出现的各分式的最简公分母.
例1
解方程:
1 x1
2 x2 1
解:方程两边同乘以（x2-1）, 约去分母，得x+1=2. 解这个整式方程，得x=1.
思考：x=1是不是原分式方 程的解（或根）呢？
当x=1时，原分式方程左边和右边的分母 （x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的 两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式 方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.
概括 在解分式方程时，产生不合适原分式方
程的解（或根），这种根通常称为增根.因此， 在解分式方程时必须进行检验.
如何判定一个值是否为这个分式方程 的根呢？分式方程如何检验呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分式方程的检验
解分式方程进行检验的关键是看所求得 的整式方程的根是否使原分式方程中的分式 的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代 入所乘的整式（即最简公分母），看它的值 是否为零.如果为零，即为增根.
例2
解方程:
100 30 x x7
解:方程两边同乘以x(x-7),约
去分母，得 100(x-7)=30x.
人教版八年级上册数学精品教学课件 第1课时 分式方程及其解法3
8
8
x 2 2x 15 x 2 16x 48
x2
x2x159
x2
16x
48
2
经检验, x 9 是原方程的根
2
11 1 1 x 3 x 4 x 5 x 12
1 1 11 x 3 x 12 x 5 x 4
2x 9 0
x
2x
3x
9 12
x
2x 9
5x
4
x 9 2
x2 9x 36 x2 9x 9
经检验, x 9 是 2
原方程的根
例3 ：解方程 y 4 y 5 y 7 y 8 y5 y6 y8 y9
点拨： 此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相
同， 这样一般可将各分式拆成： 整式+分式 的形式。
解：1 1 1 1 1 1 1 1
y 5
y6
y 8
y9
1
1
1
y 1 y 2y01yy12y1,y2102yyy1121y,y220 20
下面的过程请同学们自己完成 相信你们能行
以下各方程能利用换元法进行换元吗？
x x2 1
x2 1 x
5 2
能 y 1 5 y2
( x )2 5( x ) 3 能 y2 5y 3
x 1
x 1
x2 x2
1 1
3(x2 1) x2 1
2x
0
不能
小结
有些分式方程用常规方法-----------去分母，是很复 杂 ，甚至无法求解，有时要采取其他的方法
①采取局部通分法,会使解法很简单.这种解 法称为 ——通 分 法
②各分式的分子、分母的次数相同，且相差 一定的数，可将各分式拆成几项的和。这种 解法称为 —— 拆 项 法
最新分式方程及其解法公开课精品课件
最新分式方程及其解 法公开课精品课件
目录
• 分式方程概述 • 分式方程的基本解法 • 分式方程的特殊解法 • 分式方程的应用举例 • 分式方程的解法技巧与注意事项 • 分式方程与其他数学内容的联系
01
分式方程概述
定义与特点
01
02
定义：分式方程是未知 数在分母中的有理方程 。其一般形式为 $frac{a_1x+b_1}{c_1x+ d_1} = frac{a_2x+b_2}{c_2x+ d_2}$，其中 $a_i, b_i, c_i, d_i$ 是常数，且 $c_1$ 和 $c_2$ 不同时 为0。
关注方程的定义域
在求解过程中，要时刻关 注分式方程的定义域，确 保解在定义域范围内。
避免增根和失根
在求解过程中，要留意可 能出现的增根和失根情况 ，确保解的准确性。
分式方程与其他数学内容的
06
联系
与整式方程的联系与区别
联系
分式方程和整式方程都是代数方程，都用于描述数量之 间的关系。在某些情况下，分式方程可以转化为整式方 程进行求解。
04
分式方程的应用举例
工程问题
工作总量、工作时间、工作效率之间的关系
工作总量=工作时间×工作效率。在给定两个量的情况下，可以求解第三个量。
典型例题
一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他 任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
解题思路
解题思路
设乙的速度为x千米/时，则甲 的速度为(x+0.5)千米/时，根 据题意列出分式方程求解。
浓度问题
01
溶质、溶剂、溶液、浓度之间的关系
目录
• 分式方程概述 • 分式方程的基本解法 • 分式方程的特殊解法 • 分式方程的应用举例 • 分式方程的解法技巧与注意事项 • 分式方程与其他数学内容的联系
01
分式方程概述
定义与特点
01
02
定义：分式方程是未知 数在分母中的有理方程 。其一般形式为 $frac{a_1x+b_1}{c_1x+ d_1} = frac{a_2x+b_2}{c_2x+ d_2}$，其中 $a_i, b_i, c_i, d_i$ 是常数，且 $c_1$ 和 $c_2$ 不同时 为0。
关注方程的定义域
在求解过程中，要时刻关 注分式方程的定义域，确 保解在定义域范围内。
避免增根和失根
在求解过程中，要留意可 能出现的增根和失根情况 ，确保解的准确性。
分式方程与其他数学内容的
06
联系
与整式方程的联系与区别
联系
分式方程和整式方程都是代数方程，都用于描述数量之 间的关系。在某些情况下，分式方程可以转化为整式方 程进行求解。
04
分式方程的应用举例
工程问题
工作总量、工作时间、工作效率之间的关系
工作总量=工作时间×工作效率。在给定两个量的情况下，可以求解第三个量。
典型例题
一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他 任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
解题思路
解题思路
设乙的速度为x千米/时，则甲 的速度为(x+0.5)千米/时，根 据题意列出分式方程求解。
浓度问题
01
溶质、溶剂、溶液、浓度之间的关系
分式方程及解法PPT教学课件
隐性性状 (矮)277
F2的比 2.84:1
种子形状 （圆滑）5474 （皱缩）1850 2.96:1 子叶颜色 （黄色）6022 （绿色)2001 3.01:1 种皮颜色 （灰色）705 （白色）224 3.15:1
豆荚形状 （饱满）882 (不饱满)299 2.95:1 豆荚颜色 （绿色）428 （黄色）152 2.82:1
粉及同一植株上的雌雄异花传粉
认识遗传图谱中的符号： P: 亲本 ♂: 父本 ♀: 母本 ×: 杂交
F1: 杂种子一代 F2: 杂种子二代
自交
三、一对相对性状的杂交实验
P高
×
F1 高
×
F2
高
显性性子状一：代中显现 矮 出来的性状。
隐性性子状一：代中未显现 出来的性状。
性状分在离杂：种后代中同时出现 显性和隐性性状的现象。
第一章 遗传因子的发现
第1节 孟德尔的豌豆杂交实验（一）
遗传学第一定律 ——基因分离定律
一、孟德尔的生平简介：
（Mendel, 1822-1884）
奥地利人，天主神父, 遗传学的奠基人 。主 要工作：1856-1864 经过8年的杂交试验， 1865年发表了《植物杂 交试验》的论文。
分离ห้องสมุดไป่ตู้律
自由组合定律
2：1，表现型比
D d D d 为3:1。
F2
配子 ♀ D
d
棋盘法 ♂ D
d
DD Dd
Dd dd
F2
五、对分离现象解释的验证
让F1与_隐__性__纯__合__子__杂交 （测交）
杂种子一代 隐性纯合子
请
高茎
矮茎
预
Dd ×
dd
分式方程及其解法课件PPT
例题讲解
例1 解方程：
1 2 2 x 1 x 1
解:方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得 x+1=2 解得： x=1 2 注 ，得 检验：把x=1代入 x 1 意 2 x 1 0 格 式 ∴ x=1是原分式方程的增根. 哟 ∴原分式方程无解.
例题讲解
例2 解方程：
x5 1 (1)1 4x x4
可化为一元一次方程的分式方程 ---分式方程及其解法
复习提问
1、什么叫做方程？什么是一元一次方程？什么 是方程的解？ 2、解一元一次方程的基本方法和步骤是么？ 3、分式有意义的条件是什么？ 4、分式的基本性质是怎样的？
情境导入
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆 水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速 度是3千米/时，求轮船在静水中的速度. 解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根 据题意，得
去括号，得
2
( x 2)(x 2),
2
得
( x 2) 16 ( x 2) 2 ,
x 4x 4 16 x 4x 4,
整理，得 8x=-16
解得：x 2.
检验：把x=-2代入 x2-4， 得x2-4=0。 ∴x=-2是原分式方程的增根. ∴原分式方程无解.
一 定 要 检 验 哟来自 例题讲解1 1 1 1 例3 解方程： . x4 x7 x3 x6
解： 方程两边分别通分 x7 x4 x 6 x 3 得， ( x 4)(x 7) ( x 3)(x 6) 3 3 即， ( x 4)(x 7) ( x 3)(x 6) ∴
80 60 x 3 x3
解：方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约 去分母，得 80（x-3）=60(x+3). 解这个整式方程，得 x=21. 所以轮船在静水中的速度为21千米/时.
八年级数学下册教学课件《5.4.2 分式方程的解法》
解：x x 1 1
3
x2
x
. 2
3
,
x 2x 1
方程两边同时乘以最简公分母(x＋2)(x－1)，
得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
去括号，得x2＋2x－x2－x＋2＝3.
解得x＝1.
经检验，x＝1不是原分式方程的根，
所以原分式方程无解．
新课讲解
练一练
解方程：(1)
3＝ x－1
4 x
；
(2)
检验不是原分式方程的解，此时原分式方程无解．
新课讲解
典例分析
例
已知关于x的方程
2ax ax
2 3
的根是x＝1，求a的值．
分析：根据方程的解使方程两边的值相等，可构造关于a
的分式方程，解所得分式方程即可得a的值．
2ax
解： 把x＝1代入方程 得 2a 2 ,
a
x
2, 3
a1 3
解得a＝ 1
2 经检验，a＝ ∴a的值为
解：(1)去分母并整理，得(a＋2)x＝3.
∵1是原方程的增根，∴(a＋2)×1＝3，a＝1.
(2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0.∴x＝0或1.
又∵整式方程(a＝3.∴a＝1.
新课讲解
(3)去分母并整理得：(a＋2)x＝3. ①当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝－2. ②当a＋2≠0时，要使原分式方程无解， 则x(x－1)＝0，得x＝0或1. 把x＝0代入整式方程，a的值不存在； 把x＝1代入整式方程，a＝1. 综合①②得：a＝－2或1.
1
1
2 .
是分式方程
2a a1
2
2的解． 3
新课讲解
练一练
已知x＝3是分式方程
3
x2
x
. 2
3
,
x 2x 1
方程两边同时乘以最简公分母(x＋2)(x－1)，
得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
去括号，得x2＋2x－x2－x＋2＝3.
解得x＝1.
经检验，x＝1不是原分式方程的根，
所以原分式方程无解．
新课讲解
练一练
解方程：(1)
3＝ x－1
4 x
；
(2)
检验不是原分式方程的解，此时原分式方程无解．
新课讲解
典例分析
例
已知关于x的方程
2ax ax
2 3
的根是x＝1，求a的值．
分析：根据方程的解使方程两边的值相等，可构造关于a
的分式方程，解所得分式方程即可得a的值．
2ax
解： 把x＝1代入方程 得 2a 2 ,
a
x
2, 3
a1 3
解得a＝ 1
2 经检验，a＝ ∴a的值为
解：(1)去分母并整理，得(a＋2)x＝3.
∵1是原方程的增根，∴(a＋2)×1＝3，a＝1.
(2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0.∴x＝0或1.
又∵整式方程(a＝3.∴a＝1.
新课讲解
(3)去分母并整理得：(a＋2)x＝3. ①当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝－2. ②当a＋2≠0时，要使原分式方程无解， 则x(x－1)＝0，得x＝0或1. 把x＝0代入整式方程，a的值不存在； 把x＝1代入整式方程，a＝1. 综合①②得：a＝－2或1.
1
1
2 .
是分式方程
2a a1
2
2的解． 3
新课讲解
练一练
已知x＝3是分式方程
12.4 分式方程课件(共19张PPT)
12.4 分式方程
第十二章 分式和分式方程
学习目标
1.理解分式方程的意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时出现的无解情况及增根.
学习重难点
理解并掌握解分式方程的基本思路和解法.
难点
重点
理解解分式方程时出现的无解情况及增根.
复习回顾
方程含有未知数的等式叫做方程.
一元一次方程只含有一个未知数(也称元)，并且未知数的次数是1.
整式方程分母不含有未知数的方程.
情景引入
小红家到学校的路程为38 km.小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行2 km，才能到学校，路途所用时间是1 h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.
一起探究
知识点2 分式方程的增根
总结归纳
解分式方程的一般步骤：
分式方程
整式方程
检验
若最简公分母=0（分式方程无意义）
若最简公分母≠0（分式方程有意义）
经检验，是原分式方程的解（根）
经检验，原分式方程无解，这样的根叫做分式方程的增根
例2 解方程：
解分式方程一定要注意验根.
随堂练习
D
拓展提升
B
归纳小结
上面得到的方程与我们已学过的方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？
谈一谈
像上面得到的方程那样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.
例题解析
例1 解方程：
思考
不是.因为当x=1时，x-1=0，即这个分式方程的分母为0，方程中的分式无意义，所以x=1不是这个分式方程的解（根）.
探究新知
知识点1 分式方程及其解的概念
第十二章 分式和分式方程
学习目标
1.理解分式方程的意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时出现的无解情况及增根.
学习重难点
理解并掌握解分式方程的基本思路和解法.
难点
重点
理解解分式方程时出现的无解情况及增根.
复习回顾
方程含有未知数的等式叫做方程.
一元一次方程只含有一个未知数(也称元)，并且未知数的次数是1.
整式方程分母不含有未知数的方程.
情景引入
小红家到学校的路程为38 km.小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行2 km，才能到学校，路途所用时间是1 h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.
一起探究
知识点2 分式方程的增根
总结归纳
解分式方程的一般步骤：
分式方程
整式方程
检验
若最简公分母=0（分式方程无意义）
若最简公分母≠0（分式方程有意义）
经检验，是原分式方程的解（根）
经检验，原分式方程无解，这样的根叫做分式方程的增根
例2 解方程：
解分式方程一定要注意验根.
随堂练习
D
拓展提升
B
归纳小结
上面得到的方程与我们已学过的方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？
谈一谈
像上面得到的方程那样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.
例题解析
例1 解方程：
思考
不是.因为当x=1时，x-1=0，即这个分式方程的分母为0，方程中的分式无意义，所以x=1不是这个分式方程的解（根）.
探究新知
知识点1 分式方程及其解的概念
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阜南县新村镇中心学校 孙 辉
速度/km·h-1 时间/h
提速前 提速后
x (1+25%)x
1600 x
1600 (1 25%)x
1、什么是一元一次方程？解一元一次方程的一般
步骤是什么？
2、解方程： x 2 2x 3 1 .
4
6
还记得本章引言中提出的问题吗？
为了满足经济高速发展的需求，我国铁路部门 不断进行技术革新，提高列车运行速度。
因为解分式方程可能产生增根, 所以解分式方程必须检验.
解分式方程一般需要哪几个步骤?
探索:如何求分式方程
24 20 x 1 x
的解呢?
回顾:解一元一次方程的 一般步骤是什么?
解方程
x 1 x
3
2
猜想:怎样解方程
24 20 x 1 x
解这个方程我们先 去分母.
解这个分式方程 我们也应该先去 分母.
动脑想一想
1.什么是分式方程？怎样解分式 方程？
2.解分式方程为什么一定要检验？
3.解分式方程一般步骤：一化二解三检验 注意：“检验”必不可少。
解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母 检验
整式 方程
解分式方程的一般步骤是: (1)去分母,把分式方程转化为整式方程。 (2)整理并解出整式方程。 (3)将整式方程的解代入原分式方程左 右两边检验。
1.你认为上面例题中检验方程根的方法是否合适？ 为什么？
通常把求得整式方程的根代入最简公分母，看它的值 是否为零，使最简公分母不为零的根才是原方程的根；使 最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.
2.通过上面解方程的过程，你能总结出解分式方程 一般需要经过哪几个步骤？把你的结论与同伴交流.
（1）去分母，化分式方程为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）检验.
1600 1600 4. x 5x 4
1.怎样解上面的方程呢？解这个方程，能不能也 象解一元一次方程一样去分母呢？
2.方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以 去掉分母呢？试试看.
分式方程 去分母 整式方程 转化
3.用上面的方法求出的未知数的值是不是该分式 方程的解呢？你是怎样知道的？
1.请你用上面的方法解下面的方程，并把解得的 根代入原方程中检验，你发现了什么？
例1 解方程： x 1 2 x
x3 3x
分析：先找出方程中各分母的最简公分母是 (x+3)(x-3)，然后再解题。
解 方程两边同乘以最简公分母(x+3)(x-3)，得 (x-1)(x-3)-2(x+3)(x-3)=-x(x+3) ， x2-4x+3-2x2+18=-x2-3x. 解这个方程，得 x=21. 检验：当x=21时，(x+3)(x-3)≠0. 因而，原方程的根是x=21.
解方程：
（1）5
x
x
3
2
课堂练习
（2） 1
x
1
4
3 x
x 4
:
下列方程中哪些是分式方程?把它们
找出来,并指出它们的最简公分母.
(1) 5 9 x x2
(2) x x 2 0 59
(3) 1 1 x 3 x2 2x
71 (4) x2 x x2 x 0
1600
__(1__25_%_)x__h.由题意得
1600 1600 4. x (1 25%)x
即
1600 x
1600 5x
4.
4
动脑筋
请看下列方程:你认为哪一个比较特殊?
(A) 24 20
x 1
x
(B) 4 10 x 7
10x 4
4
(C) 15 15 40
2x 1 2 x3 3x
解这个方程，可得x=3.把x=3代入原方程检验 时，分式的分母为0.这时分式无意义，所以x=3不 是原方程的根，原方程无解.
2.出现上面情况的原因是什么？这给我们解分式 方程有什么启示？
像x=3这样的根，称为增根.产生增根的原因是我们在 方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式，所以，解 分式方程必须验根！
解方程
1-x x-2
=
1 -2
2-x
一位同学的解法如下:
方程两边都乘以x-2 ,得 1-x= -1-2(x-2).
解这个方程,得x=2.
你认为x=2是 原方程的根吗?与 同伴交流.
在这里x=2不是原方程的根, 因为它使得原分式方程 的分母为零,我们称它为原方程的增根.
产生增根的原因是,我们在方程的两边同乘了一 个可能使分母为零的整式.
如何 解决 这个 问题？
在相距1600km的两地之间运行一列车，速度提高了25% 后，运行时间缩短了4h，你能求出列车提速前的速度吗？
设列车提速前的速度为xkm/h，那么提速后的 速度应为__(1_+_2_5%__)x__km/h. 提速前、后走完1600km
1600
所需时间分别是___x __h、
x 3x 60
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(D)
x+1 3
x 2
交流讨论
( A)(B)(C)三个方程有什么共同特征? 它们与(D)有什么区别?
1600 1600 4. x 5x 4
该方程与前面学过的方程有什么不同？它有 何特点？
1.方程中含有分式；
2.分母中含有未知数。
像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分母中含有未知数的方程 叫做分式方程.
(4)写出结论。 关键步骤有: 方程两边同乘各分式的最简公分母。
检验特别重要。
作业 习题9.3 第1~3题.
课后拓展
若关于x的方程 2 x m 2有增根，则m的值是___.
x3 3x
速度/km·h-1 时间/h
提速前 提速后
x (1+25%)x
1600 x
1600 (1 25%)x
1、什么是一元一次方程？解一元一次方程的一般
步骤是什么？
2、解方程： x 2 2x 3 1 .
4
6
还记得本章引言中提出的问题吗？
为了满足经济高速发展的需求，我国铁路部门 不断进行技术革新，提高列车运行速度。
因为解分式方程可能产生增根, 所以解分式方程必须检验.
解分式方程一般需要哪几个步骤?
探索:如何求分式方程
24 20 x 1 x
的解呢?
回顾:解一元一次方程的 一般步骤是什么?
解方程
x 1 x
3
2
猜想:怎样解方程
24 20 x 1 x
解这个方程我们先 去分母.
解这个分式方程 我们也应该先去 分母.
动脑想一想
1.什么是分式方程？怎样解分式 方程？
2.解分式方程为什么一定要检验？
3.解分式方程一般步骤：一化二解三检验 注意：“检验”必不可少。
解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母 检验
整式 方程
解分式方程的一般步骤是: (1)去分母,把分式方程转化为整式方程。 (2)整理并解出整式方程。 (3)将整式方程的解代入原分式方程左 右两边检验。
1.你认为上面例题中检验方程根的方法是否合适？ 为什么？
通常把求得整式方程的根代入最简公分母，看它的值 是否为零，使最简公分母不为零的根才是原方程的根；使 最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.
2.通过上面解方程的过程，你能总结出解分式方程 一般需要经过哪几个步骤？把你的结论与同伴交流.
（1）去分母，化分式方程为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）检验.
1600 1600 4. x 5x 4
1.怎样解上面的方程呢？解这个方程，能不能也 象解一元一次方程一样去分母呢？
2.方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以 去掉分母呢？试试看.
分式方程 去分母 整式方程 转化
3.用上面的方法求出的未知数的值是不是该分式 方程的解呢？你是怎样知道的？
1.请你用上面的方法解下面的方程，并把解得的 根代入原方程中检验，你发现了什么？
例1 解方程： x 1 2 x
x3 3x
分析：先找出方程中各分母的最简公分母是 (x+3)(x-3)，然后再解题。
解 方程两边同乘以最简公分母(x+3)(x-3)，得 (x-1)(x-3)-2(x+3)(x-3)=-x(x+3) ， x2-4x+3-2x2+18=-x2-3x. 解这个方程，得 x=21. 检验：当x=21时，(x+3)(x-3)≠0. 因而，原方程的根是x=21.
解方程：
（1）5
x
x
3
2
课堂练习
（2） 1
x
1
4
3 x
x 4
:
下列方程中哪些是分式方程?把它们
找出来,并指出它们的最简公分母.
(1) 5 9 x x2
(2) x x 2 0 59
(3) 1 1 x 3 x2 2x
71 (4) x2 x x2 x 0
1600
__(1__25_%_)x__h.由题意得
1600 1600 4. x (1 25%)x
即
1600 x
1600 5x
4.
4
动脑筋
请看下列方程:你认为哪一个比较特殊?
(A) 24 20
x 1
x
(B) 4 10 x 7
10x 4
4
(C) 15 15 40
2x 1 2 x3 3x
解这个方程，可得x=3.把x=3代入原方程检验 时，分式的分母为0.这时分式无意义，所以x=3不 是原方程的根，原方程无解.
2.出现上面情况的原因是什么？这给我们解分式 方程有什么启示？
像x=3这样的根，称为增根.产生增根的原因是我们在 方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式，所以，解 分式方程必须验根！
解方程
1-x x-2
=
1 -2
2-x
一位同学的解法如下:
方程两边都乘以x-2 ,得 1-x= -1-2(x-2).
解这个方程,得x=2.
你认为x=2是 原方程的根吗?与 同伴交流.
在这里x=2不是原方程的根, 因为它使得原分式方程 的分母为零,我们称它为原方程的增根.
产生增根的原因是,我们在方程的两边同乘了一 个可能使分母为零的整式.
如何 解决 这个 问题？
在相距1600km的两地之间运行一列车，速度提高了25% 后，运行时间缩短了4h，你能求出列车提速前的速度吗？
设列车提速前的速度为xkm/h，那么提速后的 速度应为__(1_+_2_5%__)x__km/h. 提速前、后走完1600km
1600
所需时间分别是___x __h、
x 3x 60
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(D)
x+1 3
x 2
交流讨论
( A)(B)(C)三个方程有什么共同特征? 它们与(D)有什么区别?
1600 1600 4. x 5x 4
该方程与前面学过的方程有什么不同？它有 何特点？
1.方程中含有分式；
2.分母中含有未知数。
像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分母中含有未知数的方程 叫做分式方程.
(4)写出结论。 关键步骤有: 方程两边同乘各分式的最简公分母。
检验特别重要。
作业 习题9.3 第1~3题.
课后拓展
若关于x的方程 2 x m 2有增根，则m的值是___.
x3 3x